Progresiones. La mascota de la princesa

Transcripción

1 Progresiones La mascota de la princesa El rey de Sicilia, Federico II, había encargado al filósofo de la Corte, Juan de Palermo, que examinara a Leonardo de Pisa con problemas matemáticos de difícil solución. Leonardo, más conocido como Fibonacci, les presentó las soluciones y esperó a que las evaluaran. A medida que estudiaban el trabajo, sus caras reflejaban la sorpresa que les producía. Mientras tanto, Fibonacci se había alejado un poco y charlaba con una niña que, sentada en la escalera, acariciaba a un conejito que mantenía en su regazo. Yo tuve una pareja de conejos decía Fibonacci. De qué color eran? se interesó la niña. Eran blancos y los tuve en casa, a ellos y sus crías, durante meses, luego me trasladé con mi padre y no me los pude llevar. En un año tenía parejas! Eso es imposible dijo la niña mientras imaginaba todo lleno de conejos. La primera pareja comenzó a criar al segundo mes, y de cada camada me quedaba con otra pareja, que comenzaba a procrear a su vez a los dos meses de vida repasaba mentalmente el sabio. Mes E F M A M J J A S O N D Parejas 8 89 La niña iba apuntando y, de repente, lo vio claro. El número de parejas es, cada mes, la suma de los dos meses anteriores. 0

2 SOLUCIONARIO DESCUBRE LA HISTORIA Leonardo de Pisa fue un matemático de la Edad Media. Busca información sobre su vida. En esta página, dedicada a la divulgación de las matemáticas, que depende de la Real Sociedad Matemática Española, puedes leer una extensa biografía de Fibonacci desarrollada por Ricardo Moreno, de la Universidad Complutense de Madrid. El problema que aparece en el texto está incluido en su obra Liber Abaci. Investiga sobre este libro. En la citada biografía aparece descrita la obra de Fibonacci, Liber Abaci, que es lo que se pregunta en esta actividad. Averigua qué otros trabajos relacionados con las matemáticas realizó Fibonacci. También se pueden leer otras aportaciones de Fibonacci al estudio de las matemáticas en la misma página. EVALUACIÓN INICIAL Expresa algebraicamente estas relaciones entre números. a) La tercera parte de un número par. b) El doble del número siguiente a uno dado. c) La mitad de un número impar. a) x b) (x + ) c) x + Resuelve. - a) d n? d n b) c) (-) 9 a) d n b) 9 c) 6 Saca factor común en las siguientes expresiones. a) (n + )? n + (n + )? 6 b)? (n - ) - (n - )? (n - ) a) (n + )(n + 6) b) (n - )[ - (n - )] (n - )( - n + ) (n - )( - n) 0

3 Progresiones EJERCICIOS 00 Di cuáles son los términos a, a y a 6 de las siguientes sucesiones. a) 6,, 8, 9, 0, b) 0, -, -, -6, -8, c) ; 0,; 0,0; 0,00; 0,000; d) -, -, -, -, -, e) -, -, -8, -6, -, f),,,, 8, Determina su regla de formación. a) a 6, a 8, a 6. Cada número es el anterior más. b) a 0, a -, a 6-0. Cada número es el anterior menos. c) a ; a 0,0; a 6 0,0000 Cada número es el anterior dividido entre 0. d) a -, a -, a 6 -. Todos los números son -. e) a -, a -8, a 6-6. Cada número es el doble del anterior. f) a, a, a 6. Cada número es la suma de los dos anteriores. 00 Construye una sucesión que cumpla que: a) El primer término es y cada uno de los siguientes es la suma del anterior más. b) El primer término es y cada uno de los siguientes es el anterior multiplicado por. a), 8,,,,... b), 6, 08,, 9, Haz una sucesión con términos a, a y a, siendo los siguientes términos la suma de los tres anteriores.,,, 9, 6, 9, Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión con término general: n + a) a n n - n + b) a n n + a) a -? + 0 a -? + a -? + 0 a -? b) a a? +? a a? +? + 9 0

4 SOLUCIONARIO 00 Obtén los cuatro primeros términos de cada sucesión. a) a -, a n n + a n- b) a, a n a n- - n a) a n n + a n- " a -, a + (-), a + a + 8 b) a n? a n- - n " a a? -? 8-6 a? -? a? (-) -? Inventa el término general de una sucesión, y calcula el valor de los términos, y 6. a n n + a 9 a a Escribe el término general de estas sucesiones. a),,,, 6, c), 0,, 0,, b), 6, 9,,, d) 8,,,, 0, a) a n n + b) a n n c) a n n d) a n + n 008 Determina si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas. a), 0, -, -, c),,,, 6, e), 0, -, -, b),, 6,, 8, 9, d),, 9, 6,, a) a - a a - a a - a - - (-) - " d - " Sí lo es. b) a - a - a - a 6 - a - a - 6 a - a 8 - " d " Sí lo es. c) a - a - a - a - " No lo es. d) a - a - a - a 9 - " No lo es. e) a - a a - a " No lo es. 009 En una progresión aritmética, a,8 y a,6. Calcula. a) La diferencia, d. b) El término a 8. a) d,6 -,8 0,8 b) a 8,8 +? 0,8 0, 00 En una progresión aritmética, el término a y la diferencia d -. Calcula a y a 8. a +? (-) " a + 9 " a n + (n - )? (-) a 8 + (8 - )? (-) - 0 0

5 Progresiones 0 Halla el término general de estas progresiones aritméticas. a),,,,, b),, 9, 6, a) d - " a n + (n - )? n b) d - - " a n - (n - )? 8 - n 0 En una progresión aritmética, el primer término es y la diferencia es -. Determina a n. a, d - " a n a + (n - )? d - (n - )? - n 0 En una progresión aritmética, el tercer término es 9 y la diferencia es. Halla el primer término y el término general. a a + ( - )? d " 9 a +? " a - a n a + (n - )? d - + (n - )? n - 0 En una progresión aritmética, a 6 y a 9. Calcula a y el término general. + (9-6)? d " d 6 : " a +? " a - 0, a n + (n - )? 0 Calcula la suma de los 0 primeros términos de la progresión:,,,, 9,,,,, 9, d - " a 0 + 9? 9 S 0 + 9? Dada la progresión aritmética con a n 0 - n, halla la suma de los primeros términos. a 0 -? a 0 -? S -? - 0 Quiero colocar filas de macetas de manera que en la primera fila pondré macetas, y cada una de las siguientes filas tendrá macetas más que la anterior. Cuántas macetas colocaré en total? a n a + (n - )? d " a n + (n - )? n a, a + 6? S +? 8 macetas 06

6 SOLUCIONARIO 08 Determina si son progresiones geométricas. a),,,, 6, c), 9,,, b) -, -, -, -8, -6, d),,,,, 6 a) r " Sí lo es b) r " Sí lo es. c) 9! " No lo es. 9 d) r " Sí lo es. 09 Halla el término general y el término a 6. a),,, b),, 9, 9, _ a a) b a b ` a b b a a " r a n? n- " a 6? 6- n b) an? r - " a? r " r n- " an? ( ) " a6? ( ) 00 En una progresión geométrica, a y a. Calcula a n y a. a a? r a a? r.ª :.ª " r " r! Sustituimos r en la.ª ecuación: a? a " y comprobamos que se cumple la.ª ecuación:? e o? 8 Si r - en la.ª ecuación: a? a e- o" - 0

7 Progresiones y comprobamos que se cumple la.ª ecuación: (-)? e- o (-)? e- o 8 n - Luego hay dos soluciones: an? e o y an (-)? e- o - - n- a? e o? y a (-)? e- o (- )? Dada la sucesión: ; ;,; 6,; 0,; a) Comprueba que es una progresión geométrica. Halla su razón. b) Calcula su término general. c) Halla la suma de sus 0 primeros términos., 6, 0, a), " Sí lo es., 6, b) a n?, n- c) S 0 0? (, - ), 6,66, - 0, 0 Halla la suma de los primeros términos de la progresión:,, 9, 9, a a? r "? r " r " a n? ( ) n- a? ( ) 6? 8 S? ( )? (? - ) 8, Una ameba se reproduce por bipartición cada minutos. Cuántas habrá al cabo de 0 horas? En 0 horas 0? minutos se habrán producido: 600/ 0 biparticiones. Se trata de una progresión geométrica en la que a y r. Por tanto, resulta: a 0? 0-6,66? 0 0 Calcula el término general y la suma de todos los términos de las siguientes progresiones geométricas. a) a y r b) a y r 0 n- a) an? e o " S 0 - n- 0 b) an? e o " S

8 SOLUCIONARIO 0 Halla, si es posible, la suma de los infinitos términos de estas progresiones. a),,, b),, 9, 9, a) a a? r "? r " r La razón es mayor que la unidad; no podemos calcular su suma (es infinita). b) a a? r "? r " r La razón es mayor que la unidad; no podemos calcular su suma (es infinita). 06 En una progresión geométrica, S 0 y a. Cuánto vale la razón? a S 0 r r r r - " r - " - " - " - " r 0 0 Halla el producto de los primeros términos de una progresión geométrica con a y r. a a? r " a? " P (? ) En una progresión geométrica, a y r. Obtén el producto de los 0 primeros términos. a a? r " a? " a 9 a 0 a? r 9 " a 0 9? 9? P 0 e? 8 8o 888 8,88? Dada una progresión geométrica cuyo término general es a n? n-, calcula P 6. 6 a6? 8 " P6 (? 8) 8 00 Halla la razón de una progresión geométrica con a y P 0. P 0 (? a ) a r " r " r 0 " r 0 Calcula el capital obtenido invirtiendo 00 al % anual durante 0 años. 0 C 0 00? e + o 00?,,

9 Progresiones 0 Halla el capital que se obtendría al invertir 0 céntimos de euro al % anual durante un siglo. Y si el rédito fuera del %? 00 C 00 0,0? e + o 6, Si r % " C 00 0,0? e + o, 00 0 Obtén el capital que, con un interés compuesto del % mensual, produce 000 en años C? e + o " 000 C?, " C 09, Halla el capital que, con un interés compuesto del 0 % anual, produce,0 en años. 0,0 C? e + o ",0 C?, " C ACTIVIDADES 0 06 Escribe los siguientes términos de estas sucesiones. a), 6,, 8, 9, c),,, 8,, b) 0, 0, 0, 0, -0, d),,,, Qué criterio de formación sigue cada una de ellas? a), 6,, 8, 9, 0,,,... " Aumenta de en. b) 0, 0, 0, 0, -0, -0, -0, -0,... " Disminuye de 0 en 0. c),,, 8,,, 9, 6,... " Aumenta de en. d),,,, 6,, 6,... " Aumenta multiplicando por. Dada la sucesión:, 8,, 6, a) Cuál es su sexto término? b) Y su criterio de formación? a) 6 6 b) a n n 0 La sucesión,, 9, 6,, tiene por término general a n n. Obtén el término general de las sucesiones. a), 8, 8,, 0, c), 9, 6,, b), 6,, 8,, d) 6,, 6, 9, a) a n n c) a n (n + ) b) a n n + d) a n (n + ) 0

10 SOLUCIONARIO 08 La sucesión,, 6, 8, 0, tiene por término general a n n. Determina el término general de las sucesiones. a) -,,,,, c) -, -, -6, -8, b) 6, 8, 0,, d) 6,, 8,, 0, a) a n n - c) a n -n b) a n n + d) a n 6n 09 Halla los cinco primeros términos de la sucesión cuyo término general es: a) a n n d) a n + (n + ) f) a n n + n - n- n + b) a n (-) n+ e) a n? e o g) a n n c) a n - n a) a n n ",, 8, 6,, b) a n (-) n+ " (-), (-), (-), (-) 6, (-), -, 8, -, 9, - 8, c) a n - n ", -, -, -, -0, d) a n + (n + ) " 0,, 8,, 6, n- e) a n? e o ",,,,, 9 8 f) a n n + n - ", 8, 6, 6, 8, n g) a n ",,,,, n Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones. a) El primer término es y cada término se obtiene sumando al anterior. b) El primer término es y cada uno de los siguientes se obtiene multiplicando el anterior por. c) El primer término es, el segundo y los siguientes son la suma de los dos anteriores. d) El primer término es 8 y los siguientes son cada uno la mitad del anterior. a),, 9,, b),,,, 8 c),,,, 8 d) 8,,,,

11 Progresiones 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE DETERMINA EL TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES DE FRACCIONES? Halla el término general de la siguiente sucesión: 9 6,,,, PRIMERO. Se busca el criterio de formación de los numeradores, y se determina su término general., 9, 6,, " El primer término es el cuadrado de. El segundo es el cuadrado de. El tercero, el cuadrado de Término general " (n + ) SEGUNDO. Se busca el criterio de formación de los denominadores, y se determina su término general.,,,, " Sucesión de números impares. Término general " n - TERCERO. El término general de la sucesión será el cociente entre los dos términos generales. Término general " a n ( n + ) n La sucesión,,,,, tiene por término general a n n. La sucesión,, 8, 6, tiene por término general a n n. Halla el término general de estas sucesiones. a),,,, c),,,, b),,,, d),,,, 8 6 n a) an b) an + c) a n n n d) a n n n - n Obtén los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones recurrentes. a) a, a, a n a n- - a n- b) b, b, b n b b n- n- c) c -, c 0, c, c n c n- + c n- + c n- d) d, d n d n- + n a),, -,, - c) -, 0,, 0, b),,,, d),,,, 6

12 SOLUCIONARIO 0 Halla la regla de formación de estas sucesiones recurrentes. a),,,, 8, 9, c),,, 6,, 0, b),,,,,,, d) -,, 6,, -, -6, a) a, a, a n a n- + a n- an- b) a, a, a n a n- c) a, a, a, a n a n- + a n- + a n- d) a -, a, a n a n- - a n Halla la diferencia y el término general de estas progresiones aritméticas. a) 0,,,, c),, -, -8, b),,,, d) 6, 8, 0, -8, a) d " a n 0 -? (n - ) - n b) d - " an +? ( n- ) n c) d - - " a n -? (n - ) - n d) d " a n 6-8? (n - ) - 8n Con los datos de las siguientes progresiones aritméticas: a) a y a, calcula d, a 8 y a n. b) b, y b 6, calcula d, b 0 y b n. c) c y d -, calcula c, c 8 y c n. d) h 8 y h, calcula d, h 0 y h n. a) + ( - )? d " d -8 " a 8 + (8 - )? (-8) - a n + (n - )? (-8) b) 6, + ( - )? d " d, " b 0, + (0 - )?, 8 b n, + (n - )?, c) c + ( - )? (-) " c 8 " c (8 - )? (-) - c n 8 + (n - )? (-) d) 8 + ( - )? d " d -, h (0 - )? (-,) -, " h n 8 + (n - )? (-,) Considera la sucesión,, 6, 8, 0, a) Es una progresión aritmética? c) Calcula el término 0. b) Halla su término general. a) Sí, es una progresión aritmética: d b) a n + (n - )? n c) a 0? 0 60

13 Progresiones 08 Dada la sucesión,,,, 0, : a) Comprueba que es una progresión aritmética. b) Halla su término general. a) d ( n ) 6 n b) an + ( n-)? e- o Sabiendo que los términos de una progresión aritmética se pueden obtener con la calculadora, mediante el sumando constante: d + + a obtén los 0 primeros términos de las progresiones aritméticas. a) a 8 y d c) c -0 y d b) b y d - d) h - y d -8 a) 8,, 8,, 8,, 8,, 8, b), -, -, -, -, -, -, -, -, - c) -0, -, -, -,,, 8,,, d) -, -0, -8, -6, -, -, -60, -68, -6, En una progresión aritmética, a 0 y d. Averigua el valor del término a. a a 0 + ( - 0)? d " a +? + 0 En una progresión aritmética, a y a. 6 a) Obtén a y d. b) Determina el término general. a) d a- a - " a a-? -? b) an - + ( n-)? 6 0 En una progresión aritmética, a 8 y a. Calcula la diferencia y el término general. a a8 a a8 + d" d - - a a8-? d - - an - +? ( n- ) n

14 SOLUCIONARIO 0 0 En una progresión aritmética, a y d 6. Averigua el lugar que ocupa un término que vale 9. a, d 6 " a n + (n - )? 6 " 9 + 6? (n - ) " 6? (n - ) " n - " n Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas. a),;,;,8;,8; c),,,, b),, -, -, -, d),,,, a a a a a) a,; d 0,0 " a n, + (n - )? 0,0,69 + 0,0n b) a, d - " a n -? (n - ) 8 - n c) a, d " an +? (n - ) n n d) a, d a a " an +? (n - ) - + a a a a 0 Halla el término general de una progresión aritmética en la que a y a + a. a a + d " a - d Sustituimos para hallar d: a + a " a + a + ( - )? d " a + 9d "? ( - d) + 9d " 6 - d + 9d " d - 6 " d Y sustituyendo tenemos que: a - d " a -? - 6 Como a a + d " a + " a El término general es: a n + (n - )? + n 06 En una progresión aritmética de 8 términos, el primero y el último suman. El tercer término es 6. Escribe la progresión. a + a 8 a a + d 6 " a 6 - d a + a 8 " a + a + (8 - )? d " a + d "? (6 - d) + d " - d + d " d - " d 9 " d Y despejando: a 6 - d 6 -? 0 Luego a n (n - )? n - " 0,, 6, 9,...

15 Progresiones 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE INTERPOLAN TÉRMINOS QUE FORMEN UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA? Interpola tres términos entre y 9 para que formen una progresión aritmética. PRIMERO. Se calcula a y d. La progresión que se quiere construir será de la forma:, a, a, a, 9. Por tanto, resulta que: a y a 9. Como tiene que ser una progresión aritmética: a n a + (n - )d n " 9 + ( - )d 9 + d " d 8 SEGUNDO. Se hallan los términos intermedios. a + ( - )? a + ( - )? a + ( - )? Los tres términos que hay que interpolar serán, y. 08 Interpola 6 términos entre y para que formen una progresión aritmética. a, a 8, d ( - ) : (8 - ) 9 Los 6 términos son:,,,,, 9 09 Interpola términos entre los números - y para que formen una progresión aritmética. + a -, a, d - 6 Los términos son: -, -, 0,, Sabiendo que estas sucesiones son progresiones aritméticas, completa los términos que faltan. a),,,,, 6 b) ;,; ;,; c),,,,, d),,,,, 8 6

16 SOLUCIONARIO - 6 a) d - " 6,,,,, 6 6 b) d (, -,) : ( - ) 0, " ;,; ;,; - c) d - ",,,,, d) d 6 - ",,,,, Sea a n n + el término general de una progresión aritmética. Calcula a y la suma de los 0 primeros términos. a? + 0 " a? + S 0 a + a 0 + 8? 0? En una progresión aritmética, a 8 0 y d. Halla el primer término y la suma de los 0 primeros términos. a 8 a +? d " 0 a +? " a -9 a 0 a + 9d " a ? S 0 a + a 0-9+? 0 " S 0? 0 06 Calcula la suma de los 0 primeros términos de una progresión aritmética si el tercer término es y el décimo es 66. a, a 0 a + d " 66 + d " d " d 6 a a + d " a +? 6 " a S 0 a + a ? n? Halla la suma de los 00 primeros números pares. a " a n a + (n - )? d " a n +? (n - ) n " a 00 +? S 00 a + a 0 0? n + 00?

17 Progresiones 06 Calcula la suma de los múltiplos de comprendidos entre 00 y 0. a 0, a n 00 " a n a + (n - )? d " (n - )? " 00-0 n - " n - " n S a + a ? n? Halla la suma de los primeros términos de una progresión aritmética en la que a y a 0. a a + d " 0 + d " d a a + d " a +? 6 S a + a + 6? n " S? Halla la suma de los n primeros números naturales. a n n " S n a + a n + n n + n? n? n Cuántos números impares consecutivos a partir de suman 96? Los números impares forman una sucesión cuyo término general es a n n -. S n a + a n + n -? n " 96? n " 96 n " n Luego se trata de los primeros números impares. 069 Calcula la suma y el último término de una progresión aritmética de diferencia, sabiendo que tiene términos y el primero vale. ( )? a + ( - )?, S + 8 8

18 SOLUCIONARIO 00 Halla la suma de los términos de una progresión aritmética limitada cuyo primer término es, el último es 0 y la diferencia es. 0 + (n - )? " n, ( 0)? S La suma de los primeros términos de una progresión aritmética es,. La suma de los 8 primeros términos es,. Escribe la progresión. _ a + a S? n, " (a + a )? b b S 8 a + a ` 8 b? n, " (a + a 8 )? 8 0, b a a + a a + a 8, " a 8 - a d 0, " d 0, Sustituyendo en la.ª ecuación: a + a " a + d " a + 0, " a 0,6 " a 0, La progresión es 0,; 0,; 0,; 0,6, 0 Calcula la diferencia o la razón de las siguientes progresiones, y halla su término general. a), 6,,, c),,,, e) 6, 8, 0, -8, b) 0,,,, d) 6, 8,,,, f), 9,,, a) r 6 : ; a n? n- b) d - 0 -; a n 0 + (n - )? (-) c) r ; a n 8 d) r 0,; a 6 n 6? e o n- n- e o e) d ; a n 6 + (n - )? (-8) (n - )? (-8) f) d 9-6; a n + (n - )? n 0 En una progresión geométrica, a y a. Obtén el término general y a 0. n- r " r " an? e o a 0? 9 e o 0 En una progresión geométrica, a 6 y a 0. Halla a y el término general. a a? r " 0 6r " r! Hay dos soluciones: a n 6? (! ) n- " a 6? (! )!0 9

19 Progresiones 0 06 Calcula. a) El término general de una progresión geométrica en la que a y r. b) El término que ocupa el lugar. a) a n? n- b) a? Dada la sucesión,,,, : 9 8 a) Comprueba que es una progresión geométrica. b) Calcula el término 0. a) : : : r b) a0? e o Halla los términos que faltan en las siguientes progresiones geométricas. a) ; 0,; ; 0,00; b),, 6,,, c),,,, d),,,, 8 a) ; 0,; 0,0; 0,00; 0,000 b),,,,, c),,,, 6 d),, 9?,?, 8 08 El término general de la progresión, 6,,,... es: a) a n + (n - )? b) a n? n- c) a n? n- d) No se puede calcular. El término general es c) a n? n- 0

20 SOLUCIONARIO 09 En una progresión geométrica de términos positivos, a 60 y a 00. Obtén: a) Los primeros términos. b) El término general. c) Los 0 primeros términos ? r r 0 0 " a) 0, 60, 0 0, 00, b) a 0? ( 0) n- n c) 0, 60, 0 0, 00, 800 0, , , , , En una progresión geométrica, a 0 y a Calcula r y los 0 primeros términos de la progresión. Cuál es el término general? ? r " r 0, a n 0 n- Los 0 primeros términos son:, 0, 00, 000, 0 000, , , , , Un término de una progresión geométrica vale Si el primer término es y la razón es, de qué término estamos hablando? 0 08? n- " n- " n - " n Dos términos consecutivos de una progresión geométrica valen y. Averigua qué lugar ocupan si a. 6 _ a n? r n- b 6 b ` " Dividiendo obtenemos: r b a n+? r n 6 b a Y sustituyendo en la.ª ecuación: n- n- 8 6? e o " e o 6 9 (: ) " n - " n Se trata de los términos tercero y cuarto. F 08 En una progresión geométrica, el primer término es y la razón es. Calcula la suma de los 8 primeros términos. a, r S 8 a? ( r n - )? ( - ) S 6 00 r - " - n 8

21 Progresiones 08 En una progresión geométrica, el segundo término es y el cuarto es. Halla la suma de los 6 primeros términos. a, a " a a? r "? r " r! a a? r " a? e! o " a!! S 6 6 6? > d n - H (-)? > d- n -H 6 o S6 8 d - n d- -n HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA LA SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA? Calcula la suma de todos los términos de estas progresiones geométricas. a) a y r b) c - y r c) d y r - PRIMERO. Se calcula la razón de la progresión geométrica. a) r b) r c) r - SEGUNDO. Se analizan los distintos casos. Si r >, la suma es infinito. a Si - < r <, se aplica la fórmula S - r. Si r < -, no se puede hallar. a) r >. La sucesión es:, 6,,, 8, La suma de todos los términos es infinito. b) - < r <. Se aplica la fórmula: c - - S - - r - c) r - < -. La sucesión es:, -,, -, 8, -6,, No se puede calcular la suma de todos los términos de la progresión.

22 SOLUCIONARIO 086 Dada una progresión geométrica en la que a y r 0,, obtén. a) La suma de los 6 primeros términos. b) La suma de todos los términos. a) S 6 6? (0, ) -, , , b) S,! - 0, 09,, 08 En una progresión geométrica, a - y r. Calcula. a) La suma de los 0 primeros términos. b) La suma de todos los términos. a) S 0 0 -? ( - ) b) La suma de todos los términos de una progresión geométrica de razón mayor que es infinito, en este caso menos infinito. 088 Halla la suma de los infinitos términos de la progresión 6,, 9,, a a? r " 6? r " r 6 a S - r " S / 089 Dadas las siguientes sucesiones, calcula, en los casos en que sea posible, la suma de sus infinitos términos.

23 Progresiones 0 a) r " S 0 - / b) r " No es posible, pues >. / - c) r - " S - -- d n d) r - < - " No es posible. e) No es posible, es una sucesión aritmética y no geométrica. f) No es posible, es una sucesión aritmética y no geométrica. g) r, por lo que no es posible h) r " S La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es y la razón es. Halla los primeros términos de la sucesión. a a a S " " " a " a - r - a a? r?, a, a 09 El sexto término de una progresión geométrica vale 8 y el cuarto es 6. a) Obtén el término general. b) Halla el producto de los 0 primeros términos. a) a 6 a? r " 8 6? r " r! Para r + " a a? r " 6 a? ( ) " a n- n a n? ( )? ( ) 6 Para r - " 6 a? (- ) " a - - a n? ( ) n b) a 0? (! )?? 6 P 0 6 ( a? a0) 0 f!? 6p (!8,06)!,9? 0

24 SOLUCIONARIO 09 El octavo término de una progresión geométrica es 8 y la razón es. a) Obtén el término general. b) Calcula el producto de los 8 primeros términos de la progresión. 8 a) a 8 a? r " 8 a? - " a " an? 8 (: 9) 8 b) P 8 ( a? a8) 8 " P8 e? 8o 9 8,96? 0 F n 09 El quinto término de una progresión geométrica es 60 y el segundo es 0. a) Halla el séptimo término. b) Obtén el producto de los primeros términos de esta progresión. a) a a? r " 60 0? r " r 8 a a? r " 0 a? " a 0 a a? r 6 " a 0? 6 60 b) P ( a? a ) (0? 60) 80,09? 0 09 El número de usuarios de un polideportivo los fines de semana comenzó siendo de 0 personas y aumentó en 0 personas cada fin de semana a partir de entonces. a) Cuántos usuarios hubo en la semana? b) Y en las 0 primeras semanas? Es una progresión aritmética, con d 0. a) a 0 +? 0 80 usuarios b) S 0 (0 + 0)? 0 80 usuarios 09 Teresa ha comprado un caballo y quiere herrarlo. Para ello tienen que ponerle 0 clavos, el primero de los cuales cuesta céntimo de euro y cada uno de los restantes vale céntimo más que el anterior. Cuánto paga en total por herrarlo? Se trata de una progresión aritmética, con a y d. a 0 + 9? 0 céntimos a+ a0 0 S 0? 0 +? 0 0 céntimos,0

25 Progresiones 096 Cuánto pagaría Teresa si el precio del primer clavo fuese el mismo, pero cada uno de los siguientes costara el doble que el anterior? Se trata de una progresión geométrica, de razón r y a. 0 0 a? ( r - )? ( - ) S 0 r - " S0 08 céntimos 0 8, - 09 En un aparcamiento cobran 0, por la primera hora de estacionamiento y, por cada hora siguiente, el doble de lo cobrado en la hora anterior. Cuánto pagaremos por estar aparcados durante 8 horas? Es la suma de los 8 primeros términos de una progresión geométrica con r y a 0, " S 8 8 0,? ( - ) 6, Un árbol de rápido crecimiento multiplica su altura por, cada año. Si al comenzar el año medía 0, cm, qué altura tendrá dentro de 0 años? Cuánto crecerá en esos 0 años? Es una progresión geométrica, con r, y a 0,. a 0 0,?, 9,8 m medirá a los 0 años, por lo que habrá crecido:,8-0,, m 099 Dejamos caer una pelota desde una altura de metro, y en cada uno de los botes que da sube a una altura igual que la mitad del bote anterior. A qué altura llegará en el quinto bote? Es una progresión geométrica, con r 0, y a. El quinto bote es el término sexto de la progresión: a 6? 0, 0,0 m 00 Lanzamos un balón que da botes a lo largo de un pasillo, como se ve en la figura. Si al séptimo bote choca con la pared y se para, qué distancia habrá recorrido? Es una progresión geométrica, con r y a. La suma de los primeros términos es: S? > d n - H - 8, m 6

26 SOLUCIONARIO 0 Halla la profundidad de un pozo si por la excavación del primer metro se han pagado 0, y por la de cada uno de los restantes se pagan más que en el anterior, siendo el coste total de 0. Es una progresión aritmética, con d y a 0. [ a a ( n )? d]? n [ 0 0 ( n )? ]? n 0 Sn n + n " n + n " n 0 m La solución negativa de n no la contemplamos, por no ser posible una medida de longitud negativa. 0 Una rana está en el borde de una charca circular de metros de radio y quiere llegar al centro saltando. Da un primer salto de metros y, después, avanza en cada uno la mitad que en el salto anterior. Logrará llegar al centro? Es una progresión geométrica, con r 0, y a. La distancia máxima que recorrerá será la suma de todos los términos. S 6 m, por lo que no llegará al centro de la charca. - 0, 0 Durante los cuatro primeros meses de vida, un bebé ha ido ganando cada mes un 0 % de peso. Si al nacer pesaba 900 gramos, cuál ha sido su peso al final del cuarto mes? Es una progresión geométrica, de razón r, y a 900. a a? r " a 900?, 0, gramos 0 Una escalera tiene todos los peldaños iguales menos el primero, que mide 0 cm. Al subir 00 escalones, la altura ascendida es de 0 cm. Qué altura tiene cada peldaño? h altura de uno de los 99 peldaños iguales ? h " h cm 99 Se podría considerar que los 99 escalones forman una progresión aritmética de diferencia d 0.

27 Progresiones 0 Una bióloga está estudiando la evolución de una población de moscas. a) Si el número inicial de moscas es de 0 y, cada 0 días, la población de moscas se cuadruplica, halla el término general de la progresión formada por el número de moscas cada 0 días. b) Cuántas moscas habrá a los 0 días? c) Si el precio del alimento para las moscas en el primer día es de, y cada día aumenta céntimos más, halla el término general de la progresión. d) Determina el valor del alimento en el día 0. e) Calcula el valor del alimento en los 0 primeros días. a) Es una progresión geométrica, con r y a 0, por lo que a n 0? n-. b) a 0? 800 moscas c) Es una progresión aritmética, con d 0,0 y a, siendo a n + (n - )? 0,0. d) a 0 + (0 - )? 0,0,8 (,8)? 0 e) S0 +,60 06 Se depositan 000 al % anual el de diciembre en una empresa financiera. Si no retiramos el dinero durante 6 años, qué capital tendremos al finalizar cada año? Primer año: C 000? e + o Segundo año: C 000? e + o Tercer año: C 000? e + o 6, 00 Cuarto año: C 000? e + o 89, 9 00 Quinto año: C 000? e + o 6 08, 6 00 Sexto año: C6 000? e + o 6 6,

28 SOLUCIONARIO 0 Calcula el capital que, invertido a un interés compuesto del %, produce en años un capital final de C? e + o " C 00 e o,0 08 Si un capital de 000 se convierte en en una situación de interés compuesto al cabo de años, cuál es el interés al que ha estado invertido el capital inicial? r 6 r r ? e + o " + " r " 0,09 00 " El interés será del 9, %. 09 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA DE INTERÉS COMPUESTO CON AUMENTOS DE CAPITAL? Una familia hace un plan de ahorros durante años ingresando, al principio de cada año, 000 a un % anual de interés compuesto. Cuánto dinero obtendrá al finalizar el plan? PRIMERO. Se calcula el interés de cada aportación. El primer año ingresa 000, que permanecerán años en el banco, obteniendo: 000?,0 El segundo año ingresa 000, que permanecerán años en el banco, obteniendo: 000?,0 El tercer año ingresa 000, que permanecerán años en el banco, obteniendo: 000?,0 El cuarto año ingresa 000, que permanecerán año en el banco, obteniendo: 000?,0 SEGUNDO. Se suman las cantidades obtenidas. 000?, ?, ?, ?,0 Así, se obtiene la suma de los términos de una progresión geométrica, en la que: a 000?,0 a 000?,0 r,0 a? r a 000?,0-000?,0 S 6,90 r --, 0-9

29 Progresiones 0 Rosa recibe una gratificación al principio de cada trimestre de 000. Si el dinero lo deposita en una entidad bancaria al % de interés compuesto, cuánto tendrá al acabar un año? Suponiendo que la gratificación la recibe al comienzo del trimestre, lo correspondiente al primer trimestre se convierte en 000?,0, el segundo 000?,0, el tercero 000?,0 y el cuarto 000?,0. Se calcula la suma de los términos de una progresión geométrica, con a 000?,0 y r,0. 000?,0-000?,0 00, - 009,8 S 080, 0, , - En un examen las preguntas estaban ordenadas según su dificultad. La primera valía puntos y cada una de las restantes valía puntos más que la anterior. Si en total cuentan 0 puntos, cuántas preguntas tenía el examen? Es una progresión aritmética, con d y a. [ a a ( n )? d]? n [ ( n )? ]? n 0 Sn n + n " n + n " n preguntas La solución negativa de n no la contemplamos, por no ser posible un número negativo de preguntas. Puede ser el número 0 el primer término de una progresión geométrica? Y de una progresión aritmética? Si el primer término de una progresión geométrica es 0, todos los términos serán 0, ya que los demás términos se calculan multiplicando el primero por la razón elevada a una cierta potencia. Por otra parte, no hay ningún inconveniente para que el primer término de una progresión aritmética sea 0. 0

30 SOLUCIONARIO Consideramos una progresión geométrica con a! 0 y r! 0, y una progresión aritmética con a 0. Sumando, término a término, estas dos progresiones obtenemos la sucesión:,,, Cuál es la suma de los 0 primeros términos? La progresión geométrica es a n y la aritmética es b n (con b 0). Y la suma es a n + b n. a + b, y como b 0, entonces a. Por tanto, tenemos que: a n r n- y b n (n - )? d a + b r+ d " d -r a + b r + d " r +? (- r) " r - r 0 " r 0 y r Como r no puede ser 0, r y d -. La suma de los 0 primeros términos es la suma de los 0 términos de cada una de las sucesiones. 9? ( - ) S0 l - [ 0 + (-)? 0] S0 ll " S0 S0 l + S0 ll 6 La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética (n > ) es y la diferencia de la progresión es. Si a es un número entero, qué valores puede tomar n? La diferencia es d. ( a an)? n [ a a ( n )? d]? n Y la suma es: Sn [ a+? ( n-) ]? n ( a+ n- )? n El valor de n debe ser entero y, por tanto, será divisor de. Div () {,, 9,,, } Hallamos qué valores sirven como solución. n " a + - " a 9, a, a y la suma hasta a es. n 9 " a " a 9, a, a y la suma hasta a 9 es. n " a " a -, a -, a - y la suma hasta a es. n " a + - " a -, a -, a - y la suma hasta a es. n " a + - " a -, a -9, a - y la suma hasta a es.

31 Progresiones Expresa de forma fraccionaria el número periódico 0,! ; para ello, escríbelo de la forma: 0, + 0,0 + 0,00 + y halla la suma de la progresión. Es una progresión geométrica, de término general: n- an 0,? e o " 0,! 0, S Obtén la fracción generatriz de,8! utilizando la suma de una progresión. Como,8!, ,8 + 0,08 + 0, ,0008 Suma de una progresión geométrica cuyo primer término es a 0,8 y r 0,,8! 08, , Dividimos el lado AC de un triángulo rectángulo ABC en 8 partes iguales, levantando desde los puntos de división paralelas al lado BC. Si BC mide 0 cm, calcula la suma de las longitudes de los otros segmentos. B 0 cm C A La distancia de A a cada división n de AC es n AC y, por semejanza 8 de triángulos, el lado paralelo a BC que pasa por esa división será: n AC " AC 8 x " 0 0n n " x 8 por lo que forman una progresión aritmética de diferencia: d Y el primer término: a Luego la suma es: S 0 e + 0o? 0 e + 0o?

32 SOLUCIONARIO PON A PRUEBA TUS CAPACIDADES 8 A Julián Gasol, dueño de la gasolinera de Villapueblo, se le ha ocurrido una idea para premiar la fidelidad de los camioneros que habitualmente repostan en su gasolinera. Durante este mes daremos puntos por cada 00 de gasolina La primera vez que se venga a repostar daremos punto por cada 00 ; la segunda, puntos por cada 00 ; la tercera, puntos por cada 00 ; la cuarta, puntos, y así sucesivamente. 000 PUNTOS Menú gratis PUNTOS Un crucero para dos personas Estos puntos se podrán canjear por menús en una cafetería o por un magnífico crucero. ERES CAPAZ DE COMPRENDER a) Si una persona reposta por primera vez en la gasolinera y se ha gastado 0, cuántos puntos recibirá para conseguir premios? Y si reposta por segunda vez? b) Si la tercera vez que reposta le han dado puntos, cuánto dinero se ha gastado? ERES CAPAZ DE RESOLVER c) Mariano tiene un camión y el repostaje semanal le cuesta 0. Si continúa con el mismo gasto, cuándo podrá conseguir un menú gratis? ERES CAPAZ DE DECIDIR d) Si la promoción acaba en un año, crees que alguien puede conseguir el crucero? a) Como es la primera vez que reposta y gasta 0, recibirá punto. Como es la segunda vez recibirá puntos. b) Suponiendo un repostaje semanal, en la tercera semana coincide el tercer repostaje:? n " n " Ha gastado? c) Suponiendo que no se dan fracciones de puntos, los puntos obtenidos forman una progresión aritmética de término general a n n. ( nn ) n n La suma de los puntos de n repostajes es: Sn + +

33 Progresiones Para conseguir los 000 puntos del menú gratis: n + n Sn 000 " n + n "!?? ( 000) n n 6, 0 " )? n -, 0 Tendría que repostar veces, y como cada mes reposta veces, tardaría 9 meses y semana en conseguir un menú gratis. d) Haciendo cada repostaje de lo mínimo posible para obtener puntos, los puntos en cada repostaje son una progresión aritmética de término general a n n. La suma de los n primeros términos de esta progresión es: ( nn ) n n n n Sn + + " ! n 6, n + n n - + " " * n -, Hacen falta repostajes de 00 para conseguir el crucero, es decir, más de uno diario durante un año. Es muy difícil que nadie consiga el crucero. 9 Un informe económico afirma que el mejor plan de pensiones es el de BANCOVERDE. En un plan de pensiones se hacen ingresos periódicos de dinero: mensualmente, trimestralmente, anualmente Vamos a ver... Si yo ingreso 000, al año tendré esos 000 más el, %, a lo que le tengo que restar el 0,99 % del total. El segundo año ingreso otros 000, que tengo que añadir al dinero del primer año, y me dan el, % del total pero también tendré que restar otra vez el 0,99 %... PLAN DE PENSIONES BANCOVERDE Comisiones mínimas Comisión de suscripción ,99 Alto potencial de rentabilidad Comisión de reembolso Comisión de depósito Comisión de gestión, % Anual asegurado ERES CAPAZ DE COMPRENDER a) Si una persona ingresa 000, cuánto dinero tendrá al finalizar el primer año? Y el segundo? ERES CAPAZ DE RESOLVER b) Si una persona que ingresa 000 al año tiene ahora 0 años, cuánto dinero recibirá al llegar a su jubilación?

34 SOLUCIONARIO ERES CAPAZ DE DECIDIR c) Calcula la comisión de gestión total que tiene que pagar la persona del apartado anterior al recibir el dinero. Consideras que los gastos de dicha comisión son elevados? a) Por un año le corresponde:,, 099, ? - e ? o? Por dos años le corresponde:, 099, 000? e + o? e - o 00 00, 099,, 099, 000? e + o? e - o + 000? d + n? d - n b) En esta progresión geométrica, por t años le corresponde: t t, 099, 000? e + o? e - o Suponiendo que me quedan años para jubilarme, obtendré:, 099,, 099, 000? e + o? e - o? > e + o? e - o - H S, 099, e + o? e - o , , 9 0, 09 c) Calculamos el dinero que tenía a los años del primer ingreso: S 0, Ese año ingresamos 000, por tanto el capital inicial del año es 0,. Las comisiones del año serán:, 099, Comisión e 0, + 0,? o? 96, Es decir, el último año, antes de recibir el dinero, paga 96,8. Si consideramos que las comisiones son alrededor del % del capital que tenemos en el banco:.º año 000 Comisión 0.º año 000 Comisión 0.º año Comisión 60 Podemos considerar las comisiones como una progresión aritmética de término general 0n. Si sumamos los primeros términos de esta sucesión: + (0 0? )? S 6 00 Es decir, las comisiones que tendremos que pagar a lo largo de todos los años son más de 6 00, más de tres veces la aportación anual que hacemos.