1. Encontrar la ecuación de las secciones cónicas con centro en el origen, dadas sus características.

Transcripción

1 GEOMETRÍA ANALÍTICA Renato Descartes ( ). Filósofo matemático. Padre de la Filosofía moderna. Nació en La Hae en Touraine, cerca de Poitiers. Desde 967 La Hae se llama Descartes en honor al filósofo. Es considerado el creador de la Geometría Analítica. Competencias de la Unidad. Al concluir la unidad serás capaz de:. Calcular la distancia entre dos puntos, la división de un segmento de acuerdo a una razón dada, la pendiente de una recta el ángulo formado por dos rectas.. Encontrar la ecuación de las secciones cónicas con centro en el origen, dadas sus características.. Identificar los parámetros que caracterizan una sección cónica a partir de su ecuación a partir de su gráfica. Contenidos de la Unidad. Sistema de coordenadas: unidimensional bidimensional. División de un segmento de acuerdo a una razón dada. La línea recta. Pendiente de una recta. Formas de la ecuación de la recta. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas. Punto de intersección de dos rectas. Secciones cónicas con centro en el origen. (Circunferencia, parábola, elipse e hipérbola). 6. Sistema de coordenadas. 6.. Concepto de segmento. Actividad. Observe la figura diga cuáles son los elementos que reconoce: Identifique los siguientes elementos: A B. Un punto. Una recta 3. Un segmento. Si has señalado correctamente, has reconocido tres conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Actividad. De acuerdo a la figura de la Actividad, cómo se simbolizan los elementos que identificaste? a. El punto A. b. La recta. c. El segmento.

2 6.. Sistema de coordenadas unidimensional. La recta real. Cuando tu ubicas puntos sobre una recta le asignas un número real a cada punto, estás estableciendo una correspondencia biunívoca. Concepto de correspondencia biunívoca entre puntos de la recta el conjunto de los números reales. A cada punto de la recta le corresponde un número real a todo número real le corresponde un punto de la recta. En la siguiente figura se ilustra el concepto enunciado: R { } Actividad 3. A partir del gráfico anterior determina a que número real corresponden los siguientes puntos de la recta:,, 3, 4, 5, 6, 7. El conjunto de puntos, en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números reales, se llama sistema de coordenadas unidimensional o recta real (o numérica). La recta en la se ubican los puntos de acuerdo a la correspondencia biunívoca se llama recta numérica La gráfica representa la recta numérica. Ten presente, que se puede dibujar no sólo en forma horizontal, sino que puede estar en cualquier posición El número cero se toma, generalmente como origen del sistema de coordenadas unidimensional. Para los objetivos que se persiguen en la Escuela Secundaria, se acostumbra tomar el cero como origen de coordenadas Recuerda la observación sobre el significado del símbolo hecha por C.F, Gauss que la presentamos en la primera unidad..

3 A todo punto de la recta le corresponde un número real a todo número real le corresponde un punto de la recta 6..3 La distancia entre dos puntos en el sistema unidimensional. Actividad 4. Analiza con detenimiento el Teorema que se presenta a continuación. Teorema. La distancia entre los puntos P P, se define como el valor absoluto de la diferencia entre las coordenadas de los puntos. Si representamos la distancia por d, se escribe: d ( P P ) o también d ( P P ), donde es la coordenada del punto P es la coordenada del punto P Actividad 5. De acuerdo al teorema, responda a las preguntas: a. Por qué se usan las barras de valor absoluto? b. Qué significado tiene la afirmación d ( P P )? d ( P P ) c. Qué ocurre si los puntos coinciden? Las preguntas anteriores tiene las respuestas siguientes: a. Se usan barras de valor absoluto, porque la distancia entre puntos es una cantidad positiva. b. Esta afirmación nos muestra que la distancia entre dos puntos es simétrica. Esto significa que se recorre la misma distancia para ir del punto P al punto P que del punto P al punto P. c. Si los puntos coinciden, la distancia entre ellos es cero. Esto significa no moverse del punto. Nos podemos convencer que la distancia es cero sustituendo las coordenadas de los puntos en la fórmula que indica el Teorema. En efecto: Si los puntos coinciden, entonces tienen la misma coordenada, la distancia entre ellos es: d P P ) 0. ( 3

4 Actividad 6. Calcula la distancia entre los puntos P (8) P (-) utilizando la fórmula del teorema. a. Aplica el teorema para los puntos dados. b. Realiza el cálculo para la distancia de P a P. c. Compara los resultados. Qué puedes concluir del resultado obtenido? Actividad 7. Calcula la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a. A(-9) B(+5) b. C(-34) D(-6). c. E (45) F (00) d. G (-3) H() 6..4 Sistema de coordenadas en dos dimensiones o bidimensional. Concepto de sistema coordenadas en dos dimensiones o bidimensional. Dados dos conjuntos A B no vacíos, el producto cartesiano de A con B, que se denota por A B se define: A B (, ) / A B, los pares (, ) se llaman pares ordenados. Si los conjuntos A B son los números reales, entonces el par (,) se llama par ordenado de números reales. Sobre una recta numérica, a cada punto le corresponde un número real. En un plano, a cada punto le corresponde un par ordenado de números reales. Para representar el producto cartesiano, se traza un eje un eje perpendiculares entre sí. Eje II cuadrante <0 >0 III cuadrante <0 <0 I cuadrante >0 > Eje IV cuadrante >0 <0 La intersección 0 de los ejes e se llama origen. A este sistema se le llama sistema de coordenadas cartesianas. También se le llama sistema de coordenadas rectangulares. Las direcciones positivas negativas de las coordenadas, se muestran en la figura. El eje el eje se llaman ejes coordenados. En el par ordenado (, ), los números e se llaman coordenadas del punto (, ). La coordenada se llama abscisa del punto la coordenada se llama ordenada del punto. En el lenguaje utilizado en la geometría analítica, también se usa el nombre de plano cartesiano. 4

5 Actividad 8. Ubicar el punto (-5,-3) en un sistema de coordenadas rectangulares. Solución: La epresión (-5, -3) se llama par ordenado: Son las coordenadas de un punto en el plano. Sea la coordenada correspondiente a -5 en el eje la coordenada correspondiente a (-3) en el eje. Para ubicar el punto (-5,-3) se traza un segmento perpendicular a partir del punto =-5 en el eje un segmento perpendicular a partir del punto = -3 en el eje. El punto estará ubicado en la intersección de los dos segmentos. La elección de la escala en los ejes en arbitraria. Actividad 9. Ubicar los siguientes puntos en un sistema coordenado bidimensional. A(-5, 7) ; B(9, -3) ; C(-8, -5) ; D(0, 0) ; E(/5, ) Distancia entre dos puntos en un sistema coordenado bidimensional. Actividad0. Analiza la deducción de la fórmula para la distancia entre dos puntos en el plano. a. En la figura, tenemos el segmento P P, b. Las coordenadas del punto P son (, ) las del punto P son (, ). c. Traza perpendiculares P A P B a ambos ejes coordenados. d. Sea E(, ) el punto de intersección de los segmentos P E P E. e. Considera el triángulo rectángulo P EP. Es rectángulo en E. A continuación se aplica el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo P EP : d ( P E (Teorema de Pitágoras.), P ) d( P, E) d( P, ) el triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras: 5

6 d ( P E ( d ( P, E) d( P, E )., P ) d( P, E) d( P, ) ) Por la definición de valor absoluto, sabemos que:, E) ( ) d( P, E) ( ) d( P lo tanto: d ( P, P ) ; por Esta es la fórmula para el cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano. Actividad. Seguidamente se eplica un ejemplo de aplicación de la fórmula anterior. Analiza la solución del ejemplo. Ejemplo: Demuestre que los puntos P ( 3,3), P ( 3, 3), P3 ( 3 3,3 3), son vértices de un triángulo equilátero. Solución: Se calcula la distancia entre cada par de vértices que son las longitudes de los lados. Después se comparan se comprueba que tienen las mismas longitudes (los triángulos equiláteros tienen sus lados congruentes) Por tanto, ha que demostrar que: d P P P P. P 3 P3 Aplicando. la fórmula encontrada para la distancia entre dos puntos, tenemos que: d PP = 7 6 Continúa el ejercicio en tu grupo de trabajo comprueba que los otros dos lados tienen la misma longitud que la encontrada para el primer lado. Actividad. Resuelve el siguiente ejercicio en conjunto con tus compañeros de clase: Demostrar que los puntos (, ), (5, 3), (8, 0) (4, -) son vértices de un paralelogramo. a. Encuentra las distancias entre los vértices consecutivos verifica que son congruentes dos a dos. b. Recuerda que un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos congruentes dos a dos. Congruente significa que tienen la misma longitud. 6

7 B C Si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, entonces se cumple que: A D AB CD AD BC ; AB CD AD BC Actividad 3. A continuación se presenta un resultado importante en geometría. Estudia con atención su demostración. Teorema. Si P (, ) P (, ) son los etremos de un segmento P P, las coordenadas (, ) de un punto P que divide a este segmento en la razón dada PP r PP son: r r, r - r r Demostración el teorema. En la figura puedes observar que los triángulos P PG PP F son semejantes. Por qué? Por ser semejantes se cumplen las siguientes proporcionalidades: P () PP P PG =r (razón) PF Tomando las coordenadas las distancias correspondientes, obtenemos: P G PF. De la epresión () obtenemos que: PG PF r r ( ) ) r r r r ( r) r ( r r Despejando de la última igualdad, obtenemos: (r -). r Esta es la coordenada del punto P que divide al segmento P P en la razón r (r -). 7

8 Actividad 4. Intenta realizar la demostración para la coordenada del punto de división: de un segmento r (r -). Se da la siguiente r sugerencia: En la figura puedes observar que los triángulos P PG PP F son semejantes. Por qué? Por ser semejantes se cumplen las siguientes proporcionalidades: P P PP PG P F =r (razón), PG, P F r PG P F Despeja r de la última igualdad obtendrás la fórmula buscada para. Actividad 5. A continuación analiza el siguiente ejemplo en el que se aplica el teorema. Ejemplo. Los puntos P (-4, ) P (4, 6) son los puntos etremos del segmento P P. Calcular las coordenadas del punto P(, ) que divide a este segmento en la razón PP. P P Solución. Como la razón es negativa (r= -), entonces el punto de división P es eterno. Utilizando el teorema obtenemos: r 4 ( )4 r ( )6 ; 0 r r Por lo tanto, las coordenadas del punto de división son: P(, )=P(,0). Actividad 6. Ubica los puntos P(, ), P (-4,) P (4,6) en un sistema de coordenadas. Observarás que el punto P es eterior al segmento P P ; es decir que no pertenece al segmento. PP Calcula las distancias d (PP ) d (P P ) verifica que. P P Actividad 7. Resuelva el siguiente ejercicio: Las coordenadas de los etremos del segmento AB son: A(-4, 8) B(5, 7). Calcular las coordenadas del punto que divide al segmento en la razón /3. 8

9 6..6 Punto medio de un segmento. Concepto. Consideremos el segmento que une los puntos P (, ) P (, ). Encontremos las coordenadas del puntos P(,) que divide al segmento P P en una razón r =. Solución: Aplicando la fórmula del teorema, obtenemos: r (), r r r (), nos dan las coordenadas del punto medio del segmento P P. Actividad 8. Encuentre las coordenadas del punto medio de los segmentos unidos por los puntos: a. P (-,3) P (-,), b. P (4,5) P (6,), c. P (-5,7) P (-,8) Calcule las coordenadas del punto de división, si la razón es. Grafique el segmento el punto divisor. A qué conclusiones llega acerca de este punto? Comente. Cómo llamaría a este punto? 6. Pendiente de una recta. Dos rectas en el plano, o son paralelas o se cortan. Al cortarse, la intersección es un único punto. Dos rectas que se cortan pueden ser: a. Perpendiculares cuando el ángulo que forman es de 90. b. No perpendiculares cuando el ángulo que forman es diferente de 90. Indicación: En cualquiera de los dos casos, la intersección forma dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Se puede demostrar que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (tienen la misma medida.) Actividad 9. Analiza la siguiente definición el gráfico. Definición. Se denomina ángulo de inclinación de una recta, al ángulo formado por la recta con la dirección positiva del eje. 9

10 En la figura, el ángulo de inclinación de la recta L es el de la recta L es β. Los intervalos en que están contenidos las medidas de los ángulos de inclinación son: Actividad 0. Analiza la siguiente definición que tiene una gran importancia para los cursos superiores de Matemática. Definición. Se llama pendiente de una recta L, a la tangente del ángulo de inclinación (ángulo formado con la dirección positiva del eje ). Se denota por m. Si es el ángulo de inclinación de la recta L, la pendiente de L es: m tan. Si es agudo, la pendiente es positiva. (Si 0 < <90º, entonces m tan >0). Si es obtuso, la pendiente es negativa. (Si 90 < <80º, entonces m tan <0) 3. Si la recta es paralela al eje, la pendiente es 0. (Si =0º, entonces m tan =0) 4. Si la recta es perpendicular al eje, el ángulo de inclinación es de 90 0 por tanto la recta no tiene pendiente definida. Eplica este hecho. Actividad. Lea el siguiente teorema e intente deducir la fórmula para el cálculo de la pendiente m. Después estudie su aplicación en el ejemplo. Teorema 3. Si P (, ) P (, ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es: m, Es mu importante recordar que la pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. 0

11 Ejemplo: Calcule la pendiente el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (, 6) (5, -). Solución: En Geometría Analítica es conveniente hacer una gráfica con los datos del problema, pues eso nos aclara algunas ideas dudas acerca del problema. Por el teorema 3: 6 ( ) 8 m 5 4 m = - tan = - = tan - (-) = Ángulo formado por la intersección de dos rectas. Actividad. Recuerda la definición de ángulo de inclinación de una recta en base a ella analiza con tus compañeros la siguiente definición su eplicación. Definición 3. Sean L L dos rectas no perpendiculares, cuos ángulos de inclinación son respectivamente. Al cortarse, las rectas L L forman cuatro ángulos congruentes dos en dos, esto es: Se define el ángulo entre L L, como el ángulo de medida positiva obtenido al rotar la recta L hacia L. En la figura, el ángulo entre L L viene dado por. Como los ángulos son congruentes, sus medidas son iguales. Se puede verificar que la medida del ángulo es igual la medida del ángulo menos la medida del ángulo Porqué?. Por lo tanto se cumple que: m m =m () Ahora, veamos como establecer una relación entre las pendientes de dos rectas el ángulo entre ellas. De la epresión () se tiene: tan = tan ( - ) por tanto: tan tan () tan,,, tan tan Recuerda la epresión para la Tan ( )

12 Pero m = tan m = tan, por lo tanto la igualdad () se puede escribir en la forma siguiente: m m tan, m m 6.4 Ecuación de la Recta. mm cot, 0 m m Tan 90º Sen90º Cos90º Si el ángulo de inclinación es de 90º, entonces la tangente no está definida por lo tanto la pendiente de una recta con ángulo de inclinación 90º no está definida. Después de haber estudiado los conceptos básicos de la Geometría Analítica, iniciaremos el tema ecuación de la recta Ecuación de la Recta en la forma punto pendiente Actividad 3. Estudie el siguiente teorema, con el cual podemos encontrar la ecuación de una recta. Teorema 4. La recta que pasa por el punto P (, ) tiene pendiente m, tiene por ecuación: = m( ). Como esta ecuación está dada en función de un punto de la recta su pendiente, se le denomina ecuación punto pendiente. Actividad 4. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(8, 5) tiene pendiente m=. Solución: Si tomamos = 8, = 5 aplicando el teorema 4, tenemos: = m( ) 5 = (-8) 5 = ( + 8) + = Ecuación de la Recta en la forma pendiente ordenada al origen. Actividad 5. Estudia con atención la siguiente demostración: Sea una recta L con pendiente m ordenada en el origen, o sea, la intersección con el eje es b, por tanto, el punto (0, b) pertenece a la recta. Aplicando la forma punto pendiente, la ecuación de esta recta es: = m( ) b = m( 0) b = m = m + b La ecuación de la recta = m + b se llama ecuación de la recta en la forma pendienteordenada al origen.

13 6.4.3 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Actividad 6. Estudie la siguiente demostración elabore un resumen del procedimiento para aplicarla. En Geometría Analítica, la ecuación de una recta queda definida si se conocen las coordenadas de dos de sus puntos. Por tanto, si P (, ) P (, ) son las coordenadas de dos puntos de la recta L m es su pendiente, por la forma puntopendiente podemos encontrar la ecuación de esta recta: = m( ) usando la definición de pendiente m obtenemos: ( ) que es la ecuación de la recta dados dos de sus puntos Ecuación simétrica o canónica de la recta. Actividad 7. Estudie la demostración siguiente elabore un resumen del procedimiento para aplicarla. Sean dados los puntos (, )=(a, 0) (, )= (0, b). Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados utilizaremos la forma de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Por lo tanto, tenemos que: ( ) sustituendo tenemos b ( a) a b ab a b a Finalmente, se divide toda la epresión entre ab se obtiene: 0 b 0 ( a) a 0 ab a ab b ab ab ab a b. Esta última ecuación es la ecuación simétrica de la recta Forma general de la ecuación de la recta. Actividad 8. A continuación se presenta la forma general de la ecuación de la recta. En temas anteriores, se ha mencionado que la ecuación de una recta cualquiera en el plano coordenado, es la ecuación lineal A + B +C = 0, que es una ecuación de primer grado con dos variables (por eso se le llama ecuación lineal), donde A o B deben ser diferentes de cero C puede o no ser igual a cero. Definición 4. La ecuación A + B + C = 0 se llama forma general de la ecuación de una recta. A 0, B 0. 3

14 Actividad 9. Encontrar la pendiente de una recta a partir de la ecuación general. Solución: De la ecuación general A + B +C = 0, obtenemos: A C A B C 0 B A C, esta última ecuación tiene la B A A forma m b, por lo tanto la pendiente es: m. m es el coeficiente de. B Posiciones relativas de dos rectas. Paralelismo perpendicularidad. Actividad 30. Estudie los criterios de paralelismo perpendicularidad epresados en el siguiente teorema elabore un cuadro resumen del contenido del teorema de las observaciones. Teorema 5. Perpendicularidad paralelismo. Sean L L dos rectas no verticales con pendientes m m respectivamente. Entonces: L es paralela a L (L L ) m = m. L es perpendicular a L (L L ) m m = Cálculo de la distancia de un punto a una recta. Actividad 3. Analice con su grupo de estudio, el siguiente teorema el ejemplo de aplicación, después elabore un resumen de su procedimiento de aplicación. Teorema 6. La distancia de la recta A + B + C = 0 al punto P (, ) se obtiene por la epresión: A B C d A B Es mu importante recordar que la distancia o es un número real positivo o es cero. 4

15 Ejemplo. Encontrar la distancia del punto P (, ) a la recta = 0. Solución. Aplicando el teorema 6 con A =, B = -3 C = 3, obtenemos: d ()() ( 3)() ( 3) Por consiguiente tenemos que la distancia es: d Coordenadas del punto de intersección de dos rectas. Las coordenadas e del punto de intersección (en el caso que no sean paralelas) de dos rectas coplanares, son la solución del sistema de dos ecuaciones con dos variables: () A A B B C C 0, la solución es: 0 C C A A B B B B A A A A B C C B Compara con la Regla de Cramer. Actividad 3. Estudie con su grupo el siguiente ejemplo emplee un método para resolver el sistema de ecuaciones. Elabore un resumen del procedimiento empleado. Ejemplo. Encontremos el punto de intersección de la recta L : = 0 con la recta L : = 0. Solución: El punto de intersección de las rectas es el punto (, ), que es la solución del sistema de ecuaciones: Resuelve el sistema. En la gráfica puedes observar que la solución corresponde al punto de intersección de las rectas P(-,8). = - =8, 5

16 6.6 Secciones cónicas con centro en el origen. Esta aclaración es mu importante. Recuerda que en geometría no tiene sentido utilizar la frase lugar geométrico de puntos. Las definiciones en geometría deben construirse utilizando la frase conjunto de puntos Apolonio de Perga. (6-90 A.C.) Fue conocido como "El gran geómetra", su famoso libro "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola espiral. Estudió en Alejandría luego visitó Pérgamo, en donde han sido construidas una biblioteca una universidad semejantes a la de Alejandría. Concepto de Sección Cónica. Una sección cónica es la intersección de un plano un cono. Cambiando el ángulo el lugar de la intersección, podemos crear un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola o en el caso especial cuando el plano se pone en contacto con el vértice: un punto, una línea o líneas intersectadas Secciones de un cono 6

17 6.7 La circunferencia. Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro es el radio. r: es el radio. o: es el centro. Sección de un cono 6.7. Ecuaciones de la circunferencia. La ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h, k) radio r, está dada por: ( h) ( k) r, Si el centro es el origen de coordenadas, entonces la ecuación se reduce a: r Actividad 33. Hallar la ecuación de una circunferencia de centro en el origen radio 3. Solución: La ecuación es de la forma radio, obtenemos: 3 r. Entonces, sustituendo el valor del 9 Actividad 34. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (7,-6) que pasa por el punto (,). Solución: Paso : Encontramos primero el radio. Para esto, calculamos la distancia entre los puntos (7,-6) (,-). Recuerde que la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro, es el radio. r 7 6 A continuación, sustituimos el radio las coordenadas del centro en la ecuación= r 89. ( h) ( k) r ( 7) ( 6), ( 89) ( 7) ( 6) 89 7

18 Actividad 35. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 centro en el punto de intersección de las rectas = 0, = 0. Solución: Paso : Encontramos las coordenadas del centro. Para esto, resolvemos el sistema de ecuaciones lineales dadas; a que el centro se encuentra en el punto de intersección de las rectas. El sistema de ecuaciones es: () () Este sistema lo puedes resolver por los métodos que se estudiaron en la Unidad. La solución es: S 6, 3 Por lo tanto las coordenadas del centro son (6,-3). Entonces, la ecuación de la circunferencia es: Trazar la gráfica. Actividad 36. Resuelve los siguientes ejercicios:. Una cuerda de la circunferencia 5 está sobre la recta cua ecuación es = 0. Halle la longitud de la cuerda.. Hallar la longitud de la circunferencia cua ecuación es = 0 3. Determinar el centro, el radio ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: a. (0, 0), (3, 6), (7, 0) b. (4, -), (0, -7), (-, -3) c. (, -), (-,4), (4, 6). 4. Determine si las ecuaciones = 0 ; = = 0 representan o no una circunferencia. Si la respuesta es afirmativa, halle su centro su radio. 5. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia = 0 en el punto (4,5). 6. La ecuación de una circunferencia es Demostrar que el punto (, -5) es interior a la circunferencia que el punto B (-4,) es eterior. 8

19 6.8 La parábola. Una parábola es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado foco (F) de una recta fija llamada directriz (D). F: Es el foco de la parábola. V: Es el vértice de la parábola. D: Es la directriz de la parábola. Lado Recto 4 p : Es el segmento que pasa por el foco es perpendicular al eje de simetría. d(fp)=d(pe). La distancia del vértice al foco es igual a la distancia del vértice a la directriz se denota por p Ecuaciones de la parábola. En la siguiente tabla se presentan las diferentes formas de la ecuación de la parábola: Vértice Foco Directriz Ecuación Descripción (0,0) (p, 0) = -p 4 p Abierta hacia la derecha. Eje simetría, el eje. (0,0) (-p, 0) =p 4 p Abierta hacia la izquierda. Eje de simetría, el eje. (0,0) (0, p) = -p 4 p Abierta hacia arriba. Eje de simetría, el eje. (0,0) (0,-p) =p 4 p Abierta hacia abajo. Eje de simetría, el eje. (h,k) (h+p =h-p ( k) 4 p( h) Abierta hacia la derecha.,k) (h,k) (h-p,k) =h+p ( k) 4 p( h) Abierta hacia la izquierda. (h,k) (h, =k-p ( h) 4 p( k) Abierta hacia arriba. k+p) (h,k) (h, k-p) =k+p ( h) 4 p( k) Abierta hacia abajo. Actividad 37. Analiza la solución del siguiente ejercicio:. Encuentra la ecuación de la parábola cuo foco es F (-3,0) la ecuación de la directriz es =3. Grafica la parábola a partir de la ecuación obtenida. 9

20 ( Solución 3) ( 0 ) ( 3) Justificación Distancia de (-3, 0) a (,) (- 3 ) ( ) ( 3 ) Distancia de (,) a (3, ) ( 3 ) ( 3) Inverso aditivo de ( 3) ( 3) Eliminando la raíces Desarrollando los cuadrados Reduciendo términos semejantes. Actividad 38. Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz la longitud del lado recto para la parábola de ecuación. Gráfica la parábola. Actividad 39. Hallar las coordenadas del vértice del foco, la ecuación de la directriz la longitud del lado recto de la parábola con ecuación Grafica la parábola. Actividad 40. Resuelve los siguientes ejercicios:. Hallar las coordenadas del foco, vértice, ecuación de la directriz la longitud del lado recto de las siguientes parábolas con ecuaciones: a. 9 6 c. 0 0 e. 3 g b. 6 d. 8 f. 3. Hallar la ecuacion de la parábola cuo vértice foco son los puntos (-4,3) (-,3), respectivamente. Halle también la ecuacion de la directriz de su eje focal. 3. Hallar la ecuacion de la parábola a partir de los datos siguientes: a. F(3,4), directriz -=0 b. V(,0), F(0,0) c. V(0,0), F(3,0) d. V(0,0), directriz -5=0 0

21 Actividad 4. Parea cada grafica con su respectiva ecuacion:

22 6.9 La elipse Concepto de elipse. Una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijo F F llamados focos, es constante. Focos: Son los puntos fijos F F. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento F F. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. En este caso es el origen. Distancia focal: Es el segmento de longitud c, c es el valor de la semidistancia focal. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes. Eje maor: Es el segmento de longitud a, a es el valor del semieje maor. Eje menor: Es el segmento de longitud b, b es el valor del semieje menor. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje maor o al eje menor. Relación entre la distancia focal los semejes: a b c. Lado recto. Es el segmento de recta pependicular al eje focal que pasa por el foco (focos). Ecentricidad de la elipse (e). Es un número que mide el maor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal su semieje maor. Centro Eje maor Focos Vértices Ecuación (0,0) A lo largo del eje. (0,0) A lo largo del eje. (c,0) (a,0) ( c,0) ( a,0) a b, a b 0 a b c ( 0, c ) ( 0, a ) ( 0, c ) ( 0, a ) a b, a b 0 a b c e c, c a, 0 e a

23 6.9. Ecuaciones de la elipse con centro en el origen. Actividad 4. En esta actividad se presentan las soluciones de dos ejercicios que se refieren a elipses con eje maor en el eje con eje maor en el eje. Encontrar el centro, focos, vértices, longitud del eje maor, longitud del eje menor la ecentricidad de las elipses con ecuaciones: a. 5 6 b Solución del inciso a: Paso : La ecuación tiene la forma de la ecuación de una elipse con centro 5 en (0,0) eje maor sobre el eje. Por lo tanto, tenemos: a 5 a 5 b 6 b 4, Paso : Para encontrar la distancia del centro al foco, usamos la relación entre a, b c para la elipse, que viene dada por a b c. Tenemos que: c a b c 5 6 c 9 3 La longitud del eje maor es a = (5) =0. La longitud del eje menor es b = (8)= 6. Los focos son: F ( c,0) F ( c,0), por lo tanto: F ( 3,0) F (3,0). Los vértices son: V ( a,0) V ( a,0), por lo tanto: V ( 5,0) V (5,0). El centro es el punto (0,0). La ecentricidad es c 3 e =. a 5 Paso 3: Gráfica de la elipse. Lado Recto Lado Recto 3

24 Solución del inciso b: Paso : La ecuación dada es Transformamos la ecuación a la forma ordinaria dividiendo entre 36: Esta es la ecuación de una elipse con centro en el origen. Paso : El eje maor se encuentra sobre el eje. El el eje menor se encuentra sobre el eje. a 9 a 3 b 4 b (a > b) Para una elipse se cumple que c a b c 9 4 c 5. La longitud del eje maor es: a = (3)=6; la longitud del eje menor es: b= () =4. Las coordenadas de los focos son: F (0, ) F (0, ), por lo tanto: F 0, 5) (0, 5). c c ( F Las coordenadas de los vértices son: V (0, a) V (0, a). Por lo tanto: V (0,3) V (0, 3). La ecentricidad es e= 3 5. V Paso 3: Gráfica de la elipse. Lado Recto Lado Recto V Actividad 43. Basado en las soluciones de los ejercicios de la actividad anterior, resuelve los siguientes ejercicios:. Encontrar la ecuación de la elipse cuos vértices son los puntos (4,0), (-4,0) los focos (-3,0) (3,0).. Encontrar la ecuación ecentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus vértices es (0,-7) pasa por el punto 5,4 / 3 4

25 3. Encontrar el centro, coordenadas de los focos, coordenadas de los vértices, longitud del eje maor, longitud del eje menor la ecentricidad en las elipses con ecuaciones: a. 4 6 b c Determine una ecuación para la Elipse, que satisfaga cada una de las condiciones dadas: a. C(0,0) F 5,0, V 8, 0 b. C(0,0) V 0, 5, eje menor de longitud 3. c. Eje maor horizontal de longitud 8 eje menor de longitud La hipérbola Concepto de hipérbola. Una hipérbola, es el conjunto de puntos del plano cua diferentas de distancias a dos puntos fijos F F llamados focos, es constante. d PF ) d( PF ) a ( Elementos de la hipérbola Sección de un cono Focos: Son los puntos fijos F F. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Vértices: Los puntos V V que son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Distancia focal: Es el segmento de longitud c. d(f F ) Eje maor: Es el segmento de longitud a. d(v V ) Eje menor: Es el segmento de longitud b. d(b B ) 5

26 Rectángulo fundamental: Rectángulo cuos vértices pertenecen a las rectas tangentes a la hipérbola. Asíntotas: Son las líneas rectas que contienen a las diagonales del rectángulo fundamental sus ecuaciones son: Relación entre los semiejes: b, a c a b b a Ecentricidad: Número que mide la abertura maor o menor de las ramas de la hipérbola. e c, c a, e a 6.0. Ecuaciones de la hipérbola con centro en el origen. Centro Eje focal Focos Vértices Ecuación Asíntotas (0,0) A lo largo del eje. (c,0) (a,0) ( b/ a) ( c,0) ( a,0) a b ( b/ a) c a b (0,0) A lo largo del eje. ( 0, c ) ( 0, a ) ( a/ b) ( 0, c ) ( 0, a ) a b ( a / b) c a b Actividad 44. Analiza detenidamente las soluciones de los ejercicios siguientes: Encontrar los focos, centro, vértices, ecentricidad, ecuaciones de las asíntotas la gráfica de las hipérbolas con las ecuaciones siguientes: a. 9 4 b. 9 4 c Solución del inciso a. Paso : La ecuación es. Es una hipérbola con centro en el origen eje 9 4 como eje focal. El término positivo nos permite determinar la ubicación del eje de la hipérbola. En este caso, el eje de la hipérbola se encuentra sobre el eje. Paso : De acuerdo con la ecuación tenemos que: a 9 a 3, b 4 b 6

27 El valor de c lo encontramos a partir de la relación c a b. c 9 4 c 3 3 Las coordenadas de los focos son: F (0, c) F (0, c), F (0, 3 ) F (0, 3). Las coordenadas de los vértices son: V (0, a) V (0, a), V (0, 3) V (0,3). c 3 La ecentricidad es: e. a 3 b Las ecuaciones de las asíntotas:,. a 3 3 Paso 3: Gráfica de la hipérbola. Asíntota 3 Solución del inciso b. Paso : La ecuación dada es:. El término positivo nos permite determinar la 9 4 ubicación del eje de la hipérbola. En el caso que nos ocupa, el eje de la hipérbola se encuentra sobre el eje. Paso : De acuerdo con la ecuación, tenemos que: a 9 a 3 b 4 b Asíntota 3 El valor de c lo encontramos a partir de la relación c a b. c Las coordenadas de los focos son: F ( 3,0) F ( 3,0). Las coordenadas de los vértices son: V ( 3,0) V (3,0). c 3 La ecentricidad es: e a c 3 7

28 Las ecuaciones de las asíntotas son: b a, 3 3 Paso 3: Gráfica de la hipérbola. Asíntota b a Asíntota b a Actividad 45. Hallar la ecuación estándar de la hipérbola que tiene las características siguientes: a. F, 3 (0,3), V, (0,) b. F,0 (4,0), e 0 F Solución del inciso a. 0 V 4 F Las coordenadas de los focos son: F 0, 3 F (0,3) las coordenadas de los vértices son: V, (0,). 0 V Paso : La información suministrada nos indica que la hipérbola está sobre el eje, el centro es el origen, por lo que la ecuación estándar tendrá la forma:, a b Paso : a a 4 ( a es la distancia del centro a los vértices). c 3 c 9 ( c es la distancia del centro a los focos). b c a b 5 (Por la relación entre a, b c). Paso 3: 4 5 (Sustituendo los valores de a b). Actividad 46. Encuentra da ecuación de la hipérbola según los datos del inciso b. La solución del inciso a te servirá de apoo. Actividad 47. Encontrar los focos, eje transverso, centro vértices de las hipérbolas con ecuaciones: a b. c. e. d. V 3, 0 F 5,