MÓDULO DE SEMINARIO DE ESPECIALIDAD (ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS) Lic. Florencio Trujillo Cauti.

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1 MÓDULO DE SEMINARIO DE ESPECIALIDAD (ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS) Lic. Florencio Trujillo Cauti.

2 Universidad Nacional de Educación 2 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

3 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias Índice Presentación.. 5 CAPÍTULO 1 Fundamentos algebraicos de la Matemática Preliminares Fundamentos lógicos El método axiomático Métodos de demostración de teoremas Una breve presentación axiomática de los conjuntos Relaciones Enfoque algebraico de las funciones Conjuntos numerables. 37 CAPÍTULO 2 Operaciones internas y estructura de grupo Operaciones internas Estructura de grupo Homomorfismos de grupos Subgrupos generados 66 CAPÍTULO 3 Estructuras de anillos, cuerpos y campos Estructura de anillo Dominios de integridad Subanillos Ideales de un anillo Anillos euclideanos Divisibilidad Anillos de división y campos Anillo de polinomios.. 88 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 3

4 Universidad Nacional de Educación CAPÍTULO 4 Introducción a los espacios vectoriales Espacios vectoriales Subespacios vectoriales Transformaciones lineales Matrices y sistemas lineales BIBLIOGRAFÍA Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

5 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias Presentación El presente Módulo de Especialidad I ha sido elaborado como material educativo dirigido a los bachilleres de la especialidad de Matemática e Informática. Contiene temas fundamentales del área de álgebra, como los fundamentos algebraicos y las estructuras algebraicas básicas, que permiten la formación especializada y cualitativa del docente. Asimismo, dota de los elementos necesarios para que los futuros licenciados usen su capacidad de investigación y creación, a fin de proponer nuevas aplicaciones en la enseñanza de la matemática en educación básica, específicamente en el nivel secundario. El álgebra, parte de la matemática, es una rama netamente formativa, y es un instrumento que ha venido desarrollándose a través del tiempo por las necesidades y creaciones de los hombres para vivir en cada etapa y en cada civilización. El propósito del texto es presentar de manera breve todos los aspectos esenciales del álgebra, de acuerdo con los planes de estudios, y los aspectos que complementan la formación algebraica del docente. Los contenidos temáticos están divididos en cuatro capítulos: en el primero se abordan los fundamentos algebraicos de la Matemática; en el segundo se desarrollan las operaciones internas y la estructura de grupo; en el tercero, las estructuras de anillos y campos, así como el anillo de polinomios; y, finalmente, en el cuarto se trata la estructura de espacio vectorial. El autor Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 5

6 Universidad Nacional de Educación 6 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

7 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias FUNDAMENTOS ALGEBRAICOS DE LA MATEMÁTICA Capítulo 1 SUMILLA: En esta primera parte, se hace un resumen de los fundamentos algebraicos de la matemática, considerando la lógica proposicional; se tratan las leyes y equivalencias lógicas, los métodos de demostración de teoremas, la axiomática de los conjuntos. Uno de los problemas de los estudiantes durante el desarrollo de un tema o una teoría matemática es la dificultad en conocer y aplicar los métodos de demostración de teoremas; por esto, se requiere incidir su estudio. En esta parte, también se presenta un resumen del enfoque axiomático de los conjuntos, el enfoque algebraico de las relaciones de equivalencia y de las funciones; los conceptos básicos sobre equipolencia, infinitud y numerabilidad. OBJETIVOS: 1) Comprender la importancia de los fundamentos lógicos en la demostración de teoremas. 2) Conocer la presentación axiomática de los conjuntos. 3) Comprender la importancia de las relaciones de orden y de equivalencia. 4) Comprender la importancia de las funciones biyectivas para el estudio de la equipotencia, infinitud y numerabilidad. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 7

8 Universidad Nacional de Educación 1. Fundamentos algebraicos de la Matemática 1.1 PRELIMINARES Principio de sustitución (p.s) Si P(x) es una propiedad verdadera para todos los x de un conjunto A, si x = a, entonces P(a) también es verdadera. Igualdad entre elementos y conjuntos Cuando se escribe a = b significa que a y b son símbolos distintos que representan a un mismo elemento. Respecto a la igualdad entre elementos, se cumple: E 1 ). Para todo a, a = a. (reflexiva) E 2 ). a = b b = a. (simétrica) E 3 ). a = b b = c a = c (transitiva) Cuando escribimos A = B significa que A y B son símbolos distintos que representan a un mismo conjunto. Además se verifica: A = A, donde A es cualquier conjunto A = B B = A. A = B B = C A =C 1.2 FUNDAMENTOS LÓGICOS Operaciones proposicionales Las proposiciones que se obtienen combinando otras mediante los conectivos se llaman proposiciones compuestas o formas proposicionales. Dentro de las operaciones proposicionales más comunes se consideran: 1) la negación 2) la conjunción 3) la disyunción 4) el condicional 5) el bicondicional. 8 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

9 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES Una tautología es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales. Es decir, si en su tabla de verdad la columna bajo su conectivo principal son todos verdaderos (V). Definición Una contradicción es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales. Es decir, si en su tabla de verdad la columna bajo su conectivo principal son todos falsos (F) Implicación lógica Dadas dos formas proposicionales, A y B, diremos que A implica lógicamente B y escribimos A B, si y sólo si el condicional A B es una tautología. De la definición anterior podemos afirmar que si una forma proposicional A implica a otra forma proposicional B, entonces B se deduce lógicamente de A. Es decir, cada asignación de valores lógicos que hacen a A verdadera, también hacen a B verdadera Equivalencia lógica Dadas dos formas proposicionales A y B, diremos que A es lógicamente equivalente a B o A es equivalente a B, y escribimos A B o A B, si y sólo si la forma bicondicional A B es una tautología. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 9

10 Universidad Nacional de Educación LEYES Y TAUTOLOGÍAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Las leyes lógicas o principios lógicos son equivalencias lógicas y algunas tautologías importantes de caracter general, porque a partir de éstas se pueden deducir otras más. A las equivalencias fundamentales les llamaremos leyes de la lógica proposicional. Convenimos en usar T para representar cualquier tautología y F = C para cualquier contradicción. Principales leyes de la lógica proposicional Leyes idempotentes p p p Leyes conmutativas p q q p p p p p q q p Leyes asociativas (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Leyes disttributivas Disyunción respecto de la conjunción: p (q r) (p q) (p r) Conjunción respecto de la disyunción: p (q r) (p q) (p r) Leyes de identidad o elemento neutro El elemento neutro de la disyunción es la contradicción: Elemento neutro de la conjunción es una tautología : p F p p T p Leyes de dominación p T T ; p C C Leyes de complementación Tercio excluido : p p T Contradicción : p p C Leyes de Morgan (p q) p q (p q) p q Leyes de absorción p (p q) p p (p q) p 10 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

11 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias Importantes como las anteriores, tenemos otras equivalencias notables como las siguientes: Doble negación T C Ley del condicional : p p C T : p q p q Ley del bicondicional : p q (p q) (q p) Ley de reducción al absurdo : p q (p q) F Ley del contrarrecíproco : p q q p Tautologías más conocidas p p q (Ley de adición) p q p p q q ( Ley de simplificación) ( Ley de simplificación) [ (p q) (q r) ] (p r) (Ley del silogismo hipotético) Las leyes lógicas dadas arriba son útiles para simplificar los problemas, pues es válido reemplazar una proposición por su equivalente sin alterar el resultado, y para probar otras equivalencias. A esta prueba se le llama prueba deductiva. Ejercicio: Simplificar sin tablas la proposición ( p q) p. Ejercicio : Probar deductivamente que p q (p q) (p q). Ejemplo Pruebe deductivamente (sin tablas) la siguiente ley de reducción al absurdo: p q ( p q) F Solución p q p q ( L. del condicional) ( p q ) F ( L. del neutro disyuntivo) ( p q) F ( L. de Morgan y doble negación) ( q p) F ( es conmutativa ) ( p q) F ( L. del condicional) Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 11

12 Universidad Nacional de Educación 1.3 EL MÉTODO AXIOMÁTICO (Basado en Jorge Sáenz - Fundamentos de la Matemática) Toda teoría matemática consta de: conceptos y proposiciones Los Conceptos Sería ideal que todos los conceptos que se usan en cualquier teoría tuvieran definiciones, pero esto es materialmente imposible, ya que un concepto se define por medio de otros y estos otros por medio de otros anteriores y así sucesivamente, por lo que llegaríamos a formar círculos viciosos. Esto es lo que sucede con los diccionarios al tratar de definir todas las palabras de un idioma. Para evitar círculos viciosos, se escogen convenientemente algunos conceptos de la teoría, a los cuales deliberadamente no los definimos. Estos son los términos primitivos o términos no definidos de la teoría. El error común en la secundaria es pretender definir el conjunto como la agrupación, reunión o colección de personas, animales o cosas, no percatándose del uso de los sinónimos en que se incurre. Otra cosa es querer definir: Recta.- Es una sucesión infinita de puntos. Punto.- Es la intersección de dos rectas. Observamos que, además de otros tipos de consideraciones, para definir el concepto de recta, se usa el concepto de punto y viceversa, lo que constituye un círculo vicioso. Los términos primitivos nos servirán, justamente, para definir otros conceptos, a los que llamaremos términos definidos, es decir, consideramos dentro de los conceptos a los: términos no definidos y términos definidos. Las proposiciones La parte fundamental de una teoría está conformada por proposiciones que establecen propiedades de los términos primitivos o definidos y cuya verdad debe probarse. Para evitar los círculos viciosos, se escogen algunas proposiciones que se aceptan sin demostración; éstas son los axiomas, postulados o convenios de la teoría. 12 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

13 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias Un SISTEMA AXIOMÁTICO es una teoría desarrollada mediante el método axiomático, es decir, conformado por: 1) Términos primitivos 2) Términos definidos 3) Axiomas o convenios 4) Teoremas Además de estas cuatro componentes, mencionaremos a la lógica, ya que ésta nos proporciona las reglas de inferencia para la demostración de los teoremas. Cuáles son las reglas que se deben respetar para la elección de los axiomas? Una de ellas es la no contradicción de los axiomas, aunque esto no siempre es fácil de demostrar. La independencia de los axiomas es ante todo una cuestión de elegancia y de economía; los axiomas son independientes si ninguna es consecuencia lógica de los otros. Como un MODELO DE APLICACIÓN del método axiomático, se puede desarrollar la teoría de conjuntos. UN POCO DE ARITMÉTICA EN N Y EN Z N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.. } se llama el conjunto de números naturales. Principio del buen Orden en N Si A es un subconjunto no vacío de N, entonces existe un único elemento mínimo n 0 en A. En este caso, escribiremos n 0 = min(a). Ejemplo Si A = { 4, 3, 5, 6, 9, 8 }, entonces existe n 0 = min(a) = 3 Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,,.. } se llama el conjunto de números enteros. En N o en Z, ab denota el producto de a y b. a en N, se dice que es natural par, si y sólo si a =2n, con n natural. * a en Z, se dice que es entero par, si y sólo si a =2k, con k entero. * a en N, se dice que es natural impar, si y sólo si a =2n+1, con n natural. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 13

14 Universidad Nacional de Educación * a en Z, se dice que es un entero impar, si y sólo si a =2k+1, con k entero. a en N, se dice que es múltiplo de 3, si y sólo si a=3n, con n natural. a en Z, se dice que es múltiplo de 3, si y sólo si a =3k, con k entero. EJERCICIO Defina los números múltiplos de 4 y de 5, en los conjuntos numéricos N y Z. Valor absoluto de números enteros. Si a es un número entero, el valor absoluto de a se denota /a/ y se define como sigue: /a/ = a, si a 0 /a/ = -a, si a < 0 En relación al valor absoluto de números enteros, se verifica las siguientes propiedades: 1) /a/ 0, a en Z 2) /a b/ = /a//b/, a, b en Z 3) Si b > 0 y /a/< b -b < a < b 4) Corolario: Si /a/< 1 en Z a = 0 Divisor en N y en Z Se dice que un natural a 0 es un divisor del natural b, o que a divide al natural b, si existe un natural c tal que b = c.a Se dice que un entero a 0 es un divisor del entero b, o que a divide al entero b, si exista un entero c tal que b = c.a Nota: En cada caso, si a divide a b, escribiremos a/b Primer algoritmo de la división en Z Dados a Z, b >0, entonces, existen r, q en, tales que: a = q b + r con 0 r < b Segundo algoritmo de la división en Z Dados a, b, a 0 b 0; entonces, existen r, q en, tales que: a = q b + r con r = 0 r < b 14 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

15 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias 1.4 MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS. Se trata en general de demostrar: si se verifica H, entonces se verifica C. A veces esta proposición (teorema) puede estar escrito de manera no explícita. H se llama la hipótesis y C la tesis o conclusión. Este teorema simbólicamente se escribe: H C SUGERENCIAS: Para demostrar la validez del teorema H C, consideramos necesario: Manejar los fundamentos básicos del cálculo proposicional. Entender las relaciones más importantes de los elementos de H y C entre sí y procurar que se hagan presentes en tu mente las ideas relacionadas con ellos provenientes de tu estudio previo DEMOSTRACIÓN DIRECTA Para demostrar que si se verifica H, entonces se verifica C, con el método de demostración directa y luego deducir la verdad de C, es que de H debe saber la manera de concluir unas cuantas proposiciones C 1, C 2, C 3,... y que tal vez de alguna de ellas, por ejemplo C 2, sepas deducir B que te parece que te lleva más cerca de C. Procediendo así posiblemente llegas finalmente a C. EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1) Si a y b son números enteros impares, entonces su suma es entero par. 2) Si en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden x, y e hipotenusa z tiene de área z 2 / 4, entonces el triángulo es isósceles. 3) Si la suma de las cifras de un número natural es múltiplo de 3, entonces dicho número es múltiplo de 3. 4) Todo número natural múltiplo de 4 es número par DEMOSTRACIÓN POR CONTRAPOSICIÓN Para demostrar que se verifica H, entonces se verifica C, esto es equivalente a demostrar que si no se verifica C, entonces no se verifica H. En algunos casos resulta más fácil hacer la demostración de esta segunda proposición. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 15

16 Universidad Nacional de Educación La ley que rige la demostración por contraposición es: H C C H EJERCICIOS DE APLICACIÓN: (a) Si a 2 es un número natural par, entonces a es par. (b) Si la suma de dos números enteros pares es par, entonces ambos son pares o ambos son impares. (c ) Si a y b son reales positivos tales que a b, entonces ab a + b DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO Dado un teorema: H C La idea de la demostración por reducción al absurdo es suponer que H es verdadera y C es falsa, luego ver que no puede ocurrir esto. Demostrar H implica C, equivale a demostrar que H C implica deducir una falsedad o un absurdo. La ley que rige la demostración por reducción al absurdo es: H C ( H C ) F Donde la proposición falsa F se llama una contradicción, es de la forma: r r El Dr. Miguel de Guzmán considera que uno de los matemáticos más importantes de este siglo es el inglés G. H. Ardí, quien señalaba: El método de reducción al absurdo, que tanto complacía a Euclides, es una de las armas más finas que puede emplear un matemático. EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1) Si un entero a divide a 1, entonces a = 1 a = -1. 2) Si r es un número real tal que r 2 = 2, entonces r no es racional. 3) Si a y b son enteros diferentes de cero, entonces se verifica: /a/ /a b/ 16 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

17 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias 1.5. UNA BREVE PRESENTACIÓN AXIOMÁTICA DE LOS CONJUNTOS LA TEORÍA DE CONJUNTOS ES EL ESLABÓN ENTRE LA LÓGICA Y LA MATEMÁTICA La teoría de conjuntos apareció en los trabajos de George Cantor ( ) alrededor de 1870, causando una revolución en el mundo de la matemática. La breve axiomatización de los conjuntos la desarrollamos como sigue: CONCEPTOS PRIMITIVOS: Elemento, conjunto, pertenencia e igualdad. 1 er. CONVENIO (DE EXISTENCIA) Existe un conjunto A En símbolos: A Esto nos permitirá escribir: x A y entender que A representa un conjunto que no carece de elementos. Si escribimos x A, diremos que x es un elemento del conjunto A Igualdad de conjuntos Consideramos la igualdad de los conjuntos A y B como una identidad y la escribiremos: A = B, en caso contrario: A B 2 do. CONVENIO (DE EXTENSIÓN) Dos conjuntos Ay B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. En símbolos: A = B ( x) (x A x B) Decir que dos conjuntos son iguales significa que para todo elemento x, x pertenece a A, si sólo si x está en B. La igualdad de conjuntos cumple: REFLEXIVA: A; A = A SIMÉTRICA: A = B B = A TRANSITIVA: A = B B = C A = C Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 17

18 Universidad Nacional de Educación Inclusión de conjuntos Definición: A B ( x) (x A x B) A B, se lee: El conjunto A está contenido en el conjunto B. A está incluido en B Teorema 1: La inclusión de conjuntos cumple: 1.1 A A; A (Reflexiva) 1.2 A B B C A C (Transitiva) Demostración: 1.1) Reflexividad: para cualquier x se cumple que x A x A (porque p p es una tautología) Es decir, se cumple que ( x) (x P x P) Luego: A A; A (por la definición de contenido) 1.2) La transitividad queda como ejercicio. [Sug. Usar: [(p q q r) (p r)] La negación de A B, se escribirá: (A B) o A B y se lee: No es cierto que A está contenido en B. A no está contenido en B. Qué significa que A B? A B significa que existe al menos un elemento de A que no está en B. Esta afirmación la demostramos en el siguiente teorema. Teorema 2 : A B ( x) (x A x B) Demostración A B (A B) (negación de P Q) [( x)( x A x B)] (Definición de contenido) [( x)( x A x B) (p q p q) 18 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

19 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias ( x); (x A x B) (Negación de x es x) Es decir: ( x) (x A x B) A B ( x) (x A x B) (Ley de Morgan) 3 egr. CONVENIO (DE ESPECIFICACIÓN) Para todo conjunto A y toda función proposicional P(x), con dominio de definición el conjunto A, corresponde un único conjunto B, cuyos elementos son los elementos x de A, tal que la proposición P(x) es verdadera. En símbolos:! B, B A; B = { x A / P(x) es verdadera } o también: A! B; B = {x A / P(x)} Afirmamos que A es el conjunto referencial para el conjunto B. Este convenio nos permitirá construir nuevos conjuntos a partir de otros y a la vez relacionar el lenguaje de las proposiciones con el lenguaje de los conjuntos. Conjunto vacío Dado un conjunto A y la proposición P(x): x x, por el 3 er. convenio de especificación, existe un único subconjunto de A determinado por P(x). Lo denotaremos por φ A Es decir: φ A = { x A / P(x) } = { x A / x x } A Observemos que para cada conjunto A existe un único conjunto φ A y lo llamaremos subconjunto vacío de A, ya que por definición: φ A A. Además si B es otro conjunto, tal que el conjunto vacío φ B B, entonces. φ A = φ B = φ Por este hecho afirmamos φ A, A Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 19

20 Universidad Nacional de Educación LA PARADOJA DE RUSSELL (por Jorge Sáenz) Bertrand Russell descubrió en 1901 la siguiente paradoja, que puso en serias dificultades a la teoría de conjuntos. El problema resulta en llamar conjunto a cualquier colección de objetos. Un conjunto B se dice que es ordinario si B B. Por ejemplo, el conjunto L formado por todos los libros es un conjunto ordinario, pues como L no es libro L L. En cambio el conjunto A formado por todas las ideas abstractas no es ordinario, ya que como A mismo es una idea abstracta, tenemos A A. Consideremos el conjunto O formado por todos los conjuntos ordinarios O = X / X X Nos preguntamos si O es ordinario o no lo es. En el caso si O O, entonces por definición de O se tiene O O. En el caso si O O, entonces por definición de O se tiene O O Así hemos obtenido la contradicción O O O O Para salvar la dificultad, debemos admitir que O no es conjunto Comentarios adicionales de la paradoja de Russell La aritmética de Frege hacía uso de conjuntos de conjuntos. Russell demostraba en su carta que razonar con conjuntos de conjuntos puede conducir fácilmente a incurrir en contradicciones. La paradoja de Russell también puede exponerse como sigue: Llamemos extraordinario a todo conjunto que esté incluido en sí mismo; y llamémosle ordinario en el caso contrario. Russell proponía a Frege el conjunto de todos los conjuntos ordinarios. Es ordinario o extraordinario? Si fuese ordinario, como la clase de todos los conjuntos ordinarios, pertenecería a sí mismo. Pero entonces sería extraordinario. Por tanto, no podría pertenecer a sí mismo, ya que es el conjunto de los conjuntos ordinarios. Pero eso lo convierte en ordinario! Cualquier de los dos caminos nos lleva a una contradicción! Debe ser extraordinario u ordinario, pero parece no ser ninguno de los dos. 20 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

21 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias 4 º CONVENIO (DE LA UNIÓN) Dados dos conjuntos A y B, existe un conjunto E que los contiene. En símbolos: A, B; E / A E B E En otras palabras, este convenio nos garantiza la existencia de un conjunto referencial. Intersección de conjuntos Dados dos conjuntos A, B y E el conjunto que satisface el axioma de la unión. Además P(x): x A x B Se llama intersección de A y B al siguiente conjunto: A B = { x E / P(x) } = {x E / x A x B } A B = { x E / x A x B } Afirmamos: x (A B) x A x B Nota: Si dos conjuntos no tienen algún elemento en común, entonces afirmamos que A y B son disjuntos, además escribimos: A B = PROPIEDADES La intersección de conjuntos es: 1) Idempotente: A A = A, A. 2) Conmutativa: A B = B A 3) Asociativa: A (B C) = (A B) C Demostración. Probaremos 3. Las demás quedan como ejercicio. x A (B C) x A x (B C), por def. de x A (x B) C) (x A x B) x C, por ley asociativa x (A B) x C, por def. de x (A B) C, por def. de Por tanto, A (B C) = (A B) C Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 21

22 Universidad Nacional de Educación Propiedad : Dados A, B y C conjuntos, tenemos: 1. A B A A B B, A, B 2. C A C B C A B Demostración de 2 x C x C x C (por p p) x A x B (por hipótesis) x A B (Def. de ) Luego, C A B PROPIEDADES ADICIONALES Cualesquiera sean los conjuntos A, B y C, se verifica: 1) A Φ = Φ, A 2) A B = A A B 3) Si A B C D, entonces A C B D 4) A B = Φ A = Φ B = Φ 5) A B A Unión de conjuntos Sean dos conjuntos A y B y el conjunto E dado por el convenio de la unión con la propiedad P(x): x A x B. Se llama unión de A y B al conjunto: A B = x E / P (x) A B = x E / x A x B De esta definición de unión, afirmamos: x A B x A x B PROPIEDADES Cualesquiera que sean los conjuntos A, B y C, se verifica: (1) ( A B ) C = A ( B C ) (2) A B = B A (3) A Φ = A (4) A B A B = B (5) A A B 22 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

23 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias La demostración se basa en las propiedades básicas de la disyunción y de algunas equivalencias lógicas. Como ilustración, probemos (5) x A x A x B ( pues p p q ) x A B O sea A A B Propiedades distributivas Cualesquiera sean los conjuntos A, B, y C, se verifica ( I ) A ( B C) = (A B) (A C) ( II ) A ( B C) = (A B) (A C) Demostración de ( I ). x A (B C) x A x B C, por def. de x A (x B x C), por def de (x A x B) (x A x C), por ley distributiva x (A B) x (A C) def. de x (A B) (A C), por def. de Luego, A (B C) = (A B) (A C) La demostración de ( II ) queda como tarea para el lector. Ejercicio: Pruebe que se verifica A B = A B A = B Demostración a) A B x A x A x B (p p q) x A B x A B x A x B, x B luego, A B. por def. de reunión por hipótesis por def. de (p q q). Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 23

24 Universidad Nacional de Educación b) B A, se demuestra de manera análoga a la prueba de A B Por tanto de a) y b), se concluye que A = B. Diferencia de conjuntos Sean dos conjuntos A, B y el conjunto E dado por el convenio de la unión. Se llama diferencia entre A y B al conjunto: A B = { x E / x A x B } Se cumple x (A-B) x A x B Propiedades: La diferencia de conjuntos satisface: 1. A A = Φ, A 2. A - Φ = A, A 3. A (B C) = (A B) (A C) 4. A B A B = Φ 5. B (A B) = Φ Demostración: Quedan como ejercicio. COMPLEMENTO DE CONJUNTOS Si A B, el complemento de A con respecto a B es el siguiente conjunto: C B A = B - A El subconjunto C B A de E se caracteriza por x C B A x B x A o en forma equivalente x C B A x B x A La diferencia E A, donde E es el conjunto referencial, se le llama el complemento de A. En lugar de leer el complemento de A con respecto a E, se lee simplemente complemento de A si no hay lugar a confusión. 24 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

25 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias Se denota por C A = A = A Por comodidad, usaremos la notación A. Luego, A = {x E / x A} lo que caracterizamos x A x A Ejercicio: Enuncie y demuestre las propiedades básicas del complemento de conjuntos. Diferencia simétrica Sean A y B dos subconjuntos de E. La diferencia simétrica de A y B es el conjunto A B, dado por: (A-B) (B-A). Ejercicio: Enuncie y demuestre las propiedades básicas de la diferencia simétrica entre conjuntos: 1.6 RELACIONES Sean A y B dos conjuntos, se obtiene A x B. * Si R A x B, entonces se dice que R es una relación de A en B. Además tenemos: (x, y) R x R y * El conjunto Dom (R) = { x A / (x,y) R } se llama dominio de R * El rango de R se denota con rang (R) y es el siguiente subconjunto de B: rang (R) = { y B / (x,y) R } Para un solo conjunto A, si R A x A, entonces se dice que R es una relación definida en el conjunto A. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 25

26 Universidad Nacional de Educación Relación inversa Definición.- Si R es una relación de A en B. La relación inversa de R se denota con R - 1, y es el subconjunto de B x A, formado por los pares (y, x) tales que (x, y) R. Es decir: R -1 = { (y, x) B x A / (x, y) R } Se cumple: (y, x) R -1 (x, y) R Composición de relaciones Sean: R una relación de A en B y S una relación de B en C. Definición.- La relación compuesta de R y S se denota con SοR y es la relación de A en C formado por los pares (x, z) de modo que existe y B tales que (x, y) R (y, z) S. S ο R = { (x, z) A x C / y B, (x, y) R (y, z) S } Tenemos: (x, z) SοR y B, (x, y) R (y, z) S SοR A R B S C x y z Relaciones reflexivas, simétricas, antisimétricas y transitivas Sea R una relación definida en un conjunto A se dice que: 1.- R es reflexiva si y sólo si, x A, x R x 2.- R es simètrica si y sólo si, x R y y R x 3.- R es antisimètrica si y sólo, si x R y y R x x = y 4.- R es transitiva si y sólo si, x R y y R z x R z Tarea: Investigar sobre las relaciones de orden y proponga ejemplos 26 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

27 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias Relaciones de equivalencia Sea R una relación definida en A. Definición.- Se dice que R es una relación de equivalencia en A si y sólo si: 1. a A, (a, a) R (a R a) 2. (a, b) R (b, a) R (a R b b R a) 3. (a, b) R (b, c) R (a, c) R (a R b b R c a R c) Ejemplo 1 Dado A un conjunto no vacío, la relación de igualdad entre elementos de A se define como sigue: (a, b) R a = b Entonces se verifica que esta relación de igualdad es de equivalencia en A. Ejemplo 2 En conjunto de los enteros se define la relación R, por la siguiente condición: (a, b) R a - b es múltiplo de algún entero n > 0 (n fijo) Esto es: (a, b) R a - b = n k, k (n > 0 fijo) Se verifica que esta relación R es de equivalencia en Z: CLASES DE EQUIVALENCIA Y CONJUNTO COCIENTE POR UNA RELACIÓN R Definición.- Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. 1) Para a A, la clase de equivalencia de a es el conjunto de los elementos de A que se relacionan con a. Los denotamos con [a], es decir: [ a ] = { x A / (x, a) R } Por definición, [ a ] A. Para cada a A. 2) El conjunto formado por todas las clases de equivalencia diferentes se llama conjunto cociente de A por la relación R y se denota: A / R Según esto: A / R = { [ a ] P(A) / a A } PROPIEDADES: Si R es una relación de equivalencia definida en un conjunto A, entonces se verifican las siguientes propiedades: Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 27

28 Universidad Nacional de Educación Propiedad 1 Para cada a A, [ a ] es no vacío. En efecto: Como R es reflexiva se cumple: Para cada a A, (a, a) R, y por definición de clase de equivalencia, se tiene a [ a ], es decir [ a ] Propiedad 2 Para a A y b A, se cumple uno y sólo una de las siguientes igualdades: [ a ] = [ b ] o [ a ] [ b ] = Es decir, dos clases de equivalencias o bien son iguales o bien son disjuntas: Propiedad 3 (a,b) R [ a ] = [ b ] Propiedad 4 La unión de todas las clases de equivalencias de los elementos de A, coincide con A En símbolos U [ a ] = A, para todo a A. Nota Las propiedades anteriores 1, 2 y 4 constituyen la primera parte del teorema fundamental de la partición. 28 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

29 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias Aplicación en la construcción del conjunto Z de los enteros Siendo N el conjunto de los números naturales En A = x, se define la relación R: (a, b) R (c, d) a + b = b + c Se verifica que que R es de equivalencia en x : Determinamos el conjunto cociente: x / R P 0 ). Para (0, 0) x, hallamos [(0, 0)]: (x, y) [(0, 0)] (x, y) R (0, 0) x + 0 = y + 0 y = x [(0, 0)] = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3),... } P 1 ). Para (1, 0) x, hallamos [(1,0)]: (x, y) [(1, 0)] (x, y) R (1, 0) x + 0 = y + 1 x = y + 1 [(1,0)] = { (1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3),... } P 2 ). Para (2, 0) x, hallamos [(2,0)]: (x, y) [(2, 0)] (x, y) R (2, 0) x = y + 2 [(2,0)] = {(2,0), (3,1), (4,2), (5,3),...} Así sucesivamente, se pueden determinar las clases de equivalencia de los pares (3,0), (4,0), (5,0),,(n-1,0) P n ) Para (n, 0) x, hallando [(n,0)] se tiene: [(n,0)] = { (n, 0), (n+1, 1), (n+2, 2), (n+3, 3),... } Análogamente, hallando [(0, 1), (0, 2)],..., [(0,n)], etc. Se tiene: [(0, 1)] = { (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)... } [(0, 2)] = { (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)... } [(0, n)] = { (0, n), (1, n+1), (2, n+2), (3, n+3)... } Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 29

30 Universidad Nacional de Educación De aquí: Ordenando las diferentes clases de equivalencia de x, por R, se tiene: Notación..[(0, n)]... [(0, 2)], [(0, 1)], [(0, 0)], [(1, 0)], [(2, 0)]...,[(n, 0)]..., -n n, Formamos el conjunto cociente: x / R = x / R = {..., [(0, 2)], [(0, 1)], [(0, 0)], [(1, 0)], [(2, 0)],... } = {..., -n,, -2, -1, 0, 1, 2,..., n, } recibe el nombre de conjunto de los números enteros. Aplicación en la construcción del conjunto Z n de los enteros residuales módulo n Dado n>o entero fijo en. Se define la relación R en como sigue: (a, b) R a b es múltiplo de n (a, b) R a b = n k, k (1) Se verifica que esta relación R es de equivalencia en. (2) Hallando el conjunto cociente Ζ / R: Se verifica que las clases de equivalencia de de todos los elementos de Z, sólo se reducen a n clases de equivalencia: Desde la clase [ 0 ], hasta la clase [ n-1 ] El conjunto cociente / R es: / R = { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ],..., [ n-1 ] } Se llama el conjunto de los enteros residuales módulo n y se denota con n, es decir: n = { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ],..., [ n-1 ] } 30 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

31 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias 1.7. ENFOQUE ALGEBRAICO DE LAS FUNCIONES Definición: Se dice que una relación f de A en B es una función de A en B, si y sólo si f satisface: (1) Dom(f) = A (2) (x, y) f (x, z) f y = z Nota Si f es una función de A en B, escribimos: f : A B ó A B Además: (x, y) f y = f (x) y es la imagen de x por f, x es la preimagen de y. Ejemplo: Dado A un conjunto no vacío I A : A A; tal que I A (x) = x, x A I A se llama la función identidad de A. Igualdad de funciones Dos funciones son iguales si como conjuntos son iguales (poseen los mismos pares ordenados). Teorema: Sean f : A B y g : A B dos funciones, se cumple f = g f (x) = g (x) Prueba: Si f = g f (x) = g (x) ) y = f (x) (x, y) f (x, y) g y g (x) y = f (x) = g (x) ) Si f (x) = g (x) f = g (x, y) f y = f (x) f (x) = g (x) y = g (x) (x, y) g Por el axioma de extensión para conjuntos: f = g Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 31

32 Universidad Nacional de Educación Funciones inyectivas y suryectivas Sea f : A B una función 1) Se dice que f es inyectiva, si y solo si f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 equivalentemente: x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) 2) Se dice que f es suryetiva si y solo si el rango de f es B. Es decir, para todo y B, existe un x A tal que y = f (x). Funciones biyectivas Definición: Se dice que f : A B es una función biyectiva si y solo si f es inyectva y suryectiva. Ejemplo: Dados A = R y B = R y función f : R R tal que f (x) = a x + b; a 0 Se prueba que f es biyectiva. (a) Veamos la inyectividad f (x) = f (m) a x + b = a m + b ax = am x = m f es inyectiva (b) Veamos la suryectividad Para cada y R, f (x) = y debe existir una x R tal que f (x) = y a x + b = y a x = y b a 0 x = (y b)/ a en R tal que f (x) = f ((y b) /a) = a (y b) /a + b = y b + b = y Entonces f es suryectiva De (a) y (b) podemos afirmar finalmente que f es biyectiva. 32 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

33 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias Funciones invertibles Definición: Se dice que una función f : A B es invertible si y solo si, su relación inversa f 1 es también una función de B en A. En este caso f 1 : B A se llama la función inversa de f. Además se cumple: (y, x) f 1 x = f 1 (y) (x, y) f y = f (x) y = f (x) x = f 1 (y) Teorema: Una función f : A B es invertible si y sólo si f es biyectiva. Prueba: ) a) Inyectividad y = f (x 1 ) = f (x 2 ) (x 1, y) f (x 2,y) f (y, x 1, ) f 1 (y, x 2 ) f 1 x 1 = x 2 ( f 1 es una función de B en A) f es inyectiva b) Veamos la suryectividad Rang(f ) = Dom(f 1 ) = B f es suryectiva De a) y b) finalmente que f es biyectiva. ) f es biyectiva (hipótesis, se debe probar que f es invertible f 1 : B A es función) i) Dom(f 1 ) = Rang(f ) = B ( f es suryectiva) Dom(f 1 ) = B ii) (y, x) f 1 (y, z) f 1 (x, y) f (z, y) f y = f(x) y = f(z) f(x) = f(z) x = z Luego, f es invertible. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 33

34 Universidad Nacional de Educación Corolario: Si f : A B es función invertible, entonces f 1 : B A es biyectiva. Composición de funciones Sea f : A B y g : B C dos funciones Definición: La función compuesta de f y g es una función de A en C y se denota con gο f y se define gο f : A C donde: x A; (gο f )(x) = g( f (x)) (gο f Se lee f compuesto con g) Teorema Si f : A B y g : B C son dos funciones, se verifica: (a) Si f y g son inyectivas gο f es inyectiva. (b) Si f y g son suryectivas gο f es suryectiva. (c) Si f y g son biyectivas gο f es biyectiva Prueba: (a) (gο f )(x) = (gο f )(m) g(f(x)) = g(f(m)) f(x) = f(m) x = m Luego gο f es inyectiva. (b) gο f : A C es suryectiva como g : B C es suryectiva Dado z C; existe y B tal que z = g (x) Como f : A B es sutryectiva y además dado y B existe un x A tal que y = f (x), entonces existe x A tal que z = g(f(x)); es decir, z C existe x A tal que z = (gο f )(x) Luego, gο f es suryectiva. (c) Es consecuencia de las partes (a) y (b) 34 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

35 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias Ejemplo: Sea f : R R / f(x) = 5x + 4; esta función es biyectiva. Como y = f(x) x = f 1 (y) y = 5x + 4 5x = y - 4 x = (y 4)/5 f 1 (y) = (y 4)/5; o sea: f 1 (y) = (y 4)/5 Imágenes de conjuntos mediante funciones Sea f : B A una función M A; N B (1) La imagen de M es el siguiente conjunto. f (M) = {y B / y = f (x); x M} (2) La imagen inversa de N es el siguiente conjunto: f 1 (N) = {x A / y = f (x); y N} y = f (x) f (M) x M/ y = f (x) x M f (x) f (M) Nota: f : B A es suryectva, si f (A) = B Ejercicio: Para a < b y considerando los intervalos [0,1] y [a, b] definimos: f : [0, 1] [a,b] tal que f (x) = a + (b a)x. Pruebe que f es biyectiva. CONJUNTOS EQUIPOTENTES Definición: Se dice que un conjunto A es equipotente a un conjunto B si y solo si existe una función f : A B tal que f es biyectiva. Escribimos: A B, en caso contrario diremos que A no es equipotente a B. Ejemplo: Se verifica que todo intervalo [a, b] de, con a < b, es equipotente con el intervalo [0, 1]. Para esto, es suficiente definir la función f: [0, 1] [a, b], tal que su regla es: f ( x ) = a + (b - a) x, luego se prueba que f es biyectiva. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 35

36 Universidad Nacional de Educación Propiedad La equipotencia entre conjuntos no vacíos es una relación de equivalencia en el conjunto de partes. Prueba: Para la reflexividad, se usa el hecho de que la función identidad es biyectiva. Para la simetría se usa el hecho de que la función inversa es biyectiva. Para la transitividad se usa la compuesta de dos funciones biyectivas. Nota: Si A y B son conjuntos equipotentes, entonces se afirma que estos tienen igual número de elementos o el mismo cardinal. Nota: Si A y B son disjuntos, entonces Card(A B) = Card(A) + Card(B) Conjuntos infinitos y finitos Definición: se dice que un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A tal que B A. En caso contrario, diremos que A es finito. Es decir: A es finito si y solo si B subconjunto propio de A, B no es equipotente con A. Convenio: El vacío (φ) es finito. Ejemplo: 1) A = {a} es finito, pues: B = φ; el único sunbonjunto propio de A que no es equipotente con A. 2) Dado A = {a, b}; se tiene que B 1 = {a}; B 2 = {b}; B 3 = φ son subconjuntos propios de A que no son equipotentes con A. Es decir, A es conjunto finito, 3) El conjunto C = {1, 2, 3} es finito, pues todos los subconjuntos propios de C no son equipolentes con C. 36 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

37 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias 4) El conjunto A = N = { 0, 1, 2, 3,...} de los números naturales es infinito. Pues existe P = { 0, 2, 4, 6,...} de los naturales pares (P N) (N P )...( ) Para esto, si definimos: f : N P n 2n f es biyectiva, luego N P N P 5) Haga la explicación de que el intervalo [5, 9] de, es un conjunto infinito. 6) Comente el hecho que es un conjunto infinito. también, no son conjuntos finitos. 1.8 CONJUNTOS NUMERABLES Definición: Un conjunto X es numerable si existe una función f : N X tal que f es biyectiva. Ejemplos 1) El conjunto N = {0, 1, 2, 3,...} es numerable, pues existe I N : N X = N función identidad I N, con I N biyectiva. 2) El conjunto de los números enteros Z con Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} es numerable. Si definimos: f :N Z donde: f ( n) n / 2; = ( n + 1) si / 2; n es par si n es impar Se prueba que f es biyectiva. 3) Averigua que el conjunto de los números racionales Q es numerable. 4) El conjunto de los números reales R no es numerable pues no existe g :N R con f biyectiva. Proposición: Si A es finito y X en numerable, entonces A X es numerable. Prueba Sea A = { a 0, a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n } y X = {x 1, x 2, x 3, x 4,..., x n, } A X = { a 0, a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n, x 1, x 2, x 3, x 4,...} Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 37

38 Universidad Nacional de Educación definamos la función Φ :N A X,donde Φ(k) = a k con k = 0, 1, 2, 3, 4,...,n Φ(n+k) = b k, Φ es biyectiva n n+1 n+2... n+k N a 0 a 1 a 2 a n x 1 x 2 x k A B Proposición: La unión de los conjuntos numerables es numerable. Prueba: Sean: X = { a 0, a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n } y Y = { b 0, b 1, b 2, b 3, b 4,..., b n } X Y = { a 0, b 0, a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3,...} definimos: f : N X Y n par a n/2 n impar b(n-1)/2 Se tiene que f es biyectiva; luego X Y es numerable. La numerabilidad de Una manera de mostrar que el conjunto de los números racionales es numerable, sigue este proceso: * En primer lugar, se establece que el conjunto + de los racionales positivos es un conjunto numerable, pues * Denotando con h : al conjunto de los racionales negativos, se define: / h ( x ) = -x y se prueba que h es biyectiva, es decir: Por la transitividad de la equipotencia: Es decir: Q - es también numerable - * Siendo = { 0 } Luego, usando los dos resultados anteriores, se tiene que es numerable. 38 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

39 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias La no numerabilidad de Una nueva forma de demostrar que R no es numerable ha sido estudiada y extraída del libro Números, grupos y anillos de Eugenio Hernández -Universidad Autónoma de Madrid- España. Para mostrar el hecho que el conjunto debe considerar y seguir el siguiente procedimiento: de los números reales, no es numerable se (1) Un resultado que establece: si A es un subconjunto no numerable de un conjunto B, entonces B es también no numerable. (2) Dado el intervalo A = ] 0, 1[ y B =. (3) Previamente se debe verificar que ] 0, 1 [ no es numerable. Una forma de probar este resultado es suponer que ] 0, 1 [ es numerable, entonces todos los elementos o puntos de este intervalo se pueden escribir en una sucesión a, b, c, d, e, f, g, h,... con valores entre 0 y 1. Con centro en a elegimos un intervalo de medida 1/10 Con centro en b elegimos un intervalo de medida 1/10 2 Con centro en c elegimos un intervalo de medida 1/ Análogamente, se prosigue con los demás puntos, eligiendo intervalos de medida 1/10 4, 1/10 5,..., etc. Todos los puntos del intervalo abierto ] 0, 1[ quedarán cubiertos completamente por esta sucesión infinita de intervalos que posiblemente no sean disjuntos. La suma de las medidas de estos intervalos está dada por la siguiente serie: 1 / / / / = 1 / 9 La medida del intervalo ] 0, 1 [ es 1, y este ha sido cubierto por la unión de infinitos intervalos cuya medida total es a lo más 1/9. Esta es la contradicción buscada. Entonces, A = ] 0, 1 [ no es numerable. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 39

40 Universidad Nacional de Educación Ahora: En base al resultado (1), siendo ] 0, 1[ un subconjunto no numerable de, entonces no es numerable. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1) Hable sobre la importancia de los fundamentos lógicos. 2) Comente la importancia de los métodos de demostración en la matemática. 3) Comente la importancia del método axiomático. 4) Enuncie y demuestre las otras propiedades sobre conjuntos. 5) Estudie las relaciones de orden y comente su importancia. 6) Comente la importancia del estudio de las funciones. 7) Pruebe que la equipolencia entre conjuntos no vacíos es de equivalencia. 8) Refiérase a la importancia de las funciones biyectivas y de la equipotencia. 40 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

41 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias OPERACIONES INTERNAS Y ESTRUCTURA DE GRUPO Capítulo 2 SUMILLA: En esta parte, se presenta una breve exposición de las operaciones internas y la estructura de grupo, como estructura algebraica fundamental. Su conocimiento tiene incidencia en el aprendizaje de la matemática en el nivel secundario. Por este motivo, desarrollaremos las estructuras algebraicas de semigrupos, grupos, subgrupos normales, homomorfismos de grupos; los subgrupos generados, para luego ver los grupos cíclicos. OBJETIVOS: 1) Utilizar los fundamentos algebraicos en el aprendizaje de las operaciones internas. 2) Utilizar las operaciones internas en la estructuras de semigrupos y grupos. 3) Conocer los conceptos basados en los grupos y subgrupos clásicos. 4) Comprender la importancia estudiar estructuras de grupos para la enseñanza de la matemática en educación secundaria, considerando sus aplicaciones. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 41

42 Universidad Nacional de Educación 2.1. OPERACIONES INTERNAS Sea A un conjunto no vacío (A φ ) Definición.- Se llama operación interna o ley de composición interna (L. C. I.) en A a toda función: Τ: A x A A (a, b) a Τ b donde a Τ b es el resultado de operar a con b por la ley Τ considerando el orden, es decir: a es el elemento de la izquierda y b es el elemento de la derecha De otra forma: Según la escuela francesa, sea E AxA se llama ley de composición interna en A a toda aplicación; Τ: E A. Si E = A x A, entonces Τ se llama L. C. I. totalmente definida. Si E A x A E A x A, entonces Τ se llama L. C. I. parcialmente definida. Notas: Siendo Τ una operación interna en A, para a y b de A, b Τ a de A es el resultado de operar b con a mediante Τ. En este caso: b es el elemento de la izquierda. a es el elemento de la derecha. Una L. C. I. en A puede ser representada por otros símbolos, como:, *, *, #, $, etc. Si * es una operación interna en A: * : A x A A (a, b) a * b Ejemplos: 1) Siendo N el conjunto de los números naturales, definimos las operaciones o leyes de composición interna de adición y multiplicación; "+" y "." mediante: + : N x N N. : N x N N (a, b) a+b (a,b) a..b 42 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

43 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias La función + es una ley de composición interna en N que se llama adición de números naturales. El resultado a + b N se llama suma de los naturales a y b, que a su vez son los sumandos. La L. C. I. "." es una operación interna en N que se llama multiplicación de números naturales. El resultado a.b N se llama producto de los naturales a y b, que se llaman factores. 2) Así como en N, en los conjuntos numéricos Z, Q, R y C, las operaciones denotadas con + y. se llaman respectivamente adición y multiplicación usuales, definidas en estos conjuntos. 3) En el conjunto N, la sustracción denotada con "-" y la división denotada con " " no son operaciones internas totalmente definidas. Estas son operaciones parcialmente definidas. La sustracción sólo se cumple para los pares (a,b) N x N tales que a b, es decir: (a b) N a b En la división sólo se cumple para los pares (a,b) N x N tal que a es múltiplo de b, es decir: (a b) N c N tal que a = c b 4) Dado E, un conjunto, y P (E) el conjunto formado por todos los subconjuntos o partes de E. Definimos: : P (E) x P (E) P (E) (X, Y) X Y : P (E) x P (E) P (E) (X, Y) X Y y son leyes de composición interna en P (E) llamadas intersección y unión, respectivamente. 5) En el conjunto de los números enteros Z, si se definen Τ y * con las reglas;: a Τ b = a + b -2 x * y = x + y 2 es fácil ver que T y * son operaciones internas en Z Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 43

44 Universidad Nacional de Educación Estructura algebraica Si Τ es una ley de composición interna en A, entonces al par (A, Τ) se llama estructura algebraica. Es decir, afirmamos que T provee de una estructura algebraica al conjunto A φ. Algunos autores llaman monoide a esta estructura algebraica. Así por ejemplo son estructuras algebraicas: aditivas: (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +), siendo + la adición usual en los conjuntos numéricos dados. Observación: si en A se definen dos leyes de composición internas: Τ y * se denotará (A, Τ, *) para indicar una estructura algebraica provista de las dos leyes de composición interna. Teorema (Leyes de Monotonía) Si T es una operación interna en un conjunto A no vacío, se verifica: (1) a = b a T c = b T c (2) a = b c T a = c T b Para la demostración, se usa la propiedad reflexiva de la igualdad entre elementos y el principio de sustitución OPERACIONES ASOCIATIVAS Definición.- Una operación T es asociativa en A si y sólo si, cualesquiera que sean a, b, y c en A se verifica: (a Τ b) Τ c = a Τ (b Τ c) Ejemplos: 1) En los conjuntos numéricos usuales, las operaciones de adición (+) multiplicación (.) son asociativas, pues para todo a, b, c en estos conjuntos se cumple: (a + b) +c = a + (b + c) (a. b). c = a. (b. c) 44 Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas)

45 Programa de Actualización - Titulación Facultad de Ciencias 2) Dado E un conjunto y P (E) el conjunto de las partes de E. En P (E) las operaciones de intersección ( ) y de unión ( ) son asociativas. Se pide al lector, fundamente este hecho. Semigrupos Definición.- Si Τ es una operación interna asociativa en A, entonces, se dice que Τ define en A una estructura de semigrupo. Se denota por el par (A, T). TEOREMA: Sea (A,T) un semigrupo y H un subconjunto no vacío de A, se cumple que: T es asociativa en H para todo a, b en H, a T b H. (*) Demostración: Como ( A, T ) es semigrupo, T es asociativa en A ( ) Si T es asociativa en H (por hipótesis), entonces T es ley interna en H, es decir: a, b H, a T b H. ( ) a, b H, a T b H. (por hipótesis), entonces demostraremos que T es asociativa en H; a, b, c H ( a T b ) T c = a T ( b T c ) en A; además H A ( a T b ) T c = a T ( b T c ) en H Como los miembros de la igualdad están en H, por hipótesis, entonces T es asociativa en H. Nota: De la condición (*) del lado derecho del teorema, se afirma que H es parte estable de A, respecto de la operación T. OBSERVACIÓN: Este teorema es muy importante, pues sirve en la demostración de otros teoremas sobre subgrupos, subanillos y subespacios vectoriales,como lo veremos más adelante. Nótese que es suficiente que un subconjunto sea parte estable respecto de una operación interna T, para afirmar que T es asociativa en dicho subconjunto. Módulo de Seminario de Especialidad (Estructuras Algebraicas) 45