Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnológica de Pereira Colombia

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1 Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnoógica de Pereira Coombia Campos Vázquez, fonso; Escamia Navarro, ejandro; Gonzáez López, ntonio Variantes de a picación de da Viga Conjugada, en e Cácuo de Momentos de Empotramiento Scientia Et Technica, vo. XVII, núm. 52, diciembre, 2012, pp Universidad Tecnoógica de Pereira Pereira, Coombia Disponibe en: Cómo citar e artícuo Número competo Más información de artícuo Página de a revista en redayc.org Sistema de Información Científica Red de Revistas Científicas de mérica Latina, e Caribe, España y Portuga Proyecto académico sin fines de ucro, desarroado bajo a iniciativa de acceso abierto

2 Scientia et Technica ño XVII, No 52, Diciembre de Universidad Tecnoógica de Pereira. ISSN Variantes de a picación de da Viga Conjugada, en e Cácuo de Momentos de Empotramiento Variations of the ppication of the Conjugate eam in the Cacuation of Moments of Fitting. fonso Campos Vázquez, ejandro Escamia Navarro, ntonio Gonzáez López UPIIT de Instituto Poitécnico Naciona, México ing_campos@hotmai.com Resumen E método de a viga conjugada, para cácuo de deformaciones y momentos de empotramiento en fexión, ha sido abandonado por varios autores de os ibros de Mecánica de Materiaes más popuares en mérica; no obstante partiendo de a ecuación genera de a eástica para fexión se puede fundamentar su uso. Panteado de forma adecuada, a viga conjugada resuta un método rápido y sencio, una vez comprendido os conceptos fundamentaes de fuerza cortante y momento Fexionante. Paabras cave Viga conjugada, momento de empotramiento. bstract The conjugate beam method for cacuation of deformations and fixed-end moments in fexion, has been abandoned by severa authors of books for Mechanics of Materias more popuar in merica however based on the genera equation of the eastic fexura can support its use. With de correct approach, the conjugate beam is an easy and quick method, once understood the basic concepts of shear and bending moment. Key Word Conjugate beam, fixed-end moment. I. INTRODUCCIÓN En a actuaidad, as investigaciones de resistencia de materiaes están igados a a utiización de computadoras, con programas en su mayoría basados en teoría de eementos finitos; o bien, en a soución de modeos matemáticos compejos de teoría de a easticidad. Sin embargo, para e caso de fexión, a comprensión de a teoría de resistencia de materiaes, puede ograrse entendiendo técnicas semigráficas, como es e método de a viga conjugada. Este método para cácuo de deformaciones y momentos de empotramiento ha sido abandonado por a gran mayoría de autores en e continente americano; por o que deseo presentar una técnica para a obtención de momentos de empotramiento rápida, utiizando diagramas de momentos parciaes y apicación de ecuaciones de equiibrio de una forma ingeniosa. Tanto en e artícuo origina[1], como en os ibros cásicos[2,3,4] y os actuaes [5,6] que tratan e tema de viga conjugada, demuestran sus fundamentos soo mediante anaogías de reaciones diferenciaes de a fexión simpe. Este método es apicado en agunos ibros de anáisis de estructuras [7, 8]. E fenómeno de a fexión es descrito mediante a fórmua de a fexión, a cua reaciona e radio de curvatura 1/ρ, de a ínea eástica (curva que adopta e eje ongitudina de una viga deformada), con a reación entre e momento fexionante M (que provoca a deformación de una viga) con su rigidez a a fexión EI. partir de a fórmua de a fexión se obtienen dos ecuaciones, una para cacuar os esfuerzos y otra para cacuar deformaciones en fexión pura. Para deformaciones a ecuación, que se utiiza es denominada a ecuación diferencia de a eástica, a que corresponde a a ecuación 8 de este trabajo. Como esta es una ecuación de segundo orden, se puede integrar dos veces para encontrar a función y, que representa a fecha de a curva eástica. Lo antes descrito representa una demostración rigurosa ya que, partiendo de a ecuación diferencia de a eástica de una viga rea, se puede estabecer a reación entre deformaciones (pendiente y fecha) para cada una de sus secciones transversaes, con a fuerza cortante y momento fexionante de una viga igada a a rea, que se denomina viga conjugada. La demostración se reduce a resover una ecuación diferencia de variabes separabes (con sus correspondientes vaores de frontera). Con e método dea viga conjugada se resueven dos casos de vigas empotradas, una de sección constante y otra de dos secciones, donde se pretende mostrar a bondades de a viga conjugada. Este método es conveniente para a verificación de diseño por rigidez atera en ejes de transmisión de potencia faciitando e anáisis en ejes con varias secciones transversaes; e segundo caso presentado en este trabajo ejempifica su apicación. Fecha de Recepción: 15 de Septiembre de 2012 Fecha de ceptación: 12 de Diciembre de 2012

3 33 Scientia et Technica ño XVII, No 52, Diciembre de Universidad Tecnoógica de Pereira.. Nomencatura II. q' - carga de a viga rea (viga dada) V - fuerza cortante viga rea M Momento fexionante viga rea q C carga de a viga conjugada VC - fuerza cortante viga conjugada CONTENIDO MC Momento fexionante viga conjugada ɵ - pendiente de cuaquier sección en a viga rea fecha de cuaquier sección en a viga rea E móduo de easticidad, viga rea I z momento de inercia, respecto a eje neutro de a viga rea R reacción de viga rea RC reacción de viga conjugada = () = () = () Figura 1. Viga rea sometida a fexión simpe. E diagrama de momentos fexionantes de a viga rea (figura 1), se muestra en a figura 2. M y x (2) (3) (4). Viga Conjugada. Definición Figura 2. Diagrama de momentos fexionantes. x Dada una viga recta sometida a fexión simpe, se ama viga conjugada de esta, a otra viga de a misma ongitud sometida a una carga ficticia distribuida, cuya forma es simiar a a de diagrama de momentos de a viga dada dividida entre a rigidez a a fexión de a viga dada, es decir M/EIz; que deberá estar en equiibrio. La viga dada se e denominará, viga rea. La carga de a viga conjugada no es propiamente una carga con unidades de fuerza, se podría denominar carga eástica ya que está igada a a respuesta eástica de a viga. De anáisis dimensiona de unidades de M/EIz, se obtiene a unidad de tipo 1/L (1/m), entonces a carga de a viga conjugada queda definida como: = () Esto es, a carga de a viga conjugada es igua a a función de momento fexionante de a viga rea dividido entre a rigidez a a fexión. 1. Reaciones Viga rea - Viga Conjugada (1) Las reaciones entre a carga, fuerza cortante y momento fexionante de una viga recta sometida a fexión simpe, como a mostrada en a figura 1, son[9]: Como se estabeció, a viga conjugada tiene a misma ongitud que a viga rea y su carga tiene a forma de diagrama de momentos de a viga rea dividido entre a rigidez a a fexión M/EIz (fig. 3). Figura 3. Representación de una Viga Conjugada. La carga apicada a a viga conjugada, produce en ea fuerzas cortantes y momentos fexiones, denominados cortante y fexionante conjugados. La viga conjugada, también debe estar en equiibrio, ya sea por reacciones en sus apoyos, o soo por a carga apicada a a conjugada. igua que a viga rea, a viga conjugada mantiene as reaciones entre carga, fuerza cortante y momento fexionante de conjugada: = () (5) ()= () (6)

4 Scientia et Technica ño XVII, No 49, Diciembre de Universidad Tecnoógica de Pereira. 34 = () (7) Con a otra condición de frontera x =, =0 y de a viga conjugada MC=0, se obtiene de a ecuación 12: 0 = =0 C. Deformaciones por Viga Conjugada E método de a viga conjugada está basado en a semejanza entre tres as cantidades básicas, carga, fuerza cortante y momento fexionante ecuaciones 5, 6 y 7, con as de a viga rea, ecuaciones 2, 3 y 4. Partiendo de a ecuación diferencia de a eástica[9]: () = Y tomando en cuenta a ecuación 1 y a ecuación 7, queda: O bien = = 2 () 2 = 2 () 2 Si se integra a ecuación 9, respecto a variabe x, se reduce un orden de derivación, más una constante de integración: () = + 1 Para e caso de fexión simpe dy/dx ɵ [7], y de a ecuación 6, sustituyendo se obtiene o siguiente: = ()+ Si se vueve a integrar ahora a ecuación 10, se obtiene: = ()+ + Fata por determinar os vaores de as constantes de integración, as cuaes se obtienen a partir de os vaores de frontera, vaores de para una x conocidos, que son as variabes de a derivada en a ecuación 8. En a figura 3 se puede observar que en os apoyos y, e vaor de a fecha debe ser cero (no se permite movimiento vertica), cuyos vaores de x son cero y respectivamente; además como os apoyos son articuaciones y no hay voadizos, e momento en ambos es cero, es decir, MC = 0. Esto es en x = 0, =0, sustituyendo en a ecuación 12: (8) (9) (9 ) (10) (11) (12) Sustituyendo e vaor de as constantes, en as ecuaciones 11 y 12, demás no se acostumbra escribir os términos de cortante y fexionante como función de x, por tanto se eimina (x): = () (13) = () (14) Estas dos útimas expresiones, constituyen os teoremas de a viga conjugada: 1.- E vaor de a pendiente,, de cuaquier sección de una viga rea, es igua a vaor de a fuerza cortante de su viga conjugada para esa misma sección. 2.- E vaor de a fecha,, de cuaquier sección de una viga rea, es igua a vaor de momento fexionante de su viga conjugada para esa misma sección. 1. Condiciones de apoyos para a Viga Conjugada Los apoyos de a viga conjugada, mostrada en a figura 3, se eigieron arbitrariamente iguaes a os de a viga rea. Para e caso de una viga rea simpemente apoyada sin voadizos, que es caso anaizado, as condiciones de deformación en os apoyos coinciden con as condiciones de frontera utiizadas. Sin embargo, no siempre sucede así. Si uno de os apoyos de una viga rea fuese un empotramiento rígido, entonces, en e empotramiento a viga no sufre deformación aguna, ni gira ni se despaza. Entonces de acuerdo con os teoremas de viga conjugada = =0 y = =0. Para que a viga conjugada sea congruente con as deformaciones sufridas por a viga rea, a conjugada deberá tener condiciones taes que su fuerza cortante y momentos fexionante sean cero; esta situación se encuentra en e extremo ibre de una voadizo. Si a sección en a que se desea determinar deformaciones es e extremo ibre de una viga rea cargada, tanto a fecha como a pendiente muy probabemente serían diferente de cero, por tanto, a viga conjugada debe tener vaores de cortante y fexionante, esto es = () 0; = () 0. En un empotramiento, seguramente, siempre se tendrá una fuerza y un momento reacción, que son os vaores de a fuerza cortante y momento fexionantes en esa sección, por tanto, en viga conjugada a sección ibre de una viga rea corresponde a un empotramiento. 0 = =0

5 35 Scientia et Technica ño XVII, No 52, Diciembre de Universidad Tecnoógica de Pereira. Curva Eástica Pendiente Figura 4. Reación entre apoyos de viga rea y conjugada. Figura 6. Diagrama de cuerpo ibre de a descomposición de a hiperestática en dos vigas isostáticas. Si consideramos que >, entonces R > R, considérese también M > M, os diagramas de momentos fexionantes de as vigas isostáticas, son: Se respeta a misma convención de signos de fexión simpe de una viga rea, para os momentos fexionantes y fuerzas cortantes de una viga conjugada. D. Momentos de empotramiento, viga dobemente empotrada a b Normamente, en e método de viga conjugada se hace uso de os diagramas de momentos por partes, esto es, si a función momento cuenta con varios términos, se dibuja un diagrama de momentos para cada término (que corresponde a cada carga sobre a viga rea), sin embargo, es más conveniente considerar, e diagrama carga-reacción, para cada carga apicada sobre a viga rea. Se anaizará a viga hiperestática, dobemente empotrada, con carga concentrada P y vaores de a, b y, conocidos. Esta viga tiene un grado hiperestático de dos, cuatro reacciones y soo dos ecuaciones de equiibrio apicabes. Figura 5. Viga hiperestática. determinar. Momentos y reacciones por Para su soución, se apica e principio de superposición de causas y efectos, por un ado se considera soo a carga concentrada y sus reacciones, por otro ado os momentos de empotramiento y sus reacciones. a a b P b = + = + Figura 7. Vigas isostáticas y sus respectivos diagramas de momentos fexionantes. La viga conjugada para a viga rea de a figura 5, es una viga sin apoyos (en viga rea os apoyos y son empotramientos), entonces a viga conjuga no tiene apoyo, por tanto e equiibrio de a viga conjugada es debida a as cargas de conjugada únicamente. M Figura 8. Viga conjugada correspondiente a a viga rea de a figura 5. aaa Las cargas de a viga conjugada panteadas, tienen formas geométricas simpes, un triánguo y un trapecio. E trapecio se puede descomponer a su vez, en dos triánguos. La determinación de centroide de os tres triánguos es simpe, así como a resutante de as cargas distribuidas que es e área de cada triánguo. Las tres resutantes deben mantener en equiibrio a viga conjugada, apicando as ecuaciones de equiibrio a sistema de cargas resutantes, dará e vaor de os momentos de empotramiento, de una manera directa sin necesidad de hacer simutáneas as ecuaciones de equiibrio, si se utiiza suma de momentos con respecto a centroide de os triánguos inferiores de a figura 9. aaa M

6 Scientia et Technica ño XVII, No 49, Diciembre de Universidad Tecnoógica de Pereira aaa C D + =0= 2 0 = + 2( ) = 6 Σ =0 ( ) (19) (20) (21) / 3 / 3 / 3 Figura 9. Viga conjugada con resutantes de cargas y distancia entre centroides, ejempo 1. Estabeciendo a suma de momentos respecto a punto C + 14 = 3 (22) Resoviendo simutáneamente as ecuaciones 20 y 22, se obtienen os vaores de os momentos de empotramiento: Σ =0= (15) P /3 2/3 Despejando M, se obtiene directamente su vaor = 2 2 (16) M I 2I Se procede de manera simiar para cacuar M : Σ =0= (17) x Despejando M, se obtiene directamente su vaor = 2 2 (18) E vaor de as reacciones se obtiene por superposición, sumando as reacciones de cada viga isostática. La viga que contempa os momentos de empotramiento, aparentemente es isostática, ya que tiene dos reacciones desconocidas, sin embargo os vaores momentos en y en, no son de vaor conocido. Pero una vez cacuado os vaores de os momentos en función de a carga P y as distancias a, b y, se puede determinar e vaor de as reacciones por suma directa, ta como se indica en a figura 6. En a figura 10 se anaiza e caso de una viga dobemente empotrada, formada por dos secciones transversaes; se presenta a viga conjugada, con diagramas carga-reacción donde se indican as resutantes y as distancias entres sus centroides. Se secciona en triánguos e trapecio de a parte de diagrama de momentos. Se obtendrán os vaores de os momentos de empotramiento, apicando as ecuaciones de equiibrio, a os diagramas carga-reacción de a viga conjugada se obtienen as siguientes ecuaciones, as cuaes nos evan a os vaores de os momentos de empotramiento: / / / (+ ) E (+) + / + Figura 10. Viga dobemente empotrada de dos secciones transversaes y dos opciones de viga conjugada correspondiente, ejempo 2. = carga-reacción ; = (23) En as siguientes tabas se contrastan as fases que se siguen en os métodos de a dobe integración y viga conjugada, para a soución de vigas hiperestáticas sección constante y con dos secciones transversaes diferentes, que son o casos presentados. / /

7 37 Scientia et Technica ño XVII, No 52, Diciembre de Universidad Tecnoógica de Pereira. DOLE INTEGRCIÓN VIG CONJUGD Ecuación de momentos, funciones de singuaridad. Diagramas de carga para viga conjugada. Integración de ecuación, determinación de constan- Cácuo de áreas y distancias de sus centroides. tes. picación de vaores de picación de ecuaciones frontera para obtener de equiibrio a a viga ecuaciones, que junto con conjugada, reacciones as de equiibrio directas. proporcionan os vaores de as reacciones. Taba 1. Comparación entre dos métodos de cácuo de vigas hiperestáticas de sección constante. DOLE INTEGRCIÓN VIG CONJUGD Ecuación de momentos, funciones de singuaridad, Diagramas de carga para viga conjugada. para cada sección de a viga rea. Integración de ecuación, determinación de constan- Cácuo de áreas y distancias de sus centroides. tes para cada sección de a viga. picación de vaores de picación de ecuaciones frontera para obtener de equiibrio a a viga ecuaciones, que junto con conjugada, reacciones as de equiibrio directas. proporcionan os vaores de as reacciones. Taba 2. Comparación entre dos métodos de cácuo de vigas hiperestáticas con dos secciones. En especia para e caso de vigas de dos o más secciones a viga conjuga es una mejor opción de cácuo, a reducir sensibemente as operaciones requeridas para e cácuo de reacciones. En os dos casos tratados, no fue necesario determinar ninguna deformación, debido a que e objetivo es resover e probema hiperestático. III. CONCLUSIONES Y RECOMENDCIONES unque e método de a viga conjugada no es novedoso, e incusive en desuso, debidamente utiizado es un recurso con varias bondades, no soo para e cácuo de deformaciones o reacciones, sino en e ámbito educativo, de a resistencia de materiaes. cortante y momento fexionante; de como e momento fexionante, esta directamente igado a a curva eástica de una viga rea. Por su metodoogía a viga conjugada requiere un anáisis (descomposición en partes de un conjunto) y de una síntesis (suma de partes). E tiempo de cácuo de momentos de empotramiento se reduce sensibemente, con una seección de vigas conjugadas apropiadas, en especia para vigas de dos o más secciones transversaes en su caro. E uso de métodos gráficos permite e entendimiento directo de comportamiento de variabes que definen a resistencia o rigidez de un eemento, además de comprender a reación que guardan dichas variabes entre si por ejempo reación carga, fuerza, momento, deformación; o cua en a gran mayoría de a veces no se ogra con a apicación de una ecuación matemática que a integrara de manera directa, se reaiza por memorización, perdiendo con esto e entendimiento de fenómeno. Siempre hay ago que exporar e innovar por muy estudiado y añejo de tema. REFERENCIS Referencias de pubicaciones periódicas: [1] H. M. Westergaard, Defections of eams by the Conjugate eam Method, Journa of the Western Society of Engineers, Vo. XXVI, No. 11, pp , Este artícuo competo puede consutar en: up Referencias de ibros: [2] S. Timoshenko, G. MacCuohgh, Eements of Strength of Materias, New York: D. Van Nostrand Company, 1947, p [3] F Sey, J Smith, "Resistencia de Materiaes, 2th ed., Ed. Méxcio: UTEH, 1967, pp [4] F Singer, Pyte, "Resistencia de Materiaes, 4th ed., Ed. México: HRL, 1994, pp [5] Ortiz erroca, "Resistencia de Materiaes" 3rd ed., Ed. España: McGraw Hi/Interamericana, 2002, pp [6] R Subramanian, "Strength of Materias, India: Oxford University Press, 2010, p [7] McCormac J. náisis Estructura [8] Norris W. et. a. náñisis Eementa de Estructuras 2ª ed. en españo, Ed MacGraw Hi de México, [9] eer, R Johnston, T DeWof, "Mecánica de Materiaes," 4ed. Ed MacGraw Hi/Interameriacana Editores, Es un medio que ayuda a reforzar varios conceptos de caso de fexión simpe, en especia os conceptos de fuerza