APLICACIÓN PARA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO EN INFORMÁTICA PROYECTO FIN DE CARRERA APLICACIÓN PARA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA AUTORA: MARÍA VIDAL DE COS MADRID Junio de 2006

2 Autorizada la entrega del proyecto de la alumna: Dª. María Vidal de Cos Madrid, 7 de Junio de 2006 EL DIRECTOR DEL PROYECTO Fdo.: Dr. D. Francisco Javier Rodríguez Gómez Vº Bº del Coordinador de Proyectos Fdo.: D. Eduardo Alcalde Lancharro Fecha: 28/ 06/ 06

3 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO EN INFORMÁTICA PROYECTO FIN DE CARRERA APLICACIÓN PARA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA AUTORA: DIRECTOR: Dª. MARÍA VIDAL DE COS DR. D. FRANCISCO JAVIER RODRÍGUEZ GÓMEZ

4 Agradecimientos A Francisco Javier, por asignarme este Proyecto, y haber conseguido, con su dirección, que viera su término. A mis padres, por estar ahí siempre y darme su apoyo incondicionalmente. A mi hermana, por echarme una mano y compartir su experiencia, conocimientos y tiempo conmigo. A todos mis amigos, por hacerme llegar su energía. A Ana, Carmen y Sandra, porque sí. Gracias. I

5 Resumen El propósito principal del presente Proyecto es el diseño de una aplicación interactiva para el aprendizaje de la Geometría Analítica. Es muy importante que dicha aplicación permita estudiar y representar de una forma gráfica los elementos de la Geometría en dos dimensiones. Con el consiguiente manejo de esta aplicación se logra el estudio de los puntos en coordenadas cartesianas. En primer lugar, se tiene en cuenta la representación de los puntos, el cálculo y representación de la simetría respecto al eje O X, O Y, el origen de coordenadas, al igual que respecto a las distintas bisectrices, y, en último lugar, la distancia entre dos puntos en dos dimensiones. La aplicación también permite trabajar con el punto en coordenadas polares. Se pueden realizar distintas operaciones, bien sea hallar el punto simétrico respecto al eje polar, llevar a cabo el cálculo del giro del eje, y realizar la conversión de los tipos de coordenadas: el paso de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, y a la inversa. Un aspecto importante en la Geometría es el estudio y el cálculo de la recta. Se han diseñado diversas funcionalidades y algoritmos que permiten calcular y representar la recta en sus diferentes modalidades. De todas las posibles características, se ha estudiado la recta que pasa por el origen y, del mismo modo, la que no pasa por el origen de coordenadas. Igualmente, se ha llegado a la deducción y representación de la recta conocidos algunos II

6 componentes de la misma. De estos casos se puede destacar la deducción de la misma conocida una ordenada al origen y su pendiente, la intersección y perpendicularidad entre dos rectas, y la recta que pasa por dos puntos conocidos. En este apartado se ha diseñado también el algoritmo para el cálculo de la distancia de un punto a una recta y el caso particular de la ecuación simétrica de la recta, también denominada primera forma normal. Es necesario hacer especial mención, dentro de la Geometría Analítica, al estudio de las cónicas. Por ello, en el presente Proyecto se han preparado diferentes algoritmos para la representación y obtención de la ecuación de la parábola, la elipse y la hipérbola. Para estas tres cónicas, se pueden obtener las respectivas ecuaciones en su forma común y la correspondiente conversión a ecuación general y viceversa. Estas ecuaciones se han estudiado para el caso de representaciones horizontales y verticales, bien sea con centro en el origen o fuera del origen de coordenadas. Como caso específico se ha tratado la circunferencia. El estudio de la misma se ha cubierto con el cálculo de sus ecuaciones y su consiguiente representación en los dos tipos de ecuación que se dan, es decir, el caso de la ecuación común y el caso de la ecuación general. Estas mismas ecuaciones pueden hallarse con los distintos parámetros que la componen: centro, radio, puntos de intersección, rectas tangentes, etcétera. Estos parámetros pueden darse directamente o necesitar realizar diversas deducciones. Todo el diseño de estos algoritmos se ha implementado en Mathematica. Para cada uno de los casos, se ha realizado el desarrollo y resolución. Los resultados de los ejemplos se visualizan de manera numérica y gráfica para su mejor comprensión. Según lo descrito, la metodología que se ha seguido en el actual Proyecto ha sido, III

7 en primer lugar, llevar al detalle la teoría matemática de cada apartado de la Geometría que se ha estudiado. A continuación, se ha procedido al diseño del pseudocódigo y, de la misma manera, su posterior codificación y desarrollo en el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico Mathematica. En última instancia, se han resuelto los problemas planteados. El paquete de desarrollo Mathematica es un sistema de computación numérico y simbólico que incorpora un lenguaje de programación y capacidad de integrar texto, gráficos y cálculo. Por todo esto, se ha elegido este paquete. Los principales objetivos relacionados con este Proyecto son: Diseñar el procedimiento y funciones que traten y representen los puntos en el plano en coordenadas cartesianas y polares. Cálculo y representación de la ecuación de una recta en las distintas modalidades de la misma. Representar gráficamente las distintas ecuaciones de la circunferencia. Determinación de las ecuaciones de la elipse, la hipérbola y la parábola y su representación en el plano. Diseño de una aplicación gráfica con una interfaz de usuario que permita tratar analíticamente las curvas en el plano y resuelva, de una manera analítica, los problemas planteados en la Geometría Analítica. Desarrollo del paquete en Mathematica que contiene una serie de algoritmos IV

8 numéricos que se emplean en la Geometría Analítica. Incorporar herramientas computacionales en la ejecución de algoritmos del cálculo numérico. Esto facilita que se lleve a cabo un entendimiento y que se aborden de manera más gráfica los problemas planteados por la Geometría Analítica, que pueden pertenecer igualmente y estar íntimamente relacionados con los conceptos geométricos de la vida cotidiana. Potenciar el acercamiento a la disciplina matemática estableciendo una estrecha relación entre la Informática y las Matemáticas. En resumen, a este software desarrollado en Mathematica se le ha dado un propósito específicamente didáctico, que ayude al entendimiento de las Matemáticas. Con el estudio y representación de los diferentes componentes de la Geometría Analítica en el plano, se intenta lograr una comprensión más profunda de las estructuras geométricas. Por todo esto, el empleo de esta aplicación está ideado con fines educativos, para los estudios de bachillerato y secundaria. V

9 Abstract The main purpose of the present project consists of the design of an interactive application able to study and represent different plane geometrical elements graphically. This software manages to study the cartesian coordinate system. It can represent the point, calculation and representation of its symmetry in relation to O X and O Y axis, coordinate origin and bisecting line, and also, the distance between any two points. It can work with polar coordinates as well, the symmetric point in relation to polar axis, axis rotation and different type of coordinate conversion: converting from polar to cartesian and vice versa. The straight line is a very important element to emphasize in Analytical Geometry. This application includes several cases of uses: the line that passes or not through the origin, and different algorithms to deduce and represent the line when some components are known. It calculates the equation of the line knowing ordinate and slope, two points or the perpendicularity between two lines. It can find de distance from a point to a line and the symmetric equation. About the study of the conic sections, there are some algorithms prepared for the representation and calculation of the equation of the parabola, ellipse and hyperbola, with conversion from common to general equations. These equations have been studied for VI

10 horizontal and vertical representations. The circumference has been treated as an specific case. This study includes calculating and representating it in its two equations, general and common. These types of equations can be calculated using different components of the element as parameters: centre, radius, points of intersection, and more components deduced from the circumference. As it has been described, the methodology carried out on this project has followed the next steps: first of all, detailed analysis of each numerical method studied, design of its pseudocode, and later, programmig and development in the numerical, symbolical and graphical language Mathematica. As a last resort, a wide range of examples and proposed problems have been solved. The principal reason for having chosen Mathematica as the proper programming language, is because it is a language able, as well, to integrate calculation, graphics and text in the same document. The most important objetives in relation to this project are: Design the procedure and functions that manage and represent the point in the plane in cartesian and polar coordinate systems. Calculation and representation of the equation of the line in its variety. Graphical representation of the different equations of circumference. Calculation of ellipse, parabola and hyperbola equations and their representation into VII

11 the plane. Graphical application design with a user interface that allows analytical treatment for curves and solve proposed problems in Analytical Geometry. Development of a package in the programming language Mathematica that contains several numerical algorithms used in Analytical Geometry. Incorporation of computer tools in numerical calculation algorithms executation. This provides understanding and the possibility of approaching Analytical Geometrical problems in a more graphical perspective, that can be compared with geometrical concepts in real life. Intensify the approach to mathematical discipline establishing a narrow relation between Computer Science and Mathematics. To sum up, the purpose of this software is particularly educational, helpful for understanding of Mathematics. With the study and representation of the different components of Analytical Geometry in the plane, it tries to carry out a deeper comprehension of geometrical structures. For all this, the use of this application has been though up for educational aims for secundary school education. VIII

12 Índice Agradecimientos... I Resumen... II Abstract... VI Índice... IX Introducción Especificación de requisitos... 4 a. Introducción... 4 b. Requisitos funcionales El Punto. Coordenadas cartesianas en el plano Representación de puntos Punto simétrico respecto del eje OX Punto simétrico respecto del eje OY Punto simétrico respecto del origen de coordenadas Punto simétrico respecto de la bisectriz del primer cuadrante Punto simétrico respecto de la bisectriz del segundo cuadrante Distancia entre dos puntos El Punto. Coordenadas polares Representación de puntos en polares Punto simétrico respecto al eje polar Giro del eje polar. Nuevas coordenadas polares Paso de coordenadas polares a coordenadas cartesianas Paso de coordenadas cartesianas a coordenadas polares La Recta Ecuación de la recta que pasa por el origen. Concepto de pendiente Ecuación de la recta que no pasa por el origen Trazado de una recta IX

13 Por tabulación Por la ordenada al origen y la pendiente Por los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados Intersección de rectas Ángulo y perpendicularidad de dos rectas Ecuación de la recta que pasa por un punto dado Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados Ecuación para la distancia de un punto a una línea recta Ecuación simétrica o primera forma normal de la ecuación de la recta La Circunferencia Ecuación común de la circunferencia Ecuación general de la circunferencia Representación de la circunferencia conocido centro y radio Representación de la circunferencia conocidos dos puntos de un diámetro Representación de la circunferencia conocido el centro y un punto Representación de la circunferencia conocido el centro y tangente a una recta Representación de la circunferencia que pasa por dos puntos y tiene centro en una recta Representación de la circunferencia que pasa por tres puntos Representación de la circunferencia conocido el radio y un punto de una recta tangente Distancia mínima de un punto a una circunferencia La Parábola Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen Análisis de la ecuación Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen Ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen Ecuación de la parábola vertical con vértice fuera del origen Forma general de la ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen Forma general de la ecuación de la parábola vertical con vértice X

14 fuera del origen La Elipse Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen Análisis de la ecuación Excentricidad de la elipse Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen Forma general de la elipse horizontal con centro fuera del origen Forma general de la elipse vertical con centro fuera del origen La Hipérbola Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen Análisis de la ecuación Asíntotas de la hipérbola Ecuacion de la hipérbola vertical con centro en el origen Ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen Forma general de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen Forma general de la hipérbola vertical con centro fuera del origen Conclusiones Valoración económica y planificación Introducción Técnicas de estimación de costes Planificación temporal del proyecto Costes del proyecto Bibliografía Aplicación informática CD-ROM con el código de los algoritmos de Geometría Analítica en Mathematica XI

15 Introducción En el mundo actual, la Geometría es considerada como una herramienta para el entendimiento, o un parte de las Matemáticas que es intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte, la Geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso de formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de 2000 años en niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad. En los últimos años, la investigación en Geometría ha sido estimulada por nuevas ideas, tanto desde el interior de las Matemáticas como desde otras disciplinas, incluyendo la ciencia de la Computación. En el presente, las enormes posibilidades de las gráficas por ordenador tienen influencia en muchos aspectos de nuestras vidas; con el fin de usar estas posibilidades se hace necesaria una adecuada educación visual y gráfica. Existe una gran acuerdo en el mundo de la docencia en el que la enseñanza de la Geometría puede empezar en una edad temprana y continuar a través de todo el currículo matemático. Persisten, no obstante, desde el pasado, los desacuerdos acerca de los propósitos, contenidos y métodos para la enseñanza de la Geometría en los diversos niveles, desde la Escuela Primaria hasta la Universidad. Existen varias razones que han originado esta situación. Una es que la Geometría tiene muchos aspectos, y no se ha encontrado una vía simple, limpia, lineal, desde los 1

16 primeros comienzos hasta las realizaciones más avanzadas de la geometría. Incluso los conceptos básicos en Geometría, como las nociones de ángulo y distancia, deben ser reconsideradas en diferentes etapas desde diferentes puntos de vista. Otro aspecto discutido es el papel que desempeñan las demostraciones en Geometría: relaciones entre intuición, demostraciones inductivas y deductivas, edad a la que las demostraciones pueden ser presentadas a los estudiantes y los diferentes niveles de rigor y abstracción. Por estas razones, la enseñanza de la Geometría no es tarea fácil. Y en lugar de tratar de superar los obstáculos que surgen en la enseñanza de la geometría, las prácticas escolares actuales omiten estos obstáculos excluyendo las partes más demandas, y a veces sin nada que las reemplace. Ejemplo de esta situación es la Geometría Tridimensional o la Geometría Analítica que casi ha desaparecido o se confinado a un papel marginal en el currículo matemático. En consecuencia, considerando la importancia de la Geometría en sí misma, tanto en la investigación como en la sociedad, y puesto que existe una falta de atención en el currículo escolar, surge una imperante necesidad de su estudio en sus diferentes facetas. Hay una larga tradición de científicos, pedagogos y matemáticos que hacen uso de herramientas tecnológicas. Recíprocamente, el uso de estas herramientas ha derivado en el comienzo de nuevos retos en los problemas matemáticos. Las nuevas tecnología y el ordenador han afectado dramáticamente todos los aspectos de nuestra sociedad. El dibujo técnico, por ejemplo, ya no se hace a mano sino que en su lugar use usa software comercial, plotters y otros dispositivos. El software para el Álgebra Simbólica y el CAD-CAM están ampliamente difundidos y son muy empleados. 2

17 En particular, la Geometría está involucrada en muchas actividades de la Ciencia y Tecnología, por lo que es preciso promover la creación y el uso de herramientas software apropiadas para interpretar y entender el significado de sus aplicaciones. En este sentido, los ordenadores se pueden usar para lograr un entendimiento más profundo de las estructuras geométricas gracias al software específicamente diseñado para fines didácticos: simulación de las construcciones tradicionales con regla y compás, mover los elementos básicos de una configuración sobre la pantalla mientras se mantienen fijas las relaciones geométricas existentes, o estudiar las componentes analíticas de la propia Geometría. En este contexto, se pretende diseñar una aplicación software para ser utilizada por profesores de Matemáticas de secundaria, y bachillerato, y para el aprendizaje de los elementos de la Geometría Analítica y Euclediana. Representación de puntos en coordenadas cartesianas y polares. Tratar y manejar la transformación de coordenadas. Realizar el estudio analítico de la recta (ecuaciones, perpendicularidad e intersecciones). Analizar los diferentes casos de las cónicas: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. 3

18 Especificación de requisitos a. Introducción Se indican para la aplicación informática de este Proyecto los requisitos funcionales que debe cumplir la aplicación de Geometría Analítica. Es necesario definir los requisitos, es un paso clave para la creación de cualquier tipo de aplicación. La captura de los mismos es una parte esencial y facilita el entendimiento con el usuario. b. Requisitos Funcionales RF001. Representación de puntos en coordenadas cartesianas. Se debe representar una lista de puntos, dados por sus coordenadas cartesianas y su nombre, en un sistema de ejes coordenados. RF002. Simetría respecto al eje OX, OY y respecto al origen de coordenadas. Conocidos un conjunto de puntos, se hallarán sus simétricos respecto del eje O X, O Y y también respecto del origen de coordenadas, devolviendo la aplicación las coordenadas de los nuevos puntos y la representación de los puntos dados y los puntos obtenidos. RF003. Simetría respecto de la bisectriz del primer y segundo cuadrante. Se podrá determinar y representar los puntos simétricos respecto de la recta que 4

19 representa la bisectriz del primer y del segundo cuadrante. RF004. Distancia entre dos puntos. Se hallará la distancia en el plano entre dos puntos cualesquiera, dados por sus coordenadas. Como resultado se obtendrá dicha distancia y la representación gráfica de ambos puntos. RF005. Representación de puntos en coordenadas polares. argumento. Se representarán los puntos en coordenadas polares, conocido su nombre, módulo y RF006. Simetría respecto al eje polar. Dadas las coordenadas polares de un conjunto de puntos y sus correspondientes etiquetas, se obtendrá el conjunto de puntos simétricos respecto al eje polar y su correspondiente representación gráfica. RF007. Giro del eje polar. La determinación de las nuevas coordenadas polares de un conjunto de puntos, se obtiene después de facilitar las coordenadas de los puntos en polares y el ángulo de giro que sufre el eje polar. De este modo, se obtiene una lista con las nuevas coordenadas polares y un gráfico en el que se representan los puntos en el momento anterior y posterior al giro. 5

20 RF008. Conversión de coordenadas polares a cartesianas y viceversa. Esta funcionalidad permite que se transformen las coordenadas de un punto, bien sea de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, o bien, de polares a cartesianas. En ambos casos, la aplicación solicita las coordenadas de los puntos y devuelve al usuario las nuevas coordenadas y la representación del punto. RF009. Representación de la recta. Representará gráficamente la recta que se indique, determinando, del mismo modo, en intervalo en el eje OX en el que se quiere incluir la misma. Esto servirá tanto para la recta que pasa por el origen como la que no lo hace. RF010. Trazado de la recta. Para la realización del trazado de la recta hay tres métodos. Estos procedimientos son el trazado por tabulación, por la ordenada en el origen y la pendiente, y por los puntos de intersección de la recta con los ejes cartesianos. En primer lugar, se efectuará el trazado de la recta por tabulación. En este caso, se obtendrá un conjunto de puntos por los que pasa la recta y que serán representados gráficamente sobre la recta a la que pertenecen. Igualmente, se trazará la recta por la ordenada al origen y la pendiente, resultando el valor de la ordenada al origen, la pendiente y los dos puntos deducidos de ambos parámetros. 6

21 El último tipo de trazado es el que se realiza por intersección con los ejes coordenados, que mostrará los puntos por los que pasa la recta cortando los ejes, y que serán representados junto a la misma. En los tres casos mostrados, se solicitará introducir la ecuación de la recta y el intervalo en el que se desee el gráfico de la misma. RF011. Intersección de dos rectas Se hallará el punto de intersección de dos rectas y se representará al igual que las dos rectas indicadas. En el caso de que las rectas sean paralelas, el punto resultante será vacío. RF011. Perpendicularidad entre dos rectas. A partir de la ecuación de una de las rectas y la ordenada al origen de la otra, se podrá obtener la ecuación de la segunda, de forma que se cumpla la perpendicularidad entre ambas. RF012. Ecuación de la recta que pasa por uno o más puntos. La representación y determinación de la recta se realizará conocido el punto y una recta paralela, o dos puntos, según sea el caso concreto. RF013. Distancia de un punto a una recta. Se determinará la distancia de un punto a una recta, y se mostrarán graficamente dichos parámetros. 7

22 RF014. Primera forma normal de la recta. Conocida una ecuación de una recta, se devolverá la ecuación simétrica de la misma, también llamada primera forma normal. RF015. Ecuación común y ecuación general de la circunferencia. Conocidos el centro y el radio de la circunferencia, se puede hallar la ecuación de la misma. Podrá del mismo modo mostrar bien sea la ecuación común o la general. RF016. Representación de la circunferencia. Se mostrará la ecuación y representación gráfica de la circunferencia conocidos ciertos parámetros de la misma. Los distintos modos estudiados permiten concluir la ecuación de la circunferencia cuando se conoce el centro y el radio, el centro y un punto, o bien, el centro y una recta tangente a la propia circunferencia. Del mismo modo, se puede representar la circunferencia que pasa por dos puntos y su centro pertenece a una recta conocida y aquella que tiene tres puntos conocidos incluidos en dicha circunferencia, o aquella que, conocido el radio, se conoce, del mismo modo, otro punto en una recta tangente a la misma. RF017. Distancia mínima de un punto a una circunferencia. La aplicación hallará la distancia mínima de un punto a una circunferencia, mostrando gráficamente si el punto dado pertenece a la circunferencia, está dentro o fuera de la misma. 8

23 RF018. Parábola horizontal con vértice en el origen. Representará gráficamente la parábola horizontal que se indique, mostrando, del mismo modo, su foco y su directriz. Igualmente, se podrá determinar y representar la parábola que pase por un punto, que se indicará por sus coordenadas cartesianas. Se mostrará el foco, la directriz y la ecuación de la parábola. RF019. Parábola horizontal con vértice fuera del origen. Dados un vértice y un foco, mostrará la ecuación de la parábola, la directriz y la representación gráfica de la misma. RF020. Parábola vertical con vértice en el origen. Conocido el foco, se hallará la directriz y la ecuación de la parábola, y también en otro caso, conocida la ecuación se hallará la directriz y el foco. En ambos, se concluirá con la representación gráfica. RF021. Parábola vertical con vértice fuera del origen. Podrá determinar la ecuación de la parábola y la directriz, a partir de las coordenadas cartesianas del vértice y el foco de la misma. RF022. Forma general de la parábola horizontal y vertical. Dada la ecuación de la parábola en cualquiera de sus dos vertientes, la transformará 9

24 en su forma general o su forma común, según corresponda. RF023. Elipse horizontal con centro en el origen o fuera del origen. Hallará todos los parámetros de la elipse: eje mayor, menor, coordenadas de los focos y los vértices, y la representará gráficamente, conocida la ecuación de la misma. Si la elipse no tiene su centro en el origen, mostrará las coordenadas del centro. Se podrá, de la misma manera, determinar la ecuación de la elipse, conociendo las coordenadas de los focos y el eje menor. RF024. Elipse vertical con centro en el origen o fuera del origen. La representación de esta cónica será mostrada a partir de la ecuación de la misma, o de la introducción de las coordenadas de los focos y el eje menor. Se determinarán las coordenadas de los vértices, los focos y, en el caso de que la elipse tenga el centro fuera del origen, se mostrará dicho centro. RF025. Forma general de la elipse horizontal y vertical. Se podrá determinar y representar la ecuación común y general de la elipse, partiendo de su forma general y común respectivamente. RF026. Hipérbola horizontal con vértice en el origen. Conocida la ecuación de la hipérbola, hallará sus asíntotas, las coordenadas de sus focos y sus vértices y la representará gráficamente. Si el centro no coincide con el origen, determinará cuales son sus coordenadas. 10

25 RF027. Forma general de la hipérbola horizontal y vertical. Determinará la ecuación en forma general y común de la hipérbola, una vez se haya introducido dicha ecuación en forma común o general respectivamente. 11

26 1. El Punto. Coordenadas cartesianas en el plano Un sistema de coordenadas se compone de los conceptos de latitud y longitud. Para la localización de los puntos se utilizará en este caso el sistema de coordenadas cartesianas, de este modo se permitirá la representación de cualquier punto en el sistema Representación de puntos Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos ejes, perpendiculares entre sí, que dividen en cuatro partes, o cuadrantes el plano en el que están contenidos. Se toma como punto inicial la intersección de ambos ejes (origen), y dichos ejes se dividen en partes iguales que se marcan como números enteros. De este modo cada eje es una recta numérica que contiene todos los números reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal, y de abajo a arriba en el vertical. 12

27 à Problema 1. Representar los puntos i Ay i B = C j z j kd{ k y. z { Solución Puntos A H7, 5.5L B H4, 5L C H4, 7L D H-4, -10L Y CH4, 7L BH4, 5LAH7, 5.5L DH 4, 10L 10 X 1.2. Punto simétrico respecto del eje OX El punto simétrico respecto del eje O X es el resultado del movimiento directo que transforma dicho punto en su simétrico de manera directa, tomando como referencia el eje O X. Como consecuencia se transforma A en A', B en B' y así sucesivamente. Las coordenadas de los puntos simétricos respecto del eje O X tienen su ordenada opuesta: AHx, yl, A Hx, - yl. (1) 13

28 à Problema 2. Representar los puntos simétricos respecto del eje O X de los puntos: i Ay i B = C j z j kd{ k y. z { Solución Puntos simétricos respecto al eje OX. Puntos P y sus simétricos P. A H2, 3L B H-3, 2L C H-1, 1L D H-6, -7L A' H2, -3L B' H-3, -2L C' H-1, -1L D' H-6, 7L Y D'H 6, 7L AH2, 3L BH 3, 2L 2.5 CH 1, 1L 6 4 C'H 1, 2 1L 2 X B'H 3, 2L 2.5 A'H2, 3L 5 DH 6, 7L

29 1.3. Punto simétrico respecto del eje OY Al igual que en el punto anterior, los puntos se transforman mediante un movimento respecto al eje O Y, de tal forma que los puntos del primer cuadrante pasan al segundo cuadrante y viceversa, y los del tercero al cuarto y viceversa. Las coordenadas de dos puntos simétricos respecto del eje O Y tienen su abscisa opuesta. AHx, yl, A H-x, yl. (2) à Problema 3. Representar los puntos simétricos respecto del eje O Y de los puntos: J A B N =J N. Solución Puntos simétricos respecto al eje OY. Puntos P y sus simétricos P. A H-1, 2L B H3, -1L A' H1, 2L B' H-3, -1L 15

30 Y AH 1, 2L A'H1, 2L X 0.5 B'H 3, 1L 1 BH3, 1L 1.4. Punto simétrico respecto del origen de coordenadas La transformación que resulta en este caso es de los puntos en el primer cuadrante al tercero, y viceversa, teniendo en cuenta que se toma como referencia de simetría el origen de coordenadas. Del mismo modo, los del segundo cuadrante pasan al cuarto y los del cuarto al segundo cuadrante. AHx, yl, A H-x, - yl. (3) à Problema 4. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos respecto del origen de coordenadas de los siguientes puntos: J A B N =J N. Solución Puntos simétricos respecto del origen. Puntos P y sus simétricos P. A H3, 3L B H2, -4L 16

31 C H-2, 1L A' H-3, -3L B' H-2, 4L C' H2, -1L Y B'H 2, 4L 4 AH3, 3L 2 CH 2, 1L X C'H2, 1L 2 A'H 3, 3L 4 BH2, 4L 1.5. Punto simétrico respecto de la bisectriz del primer cuadrante En este caso es necesario trazar la bisectriz del primer cuadrante, esto es, la recta que divide el cuadrante en dos parte iguales. Una vez trazada, se tiene en cuenta esta recta para realizar la simetría de los puntos. Todos los puntos podrán reflejarse de forma simétrica al otro lado de la bisectriz. AHx, yl, A Hy, xl. (4) à Problema 5. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos respecto de la bisectriz del primer cuadrante de los puntos siguientes: i Ay i B C = D j z j kd{ k y. z { 17

32 Solución Puntos simétricos respecto de la primera bisectriz. Puntos P y sus simétricos P. A H2, 3L B H2, -4L C H-2, 1L D H5, -3L E H-5, -4L A' H3, 2L B' H-4, 2L C' H1, -2L D' H-3, 5L E' H-4, -5L Y D'H 3, 5L 4 AH2, 3L B'H 4, 2L 2 A'H3, 2L CH 2, 1L X 2C'H1, 2L DH5, 3L EH 5, 4L 4 BH2, 4L E'H 4, 5L 18

33 D'H 3, 5L Y 4 AH2, 3L B'H 4, 2L 2 A'H3, 2L CH 2, 1L X EH 5, 4L E'H 4, 5L 2C'H1, 2L 4 BH2, 4L DH5, 3L 1.6. Punto simétrico respecto de la bisectriz del segundo cuadrante Este caso es exactamente igual al anterior, sólo que se traza la bisectriz en el segundo cuadrante. AHx, yl, A H- y, -xl. (5) à Problema 6. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos respecto de la bisectriz del segundo cuadrante de los puntos siguientes: i Ay i B C = D j z j kd{ k y. z { 19

34 Solución Puntos simétricos respecto de la segunda bisectriz. Puntos P y sus simétricos P. A H3, 5L B H-4, 3L C H7, -2L A' H-5, -3L B' H-3, 4L C' H2, -7L Y AH3, 5L B'H 3, 4L 4 BH 4, 3L 2 X CH7, 2L A'H 5, 3L C'H2, 7L 20

35 B'H 3, 4L BH 4, 3L 4 2 Y AH3, 5L X A'H 5, 3L 2 4 CH7, 2L 6 8 C'H2, 7L 1.7. Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos se halla utilizando una fórmula, que está fundamentada en el teorema de Pitágoras. Para ello se utilizan las coordenadas de los puntos, siendo éstas conocidas. Se determinará una fórmula mediante la que se pueda calcular la distancia entre dos puntos en cualquier caso. Se representan los puntos AHx 1, y 1 L y BHx 2, y 2 L en el sistema de coordenadas y, trazando las perpendiculares al eje de ordenadas y al de abcisas, se obtiene el triángulo al que aplicar el teorema. Por tanto, y como consecuencia, se obtendrá una fórmula para el cálculo de la distancia entre ambos puntos de manera general. d = "################################ Hx ########## 2 - x 1 L 2 +Hy 2 - y 1 L 2. (6) La distancia entre dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia de las abcisas, más el cuadrado de la diferencia de las ordenadas. 21

36 à Problema 7. Calcular la distancia entre los puntos: J A B N =J N. Solución Distancia entre dos puntos. La distancia entre los puntos A y B es A B êêê = "################################ H1 -H-3LL 2 +H-1 ################ -H2LL #### 2 = 5 Puntos A H-3, 2L B H1, -1L Y AH 3, 2L X BH1, 1L 22

37 2. El Punto. Coordenadas polares Este sistema se basa en señalar un punto como origen de las coordenadas, y a partir de éste, tomar un segmento de recta horizontal llamado eje polar, en el que se marca la escala deseada para medir distancias. A partir de esto, a la hora de indicar la posición de un punto cualquiera en el plano, se traza la recta desde el ese punto al origen del sistema y se mide el ángulo por el eje polar y la recta. La medida del ángulo y de la distancia del punto al origen son las coordenadas polares del punto Representación de puntos en polares El sistema de coordenadas polares se determina por un punto O llamado polo, por un rayo O A que parte de ese punto y que se denomina eje polar, y por una unidad lineal para la medición de longitudes. Además cuando se considera un sistema polar, hay que convenir en qué rotaciones alrededor del punto O se toman como positivas (por lo general, en la dirección contraria a la de las agujas del reloj). Se llaman coordenadas polares al radio y al ángulo polar (r, q). Si el polo del sistema de coordenadas polares coincide con el origen de coordenadas rectangulares, queda la equivalencia de coordenadas de la siguiente forma: x = r coshql y = r senhql. (7) 23

38 à Problema 8. Representar los siguientes puntos: A =H5, pê4l. B = H2, pê8l Solución Puntos A H5, ÅÅÅÅÅ p 4 L B H2, ÅÅÅÅÅ p 8 L 3 Y AH5, π 4 L 2 1 BH2, π 8 L X 2.2. Punto simétrico respecto al eje polar Teniendo en cuenta que las gráficas en coordenadas polares están dadas en función del ángulo polar, será necesario para hallar su simétrico utilizar el mismo segmento, pero utilizando el ángulo en negativo. De este modo se obtendrá el punto simétrico respecto al eje polar. Si PHr, ql es un punto expresado en coordenadas polares, su simétrico respecto al eje polar será P : Hr, -ql. P : Hr, ql P : Hr, -ql. (8) 24

39 à Problema 9. Dado el punto siguiente en coordenadas polares, hállese su simétrico respecto al eje polar. A =H4, 3 pê2l. Solución Puntos simétricos respecto al eje polar. Puntos P y sus simétricos P. A H4, 3 p ÅÅÅÅÅÅÅ 2 L A' H4, - 3 p ÅÅÅÅÅÅÅ 2 L Y A'H4, 3 π 4 2 L X 2 4 AH4, 3 π 2 L 2.3. Giro del eje polar. Nuevas coordenadas polares Dado un punto PHr, ql, conocidas sus coordenadas polares, cuando el eje polar ha girado un determinado ángulo a las nuevas coordenadas del punto en el nuevo sistema polar tendrá un ángulo que será a unidades menor. PHr, ql Eje polar gira a radianes P Hr, q - al. (9) 25

40 à Problema 10. En un sistema de coordenadas polares se dan los puntos 2 p PH3, pê3l, QH1, ÅÅÅÅ pl, RH3, 0L, SH5, ÅÅÅÅ 3 4 L. El eje polar se ha girado de manera que en la nueva posición pasa por el punto Q (ha girado 2pê3). Determinar las coordenadas polares de los puntos en en nuevo sistema polar. Solución Giro del eje polar. Nuevas coordenadas polares Puntos P y sus simétricos P. P H3, ÅÅÅÅÅ p 3 L Q H1, ÅÅÅÅÅÅÅ 2 p 3 L R H3, 0L S H5, ÅÅÅÅÅ p 4 L P' H3, - ÅÅÅÅÅ p Q' H1, 0L 3 L R' H3, - 2 p ÅÅÅÅÅÅÅ 3 L S' H5, - 5 p ÅÅÅÅÅÅÅ 12 L R'H3, 2 π 2 3 L 4 Y PH3, π 3 L SH5, 2 QH1, 2 π 3 L Q'H1, 0L RH3, 0L P'H3, π 3 L S'H5, 5 π 12 L π 4 L X 2.4. Paso de coordenadas polares a coordenadas cartesianas Para la solución de ciertos problemas es necesario realizar un cambio de las coordenadas polares a coordenadas cartesianas. Un mismo punto puede tener ambos tipos 26

41 de coordenadas, PH x, yl y PHr, ql. La manera de relacionar ambas coordenadas hace necesario coincidir los orígenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje positivo de las abscisas. Gracias a ello, es posible deducir dos ecuaciones de acuerdo a la definición de las funciones trigonométricas. Las dos ecuaciones son las siguientes: x = r coshql y = r senhql. (10) à Problema 11. Dadas las coordenadas polares del punto P = H2, 5 pê3l, determínense sus coordenadas cartesianas. Solución Paso de coordenadas polares a cartesianas P H2, 5 p ÅÅÅÅÅÅÅ 3 L Y X PH2, 5 π 3 L P' H1, - è!!!! 3L 27

42 Y X P'H1, è!!! 3L Y X PH2, 5 π 3 L P'H1, è!!! 3L 2.5. Paso de coordenadas cartesianas a coordenadas polares Al igual que en el apartado anterior, será necesario utilizar las dos ecuaciones que relacionan el sistema de coordenadas polares con el sistema de coordenadas cartesianas. Teniendo en cuenta el mismo punto PH x, yl y PHr, ql, las ecuaciones son las siguientes: r = è!!!!!!!!!!!!!!! x 2 + y 2 q = Arcsen i y y j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k x 2 + y 2 z. { (11) 28

43 à Problema 12. Dadas las coordenadas cartesianas del punto, determínense sus coordenadas polares. P = I1, - è!!! 3M. Solución Paso de coordenadas cartesianas a polares P H1, - è!!!! 3L Y X PH1, è!!! 3L P' H2, - p ÅÅÅÅÅ 3 L Y X P'H2, π 3 L 29

44 Y X P'H2, π 3 L PH1, è!!! 3L 30

45 3. La Recta Una línea recta, lo mismo que cualquier curva contenida totalmente en un plano, está representada, en relación con un sistema de ejes cartesianos, por una función de dos variables, siempre y cuando dicha función sea capaz de expresar la condición común que satisfacen absolutamente todos y cada uno de los puntos que constituyen dicha línea Ecuación de la recta que pasa por el origen. Concepto de pendiente Toda recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas está representado por una función de la forma: y = m x. (12) Ha de destacarse que es una función de dos variables de primer grado, sin término independiente, en la que m es una constante cuyo significado es la pendiente. Esta función, plasmada anteriormente, es representativa de toda línea recta que pasa por el origen del sistema de ejes coordenados. La constante m es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta, recibiendo el nombre de pendiente de la misma, puesto que controla la mayor o menor inclinación con respecto al eje O X. Teniendo en cuenta que la pendiente depende de un ángulo y que es coeficiente de x en la función, también puede llamarse coeficiente angular de la recta. A partir de este concepto se establece la siguiente condición. Para que dos o más 31

46 rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente. Del mismo modo, puede señalarse que una pendiente positiva implica que el ángulo de inclinación de la recta es agudo; mientras que en el caso de una pendiente positiva, se afirma que el ángulo oscila entre 90º y 180º. à Problema 13. Representar la recta que pasa por el origen cuya ecuación es la siguiente: y = 5 x. Solución Representación de la recta que pasa por el origen y = 5 x Y X Ecuación de la recta que no pasa por el origen Este tipo de recta se caracteriza por tratarse de una función de primer grado, de dos variables con término independiente. Es decir, de la forma: 32

47 y = m x + b. (13) En esta función, b es una constante que representa una línea recta que no pasa por el origen del sistema de coordenadas. La función representa una recta que no pasa por el origen, para lo que se toma sobre ella un punto cualquiera PHx, yl, y así se demuestra que para ese punto, al igual que para cualquier otro, se cumple la condición de la fórmula. La constante b representa la distancia que hay desde el origen hasta el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas y, constante que recibe el nombre de ordenada al origen. Conociendo la ecuación común de la recta y que las constantes de la misma pueden ser fraccionarias, puede escribirse dicha ecuación de manera implícita, quedando de la siguiente manera: A x + B y + C = 0. (14) à Problema 14. Representar la siguiente recta: y = 5 x + 3. Solución Representación de la recta que no pasa por el origen y = 5 x

48 Y X Trazado de una recta Para trazar una línea recta a partir de su ecuación, puede utilizarse cualquiera de los tres métodos existentes. Estos procedimientos son el trazado por tabulación, por la ordenada en el origen y la pendiente, y por los puntos de intersección de la recta con los ejes cartesianos Por tabulación Consiste en un método por el cual se dan valores arbitrarios, pero ordenados a la variable x y se calculan los correspondientes de la función, con lo que se obtienen coordenadas de puntos que se sitúan en el plano del sistema de coordenadas y se unen de forma consecutiva, para obtener la gráfica correspondiente. Se cita este procedimiento porque se considera como método general, puesto que permite trazar tambien cualquier curva. à Problema 15. Representar la siguiente recta, realizando su trazado por el método de la tabulación: y = 2 x

49 Solución Trazado de una recta por tabulación y = 2 x - 5 Puntos de Tabulación 8-3, -11< 80, -5< 83, 1< 5 Y X Por la ordenada al origen y la pendiente el origen: Puede describirse este método partiendo de la ecuación de la recta que no pasa por y = m x + b. (15) De este modo, la ordenada al origen b indica el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas, lo que equivale a conocer un punto por donde pasa la recta por trazar. En primer lugar se recomienda realizar el gráfico representado por el valor de la ordenada al origen b, el cual siempre estará sobre el eje de las ordenadas. De esta forma, éste será el primer punto por el que pasará la línea recta. 35

50 A partir del punto dado por la ordenada al origen, se representa en magnitud el valor de x a la derecha o a la izquierda, dependiendo del signo, obteniendo así uno de los lados del triángulo rectángulo que se formará. Se representa el valor de y partiendo del extremo final del segmento anterior, formando otro lado del triángulo rectángulo, paralelo al eje O Y. Finalmente, se unen los puntos citados anteriormente, el punto de la ordenada al origen y el extremo final del lado paralelo al eje O Y, para obtener la hipotenusa, que representa la línea recta de la ecuación dada. à Problema 16. Trazar mediante el método de la ordenada al origen y la pendiente las recta cuya ecuaciones son: a) y = 2 x - 5. b) y = - ÅÅÅÅ 2 3 x + 3. Solución Trazado de una recta por la ordenada al origen y pendiente. La ordenada al origen de la recta y = 2 x - 5 es n = -5 y los valores deducidos de la pendiente m = 2 son x = 1 e y = -3 Puntos de ordenada al origen y pendiente 80, -5< y 81, -3< 36

51 Y X Trazado de una recta por la ordenada al origen y pendiente. La ordenada al origen de la recta y = 3 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 x 3 es n = 3 y los valores deducidos de la pendiente m = - ÅÅÅÅÅ 2 3 son x = 3 e y = 1 Puntos de ordenada al origen y pendiente 80, 3< y 83, 1< Y X 37

52 Por los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados Este procedimiento se recomienda en el caso de una ecuación implícita, de la forma: A x + B y + C = 0. (16) Se despeja la ecuación con la sustitución y = 0, y de este modo se determinan las coordenadas del punto donde la recta corta al eje O X. En caso de sustituir por x = 0, se determinarán las coordenadas del punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas. Llevando estas coordenadas a un sistema de ejes y, uniéndolas por medio de una recta, obtenemos con la misma la ecuación dada. à Problema 17. Trazar la siguiente recta por los puntos de intersección de la misma con los ejes coordenados. La recta está definida por la ecuación: -3 x+15 y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5. Solución Trazado de una recta por los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados. Puntos de intersección con los ejes coordenados de la recta y = ÅÅÅÅÅ 1 H15-3 xl 5 80, 3< 85, 0< 38

53 Y X Intersección de rectas Para determinar el punto de intersección de dos rectas se hacen simultáneas sus ecuaciones. Siendo el punto común para las dos, las coordenadas del punto se deben verificar en ambas ecuaciones. y = m 1 x + b 1 y = m 2 x + b 2 m 1 x + b 1 = m 2 x + b 2. (17) Para tres rectas dadas el proceso es el mismo. Las tres rectas deben cortarse en el mismo punto y verificar la condición: 1 m 1 b 1 ƒ ƒ 1 m 2 b 2 = 0. ƒ 1 m 3 b 3 ƒ (18) 39

54 à Problema 18. Determinar los puntos de intersección de las rectas dadas por las siguientes ecuaciones: a) 9 y = 12 x + 8 y = 3 x + 2 b) 9 y = -2 x - 1 y = 7 x + 1 c) 9 y = 2 x - 1 y = 2 x + 1. Solución Intersección de rectas. Punto de intersección de las rectas y =12 x + 8 y = 3 x + 2 P = 9- ÅÅÅÅÅ 2 3, 0= Y X Intersección de rectas. Punto de intersección de las rectas y =-2 x - 1 y = 7 x + 1 P = 9- ÅÅÅÅÅ 2 9, - ÅÅÅÅÅ 5 9 = 40

55 40 20 Y X Intersección entre rectas. y = 2 x - 1 y = 2 x + 1 son rectas paralelas. Y X 3.5. Ángulo y perpendicularidad de dos rectas En este caso es necesario encontrar una manera para calcular el ángulo que forman entre sí dos rectas concurrentes, representadas por sus perspectivas ecuaciones. Se sabe que en todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos 41

56 internos que no le son adyacentes. Por tanto, si v es el ángulo entre las rectas y a 1 y a 2 los ángulos de las rectas con el eje de abscisas, se tiene: v + a 1 = a 2 v = a 2 - a 1. (19) Si se tiene en cuenta la tangente de los ángulos, queda de la forma: tan v = tanha 2 - a 1 L = tan a 2 - tan a 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. 1 + tan a 1 tan a 2 (20) Como resultado de la sustitución queda como sigue: tan v = m 2 - m 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. 1 + m 1 m 2 (21) Cuando dos rectas se cortan perpendicularmente, es evidente que el ángulo que forman es de 90º, por tanto: tan v = tan 90 = = m 2 - m 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. 1 + m 1 m 2 (22) Sustituyendo queda de la forma: 1 + m 1 m 2 = 0 m 1 = - ÅÅÅÅÅÅ 1 Å. m 2 (23) Según esto, para que dos rectas sean perpendiculares, deben tener pendientes recíprocas y de signos contarios. à Problema 19. La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación sabiendo que debe ser perpendicular a la recta: y = - ÅÅÅÅ 4 9 x

57 Solución Perpendicularidad entre rectas. La recta perpendicular a y = 3 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 x 9 y = 9 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ con pendiente m = 9 ÅÅÅÅÅ 4 con pendiente m = - 4 ÅÅÅÅÅ 9 es 14 Y X 3.6. Ecuación de la recta que pasa por un punto dado Cualquier ecuación de la forma mostrada a continuación estará bien definida cuando se conozcan la pendiente y el término independiente de la misma. y = m x + b. (24) 43

58 Es importante indicar que hay una infinidad de rectas que pasan por un punto conocido, y las coordenadas de éste deben verificar la ecuación de cualesquiera de ellas, en cuyo caso se tiene: PHx 1, y 1 L; y 1 = m x 1 + b b = y 1 - m x 1. (25) Este valor de b es el valor que debe tener para que la ecuación de la recta, mostrada al comienzo de este punto, represente a todas las rectas que pasan por el punto P conocido. Por tanto, si se sustituye el valor de b en la ecuación, se obtendrá la ecuación general de todas las rectas que pasan por el punto conocido, una diferente para cada valor distinto de la pendiente m. y - y 1 = mhx - x 1 L. (26) à Problema 20. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto PH-3, -5L y es paralela a la recta y = - 2 ÅÅÅÅ 3 x + 9. Solución Ecuación de la recta que pasa por un punto dado. Recta que pasa por el punto H -3 y = - ÅÅÅÅÅ 2 Hx + 3L L y es paralela a y = 9-2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 44

59 X Y 3.7. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados Teniendo en cuenta la ecuación de las rectas que pasan por un punto concreto del punto anterior, si se cumple la condición expuesta posteriormente, representará del mismo modo a las rectas que pasan por dos puntos concretos, P y Q. Por tanto, la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos es la siguiente: m = tan a = y 2 - y 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. x 2 - x 1 (27) Al sustituir este valor en la ecuación original (23), se obtendrá la ecuación de todas las rectas que pasan por dos puntos conocidos: y - y 1 = y 2 - y 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx - x 1 L. x 2 - x 1 (28) à Problema 21. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: PH-3, 5L y QH7, -3L. Solución 45

60 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados. Recta que pasa por P1 H-3,5L y P2 H7,-3L 4Hx + 3L y = 5 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 Y X Ecuación para la distancia de un punto a una línea recta Este concepto es de gran utilidad cuando se trabaja con puntos y rectas y las relaciones entre ellos. Es imprescindible hallar una fórmula para calcular la distancia desde un punto dado por sus coordenadas hasta una recta, dada por su ecuación. La distancia siempre se considera como mínima, es decir, la distancia medida sobre la perpendicularidad a la recta dada y que pasa por el punto dado. Se trazan las perpendiculares a la recta y al eje O X desde el punto P, formando, de este modo un triángulo rectángulo. Gracias a esto, y nombrando a los puntos de corte de la recta con las perpendiculares a la misma como E y F, y q al ángulo formado por las 46

61 perpendiculares, podrá deducirse la fórmula. El triángulo quedará como EFP y del mismo puede obtenerse: Mínima distancia d de un punto a una recta. Figura 1 cosh ql = ÅÅÅÅÅÅÅÅ êêêê d EP êêêê d = EP coshql. (29) Si continúa la sustitución, queda de la forma: êêêê EP = y1 - m x 1 - b. (30) Finalmente, puede concluirse, tras varias sustituciones y simplificaciones mediante expresiones pitagóricas, lo siguiente: d = y 1 - m x 1 - b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + m ÅÅÅÅÅÅ. 2 (31) Esta expresión es conocida como la fórmula de la distancia de un punto dado a una recta dada. Las coordenadas Hx 1, y 1 L corresponden a las coordenadas del punto P. 47

62 à Problema 22. Calcular la distancia de un punto P hasta la recta r, donde PH7, -3L y r : y = x - 2. Solución Ecuación para la distancia de un punto a una recta. Distancia de P H7,-3L a y = x - 2 d = -4 è!!!! 2 Y X Ecuación simétrica o primera forma normal de la ecuación de la recta Si la recta no es paralela a ninguno de los ejes del sistema de coordenadas, intercepta a éstos en un punto, PHa, 0L y P' H0, bl. El primer paso es la expresión de la ecuación de la recta en otra forma denominada simétrica o primera forma normal, en que los parámetros sean la abscisa y la ordenada al origen. Para esto será necesario escribir la ecuación en su forma común, de lo que se deduce: 48

63 m = -b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a y = -b ÅÅÅÅÅÅÅÅ a x + b. (32) Simplificando se obtiene la llamada ecuación simétrica de la recta, muy práctica debido a que a partir de ella es muy rápido el trazado de la recta. x ÅÅÅÅÅ a + ÅÅÅÅÅ y b = 1. (33) à Problema 23. Obtener la ecuación simétrica de la recta y = 3 x Solución Ecuación simétrica o primera forma normal de la ecuación de la recta. Ecuación normal de la recta y = 3 x + 16 y ÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 x 16 = Y X 49

64 4. La Circunferencia La circunferencia está considerada como una de las cuatro curvas cónicas. Es la más simple y geométricamente se describe como la intersección de un cono recto y un plano paralelo a la base del cono. Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo, llamado centro Ecuación común de la circunferencia Para deducir la ecuación de esta curva, cuyas características geométricas son bien conocidas, se supondrá que el centro es el punto CHh, kl y que el radio es una constante a. Sea MHx, yl un punto cualquiera de la circunferencia, por definición el radio es una constante, por lo que la condición de movimiento de M es: êêêêê MC = Constante = a. (34) Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, queda de la forma: êêêêê "################################# MC = Hx - hl 2 +Hy - kl 2. (35) Sustituyendo y elevando al cuadrado los miembros de la igualdad: Hx - hl 2 +Hy - kl 2 = a 2. (36) Esta es la ecuación común de la circunferencia, correspondiente a una ecuación cartesiana, cuyos parámetros, además del radio a, son la abscisa h y la ordenada k del 50

65 centro, cuyas coordenadas deben tomarse siempre con signo contrario al que tenga en la ecuación. à Problema 24. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro Hh, kl = H5, 2L y radio igual r = 4. Solución Ecuación común de la circunferencia. Ecuación de la circunferencia con radio r = 4 y centro Hh, kl = H5, 2L. Hx - hl 2 + Hy - kl 2 = r 2 Hx - 5L 2 +Hy - 2L 2 = H4L Ecuación general de la circunferencia Es necesario conocer la forma desarrollada de la ecuación de la circunferencia, y así, a través de ella, poder determinar el centro y radio de la circunferencia. En primer lugar, habrá que desarrollar la ecuación común, Hx - hl 2 +Hy - kl 2 = a 2. (37) a la que posteriormente se establecerán ciertas conclusiones. Al desarrollarla queda de la forma: x 2-2 h x + h 2 + y 2-2 k y + k 2 - a 2 = 0. (38) La ecuación no se altera si se multiplican ambos miembros por la constante A. A x 2-2 A x + A h 2 + A y 2-2 A k y + A k 2 - A a 2 = 0. (39) 51

66 Se realiza la sustitición de las constantes, haciéndolo de la siguiente manera: -2 A h se sustituye por D, -2 A k y por E, y HA h 2 + A k 2 - A a 2 L por F. La ecuación general de la circunferencia finalmente puede escribirse: A x 2 + A y 2 + D x + E y + F = 0. (40) Entonces, conocidos los valores de D, E y F, se pueden encontrar las coordenadas del centro y la longitud del radio de una circunferencia. Si la ecuación contiene términos de primer grado, el centro está fuera del origen. En otro caso, si la ecuación carece de uno de los términos de primer grado, el centro está sobre un eje del sistema. En otra tesitura, si la ecuación de la circunferencia no tiene término independiente, la circunferencia pasa por el origen y es de la forma: x 2 + y 2 = a 2. (41) A la hora de determinar el centro y el radio a partir de la ecuación desarrollada, se logrará si se convierte a la forma común en la que intervienen binomios al cuadrado y a la que se llega completando trinomios perfectos en x e y. à Problema 25. Encontrar la ecuación general de la circunferencia con centro (- ÅÅÅÅ 1 radio igual a 1. 2,- ÅÅÅÅ 1 2 ) y Solución Ecuación general de la circunferencia. 52

67 Ecuación de la circunferencia con radio r = 1 y centro Hh, kl = H- ÅÅÅÅÅ 1 2, - ÅÅÅÅÅ 1 2 L. x 2 + x + y 2 + y - 1 ÅÅÅÅÅ 2 = Representación de la circunferencia conocido centro y radio à Problema 26. Representar la circunferencia que tiene el centro Hh, kl = H2, 3L y radio igual a 3. Solución Ecuación de la circunferencia conocido centro y radio. Ecuación de la circunferencia con radio r = 3 y centro Hh, kl = H2, 3L. Hx - hl 2 + Hy - kl 2 = r 2 Hx - 2L 2 +Hy - 3L 2 = H3L 2 6 Y X 53

68 4.4. Representación de la circunferencia conocidos dos puntos de un diámetro à Problema 27. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los punto A H-8, -2L y B H4, 6L. Obtener y representar la ecuación de dicha circunferencia. Solución Ecuación de la circunferencia conocidos dos puntos de un diámetro. Ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de un diámetro. A = Hx 1, y 1 L = H-8, -2L B = Hx 2, y 2 L = H4, 6L Coordenadas del centro Hh, kl, y valor del radio r. O = Hh, kl = H ÅÅÅÅÅ 1 2 Hx 1 + x 2 L, ÅÅÅÅÅ 1 2 Hy 1 + y 2 LL O = H-2, 2L r = "################################ Hh - x ############ 1 L 2 +Hk - x 2 L 2 = 2 è!!!!!!! 13 Ecuación de la circunferencia con radio r = 2 è!!!!!!! 13 y centro H-2, 2L. Hx + 2L 2 +Hy - 2L 2 = H2 è!!!!!!! 13L 2 54

69 Y X Representación de la circunferencia conocido el centro y un punto à Problema 28. Hallar la ecuación y representar la circunferencia en la que el centro coincide con el punto CH-1, 2L y pasa por el punto AH2, 6L. Solución Ecuación de la circunferencia conocido el centro y un punto. Ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A y centro en O. O = Hh, kl = H-1, 2L A = Hx 1, y 1 L = H2, 6L Valor del radio r. r = "################################ Hh - x ############## 1 L 2 +Hk - y 1 L 2 = 5 Ecuación de la circunferencia con radio r = 5 y centro H-1, 2L. Hx + 1L 2 +Hy - 2L 2 = H5L 2 55

70 Y X Representación de la circunferencia conocido el centro y tangente a una recta à Problema 29. Hallar la ecuación y representar la circunferencia en la que el centro coincide con el punto CH1, -1L y la recta y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 x+9 es tangente a la misma. 12 Solución Ecuación de la circunferencia conocido el centro y tangente a una recta. Ecuación de la circunferencia conocido el centro O y una recta tangente yhxl. O = Hh, kl = H1, -1L y = m x + n = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 H5 x + 9L 12 Valor del radio r. k - m h - n r = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = m 2 56

71 Ecuación de la circunferencia con radio r = 2 y centro H1, -1L Hx - 1L 2 +Hy + 1L 2 = H2L 2 y tangente la recta y HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 H5 x + 9L 12 Y X Representación de la circunferencia que pasa por dos puntos y tiene centro en una recta à Problema 30. Hallar y representar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos AH3, 1L y BH-1, 3L y su centro está situado en la recta y = 3 x - 2. Solución Ecuación de la circunferencia que pasa por dos puntos y tiene centro en una recta. Ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = Hx 1, y 1 L = H3, 1L B = Hx 2, y 2 L = H-1, 3L y tiene su centro Hh, kl en la recta y = m x + n = 3 x

72 Se resuelve el sistema m x + n = k "################################ ############## Hx 1 - hl 2 +Hy 1 - kl 2 = "################################ Hx ############## 2 - hl 2 +Hy 2 - kl 2 3 h - 2 k "#################################### H3 - hl 2 +H1 - kl 2 "################################ H-h - 1L 2 +H3 - ########## kl 2 Solución 8h, k< = 82, 4< r = "################################ Hx ############## 1 - hl 2 +Hy 1 - kl 2 = è!!!!!!! 10 Ecuación de la circunferencia con radio r = è!!!!!!! 10 y centro Hh, kl = H2, 4L Hx - 2L 2 +Hy - 4L 2 = H è!!!!!!! 10L 2 Y X

73 4.8. Representación de la circunferencia que pasa por tres puntos à Problema 31. Hallar y representar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos AH1, 1L, BH1, -1L y CH2, 0L. Solución Ecuación de la recta que pasa por tres puntos. Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos A, B y C. A = Hx 1, y 1 L = H1, 1L B = Hx 2, y 2 L = H1, -1L C = Hx 3, y 3 L = H2, 0L El centro es el punto O Hh, kl. Se resuelve el sistema lineal $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hx 1 + ÅÅÅÅÅÅÅ 16 %%%%%%%%%%%%%%%% 3 L2 +Hy 1-16L 2 d $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hx 2 + ÅÅÅÅÅÅÅ 16 %%%%%%%%%%%%%%%% 3 L2 +Hy 2-16L 2 d $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hx 3 + ÅÅÅÅÅÅÅ 16 %%%%%%%%%%%%%%%% 3 L2 +Hy 3-16L 2 d è!!!!!!!!!!!! 2386 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d 3 è!!!!!!!!!!!! 2962 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d 3 2 è!!!!!!!!! 697 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d 3 Solución 8a, b, d< = 8h, k, r< = 81, 0, 1< Ecuación de la circunferencia con radio r = 1 y centro Hh, kl = H1, 0L Hx - 1L 2 + y 2 = H1L 2 59

74 1 Y X Representación de la circunferencia conocido el radio y un punto de una recta tangente à Problema 32. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio R = è!!! 5, que es tangente a la recta x - 2 y - 1 = 0 en el punto M H3, 1L. Solución Ecuación de la circunferencia conocido el radio y un punto de una recta tangente. Ecuación de la circunferencia conocido el radio r y el punto A de la recta tangente y HxL. A = Hx 1, y 1 L = H3, 1L r = è!!!! 5 y HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x

75 Se resuelve el sistema k - mµh - n ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + m 2 ã r "################################ ############## Hx 1 - hl 2 +Hy 1 - kl 2 ã r 2I- ÅÅÅÅÅ h 2 +k+ ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 è!!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 M è!!!! 5 "#################################### H3 - hl 2 +H1 - kl 2 è!!!! 5 Solución 8h, k< = 82, 3< Ecuación de la circunferencia con radio r = è!!!! 5 y centro Hh, kl Hx - 2L 2 +Hy - 3L 2 = H è!!!! 5L 2 Y X Distancia mínima de un punto a una circunferencia à Problema 33. a) Hallar la distancia mínima del punto AH6, -8L a la circunferencia x 2 + y 2 = 9. b) Hallar la distancia mínima del punto BH2, -1L a la circunferencia x 2 + y 2 = 9. c) Hallar la distancia mínima del punto CH3, 0L a la circunferencia x 2 + y 2 = 9. Solución 61

76 Distancia mínima de un punto a una circunferencia. Ecuación de la circunferencia con radio r = 3 y centro H0,0L x 2 + y 2 = 3 2 El punto H6, -8L está en la parte exterior de la circunferencia. Distancia: d = 7 Y X Distancia mínima de un punto a una circunferencia. Ecuación de la circunferencia con radio r = 3 y centro H0,0L x 2 + y 2 = 3 2 El punto H2, -1L está en la parte interior de la circunferencia. Distancia: d = 3 - è!!!! 5 62

77 3 Y X Distancia mínima de un punto a una circunferencia. Ecuación de la circunferencia con radio r = 3 y centro H0,0L x 2 + y 2 = 3 2 El punto H3, 0L pertenece a la circunferencia. Distancia: d = 0 63

78 3 Y X

79 5. La Parábola La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado foco y de una recta fija, que no pasa por el punto, llamada directriz. Esta cónica se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. La parábola está compuesta por un punto fijo llamado foco F, y una recta, también fija llamada directriz. La distancia entre el foco y la directriz se representa por p, donde p > 0. De acuerdo con la definición de parábola, el punto medio entre la directriz y el foco pertenece al lugar geométrico, y se denomina vértice. La recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco y vértice V, se llama eje de la parábola. La posición del eje determina la posición de la parábola. La parábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje. Con estas últimas aclaraciones puede incluirse que la directriz es la recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del vértice que el vértice del foco. 65

80 5.1. Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen En este caso, es necesario hacer que el vértice coincida con el origen del sistema de coordenadas, y que el eje de la parábola sea el eje O X. Puesto que la distancia de la directriz al foco es p, las coordenadas del foco son FH ÅÅÅÅ p, 0L y la ecuación de la directriz es: 2 x = - p ÅÅÅÅÅ 2. (42) êêêêê ê Considerando un punto M Hx, yl del lugar geométrico, si se traza una recta Q M perpendicular a la directriz, paralela al eje O X, las coordenadas de Q son H- p ÅÅÅÅ 2, yl. A êêêêêê continuación se traza la recta M F. De acuerdo con la definición de parábola, la condición de movimiento de M es: êêêêêê êêêêê ê M F = Q M. (43) Representación de los focos, directriz, punto M y vértice de una parábola. Figura 2 66

81 Se tiene que M êêêêêê F = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Jx - ÅÅÅÅÅ p 2 N2 + y êêêêê ê p Q M = ÅÅÅÅÅ 2 + x. (44) Sustituyendo y simplificando se obtiene la ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen de coordenadas, que es la siguiente: y 2 = 2 p x. (45) Análisis de la ecuación Para conocer las características principales de la curva conviene despejar cada una de las variables de la ecuación. y = è!!!!!!!!!! 2 p x x = ÅÅÅÅÅÅÅ y2 2 p. (46) La primera ecuación muestra que la curva es simétrica con relación al eje de abscisas, debido a que para un valor de x se obtienen dos valores de y iguales y de signos opuestos. En cambio, la curva es asimétrica respecto al eje de las ordenadas, ya que para cada valor de y sólo se obtiene un valor de x, según la segunda ecuación. Al hallar los puntos de interseción de la curva con los ejes de coordenadas, si se sustituye en la ecuación por x = 0, resulta y = 0, lo que significa que el único punto común de la curva con los ejes es el origen del sistema de coordenadas. La primera ecuación permite ver que cuando el parámetro p es positivo, la variable x sólo debe recibir valores positivos, porque de otro modo, los de y resultan imaginarios. Esto significa que, cuando p > 0, la curva solamente existe a la derecha del origen del 67

82 sistema, y la región izquierda es la zona imaginaria de la parábola. En cambio, si p 0, la ecuación solamente existe a la izquierda del sistema. Esta misma ecuación justifica que la curva es abierta. Si x aumenta indefinidamente, del mismo modo lo hará y. à Problema 34. Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para la parábola cuya ecuación es a) y 2 = 8 x. b) y 2 = -16 x. Solución Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen. Ecuación de la parábola. y 2 = 2 p x y 2 = 8 x Parámetro p. p = 4 Foco de la parábola. Foco = H ÅÅÅÅÅ p, 0L = H2, 0L 2 Directriz. x = - p ÅÅÅÅÅ 2 = -2 68

83 Y X 2 4 Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen. Ecuación de la parábola. y 2 = 2 p x y 2 = -16 x Parámetro p. p = -8 Foco de la parábola. Foco = H ÅÅÅÅÅ p, 0L = H-4, 0L 2 Directriz. x = - p ÅÅÅÅÅ 2 = 4 69

84 Y X 5 10 à Problema 35. La parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el punto AH-2, 4L. Determinar su ecuación. Solución Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen conocido un punto de la misma. Punto de la parábola. Punto = H-2, 4L y 2 = 2 p x Sustituyendo x Ø -2 y Ø 4 p = -4 Foco de la parábola. Foco = H ÅÅÅÅÅ p, 0L = H-2, 0L 2 70

85 Directriz. x = - p ÅÅÅÅÅ 2 = 2 Ecuación de la parábola. y 2 = 2 p x y 2 = -8 x 4 2 Y X Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen Para encontrar la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen del sistema V H0, 0L, previamente es necesario hacer constar la ecuación ya conocida. y 2 = 2 p x. (47) Considerando el punto M Hx, yl del lugar geométrico, si se traza una recta êêêêêê B M, esta representará la distancia del punto de la curva a su eje de simetría. Si, del mismo modo, se êêêêêê traza una recta A M, ésta representará la distancia del mismo punto a la perpendicular al eje que pasa por el vértice, siendo A un punto situado en el eje O Y. De acuerdo con la ecuación de la parábola anterior: HB êêêêêê 2 êêêêêê M L = 2 p A M. (48) 71

86 Se sabe que êêêêêê B M = x êêêêêê A M = y. (49) Sustituyendo y simplificando, se obtiene la ecuación de la parábola vertical con vértice en fuera del origen de coordenadas, que es la siguiente: x 2 = 2 p y. (50) Se ha obtenido la ecuación esperada de una parábola vertical con vértice en el origen del sistema de ejes coordenados. Del mismo modo, se cumple que si el parámetro p es positivo, la concavidad de la curva está dirigida hacia arriba y, si es negativa, hacia abajo, con vértice en H0, 0L, foco en FH0, p ÅÅÅÅ 2 L y ecuación de la directriz y = - p ÅÅÅÅ 2. à Problema 36. Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para la parábola cuya ecuación es a) x 2 = 6 y. Solución Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen. Ecuación de la parábola. x 2 = 2 p y x 2 = 6 y Parámetro p. p = 3 72

87 Foco de la parábola. Foco = H0, ÅÅÅÅÅ p 2 L = H0, ÅÅÅÅÅ 3 2 L Directriz. x = - ÅÅÅÅÅ p 2 = - ÅÅÅÅÅ Y X 1 à Problema 37. Determinar la ecuación de la parábola de eje vertical, vértice en el origen, que tiene su foco en el punto: a) F H0, 5L. b) F H0, 2L. Solución Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen conocido el foco de la misma. Foco de la parábola. Foco = H ÅÅÅÅÅ p, 0L = H0, 5L 2 Parámetro p. p = 2 y f = 10 73

88 Directriz. x = - p ÅÅÅÅÅ 2 = -5 Ecuación de la parábola. x 2 = 2 p y x 2 = 20 y Y X 5 Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen conocido el foco de la misma. Foco de la parábola. Foco = H ÅÅÅÅÅ p, 0L = H0, 2L 2 Parámetro p. p = 2 y f = 4 Directriz. x = - p ÅÅÅÅÅ 2 = -2 Ecuación de la parábola. x 2 = 2 p y x 2 = 8 y 74

89 X 2 Y Ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen Las ecuaciones de la parábola vistas anteriormente, son válidas solamente en el caso de que el vértice esté en el origen y que el eje de simetría de la parábola sea el eje O X o el eje O Y. En este punto se verá el caso en el que el vértice está en un punto cualquiera que no es el origen y que el eje de simetría de la parábola es paralelo al eje O X. Para deducir la ecuación correspondiente, habrá que utilizar como base la definición de la parábola. El vértice será ahora V Hh, kl y la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz continuará siendo p ÅÅÅÅ 2. Aplicando los significados de los segmentos êêêêêê êêêêêê B M y A M vistos con anterioridad queda de la siguiente manera: êêêêêê 2 êêêêêê HA M L = 2 p B M. (51) Se sabe que 75

90 êêêêêê B M = x - h êêêêêê A M = y - k. (52) Así que la ecuación, después de realizar la sustitución, es como sigue: Hy - kl 2 = 2 phx - hl. (53) Es la ecuación de una parábola horizontal con vértice en Hh, kl, foco en Hh + p ÅÅÅÅ 2, kl y ecuación de la directriz es x = h - p ÅÅÅÅ 2. à Problema 38. Determinar la ecuación de la parábola de eje horizontal que tiene su vértice en H-2, 3L y su foco en el punto FH1, 3L. Solución Ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen conocido el foco y el vértice. Vértice y foco de la parábola. Vértice = Hh, kl = H-2, 3L Foco = Hh + ÅÅÅÅÅ p, kl = H1, 3L 2 Parámetro p. p = 2Hx f - hl = 6 Directriz. x = h - p ÅÅÅÅÅ 2 = -5 Ecuación de la parábola. Hy - kl 2 = 2 p Hx - hl Hy - 3L 2 = 12Hx + 2L 76

91 Y X Ecuación de la parábola vertical con vértice fuera del origen Del mismo modo que en el punto anterior, será necesario basarse en la ecuación de la parábola vertical con vértice fuera del origen. x 2 = 2 p y. (54) Si se tiene en cuenta de nuevo el punto M Hx, yl y las rectas êêêêêê êêêêêê B M y A M. De acuerdo con la ecuación de la parábola anterior: HB êêêêêê 2 êêêêêê M L = 2 p A M. (55) Se sabe que las rectas corresponden a: êêêêêê B M = x - h êêêêêê A M = y - k. (56) 77

92 Sustituyendo y simplificando, se obtiene la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen de coordenadas, que es la siguiente: Hx - hl 2 = 2 phy - kl. (57) Esta es la ecuación de una parábola vertical con vértice en Hh, kl, foco en FHh, k + ÅÅÅÅ p p L y ecuación de la directriz y = k - ÅÅÅÅ 2 2. à Problema 39. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en H-1, 0L, con foco en -1 el punto FH-1, ÅÅÅÅÅÅL y cuyo eje es vertical. 2 Solución Ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen conocido el foco y el vértice de la misma. Vértice y foco de la parábola. Vértice = Hh, kl = H-1, 0L Foco = Hh, k + ÅÅÅÅÅ p 2 L = H-1, - ÅÅÅÅÅ 1 2 L Parámetro p. p = 2Hy f - kl = -1 Directriz. y = k - ÅÅÅÅÅ p 2 = ÅÅÅÅÅ 1 2 Ecuación de la parábola. Hx - hl 2 = 2 p Hy - kl Hx + 1L 2 = -2 y 78

93 Y X Forma general de la ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen Se partirá de la ecuación ordinaria obtenida anteriormente de la parábola horizontal con vértice fuera del origen del sistema cartesiano para, posteriormente, expresarla en su forma general. Desarrollando la ecuación común de la parábola horizontal se tiene: Hy - kl 2 = 2 phx - hl y 2-2 p x - 2 k y + k p x = 0. (58) Si se compara con la ecuación general de segundo grado A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 A = 0 D = -2 p B = 0 E = -2 k C = 1 F = k p h. (59) Sustituyendo los valores en la ecuación, finalmente queda como sigue: y 2 + D x + E y + F = 0 (60) que es la forma general de la ecuación de la parábola horizontal que tiene vértice fuera del origen de coordenadas. 79

94 à Problema 40. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente parábola horizontal: Hy - 1L 2 = 3Hx - 1L; Solución Forma general de la ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen conocida la ecuación común. Ecuación común de la parábola. Hy - kl 2 = 2 p Hx - hl Hy - 1L 2 = 3Hx - 1L Vértice y foco de la parábola. Vértice = Hh, kl = H1, 1L Foco = Hh + ÅÅÅÅÅ p 2, kl = H ÅÅÅÅÅ 7 4, 1L Parámetro p = 3 ÅÅÅÅÅ 2 Directriz. x = h - ÅÅÅÅÅ p 2 = ÅÅÅÅÅ 1 4 Ecuación general de la parábola. Desarrollando resulta: y 2-2 y - 3 x + 4 = 0 80

95 Y X 1 à Problema 41. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente parábola horizontal indicada en su forma general: y 2-2 y - 3 x + 4 = 0. Solución Forma común de la ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen conocida la ecuación general. Ecuación general de la parábola. y 2 + E y + D x + F = 0 y 2-2 y - 3 x + 4 = 0 Vértice, foco y parámetro p. p = - ÅÅÅÅÅÅ D 2 = ÅÅÅÅÅ

96 k = - E ÅÅÅÅÅÅ 2 = 1 h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ F - k2 ÅÅÅÅÅÅÅ = 1 2 p Vértice = Hh, kl = H1, 1L Foco = Hh + ÅÅÅÅÅ p 2, kl = H ÅÅÅÅÅ 7 4, 1L Directriz. x = h - ÅÅÅÅÅ p 2 = ÅÅÅÅÅ 1 4 Ecuación común de la parábola. Hy - kl 2 = 2 p Hx - hl Hy - 1L 2 = 3Hx - 1L Y X Forma general de la ecuación de la parábola vertical con vértice fuera del origen De manera exacta al caso anterior, es necesario utilizar como base la ecuación que se halló anteriormente. 82

97 Hx - hl 2 = 2 phy - kl x 2-2 h y - 2 p y + h p k = 0. (61) Si se compara con la ecuación general de segundo grado A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 A = 1 D = -2 h B = 0 E = -2 p C = 0 F = h p k (62) Sustituyendo los valores en la ecuación, finalmente queda como sigue: x 2 + D x + E y + F = 0 (63) que es la forma general de la ecuación de la parábola vertical que tiene vértice fuera del origen de coordenadas. à Problema 42. Determinar la ecuación de la parábola dada en su forma común: Hx - 2L 2 = 4Hy + 2L. Solución Forma general de la ecuación de la parábola vertical con vértice fuera del origen conocida la ecuación común. Ecuación común de la parábola. Hx - hl 2 = 2 p Hy - kl Hx - 2L 2 = 4Hy + 2L Vértice, foco y parámetro p de la parábola. Vértice = Hh, kl = H2, -2L Foco = Hh, k + ÅÅÅÅÅ p L = H2, -1L 2 p = 2Hy f - kl = 2 83

98 Directriz. y = k - p ÅÅÅÅÅ 2 = -3 Ecuación general de la parábola. Desarrollando se tiene x 2-4 x - 4 y - 4 = X Y 2 à Problema 43. Determinar la ecuación común de la parábola dada en su forma general: 2 y - x = 0. Solución Forma común de la ecuación de la parábola vertical con vértice fuera del origen conocida la ecuación general Ecuación general de la parábola. x 2 + D x + E y + F = 0 -x y + 2 = 0 Vértice, foco y parámetro p. p = - ÅÅÅÅÅÅ E 2 = -1 h = - D ÅÅÅÅÅÅ 2 = 0 84

99 k = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ F - ÅÅÅÅÅÅÅÅ h2 = -1 2 p Vértice = Hh, kl = H0, -1L Foco = Hh, k + ÅÅÅÅÅ p 2 L = H0, - ÅÅÅÅÅ 3 2 L Ecuación común de la parábola. Hx - hl 2 = 2 p Hy - kl x 2 = -2Hy + 1L X Y 1 85

100 6. La Elipse Una elipse es la curva que se obtiene interceptando un cono circular recto y un plano inclinado y no es paralelo a una de sus generatrices y corta a una sola rama del cono. La generatriz de una superficie cónica es una recta fija en uno de sus puntos con uno de sus extremos describiendo una circunferencia plana. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, con suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen Teniendo en cuenta los dos focos, F 1 H-c, 0L y F 2 Hc, 0L, y la constante, que será representada por 2 a, se definirá la condición de movimiento del punto M Hx, yl. êêêêêêêê êêêêêêêê M F 1 + M F2 = 2 a. (64) Representación de los focos de la elipse y el punto M. Figura 3 86

101 Aplicando la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos y sustituyendo: êêêêêêêê "####################### M F 1 = Hx + cl 2 + y 2 êêêêêêêê "####################### M F 2 = Hx - cl 2 + y 2 (65) queda de la forma que sigue: "####################### Hx + cl 2 + y 2 + "####################### Hx - cl 2 + y 2 = 2 a. (66) Después de desarrollar la ecuación, y con el fin de transformarla aún más, cabe destacar que en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos, por tanto, si se aplica al triángulo F 1 M F 2 : êêêêêêêê êêêêêêêê êêêêêêêê M F 1 + M F2 > F1 F 2 2 a > 2 c a > c a 2 - c 2 > 0 (67) Esta última desigualdad dice que la diferencia de la misma es constante y positiva, de tal manera que puede representarse por b 2. Si se sustituye en lo anterior: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 (68) La ecuación puede expresarse en la siguiente forma llamada simétrica o normal, que se obtiene dividiendo ambos miembros entre a 2 b 2 : x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a + ÅÅÅÅÅÅÅ y2 2 b = 1. 2 (69) 87

102 Análisis de la ecuación Previamente se despejarán las dos variables x, y de la ecuación anterior: y = ÅÅÅÅÅ b è!!!!!!!!!!!!! a a 2 - x 2, x = a ÅÅÅÅÅ b è!!!!!!!!!!!!!! b 2 - y 2. (70) La elipse es simétrica con relación al eje de abscisas, porque para cada valor de x, se obtienen dos valores de y iguales y con signos contrarios. Análogamente, también hay simetría con relación al eje de ordenadas. Consecuentemente, el origen es centro de simetría. Si en la segunda ecuación se iguala la y a 0, resulta x = a, de modo que los puntos de intersección de la curva con el eje O X son A 1 H-a, 0L y A 2 Ha, 0L. Si se iguala del mismo modo, en la primera, la x a 0, resulta y = b, de tal manera que la intersección con el eje O Y es en los puntos B 1 H0, -bl y B 2 H0, bl. La ecuación permite ver que x solamente puede variar desde -a hasta +a, debido a que en el exterior de estos valores, los de y resultan imaginarios. Del mismo modo, se justifica que y únicamente puede variar desde -b hasta +b. La curva es cerrada, lo que se deduce no solamente como consecuencia de la simetría total existente, sino porque además tiene que pasar por los puntos A 1, A 2, B 1 y B 2. Se dice que ésta es una elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos elementos principales son los vértices (A 1, A 2 ), los focos (F 1,F 2 ) y el centro C. Se denomina eje êêêêêêêê mayor a la distancia entre los vértices (A 1 A 2 = 2 a), eje menor a la distancia entre los 88

103 êêêêêêêê puntos de intersección con el eje O Y (B 1 B 2 = 2 b), y distancia focal, la distancia entre los êêêêêêêê focos (F 1 F 2 = 2 c). De este modo, se forma un triángulo rectángulo en el que b y c son los catetos, y la hipotenusa está representada por a, por lo que, según el teorema de Pitágoras: b 2 = a 2 - c 2. (71) Excentricidad de la elipse La excentricidad es un concepto del que depende la mayor o menor deformación que puede experimentar una circunferencia para producir una elipse. Se representa con e, y se define como el cociente de la semidistancia focal c entre el semieje mayor a. Podrá expresarse como: e = c ÅÅÅÅÅ a. (72) Si e = 0, forzosamente tiene que cumplirse c = 0, y de la fórmula del teorema de Pitágoras, se deduce a = b, en cuyo caso la curva es una circunferencia, que se puede considerar como un caso particular de elipse con excentricidad nula. Si e = 1, es evidente que se tiene a = c, y de la fórmula citada anteriormente resulta b = 0, por lo tanto, la deformación ha sido total, de tal manera que la curva se ha convertido en una línea recta. En consecuencia, 0 e 1. (73) 89

104 à Problema 44. Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de los focos y los vértices y hacer la gráfica de la elipse dada por la ecuación: ÅÅÅÅÅ x ÅÅÅÅÅ y2 9 = 1. Solución Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. Ecuación de la elipse. x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 b = 1 x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 9 = 1 Longitud del eje mayor y del menor. a = 4 b = 3 Eje mayor = 2 a = 8 Eje menor = 2 b = 6 Vértices y focos de la elipse. A 1 = H-a, 0L = H-4, 0L B 1 = H0, -bl = H0, -3L A 2 = Ha, 0L = H4, 0L B 2 = H0, bl = H0, 3L c = "################ a 2 - b 2 = è!!!! 7 F 1 = H-c, 0L = H- è!!!! 7, 0L F 2 = Hc, 0L = H è!!!! 7, 0L Y X

105 à Problema 45. Los focos de una elipse son los puntos F 1 H-1, 0L y F 2 H1, 0L, y la longitud de su eje menor es 2. Obtener la ecuación de la elipse. Solución Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen conocido el foco y el eje menor. Focos y eje menor de la elipse F 1 = H-c, 0L = H-1, 0L F 2 = Hc, 0L = H1, 0L c = 1 Eje Menor = 2 b = 2 b = 1 Solución a = "################ b 2 + c 2 = "################ Eje mayor = 2 a = 2 è!!!! 2 A 1 = H-a, 0L = H- è!!!! 2, 0L A 2 = Ha, 0L = H è!!!! 2, 0L B 1 = H0, -bl = H0, -1L B 2 = H0, bl = H0, 1L Ecuación de la elipse. x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 b = 1 x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 1 Y 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 1 = X

106 6.2. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen En este caso de elipse vertical con centro en el origen, si el centro de la misma coincide con el origen del sistema de ejes de coordenadas y los focos están en el eje O Y, con coordenadas F 1 H0, cl y F 1 H0, -cl, siendo M un punto cualquiera y aplicando la definición de elipse, se tiene: êêêêêêêê êêêêêêêê M F 1 + M F2 = 2 a (74) donde: êêêêêêêê "####################### M F 1 = x 2 +Hy - cl 2 êêêêêêêê "####################### M F 2 = x 2 +Hy + cl 2. (75) simplifica: Si se sustituye esto en la ecuación mostrada en primer lugar, se desarrolla y "####################### x 2 +Hy - cl 2 + "####################### x 2 +Hy + cl 2 = 2 a a 2 x 2 +Ha 2 - c 2 L y 2 = a 2 Ha 2 - c 2 L. (76) Como ya se mostró anteriormente, b 2 = a 2 - c 2. (77) sustituyendo, dividiendo entre a 2 b 2 y simplificando queda la ecuación común de la elipse vertical con centro en el origen: x 2 ÅÅÅÅÅÅÅ b + ÅÅÅÅÅÅÅ y2 2 a = 1. 2 (78) Si se hallan los puntos de intersección de la curva con los ejes de coordenadas se obtienen los vértices de la misma. Haciendo x = 0, se obtiene la intersección de la curva 92

107 con el eje O Y, cuyos puntos son A 1 H0, al y A 2 H0, -al. Por otro lado, con y = 0, la intersección obtenida es la referente al eje O Y, y se describe con los puntos B 1 Hb, 0L y B 2 H-b, 0L. à Problema 46. Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de los focos y los vértices y hacer la gráfica de la elipse dada por la ecuación: ÅÅÅÅÅ x2 4 + ÅÅÅÅÅ y2 25 = 1. Solución Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen. Ecuación de la elipse. x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ b 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 a = 1 x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 25 = 1 Longitud del eje mayor y del menor. a = 5 b = 2 Eje mayor = 2 a = 10 Eje menor = 2 b = 4 Vértices y focos de la elipse. A 1 = H0, al = H0, 5L A 2 = H0, -al = H0, -5L B 1 = Hb, 0L = H2, 0L B 2 = H-b, 0L = H-2, 0L c = "################ a 2 - b 2 = è!!!!!!! 21 F 1 = H0, cl = H0, è!!!!!!! 21L F 2 = H0, -cl = H0, - è!!!!!!! 21L 93

108 Y X 2 4 à Problema 47. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene su centro en el origen, con un eje menor de longitud 8 y un foco F 1 H0, 3L. Obtener la ecuación de la elipse. Solución Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen conocido el foco y el eje menor. Focos y eje menor de la elipse F 1 = H0, cl = H0, 3L F 2 = H0, -cl = H0, -3L c = 3 Eje menor = 2 b = 8 b = 4 Solución a = "################ b 2 + c 2 = "################

109 Eje mayor = 2 a = 10 A 1 = H0, al = H0, 5L A 2 = H0, -al = H0, -5L B 1 = Hb, 0L = H4, 0L B 2 = H-b, 0L = H-4, 0L Ecuación de la elipse. x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ b 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 a = 1 x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 25 = 1 Y X Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen Esta ecuación puede determinarse de forma sencilla utilizando las ecuaciones de translación paralela de los ejes. La elipse con centro CHh, kl y con su eje mayor paralelo al eje O X, tiene como ecuación, con referencia al nuevo sistema de coordenadas: x' 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 + y'2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ b 2 = 1. (79) 95

110 la anterior: Como existen las dos ecuaciones de translación paralela de los ejes, se aplicarán a x = x' + h y = y' + k. (80) De este modo se obtiene la ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen de coordenadas: Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 + Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. b 2 (81) En este caso, los vértices de la elipse serán A 1 Hh - a, kl, A 2 Hh + a, kl, B 1 Hh, k + bl y B 2 Hh, k - bl. Del mismo modo, los focos serán F 1 Hh - c, kl y F 2 Hh + c, kl. à Problema 48. Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de los focos y los vértices y hacer la gráfica de la elipse dada por la ecuación: x ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy-6L2 = Solución Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen. Ecuación de la elipse. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + a 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 b 2 Hx -H0LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy -H6LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 50 = 1 Centro de la elipse. Hh, kl = H0, 6L 96

111 Longitud del eje mayor y del menor. a = 10 b = 5 è!!!! 2 Eje mayor = 2 a = 20 Eje menor = 2 b = 10 è!!!! 2 Vértices y focos de la elipse. A 1 = Hh - a, kl = H-10, 6L B 1 = Hh, k + bl = H0, è!!!! 2L c = "################ a 2 - b 2 = 5 è!!!! 2 F 1 = Hh - c, kl = H-5 è!!!! 2, 6L F 2 = Hh + c, kl = H5 è!!!! 2, 6L A 2 = Hh + a, kl = H10, 6L B 2 = Hh, k - bl = H0, 6-5 è!!!! 2L Y X à Problema 49. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene por focos F 1 H-4, 6L, F 2 H4, 6L y la longitud de su eje menor es 2 è!!!!! 50. Solución Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen conocido el foco y el eje menor. Focos y eje menor de la elipse F 1 = Hh - c, kl = H-5 è!!!! 2, 6L F 2 = Hh + c, kl = H5 è!!!! 2, 6L c = 5 è!!!! 2 97

112 h = 0 k = 6 Eje menor = 2 b = 10 è!!!! 2 b = 5 è!!!! 2 Solución a = "################ b 2 + c 2 = "################ 5 è!!!! 2 2 ################ + 5 è!!!! 2 ##### 2 = 10 Eje mayor = 2 a = 20 A 1 = Hh - a, kl = H-10, 6L B 1 = Hh, k + bl = H0, è!!!! 2L Centro = Hh, kl = H0, 6L A 2 = Hh + a, kl = H10, 6L B 2 = Hh, k - bl = H0, 6-5 è!!!! 2L Ecuación de la elipse. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + a 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 b 2 Hx -H0LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy -H6LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 50 = 1 Y X 6.4. Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen La elipse vertical con centro fuera del origen tiene su eje mayor paralelo al eje O Y. Si se tiene en cuenta que el centro de la misma es CHh, kl, y que se utilizan las ecuaciones de translación paralela de los ejes, con referencia al nuevo sistema de coordenadas, queda como sigue: 98

113 x' 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b 2 + y'2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 = 1. (82) la anterior: Como existen las dos ecuaciones de translación paralela de los ejes, se aplicarán a x = x' + h y = y' + k. (83) De este modo se obtiene la ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen de coordenadas: Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b 2 + Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. a 2 (84) En este caso, los vértices de la elipse serán A 1 Hh, k + al, A 2 Hh, k - al, B 1 Hh - b, kl y B 2 Hh + b, kl. Del mismo modo, los focos serán F 1 Hh, k + cl y F 2 Hh, k - cl. à Problema 50. Determinar la longitud de los ejes, las coordenadas de los focos y los vértices y hacer la gráfica de la elipse: Hx-3L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy-5L2 = Solución Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen. Ecuación de la elipse. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + b 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 a 2 Hx -H3LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 + Hy -H5LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 25 = 1 Centro de la elipse. Hh, kl = H3, 5L 99

114 Longitud del eje mayor y del menor. a = 5 b = 4 Eje mayor = 2 a = 10 Eje menor = 2 b = 8 Vértices y focos de la elipse. A 1 = Hh, k + al = H3, 10L B 1 = Hh - b, kl = H-1, 5L A 2 = Hh, k - al = H3, 0L B 2 = Hh + b, kl = H7, 5L c = "################ a 2 - b 2 = 3 F 1 = Hh, k + cl = H3, 8L F 2 = Hh, k - cl = H3, 2L Y X à Problema 51. Una elipse tiene focos F 1 H3, 8L, F 2 H3, 2L y la longitud de su eje menor es 8. Solución 100

115 Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen conocido el foco y el eje menor. Focos y eje menor de la elipse F 1 = Hh, k + cl = H3, 8L F 2 = Hh, k - cl = H3, 2L c = 3 h = 3 k = 5 Eje menor = 2 b = 8 b = 4 Solución a = "################ b 2 + c 2 = "################ = 5 Eje mayor = 2 a = 10 A 1 = Hh, k + al = H3, 10L B 1 = Hh - b, kl = H-1, 5L Centro = Hh, kl = H3, 5L A 2 = Hh, k - al = H3, 0L B 2 = Hh + b, kl = H7, 5L Ecuación de la elipse. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + b 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 a 2 Hx -H3LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 + Hy -H5LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 25 = 1 Y X 101

116 6.5. Forma general de la elipse horizontal con centro fuera del origen Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse, se desarrollará la ecuación ya conocida en forma común. En el caso de la elipse horizontal se sabe que la ecuación es: Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 + Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. b 2 (85) Desarrollando y ordenando queda como sigue: b 2 x 2 + a 2 y 2-2 b 2 h x - 2 a 2 k y + b 2 h 2 + a 2 k 2 - a 2 b 2 = 0. (86) Comparando con la ecuación general de las cónicas: A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 A = b 2 D = -2 b 2 h B = 0 E = -2 a 2 k C = a 2 F = b 2 h 2 + a 2 k 2 - a 2 b 2. (87) Según esto, la ecuación general de la elipse horizontal es: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0. (88) à Problema 52. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente elipse horizontal: Hx-5L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy-5L2 = Solución Forma general de la ecuación de la elipse horizontal con vértice fuera del origen conocida la ecuación común. 102

117 Ecuación común de la elipse. Hx - hl 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = 1 a 2 b 2 Hx - H5LL 2 Hy - H5LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 4 = 1 Centro de la elipse. Hh, kl = H5, 5L Longitud del eje mayor y del menor. a = 4 b = 2 Eje mayor = 2 a = 8 Eje menor = 2 b = 4 Vértices y focos de la elipse. A 1 = Hh - a, kl = H1, 5L B 1 = Hh, k + bl = H5, 7L c = "################ a 2 - b 2 = 2 è!!!! 3 F 1 = Hh - c, kl = H5-2 è!!!! 3, 5L F 2 = Hh + c, kl = H5 + 2 è!!!! 3, 5L A 2 = Hh + a, kl = H9, 5L B 2 = Hh, k - bl = H5, 3L Ecuación general de la elipse. x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 x 8 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 4 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 y 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0 Y X à Problema 53. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente elipse horizontal indicada en su forma general: 4 x y x - 18 y + 37 = 0. Solución 103

118 Forma común de la ecuación de la elipse horizontal con vértice fuera del origen conocida la ecuación general. Ecuación general de la elipse. A x 2 + D x + C y 2 + E y + F = 0 4 x x + 9 y 2-18 y + 37 = 0 Centro. a = è!!!! C = 3 b = è!!!! A = 2 D h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -2 b = -4; 2 E k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -2 a = 1 2 Centro = Hh, kl = H-4, 1L Longitud del eje mayor y del menor. a = 3 b = 2 Eje mayor = 2 a = 6 Eje menor = 2 b = 4 Vértices y focos de la elipse. A 1 = Hh - a, kl = H-7, 1L A 2 = Hh + a, kl = H-1, 1L B 1 = Hh, k + bl = H-4, 3L B 2 = Hh, k - bl = H-4, -1L c = "################ a 2 - b 2 = è!!!! 5 F 1 = Hh - c, kl = H-4 - è!!!! 5, 1L F 2 = Hh + c, kl = H-4 + è!!!! 5, 1L Ecuación común de la parábola. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + a 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = 1 b 2 Hx - H-4LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 + Hy - H1LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 = 1 104

119 Y X Forma general de la elipse vertical con centro fuera del origen Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse, en el caso de la elipse vertical, se procederá a desaarrollar la ecuación. La elipse vertical se describe como sigue: Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b 2 + Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. a 2 (89) Si se desarrolla esta ecuación, se llegará a lo siguiente: a 2 x 2 + b 2 y 2-2 a 2 h x - 2 b 2 k y + a 2 h 2 + b 2 k 2 - a 2 b 2 = 0. (90) Comparando con la ecuación general utilizada en el caso de las cónicas: A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 A = a 2 D = -2 a 2 h B = 0 E = -2 b 2 k C = b 2 F = a 2 h 2 + b 2 k 2 - a 2 b 2. (91) Por ello, se dice que la ecuación general de la elipse vertical es: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0. (92) 105

120 à Problema 54. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente elipse vertical: Hx+2L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy-3L2 = Solución Forma general de la ecuación de la elipse vertical con vértice fuera del origen conocida la ecuación común. Ecuación común de la elipse. Hx - hl 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = 1 b 2 a 2 Hx - H-2LL 2 Hy - H3LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 9 = 1 Centro de la elipse. Hh, kl = H-2, 3L Longitud del eje mayor y del menor. a = 3 b = 2 Eje mayor = 2 a = 6 Eje menor = 2 b = 4 Vértices y focos de la elipse. A 1 = Hh, k + al = H-2, 6L B 1 = Hh - b, kl = H-4, 3L A 2 = Hh, k - al = H-2, 0L B 2 = Hh + b, kl = H0, 3L c = "################ a 2 - b 2 = è!!!! 5 F 1 = Hh, k + cl = H-2, 3 + è!!!! 5L F 2 = Hh, k - cl = H-2, 3 - è!!!! 5L Ecuación general de la elipse. x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 + x + ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 9 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 y = 0 106

121 6 Y X à Problema 55. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente elipse vertical indicada en su forma general: 9 x y x - 24 y + 36 = 0. Solución Forma común de la ecuación de la elipse vertical con vértice fuera del origen conocida la ecuación general. Ecuación general de la elipse. A x 2 + D x + C y 2 + E y + F = 0 9 x x + 4 y 2-24 y + 36 = 0 107

122 Centro. a = è!!!! A = 3 b = è!!!! C = 2 D h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -2 a = -2; 2 E k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -2 b = 3 2 Centro = Hh, kl = H-2, 3L Longitud del eje mayor y del menor. a = 3 b = 2 Eje mayor = 2 a = 6 Eje menor = 2 b = 4 Vértices y focos de la elipse. A 1 = Hh, k + al = H-2, 6L B 1 = Hh - b, kl = H-4, 3L A 2 = Hh, k - al = H-2, 0L B 2 = Hh + b, kl = H0, 3L c = "################ a 2 - b 2 = è!!!! 5 F 1 = Hh, k + cl = H-2, 3 + è!!!! 5L F 2 = Hh, k - cl = H-2, 3 - è!!!! 5L Ecuación común de la parábola. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + b 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = 1 a 2 Hx - H-2LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 + Hy - H3LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 = 1 108

123 6 Y X 109

124 7. La Hipérbola La hipérbola está definida como el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un plano, que tienen la propiedad común relativa de que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante, representada por 2 a. Puede describirse de igual modo como la curva que se obtiene intersectando un cono y un plano; si el plano está inclinado, corta ambas secciones del cono y no pasa por el vértice del mismo Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen Para este tipo de curva, las coordenadas de los focos son F 1 H-c, 0L y F 2 Hc, 0L. La condición de movimiento del punto M Hx, yl según definición es: êêêêêêêê êêêêêêêê M F 1 - M F2 = 2 a. (93) Representación de los focos de la hipérbola y el punto M. Figura 4 110

125 Teniendo en cuenta la expresión para la distancia entre dos puntos, queda como sigue: êêêêêêêê "################################ M F 1 = Hx + cl 2 +Hy - 0L 2 êêêêêêêê "################################ M F 2 = Hx - cl 2 +Hy - 0L 2. (94) Sustituyendo queda de la forma: "################################# Hx + cl 2 +Hy - 0L 2 - "################################ Hx - cl 2 +Hy - 0L 2 = 2 a. (95) Será necesario desarrollar y efectuar unas reducciones en esta ecuación. Hc 2 - a 2 L x 2 - a 2 y 2 = a 2 Hc 2 - a 2 L. (96) Para transformar más la ecuación, habrá que tener en cuenta el triángulo F 1 M F 2, en el que cada lado es mayor que la diferencia entre los otros dos. Esto permite escribir que: êêêêêêêê êêêêêêêê êêêêêêêê F 1 F 2 > M F2 - M F2 êêêêêêêê F 1 F 2 = 2 c êêêêêêêê êêêêêêêê M F 1 - M F2 = 2 a. (97) Por tanto, 2 c > 2 a c 2 - a 2 > 0. (98) Como la última desigualdad expresa que la diferencia es constante y positiva, puede expresarse de la siguiente manera por otra constante b 2 : c 2 - a 2 = b 2. (99) Sustituyendo en la ecuación desarrollada anteriormente: b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2. (100) 111

126 Ésta es la ecuación definitiva de la hipérbola, que puede expresarse también, de manera más simple, de la siguiente forma: x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a - ÅÅÅÅÅÅÅ y2 2 b = 1. 2 (101) Análisis de la ecuación Previamente es necesario despejar las dos variables, x e y, de la ecuación. x = ÅÅÅÅÅ a è!!!!!!!!!!!!!! b b 2 + y 2 y = b ÅÅÅÅÅ a è!!!!!!!!!!!!! x 2 - a 2. (102) Observando las ecuaciones anteriores, es fácil asegurar que la curva es simétrica con relación a los ejes del sistema y al origen. Cuando y = 0, x = a. Esto implica que la hipérbola corta al eje O X en los puntos A 1 H-a, 0L y A 2 Ha, 0L. al eje O Y. En el caso de x = 0, y = b i. Este resultado permite indicar que la curva no corta La curva no existe entre x = -a y x = a, sino que solamente se extiende desde x = -a hacia la izquierda, y desde x = a hacia la derecha. En conclusión, la curva tiene dos ramas separadas, ambas controladas por la misma ecuación; es una curva discontinua. La curva es abierta debido a que a medida que x aumenta independientemente, también y lo hace del mismo modo. Esta hipérbola horizontal con centro en el origen tiene como elementos principales los vértices (A 1, A 2 ), los focos (F 1, F 2 ) y las asíntotas. Se sabe que el eje focal es 2 a, el 112

127 eje no focal 2 b y la distancia focal 2 c. Estos ejes pueden ser mayor el uno que el otro indistintamente, incluso iguales, sin que la hipérbola deje de ser horizontal. De la magnitud de los mismos sólo depende la mayor o menor abertura de las ramas. Las ramas de la hipérbola se acercan indefinidamente a las asíntotas sin llegar a tocarlas jamás. Esto es debido a que para todo punto de la hipérbola, el producto de sus distancias a las asíntotas es constante, y se representa con q Asíntotas de la hipérbola Para encontrar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola, es necesario partir de la ecuación de la misma ya conocida: x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a - ÅÅÅÅÅÅÅ y2 2 b = 1. 2 (103) Si se despeja y y se reduce, queda: y = ÅÅÅÅÅ b a x $%%%%%%%%%%%%%% 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ a2 x. 2 (104) Se considera que la rama derecha de la hipérbola se prolonga indefinidamente cuando x crece indefinidamente, por tanto, se tiene que el cociente ÅÅÅÅÅ a2 tiende a cero, por lo x 2 que el subradical tiende a tomar el valor de la unidad. De este modo, la expresión anterior toma la forma: y = b ÅÅÅÅÅ a x (105) que es la ecuación de las asíntotas de la hipérbola. Si se tiene en cuenta la ecuación de la hipérbola, las asíntotas se pueden definir con otras ecuaciones: 113

128 x ÅÅÅÅÅ a - ÅÅÅÅÅ y b = 1 x ÅÅÅÅÅ a + ÅÅÅÅÅ y b = 1. (106) à Problema 56. Determinar las asíntotas, las coordenadas de los focos y los vértices y hacer la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación: ÅÅÅÅÅ x ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 100 = 1. Solución Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen. Ecuación de la hipérbola. x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 b = 1 x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 100 = 1 Valores de a y b. a = 8 b = 10 Vértices y focos de la hipérbola. A 1 = H-a, 0L = H-8, 0L A 2 = Ha, 0L = H8, 0L c = "################ a 2 + b 2 = 2 è!!!!!!! 41 F 1 = H-c, 0L = H-2 è!!!!!!! 41, 0L F 2 = Hc, 0L = H2 è!!!!!!! 41, 0L Asíntotas. y = ÅÅÅÅÅ b a x y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 x 4 y = - 5 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 114

129 20 Y X Ecuacion de la hipérbola vertical con centro en el origen Para obtener la ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen, se procederá como en otros casos ya vistos, es decir, representando mediante una ecuación la condición de movimiento que deben satisfacer los puntos de la curva según la definición. Sea M Hx, yl un punto cualquiera, su condición de movimiento es: êêêêêêêê êêêêêêêê M F 1 - M F2 = 2 a. (107) Cuando una hipérbola es de este tipo, los focos están sobre el eje O Y, y son F 1 H 0, cl y F 2 H 0, -cl. Sabiendo que: êêêêêêêê "################################ M F 1 = Hx - 0L 2 +Hy - cl 2 êêêêêêêê "################################ M F 2 = Hx - 0L 2 +Hy + cl 2. (108) 115

130 Sustituyendo queda de la forma: "################################# Hx - 0L 2 +Hy - cl 2 - "################################ Hx - 0L 2 +Hy + cl 2 = 2 a. (109) Será necesario desarrollar y efectuar unas reducciones en esta ecuación. Hc 2 - a 2 L y 2 - a 2 x 2 = a 2 Hc 2 - a 2 L. (110) Aplicando el teorema de Pitágoras y sustituyendo en lo anterior se tiene que: b 2 = c 2 - a 2. (111) Sustituyendo en la ecuación desarrollada anteriormente: b 2 y 2 - a 2 x 2 = a 2 b 2. (112) Ésta es la ecuación definitiva de la hipérbola, que puede expresarse también, de manera más simple, de la siguiente forma: y 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a - ÅÅÅÅÅÅÅ x2 2 b = 1. 2 (113) con el O X. En este caso, el eje focal o transverso coincide con el eje O Y, y el eje conjugado Las ecuaciones de las asíntotas son: y = a ÅÅÅÅÅ b x. (114) à Problema 57. Determinar las asíntotas, las coordenadas de los focos y los vértices y hacer la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación: ÅÅÅÅÅ y2 4 - ÅÅÅÅÅ x2 5 = 1. Solución 116

131 Ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen. Ecuación de la hipérbola. y 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ x2 b = 1 y 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ x2 5 = 1 Valores de a y b. a = 2 b = è!!!! 5 Vértices y focos de la hipérbola. A 1 = H0, al = H0, 2L A 2 = H0, -al = H0, -2L c = "################ a 2 + b 2 = 3 F 1 = H0, cl = H0, 3L F 2 = H0, -cl = H0, -3L Asíntotas. y = ÅÅÅÅÅ a b x y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 x è!!!! 5 y = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 x è!!!! 5 Y X

132 7.3. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen Sea CHh, kl el centro de una hipérbola cuyo eje transverso es paralelo al eje O Y. Se traza otro sistema de coordenadas x' y', cuyo origen coincida con C. La ecuación de la hipérbola con respecto a este nuevo sistema quedará: x' 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 - y'2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ b 2 = 1. (115) Refiriendo esto al sistema de coordenadas original, será necesario recurrir a las ecuaciones de translación paralela de los ejes. x' = x - h y' = y - k. (116) Haciendo la sustitución, queda la ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 - Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. b 2 (117) Las coordenadas de los vértices son A 1 Hh - a, kl y A 2 Hh + a, kl, y, del mismo modo, las de los focos son F 1 Hh + c, kl y F 2 Hh - c, kl. Las asíntotas son: Hy - kl = ÅÅÅÅÅ b Hx - hl. a (118) 118

133 à Problema 58. Determinar las asíntotas, las coordenadas del centro, los focos y los Hx-5L vértices y hacer la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy+3L2 = Solución Ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen. Ecuación de la hipérbola. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - a 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 b 2 Hx -H5LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 - Hy -H-3LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 = 1 Centro de la hipérbola. Hh, kl = H5, -3L Valores de a y b. a = 3 b = 4 Vértices y focos de la hipérbola. A 1 = Hh - a, kl = H2, -3L A 2 = Hh + a, kl = H8, -3L c = "################ a 2 + b 2 = 5 F 1 = Hh - c, kl = H0, -3L F 2 = Hh + c, kl = H10, -3L Asíntotas. Hy - kl = ÅÅÅÅÅ b Hx - hl a Hy - H-3LL = ÅÅÅÅÅ 4 Hx - H5LL 3 119

134 Y X Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen El proceso, en este caso, es similar al del caso anterior. Será necesario tener en cuenta la ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen: y 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a - ÅÅÅÅÅÅÅ x2 2 b = 1. 2 (119) Como es conocido, se utilizará un nuevo sistema en el que la translación paralela de los ejes sea la siguiente: x' = x - h y' = y - k. (120) 120

135 Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación anterior a las mismas, se obtiene la ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen. Hy - kl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 - Hx - hl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. b 2 (121) Las coordenadas de los vértices son A 1 Hh, k + al y A 2 Hh, k - al, y, del mismo modo, las de los focos son F 1 Hh, k + cl y F 2 Hh, k - cl. Las asíntotas son: Hy - kl = ÅÅÅÅÅ a Hx - hl. b (122) à Problema 59. Determinar las asíntotas, las coordenadas del centro, los focos y los Hx+5L vértices y hacer la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx-3L2 = Solución Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen. Ecuación de la hipérbola. Hy - kl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - a 2 Hx - hl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 b 2 Hy -H-5LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 - Hx -H3LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 25 = 1 Centro de la hipérbola. Hh, kl = H3, -5L Valores de a y b. a = 4 b = 5 Vértices y focos de la hipérbola. A 1 = Hh, k + al = H-5, -1L A 2 = Hh, k - al = H-5, -9L 121

136 c = "################ a 2 + b 2 = è!!!!!!! 41 F 1 = Hh, k + cl = H-5, -5 + è!!!!!!! 41L F 2 = Hh, k - cl = H-5, -5 - è!!!!!!! 41L Asíntotas. Hy - kl = ÅÅÅÅÅ a Hx - hl b Hy - H-5LL = ÅÅÅÅÅ 4 Hx - H3LL 5 Y X Forma general de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen Para obtener la forma general de la ecuación de la hipérbola, se desarrollará la ecuación ya conocida en forma común. En el caso de la hipérbola horizontal se sabe que la ecuación es: Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 - Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. b 2 (123) Desarrollando y ordenando queda como sigue: b 2 x 2 - a 2 y 2-2 b 2 h x + 2 a 2 k y + b 2 h 2 - a 2 k 2 - a 2 b 2 = 0. (124) Comparando con la ecuación general de las cónicas: 122

137 A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 A = b 2 D = -2 b 2 h B = 0 E = 2 a 2 k C = -a 2 F = b 2 h 2 - a 2 k 2 - a 2 b 2. (125) Según esto, la ecuación general de la hipérbola horizontal es: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0. (126) à Problema 60. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente hipérbola horizontal: Hx-2L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy+1L2 = Solución Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen conocida la ecuación común Ecuación común de la hipérbola. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - a 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 b 2 Hx -H2LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 - Hy -H-1LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 = 1 Centro de la hipérbola. Hh, kl = H2, -1L Valores de a y b. a = 4 b = 3 Vértices y focos de la hipérbola. A 1 = Hh - a, kl = H-2, -1L A 2 = Hh + a, kl = H6, -1L c = "################ a 2 + b 2 = 5 F 1 = Hh - c, kl = H-3, -1L F 2 = Hh + c, kl = H7, -1L 123

138 Asíntotas. Hy - kl = ÅÅÅÅÅ b Hx - hl a Hy - H-1LL = ÅÅÅÅÅ 3 Hx - H2LL 4 Ecuación general de la hipérbola. x 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 - ÅÅÅÅÅ x 4 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 9 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 y 9 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0 20 Y X à Problema 61. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente hipérbola horizontal indicada en su forma general: 9 x 2-16 y 2-36 x - 32 y = 0. Solución Forma común de la ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen conocida la ecuación general. Ecuación general de la hipérbola. A x 2 + D x + C y 2 + E y + F = 0 9 x 2-36 x - 16 y 2-32 y = 0 124

139 Centro. a = è!!!!!!!!!» C» = 4 b = è!!!! A = 3 D h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -2 b = 2; 2 k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E 2 a = -1 2 Centro = Hh, kl = H2, -1L Vértices y focos de la hipérbola. A 1 = Hh-a, kl = H-2, -1L A 2 = Hh+a, kl = H6, -1L c = "################ a 2 + b 2 = 5 F 1 = Hh - c, kl = H-3, -1L F 2 = Hh + c, kl = H7, -1L Asíntotas. Hy - kl = ÅÅÅÅÅ b Hx - hl a Hy - H-1LL = ÅÅÅÅÅ 3 Hx - H2LL 4 Ecuación común de la hipérbola. Hx - hl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - a 2 Hy - kl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 b 2 Hx -H2LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 - Hy -H-1LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 = 1 Y X

140 7.6. Forma general de la hipérbola vertical con centro fuera del origen Para obtener la forma general de la ecuación de la hipérbola, en el caso de la hipérbola vertical, se procederá a desarrollar la ecuación. La hipérbola vertical se describe como sigue: Hy - kl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 - Hx - hl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. b 2 (127) Si se desarrolla esta ecuación, se llegará a lo siguiente: -a 2 x 2 + b 2 y a 2 h x - 2 b 2 k y - a 2 h 2 + b 2 k 2 - a 2 b 2 = 0. (128) Comparando con la ecuación general utilizada en el caso de las cónicas: A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 A = -a 2 D = 2 a 2 h B = 0 E = -2 b 2 k C = b 2 F = -a 2 h 2 + b 2 k 2 - a 2 b 2. (129) Por ello, se dice que la ecuación general de la hipérbola vertical es: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0. (130) à Problema 62. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente hipérbola vertical: Hy-1L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx-3L2 = Solución Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen conocida la ecuación común. 126

141 Ecuación de la hipérbola. Hy - kl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - a 2 Hx - hl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 b 2 Hy -H1LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 - Hx -H3LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 = 1 Centro de la hipérbola. Hh, kl = H3, 1L Valores de a y b. a = 2 b = è!!!! 5 Vértices y focos de la hipérbola. A 1 = Hh, k + al = H1, 3L A 2 = Hh, k - al = H1, -1L c = "################ a 2 - b 2 = 3 F 1 = Hh, k + cl = H1, 4L F 2 = Hh, k - cl = H1, -2L Asíntotas. Hy - kl = ÅÅÅÅÅ a Hx - hl b Hy - H1LL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 è!!!! Hx - H3LL 5 Ecuación general de la hipérbola. - ÅÅÅÅÅÅÅÅ x2 5 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 x 5 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 4 - ÅÅÅÅÅ y 2 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0 Y X

142 à Problema 63. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente hipérbola vertical indicada en su forma general: - ÅÅÅÅÅ x2 7 - ÅÅÅÅÅÅÅ 6 x 7 + ÅÅÅÅÅ y2 4 + ÅÅÅÅÅÅÅ 5 y 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0. Solución Forma común de la ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen conocida la ecuación general. Ecuación general de la hipérbola. A x 2 + D x + C y 2 + E y + F = 0-9 x y = 0 Centro. a = è!!!!!!!!!» A» = 3 b = è!!!! C = 4 h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ D 2 a = 0; 2 E k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -2 b = 0 2 Centro = Hh, kl = H0, 0L Vértices y focos de la hipérbola. A 1 = Hh, k + al = H0, 3L A 2 = Hh, k - al = H0, -3L c = "################ a 2 + b 2 = 5 F 1 = Hh, k + cl = H0, 5L F 2 = Hh, k - cl = H0, -5L Asíntotas. Hy - kl = ÅÅÅÅÅ a Hx - hl b Hy - H0LL = ÅÅÅÅÅ 3 Hx - H0LL 4 Ecuación común de la hipérbola. Hy - kl 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - a 2 Hx - hl2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 b 2 Hy -H0LL 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 - Hx -H0LL2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 16 = 1 128

143 Y X

144 8. Conclusiones A medida que se ha ido realizando este proyecto, donde se han estudiado funciones de cálculo y representación de los diferentes elementos de la Geometría Analítica, se ha tratado de facilitar la comprensión y el estudio de dichos elementos. Para llevar a cabo el presente estudio de las funciones de estos elementos, se han diseñado los correspondientes algoritmos, y, posteriormente, se ha procedido a su diseño y codificación en el lenguaje simbólico y numérico del paquete Mathematica. En cada función de la Geometría Analítica objeto de análisis, se ha mostrado su desarrollo, detallando los cálculos matemáticos necesarios, y tras su implentación, se han escrito numerosos ejemplos prácticos que permiten comprobar los resultados de una manera gráfica y con sus resolución analítica y numérica. Como línea futura de análisis, y como mejora a introducir en el actual proyecto, cabría reseñar el desarrollo de otros algoritmos que implementen el estudio de los elementos geométricos siguientes: a) En el caso específico de la recta, la segunda forma normal o ecuación de Hess, la condición de perpendicularidad de dos rectas, la ecuación incompleta, normal, y polar de una recta, y la ecuación de un haz de rectas. b) Estudio de la ecuación general de segundo grado. Las cónicas y el cono de revolución, y su determinación por medio de sus coeficientes. 130

145 c) El estudio y representación de las cónicas en coordenadas paramétricas: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. d) Por último, el análisis de las coordenadas polares generalizadas: trazado de curvas dada su ecuación polar, y la ecuación de las curvas de segundo grado en coordenadas polares. 131

146 9. Valoración económica y planificación 9.1. Introducción Se especificará en este apartado la valoración económica, es decir, se analizarán los costes de las distintas actividades que conlleva la realización y posterior puesta en marcha de este proyecto. El proyecto que está compuesto por distintas tareas y actividades denominadas items Técnicas de estimación de costes Los diferentes ítems del proyecto, que se han incluido en este análisis de costes, se detallan a continuación. 1. Especificaciones y Desarrollo del Proyecto Se han diferenciado dos partes dentro de este punto. Estas dos fases son la de requisitos y el desarrollo de la aplicación. La fase de requisitos es la primera en aparecer. Consta de la especificación de requisitos, el análisis funcional y el plan de pruebas. La fase de desarrollo de la aplicación supone realmente el mayor coste temporal, y es, en cierto modo, la que diferencia el presupuesto de este proyecto del de otro proyecto similar cualquiera. Para estos aspectos, se mostrarán los costes directos, expresados en meses completos dedicados para cada actividad. Del mismo modo, se describirá el cargo de la 132

147 persona que realice dicha actividad, bien sea Jefe de Proyecto o Analista/Programador. La actividad del Jefe de Proyecto está estimada en un 14 % respecto de la actividad del Analista/Programador. 2. Instalación, Pruebas e Integración de la Aplicación Se señalan en este apartado los costes directos de la integración y las pruebas de la aplicación en el entorno de desarrollo y de explotación. En los mismos, están contenidos los gastos de desplazamiento y dietas, que pueden considerarse gastos accesorios. 3. Equipamiento y Licencias En este punto se detallan los costes del equipamiento, la infraestructura (ordenadores, impresoras, comunicaciones) y las licencias necesarias para el entorno de explotación. El equipo hardware a emplear será una arquitectura PC con el sistema operativo Windows XP. Por tanto, será necesaria la licencia de dicho sistema operativo. Para el desarrollo y ejecución de esta aplicación se utilizará el paquete de cálculo Mathematica V Es, por tanto, ineludible, la adquisición de una licencia del lenguaje numérico y simbólico. 4. Apoyo logístico (Formación) En este concepto se ampara la formación a impartir a los posibles usuarios de la aplicación a implantar. Se incluye en la formación la entrega de toda la documentación necesaria para el curso de formación. 133

148 5. Incrementos e IVA Se parte de la suma de las partidas (1), (2), (3), y (4) formando el Coste Directo del Proyecto. A este Coste Directo se le aplican los Gastos Generales H13 %L y el Beneficio Industrial H6 %L. La suma de los conceptos de Coste Directo, Gastos Generales y Beneficio Industrial constituyen el Total Importe sin IVA. A este importe se le sumarán los impuestos correspondientes como IVA H16 %L, para la Península y Baleares, IGIC H5 %L para las islas Canarias o IPSI H0 %L para Ceuta y Melilla. Total Proyecto La suma del Total Importe sin IVA más la partida de Incrementos e IVA determinan el importe total del desarrollo, implantación y puesta en servicio del proyecto. 134

149 9.3. Planificación temporal del proyecto En el siguiente diagrama de Gantt de actividades se muestran los hitos y tareas más significativos para el desarrollo y ejecución de este Proyecto Fin de Carrera. Id Nombre de tarea 1 MEMORIA DESCRIPTIVA 2005 sep oct nov dic ene feb mar abr may jun jul 08/10 2 DESARROLLO PFC 3 Punto. Coordenadas cartesianas y polares. 19/11 4 La Recta. 24/12 5 La Circunferencia. 21/01 6 La Parábola. 25/02 7 La Elipse y la Hipérbola. 8 PROBLEMAS GENERALES 01/04 22/04 9 INTERFAZ DE USUARIO 10 DOCUMENTACIÓN FINAL 11 FINALIZACIÓN DEL PFC 20/05 06/06 13/ Costes del proyecto En función de lo explicado en el apartado de técnicas de estimación de costes y de la planificación vista en el apartado anterior se puede proceder a calcular los costes estimados del presente proyecto. El importe total del proyecto asciende a 8.820, 16 (OCHO MIL OCHOCIENTOS VEINTE EUROS CON DIECISÉIS CÉNTIMOS), impuestos incluidos. tabla siguente: El detalle de cada una de las partidas vistas en el apartado anterior, se expresa en la 135

150 APLICACIÓN PARA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA P.1 Ítem Concepto Empresa Unidad (Meses/ Hombre) Coste Unitario Coste Total Total por partidas 1 Especificaciones y Desarrollo del Proyecto a) Especificaciones P P P Especificación de Requisitos y Análisis Funcional Plan de pruebas b) Desarrollo software El Punto, Coordenadas Cartesianas. El Punto, Coordenadas Polares. La Recta. La Circunferencia. La Parábola. La Elipse. La Hipérbola. Jefe de Proyecto Desarrollo Inf , Analista/Programador Desarrollo Inf , , Jefe de Proyecto Desarrollo Inf , Analista/Programador Desarrollo Inf , , Jefe de Proyecto Desarrollo Inf , Analista/Programador Desarrollo Inf , , Subtotal 1 7, Instalación, Pruebas e Integración del Software Pruebas de integración en fábrica P (Entorno de Desarrollo) P Instalación y pruebas de aceptación en las instalaciones del cliente (Entorno de Explotación) Jefe de Proyecto Desarrollo Inf , Analista/Programador Desarrollo Inf , Jefe de Proyecto Desarrollo Inf , Analista/Programador Desarrollo Inf , Subtotal 2 1, P Equipamiento y Licencias Licencia de Mathematica V. 5.2 para Windows AddLink Sw. Científico 1 1, , P Licencia de Windows XP Microsoft Iberica P PC Hewlett Packard 1 1, , Subtotal 3 3, Apoyo Logístico (Formación) P Formación Aplicación Software y documentación (Curso de 4 horas a 2 personas) Desarrollo Inf. 1 1, , Subtotal 4 1, TOTAL COSTE DIRECTO 6, Incrementos e IVA P Gastos Generales Desarrollo Inf. 13% 6, P Beneficio Industrial Desarrollo Inf. 6% 6, TOTAL IMPORTE SIN IVA 7, IVA (Península y Baleares) 16% 7, , TOTAL PROYECTO (EUROS) 8,

151 Bibliografía [EDWA99] Edwards, Bruce H. y Hostetler, Robert P. y Larson, Roland E. Cálculo y Geometría Analítica, Vol. 2 (6ª Ed.). MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Madrid, [KLET86] Kletenik, D. Problemas de Geometría Analítica. Editorial MIR. Moscú, [KRAS03] Krasnov, M.L. Curso de Matemáticas Superiores 1: Geometría Analítica, Álgebra Lineal. Editorial MIR. Moscú, [RIDD97] Riddle, Douglas. Geometría Analítica (6ª Ed.). INTERNATIONAL THOMSON. México, [ROGA98] Rodríguez Gómez, Fco. Javier y García Merayo, Félix. Fundamentos y Aplicaciones con Mathematica. Paraninfo. Madrid, [RUIZ03] Ruiz, Jesús M.. Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Grupo Anaya. Madrid, [SALA02] Salas, Saturnino. Calculus: Una y Varias Variables, Vol. 1 y 2. (4º Ed.). Editorial Reverte. Madrid, [SIMM02] De Simmons, George F. Cálculo y Geometría Analítica (2ª Ed.). MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Madrid, [SULL97] Sullivan, Michael. Trigonometría y Geometría Analítica, 4ª Edición. Prentece Hall. Chicago,

152 [SWOK98] Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Paraninfo. México, [VERA03] Vera López, Antonio y Alegría Ezquerra. Problemas de Geometria Analítica y Formas Bilineales. Editorial AVL. Bilbao, URL s [1] [2] Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/GeomAnalitica_indice.htm [3] 138

153 Aplicación informática Todo el presente Proyecto, como se ha indicado en la introducción, se ha diseñado y desarrollado con el software Mathematica V.5.2 y el paquete gráfico The Super Widget Package (SWP) para la creación de la interfaz de usuario (GUI). En la figura siguiente se puede apreciar el menú general de la interfaz de usuario que permite trabajar y estudiar la Geometría Analítica en 2 D. Interfaz de usuario de la aplicación. Figura 5 El manejo de las diferentes funciones implementadas es extremadamente sencillo, y es suficiente con conocer los elementos geométricos con los que se quiere trabajar. A continuación se presentan varios ejemplos, como son la intersección de dos rectas, la representación de una circunferencia, una hipérbola horizontal con sus asíntotas y una elipse. 139

154 Intersección de dos rectas en el plano. Figura 6 Ecuación de la circunferencia y su representación. Figura 7 140

155 Hipérbola horizontal con sus parámetros y asíntotas. Figura 8 Representación de una elipse y determinación de sus parámetros. Figura 9 141