EXÁMENES DE SELECTIVIDAD DE LA COMUNIDAD VALENCIANA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II NOMBRE:

Transcripción

1 EXÁMENES DE SELECTIVIDAD DE LA COMUNIDAD VALENCIANA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II NOMBRE:

2 Junio 2007 (A) PROBLEMA 1 Dada la matriz A = 1 2, calcula A A t 5 A -1, siendo A t y A -1 las matrices traspuesta e inversa de A, 1 3 respectivamente 2

3 Junio 2007 (A) PROBLEMA 2 Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de abono, A y B, a partir de dos materias primas M 1 y M 2. Para fabricar 1 tonelada métrica de A hacen falta 500 kg de M 1 y 750 kg de M 2, mientras que las cantidades de M 1 y M 2 utilizadas para fabricar 1 tonelada de B son 800 kg y 400kg, respectivamente. La empresa tiene contratado un máximo de 10 toneladas de cada materia prima y vende a y cada tonelada de abono de A y B, respectivamente. Sabiendo que la demanda de B nunca llega a triplicar la de A, cuántas toneladas de cada abono debe fabricar para maximizar sus ingresos y cuáles son éstos? 3

4 Junio 2007 (A) PROBLEMA 3. a) Estudia la continuidad de la función y = f(x) en el intervalo [ 4, 2 ], siendo 2 x 3 f( x)= x 2-3 x 1 1 x 1 b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas. 4

5 Junio 2007 (A) PROBLEMA 4 Un test para detectar si una persona es portadora del virus de la gripe aviar da positivos en el 96% de los paciente que la padecen y da negativo en el 94% de los pacientes que no la padecen. Si una de cada ciento cuarenta y cinco personas es portadora del virus y una persona se somete al test, calcula: a) La probabilidad de que el test dé positivo. b) La probabilidad de que sea portadora del virus, si el resultado del test es positivo. c) La probabilidad de que el test sea negativo y no sea portadora del virus. 5

6 Junio 2007 (B) PROBLEMA 1 Los tres modelos existentes de una marca de automóviles cuestan , y euros, respectivamente. Un concesionario ha ingresado euros por la venta de automóviles de esta marca. Cuántos coches ha vendido de cada modelo si del más barato se vendieron tantos como de los otros dos juntos y del más caro la tercera parte de los coches que cuestan euros? 6

7 Junio 2007 (B) PROBLEMA 2 a) Representar gráficamente el conjunto de soluciones del sistema determinado por las inecuaciones: 3y 4x 8 0, y 4 x + 4, y 2, x 1 b) Halla los vértices de la región anterior. c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f(x,y) =3x y en dicha región. Determina dicho valor mínimo. 7

8 Junio 2007 (B) PROBLEMA 3 La función y = f(x) tiene las siguientes propiedades: Su dominio es la recta real salvo los puntos 1 y 1. Es continua en todo su dominio y corta al eje OX en el punto ( 2, 0 ). Tiene una asíntota horizontal en y = 0, con f(x) < 0 si x>2 y f(x)>0 si x<2 Tiene una asíntota vertical en x = 1, lim= + y lim = + x 1 + x 1 Tiene una asíntota vertical en x = 1, lim= + y lim = + x 1 + x 1 Tiene un mínimo en ( 4, 2 ) y otro en ( 0, 3 ). No tiene máximos. a) Representa gráficamente dicha función. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 8

9 Junio 2007 (B) PROBLEMA 4 La probabilidad de que haya un incidente en una fábrica que dispone de alarma es 0 1. La probabilidad de que suene ésta si se ha producido algún incidente es 0 97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es a) Calcula la probabilidad de que no suene la alarma. b) En el supuesto de que haya funcionado la alarma, cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? 9

10 Septiembre 2007 (A) PROBLEMA 1 Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cada gramo del complemento A contiene 2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento B contiene 2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. Cuántos gramos de cada complemento son necesarios para producir exactamente una dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos? 10

11 PROBLEMA 2 a) Halla los vértices de la región determinada por las siguientes inecuaciones: 3x + y 12, x - 2y 3, y x 2, 2x + 3y 1 2 Septiembre 2007 (A) b) Calcula los puntos de la región donde la función f x, y ( )= 3x 2y alcanza los valores máximo y mínimo y determina éstos. 11

12 Septiembre 2007 (A) PROBLEMA 3 Dada la función: x x 2 f( x)= x 2-6x x 4 2x + a 4 x 8 a) Halla el valor de a para que la función y = f(x) sea continua en el intervalo [0,8]. b) Halla los máximos y mínimos absolutos de y = f(x) en el intervalo [0,4]. Justifica que los puntos encontrados son máximos y mínimos absolutos. c) Calcula el área de la región del plano limitada por las rectas de ecuación y = 0, x = 0, x = 3 y la gráfica de y = f(x). 12

13 PROBLEMA 4 Se sabe que p(a) = 0,4, p(b) = 0,6 y p(ab) = 0,7. a) Son independientes los sucesos A y B? Por qué? b) Calcula p(a B), donde B denota el suceso contrario o complementario de B. c) Calcula p( A B) Septiembre 2007 (A) 13

14 PROBLEMA 1 Obtén todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + y + z = 1 2x y + z = 0 2x + 7y + z = 4 Septiembre 2007 (B) 14

15 PROBLEMA 2 Dada la función f( x)= x 2 + 4, se pide: 2x 3 a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. Septiembre 2007 (B) 15

16 Septiembre 2007 (B) PROBLEMA 3 Dada la función y = x 3 9 x x + 3 : a) Calcula los máximos y mínimos locales. Justifica que los puntos encontrados son máximos y mínimos locales. b) Halla el área de la región del plano determinada por la gráfica de y = f(x) y las rectas y = 0, x = 0, y x = 5. 16

17 Septiembre 2007 (B) PROBLEMA 4 De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace 2 dianas de cada 3 disparos, y el otro consigue 3 dianas de cada 4 disparos. Si los dos disparan simultáneamente, calcula: a) La probabilidad de que los dos acierten. b) La probabilidad de que uno acierte y el otro no. c) La probabilidad de que ninguno acierte. d) La probabilidad de que alguno acierte. e) Sumar las probabilidades de a), b) y c), justificando la suma obtenida. 17

18 Junio 2008 (A) PROBLEMA 1 Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje entre urbanizaciones diferentes. Las ganancias por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de euros, euros por una en la urbanización B y por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio por las vendidas en la urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B. 18

19 Junio 2008 (A) PROBLEMA 2 a) Representar gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones: 3x + 2y 0 x - 2y 1 5x + 4y 16 x y 5 b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior. c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f(x,y) = 3x y en dicha región. Determina dicho valor mínimo. 19

20 Junio 2008 (A) PROBLEMA 3 a) Calcula los máximos y mínimos absolutos de la función f(x)= x 3 6x 2 + 9x +1 en el intervalo [1, 4 ]. Justifica que los puntos encontrados son máximos o mínimos absolutos. b) Estudia la continuidad en el intervalo [0,4] de la siguiente función: 2x x <1 f( x)= x 3-6x 2 +9x +1 1 x 4 20

21 PROBLEMA 4 Dados los sucesos A y B, sabemos que p(a B) = 0'1, p(a B) = 0' 7 y p(a B) = 0'2 Calcula a) Calcula p(a) y p(b) b) Son independientes los sucesos A y B? Por qué? c) Calcula p(a B), donde A representa el suceso complementario de A. Junio 2008 (A) 21

22 Junio 2008 (B) PROBLEMA 1 Determina la matriz X que verifica AX + I = AB t, siendo I la matriz identidad, A = 1 1, B = 2 1 y B t la traspuesta de la matriz B 22

23 PROBLEMA 2 Dada la función f x ( )= x 2 4 x 2 a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos relativos. e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente. Junio 2008 (B) 23

24 Junio 2008 (B) PROBLEMA 3 El coste de fabricación en euros de x unidades de un artículo viene dado por la función f( x)= x 2 x + 20 a) Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario? b) Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo. 24

25 Junio 2008 (B) PROBLEMA 4 La El 60% de los alumnos de cierta asignatura aprueba en junio. El 80% de los presentado en septiembre también aprueba la asignatura. Sabiendo que los alumnos que se presentaron en septiembre son todos los que no aprobaron en junio, determina: a) La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar haya aprobado la asignatura. b) Si sabemos que un estudiante ha aprobado la asignatura, la probabilidad de que haya sido en junio. 25

26 Septiembre 2008 (A) PROBLEMA 1 Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo íntegramente comprando un ordenador portátil, una cámara y haciendo un viaje. El precio del ordenador portátil excede en 140 euros a la suma de los precios de la cámara y el viaje. Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es la mitad que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en caso de que no se comprara la cámara digital y todavía le quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje. 26

27 PROBLEMA 2 Dada la función f x ( )= x 3 1 x 2 a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. Septiembre 2008 (A) 27

28 Septiembre 2008 (A) PROBLEMA 3 Obtén los parámetros r, s y t para que la función: f(x) = x 3 + r x 2 + s x + t tenga un máximo en x = 2, un mínimo en x = 0 y pase por el punto ( 1, 1 ) 28

29 Septiembre 2008 (A) PROBLEMA 4 Una empresa automovilística fabrica su modelo Assegurat en cuatro factorías distintas, A, B, C y D. La factoría A produce el 40% de los coches de este modelo con un 5% de defectuosos, la B produce el 30% con un 4% de defectuosos, la C el 20% con un 3% de defectuosos y, por último, la factoría D el 10% restante con un 2% de defectuosos. Si elegimos un coche del modelo Assegurat al azar, calcula: a) La probabilidad de que sea defectuoso. b) Si no es defectuoso, la probabilidad de que haya sido fabricado en la factoría C. 29

30 PROBLEMA 1 Dada la matriz A = a) Halla su inversa. b) Resuelve la ecuación XA 2 + 5A = Septiembre 2008 (B) 30

31 Septiembre 2008 (B) PROBLEMA 2 Cierto armador se dedica a la pesca de rape y merluza. Las cuotas pesqueras imponen que sus capturas totales no excedan las 30 toneladas Tm. Por otro lado, la cantidad de rape como máximo puede triplicar a la de la merluza y, además, esta última no puede superar las 18 Tm. Si el precio del rape es de 15 /kg y el de la merluza 10 /Kg. qué cantidades de cada especie debe pescar para maximizar sus ingresos? 31

32 Septiembre 2008 (B) PROBLEMA 3 La cuenta de resultados (pérdidas o ganancias) en millones de euros, y, de una empresa vienen dadas por la siguiente función de los años de existencia de la misma: a) A partir de qué año deja la empresa de tener pérdidas? b) En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máximas? A cuánto ascienden éstas? c) Describe la evolución de la cuenta de resultados de la empresa. Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo?. 32

33 PROBLEMA 4 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que P(A) = 0 7, P(B) = 0 2 y P(A / B) = 1. a) Calcula las probabilidades siguientes: P( A B), P( A B) y P( B A) b) Son los sucesos A y B independientes? Septiembre 2008 (B) 33

34 Junio 2009 PROBLEMA A1 Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg de manzanas y 230 de peras. Para ello prepara dos bolsas de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A se obtiene un beneficio de 2,50 euros y 3 euros por cada una del tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas, cuántas bolsas de cada tipo debe preparar para maximizar sus ganancias? Cuál es el beneficio máximo? 34

35 PROBLEMA A2 Resuelve el sistema: x + y z = 2 2x + z = 3 x + 5y 7z = 4 Si ( x, y, 0 ) es una solución del sistema anterior, cuáles son los valores de x y de y? Junio

36 Junio 2009 PROBLEMA B1 Dada la siguiente función: x x 1 f (x) = x 1 1 x < 4 x 2 + 2x 6 4 x < 6 a) Estudia la continuidad de la función f(x) en el intervalo ] 2, 6 [. b) Calcula el área de la región del plano limitada por y = f(x) y por las rectas y = 0, x = 1 y x = 5. 36

37 PROBLEMA B2 Dada la función f(x) = x 3 6 x, se pide a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. Junio

38 Junio 2009 PROBLEMA C1 Al 20% de los alumnos de 2º de Bachillerato les gusta un grupo musical A, mientras que al 80% restante no le gusta este grupo. En cambio otro grupo musical B gusta a la mitad y no a la otra mitad. Hay un 30% de alumnos de 2º de Bachillerato al que no gusta ninguno de los dos grupos. Si se elige un estudiante de 2º Bachillerato al azar: a) Cuál es la probabilidad de que le gusten los dos grupos? b) Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los grupos? c) Cuál es la probabilidad de que le guste el grupo B y no el grupo A? 38

39 Junio 2009 PROBLEMA C2 El 52% de los habitantes en edad de votar de cierto municipio son hombres. Los resultados de un sondeo electoral determinan que el 70% de las mujeres opina que va a ganar el candidato A, mientras que el 35% de los hombres cree que ganará el candidato B. Si todos los habitantes han optado por un candidato, contesta las siguientes preguntas: a) Si hemos preguntado a una persona que cree que ganará B, cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea mujer o crea que va a ganar el candidato A? 39

40 Junio 2009 PROBLEMA D1 El rendimiento de cierto producto en función del tiempo de uso (medido en años) viene dado por la expresión: f( x)= 8,5 + 3x 1+ x, x 0 2 a) Existen intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? Y en los que decrece? Cuáles son? b) En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? Cuánto vale éste? c) Por mucho que pase el tiempo, puede llegar a ser el rendimiento inferior al rendimiento que el producto tenía inicialmente? Por qué? 40

41 PROBLEMA D2 Dada la función f(x) = x 3 12 x + 7, se pide a) Hallar sus máximos y mínimos relativos. b) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [ 3, 3 ]. c) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [ 4, 4 ]. d) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [ 5, 5 ]. Junio

42 Septiembre 2009 PROBLEMA A1 x Obtén todas las matrices columna X = y que sean soluciones de la ecuación matricial AX=B, siendo z A = y B = 1 Cuáles de esas matrices X tienen la primera fila nula?

43 PROBLEMA A2 En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma de los que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que están en contra de la citada normativa. Determina cuántos de los entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y cuántos no opinaron. 43

44 PROBLEMA B1 x Dada la función f( x)=, se pide:, 2 1+ x a) Su dominio y punto de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de las asíntotas horizontales y verticales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. Septiembre

45 Septiembre 2009 PROBLEMA B2 La especialidad de una pastelería es la fabricación de cajas de bombones Xupladitis. Los costes de fabricación, C(x) en euros, están relacionados con el número de cajas producidas, x, mediante la función: C(x) = 0,1 x x Si el precio de venta de una caja de bombones es de 80 euros y se venden todas las cajas producidas, se pide: a) La función de ingresos que obtiene la pastelería con la venta de las cajas. b) La función de beneficios, entendida como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) El número de cajas de bombones que se deben producir para maximizar el beneficio y el beneficio máximo. 45

46 Septiembre 2009 PROBLEMA C1 Cierto estudio de mercado revela que el 50% de los entrevistados consume el producto A, el 40% consume el producto B y el 25% no consume ninguno de ellos. Si seleccionamos al azar un individuo de los entrevistados, expresa los siguientes sucesos en función de los sucesos simples A={Consumir A} y B={Consumir B}, y calcula su probabilidad a) Que consuma los dos productos. b) Que sólo consuma uno de los productos. c) Si sabemos que consume el producto A, que consuma también el B. 46

47 Septiembre 2009 PROBLEMA C2 Se realiza un estudio de mercado sobre la venta de turismos y coches todoterreno y se observa que el 20% de las compras de todoterreno corresponden a personas que adquieren un coche por primera vez, mientras que este porcentaje se duplica en el caso de los turismos. Además, el 75% de las ventas de coches corresponde a turismos. a) Cuál es la probabilidad de elegir una persona que ha comprado un coche y que éste no sea el primer coche que compra? b) Cuál es la probabilidad de que el primer coche adquirido por una persona sea un turismo? c) Cuál es la probabilidad de elegir una persona que ha comprado un coche y que éste no sea el primer coche que compra y, además, sea un todoterreno? 47

48 Septiembre 2009 PROBLEMA D1 Una empresa va a construir dos tipos de apartamentos, uno de lujo y otro de superlujo. El coste del modelo de lujo es de 1 millón de euros y del de superlujo 1,5 millones, disponiendo para la operación 60 millones de euros. Para evitar riesgos, se cree conveniente construir al menos tantos apartamento de lujo como de superlujo y, en todo caso, no construir más de 45 apartamentos de lujo. Cuántos apartamentos de cada tipo le interesa construir a la empresa si quiere maximizar el número total de apartamentos construidos? Agotará el presupuesto disponible? 48

49 Septiembre 2009 PROBLEMA D2 Dado el siguiente sistema de inecuaciones x 2 x + 3y y 4x 6 3y x 4 y x 2 a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del mismo y determina sus vértices. b) Obtén los puntos donde la función f(x, y) = 2 x 3 y alcanza los valores mínimo y máximo en dicha región. 49

50 Junio 2010 (A) PROBLEMA 1 En un horno mallorquín se fabrican dos tipos de ensaimadas, grandes y pequeñas. Cada ensaimada grande requiere para su elaboración 500 g. de masa y 250 g. de relleno, mientras que una pequeña requiere 250 g. de masa y 250 g. de relleno. Se dispone de 20 kg. de masa y 15 kg. de relleno. El beneficio obtenido por la venta de una ensaimada grande es de 2 euros y el de una pequeña es de 1,5 euros. a) Cuántas ensaimadas de cada tipo tiene que fabricar el horno para que el beneficio obtenido sea máximo? b) Cuál es el beneficio máximo? 50

51 PROBLEMA 2 Dada la función f( x)= x 2 +1, se pide:, x 2 9 a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de las asíntotas horizontales y verticales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. Junio 2010 (A) 51

52 PROBLEMA 3 Se sabe que p(b/a) = 0 9, p(a/b) = 0 2 y p(a) = 0 1. a) Calcula p(a B) y P(B) b) Son independientes los sucesos A y B? Por qué? c) Calcula p(a B), donde B representa el suceso complementario de B. Junio 2010 (A) 52

53 PROBLEMA 1 Obtén la matriz X que verifica: X 3 2 = Junio 2010 (B) 53

54 Junio 2010 (B) PROBLEMA 2 La siguiente función representa la valoración de una empresa en millones de euros en función del tiempo, t, a lo largo de los últimos 13 años: 5 0,1t 0 t 5 f (t) = 4,5 + 0,05( t 5) 5 t <10 4,75 + 0,1( t 10) 2 10 t 13 Estudia analíticamente en el intervalo [0, 13]: a) Si la función f(t) es o no continua, indicando en caso negativo los puntos de discontinuidad. b) Instante t en el que la valoración de la empresa es máxima y dicha valoración máxima. c) Instante t en el que la valoración de la empresa es mínima y dicha valoración mínima.. 54

55 Junio 2010 (B) PROBLEMA 3 Al 80% de los miembros de una sociedad gastronómica les gusta el vino Raïm Negre. Entre estos, al 75% le gusta el queso de cabra. Además, a un 4% de los miembros de esta sociedad no le gusta el vino Raïm Negre ni el queso de cabra. a) A qué porcentaje le gusta tanto el Raïm Negre como el queso de cabra? b) A qué porcentaje no le gusta el queso de cabra? c) Si a un miembro de la sociedad le gusta el queso de cabra, cuál es la probabilidad de que le guste el vino Raïm Negre? d) A qué porcentaje de gusta el vino Raïm Negre entre aquellos a los que no les gusta el queso de cabra? 55

56 Septiembre 2010 (A) PROBLEMA 1 Un ganadero dispone de alimento concentrado y forraje para alimentar sus vacas. Cada kg. de alimento concentrado contiene 300 gr. de Proteína Cruda (PC), 100 gr. de Fibra Cruda (FC) y 2 Mcal. de Energía Neta de Lactancia (ENL) y su coste es 11 euros. Por su parte, cada kg. de forraje contiene 400gr. de PC, 300 gr. de FC y 1 Mcal. de ENL, siendo su coste de 6,50 euros. Determina la ración alimenticia de mínimo coste si sabemos que cada vaca debe ingerir al menos 3500 gr. de PC, 1500 gr. de FC y 15 Mcal. de ENL. Cuál es su coste? 56

57 Septiembre 2010 (A) PROBLEMA 2 Una pastelería ha comprobado que el número de pasteles de un determinado tipo que vende semanalmente depende de su precio p en euros, según la función: n(p) = p donde n(p) es el número de pasteles vendidos cada semana. Calcula: a) La función I(p) que expresa los ingresos semanales de la pastelería en función del precio p de cada pastel. b) El precio al que hay que vender cada pastel para obtener los ingresos semanales máximos. A cuánto ascenderán dichos ingresos máximos? Justifica la respuesta.. 57

58 Septiembre 2010 (A) PROBLEMA 3 En un colegio se va a hacer una excursión a una estación de esquí con tres autobuses: uno grande, uno mediano y uno pequeño. La cuarta parte de los alumnos apuntados a la excursión irá en el autobús pequeño, la tercera parte en el mediano y el resto en el grande. Saben esquiar el 80% de los alumnos que viajarán en el autobús pequeño, el 60% de los que irán en el mediano y el 40% de los del autobús grande. a) Calcula la probabilidad de que un alumno de la excursión, elegido al azar, sepa esquiar. b) Elegimos un alumno de la excursión al azar y se observa que no sabe esquiar. Cuál es la probabilidad de que viaje en el autobús mediano? c) Se toma un alumno de la excursión al azar y se observa que sabe esquiar. Cuál es la probabilidad de que viaje en el autobús grande o en el pequeño? 58

59 Septiembre 2010 (B) PROBLEMA 1 En un cine se han vendido en una semana un total de 1405 entradas y la recaudación ha sido de 7920 euros. El precio de la entrada normal es de 6 euros y la del día del espectador 4 euros. El precio de la entrada para los jubilados es siempre de 3 euros. Se sabe, además, que la recaudación de las entradas de precio reducido es igual al 10% de la recaudación de las entradas normales. Cuántas entradas de cada tipo se han vendido? 59

60 Septiembre 2010 (B) PROBLEMA 2 Sea la función: 2 1 x 2 x f( x)= 1 2 < x 3 x 2 + 6x 8 3 < x < x 5 definida en el intervalo [ 1, 5 ]. Se pide: a) Estudia la continuidad en todos los puntos del intervalo [ 1, 5 ]. b) Calcula el área de la región del plano limitada por el eje de abcisas, las rectas x = 2 y x = 4 y la gráfica de y = f(x). 60

61 Septiembre 2010 (B) PROBLEMA 3 Se tiene 10 monedas en una bolsa. Seis monedas son legales mientras que las restantes tienen dos caras. Se elige al azar una moneda. a) Calcula la probabilidad de obtener cara al lanzarla. b) Si al lanzarla se ha obtenido cara, cuál es la probabilidad de que la moneda sea de curso legal? Si se sacan dos monedas al azar sucesivamente y sin reemplazamiento c) Cuál es la probabilidad de que una sea legal y la otra no lo sea? 61

62 Junio 2011 (A) PROBLEMA 1 Un comerciante vende tres tipos de relojes, A, B y C. Los del tipo A los vende a 200 euros, los del tipo B a 500 euros y los del tipo C a 250 euros. En un mes determinado vendió 200 relojes en total. Si la cantidad de los que vendió ese mes del tipo B fue igual a los que vendió de tipo A y de tipo C conjuntamente, calcula cuántos vendió de cada tipo si la recaudación de ese mes fue de euros. 62

63 PROBLEMA 2 Sea la función f( x)= 3x + 2 x 2 1 a) Ecuación de las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Máximos y mínimos locales. Junio 2011 (A) 63

64 Junio 2011 (A) PROBLEMA 3. En un instituto se estudian tres modalidades de Bachillerato: Tecnología, Humanidades y Artes. El curso pasado el 25% de los alumnos estudió Tecnología, el 60% Humanidades y el 15% Artes. En la convocatoria de junio aprobó todas las asignaturas el 70% de los estudiantes de Tecnología, el 80% de los de Humanidades y el 90% de los de Artes. Si se elige un estudiante al azar del curso pasado de ese instituto: a) Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado todas las asignatura en la convocatoria de junio? b) Si nos dice que ha aprobado todas las asignaturas en la convocatoria de junio, cuál es la probabilidad de que haya estudiado Humanidades? 64

65 PROBLEMA 1 Dadas las matrices A = 1 2, B = 1 0 y C = a) Calcula la matriz inversa de la matriz C. b) Obtén la matriz X que verifica AX + B t = C, siendo B t la matriz traspuesta de B. Junio 2011 (B) 65

66 Junio 2011 (B) PROBLEMA 2 Dada la función f( x)= 3x + 2, se pide: x 2 1 a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo [ 0, 3 ]. b) Calcula los máximos y mínimos absolutos de f(x). c) Calcula el área de la región determinada por la gráfica de la función y las rectas x = 0, y = 0 y x = 3. 66

67 Junio 2011 (B) PROBLEMA 3 Se realiza un análisis de mercado para estudiar la aceptación de las revistas A y B. Este refleja que del total de entrevistados que conocen ambas revistas, al 75% les gusta la revista A, al 30% no les gusta la revista B y si les gusta la revista A y al 15% no les gusta ninguna de las dos. Suponiendo que estos datos son representativos de toda la población y que se ha elegido al azar un individuo que conoce ambas revistas, se pide a) La probabilidad de que le gusten las dos revistas. b) La probabilidad de que le guste la revista B. c) Si sabemos que le gusta la revista A, la probabilidad de que no le guste la revista B. 67

68 Septiembre 2011 (A) PROBLEMA 1 El dueño de una tienda de golosinas dispone de 10 paquetes de pipas, 30 chicles y 18 bombones. Decide que para venderlas mejor va a confeccionar dos tipos de paquetes. El tipo A estará formado por un paquete de pipas, dos chicles y dos bombones y se venderá a 1,50 euros. El tipo B estará formado por un paquete de pipas, cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2 euros. Cuántos paquetes de cada tipo conviene preparar para conseguir los ingresos máximos? Determina los ingresos máximos. 68

69 PROBLEMA 2 Dada la función f( x)= 3x + 2, se pide: x 2 1 a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximo y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. Septiembre 2011 (A) 69

70 Septiembre 2011 (A) PROBLEMA 3 En una cierta empresa de exportación el 62,5% de los empleados habla inglés. Por otra parte, entre los empleados que hablan inglés, el 80% habla también alemán. Se sabe que sólo la tercera parte de los empleados que no hablan inglés si habla alemán. a) Qué porcentaje de empleados habla las dos lenguas? b) Qué porcentaje de empleados habla las dos lenguas? c) Si un empleado no habla alemán, cuál es la probabilidad de que hable inglés? 70

71 PROBLEMA 1 Sean las matrices A = 3 1, B = 1 2, C = 2 1 y A = a) Calcula A B + 3 C b) Determina la matriz X que verifica A X + I = D, donde I es la matriz identidad. Septiembre 2011 (B) 71

72 Septiembre 2011 (B) PROBLEMA 2 Un ganadero ordeña una vaca desde el día siguiente al día que ésta pare hasta 300 días después del parto. La producción diaria en litros de leche que obtiene de dicha vaca viene dada por la función: f( x)= 120 x donde x representa el número de días transcurridos desde el parto. Se pide: a) El día de máxima producción y la producción máxima. b) El día de mínima producción y la producción mínima. 72

73 Septiembre 2011 (B) PROBLEMA 3 En un instituto hay dos grupos de segundo de Bachillerato. En el grupo A hay 10 chicas y 15 chicos, de los que 2 chicas y 2 chicos cursan francés. En el grupo B hay 12 chicas y 13 chicos, de los que 2 chicas y 3 chicos cursan francés. a) Se elige una persona de segundo de Bachillerato al azar. Cuál es a probabilidad de que no curse francés? b) Sabemos que una determinada persona matriculada en segundo de Bachillerato cursa francés. Cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo B? c) Se elige al azar una persona de segundo de Bachillerato del grupo A. Cuál es a probabilidad de que sea un chico y no curse francés? 73

74 Junio 2012 (A) PROBLEMA 1 Un comerciante quiere invertir hasta 1000 euros en la compra de dos tipos de aparatos, A y B, pudiendo almacenar en total hasta 80 aparatos. Cada aparato de tipo A le cuesta 15 euros y lo vende a 22, cada uno del tipo B le cuesta 11 y lo vende a 17 euros. Cuántos aparatos debe comprar de cada tipo para maximizar su beneficio? Cuál es el beneficio máximo?. 74

75 Junio 2012 (A) PROBLEMA 2 Dibuja la gráfica de la función y = f(x), sabiendo que: a) Está definida para todos los valores de x salvo para x = 1, siendo la recta x = 1 la única asíntota vertical. b) La recta y = 3 es la única asíntota horizontal. c) El único punto de corte con los eje es el ( 0, 0 ) d) La derivada de la función y = f(x) sólo se anula en x = 3/2. e) f (x) < 0 en el conjunto ], 1 [ ] 1, 3/2 [. f) f (x) > 0 en el intervalo ] 3/2, + [. g) f(3/2) = 13/2 75

76 Junio 2012 (A) PROBLEMA 3 El 15% de los habitantes de cierta población son socios de un club de futbol y el 3% son pelirrojos. Si los sucesos ser socio de un club de futbol y ser pelirrojo son independientes, calcula las probabilidades de que al elegir al azar un habitante de esa población, dicho habitante a) Sea pelirrojo y no sea socio de un club de futbol. b) Sea pelirrojo o sea socio de un club de futbol. c) Sea socio de un club de futbol si sabemos que no es pelirrojo. 76

77 Junio 2012 (B) PROBLEMA 1 Dadas las matrices A = y B = , obtén las matrices de la forma X = x 0 que satisfacen la y z relación AX-XA=B 77

78 Junio 2012 (B) PROBLEMA 2 Una empresa dispone de 15 comerciales que proporcionan unos ingresos por ventas de 5750 euros mensuales cada uno. Se calcula que por cada nuevo comercial que contrate la empresa los ingresos de cada uno disminuyen en 250 euros. Calcula: a) Los ingresos mensuales de la empresa proporcionados por los 15 comerciales. b) La función que determina los ingresos mensuales que se obtendrían si se contrataran x comerciales más. c) El número total de comerciales que debe tener la empresa para que los ingresos por este medio sean máximos. d) Los ingresos máximos. 78

79 Junio 2012 (B) PROBLEMA 3 Tenemos tres urnas: la primera contiene 3 bolas azules, la segunda 2 bolas azules y 2 rojas y la tercera, 1 bola azul y 3 rojas. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola. Calcula: a) La probabilidad de que la bola extraída sea roja. b) La probabilidad de que se haya elegido la segunda urna si la bola extraída ha sido roja. 79

80 Problema 1 ÁLGEBRA PROBABILIDAD- PROGRAMACIÓN LINEAL ANÁLISIS Septiembre 2012 (A) Plantea y escribe el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es: 3 término independiente es 0. Resuelve el sistema y cuyo

81 Septiembre 2012 (A) Problema 2 Se estima que el beneficio anual B(t), en %, que produce cierta inversión viene determinado por el tiempo t en meses que se mantiene dicha inversión a través de la siguiente expresión 36t B( t)= t , t 0 a) Describe la evolución del beneficio en función del tiempo durante los primeros 30 meses. b) Calcula, razonadamente, cuánto tiempo debe mantenerse dicha inversión para que el beneficio sea máximo. Cuál es el beneficio máximo? c) Cuál sería el beneficio de dicha inversión si ésta se mantuviera en el tiempo de forma indefinida? 81

82 Septiembre 2012 (A) Problema 3 Se ha hecho un estudio de un nuevo tratamiento en un colectivo de 120 personas aquejadas de cierta enfermedad, 30 de las cuales ya habían padecido la enfermedad con anterioridad. Entre las que habían padecido la enfermedad con anterioridad, el 80% ha reaccionado positivamente al nuevo tratamiento. Entre las que no la habían padecido, ha sido el 90% el que reaccionó positivamente. a) Si elegimos un paciente al azar, cuál es la probabilidad de que no reaccione positivamente al nuevo tratamiento? b) Si un paciente ha reaccionado positivamente el tratamiento, cuál es la probabilidad de que no haya padecido la enfermedad con anterioridad? c) Si elegimos dos pacientes al azar, cuál es la probabilidad de que los dos pacientes hayan padecido la enfermedad con anterioridad? 82

83 Septiembre 2012 (B) Problema 1 Sea el siguiente sistema de inecuaciones lineales: x + y 1 x + y 2 x + y 1 x y 1 a) Resuélvelo gráficamente. b) Halla el máximo y el mínimo de la función z = 2 x + y en el conjunto solución de dicho sistema. 83

84 Problema 2 Sea la función f(x) = ( x 2 + x ) 2. Se pide a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Los máximos y mínimos locales. e) La representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores Septiembre 2012 (B) 84

85 Septiembre 2012 (B) Problema 3 Una urna A contiene cinco bolas rojas y dos azules. Otra urna B contiene cuatro bolas rojas y una azul. Tomamos al azar una bola de la urna A y, sin mirarla, la pasamos a la urna B. A continuación extraemos con reemplazamiento dos bolas de la urna B. Halla la probabilidad de que: a) Ambas bolas sean de color rojo. b) Ambas bolas sean de distinto color. c) Si la primera bola extraída es roja, cuál es la probabilidad de que la bola que hemos pasado de la urna A a la urna B haya sido azul? 85

86 ÁLGEBRA PROBABILIDAD- PROGRAMACIÓN LINEAL ANÁLISIS Junio 2007 (A) 2.- Para maximizar sus ingresos la fábrica debe producir 10 Tm del abono tipo A y 6 25 Tm del tipo B. Con esta producción los ingresos serían de ) 3.- a) En resumen, f(x) es continua en [ 4, 2 ]~{ 3} y en x = 3 tiene una discontinuidad de salto finito b) 31 3 u a) b) 0 1 c) Junio 2007 (B) 1.- Ha vendido 44 coches de 12000, 33 de y 11 de b) A 1 4,3, B(1,4),C(1,2) y D 1 2,2 c) Se alcanza un mínimo en el punto A 1 4,3 con un valor de b) f es creciente en (, 1) ( 0,1) ( 4,+ ), decreciente en ( 1,0) ( 1,4) 4.- a) b) Septiembre 2007 (A) 1.- Son necesarios 5 gramos del complemento A y 1 gramo del complemento B. 2.- a) Los vértices de la región determinada por las inecuaciones son: ( 3, 3 ), ( 4, 0 ), ( 2, 1 ) y ( 1,1 ) b) f(x,y) alcanza el máximo en el punto ( 4, 0 ) y vale 12; y el mínimo en el punto ( 1, 1 ) y vale a) para que f(x) sea continua en el intervalo [ 0, 8 ] debe ser a = 12 b) Por lo tanto el mínimo absoluto está en el punto ( 0, 2 ) y los máximos absolutos en los puntos ( 2, 4 ) y ( 4, 4 ). c) 31 3 u a) A y B no son independientes. b) 0 1 c) x = λ,y = 3 2 2λ,z = λ, λ R 3 Septiembre 2007 (B) 3.- a) Max local (2,23), mínimo local en (4,19)...b) u.a 4.- a) 1 2, b) 5 12,c) 1 11, d) 12 12,e)1 Septiembre 2007 (B) a)

87 Junio 2008 (A) 1.- Ha vendido 30 plazas de garaje en la urbanización A, 15 en la B y 20 en la C 2.- b) A 2, 3, B(4, 1), C(3, 2) y D( 1,1) 2 c)f(x,y) alcanza el mínimo en ( 1, 1 ) y vale a) un mínimo absoluto en ( 3, 1 ) y máximos absolutos en ( 1, 5 ) y ( 4, 5 ) b)f(x) es continua en el intervalo [ 1, 4 ] 4.- a) p(a) = 0,3 y p(b) = 0,5 b) A y B no son sucesos independientes c) p(a B) = X = Junio 2008 (B) 3.- a) f( x)= x 2 x + 20 x =1,2,3 x b) el coste mínimo para una producción de 400 unidades y es de a) 0 92 b)0 65 Septiembre 2008 (A) 1.- El ordenador le costó 756, la cámara 344 y el viaje Los valores buscados son r = 3, s = 0 y t = a) 0 04, b) 0 20 Septiembre 2008 (B) a) A 1 = b) A = Para maximizar sus ingresos debe pescar kg de rape y 7500 kg de merluza 3.- a)es decir que la empresa dejará de tener perdidas a partir del primer año de existencia, b) Por lo tanto la empresa alcanza sus ganancias máximas a los 7 años de su creación y estas ganancias son de c)durante el primer año tiene pérdidas. A partir del segundo año y hasta el séptimo los beneficios crecen hasta alcanzar un máximo de 6 4 millones y a partir del séptimo año los beneficios desciende pero se mantienen por encima de los 5 millones de euros 4.- a) P( A B) =0 2, P( A B)=0 7, P( B A)=0 3 b) No 87

88 Junio 2009 (A) A1. Para maximizar sus ganancias el frutero debe preparar 100 bolsas del tipo A y 200 del tipo B. De esta forma conseguirá un beneficio máximo de 850. A2. x = 3 2,y = 1 2 B1. a) f(x) es continua en ] 2, 6 [ ~ { 1, 4 } y en x = 1 y en x = 4 tiene una discontinuidad de salto finito 59 b) 6 u 2 B2. C1. a) 0 b) 0 7 c) 0 5) C2. a) 0 44 b) 0 82 D1. a) f(x) es creciente en el intervalo ( 0, 1 ) y decreciente en ( 1, + ), b) El valor máximo es 10. c) por mucho que pase el tiempo el rendimiento del producto se mantiene por encima del rendimiento inicial y va acercándose a este valor inicial D2. a) f(x) tiene un máximo relativo en el punto ( 2, 23 ) y un mínimo relativo en el punto ( 2, 9). b) f(x) tiene un máximo relativo en el punto ( 2, 23 ) y un mínimo relativo en el punto ( 2, 9) c) los máximos absolutos son ( 2, 23 ) y ( 4, 23 ) y los mínimos absolutos son ( 2, 9) y ( 4, 9) d) el máximo absoluto es ( 5, 72 ) y el mínimo absoluto es ( 5, 58 ) Septiembre 2009 (A) 2 2λ A1. X = 1+ λ, λ R λ A2. : 240 entrevistados estaban a favor de la normativa, 90 en contra y 30 no opinaron B1. B2. a) I(x) = 80 x, b) B(x)= 0 1 x x 2500 c) Por tanto, para maximizar el beneficio hay que producir 600 cajas de bombones y el beneficio máximo será de C1. C2. a) 0 65 b) 0 3 c) 0 2 D1. El máximo se alcanza en el punto ( 45, 10 ) que significa: la empresa debe construir 45 apartamento de lujo y 10 de superlujo para maximizar el número total de apartamentos construidos con las restricciones impuestas. El coste de construir este número de apartamentos será de, = = , por lo que agota el presupuesto disponible D2. a) A( 2, 0), B( 1, 1), C(2, 2), D(1, 2) y E( 2, 1) b) f(x,y) alcanza su máximo en el punto (1, 2) {que es 8} y su mínimo en el punto ( 1, 1 ) (que es 5) 88

89 Junio 2010 (A) 1.- a) hay que fabricar 20 ensaimadas grandes y 40 pequeñas. b) beneficio máximo de a) p(a B)=0 09 y P(B)=0 45, b) No, c) p(a B) =0 64 Junio 2010 (B) 1.- X = a) f(t) es continua en [ 0, 13 ]. b) La valoración máxima se alcanza a los 13 años y es de 5 65 millones de euros c) La valoración mínima se alcanza a los 5 años y es de 4 5 millones de euros 3.- a) 60% b) 24% c) d) 83,3% Septiembre 2010 (A) 1.- Para que el coste sea mínimo la ración alimenticia debe estar formada por 5 Kg. de alimento concentrado y 5 Kg. de forraje. El coste de esta ración alimenticia será de euros 2.- a) I(p) = 2000 p 1000 p2 y Dom I(p) = [ 0, 2 ] b) Finalmente, hay que vender los pasteles a 1 euro para que el beneficio sea máximo y este beneficio sera de 1000 euros 3.- a) b) c) Septiembre 2010 (B) 1.- Se han vendido 1200 entradas normales, 105 del día del espectador y 100 para jubilados 2.- a) En consecuencia, f(x) es continua en [ 1, 5 ] b) 5/3 u.a 3.- a) 7 10 b) 3 7 c)

90 Junio 2011 (A) 1.- Vendió 30 relojes del tipo A, 100 relojes del tipo B y 70 relojes del tipo C. 2.- a) x = 1 y x=1 son asíntotas verticales. No hay asíntotas horizontals b) f(x) es creciente en, 3 ( ) ( 3,+ ) ( ) 1,0 y decreciente en 3, 1 c) En 3, 3 3 hay un máximo local y en 3, 3 3 hay un mínimo local a)0 21 b) a) C 1 = b) X = a) f(x) es continua en [ 0, 3 ] Junio 2011 (B) ( ) ( ) ( 0,1) 1, 3 b) el máximo absoluto de f(x) es el punto ( 0, 3 ) y el mínimo absoluto es el punto ( 1, 0 ) c) este área mide 11 3 u a) 0 45 b) 0 55 c) 0 4 Septiembre 2011 (A) 1.- Para maximizar sus ingresos el tendero debe preparar 5 paquetes del tipo A y 5 del tipo B. De esta forma conseguirá un ingreso máximo de a) 50% b) 62 5% c) 1/ Sol: a) b) Septiembre 2011 (B) 2.- El día de máxima producción es a los 60 días después del parto y produce l. de leche y el día de mínima producción es a los 300 días después del parto y produce 29 2 l. de leche Sol: a) b) 5 13 c)

91 Junio 2012 (A) 1.- Para maximizar su beneficio debe comprar 30 aparatos del tipo A y 50 del tipo B. De esta forma el beneficio máximo será de a) b) , c) 0 15 Junio 2012 (B) 1.- X( λ)= λ 0, λ R 1 λ a) Según los cálculo efectuados anteriormente, los 15 comerciales proporcionan a la empresa uno ingresos mensuales de b) I(x) = 250 x x c) 19 d) Los ingresos máximos serán de a) b) 0 4 Septiembre 2012 (A) 1.- x = 7, y = 2, z = a)empieza proporcionando un beneficio del 1% y va creciendo hasta los 18 meses en que alcanza su valor máximo, un 2%. A partir de los 18 meses, a medida que aumenta el tiempo que se mantiene la inversión el beneficio desciende y manteniéndola 30 meses alcanza el valor de %. b)el beneficio máximo se alcanza manteniendo la inversión durante 18 meses. Este beneficio máximo es del 2%. c)el beneficio máximo se alcanza manteniendo la inversión durante 18 meses. Este beneficio máximo es del 2%. 3.- a) 1 8 b) c) a) Septiembre 2012 (B) b) Máximo de 3,5 en C 3 2,1 y el mínimo de 1 en A 0, ( ) 3.- a) b) c)