Modelo EOQ con Demanda Incierta. Teoría de Inventarios Modelo Probabilísticos. Demanda durante el Lead Time 18/04/2009

Transcripción

1 Universidad Técnica Federico Santa María Teoría de Inventarios Modelo Probabilísticos Daniel Basterrica Modelo EOQ con Demanda Incierta Lead Time no nulo Demanda aleatoria durante el Lead Time Se mantienen definiciones de EOQ: c 0 : Costo de ordenar c h : costo de almacenar una unidad durante un año L: Duración del Lead Time Q: Cantidad Ordenada Modelo EOQ con Demanda Incierta Se agregan las definiciones: D: Variable aleatoria (continua) que representa la demanda anual c b : Costo por unidad insatisfecha ID(t): Nivel de inventario disponible en el instante t B(t): Cantidad de unidades pendientes en t I(t): Inventario neto en el instante t = ID(t) B(t) Modelo EOQ con Demanda Incierta ID(0) = 200, ID(1) = 100, ID(6) = 0, ID(7) = 0 B(t) = 0 para 0 <= t <= 6 y B(7) = 100 I(0) = = 200, I(3) = = 260, I(7) = = 100 Si L = 2 meses: R = 100 unidades Q = 240 artículos Demanda durante el Lead Time Sea X: Representa la demanda durante el Lead Time Variable aleatoria continua con densidad de probabilidadf(x) f(x), media E[X], varianza V[X]y y desviación estándar de σ X. Se asume que la demanda en instantes distintos es independiente, entonces: E[X]=LE[D] V[X]=LV[D] σ X = σ D L Si D se distribuye normalmente, entonces X también. Demanda durante el Lead Time Si L es una variable aleatoria con media E[L], varianza V[L] y desviación estándar σ L, y si L es independiente a la demanda por unidad de tiempo durante el Lead Time, entonces: E[X] = E[L] E[D] V[X]=E[L] V[D] + E[D] 2 V[L] 1

2 Si L = 2 meses Cálculo del punto de reorden: Con órdenes pendientes (sin pérdida de ventas) Con pérdida de ventas Se considera el costo de compra fijo. Costo Total: CT(Q,R) = costo inventario + costo ordenar + costo por escasez Nivel medio de órdenes pendientes es pequeño respecto al de inventario. Como I(t)=ID(t) B(t), entonces E[I(t)] E[ID(t)] Para estimar el costo por mantención de inventario, se necesita estimar el valor esperado de I(t). Con demanda constante, Valor esperado I(t) = (valor esperado de I(t) al inicio del ciclo + valor esperado de I(t) al término del ciclo)/2 Al término del ciclo el nivel de inventario es R, menos la demanda durante el Lead Time X. I(t) = R E[X] Al inicio del ciclo, el nivel de inventario es la del término del ciclo anterior, aumentada en Q. I(t) = R E[X] + Q Por lo tanto, el valor esperado de I(t) durante un ciclo: Por lo tanto, Costo por Stockouts Sea: B R = variable aleatoria que representa el número de stockouts durante un ciclo asociado a R Costo por escasez anual corresponde al costo esperado por escasez por ciclo por el número esperado de ciclos de año, entonces Como eventualmente, toda la demanda será satisfacha, ocurren en promedio E[D]/Q órdenes por año. 2

3 Costo por Orden Costo esperado por ordenar Q* y R* El valor óptimo es muy cercano al de un EOQ normal, es decir: Luego, el costo total asociado queda: R* se obtiene de un análisis marginal Si se asume un valor de Q, el costo anual por ordenar es independiente de R Para minimizar CT(Q,R) se debe minimizar la suma de los costos de mantención de inventario y los costos por escasez Si R incrementa en Δ (pequeño), el costo de mantención de inventario tendrá una variación de: Si se incrementa R a R + Δ La escasez se reduce en Δ unidades cuando X R Se reduce el costo de stockouts en c B Δ durante unafracciónip(x R) detodos losciclos Con E[D]/Q ciclos por año El costo esperado por stockouts se reduce en Si R crece en Δ IP(X R) decrece Por lo tanto, la reducción esperada en el costo anual por escasez es menor R* ocurre al igualar los beneficios marginales a los costos marginales Si el problema no tiene solución El costo de mantener unidades en inventario es prohibitivoenrelación relación alcosto porórdenes pendientes. El punto de reorden, debe ser lo más pequeño posible. Si R* es negativo, se debe tomar el punto de reorden más pequeño posible. 3

4 Cada año, una tienda de computadores vende 1000 cajas para CD. La demanda anual por cajas de CD se distribuye normalmente con una desviación estándar de 40.8 cajas. La tienda posee un proveedor regional. Cada órden es entregada en 2 semanas. El costo de efectuar cada orden es US$50, el costo anual de mantener una caja en inventario es US$10. El costo unitario por escasez se asumen en US$20. Se admite mantener órdenes pendientes. Los parámetros de la distribución de X pueden ser obtenido s a partir de la distribución de la demanda anual y la longitud del Lead Time L=2 semanas Como c B = 20 Determine el punto de reorden, el tamaño de orden, y el nivel de seguridad del inventario la tienda. Cuál es la probabilidad que ocurra un stockout durante el lead time? A partir de una tabla normal estandarizada, se obtiene ф(1.65) = IP ( Z 1.65) = Entonces IP(Z 1.65) = = Luego, el nivel de seguridad: Cálculo de R con pérdida de ventas Todos los stockouts involucran pérdida de ventas Existe un costo c LS asociado a la pérdida Se aproxima el tamaño óptimo de orden Q al Q* del EOQ clásico, y el punto de reorden, por análisis marginal es:, con pérdida de ventas Si cada caja de CD se vende a US$50 El costo de almacenaje es US$30 Costo asociado a stockouts de US$20 Se obtiene c LS como la suma de la pérdida de ganancia (50 30) al costo por venta perdida (20) Entonces, c LS = = 40 Luego,, con pérdida de ventas Estandarizando se obtiene Con la tabla normal, se obtiene ф(1.98)=ip(z 1.98) = , entonces IP(Z 1.98)= =

5 EOQ con Demanda Incierta Es difícil determinar en forma exacta el costo asociado a la escasez de una unidad Enfoque del nivel de servicio para determinar el nivel lde inventario i de seguridad d Se definen dos niveles de servicio: Nivel de Servicio 1 (SLM 1 ) Fracción esperada de la demanda satisfecha a tiempo Nivel de Servicio 2 (SLM 2 ) Número esperado de ciclos por año en los que hay escasez Supuestos Se admiten órdenes pendientes La demanda anual promedio es 1000 Q*=100 Demanda durante el Lead Time aleatoria y descrita por Probabilidad 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 Demanda Lead Time Punto de reorden es 30 unidades Determine el SLM 1 y SLM 2 La demanda esperada durante el Lead Time es Si el punto de reorden es 30 y la demanda durante el Lead Time, es de 20 ó 30 unidades, no habrá escasez. Cuando sea 40, 50 y 60 habrá escasez de 10, 20 y 30 unidades respectivamente. Como Q* = 100 y toda la demanda debe ser satisfecha, se esperan E[D]/Q = 1000/100 = 10 órdenes anuales El número promedio de unidades pendientes es 12 x 10 = 120 unidades Se satisfacen = 880 unidades a tiempo SLM 1 = 880/1000 = 0.88 Obs: R es menos que la media de la demanda durante el Lead Time, pero el nivel de demanda satisfecha a tiempo es alta, debido a que los stockouts ocurren sólo durante el Lead Time, que es una pequeña porción de tiempo de cada ciclo. Si el punto de reorden es 30, ocurrirá stockout en cualquier ciclo en el que la demanda durante el Lead Time exceda 30 unidades. Entonces IP(X=40) + IP(X=50) + IP(X=60) = 3/5 Luego, con un promedio de 10 ciclos por año, el número esperado de ciclos con escasez en un año es 10 x 3/5 = 6. SLM 2 = 6 stockouts por año Suponiendo Q* según EOQ E[D] la demanda anual esperada BR la variable aleatoria asociada al número de stockouts durante un ciclo SLM 1 es el porcentaje de la demanda satisfecha a tiempo Con un valor Q y R dado, se tiene 5

6 Se asume que la demanda durante el Lead Time se distribuye normalmente con media E[X] y desviación estándar σ X Se requiere estimar E[B R ] para determinar el punto de reorden con un nivel de servicio deseado Pérdida normal (escasez) : NL(y) Dado un punto de reorden E[X] + y σ X σ X NL(y) es el número esperado de unidades insatisfechas que ocurrirán durante el Lead Time Debido a que puntos de reorden elevados conducen a pocas órdenes pendientes, se espera que NL(y) sea una función decreciente de y Se puede demostrar que para y 0, NL(y) = NL( y) y Asumiendo una demanda durante el Lead Time normal, se determina R que entrega un nivel deseado de SLM 1 tomando La definición de la función normal implica que durante el Lead Time un punto de reorden R entregará un número esperado de unidades insatisfecha E[B R ] dado por: Luego, como Una tienda vende en promedio 1000 procesadores de alimento cada año. Efectuar cada orden por procesadores de alimento cuesta US$50. El lead time es un mes. Cuesta US$10 mantener un procesador de alimento un año en inventario. La demanda anual por procesadores de alimento se distribuye normalmente con una desviación estándar de Obtenga el punto de reorden para un SLM 1 de 80% y 95%. Considerando que E[D] = 1000, c o = 50 y c h = 10, se tiene: Se obtiene Para obtener un SLM1 de 80% se debe cumplir: Si el SLM1 es 95 %, el punto de reorden R debe satisfacer: De acuerdo a la tabla de NL(y), 1 excede cualquiera de los valores tabulados. Por lo tanto, (R 83.33)/20 es negativo y por prueba y error se encuentra NL( 0.9) = NL(0.9)+0.9 =1.004 De la tabla se obtiene: NL(0.34) = , entonces: 6

7 Calcular R a partir de SLM 2 Se desea asegurar un promedio de s 0 ciclos sin stockout Definidiendo R, una fracción IP(X>R) de todos los ciclos tendrán stockout Hay en promedio E[D]/Q ciclos por año IP(X>R) E[D]/Q tendrán dá stockout Entonces, dado s 0, el punto de reorden R es el menor valor que satisface Calcular R a partir de SLM 2 Entonces, el punto de reorden R para el SLM 2 para una demanda durante el Lead Time continua Entonces, el punto de reorden R para el SLM 2 para una demanda durante el Lead Time discreta, es el menor valor que satisface X es variable aleatoria continua, entonces IP(X > R) = IP(X R) Continuando con el ejemplo anterior Se desea asegurar que los stockouts ocurran durante en promedio 2 Lead Time por año De la tabla normal estándar: IP(Z 0.84) = IP(Z 0.84) = = , entonces: 7