Operaciones morfológicas básicas

Transcripción

1 Operaciones morfológicas básicas La morfología matemática se basa en geometría y forma. Las operaciones morfológicas simplifican imágenes y conservan las principales característica de forma de los objetos. Un sistema de operadores como los de la morfología matemática es útil porque pueden formarse composiciones con sus operadores, que cuando actúan sobre formas complejas, son capaces de descomponerlas en sus partes conocidas y separarlas de las partes que le son extrañas. Un sistema de operadores de este tipo y su composición, permite que las formas subyacentes sean identificadas y reconstruidas de forma óptima a partir de sus formas distorsionadas y ruidosas. La morfología matemática se puede usar, entre otros, con los siguientes objetivos: re-procesamiento de imágenes (supresión de ruidos, simplificación de formas). Destacar la estructura de los objetos (extraer el esqueleto, detección de objetos, envolvente convexa, ampliación, reducción,...) Descripción de objetos (área, perímetro,...) Operaciones básicas sobre conjuntos 1. La traslación de A por x se define como A x = {c tal que c = a + x, para algún a A}. 2. La reflexión de B se define como = {x tal que x = - b, para algún b B}. 3. or último la diferencia de dos conjuntos A y B es: A - B = {x tal que x A, x B} El lenguaje de la morfología matemática binaria es el de la teoría de conjuntos.

2 Las operaciones primarias morfológicas son la erosión y la dilatación. A partir de ellas podemos componer las operaciones de apertura y clausura. Son estas dos operaciones las que tienen mucha relación con la representación de formas, la descomposición y la extracción de primitivas. Dilatación binaria Dada una imagen A, y un elemento estructural B, (ambos imágenes binarias con fondo blanco), la dilatación de A por B se define como: A B = {x tal que ( ) x A } Tengamos en cuenta que, para la intersección sólo consideramos los píxeles negro de A y B. En la práctica los conjuntos A y B no son simétricos. El primer elemento de la dilatación, A, está asociado con la imagen que se está procesando y el segundo recibe el nombre de elemento estructural, la forma que actúa sobre A en la dilatación para producir A B. Cuando se realiza una dilatación con un elemento estructural que no contiene el cero, lo que realizamos es la expansión de una imagen y es fácil pensar en una implementación paralela. Algunos ejemplos se muestran en las figuras 1 y 2. Es importante tener en cuenta que el sistema de coordenadas que se usará en este tema es (fila, columna). Figura 1: Ejemplo de dilatación

3 Figura 2: Otro ejemplo de dilatación La dilatación tiene las siguientes propiedades 1. Se cumple que: A B = A b 2. ropiedad conmutativa: A B = B A. 3. La dilatación por el trasladado de un elemento estructural es el trasladado de la dilatación: A B t = (A B) t. 4. ropiedad distributiva: A (B C) = (A B) (A C). 5. Asociatividad: A (B C) = (A B) C. 6. La dilatación es creciente: si A C entonces A B C B. Erosión binaria La erosión es la operación morfológica dual de la dilatación. Es la transformación morfológica que combina dos conjuntos usando el concepto de inclusión. Dada una imagen A, y un elemento estructural B, (ambos imágenes binarias con fondo blanco), la erosión de una imagen, A, por un elemento estructural, B, es el conjunto de todos los elementos x para los cuales B trasladado por x está contenido en A: A B = {x tal que B x A} Tengamos en cuenta que, para la condición B x A, sólo consideramos los píxeles negro

4 de A y B. Un ejemplo de erosión se encuentra en la figura 3. Figura 3: Ejemplo de erosión Mientras que la dilatación puede representarse como la unión de los trasladados, la erosión puede representarse como la intersección de los trasladados negativos: A B = A -b La erosión se concibe usualmente como una reducción de la imagen original. La dilatación y la erosión son muy similares en el sentido de que lo que uno hace al objeto el otro lo hace al fondo. Esta relación puede formularse como una relación de dualidad: Teorema. Dualidad de la erosión y la dilatación. Como consecuencia tenemos: (A B) c = A c (A B) c = A c Algunas de las propiedades de la erosión se resumen en la lista siguiente. 1. ropiedad Distributiva: A (K L) = (A K) (A L) (A B) K = (A K) (B K) 2. Al igual que la dilatación, la erosión es también creciente:

5 si A C entonces A B C B. 3. Además la erosión por un elemento estructural mayor produce un resultado menor: si K L entonces A L A K. 4. Finalmente, con respecto a la descomposición de elementos estructurales, una regla de la cadena para la erosión se verifica cuando el elemento estructural se puede descomponer mediante dilatación. A (B C) = (A B) C Observación: Tanto en la erosión como en la dilatación, si B x o ( ) x no está totalmente contenido en la imagen, sólo se considera la parte que cae dentro de la imagen para comprobar las condiciones ( ) x A y B x A. Ejercicios: En qué condiciones A A B? Y A B A? Cómo podríamos detectar los píxeles aislados de una imagen usando la 8- adyacencia? y la 4-adyacencia? ara practicar:

6 $OJRULWRVRUIROyJLFRVEDVDGRVHQODHURVLyQ\GLODWDFLyQ %DViQGRQRVHQODGLVFXVLyQDQWHULRUSRGHRVDKRUDDERUGDUDOJXQRVXVRVSUiFWLFRVGHODRUIRORJtD &XDQGRWUDEDMDRVFRQLiJHQHVELQDULDVODSULQFLSDODSOLFDFLyQGHODRUIRORJtDHVODH[WUDFFLyQGHFRSRQHQWHVGHOD LDJHQTXHVRQ~WLOHVSDUDODGHVFULSFLyQ\UHSUHVHQWDFLyQGHIRUDVHQSDUWLFXODUFRQVLGHUDUHRVORVDOJRULWRVRUIROyJLFRV SDUDH[WUDHUIURQWHUDVFRSRQHQWHVFRQH[DVHQYROYHQWHVFRQYH[DV\HOHVTXHOHWRGHXQDUHJLyQ 7DELpQHVSRVLEOHHODERUDUYDULRVpWRGRVSDUDUHOOHQDUDXHQWDUGLVLQXLU\SRGDUUHJLRQHVTXHVHXVDQFRRSUHRSRVW SURFHVDLHQWR (QHVWHDSDUWDGRYHUHRVVyORORVDOJRULWRVTXHHVWiQEDVDGRVHQHURVLRQHV\GLODWDFLRQHVVLSOHV ([WUDFFLyQGHODIURQWHUD /DIURQWHUDGHXQFRQMXQWR $ VHSXHGHREWHQHUSULHURHURVLRQDQGR $ SRU % \UHDOL]DQGRSRVWHULRUHQWHODGLIHUHQFLDHQWUH $ \ VXHURVLyQ(VGHFLU )$ $ $ % /DILJXUDLOXVWUDODHFiQLFDGHODH[WUDFFLyQGHIURQWHUDV$XQTXHHOHOHHQWRHVWUXFWXUDOXVDGRHVX\VLSOHH[LVWHQ HOHFFLRQHViVFRSOHMDVSRUHMHSORGHWDDxR[TXHDSOLDUtDHOJURVRUGHODIURQWHUDDGRVRWUHVSt[HOHV )LJXUD([WUDFFLyQGHOERUGHFRQODDG\DFHQFLDXVDQGRODHURVLyQ 5HOOHQDGRGH5HJLRQHV

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31 ODUHVXOWDQWH'HVSXpVGHHVWHSURFHVRVHUHFRJHODLQIRUDFLyQSDUDFRQVWUXLUXQKLVWRJUDDFRQODLQIRUDFLyQGHORV GLVWLQWRVWDDxRV $SOLDFLyQ )LOWURVDOWHUQDWLYRVVHFXHQFLDOHV 0RUIRORJtDDFRORU