IV. Tipo de Cambio y. Comercio Exterior

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1 IV. Tipo de Cambio y Comercio Exterior

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3 281 Función de Demanda de las Exportaciones a la Unión Europea I. Introducción Por: José Manuel Michel 1 Año 2011, Vol. V, No. 1 La República Dominicana empezó a tener preferencia por el mercado europeo al adherirse al entonces acuerdo de Lome IV en el año Este acuerdo permitía a la República Dominicana exportar libre de arancel a Europa un gran número de bienes agrícolas y minerales. Sin embargo, Lome IV tenía restricciones para varios productos dominicanos, las cuales fueron parcialmente eliminadas con el tratado de Cotonou. 2 Actualmente, el Acuerdo de Asociación Económica entre la Unión Europea y CARIFORUM sólo tiene restricciones para dos productos: arroz y azúcar, que tendrán cuotas hasta el El mercado europeo representó en 2007 el 18.1% de las importaciones mundiales, siendo el segundo mercado de bienes en todo el mundo. Esto lo convierte, al igual que Estados Unidos, en un mercado importante para las economías emergentes como República Dominicana. 4 En el 2007 el 15.1% de las exportaciones dominicanas fueron destinadas a los países miembros de la Unión Europea, siendo así en el segundo destino de exportación de la República Dominicana. También es importante destacar que el crecimiento experimentado por las exportaciones dominicanas en los últimos años ha sido explicado por el dinamismo de éstas en el mercado europeo. En el período las exportaciones totales crecieron en US$1,423.5 millones y las europeas en US$668.5 millones. Este hecho nos indica, que casi la mitad del crecimiento de las exportaciones dominicanas, se debió al auge de las mismas en los países de la Unión Europea (Ver Michel, 2008). Considerando la importancia del mercado europeo para República Dominicana, decidimos realizar un estudio sobre este mercado titulado Exportaciones Dominicanas hacia la Unión Europea: Análisis de Competitividad y Estimación de la Demanda. El presente artículo es una versión actualizada de la segunda parte del referido estudio. El objetivo de este trabajo es encontrar una relación de largo plazo entre las exportaciones dominicanas hacia Europa y sus determinantes: renta y precios relativos. Como proxys de estas variables se utilizó el PIB de la Unión Europa (UE27) y el tipo de cambio real multilateral de República Dominicana respecto a la UE27 y el Reino Unido. 1 Departamento de Programación Monetaria y Estudios Económicos, División de Investigación Económica. Para preguntas y comentarios escribir a j.michel@bancentral.gov.do. 2 Acuerdo firmado entre los países de Asia, Caribe y Pacífico (ACP) y la Unión Europea. 3 Se considera CARIFORUM, al grupo negociador constituido por República Dominicana y los países de la CARICOM. *La Unión Europea está constituida por 27 países: Alemania, Austria, Bélgica Bulgaria, Chipre, Dinamarca, Eslovaquia, Eslovenia, España, Estonia, Finlandia, Francia, Grecia, Hungría, Irlanda, Italia, Letonia, Lituania, Luxemburgo, Malta, Países Bajos, Polonia, Portugal, Reino Unido, República Checa, Rumanía y Suecia *Ver Acuerdo de Asociación Económica (EPA) y la página de la Embajada de la Unión Europea en la República Dominicana 4 Ver Informe Estadístico Organización Mundial del Comercio 2007.

4 282 Banco Central de la República Dominicana Para hallar la relación de largo plazo se realizó un análisis de cointegración siguiendo la metodología de Engle y Granger (1987). Por consiguiente, se utilizó la prueba Dickey-Fuller Aumentada para determinar el orden de integración de las exportaciones, PIB de la UE27 y tipo de cambio real. Posteriormente, se aplicó esta misma prueba en los residuos del modelo de demanda, estimado por el Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios, para someter a prueba la hipótesis de cointegración. II. Marco teórico En la literatura económica es usual derivar la función de demanda de las exportaciones de un país doméstico (i), por medio de la función de utilidad del consumidor representativo extranjero (j). 5 Siguiendo a Reinhart (1995) y a In y Rgro (1998), el consumidor representativo extranjero deriva utilidad del consumo de bienes disponibles a lo interno de su economía, así como de los bienes importados, queriendo maximizar a través de su vida la utilidad que provee el consumo de estos. En términos analíticos, la función de utilidad intertemporal viene dada por: En la ecuación (1) es la función de utilidad del agente de un país extranjero (j), en este caso la Unión Europea. El integrando de es una función Cobb-Dugglas que depende del consumo interno y consumo externo. El coeficiente representa el factor de descuento intertemporal. La ecuación (1) nos dice que la utilidad del agente representativo de un país extranjero es la acumulación descontada del promedio ponderado del consumo interno y externo. El individuo maximiza su utilidad consumiendo la mayor cantidad posible de ambos bienes, sujeto a una restricción presupuestaria: Donde representa presupuesto del agente representativo del país j;, dotación de bienes producido internamente para consumo;, bienes exportados por j; A, recursos prestados por el país j al país i;, precios de los bienes exportados por j; precios bienes importados por el país i; y, precios de los bienes exportados por i. De las condiciones de primer orden obtenidas con la solución del problema de optimización dinámica compuesto por (1) y (2), se obtiene la función demanda de las exportaciones siguiente: Donde es la renta real del consumidor representativo de país extranjero (j) y los precios relativos de los bienes exportados por el país i al país j. 5 Generalmente, el país doméstico (i) es una economía pequeña y abierta, como la República Dominicana y el país extranjero (j) una economía desarrollada como la Unión Europea (Ver Reinhart, 1995).

5 Oeconomia 283 III. Análisis de los datos Para estimar la ecuación (3), se utilizó como proxy de la renta el Producto Interno Bruto (PIB) de la Unión Europea. Para aproximar los precios relativos se usó el Tipo de Cambio Real efectivo. 6 Por último, como estimado del volumen exportado tenemos el valor FOB de las exportaciones dominicanas a la UE27 deflactado con el índice de precios al consumidor de la UE27. Figura 1. Exportaciones de la República Dominicana a la Unión Europea, (Millones de 2000) Fuente: Elaboración propia con datos de Eurostat. En la presente década, las exportaciones a la Unión Europea han tenido una tendencia creciente. Sin embargo, en el 2008 y 2009 se observa una caída causada por los efectos de la crisis económica global. Figura 2. PIB de la Unión Europea (Miles de Millones ), Fuente: Elaboración propia con datos del Banco Central Europeo. 6 Se define el tipo de cambio real como, donde, es precio del peso dominicana expresado en euro o libra esterlina, Índice de precio al consumidor (IPC) de República Dominicana y IPC de j, en este caso Zona Euro o Reino Unido. En este caso, un aumento del tipo cambio real es una apreciación y una caída una depreciación.

6 284 Banco Central de la República Dominicana Esta tendencia creciente, observada en el periodo , puede explicarse por el aumento de las preferencias que trajo la firma del acuerdo de Cotonou, la depreciación del tipo de cambio real multilateral y el crecimiento de la economía europea. El comportamiento del tipo de cambio real y del PIB de la Unión Europea se puede observar en las figuras 2 y 3, respectivamente. De estas figuras se pueden extraer dos conclusiones interesantes: a) la economía europea crece de manera sostenida, exhibiendo una tendencia creciente menos en el periodo de crisis; b) El tipo de cambio se mantuvo subvaluado, la mayor parte de la presente década. Antes de la crisis financiera de 2003, la trayectoria del tipo de cambio real entre República Dominicana y la Unión Europea indicaba que este estaba apreciándose respecto al año 2000 en alrededor de 15%. Posterior al evento mencionado, el tipo de cambio real se mantiene depreciado respecto a su nivel inicial, en alrededor de 12.4%. Figura 3. Evolución del tipo de cambio real de la Unión Europea (UE27), Fuente: Elaboración propia con datos del Banco Central Europeo. IV. Prueba de raíz unitaria Para determinar el nivel de integración de las series se aplicó la prueba Dickey-Fuller Aumentada. La hipótesis nula de esta prueba es la existencia de una raíz unitaria. Si esta hipótesis no se rechaza en nivel, la serie no es estacionaria y su orden de integración será diferente de cero. El nivel de integración será determinado según el número de veces que sea necesario diferenciar para obtener una serie estacionaria (Ver Dickey-Fuller, 1979, 1981). La incorporación de los rezagos de es utilizada para corregir el problema de auto-correlación serial. En la literatura económica es usual aplicar esta prueba en sus tres modalidades, con constante y

7 Oeconomia 285 con tendencia, sin constante y con tendencia, sin constante y sin tendencia. En este artículo se utilizará el Criterio de Información de Schwarz (SIC) para escoger el número de rezagos. Se espera que el coeficiente sea distinto de cero, para poder rechazar la hipótesis nula. 7 En la Tabla 1 se presentan los resultados de la prueba de ADF a las exportaciones (X), PIB UE27 (y) y el tipo de cambio real efectivo de la UE27 (e). Se puede observar, que las series son integradas de primer orden. Tabla 1. Prueba ADF, H 0: tiene una raíz unitaria Variable Estadístico t Prob. * Tipo ADF** Logaritmo x C(x), T(x), R(0) y C(x), T(x), R(1) e C(x), T(x), R(1) Logaritmo x C(x), T(x), R(0) y C(0), T(0), R(0) e C(0), T(0), R(0) Nota: Elaboración propia. Utiliza el Criterio de Información de Schwarz (SIC) para selección de rezagos. * Valores de probabilidad Mackinnon (1996). ** Constante (c), Tendencia (T), Rezago (R). V. Estimación del modelo Una vez determinado el orden de integración de la series, el paso siguiente es estimar por Mínimos Cuadrados Ordinario (MCO) el modelo de demanda de las exportaciones. Luego, nuestro objetivo es encontrar una relación de largo plazo entre la demanda de las exportaciones dominicanas en los mercados europeos y sus fundamentos. La forma funcional del modelo econométrico se fundamenta en la derivación teórica de la ecuación 2, es decir la ecuación 3 y el resultado obtenido es la expresión 5. A diferencia de la ecuación 3, la ecuación 5, incorpora un elemento adicional, para captar los efectos de la volatilidad del tipo de cambio en las exportaciones. (0.12) (0.39) (0.01) En este caso, valor deflactado de las exportaciones dominicanas a la Unión Europea, representa el PIB de la Unión Europea;, tipo de cambio real /RD$; y d es una variable dicotómica que toma valores de 1 en todos los trimestres del 2003 y 2004; y cero en los demás trimestres. El producto intenta medir los efectos de la volatilidad de tipo cambio durante el periodo de crisis. Entre paréntesis se muestran los errores estándar de los coeficientes. 7 Para más detalle ver Dickey-Fuller (1979, 1981).

8 286 Banco Central de la República Dominicana Los resultados de la prueba Dickey Fuller Aumentada, aplicada a los residuos del modelo, permiten rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria. Este hecho nos dice, que la función de demanda de exportaciones dominicanas en el mercado europeo es estable o cointegrada. 8 La cointegración nos dice que los coeficientes son consistentes. Sin embargo, la presencia de autocorrelación y heterocedasticidad a los niveles de significancia tradicionales de 1, 5 y 10%, nos hace suponer que éstos no son eficientes. 9 Debido a la falta de eficiencia, se utilizaron los errores Newey-West, que a diferencia de los errores estándar permiten hacer una correcta inferencia estadística en presencia de autocorrelación y heterocedasticidad. Todos los coeficientes de la ecuación 5 son significativos al 10% y tienen los signos esperados. También es importante señalar que el modelo estimado presenta un buen ajuste al tener un R2 ajustado de Este hecho indica que las variaciones del PIB y el tipo de cambio real explican en buena parte las variaciones de las exportaciones dominicanas a los mercados europeos. VI. Comentarios finales Según los resultados existe una relación de largo plazo entre las exportaciones dominicanas destinadas al mercado europeo, la renta de los consumidores europeo y los precio relativos. Esto queda evidenciado con la presencia de ruido blanco en los residuos del modelo. Las elasticidad renta es de 0.54%, esto significa que si el PIB de la Unión europea crece un 1%, Ceteris paribus, las exportaciones dominicanas a este destino crecerán un 0.54%. La elasticidad precio fue de Por tanto, si el tipo de cambio real se aprecia 1%, las exportaciones caerán en 0.74%, manteniendo los demás factores constantes. Durante la crisis financiera de 2003 el impacto del tipo de cambio fue aún mayor. La elasticidad precio en tiempo de la crisis financiera fue de El aumento durante la crisis de la elasticidad precio de las exportaciones puede estar explicado por la volatilidad observada en el tipo de cambio real. Las elasticidad precio fue superior a la elasticidad renta, lo que significa que los cambios en los precios tienen un mayor impacto que el crecimiento de la economía europea. Sin embargo, es importante indicar que el dinamismo observado por las exportaciones dominicanas destinadas a la Unión Europea no solo se explica por el crecimiento económico de ésta y la subvaluación del tipo cambio /RD$, sino también por el cambio en las preferencia y la conquista de varios nichos de mercado. 8 El análisis de cointegración uniecuacional, para determinar la validez de los modelos econométricos, se introdujo en la literatura con el trabajo seminal de Engel y Granger (1987). 9 Se aplicaron las pruebas de autocorrelación de Breusch-Godfrey y heterocedasticidad de White.

9 Oeconomia 287 Los nichos de mercado que la República Dominicana ha conquistado con gran éxito son: Banano, Ron y Tabaco. También algunos rubros producidos por las zonas francas han penetrado el mercado europeo con mucho éxito (Ver Michel, 2008). Referencias Aravena, C. (2005). Demanda de las Exportaciones de Bienes y Servicios para Argentina y Chile. Estudios Estadísticos y Prospectivos No.36. CEPAL, Santiago de Chile Dickey, D.A. y Fuller, W.A. (1979). Distribution of the Estimator for Autoregressive Time Series with a Unit Root. J. Amer. Statist. Assoc. 74. pp Dickey, D.A. y Fuller, WA. (1981). Likelihood Ratio Statistics for autoregressive Time Series with a Unit Root. Econometrica 49. pp Engle, R.F. y Granger, C.W.J. (1987). Cointegration and error correction: Representation, estimation and testing. Econometrica 50. pp In, F. y Sgro, P. (1998). Export growth and its determinants. Applied Economic Letters, Vol 5, No.4. Michel, J.M. (2008). Exportaciones Dominicanas hacia la Unión Europea: Análisis de Competitividad y Estimación de la Demanda. Informes de Comercio Exterior de la Secretaria de Estado de Industria y Comercio (SEIC). Misas, M., Ramírez, M.T. y Silva, L.F. (2001). Exportaciones no tradicionales en Colombia y sus determinantes. Banco Central de la República de Colombia.

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11 289 Problema de Calibración de Mercado y Estructura Implícita del Modelo de Bonos de Black-Cox I. Introducción Por: Lisette Santana 1 y Nikolay Sukhomlin 2 Año 2011, Vol. V, No. 1 El modelo de Black-Scholes (1973), para la valoración de opciones, constituye uno de los aportes más significativos en el campo de la teoría y práctica financiera, así como también la base de importantes investigaciones, tales como las de Merton (1974) y Black y Cox (1976), quienes aplican este análisis en sus respectivos trabajos sobre la valoración de deuda corporativa. Tanto el modelo de Merton como el de Black-Cox pertenecen a la familia de los denominados modelos estructurales, que determinan la probabilidad de que una empresa alcance un nivel de insolvencia (antes del tiempo de madurez de la deuda), tomando como referencia el valor de mercado de la misma. Estos modelos establecen un vínculo entre la calidad de crédito de la firma y su condición financiera. Merton asume que la estructura de capital de una corporación se compone de deuda (bonos cero cupón con determinado tiempo de madurez) y de acciones. Si en el tiempo de expiración de la deuda, el valor total de los activos de la empresa es superior al valor de la deuda, se paga, en primer lugar, a los tenedores de bonos; los accionistas reciben la parte remanente. En el caso contrario, la corporación en cuestión cae en un nivel de insolvencia; los accionistas no reciben beneficios. Así, las acciones funcionan como una opción de compra sobre los activos de la firma, con un precio de ejercicio equivalente al valor facial de la deuda. Al tratar las acciones como opciones europeas de compra, Merton utiliza el enfoque propuesto por Black y Scholes para la valoración de dichos instrumentos. Black y Cox utilizan un modelo de primer pasaje, extendiendo el enfoque de Merton al caso en que la empresa puede alcanzar un nivel de insolvencia en cualquier momento previo a la fecha de expiración de la deuda. En la literatura económica existe un gran número de investigaciones basadas en la aplicación empírica de los modelos estructurales. Los resultados muestran que, de manera consistente, se sobrevaloran los precios de los bonos y se subvalúan los márgenes de rendimiento. 1 División Modelos Macroeconómicos, Departamento de Programación Monetaria. Para preguntas y comentarios escribir a lj.santana@bancentral.gov.do. 2 Resumen del artículo publicado bajo el mismo título en la Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa (Vol. 10, Diciembre 2010).

12 290 Banco Central de la República Dominicana En Eom et al. (2004), se llevan a cabo pruebas para cinco modelos estructurales de valoración de bonos: Merton (1974); Geske (1977); Longstaff y Schwartz (1995); Leland y Toft (1996); Collin- Dufresne y Goldstein (2001). Los resultados de estas estimaciones reflejan inexactitudes en la predicción de los márgenes de rendimiento. Chen et al. (2006) llevan a cabo una comparación entre seis modelos estructurales (entre ellos el de Merton y el de Black-Cox), a fin de analizar su capacidad para predecir la probabilidad de que la firma caiga en una situación de insolvencia. Se demuestra que tanto para la situación en la que el período de predicción es largo, como cuando es corto, el modelo de Merton es el que presenta los peores resultados. Por su parte, el modelo de Black-Cox queda en segundo y en primer lugar, respectivamente, para cada caso mencionado. En adición al esfuerzo por lograr una mayor precisión en la implementación de los modelos de valoración de opciones, diversos autores han desarrollado trabajos que constituyen una herramienta para mejorar la comprensión de las relaciones que subyacen en dichos modelos. En este sentido, la literatura económica muestra que la obtención de fórmulas aproximativas de la volatilidad implícita, es decir, un valor de la volatilidad que explique perfectamente el precio de la opción dadas las demás variables y parámetros del modelo, ha sido objeto de varios estudios. Brenner y Subrahmanyam (1988) proponen una fórmula simple con el fin de aproximar la desviación estándar implícita para opciones en el dinero (at the money options) en el marco del modelo de Black-Scholes. Este trabajo ha sido objeto de extensiones tales como las de Corrado y Miller (1996), quienes mejoran el rango de validez de la fórmula propuesta por Brenner y Subrahmanyam y Chance (1996), quien introduce un término cuadrático de ajuste a fin de mejorar la precisión de la fórmula referida. Sukhomlin (2007) es el primero en desarrollar un método que permite resolver el problema inverso del modelo de Black-Scholes y obtener una expresión exacta para la volatilidad implícita de dicho modelo. Este método puede ser generalizado y aplicado a modelos de este tipo, como es el caso del modelo de Black-Cox. El principal resultado de este artículo consiste en la resolución del problema de calibración de mercado del modelo de Black-Cox, utilizando el método propuesto por Sukhomlin. Se obtiene la volatilidad implícita expresada en función de parámetros cuantificables con datos de mercado (precio del bien subyacente, valor de la opción y el nivel de insolvencia), de variables conocidas (tasa de interés y tiempo de madurez) y de una variable que puede ser calculada fácilmente con dichos datos (la elasticidad de la griega 3 Delta). Se descubre la existencia de dos valores de la volatilidad para un solo activo subyacente. 3 En finanzas, las griegas (greeks) son cantidades que miden la sensibilidad de los precios de los derivados ante cambios en los parámetros de los cuales dependen.

13 Oeconomia 291 Este resultado no solamente es interesante por el mero hecho de que responde una cuestión de más de 30 años de antigüedad, sino que también muestra que las asunciones tradicionales del modelo no lo definen de manera unívoca. II. Problema inverso del modelo de Black-Cox En el modelo de Black-Cox (BC), la probabilidad de que la firma no alcance un nivel de insolvencia (barrera de default) antes del tiempo de madurez de la deuda, viene dada por la expresión:,,, es la función de distribución normal acumulada. Tradicionalmente, se interpreta x como el valor de mercado de la firma en el momento t; B es el nivel de insolvencia 4 ; es la volatilidad constante; T es el tiempo de madurez de la deuda y r es la tasa de interés (constante) libre de riesgo. Para resolver el problema de calibración de mercado, Sukhomlin (2007) propone un método que consta de cuatro pasos: construir una relación entre los términos de la fórmula inicial; introducir una característica auxiliar, de manera que se separe el factor exponencial; calcular la elasticidad de dicha característica y, considerando esta expresión como una ecuación algebraica para la volatilidad, hallar la volatilidad implícita del modelo. Partiendo de (1), se obtiene la siguiente igualdad:. Como segundo paso, se introduce la función auxiliar: ;,, Así, se obtiene la expresión: Por definición, la elasticidad de esta característica auxiliar es: 4 Aunque Black y Cox asumen un nivel de insolvencia que varía con una tasa fija, para fines de simplificación de fórmulas, en este artículo se supone una tasa cero, por lo que el valor de la barrera es constante. No obstante, en las fórmulas presentadas resulta sencillo introducir esta dependencia de la barrera de default con respecto al tiempo.

14 292 Banco Central de la República Dominicana por lo que, usando la función auxiliar (3) es sencillo calcular: Por otra parte, la expresión (4) también permite calcular la misma elasticidad (5), obteniéndose el siguiente resultado: Igualando las expresiones de la elasticidad, se llega a la fórmula: La igualdad (8) se considera como una ecuación algebraica para la volatilidad implícita del modelo de BC, ya que se puede despejar a partir de y de cuando todas las demás variables están dadas o son medibles en el mercado. Así, se puede escribir (8) en forma de ecuación cuadrática para el parámetro sin dimensión (de (2) se obtiene que ): en donde: Los coeficientes R y P están expresados en función de la elasticidad de la griega Delta : La solución de la ecuación (9) es:

15 Oeconomia 293 Sustituyendo (2) en la igualdad (14), se llega a la expresión para la volatilidad implícita del modelo de BC: La fórmula (15) revela dos hechos importantes. En primer lugar, se observa que las asunciones tradicionales del modelo de BC admiten dos valores de la volatilidad implícita para un solo activo subyacente. En segundo lugar, es evidente que si no se completan los supuestos del modelo, los valores de la volatilidad pueden llegar a ser complejos o negativos, dependiendo del signo del denominador de la fórmula (15) y del valor de la expresión bajo la raíz. Se constata que la volatilidad implícita del modelo de BC es una función de cuatro variables: la ratio del nivel de insolvencia sobre el valor de la firma, que se interpreta como el nivel de endeudamiento de la compañía (leverage); la tasa de interés libre de riesgo r, el tiempo hacia la madurez y la elasticidad de la griega Delta (13). Con la fórmula (15), se obtiene la solución exacta para el problema inverso del modelo de BC, ya que se logra expresar la volatilidad en función de parámetros cuantificables con datos de mercado y de variables conocidas Similitudes y diferencias entre las volatilidades implícitas de los modelos de Black- Scholes y Black-Cox Resulta interesante comparar la fórmula de la volatilidad para el modelo de BC (15) con la del modelo de BS, deducida por Sukhomlin (2007), que viene dada por: Se advierte que, tanto en el modelo de BC como en el modelo de BS se hace referencia a la ratio entre una constante (nivel de insolvencia y precio de ejercicio, respectivamente) y la variable aleatoria (precio del bien subyacente). En el contexto del modelo de BC, esta ratio se interpreta como el nivel de endeudamiento de la compañía (leverage) y en el modelo de BS se interpreta como moneyness. En ambas fórmulas se mantiene la presencia de una elasticidad, aunque ésta se calcula con respecto a diferentes griegas. La volatilidad implícita del modelo de BC necesita para su definición la elasticidad de la griega Delta (la primera derivada del valor de la opción respecto con el precio del bien subyacente), en tanto que, la volatilidad implícita del modelo de BS se 5 La elasticidad de Delta se calcula con los datos del mercado por la discretización de la fórmula (13), que no contiene la volatilidad, o utilizando las derivadas de la fórmula (1).

16 294 Banco Central de la República Dominicana define por la elasticidad de la griega de orden superior Gamma (la segunda derivada del valor de la opción con respecto al precio del bien subyacente). De este hecho se deduce que, en el modelo de BS, la curvatura de la gráfica de V (1) es de mayor importancia para definir la volatilidad, mientras que, en el modelo de BC es más relevante la tendencia del mercado, representada por la griega Delta. III. Insuficiencia de las asunciones del modelo de Black-Cox En la sección anterior, se señaló que los valores de (15) pueden llegar a ser complejos o negativos dependiendo del signo del denominador de la fórmula y del valor de la expresión bajo la raíz. Así, a partir de dicha fórmula se observa que los valores complejos de la volatilidad implícita se pueden evitar si: Usando (11) y (12), se puede escribir (17) en términos de la elasticidad de Delta: Conforme a la fórmula (15), los dos valores encontrados pueden tener signos distintos o el mismo signo (positivo). En el primer caso, se encuentra que el cumplimiento de (18) es automático, a diferencia de la situación en que ambos resultados son positivos. Caso 1: ; Este sistema puede ser escrito como y, sustituyendo las expresiones (11) y (12), el mismo puede ser expresado en términos de la elasticidad de Delta: Se puede verificar que (19) implica (18). Se concluye que el cumplimiento de (19) garantiza los signos diferentes de los dos valores de la expresión (15). En este caso, el valor negativo simplemente no se utiliza puesto que, aún si desde el punto de vista matemático las variables cuadráticas negativas están definidas (a partir de las cuales se obtienen raíces complejas), no tienen sentido desde la perspectiva económica. Caso 2:

17 Oeconomia 295 ; Este sistema sobre-definido puede ser expresado como una sola desigualdad, que es inversa a (19): Se puede comprobar que el cumplimiento de (20) no implica (18). En conclusión, al verificarse simultáneamente (18) y (20) los signos de ambas volatilidades serán positivos. En esta situación no se sabría con certeza cuál de estos valores define el comportamiento del activo subyacente en cuestión. Bajo esta circunstancia, se advierte la existencia de un espacio escondido que representa riesgos ocultos y oportunidades de arbitraje considerando que se pueden obtener beneficios derivados de la diferencia entre ambos valores de la volatilidad. De forma más explícita, un inversionista puede adquirir un instrumento financiero asumiendo un determinado valor de la volatilidad implícita y, por otra parte, dicho instrumento contiene también otra volatilidad que es inferior a la primera. Así, se observa que esta debilidad del modelo de BC permite que se lleve a cabo la negociación de un instrumento financiero a un precio superior al que corresponde y que en realidad debería ser el mismo que se establece en función al otro valor de la volatilidad implícita, que es menor. De esta manera, se puede considerar que la existencia de más de una volatilidad está asociada a la presencia de oportunidades de arbitraje. 6 En este sentido, se realizó un ejercicio que consistió en verificar si para los modelos de BC y BS se comprueban las condiciones de no arbitraje conocidas en la teoría financiera; es decir, que la función que representa el valor de la opción es monótona decreciente y convexa con respecto al precio de ejercicio y no decreciente con respecto al tiempo de madurez (véase, por ejemplo, Laurent y Leiseen, 1998). Se demostró que para el modelo de BS se cumplen simultáneamente las condiciones necesarias para que no exista arbitraje, mientras que para el modelo de BC no se comprueban (en el caso del modelo de BC se hizo la prueba para la fórmula (1)). Esta diferencia resulta lógica, considerando que en el modelo de BS la hipótesis de no arbitraje viene dada por la ecuación principal del modelo, mientras que Black y Cox no incorporaron esta restricción. La presencia de riesgos ocultos en el modelo de BC debe servir de base para explicar las dificultades de su aplicación en la predicción del comportamiento del mercado y, asimismo, 6 Además del modelo de Black-Cox, Sukhomlin (2007) comprobó que en otros modelos también se obtiene más de un valor de la volatilidad, como por ejemplo el modelo de Cané de Estrada y coautores (2005) que puede contener hasta tres valores de la volatilidad implícita.

18 296 Banco Central de la República Dominicana dicha condición muestra la necesidad de completar las asunciones establecidas durante la elaboración del modelo a fin de definirlo de manera unívoca. IV. Por qué el modelo de Black Cox contiene dos valores de la volatilidad? En la sección I, se señalaron las semejanzas y diferencias entre las volatilidades implícitas de los modelos de BS y BC, pero aún permanece la cuestión de por qué en el segundo modelo se obtienen dos valores de la volatilidad, mientras que en BS se encuentra solamente un valor. Para responder esta pregunta, en primer lugar, se debe señalar que la fórmula (1) es la solución de la ecuación que puede ser llamada ecuación de Black-Cox: 7 Se constata que esta ecuación es prácticamente la misma que la ecuación clásica de BS, salvo que (21) no contiene el término que representa el incremento de la inversión libre de riesgo con tasa de interés fija. Esto se debe a que en el modelo de BC se habla del comportamiento de los activos de la firma, que funcionan como una opción (enfoque de Merton), por lo que el cero en la parte derecha de la ecuación significa que no se hace referencia a inversiones sin riesgo. Es oportuno señalar que Black y Cox (1976) dedujeron su fórmula basándose únicamente en el razonamiento lógico de la teoría de bonos y, por esta razón, el planteamiento hecho por dichos autores y las aplicaciones posteriores del modelo, no incluyen ni la ecuación (21), ni la condición final correspondiente. Sin embargo, ambas pueden ser construidas usando la fórmula (1). La condición final sería la siguiente: Ahora, se puede plantear el problema de búsqueda de la solución para la ecuación (21) definida sobre el cilindro y sujeta a la condición final (22). Usando el procedimiento similar al del modelo de BS, particularmente, aplicando la transformación regular:, la ecuación de BC (21) se convierte en la ecuación de difusión con la condición inicial: ; está definida en (2) Usando la solución fundamental (función de Green) de la ecuación de difusión y evaluando la integral correspondiente, se obtiene la solución del problema en forma (1). 7 No se debe confundir esta ecuación con la del modelo de Black-Scholes que contiene el término rvt en la parte derecha.

19 Oeconomia 297 Se constata que, en vista de que las ecuaciones correspondientes a los modelos de BC y BS son prácticamente las mismas, la existencia de dos valores de la volatilidad en el modelo de BC no puede ser atribuida a la ecuación (21) que describe la dinámica del modelo. Este argumento también se puede respaldar por el razonamiento siguiente: al resolver la ecuación de Black-Cox con la condición final de Black-Scholes se obtiene la solución clásica de Black-Scholes no descontada. La inversión de ésta genera un único valor de la volatilidad. De la misma manera, si se resuelve la ecuación de Black-Scholes con la condición final (22) se obtiene la solución (1) descontada, a partir de la cual se encuentran dos valores de la volatilidad. Por otra parte, se observa que esta particularidad del modelo de BC, tampoco puede ser atribuida al procedimiento utilizado para construir su solución, ya que éste es exactamente el mismo que se emplea para derivar la solución clásica de BS. Así, se puede concluir que la existencia de dos valores de la volatilidad en el modelo de BC es una consecuencia de la condición complementaria correspondiente (22), que contiene una discontinuidad. 8 Por lo tanto, se valora el papel de dicha condición, porque de ésta depende la presencia del riesgo oculto en el modelo estudiado. V. Conclusiones En este artículo, haciendo uso del método propuesto por Sukhomlin (2007), se resuelve el problema inverso del modelo de bonos de Black-Cox, en el cual la firma puede caer en un nivel de insolvencia en cualquier momento previo al vencimiento de la deuda (modelos de primer pasaje). Este resultado revela que las asunciones del modelo de Black-Cox admiten la existencia de dos valores de la volatilidad para un solo activo subyacente. Este hallazgo cambia totalmente la visión sobre este modelo y debe servir de base para explicar las dificultades de su aplicación en la predicción del comportamiento del mercado, así como también de otros modelos estructurales basados en los resultados de Black y Cox. Se obtiene la fórmula para la volatilidad implícita del modelo estudiado, expresada en función de parámetros medibles con datos de mercado y de variables conocidas. Matemáticamente, los valores de la volatilidad implícita del modelo de Black-Cox pueden ser complejos y de cualquier signo, dependiendo de los parámetros del modelo, lo que impone limitaciones intrínsecas para los parámetros de este sistema dinámico. 8 Sukhomlin demostró que esta propiedad es general, puesto que si se introduce cualquier discontinuidad en las condiciones finales, por ejemplo en la condición final estándar del modelo de Black Scholes, en lugar de obtenerse una sola volatilidad surgen dos valores para la volatilidad de un subyacente.

20 298 Banco Central de la República Dominicana El caso en que ambas volatilidades son reales y tienen el mismo signo positivo no es ordinario, ya que no se sabría cuál de éstas define, de manera más acertada, el comportamiento del activo subyacente en cuestión. En esta situación se advierte la existencia de un espacio escondido que representa riesgos ocultos y oportunidades de arbitraje, ya que se pueden obtener ventajas derivadas de la diferencia entre los dos valores de la volatilidad. Este hecho muestra la necesidad de completar los supuestos tradicionales del modelo de Black- Cox a fin de definirlo de manera unívoca y evitar riesgos ocultos en el mismo. Se infiere que la posibilidad de arbitraje está relacionada a la existencia de más de un valor de la volatilidad implícita. En este sentido, se puede verificar que las condiciones necesarias de no arbitraje, generalizadas en la teoría financiera, no se cumplen para la fórmula de Black-Cox y por consiguiente este modelo contiene intrínsecamente dicha posibilidad, que se revela a partir de la resolución del problema de calibración de mercado. Referencias Black, F. y Cox, J. (1976). Valuing Corporate Securities: Some Effects of Bond Indenture Provisions. The Journal of Finance, 31. pp Black, F. y Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81. pp Brenner, M. y Subrahmanyam, M. (1988). A Simple Formula to Compute the Implied Standard Deviation. Financial Analysts Journal, 5. pp Brigo, D. y Tarenghi, M. (2004). Credit Default Swap Calibration and Equity Swap Valuation under Counterparty Risk with a Tractable Structural Model. Version in Proceedings of the FEA, 2004, Conference at MIT, Cambridge, Massachusetts. Brigo, M. y Morini, M. (2006). Credit Default Swap Calibration with tractable structural models under uncertain credit quality. Risk Magazine. Bruche, M. (2006). Estimating Structural Models of Corporate Bond Prices. Centro de Estudios Monetarios y Financieros (CEMFI), Working Paper, Madrid, n Cané de Estrada, M., Cortina, E., Ferro Fontan, C. y Di Fiori, J. (2005). Pricing of defaultable bonds with log-normal spread: Development of the model and an application to Argentinean and Brazilian bonds during the Argentine crisis. Review of Derivatives Research 8(1). pp Cathcart, L. y El-Jahel, L. (1998). Valuation of defaultable bonds. Journal of Fixed Income, 8 (1). pp Chambers, D. y Nawalkha, S. (2001). An improved approach to computing implied volatility. The Financial Review, 38. pp

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22 300 Banco Central de la República Dominicana Leland, H. (1994). Corporate Debt Value, Bond Covenants and Optimal Capital Structure. Journal of Finance, 49. pp Leland, H. y Toft, K. (1996). Optimal Capital Structure, Endogenous Bankruptcy and the Term Structure of Credit Spreads. Journal of Finance, 51. pp Longstaff, F. y Schwartz, E. (1995). A Simple Approach to Valuing Risky Fixed and Floating Rate Debt. The Journal of Finance, 50. pp Merton, R. (1974). On the pricing of corporate debts: The risk structure of interest rates. Journal of Finance, 29. pp Minqiang, L. (2008). Approximate Inversion of the Black-Scholes Formula Using Rational Functions. European Journal of Operational Research, 185 (2). pp Nardon, M. (2005). Valuing defaultable bonds: an excursion time approach. Finance , EconWPA. Sukhomlin, N. (2007). The Black Scholes type financial models and the arbitrage opportunities. Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, 14 (1). pp Sukhomlin, N. y Jacquinot, Ph. (2007). Solution Exacte du Problème Inverse du Valorisation des Options dans le Cadre du Model de Black et Scholes. Paper published in Hyper Articles en Ligne. Archives ouvertes. France (hal , version 1). Wong, H. y Li, K. (2004). On Bias of Testing Merton s Model. Proceeding of International Association of Science and Technology for Development (IASTED), Conference on Financial Engineering and Applications, 9 pgs. Alberta, Canada: ACTA Press.

23 Oeconomia 301 Experiencia en el manejo de Instrumentos de Cobertura Cambiaria en países de América Latina I. Introducción Por: Raymer Díaz, Isaura García Valdés y Emilio Hungría 1 Año 2013, Vol. VII, No. 2 En este documento se evalúa la experiencia de algunos países de América Latina en el uso de instrumentos de cobertura cambiaria para el manejo de riesgos por depreciación de la moneda local. La disponibilidad de instrumentos de cobertura cambiaria en países latinoamericanos es importante, debido a la dependencia del financiamiento externo en estos países, denominado en dólares; además, gran cantidad de empresas en América Latina poseen pasivos en moneda extranjera y activos en moneda local. 2 Ante esquemas de flexibilidad cambiaria, el valor de los pasivos externos en moneda extranjera se incrementa ante eventos de depreciación, por lo que necesitan instrumentos que les permitan mitigar el riesgo cambiario. En este sentido, los instrumentos de cobertura cambiara constituyen un mecanismo de protección, y su uso presenta varias ventajas importantes: a) en el aspecto de la política macroeconómica, podrían constituir una herramienta de ajuste para el mercado cambiario ante posibles entradas (salidas) de capitales y sus posibles efectos de apreciación (depreciación) del tipo de cambio; b) por parte de las empresas, los instrumentos de cobertura constituyen una protección para sus pasivos denominados en moneda extranjera; en adición, estos derivados pueden constituirse en mecanismos de inversión de capital para las empresas. Este documento se divide en las siguientes seccciones: la primera presenta estadísticas sobre transacciones de derivados cambiarios para algunos países de América Latina. La segunda sección del texto consiste en una revisión de la literatura sobre el uso de instrumentos de cobertura cambiaria en el sector privado latinoamericano. La tercera sección del documento relaciona el desarrollo de instrumentos de cobertura cambiaria con el desempeño macroeconómico de varios países de la región. La cuarta sección presenta las conclusiones que se derivan del análisis previo. II. Estadísticas sobre el mercado de derivados cambiarios en América Latina El promedio diario de transacciones en el mercado latinoamericano de derivados cambiarios pasó de US$2.9 mil millones en 1999, a US$21.4 mil millones en 2010, lo que refleja un mayor uso de estos instrumentos en algunos países de América Latina (Argentina, Brasil, Chile, Colombia, México y Perú). 1 Investigadores del Departamento Internacional, del Banco Central de la República Dominicana. Para preguntas y comentarios escribir a raymer.diaz@bancentral.gov.do, i.garcia@bancentral.gov.do y e.hungria@bancentral.gov.do. 2 Esto se conoce como descalce monetario.

24 302 Banco Central de la República Dominicana Tabla 1. Transacciones en el mercado de derivados cambiarios en seis países de América Latina, abril 2010 (promedio diario) País Monto (millones de US$) Porcentaje Argentina Brasil 5, Chile 2, Colombia 1, México 11, Perú Total 21, Fuente: Elaboración propia a partir de datos del Banco Internacional de Pagos BIS (2010). La Tabla 1 muestra las transacciones mediante derivados cambiarios en seis países de América Latina al mes de abril de 2010, según datos del BIS. 3 Del volumen promedio diario de transacciones realizadas en estos seis países más del 50% del total se produjo en México. En términos de ponderación siguen Brasil y Chile que, con US$5.4 y US$2.8 mil millones respectivamente, transaron el 25.0% y 13.3% del monto total. Actualmente, en los mercados de derivados cambiarios de América Latina se transan cuatro tipos de instrumentos: forwards, currency swaps, foreign exchange swaps y opciones. 4 La Tabla 2 refleja el uso de cada uno de los instrumentos en abril de 2010 para los seis países. Con excepción de México, la mayor parte de los instrumentos transados consiste en forwards de divisas. Tabla 2. Distribución de las transacciones de instrumentos derivados cambiarios para seis países de América Latina (promedio diario), abril 2010 País Forwards Foreign exchange swaps Currency swaps Opciones Argentina 100.0% 0.00% 0.0% 0.0% Brasil 71.0% 5.4% 7.8% 15.7% Chile 74.4% 18.3% 7.2% 0.1% Colombia 94.3% 2.8% 1.2% 1.7% México 8.1% 89.0% 1.3% 1.5% Perú 94.4% 3.9% 0.7% 0.9% Fuente: Elaboración propia a partir de datos de BIS (2010). 3 Fuente: Encuesta sobre transacciones en mercados cambiarios, para los mercados spot y de derivados. La encuesta se realizó en seis países de América Latina, por lo que las estimaciones realizadas para este informe podrían sub-representar el total de transacciones realizadas por los países latinoamericanos. Sin embargo, la encuesta incluye algunos de los mercados más grandes de la región (Brasil, México), por lo que las subestimaciones podrían no ser muy significativas. 4 En el anexo se pueden encontrar las definiciones de estos instrumentos.

25 Oeconomia 303 La diversidad de instrumentos de cobertura cambiaria varía de acuerdo al país. Las transacciones de forwards de divisas en Brasil y Chile representan el 71.0% y el 74.4% del total de las transacciones de instrumentos de divisas, respectivamente. No obstante ambos mercados ofrecen mayor oferta de instrumentos. En el caso de Brasil, las transacciones de opciones representan el 15.7% del total de las transacciones de derivados en 2010; en Chile, las transacciones de divisas mediante foreign exchange swaps representan el 18.3%. Cabe resaltar que Argentina transa exclusivamente con forwards, mientras otros mercados de derivados cambiarios presentan mayor diversidad de instrumentos. Tabla 3. Promedio de transacciones diarias en el mercado de derivados cambiarios como porcentaje de transacciones en mercado cambiario, País Argentina Brasil Chile Colombia México Perú Fuente: Elaboración propia a partir de datos de BIS (2010). Por otra parte, las transacciones cambiarias mediante derivados han ganado más ponderación en el mercado global de transacciones (Tabla 3). En los casos de Chile y México, en el 2010 el 51.4% y 68.9% de las transacciones diarias de divisas se realizaron mediante derivados. Otros mercados latinoamericanos muestran un crecimiento importante en este tipo de instrumentos, como Perú, donde el porcentaje de operaciones diarias ha pasado de 14.8% en 2004 a 28.6% en 2010; en Colombia, estos porcentajes pasaron de 20.7% en 2001 a 37.0% en Figura 1. Monto de Transacciones con derivados cambiarios (Promedios Diarios) En millones de US$ 1,100 1, Millones de US$ Argentina Colombia Perú Fuente: Elaboración propia a partir de datos de BIS (2010)

26 304 Banco Central de la República Dominicana Figura 2. Monto de Transacciones con derivados cambiarios (Promedios Diarios) En millones de US$ Millones de US$ 12,000 10,000 8,000 6,000 4,000 2, , , , , , , , , , , Brasil Chile México Fuente: Elaboración propia a partir de datos de BIS (2010). De acuerdo a las Figuras 1 y 2, la presencia de derivados incrementó en la década de 2000 en los países latinoamericanos para los que se tiene información. De nuevo resalta el crecimiento de los mercados derivados cambiarios en México, con un crecimiento absoluto en su promedio de transacciones diarias de US$9,326 millones. De manera similar, en Brasil y Chile, el promedio de transacciones diarias de derivados cambiarios se han incrementado entre 1998 y 2010 en US$5,351.1 y US$2,383.4 millones, respectivamente. De este grupo de países, Argentina es el único en donde se han reducido este tipo de transacciones. En este sentido es de notar el incremento de las transacciones en Brasil y México entre 2004 y III. Experiencia en el uso de derivados por parte de empresas Gran parte de la evidencia encontrada utiliza como metodología encuestas para empresas financieras y no financieras, intentando estudiar los factores que influyen en el uso (o no uso) de estos instrumentos. Kamil y Sutton (2008) indican que las empresas de varios países (Argentina, Brasil, Chile, Colombia, México y Perú) están más conscientes de los riesgos por descalce cambiario y buscan protegerse de los mismos. Parte de esta protección viene dada por mecanismos de protección naturales (ingreso de divisas por exportaciones y tenencia de activos en US$), financiamiento local y, a partir de la década de 2000, instrumentos de cobertura financiera. Otro punto señalado por los autores fue la creciente utilización de derivados por cobertura cambiaria, quintuplicándose en Colombia y Chile entre 2003 y Por otra parte, Cowan, Hansen y Herrera (2005) estudian el fenómeno del descalce de monedas en empresas no financieras chilenas, y señalan la importancia de los instrumentos debido al