problema de la dieta

Transcripción

1 La programación lineal es una herramienta de la investigación de operaciones y muy útil para la toma de decisiones. Esta es una herramienta genérica que sirve para resolver problemas lineales. De acuerdo a los valores que pueden tomar las variables que intervienen en un problema de programación lineal, se utiliza, la programación lineal propiamente dicha, cuando los valores están en los números reales y la programación entera, en donde la variable asume solamente números enteros. La solución de un problema con variables enteras es mucho más complicada que un problema de números reales y no es nuestro objeto de estudio. En las empresa, muchas de las decisiones que se toman tienen están dirigidas a optimizar sus recursos, como puede ser el uso de la maquinaria, capital, materias primas, etc. Estos recursos son utilizados en la producción de bienes que a final de cuentas representan ingresos para la empresa. La Programación Lineal es una técnica matemática diseñada para asistir y a los tomadores de decisión de la empresa en la planificación y uso racional de los recursos con que cuenta. Existen muchos ejemplos exitosos en la literatura de aplicaciones de programación lineal, los ejemplos clásicos son, el problema de la dieta y el de transporte. El problema de la dieta, fue uno de los primeros problemas sobre optimización, motivado por el deseo del ejército americano de asegurar unos requerimientos nutricionales al menor coste. El problema fue analizado y resuelto por George Stigler usando la programación lineal en La formulación general de este problema es: Para que una dieta sea equilibrada deben ingerirse n elementos nutritivos básicos en cantidades mínimas b 1, b 2,..., b s. Estos elementos se encuentran en m alimentos. Conocemos cuál es la cantidad de cada elemento en cada unidad de cada uno de los alimentos y el coste de la unidad de cada alimento. Se debe minimizar el coste de la dieta pero cubriendo las necesidades nutritivas mínimas. Por ejemplo; Un especialista en nutrición, elabora un plan para determinado tipo de pacientes basado en tres grupos de alimentos; verduras, carne y pescado y harinas, trigo y maíz. Estos se deben combinar para que cumplan con ciertos requisitos nutritivos mínimos de proteínas y calorías de 2600 calorías y 60 g de proteína por día. El contenido de cada alimento por cada 100gr es el siguiente. Las verduras tienen 100 calorías y 2 gr de proteína, la carne y el pescado en promedio 500 calorías y 35 gr de proteína; las harinas combinadas ofrecen en promedio 120 calorías y 8 gr de proteína. Si los precios por cada 100 gr de verdura, proteína y harinas son de $ 8.0, $25.0 y $3.0 respectivamente Cuál debe ser la combinación de alimentos de manera que el costo sea mínimo y se satisfagan las condiciones de nutrición por día? 1

2 Podemos resumir el problema en el siguiente cuadro: Verduras Carne y pescado Harinas Requisitos mínimos Calorías 100 cal 500 cal 120 cal 2600 cal Proteínas 2 gr 35 gr 8 gr 60 gr Precios por 100 gramos $ 8.0 $ 25.0 $ 3.0 La formulación general del Problema del transporte es que un cierto producto se elabora en varios centros, n, y en su producción intervienen los productos a 1,a 2,...,a s. Este producto debe ser enviado a m destinos cuyo coste por envío desde cada planta a cada destino son conocidos. Además se deben enviar en cantidades b 1,b 2,...,b s. El objetivo es minimizar el coste total del transporte. Por ejemplo, Una empresa tiene dos plantas de producción en la ciudad de México, una en el norte y otra en el sur. El nivel de producción de la planta del sur es de 1500 unidades y la del norte de Las ventas de la empresa se distribuyen en las ciudades de Cuernavaca 850 unidades, Guadalajara 4000 unidades, Monterrey 3500 unidades. El costo de transporte se por unidad se muestra en la siguiente tabla. Cuernavaca Guadalajara Monterrey Planta Sur Planta Norte La pregunta es determinar el número de unidades que debe enviar desde cada planta a cada ciudad para que los costos sean mínimos? La programación lineal. Los problemas de programación tienen como objetivo principal la asignación óptima de los recursos con que cuenta una empresa, la mayoría de las veces muy limitados, para alcanzar objetivos específicos. Por esta razón los recursos, definidos en forma de restricciones, pueden ser de distintos orígenes. Estas van desde las restricciones de producción como las impuestas por el mercado. También, pueden ser resultado de las limitaciones de material en almacén o en reserva. Al final, el objetivo es maximizar o minimizar una función de beneficio, como podrían ser el la máxima utilidad ó el mínimo costo. Trataremos de determinar la mejor solución posible bajo ciertas restricciones, tales como el trabajo, maquinaria y la existencia de insumos necesarios para la fabricación de los productos de la empresa. 2

3 La primera fase para emprender la solución a un problema de Programación Lineal es formular y obtener el modelo. Considerada esta etapa la más importante del proceso de aplicación, en la cual se necesita definir claramente el problema y conceptualizar de una manera correcta el problema que presente el sistema sobre el cual se pretende realizar la aplicación. La etapa siguiente en el proceso es alcanzar la solución del modelo. Modelado de un programa lineal. La formulación del programa lineal es fundamental para obtener una buena solución a nuestros problemas. Este proceso comprende los siguientes pasos, 1. La formulación del problema y la identificación de las variables de decisión, las que representan el interés fundamental del problema a resolver. 2. Formular la función económica, o función objetivo. 3. Formular en forma de inecuaciones las restricciones del modelo, pueden ser de producción, de presupuesto, etc. Ejemplos. Problema de la dieta, propuesto al inicio. El especialista en nutrición desea formular una dieta basado en tres tipos de alimentos; verduras, carne y pescado, y harinas. El objetivo es encontrar la combinación de alimentos de manera que el costo sea mínimo y se satisfagan las condiciones de nutrición por día. La formulación del programa lineal sería el siguiente Las variables de decisión son; x 1 verdura, x 2 proteína, x 3 harinas. Se trata de un programa de minimización de los costos. a) Función objetivo. Donde Z es una función económica a minimizar Min Z = 8x x 2 + 3x 3 b) Sujeta a las restricciones. Hipótesis de linealidad del modelo; es decir para obtener 2600 calorías diarias se requiere una combinación 100x 1 de verdura, 500x 2 calorías obtenidas de carne y pescado y 12x 3 de harinas de trigo y maíz. La misma consideración se hace para las proteínas. 100x x x x x 2 + 8x 3 60 Restricción de calorías Restricción de proteínas c) No negatividad de las variables x 1, x 2, x 3 0 3

4 Una organización cafetalera indígena desea comercializar 2 tipos de productos orgánicos; café y pimienta. El café orgánico cuesta $80 pesos/kilo y la pimienta $160 pesos/kilo. Para transportar los productos a la ciudad más cercana cuenta con un camión que solo puede transportar 20,000 kg y un volumen de 1200 m 3. Si el café ocupa m 3 y la pimienta 0.01 m 3 por cada kg, cuántos kilos de cada producto debe cargar en el camión para maximizar su ganancia? Las variables de decisión son; x 1 café y x 2 pimienta. Se trata de un programa de maximizar las utilidades de la organización. De esta manera la función a maximizar es. Max Z = 80x x 2 a) Sujeta a las restricciones. Hipótesis de linealidad del modelo; por un lado el camión solo puede transportar una combinación de x 1 de café y x 2 de pimienta que no deben rebasar un peso de 20,000 kg. Por otro lado, el volumen de 0.025x 1 de café y 0.01x 2 de pimienta pueden ocupar un volumen no mayor a 1200 m 3. x 1 + x 2 20,000 Restricción de capacidad 0.025x x Restricción de volumen b) No negatividad de las variables x 1, x 2, x 3 0 Como hemos visto, un programa lineal pone en juego cuatro categorías de elementos; las actividades, las constantes económicas, las restricciones y los coeficientes técnicos. a) Las actividades son las variables de decisión del modelo en estudio. Se trata de seleccionar aquellas que correspondan a la función a optimizar. Usualmente utilizamos letras como x 1, x 2, x 3,. O bien x, y, z, t, b) Las constantes económicas miden el nivel de realización asociado al beneficio de cada recurso de la organización, o de la empresa. De esta manera a cada x j le asociamos un beneficio c j. c) Las restricciones del problema. Estas pueden ser de naturaleza muy diversa, dependen del problema. Son los elementos que limitan el problema, las restricciones. Estas pueden ser las limitaciones de producción, de presupuesto, etc. d) Los coeficientes técnicos, son las cantidades de cada recurso que son necesarios para producir una unidad de producto. Al recurso i y a la actividad j le corresponderá el coeficiente técnico a ij 4

5 Si las variables son continuas y los coeficientes técnicos y económicos son independientes de los valores de las variables, el problema de programación lineal se puede presentar de la siguiente manera. Un programa lineal en la forma canónica se escribe de la siguiente manera, Maximizar Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n sujeto a: a i1 x 1 + a i2 2x a in x n b i i = 1,2,3,., n En términos económicos, x j 0 x j c j a ij b i Z Cantidad de producto j a producir. Beneficio asociado a una unidad de producción del producto j Cantidad del recurso i requerido para producir una unidad del producto j Cantidad del recurso i disponible. Beneficio total o función económica Para resolver el programa lineal, deberemos buscar los valores de las variables de decisión como x 1, x 2, x 3,., que optimizan la función económica Z, o si así fuera el caso demostrar que el modelo no tiene solución. Para establecer un lenguaje común damos las siguientes definiciones; Llamaremos solución factible, cualquier grupo de valores de las variables de decisión como x 1, x 2, x 3,. Que verifican el sistema de inecuaciones anterior. Solución óptima toda solución que optimiza la función Z. El conjunto de todas las soluciones factibles de un programa lineal le llamaremos dominio de soluciones factibles Todo problema de programación lineal debe cumplir con lo siguiente; a) Las soluciones del problema serán, en general, números reales. Para aquellos problemas en los cuales sólo tenga sentido obtener soluciones enteras, se tendrá que aplicar los métodos de solución de la Programación Lineal Entera. b) No negatividad. Las variables de nuestro modelo tomarán siempre valores positivos, esto es muy útil para las aplicaciones económicas ya que no tiene sentido hablar de cantidades negativas de objetos físicos. c) Todas las restricciones deben formularse como ecuaciones. 5

6 d) La parte derecha de una restricción no puede ser negativa Desde el momento en que George Dantzig desarrolla el método simplex para obtener la solución a un modelo de programación lineal, éste método ha sido considerado el único método útil y aplicable a la gran mayoría de problemas de programación lineal. Sin embargo para poder alcanzar una fuerte comprensión del método simplex se hace necesario estudiar inicialmente el método de solución gráfica. Resolución gráfica de un problema de Programación Lineal El método gráfico de resolución es útil cuando trabajamos programas lineales de dos variables. Para aquellos casos en que el número de variables del problema sea superior a dos, es complicado encontrar la solución a partir de un gráfico bidimensional y, por tanto, tendremos que usar métodos de resolución más complejos. Aun así, el método gráfico es de un gran valor pedagógico dado que nos permite vislumbrar de una forma intuitiva las ideas básicas de la Programación Lineal. Ejemplo. Una empresa electrónica fabrica dos tipos de memoria para computadora, m 1 y m 2. En el proceso de producción se requiere pasar por dos máquinas distintas, A y B. La máquina A requiere de 75 minutos para la memoria m 1 y 25 para la memoria m 2. La máquina B necesita de 20 y 12 minutos respectivamente. Además, por razones de mantenimiento, la máquina A solo puede trabajar 30 horas por semana y la B 13 horas. Si el beneficio por unidad de la memoria m 1 es de $60 pesos y el de la memoria m 2 es de $45. Cuánto debemos producir de cada tipo de memoria para obtener el máximo beneficio? Para simplificar nuestro problema denotamos por x 1 : el número de unidades producidas por semana de la memoria m 1 y por x 2 al número de memorias producidas de m 2 El programa lineal será entonces; Maximizar z = 60x x 2 Sujeto a: 75x x x x x 1, x 2 0 (30 60) restricción máquina A (13 60) restricción máquina B no negatividad de las variables Si graficamos estas dos restricciones lineales en el plano real, la intersección de estas líneas forman lo que se conoce como región factible, o poliedro convexo 1. La teoría matemática establece que, dado un problema de Programación Lineal que tenga solución, ésta vendrá dada por uno de los vértices (o puntos extremos) del polígono que 1 Un poliedro convexo es una figura geométrica en la que al trazar un segmento que une dos puntos, estos puntos están contenidos dentro del poliedro. 6

7 configura la región factible. Por tanto, será suficiente hallar las coordenadas de dichos vértices (intersecciones de rectas) y determinar (sustituyendo en la función objetivo) cuál de ellos es la solución óptima. En nuestro ejemplo, tendríamos sólo cuatro puntos candidatos a ser solución del problema (los cuatro vértices del polígono), sustituyendo sus coordenadas en la función objetivo obtenemos: Z(0,0) = 0; Z(24,0) = 1440; Z 21, = ; Z(0, 65) = 2925 Como en este caso buscábamos maximizar Z(X, Y), concluiremos que el punto óptimo es el (0,65), dado que con él obtenemos el valor máximo de la función objetivo. Ejemplo. Una cooperativa rural produce tres tipos de muebles de madera; bancos, mesas y sillas. Cuenta con dos talleres ubicados en el norte y en el sur de la localidad donde se encuentran. En cada una de ellas produce los muebles en las siguientes cantidades por hora, Taller norte Taller sur Bancos 1 2 Mesas 1 4 Sillas 6 3 La cooperativa recibe un pedido de 90 bancos, 120 mesas y 180 trompos. El costo de operación del taller sur es de $450 pesos y del taller norte $600 pesos por hora. Cuál es el programa de producción para minimizar los costos del pedido? Solución. Sean x 1 y x 2 el numero de horas que funcionan los talleres Norte y Sur para surtir el pedido. El programa lineal es, 7

8 Solución gráfica del programa lineal. Minimizar Z = 450x x 2 sujeto a: x 1 + 2x 2 90 x 1 + 4x x 1 + 3x x 1, x 2 0 Este ejemplo de producción puede ser representado gráficamente porque no tiene más de dos variables. Antes de buscar la solución del problema, definamos en la gráfica la región y los puntos que satisfacen las cuatro restricciones. La restricción de no negatividad de las variables nos indica que esta región solo incluirá aquellos valores que sean positivos. El beneficio para cada punto extremo, A, B y C es el siguiente; A(0,60) Los costos son Z = 450(0) + 600(60) = $36,000 B(10,40) Este punto se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones siguiente x 1 + 2x 2 = 90 6x 1 + 3x 2 = 180 x 1 = 90 2x 2 x 1 = 180 3x 2 Los costos son de Z = 450(10) + 600(40) = $28, x 2 = 180 3x 2 x 2 = 40 y x 1 = 10 C(60,15) Para obtener este punto resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones, x 1 + 2x 2 = 90 x 1 + 4x 2 = 120 x 1 = 90 2x 2 x 1 = 120 4x x 2 = 120 4x 2 x 2 = 15 y x 1 = 60 8

9 Los costos son de Z = 450(60) + 600(15) = $36,000 D(120,0) Z = 450(120) = $54,000 La solución óptima es x 1 = 10 y x 2 = 40. El costo de producción es de $28,500 Casos especiales Hasta ahora, los problemas resueltos gráficamente tienen una solución óptima, lo que no siempre sucede. A la hora de resolver un problema de Programación Lineal, nos podríamos encontrar con cualquiera de estas tres situaciones especiales que conviene conocer: No Factibilidad: Podría ocurrir que el problema propuesto no tuviese solución. Éste sería el caso en que las restricciones fuesen incompatibles, i.e., que ningún punto del plano (o, en general, del espacio real n-dimensional) puede cumplir simultáneamente todas las limitaciones a las que estamos sometidos, es decir, la región factible es un conjunto vacío. No Acotación: En ocasiones, podemos encontrarnos con problemas que no tengan una solución finita; así por ejemplo, en un problema de maximización podríamos tener alguna variable que pudiese incrementarse indefinidamente sin violar ninguna de las restricciones, permitiendo a la función objetivo tomar valores tan grandes como se desee. Gráficamente, tendríamos una región factible no acotada. Redundancia: Algunas restricciones pueden estar de más por no aportar nada nuevo a la forma de la región factible, ya que hay otras que resultan ser más restrictivas (esto suele ocurrir en problemas extensos, donde resulta difícil reconocer restricciones redundantes). Soluciones Múltiples: Un problema de Programación Lineal puede tener más de una solución óptima (e incluso infinita). En el caso gráfico de dos variables, si dos vértices consecutivos de la región factible son solución óptima del problema, entonces todos los puntos del segmento comprendido entre ellos también serán óptimos. Método SIMPLEX El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. La base del método es el álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan. Un programa lineal es un sistema de ecuaciones o de inecuaciones llamadas restricciones que son lineales (es decir, que las variables no están elevadas a una potencia superior a uno y no están multiplicadas entre ellas). Es a partir de estas restricciones que debemos optimizar una función lineal llamada función objetivo. 9

10 Formulación del problema. Este método, debido a George B. Dantzing, es un procedimiento iterativo que permite realizar una exploración dirigida del conjunto de puntos extremos de la región factible. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. El método Simplex, tiene como punto de partida el origen siendo este la solución inicial del sistema. De esta manera, el valor de la función objetivo es de cero al inicio. El método consiste en buscar sucesivamente otro punto extremo que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de puntos extremos es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el punto extremo A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual Z aumenta. Forma canónica y forma estándar Cualquier programa lineal se puede representar 2 dos formas equivalentes llamadas forma estándar y canónica. La forma canónica es de utilidad principalmente para explorar el programa dual, es la forma inicial de representación de nuestro problema. En forma matricial, Maximizar ( o Minimizar) sujeto a: Z = cx Ax b = x 0 Donde x y c, son vectores columna con n componentes, b es un vector columna de m componentes y A es una matriz de m x n Un programa lineal esta en forma canónica, si las variables son no negativas y las restricciones son para la maximización ó para la minimización. Sin embargo, el método Simplex esta diseñado para ser utilizado únicamente con problemas en la forma estándar. Es decir, a) Todas las restricciones son igualdades. b) Todas las variables son no negativas c) Los componentes del vector b de las restricciones son todos positivos. Para transformar un programa lineal en forma canónica a la forma estándar, las inecuaciones deben ser transformadas a ecuaciones mediante la incorporación de las siguientes variables. 10

11 Si la desigualdad es del tipo, agregamos una variable de holgura positiva del lado izquierdo de la inecuación. Para igualar el lado izquierdo con el derecho. a ij b i Se agrega una variable con signo positivo s i, donde i, representa el número de restricción. a ij + s i b i s i 0 En el caso de que la inecuación tenga signo se agrega una variable de holgura negativa del lado izquierdo de la restricción. a ij b i Se agrega una variable con signo positivo s i, donde i, representa el número de restricción. a ij s i b i s i 0 Asimismo, las igualdades pueden ser transformadas en dos desigualdades. a ij = b i a ij b i a ij b i y El método Simplex se basa en dos teoremas fundamentales Si un programa lineal tiene una solución factible, entonces existe al menos una solución básica. Si el programa lineal tiene una solución óptima, entonces existe al menos una solución básica que es óptima. La solución óptima es una solución básica, el método Simplex consiste en: 1. Determinar una solución básica. Es decir, que variables deben entrar a la base. 2. Probar si esta solución de las variables que están en la base es, o no, una solución óptima a. Si la solución es óptima el problema se termina b. En caso contrario pasamos al siguiente punto. 3. Cambiar la solución de la base y retomar el proceso a partir del punto 1 hasta encontrar la solución óptima. Cada cambio de base es una iteración diferente del método En muchos problemas prácticos, las restricciones pueden ser una combinación de los tipos anteriores por lo que es necesario explicar la metodología del Simplex con la ayuda de algunos ejemplos. 11

12 Ejemplos de Maximización. Sea el programa lineal siguiente: Maximizar Z = 3x + 4y sujeto a: 2x + 3y 180 2x + y 120 x + 3y 150 x 0, y 0 Los pasos a seguir para resolver un programa lineal por el método Simplex son los siguientes; 1. Pasar el programa lineal a la forma estándar. Se trata de convertir las desigualdades en igualdades. Para cada restricción, se incluye una variable de holgura, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + 3y + S 1 = 180 2x + y + S 2 = 120 x + 3y + S 3 = 150 x, y, S 1, S 2, S Igualar la función objetivo a cero, e incluimos las variables de holgura anteriores 3x 4y 0S 1 0S 2 0S 3 + Z = 0 3. Escribir la tabla inicial simplex. El proceso de cálculo iterativo del algoritmo del simplex es más ordenado si el modelo lineal se rescribe en una arreglo de datos que llamaremos Tabla del Simplex. En esta tabla se muestran con mucha claridad y en forma estructurada las variables y coeficientes del modelo. Además, cada tabla muestra una solución para un punto extremo del modelo lineal. En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: Variables Base Tabla inicial del simplex Variable de decisión Variable de holgura Valor x Y S 1 S 2 S 3 S S S Z

13 4. Elegir la variable básica y la variable de holgura que sale de la base, elección del pivote. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, realizamos los siguientes pasos, a) Escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto) de la función objetivo, última línea del arreglo del simplex. En nuestro ejemplo, la columna de la variable y que tiene el coeficiente 4, segunda columna. i. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. ii. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote b) Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la columna resultado por el coeficiente correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 180 = 60, = 120 y = 50. El menor cociente positivo, indicará la fila de la variable de holgura que sale de la base. En nuestro caso es S 3, ya que es el menor cociente, 50. Esta fila se llama fila pivote, y el valor 3 es entonces el pivote. i. Si algún valor, de la última columna, es menor o igual que cero no se considera. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y el proceso de cálculo se detiene. ii. Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes puede salir de la base. c) En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el pivote, para nuestro ejercicio esta en el renglón 3 y columna 2; el valor del pivote es Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. En primer lugar cambiamos la variable de la base del renglón pivote por la variable de decisión que corresponda a la columna pivote. En nuestro ejercicio, sale la variable S 3 y entra a la base la variable de decisión y. Los nuevos coeficientes del renglón y se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila pivote S 3 por el pivote, 3, que es el que hay que convertir en 1. Por reducción gaussiana el resto de coeficientes de la columna son cero, incluso los de la función objetivo. 13

14 Variables Base 1ª. Iteración del simplex Variable de decisión Variable de holgura Valor X Y S 1 S 2 S 3 S 1 0 S 2 0 y Z 0 El siguiente paso es completar la nueva tabla. Para el recalculo vamos a utilizar la tabla anterior. Los valores de las celdas vacías se obtienen de la siguiente forma: Si a ij es el coeficiente del renglón i y la columna j. a ij = a ij a ik a rk a rj i r Donde a rk es la posición del pivote; es decir, el renglón pivote r y la columna pivote k. En nuestro ejemplo, para calcular el coeficiente a 11, primer renglón de la primera columna. El pivote está en a rk = a 32 = 3. a 11 = a 11 a 12 a 32 a 31 = (1) = 1 Variables Base 1ª. Iteración del simplex Variable de decisión Variable de holgura Valor X Y S 1 S 2 S 3 S 1 a 11 = a 11 a 12 a a 31 = 2 3 (1) = S 2 a 21 = a 21 a 22 a 32 a 31 = (1) = Y Z a 41 = a 41 a 42 a 32 a 31 = (1) = El resto de los coeficientes se recalculan de la misma manera. 14

15 2ª. Iteración del simplex Variables Base Variable de decisión Variable de holgura Valor x Y S 1 S 2 S 3 S = 30 S / = 42 y / = 150 Z /3 200 Como en la fila Z, aún tenemos coeficientes negativos, 5 3, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso: a) La variable que entra en la base es x, por ser la variable que corresponde al coeficiente 5 3 b) Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote y como el menor cociente positivo es 30, la variable de holgura que sale de la base es S 1. c) El elemento pivote, ya tiene el valor de 1. Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la nueva tabla: ª. Iteración del simplex Variables Base Variable de decisión Variable de holgura Valor X Y S 1 S 2 S 3 x = 30 S = 15 y = 60 Z Nuevamente tenemos un valor negativo, en la fila de Z, por lo tanto continuamos el proceso de búsqueda de solución óptima. a) La variable que entra en la base es S 3, por ser la variable que corresponde al coeficiente

16 b) Dividimos los coeficientes de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote y como el menor cociente positivo es 15, tenemos que la variable de holgura que sale es S 2. c) El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1 3. Obtenemos la tabla: Variables Base Solución óptima Variable de decisión Variable de holgura Valores solución X Y S 1 S 2 S 3 x S y Z Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 255. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: x = 45, y = 30 Interpretación geométrica del método simplex. El proceso iterativo del simplex nos ha llevado a construir diferentes tablas de datos. En cada una de ellas calculamos el valor de la función objetivo en los distintos vértices, puntos extremos, en cada caso se realizó un procedimiento de prueba para saber si se encontró el óptimo. El proceso iterativo del Simplex inicia en el punto I(0,0) con un valor de la función objetivo Z = 0. Posteriormente, el simplex nos lleva a probar el punto A(0,50). En esta iteración la función objetivo se recalcula al valor de Z =

17 El tercer paso, nos lleva al punto B(30,40), los datos se pueden verificar en la tabla que corresponde a la esta tercera iteración. El valor de la función objetivo nuevamente se calcula y nos entrega el valor de Z = 250. El proceso iterativo termina al llegar al punto C(45,30) que es el punto óptimo. El valor que corresponde a la función objetivo es el máximo Z=255. Aún tendríamos un último punto en D(60,0). Su valor no supera el encontrado en el punto anterior. En el ejercicio anterior el Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución óptima de un problema de Programación Lineal se encuentra en un punto extremo del dominio de puntos factible, por lo cual, la búsqueda secuencial del algoritmo se basa en la evaluación progresiva de estos vértices hasta encontrar el óptimo. Cabe destacar que para aplicar el Método Simplex a un modelo lineal, este debe estar en un formato especial conocido como forma canónica. Entonces un programa lineal esta en forma canónica si todas sus restricciones son del tipo menor o igual, como en el siguiente ejemplo. Maximizar Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 sujeto a: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 b 3 x 1, x 2, x 3 0 Sin embargo no todos los problemas se presentan de esta forma, como el caso de la minimización o más aún cuando tenemos restricciones diferentes, como de igualdad o de mayor o igual. En estos casos tendremos que utilizar una transformación mediante la incorporación de variables artificiales. Variables artificiales. No siempre es posible en la tabla del Simplex disponer de un conjunto de vectores que, convenientemente ordenados, formen la matriz identidad. Una transformación adecuada es mediante la incorporación de nuevas variables al problema que se conocen como variables artificiales. En primer lugar pasamos nuestro programa lineal a su forma canónica, introduciendo de ser necesario variables de holgura; después, incluimos las variables artificiales a las restricciones necesarias para poder obtener una matriz básica igual a la identidad. Lógicamente para que estas variables introducidas no afecten a la solución del problema, lo deseable es que dejen de ser básicas rápidamente y de esta manera se anulen. La forma de conseguirlo es añadiéndolas a la función objetivo con un 17

18 coeficiente muy alto positivo, que lo representamos con la variable M. De esta manera, para minimizar la función objetivo deben anularse estas variables, con lo que en alguna de las iteraciones del método Simplex las variables artificiales dejan de ser básicas y a partir de ese momento puede prescindirse de ellas. El siguiente ejemplo ilustra la forma de utilizar las variables artificiales para obtener una solución óptima Encontrar la solución óptima para el siguiente programa lineal. Maximizar Z = 3x 1 + 2x 2 + x 3 sujeto a: x 1 + 2x 2 + 3x 3 6 2x 1 x 2 + x 3 5 x 1 + 2x 2 + 2x 3 2 x 1, x 2, x 3 0 De acuerdo a las condiciones para resolver un programa lineal se requiere que, a) No negatividad. Las variables de nuestro modelo tomarán siempre valores positivos b) Todas las restricciones deben formularse como ecuaciones. c) La parte derecha de una restricción no puede ser negativa De esta manera, necesitamos pasar de un programa en forma canónica a un sistema de ecuaciones ordinarias. Así, i. Como en el ejercicio anterior, para restricciones del tipo se añade una variable de holgura, en la restricción. ii. Por cada restricción del tipo, se resta una variable de holgura negativa iii. A las restricciones de = y, se les añade una variable artificial. Para nuestro ejemplo, las restricciones se modifican x 1 + 2x 2 + 3x 3 + S 1 = 6 2x 1 x 2 + x 3 S 2 + w 2 = 5 x 1 + 2x 2 + 2x 3 S 3 + w 3 = 2 x 1, x 2, x 3, S 1, S 2, S 3, w 1, w 2 0 En primer lugar introducimos variables de holgura positivas, para las restricciones (S 1 ) y negativas para las restricciones ( S 2 y S 3 ). Finalmente incorporamos variables artificiales para compensar estas variables negativas (w 2 y w 3. Finalmente, tendremos que incluir las variables artificiales en la función de beneficio, para esto utilizaremos el método de la M grande. El método de la M grande permite la eliminación de las variables negativas, hasta donde sea posible. El método utiliza la letra 18

19 M para representar un número muy grande, requiere de un valor de M suficientemente grande para que todas las variables artificiales salgan de la base. Si la función es de maximizar la función objetivo original se transforma así: Maximizar S = 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 0S1 + 0S 2 + 0S 3 Mw 2 Mw 3 La transformación de la función que se incluirá en la tabla requiere que se despejen las variables artificiales de las restricciones y sustituir y agrupar términos en la función objetivo. w 2 = 5 2x 1 + x 2 x 3 + S 2 y w 3 = 2 x 1 2x 2 2x 3 + S 3 Sustituimos en la función objetivo y tendremos, Z = 3x 1 + 2x 2 + x 3 M(5 2x 1 + x 2 x 3 + S 2 ) M(2 x 1 2x 2 2x 3 + S 3 ) Agrupando términos nos queda la transformación. Z = (3 + 3M)x 1 + (2 + M)x 2 + (1 + 3M)x 3 MS 2 MS 3 7M La tabla inicial del simplex queda entonces, Base x 1 x 2 x 3 S 1 w 2 w 3 S 2 S 3 Valores S w w Z -3-3M -2-M -1-3M M M -7M La columna pivote, es la primera columna, el coeficiente mas negativo de Z y para encontrar el renglón pivote obtenemos los cocientes, 6, 5, 2; corresponde a el tercer 2 renglón; por lo tanto el pivote es el elemento a 1,3 = 1. La variable de decisión x 1, entra a la base Base x 1 x 2 x 3 S 1 w 2 w 3 S 2 S 3 Valores S w x Z 0 4+5M 5+3M M M -3-2M 6-M Entra a la base la variable S 3, que es la columna pivote, y el renglón pivote de acuerdo a los cocientes, 4, 1 2; por lo tanto, sale de la base la variable artificial W 2, que corresponde 19

20 al segundo renglón. El pivote es el elemento a 2,6 = 2. En este caso entra a la base una variable de holgura. Base x 1 x 2 x 3 S 1 w 2 w 3 S 2 S 3 Valores S S x Z 0 0 M Ahora el pivote es el elemento a 1,2 = 2.5. La variable de decisión x 2 entra a la base. Base x 1 x 2 x 3 S 1 w 2 w 3 S 2 S 3 Valores x S x Z M Ahora el pivote es el elemento a 1,4 = 0.2. Deja la base la variable de decisión x 2 y entra la variable de holgura S 2. Base x 1 x 2 x 3 S 1 w 2 w 3 S 2 S 3 Valores S S x Z M M Finalmente el algoritmo del Simplex se detiene, no tenemos coeficientes negativos en la función objetivo el máximo beneficio y la solución es x 1 = 6; x 2 = 0; x 3 = 0, para Z = 18 Una consideración final sobre las variables artificiales. Si en la tabla final del simplex; en la base, tenemos al menos una variable artificial no negativa, el problema no tiene solución. No existe un área de soluciones factible. Caso Minimización En un problema de minimización, a diferencia de la maximización, para que una variable entre a la base, se elige la variable cuyo valor, en la función objetivo, es la que tiene el coeficiente positivo más grande, la consideración del renglón pivote no cambia. Tenemos una solución óptima cuando todos los coeficientes del renglón Z son todos menores o iguales a cero. 20

21 Ejemplo. Sea el siguiente programa lineal; Minimizar Z = 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 sujeto a: x 1 + 2x 2 + 3x 3 5 2x 1 + x 2 + 2x 3 6 x 1, x 2, x 3 0 Las restricciones del tipo nos obliga a trasformar el problema para utilizar variables artificiales. De esta forma el programa lineal trasformado será el siguiente: Minimizar Z = 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 sujeto a: x 1 + 2x 2 + 3x 3 S 1 + w 1 = 5 2x 1 + x 2 + 2x 3 S 2 + w 2 = 6 Ajustamos el modelo, con la incorporación de variables de holgura negativa y para compensar variables artificiales. x 1, x 2, x 3, S 1, S 2, w 1, w 2 0 Minimizar Z = 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + Mw 1 + Mw 2 sujeto a: x 1 + 2x 2 + 3x 3 S 1 + w 1 = 5 Se incluyen con signo positivo la constante M en la función objetivo. 2x 1 + x 2 + 2x 3 S 2 + w 2 = 6 x 1, x 2, x 3, S 1, S 2, w 1, w 2 0 agrupan términos en la función objetivo. Se despejan las variables artificiales de las restricciones y se sustituyen y w 1 = 5 x 1 2x 2 3x 3 + S 1 y w 2 = 6 2x 1 x 2 2x 3 + S 2 Sustituir en la función objetivo Z = 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + M(5 x 1 2x 2 3x 3 + S 1 ) + M(6 2x 1 x 2 2x 3 + S 2 ) Agrupando términos y finalmente Z = (3 3M)x 1 + (4 3M)x 2 + (5 5M)x 3 + MS 1 + MS M El arreglo Simplex será el siguiente: Base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 w 1 w 2 Valores w w Z -3+3M -4+3M -5+5M -M -M M 21

22 Para elegir la columna pivote, seleccionamos el coeficiente de Z más grande. Partiendo de que M tiene un valor positivo suficientemente grande, entonces la columna de x 2 es la que entra a la base. Por otro lado, para elegir la variable que sale de la base, dividimos la columna de valores por su correspondiente coeficiente de la columna pivote. En nuestro caso tenemos los valores de: 5 = 1.66 y de 6 = 3. Por lo tanto el pivote será el primer 3 2 elemento de la columna base, 3. Así, entra a la base la variable x 3 y sale la variable artificial A 1. El nuevo arreglo del simplex, de acuerdo al procedimiento de cálculo anteriormente expuesto, es el siguiente: 1ª, Iteración del simplex Base x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 w 1 w 2 Valores x /3 1-1/ /3 w 2 4/3-1/3 0 2/3-1 -2/3 1 8/3 Z M 2 3 M M -M M M Para la elección del nuevo pivote repetimos el procedimiento, el más positivo del coeficiente de Z. La variable x 1 es candidata a entrar a la base y sale la variable artificial A 2. Finalmente tendremos un nuevo arreglo. 2ª, Iteración del simplex Base x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 w 1 w 2 Valores x 3 0 ¾ 1-1/2 1/4 ½ 1/4 1 x 1 1-1/4 0 1/2-3/4-1/2 3/4 2 Z M 1-M 11 Hemos encontrado el óptimo, todos los coeficientes del renglón Z son negativos. Los valores para este punto óptimo son Z = 11 y x 1 = 2, x 2 = 0 y x 3 = 1. Un último ejercicio nos muestra cómo utilizar variables artificiales, cuando tenemos restricciones de diferentes tipos. El procedimiento es similar ya sea se trata de un programa de maximización o de minimización. Ejemplo. Una empresa que fabrica alimento para aves, produce y empaca dos tipos de comida para patos y pollos, en empaques de 20 kilos. El costo semanal de fabricar un saco de comida para pollos es de $5 pesos y de $7 para patos. La empresa va a comercializar un alimento mixto que sirva para los dos tipos de aves. Al alimento para pollos se le añade un máximo de 200 unidades de vitaminas mientras que la comida para patos deberá tener un mínimo de 100 unidades. El total de unidades de vitaminas para la mezcla deberá ser exactamente 800 unidades. La formulación del programa es el siguiente. 22

23 Min Z = 5x 1 + 7x 2 S. A. x (Vitaminas para pollos) x (Vitaminas para patos) x 1 + x 2 = 800 (Total de vitaminas) x 1, x 2 0 Donde x 1 = Vitaminas para pollos. x 2 = Vitaminas para patos. Al igual que en el caso de maximización, se comienza aumentando las restricciones y luego la función objetivo. La primera restricción, x tiene un signo por lo tanto se le asigna una variable de holgura positiva. La segunda restricción, x tiene un signo mayor e igual. Para igualar la restricción habrá que restar una variable de holgura. Esta variable se conoce como una variable de holgura negativa o de excedente o superflua. x 2 S 2 = 100 Como el método simplex comienza en el origen, esto significa desafortunadamente que en el punto inicial (0,0) el valor de la variable S 2 será de No es permitido un valor negativo para la variable de holgura. Este valor negativo representa la falta de recurso. No se puede asignar una cantidad negativa de vitaminas. Para remediar esta situación se le asignará una variable artificial a la restricción al lado izquierdo en adición a la variable de holgura negativa. La variable artificial absorberá la negatividad de la variable de holgura. x 2 S 2 + w 2 = 100 La variable artificial posee un subíndice de 2 porque pertenece a la segunda restricción. Su interpretación, es de una variable de holgura negativa que demuestra por cuántas unidades la solución final violenta la segunda restricción. Cuando se encuentra una solución que no violente la restricción, w 2 será cero y se quedará con ese valor. Su único propósito es el proveer una solución inicial con valores no negativos. La tercera restricción, x 1 + x 2 = 800 (total de unidades de vitaminas), se le añadirá una variable artificial para no violentar la restricción. A menos que la restricción pase por el origen, de lo contrario existirá una diferencia entre el origen y la igualad de la restricción. La variable artificial absorberá esta diferencia. x 1 + x 2 = 800 Siempre que se incorpore una variable de holgura o artificial a una restricción, habrá que agregarlas en las demás restricciones y en la función objetivo. En una solución óptima, las 23

24 variables artificiales no pueden ser variables básicas. La razón para que estas se excluyan en la solución óptima es que estas absorben la negatividad de la variable de holgura. También representan por cuantas unidades no se ha cumplido con la restricción. Para eliminar estas variables artificiales se le asigna un costo extremadamente alto para los casos de minimización y una reducción grande en las ganancias para los casos de maximización. En problemas de minimización las variables con costos bajos son deseables y son las primeras en entrar a la solución y las variables con costos altos serán rápidamente eliminadas. Para lograr esto utilizaremos el método de la M grande. El método utiliza la letra M en vez de unidades monetarias para representar un número muy grande. Le asigna un coeficiente de M, costo muy alto en casos de minimización y -M, reducción de ganancias para maximización. Las variables de holgura negativa tienen un costo de cero. Acomodamos las restricciones y la función objetivo con sus nuevas variables de holgura y artificiales. Min Z = 5x 1 + 7x 2 + 0S 1 + 0S 2 Función de costos S. A. x 1 + S 1 = 200 x 2 S 2 = 100 x 1 + x 2 = 800 x 1, x 2, S 1, S 2 0 Al incorporar las variables artificiales el programa lineal queda: Min Z = 5x 1 + 7x 2 + 0S 1 + 0S 2 + Mw 2 + Mw 3 Función de costos S. A. x 1 + S 1 = 200 x 2 S 2 + w 2 = 100 x 1 + x 2 + w 3 = 800 x 1, x 2, S 1, S 2, w 1, w 2 0 Despejamos las variables artificiales. w 2 = 100 x 2 + S 2 y w 3 = 800 x 1 x 2 Sustituimos en la función objetivo y tendremos, Z = 5x 1 + 7x 2 + M(100 x 2 + S 2 ) + M(800 x 1 x 2 ) ) Agrupando términos nos queda la transformación. Z = (5 M)x 1 + (7 2M)x 2 + MS M 24

25 El arreglo Simplex será el siguiente: Base x 1 x 2 S 1 S 2 w 2 w 3 Valores S w w Z -5+M -7+2M 0 -M M Las variables básicas son S 1, w 2 y w 3, mientras que x 1, x 2 y S 2 son variables no básicas, porque tienen cambios positivos y sus valores son cero. El valor de la variable básica S 1 es de 200 lo que indica la existencia de 200 unidades de vitaminas para pollos. Las variables artificiales significan que no se ha cumplido con la restricción. El valor de w 2 = 100, indique que se agreguen por lo menos 100 unidades a la restricción de alimento para patos y su incumplimiento se debe a que la solución inicial está en el punto (0,0). Lo mismo sucede con la variable w 3. La variable que entra a la base es x 2, es la más positiva de Z. La elección de la variable que sale de la base es w 2, la que tiene el menor cociente. El nuevo arreglo del simplex, es el siguiente: Base x 1 x 2 S 1 S 2 w 2 w 3 Valores S X w Z -5+M M 7-2M M El análisis del cuadro anterior nos indica que el costo para la mezcla es de M, que es alto. El punto extremo (0,100) indica una combinación de 0 unidades de vitaminas para pollos y 100 para patos. La variable de holgura s 1 =200. Esto indica una disponibilidad de 200 unidades. En el caso de la variable básica w 3, el valor de 700, al sustituir en la restricción aumentada incumple la condición ya que x 1 + x = 800 Base x 1 x 2 S 1 S 2 w 2 w 3 Valores x x w Z M -7+M 7-2M M En esta tercera iteración del simplex, las variables básicas son x 1 con valor de 200, x 2 que vale 100 y w 3 con 500. El costo para esta solución sigue siendo muy alto, $ $500M, 25

26 esto se debe a que la variable artificial w 3 está en la base. No se detiene el proceso iterativo hasta que en el renglón de Z todos los coeficientes sean negativos. De esta manera, la variable que entra a la base es S 2 ya que es la única con un coeficiente positivo, 7 + M, y el único cociente que está definido es el de w 3. Así el nuevo programa lineal es, Base x 1 x 2 S 1 S 2 w 2 w 3 Valores X X S Z M 7-M 5200 Los valores de los Z j, de 0 y negativos indican que la solución es óptima. Las variables básicas son: x 1 con un valor de 200 unidades, x 2 con 600 y S 2 con 500 unidades. La variable S 1 al igual que las artificiales, son variables no básicas. Se puede apreciar en el arreglo anterior, que la matriz identidad pasó al lado izquierdo de la tabla. El costo para la solución final es de Z = $5,200. De esta manera se utilizarán 200 unidades de vitaminas para pollos y 600 para patos a un costo semanal de $5,200. La variable S 2 = 500 representa un exceso de 500 unidades de las vitaminas para patos sobre el mínimo necesario de 100 unidades. Método Dual El concepto de dualidad fue desarrollado por Von Neumann en Tiene una interpretación económica muy importante en tanto que nos introduce al concepto de precios sombra. También llamados precios de referencia. Los precios sombra vienen dados por los valores de las variables en el óptimo del programa dual de un problema de programación lineal. Son precios de equilibrio que responden al aprovechamiento más eficiente de los recursos productivos; una especie de precios naturales o precios justos; los precios que deberían regir en el mercado si el modelo de competencia funcionara correctamente. Vamos a explicar este procedimiento mediante un ejercicio. Una sociedad agrícola produce 2 cultivos, frijol y maíz, representados por las variables x 1 y x 2. Estos cultivos tienen un precio de venta de $4 y $8 pesos por kilo. En la producción utilizan entre otros 2 insumos; fertilizante y semilla. Las cantidades de cada insumo necesarias para obtener un kilo de cada cultivo son las siguientes: 26

27 Entradas x 1 x 2 Cantidad disponible Fertilizante Semilla a) Encontrar el plan de producción que maximiza la utilidad b) Se desea asegurar los cultivos contra una pérdida eventual, helada, baja en producción, etc. Por lo tanto, se desea encontrar el pago de prima de seguro mínimo para cada cultivo, conservando la utilidad y nivel de producción. c) Una interpretación económica de b) Regresando a nuestro ejercicio, el programa lineal es; Para dibujar las restricciones, x 2 = 10 x 1 ; si x 1 = 0, x 2 = 10 x 1 = 10, x 2 = 0 x 2 = x 1 ; si x 1 = 0, x 2 = 5 x 1 = 20, x 2 = 0 Si sustituimos los puntos extremos en Z. Z(0,0) = 0; Z(10,0) = 40; Z(0, 5) = 40 El beneficio óptimo ocurre cuando Z 20, 10 = Maximizar Z = 4x 1 + 8x 2 sujeto a: x 1 + x 2 10 x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Para encontrar las primas de seguro más bajas, para cubrir completamente las pérdidas; es decir, remplazar el ingreso por ventas en caso de siniestro. Hagamos u 1 y u 2 las primas de seguro para el fertilizante y la semilla de manera que la prima total para cada insumo es b 1 u 1 y b 2 u 2 respectivamente. Además, la prima asegurada no puede ser negativa. u 1, u

28 Si el costo del aseguramiento es la suma de las primas por la fertilización y la semilla, Minimizar Z = b 1 u 1 + b 2 u 2 No importa cuales sean los valores individuales de los diferentes insumos es evidente que el aseguro combinado de todos los insumos necesarios para producir una unidad del primer cultivo deben ser iguales a c 1 ; esta condición se puede representar así, a 11 u 1 + a 12 u 2 c 1 a 21 u 1 + a 22 u 2 c 2 Por lo tanto, para obtener la prima de seguro más adecuada, es necesario asegurar que la prima total de todos los insumos requeridos para producir un kg de cada cultivo sea igual a los kg de cultivo vendidos. De acuerdo a lo anterior, para nuestro ejemplo, obtenemos el programa lineal siguiente: Min Z = 10u u 2 u 1 + u 2 4 u 1 + 4u 2 8 u 1, u 2 0 Utilizamos el método gráfico para encontrar su solución. u 1 + u 2 = 4 ; si u 1 = 0, u 2 = 4 u 1 = 4, u 2 = 0 u 1 + 4u 2 = 8 ; si u 1 = 0, u 2 = 2 u 1 = 8, u 2 = 0 Los valores de Z para los puntos extremos son los siguientes; Z (8,0) = 80; Z 8 3, 4 3 = 53.33; Z (0, 4) = 80 El beneficio óptimo, costo de la prima menor, ocurre cuando Z 8, 4 = A fin de darle sentido económico a las variables duales, aumentamos el recurso 2 en una unidad. El programa lineal primal, maximización, se modifica en la restricción 2. Max Z = 4x 1 + 8x 2 28