Apuntes de Teoría Electromagnética

Transcripción

1 FACULTAD DE INGENIERÍA Apuntes de Teoría Electromagnética A. J. Zozaya Ä ÓÖ ØÓÖ Ó Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÑÓ ÔÐ Ó Ä Å µ ÙÐØ ÁÒ Ò Ö ÍÒ Ú Ö Ö Ó Óº Î Ð Ò Ñ ÖÞÓ ¾¼½

2 Índice general 1. Análisis Vectorial Sistemas de coordenadas Transformación de coordenadas Gradiente de un campo escalar Estructura espacial de los campos y su relación con las fuentes que los producen Divergencia de un campo vectorial Integral de flujo Definición de la divergencia de un campo vectorial Teorema de la divergencia Rotacional de un campo vectorial Integral de circulación Definición de rotacional Teorema de Stokes Definición alternativa del rotacional de un campo vectorial Identidades nulas ( V ) = ( J) = Condiciones de borde Teorema de Helmholtz Dominios abiertos Dominios cerrados Problemas propuestos

3 2. Campo Electrostático Ley de Coulomb Campo electrostático Divergencia del campo electrostático Rotacional del campo electrostático Ecuaciones de Maxwell para el campo electrostático Ley de Gauss Utilización de la Ley de Gauss para la resolución del campo eléctrico Potencial electrostático Medios materiales inmersos en un campo electrostático Conductores Dipolo eléctrico Interacción entre un dipolo eléctrico y un campo eléctrico uniforme externo Dieléctricos Energía electrostática Capacitancia Problemas propuestos Problemas con Valores en la Frontera Teorema de la unicidad Problemas con valores en la frontera en una dimensión Problemas con valores en la frontera en dominios rectangulares 2D Teoría de imágenes Problemas propuestos Corriente eléctrica Densidad de corriente Conservación de la carga o continuidad de la corriente Tiempo de expansión o de relajación Resistencia Magnetostática Ley de fuerza de Ampere

4 Campo magnetostático Divergencia del campo magnetostático Vector potencial magnético Rotacional del campo magnetostático Ley circuital de Ampere Medios materiales inmersos en un campo magnetostático Dipolo magnético Imanación o polarización magnética Ley de Ampere en el interior de un medio material Condiciones en la frontera Energía magnética Inductancia Mini-proyectos Mini-proyecto Calculo del rotacional del campo de inducción magnética Procedimiento primero Procedimiento segundo Del campo eléctrico al campo magnético a través de la relatividad especial Ecuaciones de transformación de Lorentz Contracción de Lorentz Dilatación temporal Transformación de velocidades, masas y fuerzas Transformación de velocidades Transformación de la masa Transformación de las fuerzas Transformación de la ley de Coulomb Conclusión Campos variables en el tiempo Ley de inducción de Faraday Conductor que se mueve en un campo magnético

5 Caso general de la inducción Forma diferencial de la ley de inducción de Faraday Corriente de desplazamiento de Maxwell Ecuaciones de Maxwell Potenciales retardados Revisión del concepto de energía magnética Ecuaciones de Maxwell Balance energético instantáneo Teorema de Poynting Condiciones de borde Campos en el espacio ilimitado Ecuaciones de segundo orden Ecuaciones de segundo orden de los potenciales Solución de la Ecuación de D Alembert Problemas Ecuaciones de Maxwell en forma compleja Proceso monocromático Algunas propiedades de los fasores Ecuaciones de Maxwell complejas Propiedades de los medios materiales en el dominio de la frecuencia Problemas Balance energético complejo Problemas Mini-proyecto Ondas planas La onda plana homogénea Y qué del campo H? Onda plana en un medio homogéneo absorbente Onda plana arbitrariamente orientada Velocidad de grupo

6 9.2. Incidencia perpendicular Incidencia perpendicular en el domino de la frecuencia Caso ρ = Caso ρ = Caso 0 < ρ < Incidencia perpendicular en el domino del tiempo Resultados de simulación Leyes de Snell era ley de Snell da. ley de Snell Estudios de casos Fórmulas de Fresnel Introducción Polarización perpendicular Polarización paralela Angulo de Brewster Reflexión total Mini-proyectos Mini-proyecto Mini-proyecto El código FDTD en MATLAB R Principios de radiación Expresión exacta de los campos Expresión exacta del campo H Expresión exacta del campo E Estudio de los campos de radiación Estructura de los campos de radiación Vector de radiación Condición de no radiación Características básicas de las antenas Zona lejana

7 Patrón de radiación Apertura de haz y nivel de lóbulos secundarios Polarización Directividad Impedancia de entrada de la antena Ganancia de potencia de la antena Eficiencia de la Antena Área efectiva de la antena Ecuación de Friis Problemas Ondas Guíadas Planteamiento del problema ideal Clasificación de las soluciones Ondas TEM Ondas TE o H Ondas TM o E Solución Estimación de la solución del problema real Atenuación Cálculo de la atenuación α C por pérdidas en el conductor Cálculo de la atenuación α D por pérdidas en el dieléctrico Resumen de fórmulas Cable coaxial Onda de voltaje Onda de corriente Impedancia característica Atenuación del cable coaxial Guía de onda rectangular Condición de propagación Frecuencia de corte Modo dominante

8 11.6. Guía de onda circular Ondas TE Ondas TM Modo dominante Relación entre J s y J

9 Prefacio Estos Apuntes de Teoría Electromagnética son el resultado de mi experiencia como profesor de las cátedras de Teoría Electromagnética I y II de los currículos de Ingeniería Eléctrica e Ingeniería en Telecomunicaciones de la Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela, desde 1994 hasta la fecha de hoy. Recogen los principales conceptos y formulaciones matemáticas desarrollados en clase y constituyen un importante material de apoyo en el estudio concienzudo de las asignaturas Teoría Electromagnética I y II mencionadas. Con todo, como siempre hemos recomendado los libros clásicos del área como las mejores fuentes del conocimiento, estos apuntes han de servir de acompañamiento en el proceso de aprendizaje del estudiante. Este libro consta de 11 capítulos. En el primer capítulo se hace una revisión de los conceptos principales del Análisis Vectorial, el cual constituye un elegante cuerpo de las matemáticas apropiadamente natural para describir el electromagnetismo. En los siguientes 6 capítulos (capítulos del 2 al 7) se desarrollan, siguiendo el método inductivo, yendo de lo particular a lo general, los conceptos de campo electrostático, problemas con valores en la frontera, corriente eléctrica, magnetostática, del campo eléctrico al magnético a través de la relatividad especial y campos variables en el tiempo. El Capítulo 8 está dedicado a las Ecuaciones de Maxwell y a su solución en el dominio de la frecuencia. En los capítulos subsiguientes (capítulos del 9 al 11) se sigue un método deductivo y se desarrollan algunas aplicaciones de las Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia, a saber: ondas planas, principios de radiación y ondas guiadas. A. J. Zozaya 9

10 Capítulo 1 Análisis Vectorial 1.1. Sistemas de coordenadas Sean x, y y z una terna de variables que denotan distancia, cada una medida sobre uno de tres ejes mutuamente ortogonales, los cuales se interceptan en un origen O (ver Fig. 1.1). Estas distancias rectangulares bien podrían expresarse en función de otras cantidades geométricas como, por ejemplo, ángulos acimutales, ángulos polares, distancias axiales, distancias radiales, etc.. Desígnense con u 1, u 2 y u 3 los miembros de cualesquiera de las ternas de parámetros geométricos que decidieran usarse y denomínense variables coordenadas. En general se podrá escribir: x = x(u 1, u 2, u 3 ) (1.1a) y = y(u 1, u 2, u 3 ) (1.1b) z = z(u 1, u 2, u 3 ) (1.1c) ÙÖ ½º½ Î Ö Ò Ö Ð ÙÖÚ ÓÓÖ Ò x y Ý z Ý u 1 u 2 Ý u 3 Y, también, las variables u 1, u 2 y u 3 podrán ser resueltas 10

11 de las Ecs. (1.1) en función de x, y y z : u 1 = u 1 (x, y, z) (1.2a) u 2 = u 2 (x, y, z) (1.2b) u 3 = u 3 (x, y, z) (1.2c) La igualación de la Ecuaciones (1.2) a sendas constantes, i.e. u 1 = c 1, u 2 = c 2 y u 3 = c 3, da lugar a tres superficies, denominadas superficies coordenadas, cuya intersección define un punto en el espacio, y la tripleta de valores concretos (c 1, c 2, c 3 ) constituyen las coordenadas de dicho punto. Para nosotros tienen interés solo las familias de superficies u 1 = c 1, u 2 = c 2 y u 3 = c 3 mutuamente ortogonales en todos los puntos del espacio. La familia de variables coordenadas {u 1, u 2, u 3 }, así definidas, forman el sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales generalizadas. Cada coordenada curvilínea generalizada, u 1,2,3, la cual, como se ha sugerido previamente, bien puede representar un ángulo, o bien una distancia, se ha de medir sobre una curva coordenada ver Fig La curva coordenada u i, que pasa por el punto (c 1, c 2, c 3 ), se obtiene de la intersección de las superficies coordenadas u j = c j y u k = c k, con i j k {1, 2, 3}. ÙÖ ½º¾ Ø ÐÐ Ð ÙÖÚ ÓÓÖ¹ Ò u 1 Sea r(u 1 ) el vector de posición del punto (c 1, c 2, c 3 ). Al movernos sobre la curva u 1, hasta experimentar un incremento u 1 ver Fig. 1.2, el vector de posición del punto de llegada será r(u 1 + u 1 ). El vector diferencia, a su vez, será: r = r(u 1 + u 1 ) r(u 1 ). Al tomar el límite r(u 1 + u 1 ) r(u 1 ) lím = r u 1 0 u 1 u 1 se obtiene un vector tangente a la curva coordenada u 1, perpendicular a la superficie coordenada u 1 = c 1 y que apunta en la dirección de crecimiento de la variable coordenada u 1. Un vector más apropiado, el cual conserva toda la información anterior, se obtiene normalizando r u 1 de su módulo a 1 = 11 r u 1 r u 1 respecto

12 siendo a 1, evidentemente, unitario. De manera similar se pueden obtener los vectores a 2 y a 3 : a 2 = r u 2 r u 2 a 3 = r u 3 r u 3 Los vectores unitarios {a 1, a 2, a 3 } constituyen una base vectorial. Se conviene en escribir: r u i = h i a i, con i 1, 2, 3 y donde h i = r u i se conoce como factor de escala. Facilmente se comprueba que un desplazamiento diferencial du i, con i 1, 2, 3, a lo largo de la curva coordenada u i, comporta un desplazamiento de longitud par a r dui u i, y de aquí la denominación de factor de escala de h i = r. u i De esta manera, un desplazamiento espacial, ejecutado a partir de un incremento infinitesimal de las variables coordenadas, e.g. yendo de P (u 1, u 2, u 3 ) a P (u 1 + du 1, u 2 + du 2, u 3 + du 3 ), define un diferencial de camino o elemento de camino: 3 dl = r du i a i i=1 u i = h 1 du 1 a 1 + h 2 du 2 a 2 + h 3 du 3 a 3 La unión de las seis superficies coordenadas que definen los puntos P (u 1, u 2, u 3 ) y P (u 1 + du 1, u 2 + du 2, u 3 + du 3 ) conforman, debido al caracter infinetisimal de los incrementos de las variables coordenadas, un cubo, el cual ocupa un diferencial de volumen, o elemento de volumen, dν, par a dν = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3. Las caras de este cubo infinitesimal, a su vez, constituyen diferenciales de superficie, o elementos de superficie, que si se asumen de caracter vectorial tendrían una de las seis formas siguientes: ds ± h 3 h 2 du 3 du 2 a 1, ds ± h 1 h 3 du 1 du 3 a 2 o ds ± h 1 h 2 du 1 du 2 a 3. En este curso tendremos que ver, principalmente, con los sistemas de coordenadas Cartesianas, cilíndricas y esféricas. Una revisión apropiada de estos sistemas de coordenadas se puede realizar con base en los conceptos desarrollados previamente relativos al sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales generalizadas. En efecto, al identificar los parámetros geométricos que sirven de base para la definición de la tripleta de superficies coordenadas correspondientes, mediante la particularización de la Ecs. (1.2), las definiciones de la base vectorial, los factores de escala, el elemento de longitud, los diferenciales de superficie y el diferencial de volumen, siguen de manera natural. En el Cuadro 1.1 se muestran los elementos de interés de los sistemas de coordenadas curvilíneas generalizadas, Cartesianas, cilíndricas y esféricas, respectivamente. 12

13 Ù ÖÓ ½º½ Ð Ñ ÒØÓ ÒØ Ö ÐÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÙÖÚ Ð Ò Ò Ö Ð Þ ÖØ ¹ Ò Ð Ò Ö Ý Ö º generalizadas Cartesianas cilíndricas esféricas variables coordenadas u 1, u 2, u 3 x, y, z ρ, ϕ, z r, θ, ϕ base vectorial a 1, a 2, a 3 a x, a y, a z a ρ, a ϕ, a z a r, a θ, a ϕ factores escala elemento longitud de de elementos de superficie elemento volumen de h 1, h 2, h 3 1, 1, 1 1, ρ, 1 1, r, r sin θ h 1 du 1 a 1 + h 2 du 2 a 2 + h 3 du 3 a 3 h 1 h 2 du 1 du 2, h 1 h 3 du 1 du 3, h 2 h 3 du 2 du 3 dxa x + dρa ρ + dya y + dza z ρdϕa ϕ +dza z dxdy, dxdz, dydz ρdρdϕ, ρdϕdz, dρdz dra r + rdθa θ + r sin θdϕa ϕ rdrdθ, r sin θdrdϕ, r 2 sin θdθdϕ h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 dxdydz ρdρdϕdz r 2 sin θdrdθdϕ Transformación de coordenadas Dado un vector A, expresado en un sistema de coordenadas determinado (sistema de coordenadas de origen SCO ), su expresión en otro sistema de coordenadas (sistema de coordenadas de destino SCD ) se puede hallar mediante una transformación que comprende dos procedimientos: la transformación de las variables coordenadas y la transformación de la base vectorial. Transformación de las variables. La transformación de las variables coordenadas se realiza a partir de las relaciones geométricas contenidas en las Ecs. (1.2) y (1.1), las cuales son, precisamente, ecuaciones de transformación de coordenadas. Estas relaciones, para el conjunto de coordenadas Cartesianas, cilíndricas y esféricas, se muestran en el Cuadro

14 Ù ÖÓ ½º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò ÓÓÖ Ò º Cilíndricas Esféricas a Cartesianas ρ = x 2 + y 2 ϕ = arctan ( ) y x z = z r = x 2 + y 2 + z ( 2 ) x θ = arctan 2 +y 2 z ϕ = arctan ( ) y x desde Cartesianas x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ Ù ÖÓ ½º ÈÖÓÝ ÓÒ ÑÙØÙ Ð Ú ØÓÖ Ð ÐÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ý Ð Ò Ö º En coordenadas cilíndricas En coordenadas Cartesianas a ρ a ϕ a z a ρ a ϕ a z a x cos ϕ sin ϕ 0 x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 0 a y sin ϕ cos ϕ 0 y x 2 +y 2 x 0 x 2 +y 2 a z Transformación de la base vectorial Para la transformación de la base vectorial es necesario hallar las proyecciones del vector dado en cada una de las direcciones de la base vectorial del SCD. En los cuadros 1.3 y 1.4 se resumen estas proyecciones. La conversión del sistema de coordenadas en el que se expresa un vector dado se puede realizar mediante alguna de las siguientes operaciones expresadas matricialmente. 14

15 Ù ÖÓ ½º ÈÖÓÝ ÓÒ ÑÙØÙ Ð Ú ØÓÖ Ð ÐÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ý Ö º En coordenadas esféricas En coordenadas Cartesianas a r a θ a ϕ a r a θ a ϕ a x sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin ϕ x x 2 +y 2 +z 2 xz a y sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ a z cos θ sin θ 0 z x 2 +y 2 +z x y 2 2 +y 2 x 2 +y 2 y yz x x 2 +y 2 +z x 2 2 +y 2 +z x 2 2 +y 2 x 2 +y 2 x x 2 +y y 2 +z x 2 2 +y 2 +z 2 De cilíndricas a Cartesianas A x A y A z = x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 0 y x 2 +y 2 x 0 x 2 +y A ρ (x, y, z) A ϕ (x, y, z) A z (x, y, z) (1.3) De Cartesianas a cilíndricas A ρ A ϕ A z = cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ A x (ρ, ϕ, z) A y (ρ, ϕ, z) A z (ρ, ϕ, z) (1.4) De esféricas a Cartesianas A x A y A z = x x 2 +y 2 +z 2 xz x 2 +y 2 +z x y 2 2 +y 2 x 2 +y 2 y yz x x 2 +y 2 +z x 2 +y 2 +z x 2 2 +y 2 x 2 +y 2 z x x +y x y 2 +z 2 2 +y 2 +z 2 A r (x, y, z) A θ (x, y, z) A ϕ (x, y, z) (1.5) 15

16 De Cartesianas a esféricas A r A θ A ϕ = sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ sin ϕ cos ϕ 0 A x (r, θ, ϕ) A y (r, θ, ϕ) A z (r, θ, ϕ) (1.6) 1.2. Gradiente de un campo escalar Dada una función escalar f = f(u 1, u 2, u 3 ) de buen comportamiento (continua y derivable), la ecuación: f(u 1, u 2, u 3 ) = V (1.7) define en el espacio una superficie como se muestra en la Fig Ubicados en un punto p sobre dicha superficie al realizar un desplazamiento diferencial ver Fig. 1.3(a) : terminamos sobre una nueva superficie definida por: dl = h 1 du 1 a 1 + h 2 du 2 a 2 + h 3 du 3 a 3 (1.8) f(u 1, u 2, u 3 ) = V + df (1.9) Se observa que al desplazarnos desde el punto p una distancia infinitesimal dl, la función f experimenta un variación igualmente infinitesimal df, cuya expresión matemática viene dada por: df = f du 1 + f du 2 + f du 3 (1.10) u 1 u 2 u 3 Facilmente se comprueba que la variación df se puede factorizar de la forma: ( df = a 1 + a 2 + ) a 3 f h 1 du 1 a 1 + h 2 du 2 a 2 + h 3 du 3 a 3 (1.11) h 1 u 1 h 2 u 2 h 3 u 3 }{{}}{{} dl f El campo vectorial: f = ( h 1 u 1 a 1 + se denomina gradiente de la función escalar f. Veamos que sentido físico tiene. Al poner: h 2 u 2 a 2 + ) a 3 f (1.12) h 3 u 3 df = f dl = f dl cos α (1.13) 16

17 µ µ ÙÖ ½º ËÙÔ Ö Ó Ð Ö Ð ÑÔÓ f = f(u 1, u 2, u 3 ) ÙØ Ð Þ Ô Ö Ð ÐÙ ØÖ Ò Ð ÓÒ ÔØÓ Ö ÒØ º µ Ð ÔÐ Þ ÖÒÓ ÙÒ Ö Ò Ð Ñ ÒÓ Ù Ö Ð ÙÔ Ö f = V Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ó Ö ÙÒ ÒÙ Ú ÙÔ Ö Ó Ð Ö f = V + df Ò Ð Ù Ð Ð ÙÒ Ò Ð Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÒÖ Ñ ÒØÓ Ö Ò Ð f = f u 1 u 1 + f u 2 u 2 + f u 3 u 3 º µ Ð ÔÐ Þ ÖÒÓ ÙÒ Ö Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØÖÓ Ð Ñ Ñ ÙÔ Ö f = V Ð ÙÒ Ò Ð Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÒÖ Ñ ÒØÓ Ö Ò Ð ÒÙÐÓ f = 0º Reconocemos, en primer lugar, que df se maximiza para α = 0, por lo que: f = df MAX dl (1.14) y comprobamos que el módulo del gradiente de una función escalar es igual a la máxima razón de cambio espacial de dicha función en el punto donde se evalúa dicho gradiente. Si ahora imponemos que el desplazamiento espacial dl nos conduzca a un punto en la misma superficie f = V ver Fig. 1.3(b), será: df = 0. Ya que f 0 y dl 0, sigue que cos α = 0, y por tanto α = 90. Se puede deducir entonces que la dirección del gradiente coincide con la del vector unitario a n normal a la superficie f = V y apunta hacia la dirección en la que la razón de cambio de f por unidad de longitud es máxima. La expresión ( h 1 u 1 a 1 + h 2 u 2 a 2 + ) a 3 h 3 u 3 (1.15) es un operador diferencial vectorial (nabla) que nos permite definir en modo operativo el gradiente de un campo escalar para cualquier sistema de coordenadas. 17

18 Ù ÖÓ ½º Ð Ö ÒØ f ÜÔÖ Ó Ò Ö ÒØ Ø Ñ ÓÓÖ Ò º Sist. de coordenadas f Cartesianas f x a x + f y a y + f z a z Cilíndricas f a ρ ρ + 1 f a ρ ϕ ϕ + f z a z Esféricas f a r r + 1 f a r θ θ + 1 f a r sin θ ϕ ϕ 1.3. Estructura espacial de los campos y su relación con las fuentes que los producen Los campos físicos son producidos, en general, o por fuentes de naturaleza escalar, o por fuentes de naturaleza vectorial: 1. Los campos que son producidos por fuentes escalares convergen hacia, o emergen desde, éstas, según la «polaridad» de las fuentes, por lo que sus líneas de fuerza son abiertas: nacen en fuentes escalares positivas y terminan en fuentes escalares negativas. Claro está que cuando se tienen fuentes de una sola polaridad, el inicio de las líneas de fuerza, o el final, se deberá ubicar en el infinto. El caracter divergente (o convergente, como diría el propio Maxwell) de estos campos se evidencia analíticamente al presentar una derivada longitudinal no nula, e.g. el campo F i = xa x es un campo divergente. Estos campos se denominan campos irrotacionales, porque no rotan. 2. Por otro lado, los campos que son producidos por fuentes vectoriales rotan, o circulan, transversalmente alrededor de las fuentes, por lo que sus líneas de fuerza son cerradas: no tienen ni principio ni fin. El caracter circulante de estos campos se evidencia analíticamente al presentar al menos una derivada transversal no nula, e.g. el campo F s = ya x es un campo circulante. Estos campos se denominan campos solenoidales, porque rotan. Ya que existe una estrecha relación entre la naturaleza de las fuentes y la estructura de los 18

19 campos, tiene sentido estudiar formalmente la relación espacial entre fuentes y campos, asunto que abordaremos de seguido mediante la definición de la divergencia y el rotacional de un campo vectorial. Más adelante, concluiremos nuestro repaso enunciando el teorema de Helmholtz, completando los principios formales que servirán de base para el estudio de los campos eléctrico, magnético y electromagnético Divergencia de un campo vectorial La densidad de fuentes escalares de un campo vectorial se denomina divergencia del campo. Como la cantidad de fuentes escalares de un campo contenidas en un volumen genérico se mide mediante una integral de flujo, el flujo y la divergencia están estrechamente relacionados, siendo la primera una cantidad global y la segunda una cantidad puntual. De seguido se desarrollan más amplia y formalmente estos conceptos Integral de flujo Se conviene en admitir que el flujo de un campo a través de una superficie cerrada mide la cantidad de fuentes escalares de este campo contenidas en el interior de tal superficie. Dado un campo vectorial A = A(r), se define: Φ A S( V ) = S( V ) A ds fuentes escalares de Acontenidas en V donde la integral Φ A S = S A ds se lee como el flujo del campo A a través de S. Si Φ A S( V ) > 0, entendemos que las líneas de fuerza de A atraviesan la superficie S en promedio desde el interior hacia el exterior de V, como divergiendo desde el interior de V, y decimos que en el volumen V se localizan fuentes escalares positivas o manantiales del campo A. Si Φ A S( V ) < 0, las líneas de fuerza de A atraviesan en promedio la superficie S desde el exterior hacia el interior de V, como convergiendo hacia el interior de V, y decimos que en el volumen V se localizan fuentes escalares negativas o sumideros del campo A. Y si Φ A S( V ) = 0 interpretaremos que las líneas de fuerza de A atraviesan la superficie S en ambos sentidos en igual proporción (las líneas que salen de V igualan a las que entran), y decimos que no se localizan fuentes escalares de A en el interior de V. 19

20 Ejemplo Se desea calcular el flujo del campo F i = a ρ ρ se muestran en la Fig a través de las superficies S 1 y S 2 que µ µ ÙÖ ½º ËÙÔ Ö Ô Ö Ð ÐÙÐÓ Ð Ù Ó Ð ÑÔÓ F i = a ρ ρ º Solución Facílmente se comprueba que S 1 F i ds = 2πh y S 2 F i ds = 0, lo cual quiere decir que la superficie S 1 contiene en su interior 2πh fuentes escalares del campo F i, mientras que en el interior de S 2 no se localizan fuentes escalares de dicho campo Definición de la divergencia de un campo vectorial Definimos ahora la divergencia del campo vectorial A en un punto dado, la cual se escribe abreviadamente A, como la densidad de fuentes escalares de A por unidad de volumen en dicho punto: O equivalentemente: fuentes escalares de A A = lím V 0 V 1 A = lím V 0 V S A ds (1.16) donde la superficie S de integración es la superficie que encierra el volumen V en cuyo interior se encuentra el punto donde se desea calcular la divergencia de A. La ecuación (1.16) se lee: la divergencia de un campo vectorial A en un punto dado se obtiene tomando un pequeño volumen que contenga el punto, calculando el flujo de A a través de la 20

21 superficie que encierra dicho volumen( 1 ), y dividiendo el flujo entre el volumen en la medida que este se reduce a dimensiones infinitesimales. La cantidad que se obtiene (la divergencia) es escalar y tiene dimensiones de una densidad volumétrica de flujo o de fuentes escalares. ÙÖ ½º ÎÓÐÙÑ Ò ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ P ÓÒ Ð¹ ÙÐ Ö Aº Para calcular la divergencia de A en un punto genérico P, de coordenadas u 1, u 2 y u 3, se toma un pequeño volumen cúbico incremental V de aristas h 1 u 1, h 2 u 2 y h 3 u 3, con uno de sus vértices apoyado sobre P ver Fig. 1.5, y se calcula el flujo de A a través de las seis caras del cubo [1]. Tomaremos dos de estas caras, tales que estas sean opuestas, e.g. las caras abcd y mnop, y evaluaremos los respectivos flujos, y luego, por analogía, escribiremos los flujos a través de las caras restantes. Asumiendo que los incrementos u 2 y u 3 son suficientemente pequeños, de tal suerte que A 1, h 2 y h 3, cuyos valores se toman en p, se pueden asumir uniformes en toda la cara mnop se podrá escribir: mnop A ds A(en p) ( a 1 )(área de la cara mnop) A 1 h 2 h 3 u 2 u 3 (1.17) El flujo de A a través de la cara abcd, asumiendo que A sea continuo y posea derivadas de cualquier orden en el interior de V y sobre S( V ), se puede aproximar a partir del valor de su flujo a través de la cara mnop mediante la expansión en serie de Taylor abcd A ds = mnop A ds+ u 1 ( mnop A ds) u 1+T.O.S., donde los términos de orden superior, que contienen potencias del incremento u 1 ( u n 1 ), con n 2, se pueden despreciar en virtud del proceso de límite. De esta forma: abcd A ds A 1 h 2 h 3 u 2 u 3 + u 1 (A 1 h 2 h 3 u 2 u 3 ) u 1 A 1 h 2 h 3 u 2 u 3 + u 1 (A 1 h 2 h 3 ) u 1 u 2 u 3 (1.18) Estos flujos parciales hacen una contribución al flujo total par a mnop A ds + abcd A ds u 1 (A 1 h 2 h 3 ) u 1 u 2 u 3 1 Tomando la normal en cada punto de la superficie que apunta hacia el exterior del volumen considerado 21

22 Calculando los flujos parciales a través de las caras restantes de manera análoga y sumándolos todos, se obtiene el flujo total. Al dividir éste entre el volumen incremental V = h 1 h 2 h 3 u 1 u 2 u 3, y ejecutar el límite para V que tiende a cero se obtiene: 1 A = h 1, h 2, h 3 [ (A 1 h 2 h 3 ) + (A 2 h 1 h 3 ) + ] (A 3 h 2 h 1 ) u 1 u 2 u 3 (1.19) Al especializar la ecuación (1.19) para cada sistema de coordenadas se obtienen las expresiones que se presentan en el cuadro 1.6. Ù ÖÓ ½º Ä Ú Ö Ò A ÜÔÖ Ò Ö ÒØ Ø Ñ ÓÓÖ Ò º Sistema de coordenadas Cartesianas Cilíndricas Esféricas A x A x + y A y + z A z 1 ρ ρ (ρa ρ) + 1 ρ ϕ A ϕ + z A z 1 r 2 r (r2 A r ) + 1 r sin θ θ (sin θa θ) + 1 r sin θ ϕ (A ϕ) Teorema de la divergencia Dado el campo A y la superficie cerrada S, la cual define un volumen V ver figura 1.6(a), siendo el campo A de buen comportamiento tanto en S como en V, se puede demostrar que: V A dν = S(V ) A ds (1.20) Para ello dividimos el volumen V en N volúmenes incrementales ν i ver figura 1.6(a). En el punto central del volumen ν i tenemos: A i = lím ν i 0 1 ν i 22 S i ( ν i ) A ds (1.21)

23 µ µ ÙÖ ½º µ ËÙÔ Ö ÖÖ Ô Ö Ð ÐÙ ØÖ Ò Ð Ì ÓÖ Ñ Ä Ú Ö Ò Ý µ Ø ÐÐ Ó ÚÓÐ Ñ Ò ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒØ ÙÓ º Si los volúmenes incrementales se toman lo suficientemente pequeños como para considerar la divergencia del campo A aproximadamente constante en todo ν i, se podrá escribir: A i 1 A ds ν i S i A i ν i A ds S i (1.22) aproximación que mejora en la medida que ν i tiende a cero, en cuyo caso N tendería a infinito. Si los N términos de los tipos A i ν i y S i A ds que pueden ser definidos en el interior de S se suman respectivamente, se obtiene: N N A i ν i A ds (1.23) i=1 i=1 S i Al tomar el limite para ν i 0 (N ), la aproximación desaparece dando lugar a una igualdad: N N lím A i ν i = lím A ds (1.24) ν i 0 ν i=1 i 0 i=1 S i En particular, para el término de la izquierda, tendremos: lím ν i 0 N lím ν i 0 N N = i=1 V ν i = dν 23

24 y N lím A i ν i = A dν (1.25) ν i 0 i=1 V Para resolver el límite del miembro de la derecha de la ecuación (1.24), nos basaremos en el hecho de que en el computo de flujo de A a través de dos superficies que encierran dos volúmenes incrementales contiguos, dígase ν i y ν i+1 ver figura 1.6(b), las aportaciones de flujo correspondientes a la cara común de ambas superficies contiguas, calculadas en un sentido en un caso y en sentido opuesto en el otro, se anulan mutuamente. Por esta razón, la suma de los N flujos del tipo S i A ds convergirá, para N, a la suma de los flujos de A a través de las caras no compartidas de las S i, la cual coincide con el flujo de A a través de la superficie exterior S. Esto es: lím ν i 0 N N A ds = S i i=1 S(V ) A ds (1.26) Juntando los los resultados (1.25) y (1.26), obtenemos el denominado Teorema de la Divergencia: V A dν = S(V ) A ds (1.27) Comprobación del Teorema de la Divergencia en volúmenes que contienen puntos singulares del campo Al intentar comprobar, por ejemplo, el Teorema de la Divergencia para el campo A = a r /r 2, en un volumen esférico centrado en el origen, facilmente podemos incurrir en el error de escribir: y concluir que V (S) V (S) S A ds = 4π A dν = 0 A dν S A ds ya que la aplicación (errónea) de la Ec. (1.19) especializada para el caso de coordenadas esféricas ver Cuadro 1.6 arroja: a r /r 2 = 0. El error está en que este resultado solo es válido para todos los puntos fuera del origen, donde el campo presenta una singularidad y la propia fórmula no tiene validez. 24

25 ÙÖ ½º ÎÓÐÙÑ Ò V ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ð Ñ¹ ÔÓ Aº V A dν en dos partes: En general, si en el volumen V dado para la comprobación del Teorema de la Divergencia se encuentran puntos singulares del campo como r s en la Fig. 1.7, en tales puntos se deberá proceder a estimar la Divergencia utilizando su definición dada mediante la Ec. (1.16). El cómputo de la Divergencia en los puntos restantes, en cambio, se podrá realizar utilizando directamente la fórmula dada en la Ec. (1.19). Para ello se debe proceder a «aislar» la singularidad, lo cual consiste en tomar un pequeño volumen V σ, con centro en el punto singular, y dividir la integral V A dν = A dν + V V σ A dν V σ donde la Divergencia del campo en la integral de volumen sobre V (s) V σ se puede calcular mediante la fórmula de la Ec. (1.19), mientras que la integral de volumen sobre V σ se ha de calcular mediante la definición Ec. (1.16) : A dν = V V σ A dν = V σ V σ [ (A1 h 2 h 3 ) + (A 2h 1 h 3 ) + (A ] 3h 1 h 2 ) h 1 h 2 h 3 u 1 u 2 u 3 ) 1 A ds dν S σ 1 V V σ ( lím V σ 0 V σ dν y si se conviene que la divergencia del campo A ha de converger en V σ, se la puede factorizar de la integral de volumen, resultando: V σ ( ) 1 lím A ds V σ 0 V σ S σ ( 1 ) dν = lím A ds dν Vσ 0 V σ S σ V σ = A ds (1.28) lím Vσ 0 S σ Según la Ec. (1.28), para comprobar el Teorema de la Divergencia en un volumen en cuyo interior se localiza un punto singular del campo, una porción infinitamente pequeña de la integral de volumen es reconvertida en una integral de flujo. Dicha porción de volumen debe contener en su interior el punto de singularidad del campo. 25

26 Utilización el Teorema de la Divergencia para la estimación de la Divergencia en puntos singulares del campo Si en el interior de cierto volumen V, encerrado por una superficie S, se encuentra un punto singular r s de cierto campo A, como se ilustra en la Fig. 1.7, y se comprueba que S A ds 0 y que fuera del mencionado punto la Divergencia del campo es nula, entonces en el punto de singularidad estarán apiñadas todas las fuentes del campo atrapadas por S y la Divergencia del campo valdrá: ( A r s = S ) A ds δ(r r s ) Ejemplo Dado el campo A = a r r 2 calcule la divergencia de A usando el teorema de la Divergencia y tomando en cuenta la definición del delta de Dirac: 0, para x = 0; δ(x) = 0, para x 0. y además: δ(x) dx = 1 Solución Para r 0 se puede aplicar la Fórmula (1.19) y se obtiene que (a r /r 2 ) = 0, lo cual implica que no existen fuentes escalares del campo fuera del origen. Para r = 0 la divergencia del campo, en cambio, ya no se puede calcular mediante la misma fórmula. Tomando, sin embargo, una superficie cerrada cualquiera que contenga en su interior el punto singular del campo (el origen), facilmente se comprueba que S A ds = 4π. Como ha quedado descartada la existencia de fuentes escalares del campo fuera del origen, las fuentes que producen el campo están todas acumuladas en el origen, y su densidad volumétrica allí debe ser, en virtud del Teorema de la Divergencia y de la definición de la distribución delta de Dirac, de la forma: (a r /r 2 ) = 4πδ(x)δ(y)δ(z). 26

27 1.5. Rotacional de un campo vectorial La densidad de fuentes vectoriales por unidad de superficie transversal de un campo vectorial se denomina rotacional del campo. Como la cantidad de fuentes vectoriales de un campo que atraviezan cierta superficie abierta se mide mediante una integral de circulación, la circulación y el rotacional están estrechamente relacionados, siendo la primera una cantidad global y la segunda una cantidad puntual. De seguido se desarrollan más amplia y formalmente estos conceptos Integral de circulación Se conviene en admitir que la circulación de un campo a través de un camino cerrado mide la cantidad de fuentes vectoriales de este campo, en la dirección transversal del camino, enlazadas por el contorno. Dado un campo vectorial A = A(r), se define: C A Γ( S) = Γ( S) A dl fuentes vectoriales de Aenlazadas por Γ donde la integral CΓ A = Γ A dl se lee como la circulación del campo A a lo largo de Γ. Establecido un sentido de recorrido para la curva cerrada Γ, si CΓ( S) A > 0, entendemos que las líneas de fuerza de A se proyectan en promedio positivamente sobre la tangente de la curva Γ, como circulando en el mismo sentido de recorrido prefijado de la curva Γ, y decimos que Γ enlaza fuentes vectoriales del campo A, cuya orientación en el espacio forma un sistema derecho con el sentido de recorrido de la curva Γ. Si CΓ( S) A < 0, las líneas de fuerza de A se proyectan en promedio negativamente sobre la tangente de la curva Γ, como circulando en sentido contrario al sentido de recorrido prefijado de la curva Γ, y decimos que Γ enlaza fuentes vectoriales del campo A, cuya orientación en el espacio forma un sistema izquierdo con el sentido de recorrido de la curva Γ. Y si CΓ( S) A = 0 interpretaremos que las líneas de fuerza de A no «circulan» a lo largo de Γ, y decimos que Γ no enlaza ninguna fuente vectorial de A. Ejemplo Se desea calcular la circulación del campo F s = a ϕ a través de los caminos Γ ρ 1 y Γ 2 que se muestran en la Fig

28 µ µ ÙÖ ½º Ñ ÒÓ ÖÖ Ó ÓÒ Ù ÒØ Ó Ö ÓÖÖ Ó Ô Ö Ð ÐÙÐÓ Ð ÖÙÐ Ò Ð ÑÔÓ F s = a ϕ ρ º Solución Facílmente se comprueba que Γ 1 F s dl = 2π y Γ 2 F s dl = 0, lo cual quiere decir que el camino cerrado Γ 1 enlaza 2π fuentes vectoriales en la dirección de a z del campo F s, mientras que el camino Γ 2 no enlaza fuentes vectoriales de dicho campo en la dirección de a x Definición de rotacional Definimos ahora la componente n-ésima del rotacional del campo vectorial A en un punto dado, en cierta dirección a n arbitraria, la cual se escribe abreviadamente ( A) n, como la densidad de fuentes vectoriales de A en la dirección a n por unidad de superficie transversal en dicho punto: O en modo equivalente: (fuentes vectoriales de A) n ( A) n = lím S 0 S 1 ( A) n = lím A dl (1.29) S 0 S Γ donde el camino Γ de integración es el contorno de la superficie S donde se encuentra el punto donde se desea calcular el rotacional de A y cuya normal coincide con la dirección de la componente del rotacional. La ecuación (1.29) se lee: la componente del rotacional de un campo vectorial A en un punto dado en una dirección arbitraria a n se obtiene tomando una pequeña 28

29 superficie que contenga el punto y ortogonal a dicha dirección, calculando la integral de linea de A a lo largo del contorno de dicha superficie (la circulación) ( 2 ), y dividiendo esta circulación entre la superficie en la medida que ésta se hace disminuir hasta dimensiones infinitesimales. La cantidad que se obtiene (la componente del rotacional en la dirección normal a la superficie) tiene dimensiones de una densidad superficial de circulación o de fuentes vectoriales. ÙÖ ½º ËÙÔ Ö Ö Ò Ð ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ ÓÒ Ð¹ ÙÐ Ö Ð ( A) 1 = A a 1 º Para obtener el rotacional de A se deben calcular las componentes de éste según las tres direcciones bases de un sistema de coordenadas dado. En coordenadas curvilíneas generalizadas será: A = ( A) 1 a 1 +( A) 2 a 2 +( A) 3 a 3 (1.30) Para calcular la componente ( A) 1 del rotacional en un punto genérico p(u 1, u 2, u 3 ) se toma una superficie incremental S 1 con centro en el punto p, o con p como uno de sus vértices ver Fig. 7.3(b), y se calcula la circulación C A Γ 1 contorno Γ 1 de dicha superficie. donde Con relación a la Figura 7.3(b) se tiene: ( 1 ( A) 1 A dl + h 2 h 3 u 2 u 3 pl pl ln A dl + nm A dl + A dl A(en p) a 2 (longitud del tramo pl) del campo a lo largo del mp ) A dl (1.31) A 2 (h 2 u 2 ) (1.32) El cáculo de mn A dl se puede calcular a partir del resultado dado por la Ec. (1.32), asumiendo que el campo A sea de buen comportamiento (continuo y derivable), tanto en S como en Γ, mediante el desarrollo en serie de Taylor mn A dl = pl A dl+ u 3 ( pl A dl) u 3 + T.O.S., donde los términos de orden superior contienen potencias del incremento u 3 ( u n 3), con n 2, los cuales se pueden despreciar en virtud del proceso de límite. De esta forma: mn A dl A 2 h 2 u 2 + u 3 (A 2 h 2 u 2 ) u 3 2 La dirección de circulación debe cumplir la regla de la mano derecho respecto a la normal a la superficie en la dirección en la que se desea calcular la componente del rotacional 29

30 y Por otro lado: mp nm A dl A 2 h 2 u 2 u 3 (A 2 h 2 ) u 2 u 3 (1.33) A dl A(en p) ( a 3 )(longitud del tramo np) A 3 h 3 u 3 (1.34) Finalmente, para el cálculo de nl A dl se puede proceder de manera similar a como se procedió con mn A dl: y nl A dl A 3 h 3 u 3 u 2 (A 3 h 3 u 3 ) u 2 ln A dl A 3 h 3 u 3 + u 2 (A 3 h 3 ) u 3 u 2 (1.35) Al sustituir las Ecs. (1.32), (1.33), (1.34) y (1.35) en la Ec. (1.31), efectuar la suma y resolver el límite, se obtiene: ( A) 1 = 1 [ (A 3 h 3 ) ] (A 2 h 2 ) h 2 h 3 u 2 u 3 Las componentes restantes de A se pueden calcular de manera similar hasta obtener: A = a [ 1 h 2 h 3 + a 3 h 1 h 2 (A 3 h 3 ) ] (A 2 h 2 ) u 2 u 3 [ (A 2 h 2 ) ] (A 1 h 1 ) u 1 u 2 + a [ 2 (A 1 h 1 ) ] (A 3 h 3 ) h 1 h 3 u 3 u 1 (1.36) La Ecuación (1.36) se puede escribir de forma concisa mediante el determinante: h 1 a 1 h 2 a 2 h 3 a 3 1 A = h 1 h 2 h 3 u 1 u 2 u 3 h 1 A 1 h 2 A 2 h 3 A 3 (1.37) Al especializar la ecuación (1.37) para cada sistema de coordenadas se obtienen las expresiones que se presentan en el cuadro

31 Ù ÖÓ ½º ÊÓØ ÓÒ Ð A ÜÔÖ Ó Ò Ö ÒØ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Cartesianas Cilíndricas Esféricas A a x a y a z x y z A x A y A z 1 ρ a ρ ρa ϕ a z ρ ϕ z A ρ ρa ϕ A z 1 r 2 sin θ a r ra θ r sin θa ϕ r θ ϕ A r ra θ r sin θa ϕ Teorema de Stokes Dado el campo A y la superficie abierta S de perímetro Γ ver figura 1.10(a), siendo A de buen comportamiento tanto en S como en Γ, se puede demostrar que: A ds = A dl (1.38) S Para ello dividimos la superficie S en N superficies incrementales S n. Para el punto central de la superficie incremental S n, a la cual asociamos un vector a n normal que satisface la regla de la mano derecha con el sentido de recorrido establecido para el perímetro Γ n de S n, vale: 1 ( A) n = lím A dl (1.39) S n 0 S n Γ n Si las S n se toman lo suficientemente pequeñas como para considerar que el rotacional del campo A sea constante sobre ellas, se podrá escribir: ( A) n 1 A dl S n Γ n ( A) n S n A dl Γ n A S n a n A dl Γ n Γ (1.40) aproximación que mejora en la medida que los S n se hacen cada vez más pequeños, en cuyo límite: N. Siendo la Ecuación (1.40) cierta para cada elemento incremental de superficie, también lo será para la suma: N N A S n A dl (1.41) n=1 n=1 Γ n 31

32 µ µ ÙÖ ½º½¼ µ ËÙÔ Ö ÖØ Ô Ö Ð ÐÙ ØÖ Ò Ð Ì ÓÖ Ñ ËØÓ Ý µ Ø ÐÐ ÙÒ Ô Ö ÙÔ Ö ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒØ Ù º donde S n = S n a n. En el proceso de limite, la aproximación se convierte en una igualdad: y lím S n 0 N N A S n = n=1 lím S n 0 N N n=1 Γ n A dl (1.42) Para el miembro de la derecha de la ecuación (1.42), en particular, se tiene: lím S n 0 N lím S n 0 N lím S n 0 N N = n=1 S (1.43) S n = ds (1.44) N A S n = A ds (1.45) n=1 S Para resolver el límite del miembro de la derecha de la Ecuación (1.42), nos basaremos en el hecho de que en el cómputo de la circulación de A a lo largo del contorno Γ n, en el tramo común a dos superficies incrementales contiguas ver figura 1.10(b), la integral de contorno se debe evaluar, para una superficie dada, dígase S n, en un sentido, mientras que para la superficie contigua, dígase S n+1, en sentido contrario. Esta situación reduce la suma de las integrales de contorno sobre los perímetros Γ n, con n = 1, 2,..., N, a la suma de las integrales de línea sobre aquellos tramos que yacen sobre la 32

33 curva exterior Γ, siendo Γ, como sabemos, el contorno que define la superficie abierta S. Esto es: lím S n 0 N N A dl = Γ n n=1 Γ A dl (1.46) Juntando ambos resultados, ecuaciones (1.45) y (1.46), obtenemos el denominado Teorema de Stokes: S A ds = Γ A dl (1.47) Definición alternativa del rotacional de un campo vectorial Una definición alternativa del rotacional de un campo vectorial es [8]: 1 A = lím a n A ds (1.48) ν 0 ν S( ν) A partir de la definición alternativa del rotacional de un campo vectorial expresada por la ecuación (1.48), es posible establecer la siguiente ecuación: lím ( A) i ν i = a ni A i ds i ν i 0 S i ( ν i ) N N lím ( A) i ν i = a ni A i ds i ν i=1 i 0 i=1 S i ( ν i ) N N lím ( A) i ν i = a ni A i ds i ν i 0 i=1 i=1 S i ( ν i ) A dν = a n A ds V S(V ) (1.49) Problema Dado el campo A = a p a r r 2 donde a p es un vector unitario arbitrariamente orientado en el espacio puesto en el origen, calcule A apoyándose en la ecuación (1.49). 33

34 1.6. Identidades nulas ( V ) = 0 Todo campo vectorial derivado del gradiente de un campo escalar es irrotacional. Esta identidad nula se puede interpretar físicamente teniendo presente que un campo de gradiente es un campo de lineas abiertas y por tanto no circula alrededor de ningún punto. La lectura en sentido inverso de esta identidad dice que todo campo F i irrotacional, F i = 0, se puede expresar como el gradiente de cierto campo escalar : F i = V. ÙÖ ½º½½ ËÙÔ Ö ÖØ S Ö ØÖ Ö Ý Ù ÓÒØÓÖÒÓ Γ Ô Ö Ð ÓÑÔÖÓ Ò Ð ÒØ ÒÙÐ V = 0º Comprobación Dado un contorno cerrado Γ arbitrario y una cualquiera de las superficies tendidas por él, dígase S, como se ilustra en la Fig. 1.11, al calcular el flujo de F i a través de S, S F i ds, y al aplicar el Teorema de Stokes se obtiene: F i ds = S = Γ(S) Γ dv V dl = V (p f ) V (p i ) = 0 donde p i,f son los puntos inicial y final, los cuales coinciden. Problema Dado un campo F, si la integral de línea P 2 P 1 F dl es independiente del camino Γ de integración, entonces el mencionado campo se denomina campo conservativo. Demuestre que si F = Φ, entonces F es conservativo. 34

35 Problema Dado un campo F conservativo, obtenga Φ a partir de F tomando en cuenta que Φ = F x x, Φ = F y y Φ = F z z. Resp.: En la página 92 de [1] se ilustra la aplicación de tres métodos para resolver este problema. El más elegante consiste en seleccionar una poligonal entre los puntos P 0 (x 0, y 0, z 0 ) y P (x, y, z) e integrar a F a lo largo de los tramos paralelos a los ejes coordenados para obtener Φ(x, y, z) Φ 0 = = r r 0 F dl x y F x dx + F y dy + x 0 y 0 z z 0 F z dz Ejemplo 1. Dado el campo F = a x + 2ya y a) calcule Γ 1 F dl (Fig. 1.12), b) si F fuera de la forma F = Φ, calcule Φ(x, y, z), a menos de una constante. ÙÖ ½º½¾ ÓÒØÓÖÒÓ Γ 1 Ô Ö Ð ÙÐÓ Γ 1 F dl º Solución 1. Antes de embarcarnos en el cálculo de la integral de línea verificaremos que el campo no circule. Para ello tomaremos el rotacional del campo ( F = x a x + y a y + ) z a z (a x + 2ya y ) = 0 lo cual comprueba que el campo no rota. 35

36 a) Empleando el Teorema de Stokes se obtiene que Γ F dl = 0, sin necesidad de integrar propiamente. b) Efectivamente, como F = 0, se podrá escribir F = Φ F = Φ x a x + Φ y a y + Φ z a z de modo que, por comparación, se deduce que: Φ = 1 y Φ x y (x,y,z) (0,0,0) x Φ y F dl = 0 x dx + 0 = x + y 2 Φ y dy = 2y. De esta forma y por tanto Φ(x, y) = x + y 2 + C ( J) = 0 Todo campo vectorial derivado del rotacional de otro campo vectorial es solenoidal. Esta identidad nula se puede interpretar físicamente teniendo presente que un campo de rotacional 3 es un campo de lineas cerradas y por tanto no diverge de ningún punto. La lectura en sentido inverso de esta identidad dice que todo campo F s solenoidal, F s = 0, se puede expresar como el rotacional de cierto campo vectorial : F s = J. Comprobación Para comprobar esta indentidad podemos postular que F s = J y tomar la integral de volumen de la divergencia de F s, en el volumen encerrado por la superficie arbitraria S que se muestra en la Fig. 1.13(a). Aplicando el Teorema de la Divergencia, esta integral se la puede convertir en una integral de superficie: V F s dν = S(V ) F s ds. Como la superficie cerrada S puede ser dividida en dos superficies abiertas S 1 y S 2, de respectivos contornos Γ 1 y Γ 2, tal que S = S 1 + S 2 como se muestra en la Fig. 1.13(b), de la misma manera, la integral de flujo se puede expandir en la suma 3 Esto es: que se obtiene como rotacional de otro campo vectorial. 36

37 µ ËÙÔ Ö ÖÖ S Ö ØÖ ¹ Ö º µ Ú Ò S Ò Ó ÙÔ Ö¹ ÖØ S = S 1 + S 2 º ÙÖ ½º½ ËÙÔ Ö S ÖÖ Ö ØÖ Ö Ô Ö Ð ÓÑÔÖÓ Ò Ð ÒØ A = 0º de los flujos parciales a través de tales superficies S 1 y S 2 : S(V ) F s ds = S 1 F s ds+ S 2 F s ds. Aplicando el Terorema de Stokes a cada una de estas integrales se obtiene F s dν = J dl + J dl V Γ 1 Γ 2 donde, tomando en cuenta el sentido en que deben ser recorridos los caminos Γ 1 y Γ 2 -ver Fig. 1.13(b), se comprueba que Γ 1 J dl = Γ 2 J dl. Por lo anterior sigue que V F s dν = 0. Y como esto es cierto para cualquier volumen, sigue que ( J) = Condiciones de borde En la superficie de separación de dos regiones en las que, por razones vinculadas a las distintas propiedades físicas de los medios que llenan tales regiones, cierto campo manifiesta un cambio discreto, el campo está obligado a cumplir ciertas condiciones, las cuales se derivan de su estructura (especificada mediante su y su ), denominadas condiciones de borde. Sea A tal campo, y sea h el espesor alrededor de la superficie de contacto entre las dos regiones en el que las propiedades físicas de los dos medios cambian de un valor dado en la región 1, a otro valor en la región 2. Las mencionadas condiciones de borde se expresan de la forma: donde a n va del medio 1 al medio 2. a n (A 2 A 1 ) = lím h 0 (h A) a n (A 2 A 1 ) = lím h 0 (h A) 37

38 Ya que A y A representan las densidades en un volumen de las fuentes vectoriales y escalares de A, respectivamente, los límites lím h 0 (h A) y lím h 0 (h A), los cuales implican la contracción del volumen a una superficie, vienen a representar las densidades sobre esta superficie de tales fuentes Teorema de Helmholtz El Teorema de Helmholtz establece que el conocimiento de las fuentes del campo implica el conocimiento del campo y se le suele enunciar, en general, de dos formas: para problemas de dominio abierto y para problemas de dominio cerrado. Los problemas de dominio abierto ver Fig. 1.14(a) involucran todo el espacio y presuponen la inexistencia de fuentes del campo en el infinito. En los problemas de dominio cerrado ver Fig. 1.14(b) nos interesa conocer el campo en una región determinada delimitada por una superficie exterior, existiendo un gran espacio entre esta superficie y el infinito de la que no se posee información. En esta clase de problemas, además de las fuentes primarias del campo en la región de interés, se requiere de las componentes tangencial y normal del campo sobre la superficie que delimita la región de estudio. Estás componentes del campo se comportan como unas fuentes distribuidas superficiales equivalentes, las cuales modelan las fuentes reales del campo que quedan fuera de la región de estudio. En la Figura 1.14 se ilustran ambos escenarios Dominios abiertos Un campo vectorial F descrito por su divergencia F y su rotacional F, como se ilustra en la Fig. 1.14(a), tal que no posea fuentes en el infinito, esto es: [ F ] = 0 (1.50) [ F ] = 0 (1.51) se lo puede expresar como la suma de una componente irrotacional y una componente solenoidal( 4 ): F = φ + A (1.52) 4 Las condiciones (1.50) y (1.51) implican la suposición de no existencia de fuentes del campo en el infinito. 38

39 µ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÑ ÒÓ ÖØÓ µ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ò Ó ÖÖ Óº ÙÖ ½º½ Ò Ö Ó Ô Ö Ð ÒÙÒ Ó Ð Ì ÓÖ Ñ À ÐÑ ÓÐØÞº Ò Ñ Ó Ò Ö Ó ÙÔÓÒ¹ Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ö Ð ÑÔÓ ØÖ ÙÝ Ò Ò ÙÒ ÚÓÐÙÑ Ò V Ò ÐÓ ÔÖ Ó Ð Ó ÖÚ ÓÖº ½º½ µ Ä Ö Ò ÒØ Ö ØÓ Ó Ð Ô Ó Ý ÔÖ ÙÔÓÒ ÕÙ ÒÓ Ü Ø Ò Ù ÒØ Ð ÑÔÓ Ò Ð Ò Ò ØÓº ½º½ µ Ä Ö Ò ÒØ Ö ÐÐ Ò ÙÒ ÚÓÐÙÑ Ò V 1 Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Ð ÙÔ Ö S 1,2 Ð Ù Ð ÖÓÒØ Ö ÓÒ Ð Ô Ó ÜØ Ö ÓÖ ÚÓÐÙÑ Ò V 2 µº donde: φ = V 1 4π F R dν (1.53) A = V 1 4π F R dν (1.54) Demostración Para comprobar el Teorema de Helmholtz ponemos: F = F i + F s (1.55) tal que: F i = ρ ν (1.56) F i = 0 (1.57) 39

40 F s = 0 (1.58) F s = J (1.59) donde J = F y ρ ν = F. Estudio de la componente irrotacional F i del campo. De acuerdo a la Ec. (1.57), se puede escribir: F i = φ (1.60) que al sustituir en la Ec. (1.56) se obtiene: ( φ) = ρ ν (1.61) ó 2 φ = ρ ν (1.62) La solución de la Ec. (1.62), conocida como ecuación de Poisson, se puede hallar determinando la forma del operador inverso de 2 : φ = ( 2 ) 1 ρ ν, o sea: ( ρ ν ) > ( 2 ) 1 > φ donde hemos puesto como entrada del sistema o excitación, la función densidad volumétrica de fuentes escalares ρ ν, y como salida la función potencial escalar φ. El operador ( 2 ) 1 tendrá la forma de una integral de convolución: φ(r) = G(r, r )[ ρ ν (r )] dν (1.63) V y su núcleo G(r, r ), denominado función de Green, será la respuesta impulsiva del sistema: δ(x x )δ(y y )δ(z z ) > ( 2 ) 1 > G(r, r ) Esto es: la función G(r, r ) en el integral de la Ec. (1.63) es a su vez la solución de espacio libre de la ecuación: 2 G(r, r ) = δ(x x )δ(y y )δ(z z ) (1.64) 40

41 donde δ(x x )δ(y y )δ(z z ) es una excitación espacial impulsiva( 5 ) localizada en r = x a x + y a y + z a z, la cual se define de la manera siguiente: δ(x x )δ(y y )δ(z z ) = 0, (x, y, z) (x, y, z ) (1.65) tal que: φ(x, y, z)δ(x x )δ(y y )δ(z z ) = φ(x, y, z ) (1.66) Mientras δ(x x )δ(y y )δ(z z ) representa, como se ha dicho, una fuente puntual colocada en r, G(r, r ) representa el potencial producido por dicha fuente en el punto r, con r r. La Ecuación (1.64) se puede resolver teniendo presente que, al tratarse de una fuente puntual, el problema tiene simetría esférica, y la Ec. (1.64) asume la forma: [ ] 1 R 2 G(r, r ) = f(r) (1.67) R 2 R R donde R = r r, y f(r) es la función impulsiva en el sistema de coordenadas esféricas, esto es: f(r) = 1 δ(r r ) (1.68) 4π R 2 En efecto, al integrar en todo el espacio, definiendo las variables θ y ϕ a partir del «origen excéntrico» r será: R= 2π π R=0 De este modo la Ec. (1.67) se puede escribir: que para r r, da lugar a la ecuación: 0 0 φ(r) 1 δ(r r ) R 2 sin θdθdϕdr = φ(r ) (1.69) 4π R 2 [ 1 R 2 G(r, ] r ) = 1 δ(r r ) (1.70) R 2 R R 4π R 2 [ 1 R 2 G(r, ] r ) = 0 (1.71) R 2 R R La solución de la Ec. (1.71) es: G(r, r ) = A R + B (1.72) Los valores de las constantes A y B se pueden determinar: 5 δ(x x )δ(y y )δ(z z ) corresponde a una fuente escalar puntual del campo. 41

42 (i) Dado que lím G(r, R r ) = 0 (1.73) sigue que B = 0. (ii) Dado que: V G(r, r ) dν = 1 (1.74) sigue que ( ) 1 A 2 dν = 1 (1.75) V R y tomando en cuenta que 2( [ ( ( ) 1 R) = 1 R)] y que 1 R = a R R 2, sigue que [ ( ) ] 1 A dν = 1 (1.76) V R A V ( ) ar R 2 dν = 1 (1.77) Al tomar una superficie esférica con centro en r y al aplicar el Teorema de la divergencia se obtiene: 2π π a R A 0 0 R 2 R2 sin θ dθdϕa R = 1 (1.78) A 2π π sin θ dθdϕ 0 } 0 {{ } 4π = 1 (1.79) y A = 1 4π (1.80) De este modo obtenemos: G(r, r ) = 1 1 4π R y finalmente la solución para φ(r), al sustituir la Ec. (1.81) en la Ec. (1.63), es: (1.81) φ(r) = 1 4π V 42 ρ ν (r ) R dν (1.82)

43 Estudio de la componente solenoidal F s del campo. De acuerdo a la Ec. (1.58), se puede escribir: F s = A (1.83) que al sustituir en la Ec. (1.59), se obtiene ( A) = J (1.84) ó ( A) 2 A = J (1.85) Si asumimos que A = 0( 6 ), la Ec. (1.85) asume la forma: 2 A = J (1.86) que en coordenadas Cartesianas da lugar a tres ecuaciones escalares: 2 A x = J x 2 A y = J y (1.87) 2 A z = J z Ya que las Ecs (1.87) tienen la misma forma de la Ec. (1.62), las soluciones de las primeras tendrán igualmente la misma forma de la solución de la segunda: A x = 1 4π A y = 1 4π A z = 1 4π De este modo la solución de la Ec. (1.86) es: V V A = 1 4π V V J x (r ) R dν (1.88) J y (r ) R dν (1.89) J z (r ) R dν (1.90) J(r ) R dν (1.91) En particular, sustituyendo las expresiones de las Ecs. (1.82) y (11.119) en la Ec. (1.52) se obtiene 7 : 6 Luego se comprobará que la solución para A que se obtiene efectivamente satisface A = 0 7 Utilizando las identidades vectoriales: (φψ) = φ ψ + ψ φ y (φa) = φ A + φ A 43

44 [ 1 ρ ν (r ] [ ) 1 J(r ] ) F = 4π V R dν + 4π V R dν }{{}}{{} φ A (1.92) si se sustituyen en esta ecuación, las expresiones dadas en las Ecs. (1.56) y (1.59), se obtiene la siguiente ecuación equivalente: [ ] [ ] 1 F 1 F F = 4π V R dν + dν 4π V R }{{}}{{} φ A (1.93) Otra forma equivalente de la Ec. (7.11) se obtiene de la siguiente manera: [ 1 ρ ν (r ] [ ) 1 J(r ] ) F = 4π V R dν + 4π V R dν }{{}}{{} = 1 4π V φ [ ρν (r ] ) R dν + 1 [ J(r ] ) dν 4π V R A (1.94) = 1 ρ ν (r ) a 4π V R 2 R dν }{{} F i + 1 J(r ) a R 4π V R 2 dν }{{} F s Dominios cerrados En los problemas de dominio cerrado, como el que se muestra en la Fig. 1.14(b) en la pág. 39, el campo F aun se podrá descomponer en la suma de una componente irrotacional y una componente solenoidal según la Ec. (1.52), solo que la funciones potenciales se han de modificar para tener en cuenta las densidades de fuentes superficiales equivalentes sobre la superficie exterior S 1,2 de la región de estudio: φ = 1 F 4π V R dν 1 F a n 4π S 1,2 R ds (1.95) 1 F A = V 4π R dν + 1 F a n ds (1.96) 4π S 1,2 R 44

45 µ ÙÖÚ Γ µ ËÙÔ Ö S ÖÖ ÙÖ ½º½ ÙÖ ÒØ Ö Ð ÈÖÓ Ð Ñ ½º 1.9. Problemas propuestos 1. Dado el campo A = 1 ρ (a ρ + a ϕ ), calcule a) Las fuentes vectoriales enlazadas por Γ Fig. 1.15(a). b) Las fuentes escalares contenidas en S Fig. 1.15(b). 2. Dado el campo F definido por F = J y F = 0, y dada la superficie S 1 + S 2 que se ilustra en la Fig. 1.3(a), compruebe que S 1 F ds S 2 F ds = Dado el campo F definido por F = 0 y F = ρ ν, y dado el contorno Γ = Γ 1 + Γ 2 que se ilustra en la Fig 1.16(a), compruebe que Γ 1 F dl Γ 2 F dl = 0. µ ÙÖÚ Γ = Γ 1 + Γ 2 º µ ËÙÔ Ö ÖÖ S 1 + S 2 ÙÖ ½º½ ÙÖ ÒØ Ö ÐÓ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ Ý º 4. 45

46 Capítulo 2 Campo Electrostático 2.1. Ley de Coulomb Coulomb estableció experimentalmente que sobre dos cargas eléctricas puntuales q 1 y q 2, separadas un distancia R, actúa una fuerza F, la cual se denomina fuerza electróstatica, que es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: F q 1q 2 R 2 (2.1) Si q 1 y q 2 son de polaridad opuesta, la fuerza es de atracción, y si q 1 y q 2 son de la misma polaridad, la fuerza es de repulsión. Además, la fuerza es colineal con el vector que une las dos cargas. Vectorialmente se escribe (figura 2.1): donde R 21 = r 2 r 1 y a R21 = R 21 /R 21. q 1 q 2 F 21 = k e a R21 2 R21 (2.2) En el sistema internacional SI de medidas, la constante de proporcional k e tiene un valor numérico de y se suele ÙÖ ¾º½ Ó Ö ÔÙÒ¹ ØÙ Ð Ô Ö ÙÒ Ø Ò expresar como k e = 1/4πε 0, donde ε 0 es otra constante denominada permitividad eléctrica del vacío la cual posee unidades de [Faradios/m]- 46 R 21 º

47 2.2. Campo electrostático La Ecuación (2.2) no contempla la dependencia temporal de la fuerza electrostática, de modo que no se puede deducir de ella como transcurre la interacción entre las cargas desde el momento inicial en el que las cargas son colocadas en sus respectivas posiciones fijas. En su época, Coulomb no sabia que estaba proponiendo una ley que solo describe el régimen permanente de la interacción entre cargas que permanecen quietas por un tiempo oportunamente extenso. La ley de Coulomb implica lo que se suele convenir una acción a distancia, una suerte de interacción «mágica» que se propaga a una velocidad infinita. Claramente esto no es cierto. Hoy día se conviene en aceptar que cada carga impregna su entorno de cierta propiedad que convencionalmente se denomina «campo eléctrico», el cual lo llena todo. El campo eléctrico es el mediador de la interacción con el resto de las cargas del universo. Si la carga cambia de estado, acelarándose, las variaciones imprimidas al campor eléctrico comienzan a propagarse desde la carga hacia el infinito a la velocidad de la luz. Solo cuando las variaciones del campo hayan cesado, sea porque la carga se ha aquietado o porque ha alcanzado una velocidad rectilínea uniforme, y las variaciones asociadas hayan recorrido todo el espacio, el campo vuelve a ser «electrostático». Por esta razón, para apreciar en todos los puntos del espacio un campo electrostático a partir de la conformación de cierta agrupación de cargas quietas, habría que esperar un tiempo infinito, a menos que solo se tomara en consideración una región limitada alrededor de la agrupación, en cuyo caso el campo se podría apreciar como electrostático en un tiempo aceptable. Para medir el campo eléctrico producido por una carga puntual q fija se deberá introducir en los predios de q una carga de prueba Q suficientemente pequeña como para no perturbar el campo de la carga fija, medir la fuerza sobre Q, y dividir la fuerza por el valor de Q. Matemáticamente escribiremos F E = lím Q 0 Q Con base en la Ec. (2.2) y la definición dada mediante la Ec. (2.3), una carga puntual puesta en r produce en r un campo electrostático dado por: E = (2.3) q 4πε 0 r r r r 3 (2.4) El vector r es el vector de posición del punto fuente y el vector r es el vector de posición 47

48 del punto de observación. Si se admite el caracter lineal del espacio libre y se postula, artificialmente, que sea posible agrupar cualquier cantidad de cargas de una misma polaridad en una región del espacio, y que éstas puedan permanecer quietas en sus respectivas posiciones a pesar de la acción repulsiva del campo que ellas mismas producen, la Ec. 2.4 se puede generalizar para describir el campo que producen N cargas discretas fijas en el espacio o infinitas cargas infinitesimales distribuidas formando una línea, una superficie o un volumen, igualmente suspendidas en el vacío. En la Fig. 2.2 se ilustran las diferentes distribuciones idealizadas de carga eléctrica. µ ÈÙÒØÙ Ð µ N Ö ÔÙÒØÙ Ð µ Ä Ò Ð µ ËÙÔ Ö Ð µ ÎÓÐÙÑ ØÖ ÙÖ ¾º¾ Ö ÒØ ØÖ Ù ÓÒ Ð Þ Ö Ð ØÖ º La expresión del campo eléctrico para las distintas distribuciones de carga ilustradas en la Fig. 2.2 se resumen en el Cuadro 2.1. La solución del campo eléctrico mediante la integración de las distribuciones de carga es, en general, impracticable. Solo para unas cuantas distribuciones altamente simétricas tales integrales tienen una solución cerrada. Ejemplos Cuando la integración de las cargas para determinar el campo es posible, el trabajo matemático se facilita si se descubre, anticipadamente, el sistema de coordenadas en el cual la expresión buscada del campo resulta más simple. Dicho sistema de coordenadas se denominará «natural» para ese campo y le conferirá el nombre a la simetría del problema. Por ejemplo, el campo producido por una línea infinita de cargas, distribuidas uniformemente, se expresará de manera natural en un sistema de coordenadas cilíndricas, y por ende diremos que dicho problema presenta simetría cilíndrica. 48

49 Ù ÖÓ ¾º½ ÜÔÖ Ò Ð ÑÔÓ Ð ØÖÓ Ø Ø Ó Ô Ö Ð Ö ÒØ ØÖ Ù ÓÒ Ö ÐÙ ØÖ Ò Ð º ¾º¾º Ò Ð ÜÔÖ ÓÒ ÐÓ ÑÔÓ R n = r r n a Rn a R = R/Rº = R n /R n R = r r Ý Tipo de distribución Campo elétrico Carga puntual E(r) = 1 4πε 0 q R 2 a R N cargas puntuales E(r) = 1 4πε 0 Nn q n a Rn R 2 n Distribución lineal E(r) = 1 4πε 0 Γ ρ l(r ) a R R 2 dl Distribución superficial E(r) = 1 4πε 0 S ρ s(r ) a R R 2 ds Distribución volumétrica E(r) = 1 4πε 0 V ρ ν(r ) a R R 2 dν Línea de carga infinita y uniforme El campo producido por una distribución de carga a lo largo de una línea infinita con una densidad lineal uniforme de ρ l [C/m] vale E = ρ l a ρ 2πε 0. Este resultado se obtiene al resolver la ρ integral E(r) = 1 4πε 0 Γ ρ l(r ) r r dl para los puntos de un plano cualquiera transversal a la r r 3 distribución y poniendo la distribución coincidente con el eje z. Sobre dicho plano el diferencial de campo vale de = ρ ldz ρa ρ z a z 4πε 0, como la componente en a (ρ 2 +z 2 ) 3/2 z se cancela, resulta E(ρ) = ρ l 4πε 0 = ρ l 4πε 0 1 ρ ( = ρ l a ρ 2πε 0 ρ ρdz a ρ (ρ 2 + z 2 ) 3 2 z ρ2 + z 2 ) a ρ 49

50 Plano infinito y uniforme El campo producido por una distribución de carga en un plano infinito con una densidad superficial uniforme de ρ s [C/m 2 ] vale E = ρs 2ε 0 a n, siendo a n un vector unitario normal al plano. Este resultado se obtiene al resolver la integral E(r) = 1 4πε 0 S ρ s(r ) r r ds para los puntos r r 3 de un eje cualquiera perpendicular a la distribución y poniendo la distribución coincidente con el plano z = 0. Sobre la porción positiva de dicho eje el diferencial de campo vale de = ρ sρ dρ dϕ 4πε 0 ρ a ρ +za z (ρ 2 +z 2 ) 3/2, como la componente en a ρ se cancela, resulta E = ρ s 4πε 0 ( = ρ s 2ε 0 z = ρ s 2ε 0 a z 2π 0 0 ρ zdρ dϕ (ρ 2 + z 2 ) ρ 2 + z 2 ) 0 a z a z Divergencia del campo electrostático Calcularemos la divergencia del campo electrostático basándonos en la expresión general del campo E = 1 4πε 0 V ρ ν(r ) a R R 2 dν : [ 1 E = ρ ν (r ) a ] R 4πε 0 V R 2 dν µ µ ÙÖ ¾º Ê ÔÖ ÒØ Ò Ö Ð ØÖ Ù Ò ÚÓÐÙÑ ØÖ Ö Ý Ð ÔÙÒØÓ Ó ÖÚ Òº Ò ½¼º½ µ ÑÙ ØÖ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù Ö Ð ØÖ Ù Òº Ò ¾º µ ÑÙ ØÖ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÒØÖÓ Ð ØÖ Ù Ò Ð Ó Ð Ö ØÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ù ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ÚÓÐÙÑ Ò V σ º Tomando en cuenta que el operador divergencia opera sobre las variables no primadas se 50

51 puede ingresar dentro de la integral: [ 1 E = ρ ν (r ) a ] R 4πε 0 V R 2 dν ( ) 1 ρ ν (r ar ) dν 4πε 0 V R 2 y como: ( ) ar 0 r r = R 2 4πδ(r r ) r = r resultando que para cualquier punto fuera de la distribución ver Fig. 10.1(a) la divergencia del campo electrostático es nula, lo cual era de esperarse ya que las fuentes escalares del campo electrostático son las propias cargas eléctricas. En el interior de la distribución ver Fig. 2.3(b), para el cáculo de E, procederemos a aislar el punto de observación y a dividir la integral en dos partes: una parte sobre el volumen de la distribución menos el punto de observación considerado, y otra parte sobre el propio punto de observación. Llamando el volumen del punto de observación V σ, y siendo éste en principio de forma esférica, de radio σ, tal que σ tienda a cero a partir de un valor inicialmente ya pequeño, se tiene: E = 1 ( ) ρ ν (r ar ) dν + 1 ρ 4πε 0 V V σ R 2 ν (r ) 4πε 0 V σ ( ) ar en la primera de las integrales, r se paseará solo por los puntos de V V σ por lo que r r y (a R /R 2 ) = 0, mientras que en la segunda de las integrales, ρ ν se comportará como una constante, en particular asumirá el valor que le corresponde en el punto de observación r = r, y allí (a R /R 2 ) = 4πδ(r r ), de tal suerte que se obtiene: E = 1 ( ) ρ ν (r ar ) dν + 1 ( ) ρ 4πε 0 V V σ R }{{ 2 ν (r ar ) dν 4πε } 0 V σ }{{} R }{{ 2 } } {{ 0 } 0 = ρ ν(r) ε Rotacional del campo electrostático R 2 dν ρ ν(r) } 4πδ(r r ) {{ } ρ ν(r)4π El rotacional del campo electrostático se puede calcular tomando el rotacional de la expresión general del campo eléctrico E = 1 4πε 0 V ρ ν(r ) a R R 2 dν, ingresando el operado al interior de la integral y resolviendo el rotacional de a R R (2.5)

52 Facílmente se puede comprobar que y por tanto resultando ( 1 ) = 0, y de esta manera R 1 x R = 1 x R = x x R 3 1 R = 1 R = a r R 2 E = 0 (2.6) Ecuaciones de Maxwell para el campo electrostático Juntando los resultados anteriores, Ecs. (8.22) y (2.6), se obtienen las denominadas Ecuaciones de Maxwell para el Campo Electrostático: E = ρ ν ε 0 (2.7) E = 0 (2.8) 2.3. Ley de Gauss Dada una distribución volúmetrica de carga ρ ν (r ), distribuida en un volumen V, se desea conocer el valor del flujo de su campo eléctrico E a través de cierta superficie cerrada S, cuyo volumen interior V contiene una fracción V de V ( V = V V ), tal y como se muestra en la Fig El flujo del campo eléctrico vale Φ E S = E ds S [ 1 = ρ ν (r ) a ] r S 4πε V R 2 dν ds = 1 ρ ν (r a r ) 4πε V S R ds 2 dν (2.9) donde la cantidad subintegral a R /R 2 ds se conoce como diferencial de ángulo solido. 52

53 ÙÖ ¾º ÖØ ØÖ Ù Ò Ö ρ ν (r ) ØÖ ÙÝ Ò Ð ÚÓÐÙÑ Ò V ÔÖÓ Ù Ò Ó ÙÒ ÑÔÓ Ð ØÖ Ó E. Ë ÐÙÐ Ö Ð Ù Ó Ø ÑÔÓ ØÖ Ú ÙÒ ÙÔ Ö ÖÖ S ÙÝÓ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒØ Ò ÙÒ ÔÓÖ Ò V = V V Ð ÚÓÐÙÑ Ò V º Ð ÔÙÒØÓ r 2 V º Ð ÔÙÒØÓ r 1 V V º Ä Ö Q ØÖ Ô Ò Ð ÒØ Ö ÓÖ S Ó Ò ÓÒ Ð ÓÒØ Ò Ò V Q = V ρ ν(r ) dν. En efecto, el ángulo sólido subtendido desde el punto fuente r por la superficie ds con centro en el punto de observación r vale: dω = a R ds (2.10) R2 Se observa que los puntos de la distribución que se encuentran en el volumen común V = V V, e.g. r 2 en la Fig. 2.4, subtienden un diferencial de ángulo sólido que se mantiene de un solo signo mientras la superficie S es recorrida en el proceso de integración del flujo, e.g. ds 2 en la Fig. 2.4 barre un ángulo sólido siempre positivo, o siempre negativo, que se contabiliza una sola vez. Por otro lado, al recorrer la misma superficie desde los puntos restantes de V, externos a S, e.g. r 1, cada ángulo sólido ha de contabilizarse por partida doble, una vez con un signo y otra vez con signo contrario (e.g. al pasar por ds 1 y ds 1 en la Fig. 2.4). De aquí sigue: S E ds = 1 ρ ν (r ) 4πε V = 1 4πε S V V dωdν ρ ν (r ) dω dν + 1 ρ ν (r ) dωdν S 4πε V S = 1 ρ ν (r ) dωdν = Q 4πε V S ε (2.11) donde Q es la carga encerrada por S, o, lo que es lo mismo, la contenida en V : Q = V ρ ν(r ) dν. La Ley de Gauss se la puede obtener, también, a partir de la integración en un volumen de 53

54 la Ec. (2.7) mediante la aplicación del teorema de la Divergencia V E dν = 1 ε 0 V ρ ν dν S(V ) E ds = Q ε 0 donde Q es la carga contenida en V. Por esta razón, la Ec. (2.7) se conoce como Ley de Gauss puntual o diferencial y la Ec. (2.11) como Ley de Gauss en forma integral Utilización de la Ley de Gauss para la resolución del campo eléctrico En algunos casos de elevada simetría de la distribución de cargas es posible resolver facílmente el campo eléctrico usando la Ley de Gauss en forma integral. Para ello es necesario poder inferir a priori la estructura del campo en un sistema de coordenadas en el cual dicha estructura quede plasmada de manera natural. Si, inferida la estructura del campo, resulta posible concebir una superficie cerrada especial S G, de modo que el campo eléctrico sea en cierta porción de S G normal y uniforme, y en el resto de S G simplemente tangente, entonces la componente perpendicular E se podrá factorizar de la integral de flujo y se la podrá calcular como la razón de la carga contenida en el interior de S G al área de la porción de S G normal al campo E pesada por 1 ε 0 : E = 1 ε 0 Q contenida en el interior de S G área de la porción de S G E (2.12) Ejemplo Se desea calcular el campo eléctrico producido por la distribución de cargas ρ ν = 2x 2 [nc/m 3 ]. Sol.: después de pensarlo un poco nos podemos convencer de que el campo eléctrico producido por esta distribución de cargas deberá tener la estructura E = E x (x)a x. Evidentemente, un cubo centrado en el origen y con sus caras paralelas a los planos coordenados, de aristas de longitud unitaria en las direcciones de los ejes y y z, y de arista que se extiende desde x a x en la dirección del eje x puede servir a nuestros propósitos para resolver E x (±x) según la Ec. 54

55 (2.12) como E x (x) = 1 ε x = 1 ε x3 [nv/m] 0 2x 2 dxdydz de tal suerte que el campo eléctrico vale E = 1 ε x3 a x [nv/m] Potencial electrostático En virtud de las Ecuaciones (2.7) y (2.8), el campo electrostático se puede escribir como E = V, donde V = V (r) es una función auxiliar o potencial que se conviene en llamar función potencial eléctrico, o simplemente potencial eléctrico. Esta función potencial, de acuerdo al teorema de Helmholtz, tiene la siguiente apariencia: V (r) = 1 E 4π V r r dν donde R = r r. = 1 4πε 0 V ρ ν (r ) R dν (2.13) Tiene el potencial eléctrico algún sentido físico? Pues si. Para visualizar el sentido físico del potencial eléctrico, procederemos primero a calcular el potencial eléctrico producido por una carga puntual q. Un carga puntual en r se puede representar como una distribución volumétrica de la forma: ρ ν (r ) = qδ(r r ), que al sustituir en la Ec. (2.13) nos permite obtener: V (r) = 1 4πε 0 = 1 4πε 0 = q 4πε 0 1 r r ρ ν (r ) V R dν qδ(r r ) V r r dν (2.14) Poniendo la carga q, por comodidad, más bien en el origen, la Ec. (2.14) da lugar a la expresión: V (r) = 55 q 1 4πε 0 r (2.15)

56 Esta carga puntual produce, como sabemos, un campo electrostático que viene dado por: E = V ( ) q 1 = 4πε 0 r = q ( ) 1 4πε 0 r = q a r (2.16) 4πε 0 r 2 Procuremos ahora mover una segunda carga Q desde un punto r 2 hasta un segundo punto r 1, con r 2 > r 1, asumiendo que la única fuerza a vencer sea la fuerza Coulombiana que produce el campo electrostático de q sobre Q. El trabajo W que hay realizar vale W = r 1 r 2 F dl, donde F = QE, y E es el campo dado por la Ec. (2.16). Este trabajo vale: r1 W = Q r 2 r1 E dl q a r = Q r 2 4πε 0 r (dra 2 r + rdθa θ + r sin θdϕa ϕ ) = Qq r1 dr 4πε 0 r 2 r 2 = Qq ( 1 1 ) 4πε 0 r1 r2 Si en la Ecuación (2.17) la carga Q se traslada al primer miembro se obtiene: W Q = q 4πε 0 ( 1 r1 1 r2 ) (2.17) (2.18) que es el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar, en contra del campo eléctrico producido por q, para mover cualquier carga desde r 2 hasta r 1. En particular, si el punto r 2 se colocara en el infinito, la Ec. (2.18) asumiría la forma: W = q 1 (2.19) Q 4πε 0 r 1 r2 = Facilmente se comprueba que ver la Ec. (2.15) : W = V (r 1 ) Q r2 = A la luz de lo anterior, el potencial eléctrico en un punto r cualquiera del espacio se puede interpretar como el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar en contra del campo 56

57 eléctrico 1, para mover cualquier carga desde el infinito hasta r. De esta forma, la Ec. (2.18) es la diferencia de los potenciales eléctricos en los puntos r 1,2, o simplemente la diferencia de potencial entre tales puntos: W Q = q ( 1 1 ) 4πε 0 r 1 r 2 = V (r 1 ) V (r 2 ) De aquí sigue que: r1 r 2 E dl = V (r 1 ) V (r 2 ) (2.20) Problema Dado el campo electrostático E = K a ρ, calcule el trabajo necesario para traer una carga Q ρ hasta ρ desde el infinito si se sabe de antemano que el trabajo necesario para traer (desde el infinito también) una unidad de carga hasta ρ 0, con ρ < ρ 0, vale 1 [C V]. Resp.: W = Q[K ln(ρ 0 /ρ) + 1] Medios materiales inmersos en un campo electrostático Hasta ahora hemos estudiado el campo electrostático producido por cargas eléctricas «suspendidas» en el vacío. Queremos a partir de este punto comprender y caracterizar en términos tanto cualitativos como cuantitativos la interacción entre el campo electrostático y algunos tipos de medios materiales. Nos ocuparemos de revisar este asunto para dos tipos de materiales ampliamente usados en la ingeniería eléctrica: los conductores y los dieléctricos Conductores En un medio conductor «perfecto», normalmente abreviado PEC por su nombre en inglés perfect electric conductor, la capa de conducción se encuentra idealmente conectada a la capa 1 En el caso de estudio el campo eléctrico considerado es producido por una carga puntual q, pero los resultados obtenidos bien valen para un campo eléctrico genérico producido por una distribución arbitraria de cargas. 57

58 de valencia y los electrones de está última capa, mediante una aportación de energía eléctrica externa nula, pueden «saltar» a la capa de conducción y moverse allí libremente, a lo largo y ancho del material. En un conductor real este salto entre capas la realizan los electrones de valencia absorbiendo una pequeña cantidad de energía del campo eléctrico externo. Al estudiar varios materiales, en la medida en que la energía eléctrica externa necesaria para producir el salto de electrones de valencia a la capa de conducción se incrementa, tales medios deberán considerarse como peores conductores. Cuando la energía eléctrica externa requerida para producir el salto se hace infinita el material es un medio dieléctrico perfecto. Ahora nos centraremos en describir cualitativamente los buenos conductores, los cuales asumiremos como ideales. En un conductor (ideal), sea que en él se depositen cargas libres en exceso desde el exterior (conductor cargado), o que, poseyendo una carga eléctrica nula (conductor descargado) se le exponga a un campo eléctrico externo, se cumple: Las cargas en exceso en el interior, o parte de sus propias cargas, se ponen en movimiento debido a la acción del propio campo, o del campo externo, respectivamente, y terminan distribuyéndose sobre la superfice. Una vez que ha cesado todo movimiento se dice que se ha alcanzado el equilibrio electrostático y el interior del conductor queda libre de cargas en exceso : ρ ν = 0. Alcanzado el equilibrio electrostático el campo eléctrico resultante en el interior es nulo (E = 0) y por tanto el conductor presenta el mismo potencial en todos sus puntos. Condiciones en la frontera entre un conductor y el vacío Asumamos que cierto campo E 0 actua en el vacío ver Fig. 2.5(a) y que luego incorporamos cierto conductor neutro en el escenario. Esperamos que transcurra el transitorio de redistribución de la carga en el conductor y que haya cesado todo movimiento. En ese momento se habrá alcanzado el equilibrío electrostático y cierta carga aparecerá distribuida sobre la superficie del conductor en forma de una ρ s. Esta ρ s inducirá un campo E s que se superpondrá a E 0 dando lugar a un campo E resultante en el vacío y a un campo nulo en el interior del conductor ver Fig. 2.5(b). En la superficie de separación entre el vacío y el conductor el campo electrostático está obligado a satisfacer la condiciones de borde que se derivan de las ecuaciones E = 0 y E = ρν ε 0. Tomando en cuenta que el campo en el interior del conductor es nulo será: 58

59 µ ÑÔÓ Ð ØÖÓ Ø Ø Ó ØÙ Ò Ó Ò Ð Ú Óº µ ÑÔÓ Ð ØÖÓ Ø Ø Ó ØÙ Ò Ó Ò Ð Ú Ó Ò ÔÖ Ò ÙÒ Ù ÖÔÓ ÓÒ ÙØÓÖº ÙÖ ¾º ÁÒØ Ö Ò Ð ÑÔÓ Ð ØÖÓ Ø Ø Ó E 0 ÓÒ ÙÒ Ñ Ó ÓÒ ÙØÓÖº Dipolo eléctrico ÙÖ ¾º ÔÓÐÓ Ð ØÖ Óº a n E = 0 a n E = ρ s ε 0 Un dipolo eléctrico se puede definir a partir de un sistema de dos cargas de igual magnitud, pero de signo contrario, separadas una distancia δl (ver Fig. 2.6), haciendo disminuir esta distancia en la medida que se hace crecer el valor las cargas de tal suerte que el producto qδl se mantenga constante [6]. Esta idea abstracta se corresponde con la idea física de observar el par de cargas desde una distancia muy grande en comparación con la distancia δl, desde donde el sistema discreto tiene la apariencia de un sistema puntual en el cual el campo de una carga no anula, sin embargo, el campo de la otra. El potencial en r producido por el sistema de cargas que se muestra en la Fig. 2.6 vale : V (r) = q ( ) 1 4πε 0 r r δl 1 r r (2.21) Expresando la distancia r r δl como r r δl =[ r r 2 + δl 2 2(r r ) δl] 1 2, y despreciando el término δl 2 en comparación con las cantidades r r 2 y 2(r r ) δl, la raíz 59

60 cuadrada se la puede resolver mediante la siguiente expansión binomial [ r r δl 1 r r 1 1 2(r ] 1 r 2 ) δl r r 2 [ r r (r ] r ) δl r r (2.22) donde no se han incluido explícitamente los términos que contienen potencias iguales o mayores a dos de la distancia δl. Sustituyendo la Ec. (2.22) en la Ec. (2.21) y despreciando los términos que contienen potencias del tipo δl n, con n 2, se obtiene V (r) q δl (r r ) 4πε 0 r r (2.23) 3 Si nos alejamos lo suficiente del sistema, como anunciábamos al principio, de tal suerte que δl 0, en cuyo caso toma sentido el haber despreciado los términos del tipo δl n, con n 2, en la Ec. (2.23), y que q, y tal que el producto qδl se mantenga constante, el sistema de la Fig. 2.6 se convierte en un dipolo eléctrico al cual se asocia un momento dipolar eléctrico p definido como p = qδl [C m]. En este caso, la Ec. (2.21) se puede reescribir de la forma compacta V (r) 1 4πε 0 p (r r ) r r 3 (2.24) El campo eléctrico producido por un dipolo eléctrico se puede obtener por superposición y mediante la aplicación de aproximaciones similares a las contenidas en la expansión binomial de la Ec. (2.22)[6]: E(r) = q ( r r δl 4πε 0 r r δl r ) r 3 r r 3 1 [ 3p (r r ] ) 4πε 0 r r (r r p ) 5 r r 3 (2.25) Para un dipolo ubicado en el origen, sobre el eje z, y orientado en la dirección de a z, las expresiones del potencial y del campo eléctrico dadas en las Ecs. (2.24) y (2.25), respectivamente, se especializan de la forma V (r) 1 p a r 4πε 0 r 2 E(r) 1 4πε 0 1 r 3 [(3p a r)a r p] 60

61 las cuales, resolviendo los productos escalares, dan lugar a las siguientes expresiones aún más detalladas V (r) p cos θ 4πε 0 r 2 E(r) 1 4πε 0 p r 3 [2 cos θa r + sin θa θ ] Interacción entre un dipolo eléctrico y un campo eléctrico uniforme externo Al someter un dipolo eléctrico a la acción de un campo eléctrico externo E, uniforme, sus cargas constitutivas experimentan una fuerza de igual magnitud pero de orientación opuesta. Por esta razón, el dipolo no se traslada. El dipolo, sin embargo, experimenta un torque T, cuyo valor se puede calcular independientemente del punto de referencia. Tomando como punto de referencia la carga negativa del dipolo, se obtiene que este torque vale: T = δl F = δl qe = p E (2.26) Al utilizar la regla de la mano derecha, facilmente se comprueba, a partir de la Ec. (5.28) que el torque tiende a alinear el dipolo con el campo eléctrico Dieléctricos En los átomos de los materiales dieléctricos la última capa se encuentra bastante llena de electrones por lo que, a menos que éstos materiales sean expuestos a campos eléctricos muy intensos, el fenomeno de la conducción, así como se presenta en los conductores, no ocurre. Desde el punto de vista eléctrico, los medios materiales dieléctricos se pueden pensar como constituidos de moléculas de dos tipos: las polares 2.7(a) y las no polares 2.7(b). En las del segundo tipo, los centros geometricos de la cargas negativa y positiva coinciden, y ante la acción de un campo eléctrico externo éstos se separan formando un pequeño dipolo eléctrico elemental que tiende a orientarse paralelamente al campo. 61

62 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± µ ÅÓÐ ÙÐ ÔÓÐ Ö º µ ÅÓÐ ÙÐ ÒÓ ÔÓÐ ¹ Ö º µ Å Ó ÔÓÐ Ö Þ Óº ÙÖ ¾º ÈÓÐ Ö Þ Ò ÙÒ Ð ØÖ Ó ÔÖÓÜ Ñ Ò Ñ ÖÓ Ô º En los medios materiales constituidos por moleculas polares, ya éstas constituyen dipolos eléctricos elementales, pero orientados aleatoriamente ver Fig. 2.7(a) de tal forma que ningún efecto electrico promedio se puede medir de ellos. Ambas moléculas, ante la acción de un campo eléctrico externo, uniforme, experimentan un torque que las tiende a alinear con el campo eléctrico ver Fig. 2.7(c). Polarización La reacción anteriormente descrita de las moléculas de un dieléctrico ante la acción de un campo eléctrico externo, o primario, se conoce como «polarización eléctrica». La polarización electrica se define formalmente mediante una cantidad macroscópica denominada vector de Polarización eléctrica P. El vector de polarización eléctrica P es una suerte de promedio volumétrico del momento dipolar y es una función de la posición dentro del medio material: Nn p n P = lím V 0 V (2.27) donde N es el número de dipolos eléctricos elementales presentes en un volumen V, p n es el momento dipolar asociado al dipolo n-ésimo y V es un pequeño volumen incremental en cuyo centro se desea definir a P. Desde el punto de vista matemático, el límite de la Ec. (11.114) implica reducir el volumen incremental V a dimensiones infinitesimales, pero desde el punto de vista macroscópico, que es el escenario donde tiene sentido nuestro modelo, no se debe empujar este límite más allá de la continuidad de la materia. 62

63 Con base en la definición anterior, un diferencial de volumen en el punto r de un dieléctrico polarizado, en cuyo interior se encuentran millones y más moléculas polarizadas, tendrá asociado un momento dipolar promedio que vale: dp(r ) = P (r )dν, y produce en un punto r de observación, un diferencial de potencial eléctrico que, de acuerdo con la Ec. 2.23, tiene la forma: dv (r) = 1 P (r )dν a R 4πε 0 R 2 De esta forma, todo el dieléctrico produce un potencial eléctrico en r dado por la superposición de las infinitas contribuciones que hacen los infinitos dipolos promedios presentes en él que vale: Cargas ligadas o de polarización V (r) = 1 P a R dν (2.28) 4πε 0 V R 2 La Ecuación (2.28), tomando en cuenta que a R /R 2 = (1/R) = (1/R), puede ser manipulada matemáticamente de la siguiente manera: V (r) = 1 P a R dν 4πε 0 V R 2 = 1 ( ) 1 P (r ). dν 4πε 0 V R y usando la propiedad: (Aϕ) = ϕ A + A ϕ: V (r) = 1 4πε 0 V = 1 4πε 0 = 1 4πε 0 [ P (r ] ) dν + 1 P (r ) dν R 4πε 0 V R P (r ) S R ds + 1 P (r ) dν 4πε 0 V R ρ spol (r ) ds + 1 ρ νpol (r ) dν S R 4πε 0 V R donde S es la superficie exterior del dieléctrico, ρ spol (r ) = P (r ) a n (r ) es una densidad superficial de cargas ligadas de polarización y ρ νpol (r ) = P r es una densidad volumétrica de cargas ligadas de polarización. Al introducir estas densidades de cargas ligadas, el cuerpo dieléctrico puede ser extraído del problema y ser sustituído por aquellas. De esta forma, el problema de obtener el potencial electrostático que el medio polarizado produce en el espacio es reconducido a la integración de las cargas de polarización, en lugar del propio Vector de Polarización. En todo caso, el 63

64 grado de dificultad del problema reconducido permanece inalterado respecto del original, porque el conocimiento de las densidades de cargas de polarización pasa por conocer el Vector de Polarización. Este procedimiento solo tiene valor didáctico, porque en un problema dado, estas densidades de cargas (o el Vector de Polarización) no pueden conocerse a priori, sino después de haber resuelto el campo eléctrico resultante. En este sentido, debemos tener presente que la polarización del dieléctrico se produce no solo por la acción de campo eléctrico primario, sino también por la acción del campo electrico que la polarización inducida va creando, el cual se superpone al primario, dando lugar a un campo eléctrico total que va produciendo más polarización, y que por tanto, la descripción que hemos hecho tiene sentido cuando se haya alcanzado el equilibrio electrostático. Densidad de flujo y constante dieléctrica Asumamos que cierto campo E 0 actua en el vacío ver Fig. 2.8(a) y que luego incorporamos cierto dieléctrico neutro en el escenario. Esperamos que transcurra el transitorio de reacomodación de los dipolos elementales en el dieléctrico y que haya cesado todo movimiento. µ ÑÔÓ Ð ØÖÓ Ø Ø Ó ØÙ Ò Ó Ò Ð Ú Óº µ ÑÔÓ Ð ØÖÓ Ø Ø Ó ØÙ Ò Ó Ò Ð Ú Ó Ò ÔÖ Ò ÙÒ Ù ÖÔÓ Ð ØÖ Óº ÙÖ ¾º ÁÒØ Ö Ò Ð ÑÔÓ Ð ØÖÓ Ø Ø Ó E 0 ÓÒ ÙÒ Ñ Ó Ð ØÖ Óº En ese momento se habrá alcanzado el equilibrío electrostático y el dieléctrico se habrá polarizado. La polarización del dieléctrico se podrá tratar mediante la incorporación en el problema de cierta carga distribuida sobre la superficie del dieléctrico, en forma de una ρ sp = P a n, y, si el dieléctrico no fuese homogéneo, de cierta carga distribuida en el interior, en forma de una ρ νp = P ver Fig. 2.8(b). Estas cargas de polarización inducirán un campo E s fuera y 64

65 un campo E t dentro, los cuales se superpondrán a E 0 dando lugar al campo E 2 en el vacío y al campo E 1 en el interior del dieléctrico. Condiciones en la frontera entre un dieléctrico y el vacío En la superficie de separación entre el vacío y el dieléctrico el campo electrostático está obligado a satisfacer la condiciones de borde que se derivan de las ecuaciones E = 0 y E = ρν ε 0. De esta forma tenemos: a n (E 2 E 1 ) = 0 a n (E 2 E 1 ) = ρ s ε 0 Vector de desplazamiento eléctrico o de densidad de flujo eléctrico Si entre los intersticios microscópicos de un cuerpo dieléctrico infinito, no homogéneo, se lograrán introducir cargas libres en forma de una distribución estática, éstas producirían un campo eléctrico inicial que polarizaría el dieléctrico dando lugar a la aparición de cierta densidad volúmetrica de cargas ligadas en él. Alcanzado el equilibrio electrostático, tanto las cargas libres introducidas inicialmente, como las inducidas de polarización, se constituirán en fuentes del campo eléctrico resultante. Por esta razón, al tomar la divergencia del campo electrico en el interior del dieléctrico será: E = 1 ε 0 (ρ v libres + ρ νpol ). Tomando en cuenta que ρ νpol = P, se podrá escribir (ε 0 E + P ) = ρ v libres Ahora bien, en el interior de ciertos dieléctricos, la polarización P es directamente proporcional al campo eléctrico que se establece: P E. En estos casos, la relación entre ambos vectores se puede espresar de la forma P = ε 0 χ e E (2.29) donde χ e, la cual es una cantidad adimensional, es un parámetro propio (intrínseco) de cada material denominado susceptibilidad eléctrica. En la Teoría de Campos macroscópica en lugar de trabajar con el vector P se suele emplear el vector de desplazamiento eléctrico, o de densidad de flujo eléctrico, D, el cual se define como D = ε 0 E + P (2.30) 65

66 El vector D tiene las mismas dimensiones que P : [C/m 2 ] y tiene una relación simple con E en aquellos materiales en los que P es proporcional a E. En efecto, sustituyendo la Ec. (2.29) en la Ec. (2.30) se obtiene: D = ε 0 E + ε 0 χ e E = ε 0 (1 + χ e ) E }{{} } ε r {{ } ε D = εe (2.31) donde ε r es la permitividad relativa o constante dieléctrica del medio y es una cantidad adimensional, y ε = ε r ε 0 es la permitividad absoluta o simplemente permitividad del medio y se mide en [F/m]. Con base en la Ec. (2.31) podemos escribir: D = ( ε) E D = ρ ν donde ρ ν solo comprende las cargas libres. Por esta razón, en la interfaz dieléctrico-vacío se cumple a n (D 2 D 1 ) = 0 (2.32) Por otro lado, en medios genéricos la relación entre P y E, y por ende entre D y E, no es tan simple como D = εe, donde ε es un parámetro constante. En efecto: en los medios no lineales, el parámetro ε es una función de la intensidad del campo: ε = ε(e): D = ε(e)e en los medios no homogéneos, el parámetro ε varía con el punto ε = ε(r): D = ε(r)e 66

67 y en los medios anisotrópicos, ε es un tensor ya que P, y por ende D, no es paralelo al campo E: D x ε D y = xx ε xy ε xz E x ε yx ε yy ε yz E y D z ε zx ε zy ε zz E z En este curso, a menos que se especifique otra cosa, estaremos tratando con medios homogéneos, lineales e isotrópicos, los cuales se denominan medios simples. Los medios simples serán nuestros medios por defecto. Problema Dado un medio material caracterizado por ε = ε0 0 1, ,8 en el que existe un campo eléctrico uniforme E = 2a x +a y 5a z [V/m], calcule: (a) el tensor de susceptibilidad eléctrica χ e, (b) el vector de polarización P, (c) el momento dipolar promedio en la dirección de a z en un 1 cm 3 de material, y (d) el vector de desplazamiento eléctrico D. Resp.: (a) Como χ e = ε r I, será: χe = , ,8 (b) P = ε 0 (0,6a y 4a z ) [C/m 2 ], (c) p = ε 0 a z [C m], (d) D = ε 0 (2a x + 1,6a y 9a z ) [C/m 2 ] Energía electrostática Al conformar una distribución de cargas se debe «gastar» cierta energía que, luego, mientras perdura la distribución, queda almacenada en el campo eléctrico de la distribución en forma de energía electrostática. Se puede admitir que la energía se ha consumido (transformado) 67

68 en la creación del campo (que la almacena). En un medio lineal, una expresión analítica de la energía electrostática, almacenada por un sistema de cargas discretas, se puede obtener sumando el trabajo individual requerido para poner cada una de las cargas en su lugar dentro de la distribución, trayéndolas desde el infinito una por una. En efecto, despreciando el trabajo original realizado en la «fabricación» de cada carga, al traer la primera carga a su posición virtualmente no es necesario realizar ningún trabajo. Al traer la segunda carga realizaremos un trabajo par a q 2 V 21, donde V 21 es el potencial producido por la carga 1 en el punto ocupado por la carga 2. Al traer q 3 realizaremos un trabajo par a q 3 (V 31 +V 32 ), donde V 31 +V 32 es el potencial producido por las cargas 1 y 2 en el punto ocupado por q 3. Así, sucesivamente, tocará finalmente traer la carga última N ésima, realizando un trabajo par a q N N 1 n=1 V Nn = q N V N, donde V N = N 1 n=1 V Nn es el potencial producido por el resto de las cargas en el punto ocupado por q N. La repetición del experimento anterior en orden inverso nos permite calcular nuevamente el mismo trabajo, cuya suma 2W e resulta par a 2W e = N n q n V n, de donde se desprende que W e = 1 2 N q n V n [J] n donde V n es el potencial en el punto ocupado por la carga q n debido a las N 1 cargas restantes de la distribución. Una generalización de este resultado al caso de una distribución continua de cargas se obtiene usando cargas infinitesimalmente pequeñas q n ρ ν dν, trayendo un infinito número de éstas y juntándolas de forma continua en cierto volumen. Sobre cada una de estas cargas será necesario efectuar un trabajo infinitesimal del orden de ρ ν V dν. La suma de estos trabajos se convierte en una suma continua V. En el cuadro 2.2 se indican las expresiones analíticas de la energía eléctrica almacenada en el campo eléctrico de varias distribuciones de cargas. Una expresión equivalente de la W e se obtiene expandiendo el volumen de integración infinitamente (V V ) y valiéndonos de la relación ρ ν = D, de la siguiente manera: W e = 1 2 V ρ ν V dν = 1 2 V ( D)V dν usando la identidad vectorial (V D) = V D + D V y el Teorema de la Divergencia 1 ( D)V dν = 1 (V D) dν 1 D V dν 2 V 2 V 2 V = 1 V D a n ds + 1 D E dν 2 S 2 V 68

69 Ù ÖÓ ¾º¾ Ò Ö Ð ØÖÓ Ø Ø ÙÑÙÐ ÔÓÖ ÙÒ ØÖ Ù Ò Ö º V n Ð Ö ÓÑÓ Ð ÔÓØ Ò Ð Ò Ð ÔÙÒØÓ ÓÙÔ Ó ÔÓÖ Ð Ö q n Ó Ð N 1 Ö Ö Ø ÒØ Ð ØÖ Ù Òº V ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ñ Ò Ö Ò ÐÓ º Distribución Energía almacenada y densidad de energía N cargas puntuales W e = 1 2 Nn q n V n [J] Distribución volumétrica de cargas W e = 1 2 V ρ ν(r)v (r) dν [J] W e = 1 2 V D(r) E(r) dν [J] Densidad de energía eléctrica ω e = 1 2 D E [J/m3 ] y tomando en cuenta que V 1, D 1 y ds R 2 : 1 R R 2 2 S V D a n ds 0, sigue que: W e = 1 ρ ν V dν 2 V = 1 D E dν (2.33) 2 V La cantidad subintegral 1 2 D E tiene dimensiones de [J/m3 ] y constituye la densidad de energía (eléctrica) ω e del campo eléctrico Capacitancia Cuando se fuerza una diferencia de potencial entre dos cuerpos conductores, originalmente neutros, necesariamente se produce una redistribución de cargas eléctricas a expensas de cierto consumo de energía externa (eventualmente química, aportada por una batería, por ejemplo). La cargas movilizadas, alcanzado el equilibrio electrostático, terminan distribuidas preponderantemente sobre las superficies «enfrentadas» de los conductores creando un campo E que 69

70 almacena, en forma de energía electrostática, el correspondiente trabajo realizado. En este sentido, un sistema de dos conductores es capaz de «almacenar energía». La cantidad de energía electrostática almacenada es, en general, una función de la geometría del sistema y del medio dieléctrico de relleno. Una medida de la capacidad de almacenamiento de energía eléctrica de un sistema como éste bien podría ser la razón de carga distribuida ( Q) a trabajo realizado por unidad de carga ( V ): ÙÖ ¾º Ë Ø Ñ Ó ÓÒ ÙØÓÖ ÒÑ Ö Ó C = Q Ò ÙÒ Ñ Ó Ð ØÖ Ó Ð Ù Ð Ð ÔÙ ØÖ Ù Ö V = S εe ds + E dl (2.34) ÙÒ Ô Ø Ò º C recibe el nombre de capacitancia y es un parámetro geométrico del sistema ampliamente utilizado en la Teoría de Circuitos. De esta suerte, al comparar dos de estos sistemas, distintos entre si, forzando cierta V entre sus dos cuerpos conductores componentes, almacenará mayor energía aquél donde las cargas redistribuidas sobre la superficie sea mayor. Problema Calcule la capacitancia por unidad de longitud de un sistema constituido por dos cilindros conductores concéntricos si el espacio entre ambos conductores está ocupado por dos dieléctricos como se ilustra en la Fig (No proceda postulando que 1 = 1 C C C 2 ). ÙÖ ¾º½¼ ÓÖØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ð Ø Ñ Ó ØÙ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Resp.: C l = ln(c/b) ε 2 2π + ln(b/a) ε 1 [F/m]. 70

71 2.7. Problemas propuestos 1. Una línea de carga de longitud L finita tiene una densidad de carga lineal ρ L [C/m] uniforme. Suponiendo la linea yacente sobre el eje x, calcule: a) El potencial V en el plano que divide en dos partes iguales la línea de carga. b) El campo electrostático E directamente a partir de ρ L (integrando). 2. Una distribución de carga lineal ρ L [C/m] uniforme tiene forma circular con radio a [m]. Calcule: a) El potencial V en los puntos sobre la línea central y perpendicular a la distribución. b) El campo electrostático E directamente a partir de ρ L (integrando). 3. Demuestre que en la superficie interior de un conductor hueco no se depositan cargas a menos que existan cargas libres en la cavidad. 4. Dado el sistema de conductores que se muestra en la Fig. 2.11, el cual consiste en tres cilindros conductores concéntricos e infinitos: un cilindro interno macizo de radio a, un cilindro intermedio hueco de radio interior b y exterior c, y un cilindro externo, también hueco, de radios interior y exterior, d y e, respectivamente, resuelva las densidades de cargas libres (ρ s libres ) y de polarización (ρ spol ) en ρ = a, b, c, d, e, una vez alcanzado el equilibrio electrostático, si se depositan en exceso Q 0 [C] por unidad de longitud en: a) el cilindro interno, si el resto de los conductores se mantienen eléctricamente neutros. b) el cilindro intermedio, si el resto de los conductores se mantienen eléctricamente neutros. c) el cilindro externo, si el resto de los conductores se mantienen eléctricamente neutros. 5. Dada una distribución volumétrica de cargas libres ρ ν = ρ 2 [C/m 3 ] (ρ en m), determine: a) El campo electrostático en todos los puntos del espacio. b) La energía electrostática por unidad de volumen en el espacio. 71

72 ÙÖ ¾º½½ Î Ø Ð Ø Ñ ÓÒ ÙØÓÖ Ð Ò Ö Ó ÓÒ ÒØÖ Ó Ð ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ð Ö Ò a < ρ < b ε 1 = ε 0 e ρ a b a Ý Ò Ð Ö Ò c < ρ < d ε 2 = 10ε 0 º c) Si el espacio se supone ocupado por un medio de permitividad ε, calcule ρ νp. 6. Dada una distribución volumétrica de cargas libres ρ ν = ρ 0 r [C/m 3 ], determine: a) El campo electrostático en todos los puntos del espacio. b) La energía electrostática por unidad de volumen en el espacio. c) Si el espacio se supone ocupado por un medio de permitividad ε, calcule ρ νp. 72

73 Capítulo 3 Problemas con Valores en la Frontera Introducción Hasta ahora habíamos resuelto problemas de electrostática en los que se especificaba explicitamente la distribución de cargas en forma de una ρ ν (r ) y mediante un procedimiento de integración se calculaba el potencial eléctrico V (r) (ver figura 3.1): V (r) = 1 ρ ν (r ) 4πε V r r dν Existe, sin embargo, un conjunto de otros problemas en electrostática denominados problemas con valores en la frontera, los cuales consisten, definida cierta región R, delimitada por cierta frontera R, en encontrar una función potencial V = V (r) que satisfaga en R, o la ecuación de Laplace: 2 V = 0, o la ecuación de Poisson: 2 V = ρν, y que satisfaga, a su vez, ciertas condiciones dadas en ε R. En los problemas con valores en la frontera la región R consiste, en general, de un dieléctrico simple, y la frontera R está conformada por las superficies exteriores de dos o más conductores inmersos en el dieléctrico. En la Figura 3.2(a) la zona en blanco, donde se ha escrito la ecuación de Laplace, constituye la región R de interés, ÙÖ º½ ØÖ Ù Ò Ö Ò ÙÒ Ô Ó Ð Ñ ¹ Ø Óº y las superficies S 1,2 exteriores de los dos cuerpos conductores presentes, constituyen la frontera R de R. En la Figura 3.2(b) se ha recreado el mismo escenario y se ha añadido una distribución 73

74 µ Ê Ò R Ð Ñ Ø ÔÓÖ Ð ÙÔ Ö S 1,2 Ý Ð Ò Ò ØÓ δrµº µ Ê Ò R ÓÒ ÙÒ ØÖ Ù Ò Ö ÔÖ ÒØ º ÙÖ º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÖÓÒØ Ö º de cargas libres según una ley ρ ν = ρ ν (r ) creando un nuevo problema con valores en la frontera, que viene a ser la superposición de los problemas representados por las figuras 3.1 y 3.2(a). Si se conviene en denominar V H (r) la solución del problema con valores en la frontera de la Fig. 3.2(a), y V P (r) = 1 ρ ν(r 4πε V ) r r dν la solución del problema de la figura 3.1, la solución del problema de la Figura 3.2(b) será: V (r) = V H (r) + V P (r) = V H (r) + 1 ρ ν (r ) 4πε V r r dν (3.1) En los problemas con valores en la frontera, en general, existen ciertas distribuciones de cargas sobre S 1,2, las cuales suelen llamarse «externas», porque no se encuentran en el interior de R, que no se conocen explícitamente y que por tanto no pueden integrarse, pero que se especifican indirectamente mediante las denominadas condiciones de borde. Los problemas con valores en la frontera pueden ser de uno de los tipos siguientes: De Dirichlet o del primer tipo, en el que en la frontera se especifica el valor de V : 2 V = 0 (3.2) V S1,2 = V 1,2 74

75 De Neumann o del segundo tipo, en el que en la frontera se especifica el valor de la derivada direccional de V respecto de la normal a la frontera: 2 V = 0 V = V S1,2 n n 1,2 (3.3) Mixto, en el que en parte de la frontera se especifica el valor de V, y en el resto el de la derivada direccional de V respecto de la normal a la frontera: 2 V = 0 V S1 = V 1 V = V S2 n La solución de los problemas del tipo esquematizado en la figura 3.2(a) se reduce a resolver la ecuación de Laplace, lo cual será posible analítica o numéricamente según sea la geometría de R. Si la geometría de R es una geometría canónica, la solución del problema se podrá hallar usando métodos analíticos. Si la geometría fuera arbitraria, sin simetría alguna, se deberá estimar V (r) utilizando métodos numéricos. A los fines académicos tiene sentido revisar, por ahora, solo aquellos problemas con solución analítica posible. n 2 (3.4) 3.1. Teorema de la unicidad El teorema de la unicidad establece que dos soluciones de la ecuación de Laplace (o de Poisson) que satisfacen las mismas condiciones en la frontera son idénticas si se trata de un problema de contorno de Dirichlet o mixto, o difieren a lo sumo en una constante aditiva si se trata de un problema de contorno de Neumann [4, 5, 6]. Para demostrar este teorema supóngase que se dispone de dos soluciones de la ecuación de Laplace (o de Poisson): φ 1 = φ 1 (r) y φ 2 = φ 2 (r): o: 2 φ 1 = 0 2 φ 2 = 0 2 φ 1 = ρ ν ε 2 φ 2 = ρ ν ε 75

76 tales que las mismas satisfacen ciertas condiciones de borde. Estas condiciones de contorno pueden ser del primer tipo (problema de Dirichlet): φ 1 S1,2 = V 1,2 (3.5) φ 2 S1,2 = V 1,2 (3.6) del segundo tipo (problema de Neumann): φ 1 = V (3.7) n S1,2 n S1,2 φ 2 = V (3.8) n S1,2 n S1,2 o mixtas. Se define una nueva función Φ = Φ(r) dada por: Φ(r) = φ 1 (r) φ 2 (r). Facilmente se comprueba que la nueva función satisface la ecuación de Laplace (ya no la de Poisson): 2 Φ = 2 (φ 1 φ 2 ) = 2 φ 1 2 φ 2 = 0 Si se toma el gradiente de la función Φ y se multiplica por la propia función Φ se comprueba, aplicando el Teorema de la Divergencia, que la integral de la divergencia de la función producto resultante, (Φ Φ), en la región R del problema es nula: R (Φ Φ) dν = Φ Φ dsa n S 1,2 = Φ ( Φ a n ) ds S 1,2 = Φ Φ S 1,2 n ds ( = φ1 φ ) S1,2 2 φ 1 S1,2 S 1,2 n φ 2 S1,2 n S1,2 ds = 0 (3.9) La divergencia (Φ Φ) puede, además, expandirse en la suma de dos términos: (Φ Φ) = Φ 2 Φ + ( Φ) 2 76

77 pero como 2 Φ = 0 sigue, tomando en cuenta la ecuación 3.9, que: ( Φ) 2 dν = 0 R resultado que solo puede ser posible si Φ = 0 en todos los puntos de R, lo cual implica, a su vez, que Φ sea constante en R, e inclusive sobre la frontera S 1,2. Que Φ sea constante en R+S 1,2, y llamando k esta constante, significa que φ 1 φ 2 = k. En un problema de Dirichlet o mixto el valor de esta constante se puede determinar evaluando esta diferencia en algún punto donde se conozcan de antemano los valores φ 1,2. Este punto puede ser uno cualquiera sobre la frontera y facilmente se comprueba que k es nula, resultando idénticas las funciones φ 1,2 : φ 1 = φ 2. En un problema de Neumann resulta obvio, después de derivar: Φ = k n S1,2 n φ 1 φ 2 = 0 n S1,2 n S1,2 que la diferencia entre las dos soluciones de la ecuación de Laplace φ 1,2 es precisamente una constante aditiva, k, indeterminada Problemas con valores en la frontera en una dimensión Existen en su totalidad 5 diferentes problemas con valores en la frontera en una dimensión tomando como referencia los sistemas de coordenadas Cartesianas, cilíndricas y esféricas. En la Fig. 3.3 se muestran las distintas geometrías de los conductores que dan lugar a los problemas con valores en la frontera en 1D en los sistemas de coordenadas mencionadas. En el Cuadro 3.1 se muestran las ecuaciones de Laplace específicas, y sus correspondientes soluciones, de cada una de las geometrías presentadas en la Fig. 3.3 [4, 6]. Las constantes indeterminadas A y B que aparecen en las soluciones que se muestran en la tercera columna del Cuadro 3.1 se han de resolver evaluando tales soluiones en la frontera para los problemas de contorno de Dirichlet y mixto. En el problema de contorno de Neumann la constante B no se podrá resolver. Esta limitación no impide, sin embargo, el calculo del campo eléctrico como E = V en este tipo de problema. 77

78 µ µ µ µ µ ÙÖ º ÓÑ ØÖ ÐÓ ÓÒ ÙØÓÖ ÕÙ Ò ÐÙ Ö ÐÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÖÓÒØ Ö Ò ½ Ò ÐÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ð Ò Ö Ý Ö º Ù ÖÓ º½ Ù ÓÒ Laplace Ô ÙÒ Ð ÓÑ ØÖ ÔÖ ÒØ Ò Ð º º Ý Ù ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÐÙ ÓÒ º Geometría del problema Ecuación de Laplace Solución Fig. 3.3(a) d 2 V dx 2 = 0 V (x) = Ax + B Fig. 3.3(b) 1 d ρ dρ ( ) ρ dv dρ = 0 V (ρ) = A ln ρ + B Fig. 3.3(c) 1 ρ 2 d 2 V dϕ 2 = 0 V (ϕ) = Aϕ + B ( ) 1 d Fig. 3.3(d) r 2 dr r 2 dv dr = 0 V (r) = A + B r Fig. 3.3(e) 1 r 2 sin θ ( d dθ sin θ dv dθ ) ( ) = 0 V (θ) = A ln tan θ 2 + B Ejercicio Se desea calcular la capitancia del sistema que se muestra en la figura 3.4. Dicho sistema consiste de dos esferas conductoras concéntricas rellenas con dos dieléctricos homogéneos distintos. 78

79 El cálculo de C se efectuará suponiendo conocida la diferencia de potencial V entre los conductores, y hallando la carga Q acumulada en el conductor a mayor potencial como una función de V : Q = Q( V ): C = Q ( V ) V Para ello se hace necesario el ÙÖ º ÓÖØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ð Ø Ñ Ó ØÙ Ó Ð Ù Ð ÓÒ Ø Ò Ó Ö ÓÒ ÙØÓÖ ÓÒ ÒØÖ Ö Ó a Ý c Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÙÝÓ ÒØ Ö ÓÖ ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ó Ñ Ø Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ Ð ØÖ ε 1,2 º planteamiento de dos problemas con valores en la frontera, a partir de la fijación de la diferencia de potencial V entre los conductores, y estableciendo apropiadas condiciones de borde. Los problemas con valores en la frontera han de ser: 1 r 2 d dr ( ) r 2 dv 1 dr = 0 V 1 (a) = V 1 r 2 d dr ( ) r 2 dv 2 dr = 0 V 2 (c) = 0 Las soluciones de estos problemas son, respectivamente:, a < r < b (3.10), b < r < c (3.11) V 1 (r) = A r + B, a < r < b (3.12) V 2 (r) = C r + D, b < r < c (3.13) Vemos que al tener cuatro constantes indeterminadas las condiciones de frontera establecidas no son suficientes: hacen falta dos condiciones de borde adicionales. Estas condiciones de borde han de ser añadidas por nosotros a la luz del comportamiento de V 1,2 (r) y de V 1,2 r entre los dos dieléctricos, a saber: V 1 r en la frontera V 1 (b) = V 2 (b) (3.14) = ε 2 V 2 (3.15) r=b ε 1 r r=b 79

80 juntando las condiciones de frontera establecidas en las ecuaciones (3.10) y (3.11) con las definidas mediante las ecuaciones (3.14) y (3.15), se puede escribir: de donde: donde κ = ε 2 ε 1. De esta forma tenemos: A = V = A a + B 0 = C c + D A b + B = C b + D A = ε 2 ε 2 C V [ 1 κc 1 κb + 1 b 1 a] B = V C = D = V [ ] 1 1 a κc κb b a V κ [ ] 1 κc κb b a V κ [ 1 κc 1 κb + 1 b 1 a V V (r) = V [ ] 1 1 a V [ κc κb b a κc κb b a] 1 r, r/a r b V V (r) = κ [ ] 1 1 c V κ [ ] 1 1 r, r/b r c κc κb b a κc κb b a El campo eléctrico E se puede calcular como E = V = dv dr a r: ] 1 c V E = [ ] a r 1 r 2 κc κb b a r/a r b E = ε 1 V [ ε 1 2 ] a r 1 r 2 κc κb b a r/b r c Utilizando el campo D la carga Q se puede calcular mediante la integral Q = S D.ds, 80

81 tomando S de tal forma que contenga la esfera conductora interior: Q = = 2π π ε V [ κc κb b a V [ 1 κc 1 κb + 1 b 1 a]ε 1 4π ] a r r 2 r2 sin θdθdϕa r y finalmente se obtiene: C = Q V 4πε 1 = [ κc κb b a] Facilmente se comprueba que la capacitancia del sistema de la figura 3.4 se puede pensar como la capacitancia equivalente de dos sistemas esféricos en serie, cada uno con capacitancias asocidas de C 1 = 4πε 1 / (1/b 1/a) y C 2 = 4πε 2 / (1/c 1/b): C = C 1 C 2 1 = = = 1 C C 2 1 ( 1 b a) 1 4πε 1 + ( 1 c 1 b) 4πε 2 4πε 1 [ κc κb b a] 3.3. Problemas con valores en la frontera en dominios rectangulares 2D ÙÖ º ÓÑ ÒÓ Ö Ø Ò Ù¹ Ð Öº En coordenadas Cartesianas existe un problema con valores en la frontera general que engloba cuatro problemas particulares distintos pero muy parecidos entre sí. El problema general se ilustra en la figura 3.5. En dicha figura se muestra una región rectangular definida por 0 < x < a y 0 < y < b. En la misma figura se identifican cuatro fronteras en las que la función V asume valores distintos: 81

82 V (a, y) = V 1, y ]0, b[, V (x, b) = V 2, x ]0, a[, V (0, y) = V 3, y ]0, b[ y V (x, 0) = V 4, x ]0, a[. El problema con valores en la frontera resultante tiene la for- 2 V = 0 V (a, y) = V 1 V (x, b) = V 2 (3.16) V (0, y) = V 3 V (x, 0) = V 4 ma: El problema definido por la ecuación (3.16) se puede pensar como la superposición de los siguientes 4 problemas menos generales ver figura 3.6 : 2 V = 0 V (a, y) = V 1 V (x, b) = V 2 = V (0, y) = V 3 V (x, 0) = V 4 2 V = 0 2 V = 0 V (a, y) = V 1 V (x, b) = 0 + V (a, y) = 0 V (x, b) = V 2 V (0, y) = 0 V (x, 0) = 0 V (0, y) = 0 V (x, 0) = 0 2 V = 0 2 V = 0 V (a, y) = 0 V (x, b) = 0 + V (a, y) = 0 V (x, b) = 0 V (0, y) = V 3 V (x, 0) = 0 V (0, y) = 0 V (x, 0) = V 4 (3.17) Se procederá a resolver el problema particular siguiendo los desarrollos presentados en [4, 9]: 2 V x V = 0 y 2 V (a, y) = V 1 V (x, b) = 0 V (0, y) = 0 V (x, 0) = 0 (3.18) para ello se supondrá que la solución tiene la forma de un producto de dos funciones, X y Y, las cuales dependen única y respectivamente de las variables x y y: X = X(x) y Y = Y (y), de tal suerte que V (x, y) = X(x)Y (x). Sustituyendo este producto en la ecuación de Laplace: 2 V x + 2 V 2 y = 0 2 Y d2 X dx 2 + X d2 Y dy 2 = 0 82

83 µ µ µ µ ÙÖ º ËÙ Ú Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓ Ð Ó Ò Ð ÙÖ º Ò Ù ØÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö º 1 d 2 X } X {{ dx 2 } F 1 (x) d 2 Y dy 2 }{{} F 2 (y) + 1 Y = 0 (3.19) Para que la suma de F 1 (x) y F 2 (y) se mantenga igual a cero en todos los puntos dentro del dominio rectangular se requiere que las funciones F 1 y F 2 sean iguales mutuamente a una constante: F 1 (x) = α 2 y F 2 (y) = α 2, lo cual permite escindir la ecuación de Laplace en dos ecuaciones diferenciales unidimensionales: Por solución de la ecuación (3.20) se tomará: y por solución de la ecuación (3.21) se tomará: 1 d 2 X X dx = 2 α2 (3.20) 1 d 2 Y Y dy = 2 α2 (3.21) X(x) = A cosh(αx) + B sinh(αx) (3.22) Y (y) = C cos(αy) + D sin(αy) (3.23) 83

84 De este modo la solución buscada tiene la forma: V (x, y) = [A cosh(αx) + B sinh(αx)] [C cos(αy) + D sin(αy)] (3.24) Las constantes indeterminadas A, B, C y D se determinan evaluando V (x, y) en la frontera: V (x, 0) = 0 [X(x)] [C] = 0 C = 0 V (x, b) = 0 [X(x)] [D sin(αb)] = 0 α = mπ b m = 1, 2,..., [ ( )] mπ V (0, y) = 0 A D sin b y = 0 A = 0 obteniendo ( ) ( ) mπ mπ V (x, y) = V 0 sinh b x sin b y con m = 1, 2,..., y V 0 = BC. (3.25) Ciertamente la función V (x, y) = V 0 sinh ( mπ b x) sin ( mπ b y) no puede satisfacer la condición de borde V (a, y) = V 1. Sin embargo, ya que la ecuación (3.25) representa en realidad una familia de soluciones, cualquier combinación lineal de los miembros de esta familia constituye, a su vez, una solución de la ecuación (3.18) y satisface, además, las condiciones de borde V (x, 0) = 0, V (x, b) = 0 y V (0, y) = 0: V (x, y) = m=1 ( ) ( ) mπ mπ V m sinh b x sin b y No es ilógico pensar que pueda existir una apropiada combinación lineal de estas soluciones que satisfaga la cuarta condición de borde: V (a, y) = V 1, condición de frontera que ninguno de los miembros de la familia (3.25) satisface individualmente: equivalentemente: V (a, y) = V 1 m=1 m=1 ( ) ( ) mπ mπ V m sinh b a sin b y = V 1 ( ) mπ c m sin b y = V 1 (3.26) donde c m = V m sinh ( ) mπa b es cierto número para cada valor de m. En la ecuación (3.26), la sumatoria m=1 c m sin ( mπ b y) puede verse como la expansión en serie de Fourier de la constante V 1, y las constantes c m como los coeficientes de la serie. Los coeficientes c m pueden calcularse 84

85 haciendo la función V (a, y) periódica, de período 2b, y de simetría impar mediante el siguiente producto interno: c m = 2 [ 0 b b de donde: siguiendo que: y m=1 ( mπ )] ( ) mπ c m sin b y sin b y dy + 2 b c m = 2 b 0 V (x, y) = b [ b 0 c m sin m=1 ( ) mπ [ V 1 ] sin b y dy + 2 b [V 1 ] sin b 0 V m = m=1 m impar 4V 1 m impar mπ c m = 0 m par 4V 1 mπ sinh (mπa/b), m impar ( mπ )] ( ) mπ b y sin b y dy ( mπ b y ) dy ( ) ( ) 4V 1 mπ mπ mπ sinh (mπa/b) sinh b x sin b y En la figura 3.7 se muestra una gráfica de V (x, y) para V 1 = 2. (3.27) (3.28) ÙÖ º Ö V (x, y) Ô Ö V 1 = 2º Las restantes soluciones particulares del problema global (ecuación 3.17) se pueden componer a partir de la solución (3.28) permutando apropiadamente los valores a b y las variables x y, y rotando y desplazando, apropiadamente, las funciones en x y en y. En la tabla 3.2 se muestran estas soluciones. 85

86 Ù ÖÓ º¾ ËÓÐÙ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓ Ð ÜÔÖ Ó Ñ ÒØ Ð Ù Ò º½ µº Problema de contorno 2 V = 0 V (a, y) = 0 V (x, b) = V 2 V (0, y) = 0 V (x, 0) = 0 2 V = 0 V (a, y) = 0 V (x, b) = 0 V (0, y) = V 3 V (x, 0) = 0 2 V = 0 V (a, y) = 0 V (x, b) = 0 V (0, y) = 0 V (x, 0) = V 4 m=1 m=1 m impar m=1 m impar m impar Solución 4V 2 mπ sinh(mπb/a) sinh ( mπ a y) sin ( mπ a x) 4V 3 sinh [ mπ ( x + a) ] sin ( mπ mπ sinh(mπa/b) b b y) 4V 4 sinh [ mπ ( y + mπ sinh(mπb/a) a b)] sin ( mπ a x) 3.4. Teoría de imágenes Algunos problemas del tipo ilustrado en la Fig. (3.2(b)), por presentar una elevada simetría, se les puede resolver mediante la sustitución de los cuerpos conductores por unas cargas equivalentes determinadas, que se pueden integrar, denominadas cargas imágenes. Las cargas imágenes producirán el potencial V H (r) de la solución expresada mediante la Ec. (3.1) en la región R (r R) V H (r) = 1 4πε V C ρ im ν (r ) R dν donde V C es el volumen del conductor, tal que la solución V P (r) + 1 ρ im 4πε V C ν (r ) dν satisfaga las R condiciones de borde en R. Variados ejemplos y problemas que ilustran la aplicación de este método se pueden encontrar en la literatura [4, 3, 6]. En una entrega posterior de este artículo el autor incluirá una ilustración de la aplicación del método a un problema concreto Problemas propuestos 1. Dado el sistema de conductores que se ilustra en la Fig. 3.8, constituido por una esfera conductora de radio a concéntricamente ubicada en el interior de un segundo conductor esférico hueco, de radio interior b y radio exterior c, si en el conductor interno se depositan 86

87 Q 0 [C] en exceso ÙÖ º ÓÖØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ð Ø Ñ ÓÒ ÙØÓÖ Ð ÈÖÓ Ð Ñ ½º a) Resuelva el potencial eléctrico V y el campo eléctrico E postulando, razonadamente, un problema de Neumann en la región a < r < b y un problema mixto en la región c < r <. b) Resuelva el potencial eléctrico V y el campo eléctrico E postulando, razonadamente, un problema mixto en ambas regiones. 2. Dos semi-planos conductores de dimensiones infinitas forman un ángulo ϕ como se muestra en la Fig. 3.3(c). Entre estos semi-planos hay un medio de propiedades intrínsecas ε y σ. a) Calcular la capacitancia C = Q( V )/ V asociada a la porción del sistema definida por z = h y ρ = ρ e ρ i. b) Calcular la resistencia R asociada a la misma porción del sistema mediante la fórmula R = V/I. c) Comprobar que RC = ε/σ. 3. Dos conductores de dimensiones infinitas forman un ángulo θ como se ilustra en la Fig. 3.3(e). Entre los dos conductores hay un medio de propiedades intrínsecas ε y σ. a) Calcular la capacitancia C = Q( V )/ V asociada a la porción del sistema definida por ϕ = ϕ 2 ϕ 1 y r = r e r i. 87

88 b) Calcular la resistencia R asociada a la misma proción del sistema mediante la fórmula R = V/I. c) Comprobar que RC = ε/σ. 88

89 Capítulo 4 Corriente eléctrica 4.1. Densidad de corriente Dado un medio en cuyo interior ciertos portadores de carga pueden moverse libremente bajo la acción de un campo eléctrico. Sea N q el número de estos portadores de carga por unidad de volumen, y sea v la velocidad promedio equivalente de los portadores de carga. Tomado en el interior del medio un volumen diferencial ν rectangular, la cantidad de carga que atraviesa una cualquiera de las superficies de este volumen por unidad de tiempo vale: I = dq dt = N qv a n ds [A/m] (4.1) La cantidad N q v tiene unidades de [A/m 2 ] y se denomina vector densidad de corriente: J = N q v (4.2) De esta forma, la corriente eléctrica que atraviesa una superficie genérica S dentro del medio se calcula mediante la integral: I = Por otro lado, el término N q v admite la siguiente representación: S J ds (4.3) N q v = ρu, corriente de convección; ρ e u e E = σe, corriente de conducción en conductores; ( ρ e u e + ρ h u h )E = σe, corriente de conducción en semiconductores. 89 (4.4)

90 donde ρ, ρ e y ρ h son las densidades volumétricas de portadores de carga libres, de electrones en movimiento y de «huecos» en movimiento, respectivamente ([C/m 3 ]); u es la velocidad promedio de los portadores de carga libres, u e es la movilidad del electrón ([m 2 /V s]), y u h la movilidad de los huecos; y σ es un parámetro constitutivo macroscópico del medio llamado conductividad ([S/m]). En el cuadro 4.1 se muestran algunos de estos valores para algunos materiales de uso frecuente en la ingeniería electrónica. material u e [m 2 /V s] u h [m 2 /V s] σ [S/m] Cobre 3, , Aluminio 1, , Plata 5, , Germanio 0,38 0,18 2,2 Silicio 0,12 0,03 1, Ù ÖÓ º½ ÅÓÚ Ð Ý ÓÒ ÙØ Ú Ð ÙÒÓ Ñ Ø Ö Ð º La ecuación: J = σe (4.5) se conoce como ley de Ohm puntual Conservación de la carga o continuidad de la corriente Si en lugar de tomar una superficie abierta genérica en el interior del medio, tomamos una superficie S(V ) cerrada, el flujo de J a través de S(V ), igualará la rata de disminución de los portadores de cargas en el volumen V encerrado por S(V ). Este principio, que se conoce como principio de conservación de la carga, se escribe: S(V ) J ds = d dt V ρ ν dν (4.6) La versión diferencial de la ecuación 4.6 se obtiene aplicando el Teorema de la divergencia a la integral de la izquierda. En efecto: V Jdν = d dt V 90 ρ ν dν = V t ρ ν dν (4.7)

91 y ya que las cantidades subintegrales han de ser iguales para cualquier volumen V, se obtiene: J = t ρ ν (4.8) ÙÖ º½ ÖÙ ØÓ ÊÄ Ô Ö Ð ÐÓ Ð Ô Ö Ù Ö Ð Ð Ý ÓÖÖ ÒØ Kirchhoff Ô ÖØ Ö Ð Ù Ò ÓÒØ ÒÙ Ð ÓÖÖ ÒØ Ò Ù ÓÖÑ ÒØ Ö Ð (4.6)º Ð ÑÔÙØÓ Ð Ù Ó Ð Ò ÓÖÖ ÒØ ØÖ Ú Ð ÙÔ Ö S ÓÒ Ù Ð ÙÑ Ð ÓÖÖ ÒØ ÕÙ Ò ÓÒ Ò Ð ÒÓ Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÖÙ ØÓ S nº Ä ÓÖÖ ÒØ Ð Ò Ö ÓÖ ÙÑ Ö ÓÒ ÔÓÐ Ö Ò Ø Ú Ù Ö Ó Ð ÓÒÚ Ò Ò Ð Ì ÓÖ ÖÙ ØÓ º La ecuación 4.8 se conoce como ecuación de continuidad de la corriente. Para el caso de corrientes estacionarias, ρ ν / t = 0, la ecuación 4.8 se convierte: J = 0 (4.9) la cual, para el circuito de la Figura 4.1, al tomar como superficie de integración la que encierra el nodo superior del circuito, puede escribirse como: J ds = 0 (4.10) S I n = 0 (4.11) n la cual se conoce como la ley de corrientes de Kirchhoff. 91

92 4.3. Tiempo de expansión o de relajación Al depositar cierta cantidad de cargas libres en un medio material, caracterizado por una conductividad σ y una permitividad eléctrica ε, éstas tenderán a expandirse en él por la acción repulsiva del propio campo. En un punto cualquiera del medio la densidad volumétrica de cargas ρ v tenderá a disminuir por la «relajación» del material, o la «expansión» de las cargas, de acuerdo a la ecuación (4.8), la cual, tomando en cuenta que J = σ ε D y que D = ρ v puede ser escrita de la forma: La solución de la Ec. (7.30) es ρ ν t + σ ǫ ρ ν = 0 (4.12) ρ ν = ρ 0 e σ ǫ t (4.13) donde ρ 0 es el valor inicial de la densidad volumétrica de carga en el punto. La constante τ = ε/σ se conoce como tiempo de relajación, y permite cuantificar la rapidez con que las cargas se expanden hacia la superficie del medio material. La constante de relajación tambien nos permite clasificar el medio material como dieléctrico, si la expansión de las cargas ocurre muy lentamente, o como conductor, si la relajación del medio ocurre muy rápidamente Resistencia En la Figura 4.2 se muestra un trozo cilíndrico de un material con cierta conductividad σ homogénea. Tomando como referencia la Fig. 4.2 y a partir de la ecuación puntual de Ohm (4.5), podemos escribir para el volumen del material: V J dν = V σe dν Asumiendo que E es uniforme y que se desarrolla paralelamente al eje del cilindro, definiendo el diferencial de volumen como dν = dlds, y tomando dl E podemos escribir: ÙÖ º¾ Ð Ò ÖÓ Ñ Ø Ö Ð ÓÒ ÙØÓÖ ÐÓÒ ØÙ L Ö ØÖ Ò Ú Ö Ð S Ý ÓÒ ÙØ Ú Ó¹ ÑÓ Ò σº V Ja j dlds = 92 V σea e dlds

93 y como a j a e resulta V J dlds = V σe dlds Tomando en cuenta que J es uniforme y que Jds = di, siendo di la corriente diferencial que atraviesa el diferencial de superficie ds, será V J dlds = IL, donde L es la longitud del cilindro e I la corriente que circula por él. De manera análoga, tomando en cuenta que Edl es la diferencia de potencial V entre los extremos del diferencial de camino dl, será V σe dlds = σ V S, donde S es el área transversal del cilindro y V es la diferencia de potencial entre los extremos del mismo. De esta forma obtenemos: IL = σ V S Y de aquí: V I = L σs La cantidad L, que depende solo de la geometría y de las propiedades intrínsecas del material, se denomina resistencia R del sistema estudiado (figura tal). Para un sistema σs genérico (cierto material homogéneo con cierta conductividad σ y cierta forma geométrica) se define la resistencia: R = V I = + E dl S σe ds (4.14) 93

94 Capítulo 5 Magnetostática 5.1. Ley de fuerza de Ampere Ampere determinó que la fuerza que experimenta un circuito C 2 de corriente continua I 2, debido a la «influencia» de un segundo circuito C 1 de corriente continua I 1, ambos en el vacío, vale (Fig. 5.1): F 21 = µ 0 I 2 dl 2 I 1 dl 1 a R 21 4π C 2 C 1 R21 2 donde µ 0 = 4π 10 7 [H/m] 1 es la permeabilidad magnética del vacío, R 21 a R21 = R 21 /R 21. (5.1) = r 2 r 1 y ÙÖ º½ ÖÙ ØÓ ÓÖÖ ÒØ Ò Ö ÒØ Ó Ô Ö ÐÙ ØÖ Ö Ð Ð Ý Ù ÖÞ Ampereº La Ecuación 5.1 se conoce como ley de fuerza de Ampere. 1 H=Henrios 94

95 Campo magnetostático Ley de Biot-Savart El término: B = µ 0 I 1 dl 1 a R 21 4π C 1 R21 2 que solo depende de la geometría y de la corriente del circuito C 1, es el campo densidad de flujo magnético o inducción magnética B [W/m 2 ] 2 o [T] 3 producido por el circuito C 1. La Ecuación 5.2 se conoce como ley de Biot-Savart. (5.2) Campo magnetostático producido por un carga puntual que se mueve a una velocidad uniforme El campo magnético producido por un elemento de corriente puntual se puede definir a partir de la fuerza entre dos elementos infinitesimales de corriente, extrayéndola de la Ec. (5.1): df 12 = µ 0 4π I 1dl 1 I 2 dl 2 a R 12 R 2 12 (5.3) Al reemplazar los elementos infinitesimales de corriente I 1 dl 1 y I 2 dl 2 en la Ec. (5.3) por elementos infinitesimales de corriente de convección: df 12 = µ 0 4π ρ ν1dν 1 v 1 ρ ν2 dν 2 v 2 a R 12 R 2 12 (5.4) y al poner ρ ν1 = q 1 δ(r r 1 ) y ρ ν2 = q 2 δ(r r 2 ), se obtiene: F 12 = µ 0 4π q 1v 1 q 2 v 2 a R 12 R 2 12 (5.5) Finalmente, al dividir la fuerza F 12 entre el elemento de corriente puntual q 1 v 1 y al tomar el limite q 1 v 1 0, obtenemos el campo magnético producido por q 2 v 2 en el punto r 2 : B 12 = F 12 lím = µ 0 q 1 v 1 0 q 1 v 1 4π q 2v 2 a R 12 R12 2 (5.6) 2 W=Weber 3 T=Yesla 95

96 ÙÖ º¾ Ö ÔÙÒØÙ Ð ÓÒ Ú ÐÓ vº donde R = r r y a R = R/R. De esta forma definimos el campo magnético en r producido por un elemento puntual de corriente qv puesto en r, despreciando los efectos relativistas y el retardo de propagación del campo, mediante la expresión: B(r) = µ 0 4π qv a R R 2 (5.7) Obsérvese que el campo magnético se puede expresar de la siguiente manera equivalente: B = µ 0 4π qv a R R 2 = µ 0 ε 0 }{{} 1/c 2 v = v c 2 E donde E es el campo eléctrico producido por q. q a R 4πε 0 R 2 }{{} E Campo magnetostático producido por una distribución cualquiera de corriente µ ÈÙÒØÙ Ð ÓÒÚ Ò µ Ä Ò Ð µ ËÙÔ Ö Ð µ ÎÓÐÙÑ ØÖ ÙÖ º Ö ÒØ ØÖ Ù ÓÒ ÓÖÖ ÒØ º En la Fig. 5.3 se muestran diferentes distribuciones idealizadas de corriente, a saber: una distribución discreta de cargas con velocidad uniforme v, una distribución lineal de corriente I l (r ), una distribución superficial de corriente J s (r ) y una distribución volumétrica de corriente J ν (r ). 96

97 Ù ÖÓ º½ ÑÔÓ Ñ Ò Ø Ó ÔÖÓ Ù Ó ÔÓÖ Ð Ö ÒØ ØÖ Ù ÓÒ ÓÖÖ ÒØ ÐÙ ØÖ Ò Ð º º º Tipo de distribución de corriente Campo magnético Puntual de convección B = N n=1 µ 0 4π q nv n a Rn R 2 n Distribución lineal B = µ 0 4π C Idl a R R 2 Distribución superficial B = µ 0 4π S J s(r ) a R R 2 ds Distribución volumétrica B = µ 0 4π V J(r ) a R R 2 dν Las expresiones del campo magnético producido por las distribuciones de corriente ilustradas en la Fig. 5.3 se muestran en el Cuadro 5.1. La fórmula en la cuarta casilla del Cuadro 5.1 es, entre todas, la más general expresión del campo magnético: B = µ 0 J(r ) a R 4π V R 2 dν (5.8) 5.2. Divergencia del campo magnetostático Calculemos la divergencia del campo magnético: [ µ0 B = J(r ) a ] R 4π V R 2 dν = µ [ 0 J(r ) a ] R dν 4π V R 2 usando la identidad vectorial (F G) = G ( F ) F ( G) obtenemos B = µ 0 a R 4π V R [ 2 J(r )] dν µ [ 0 J(r ) a ] R dν 4π V R 2 y tomando en cuenta que opera sobre las variables no primadas y que J(r ) es una función de la variables primadas, y que a R R 2 = 0 (porque a R R 2 = ( 1 )), sigue que R B = 0 (5.9) 97

98 Vector potencial magnético En virtud de la Ecuación (5.9), el campo de inducción magnética B se podrá expresar como el rotacional de cierto campo auxiliar A: B = A (5.10) donde A es el Vector Potencial Magnético, el cual, invocando el Teorema de Helmholtz, viene dado por : A = 1 B 4π V R dν (5.11) Al «manipular» lícitamente la Ec. 5.8 se obtiene: B = µ 0 J(r ) a R 4π V R 2 dν = µ 0 4π = µ 0 4π V ( ) 1 J(r ) dν V R ( J(r ) ) dν µ 0 R 4π de donde, por comparación con la Ec. (7.22), sigue que: Ejemplo 40 3 A = 1 µ 0 J(r ) 4π V R J(r ) dν V R = [ 1 µ 0 J(r ] ) dν 4π V R (5.12) dν (5.13) Se desea calcular el campo A en el punto P (0, 0, 5) producido por una corriente de na que se desarrolla a lo largo de una espira circular de radio 2 m la cual yace sobre el plano z = 0 y su centro coincide con el origen. Solución La expresión general del Vector Potencial Magnético dada en la Ec. (5.13) consiste, a menos de la constante µ 0, en la suma vectorial de los elementos de corriente pesados por 4π el inverso de la distancia al punto de observación. Para el caso de una distribución filamentaria, la Ec. (5.13) asume la forma particular A = µ 0I 4π Γ dl Ya que el punto considerado equidista R = 29 m de todos los elementos de corriente, será A(0, 0, 5) = µ 0 I dl 4π 29 Γ = 0 98 R

99 5.3. Rotacional del campo magnetostático El campo magnético ver Cuadro (5.1) parece «rotar» alrededor de las corrientes que lo producen, por ello, y con base en la comparación de las Ecs. (5.11) y (5.20), anticipamos que su rotacional, que consiste en la densidad de sus fuentes vectoriales por unidad de área, debe conincidir con µ 0 J. B = µ 0 J (5.14) El Cálculo de B a partir de la expresión general de B Ec. (5.8) es bastante engorroso, sin embargo, para fines didácticos en la Sección (5.8) presentamos dos formas de calcularlo Ley circuital de Ampere Las Ecuaciones (5.9) y (5.14) constituyen la ecuaciones de Maxwell del campo magnético estático: B = µ 0 J (5.15) B = 0 (5.16) Las versiones integrales de las ecuaciones 8.23 y 8.4 son, respectivamente: C S B dl = µ 0 S(C) J ds (5.17) B ds = 0 (5.18) La Ecuación 5.17 se conoce como ley circuital de Ampere. En algunos casos de elevada simetría de la distribución de corriente es posible resolver facílmente el campo magnético usando la Ley Circuital de Ampere en forma integral. Para ello es necesario poder inferir a priori la estructura del campo en un sistema de coordenadas en el cual dicha estructura quede expresada de manera natural. Si, inferida la estructura del campo, resulta posible concebir un camino cerrado especial, dígase Γ, de modo que el campo magnético sea en cierta porción de Γ tangente y uniforme, y en el resto de Γ simplemente normal o nulo, entonces la componente tangencial B t se podrá factorizar de la integral de linea y se la 99

100 µ µ µ ÙÖ º ØÖ Ù Ò ÓÖÖ ÒØ J = 2δ(ρ a)a ϕ»ñ 2 º µ Ä ÓÖÖ ÒØ ØÖ ÙÝ Ó Ö Ð ÙÔ Ö ρ = a Ò Ö Ò a ϕ º µ ÍÒ ØÖ Ù Ò ÓÑÓ Ø ÔÙ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ñ Ð Ö Ó Ö Ð ÙÔ Ö ÙÒ ØÓÖÓ ÙÝÓ Ö Ó r Ø Ò Ò Ò ØÓº µ Ð Ò ÙÒ ÙÖÚ Γ ÖÖ Ô Ö Ð ÐÔ Ò Ð Ä Ý ÖÙ Ø Ð Ampereº podrá calcular como la razón de la corriente que se eslabona con Γ a la longitud de la porción de Γ tangente al campo B, pesada por µ 0 : I eslabonada con Γ B t = µ 0 longitud de la porción de Γ tangente a B Ejemplo Se desea calcular el campo mágnetico B que produce una distribución de corriente J = 2δ(ρ a)a ϕ A/m 2 como se ilustra en la Fig. 5.4(a). Solución En la aplicación de la Ley Circuital de Ampere para resolver el campo magnético, es imprescindible inferir a priori la estructura del campo. La inferencia de la estructura del campo parte del intimo conocimiento del campo que nos proporcionan las Ecs. (8.23) y (8.4). De la Ecuación (8.23) comprendemos que el campo B rota, o circula, transversalmente alrededor de sus fuentes (las corrientes). Por ello, no queda otra alternativa que admitir que el campo que deseamos resolver ha de tener la estructura B 0 a z ; ρ < a B = (5.19) 0 ; ρ > a 100

101 Para aquel lector a quien resulte dificil aceptar la validez de esta expresión puede proceder imaginando la corriente como distribuida sobre la superficie cilíndrica de un toroide de radio infinito ver Fig. 5.4(b), lo cual le ayudará a aceptar que B = 0 para ρ > a. En admitir que la dirección del campo sea en a z para ρ < a no creo que hayan mayores incovenientes, pero su valor constante puede que no resulte evidente a primera vista. Para comprobar que el campo magnético ha de ser uniforme en la región ρ < a podríamos postular, al contrario, que B = B z (ρ)a z, ya que las dependencias eventuales de B z con las variables ϕ y z si se pueden descartar B de manera obvia. Procediendo de esta manera comprobaríamos que B = a z ϕ 0, lo ρ cual implicaría la presencia de fuentes del campo en la región ρ < a, cosa que no es cierta y por tanto Bz ρ = 0, comprobándose, efectivamente, que el campo ha de ser uniforme en dicha región. Una vez determinada la estructura del campo (Ec. (5.19)) la selección de una camino cerrado para calcular B 0 es fácil: en la Fig. 5.4(c) se muestra un camino rectangular de altura h dispuesto coplanaramente con el eje z tal que uno de sus lados se desarrolle en el interior de la región ρ < a y otro completamente afuera. Utilizando la Ec. (5.17), sustituyendo en ella B = B 0 a z y C = Γ, se podrá despejar B 0 como B 0 y el campo magnético valdrá B = 2µ 0 a z T. = µ 0 J s h h 0 dz = 2µ Medios materiales inmersos en un campo magnetostático Un medio material, desde el punto de vista magnético y macroscópico, se puede pensar como una agrupación de incontables dipolos magnéticos atómicos 4 suspendidos en el vacío, cuyas orientaciones en el espacio en la mayoría de los materiales, a excepción de los imanes permanentes, es talmente aleatoria que no es posible detectar algún campo magnético resultante. Para poder describir cuantitativamente la interacción entre un medio material y el campo de inducción magnética es conveniente revisar el concepto de dipolo magnético. 4 La rotación o spin de los electrones, así como su traslación alrededor del núcleo se pueden modelar como sendos dipolos magnéticos elementales desde un punto de vista macroscópico. 101

102 Dipolo magnético Un dipolo magnético se puede definir a partir de un circuito cualquiera de corriente observando el circuito desde una distancia tal que se lo pueda considerar como un circuito puntual de corriente y que allí, sin embargo, su campo magnético no sea nulo. Todo circuito de corriente observado desde una distancia apropiadamente alejada es un dipolo magnético. Con base en la Fig. 5.5 el Vector Potencial A(r) producido por un circuito de corriente vale A(r) = µ 0 Idl 4π Γ r r (5.20) Sin pérdida de generalidad, ubicando el origen lo más cerca posible del circuito, procederemos a evaluar A a una distancia suficientemente grande como para ÙÖ º ÖÙ ØÓ Γ Ò Ö Ó Ó¹ ÖÖ ÒØ º aceptar que máx{r } r, lo cual nos permitirá, en las aproximaciones que introduciremos de seguido, despreciar los términos en r de orden igual o superior a dos. En efecto, el término r r 1 se aproximará por r 1 (1 2r r ) 1 2, y éste, truncando la expansión binomial del termino r 2 (1 2r r ) 1 r 2 2, por la expresión ( 1 + r r ), de tal suerte de poder reescribir la Ec. (5.20) de la r r 3 forma aproximada (para r r ): A(r) µ [ 0 I dl + I ] (r r ) dl 4π r Γ r 3 Γ (5.21) La primera integral es nula porque Γ dl = 0, mientras la segunda se la puede resolver para obtener (pags de [6]) A(r) µ ( ) 0 I r dl r (5.22) 4π 2 Γ r 3 donde la cantidad entre paréntesis se denomina momento dipolar magnético m = I 2 Γ r dl [A m 2 ]. Aunque para obtener la Ec. (5.22) se ha ubicado el origen muy cerca del circuito, se puede demostrar (pags de [16]) que el momento dipolar magnético es independiente de la posición relativa del origen del sistema de coordenadas. El Vector Potencial magnético expresado en la Ec. (5.22) se puede reescribir de la manera compacta A(r) µ 0 4π m r r 3 (5.23) 102

103 El campo magnético B(r) producido por el circuito de corriente de la Fig. en los puntos distantes r r se puede calcular tomando el rotacional de la Ec. (5.23) (pag. 191 de [6]): B(r ) µ [ 0 3m r r m ] 4π r 5 r 3 (5.24) Para un circuito de corriente en forma de espira circular (Figura 5.6), la integral 1 2 Γ r dl coincide con el área S coplanar de la espira y el momento dipolar magnético asume la forma: m = Iπa 2 a n = ISa n = ma n [A/m 2 ] (5.25) ÙÖ º ÔÓÐÓ Ñ Ò Ø Óº donde I es la corriente que circula por la espira, a es el radio de la espira, S el área de la espira y a n y el sentido de circulación de la corriente respetan la regla de la mano derecha. de a z y centrado en el origen, son, respectivamente: Analogías con el dipolo eléctrico Los campos potencial magnético y magnético producidos por un dipolo magnético, con m en la dirección A = µ 0 m a r 4π r 2 (5.26) B = µ 0Ia 2 (2 cos θa r 3 r + sin θa θ ) (5.27) Entre el dipolo magnético y el dipolo eléctrico existen evidentes analogías. En el Cuadro 5.2 se resumen las principales propiedades asociadas a ambos dipolos Imanación o polarización magnética La imanación o magnetización es la reacción natural de la materia ante un campo magnético inicialmente externo. Esta «reacción» se puede modelar mediante la utilización del concepto previamente descrito del dipolo magnético. Y cómo reacciona un dipolo magnético ante la presencia de un campo magnético externo? La clave es la ley de fuerza de Ampere: la fuerza magnética que experimenta una espira microscópica debido a un campo magnético es nulo al asumir que el campo B es el mismo en 103

104 Ù ÖÓ º¾ Ò ÐÓ ÒØÖ ÐÓ ÔÓÐÓ Ñ Ò Ø Ó Ý Ð ØÖ Óº dipolo eléctrico dipolo magnético d +q a p R q r' r momento dipolar p = qda p m = ISa n potencial asociado V = 1 p a r 4πε 0 A = µ 0 m a r r 2 4π r 2 campo producido E = p 4πε 0 r 3 (2 cos θa r + sin θa θ ) B = µ 0m 4πr 3 (2 cos θa r + sin θa θ ) todos los puntos de la espira: ( F = Idl B = c c ) Idl B = 0 La espira experimenta entonces un torque T que es independiente del origen respecto al cual se mide [14]: T = r df (5.28) c = r (Idl B) c ( ) = Ids B } s(c) {{ } m donde hemos tomado el centro de la espira (Fig. 5.6) como origen para el cálculo del torque. T = m B (5.29) En virtud de este torque, el dipolo magnético tiende a alinearse con el campo magnético externo. Una generalización de esta idea al caso de una agrupación continua de dipolos magneticos, como sería el caso de un medio material ver Fig.5.7(a), permite inferir que cada dipolo 104

105 µ Å Ó Ñ Ø Ö Ð ÒÓ Ñ Ò Ø Þ Ó µ Å Ó Ñ Ò Ø Þ Ó ÙÖ º Å Ò Ø Þ Ò ÙÒ Ñ Ó Ñ Ø Ö Ðº magnético dentro del medio material tenderá, dentro de ciertos límites físicos, a alinearse igualmente con el campo magnético externo. El resultado es la imanación o magnetización del material ver Fig. 5.7(b). Vector de magnetización Magnetizado cierto medio, se define la siguiente densidad volumétrica de momento dipolar magnético (cantidad macroscópica) denominada vector de magnetización: n ν k=1 m k M = lím [A/m] (5.30) ν 0 ν De esta suerte, el diferencial de potencial magnético producido por la combinación vectorial de los momentos magnéticos contenidos en un volumen diferencial de cierto medio material vale: da = µ 0 M(r )dν a R (5.31) 4π R 2 El potencial magnético producido por la totalidad de los dipolos magnéticos del medio material, se puede calcular como ver Fig. 5.8(a) : A = µ 0 M(r ) a R dν 4π V R 2 = µ ( ) 0 1 M(r ) 4π V R dν (5.32) Empleando la identidad vectorial (ψf ) = ψ F + ψ F, la Ec. (5.32) se puede 105

106 reescribir de la forma A = µ 0 4π = µ 0 4π ( ) 1 M(r ) dν V R M(r ) dν µ 0 V R 4π ( M(r ) ) dν V R utilizando la identidad vectorial V F dν = S(V ) a n F ds se obtiene finalmente: donde A = µ 0 J m (r ) 4π V R dν + µ 0 J sm (r ) ds (5.33) 4π S R J m (r ) = M(r ) (5.34) J sm (r ) = M(r ) a n (5.35) son las densidades de corriente de magnetización volumétrica y superficial, respectivamente. Con la introducción de estas densidades de corriente ficticias el problema de calcular el campo de inducción magnética producido por un medio magnetizado se reduce a una integración similar a la que se tiene en los problemas de corrientes reales. Este procedimiento implica que el medio magnetizado sea reemplazado por las correspondientes densidades de corriente de magnetización J sm y J m, suspendidas en el vacío y distribuidas, respectivamente, sobre la superficie exterior y en el volumen interior del mismpo medio ver Fig. 5.8(b) Ley de Ampere en el interior de un medio material Ya que un medio magnetizado produce un campo magnético, al tomar el rotacional del campo magnético en el interior de cierto medio infinitamente extenso, deberán tenerse presente todos los tipos de corriente capaces de producir campo magnético: B = µ 0 (J + J m ). Queda claro, también, que al magnetizarse el medio material, lo hará por la acción del campo de inducción magnética producido tanto por las corrientes libres J presentes, como por las de magnetización J m = M inducidas. Matemáticamente: B = µ 0 (J + M) (5.36) Las cantidades bajo el operador rotacional se pueden agrupar de la manera siguiente ( ) B M = J (5.37) µ 0 106

107 µ ÑÔÓ A ÔÖÓ Ù Ó ÔÓÖ ÙÒ Ñ Ó Ñ Ò Ø Þ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ M Ö Ø Ñ ÒØ Ø Ð ÕÙ dm = M(r )dνº µ ÑÔÓ A ÔÖÓ Ù Ó ÔÓÖ ÙÒ Ñ Ó Ñ Ò Ø Þ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ J m = M Ý J sm = M a n º ÙÖ º Î Ò Ù ÒØ Ø Ø Ú Ð Ñ Ò Ø Þ Òº Ò Ð ÙÖ º µ ÔÖ Ø Ò Ö ÜÔÖ Ö ÕÙ Ð Ñ Ó Ó Ù Ø ØÙ Ó ÔÓÖ Ð Ò ÓÖÖ ÒØ Ñ Ò Ø Þ Ò J sm Ý J m Ù Ô Ò Ò Ð Ú Ó Ý ØÖ Ù Ó Ö Ð ÙÔ Ö Ý Ò Ð ÚÓÐÙÑ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ð Ñ Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º La cantidad B µ 0 M de la Ecuación 5.37, se puede concebir como un nuevo vector, más bien de caracter auxiliar que físico: es el vector intensidad de campo magnético H = B µ 0 M [A/m], que depende solo de las corrientes libres: H = J (5.38) De la Ecuación H = B µ 0 M se puede despejar B para obtener, luego, una expresión de utilidad en una gran cantidad de aplicaciones B = µ 0 (H + M) (5.39) En efecto, en algunos materiales, el vector de magnetización M se puede expresar mediante una función muy simple de la intensidad de campo magnético H. Para ello, se define un parámetro adimensional denominado susceptibilidad magnética χ m : M = χ m H, tal que, para estos materiales, la Ec. (11.154) se puede reescribir de la forma B = µ 0 (H + χ m H) (5.40) = µ 0 (1 + χ m ) H }{{} (5.41) } µ r {{ } µ B = µh (5.42) 107

108 donde µ r y µ son las permeabilidades magnéticas relativa y absoluta, respectivamente, del medio. Los parámetros χ m y µ expresan, de manera concentrada, las propiedades magnéticas del medio. En el sistema mks la permeabilidad magnética se expresa en unidades de Henrios sobre metro. Aunque la relación entre las cantidades H y B según se expresa mediante la Ec. 5.42, es la más difundida, una relación más conveniente, porque describe mejor la realidad física del asunto es H = µ 1 B donde B ocupa el lugar de campo mágnetico primario, o campo físico, y H de campo auxiliar, como corresponde [?]. Ù ÖÓ º ÇØÖ Ò ÐÓ ÒØÖ Ð ÔÓÐ Ö Þ ÓÒ Ð ØÖ Ý Ñ Ò Ø º dipolo magnético dipolo eléctrico M = lím ν 0 n ν k=1 m k ν [A/m] P = lím V 0 N n p n V [C/m 2 ] J m (r ) = M(r ) ρ νpol (r ) = P J sm (r ) = M(r ) a n ρ spol (r ) = P (r ) a n (r ) A = µ 0 J m (r 4π V ) dν + µ 0 J sm (r R 4π S ) ds V = 1 ρ spol (r ) R 4πε 0 S ds + 1 ρ νpol (r ) R 4πε 0 V dν R H = B µ 0 M D = ε 0 E + P M = χ m H P = ε 0 χ e E µ = µ 0 (1 + χ m ) ε = ε 0 (1 + χ e ) H = µ 1 B D = εe 108

109 Condiciones en la frontera En la frontera entre dos medios materiales, el campo magnético se comporta como sigue: (B 1 B 2 ) a n = 0 (5.43) a n (H 1 H 2 ) = J s (5.44) 5.6. Energía magnética Ya que toda vez que se establece una corriente en un circuito se debe realizar un trabajo en contra de la f.e.m. auto-inducida, mientras perdura la corriente, queda almacenada en la distribución de corriente, o en el campo magnético que esta produce, una energía magnética. La densidad volumétrica de energía magnética vale: w m = 1 2 H B (5.45) Para un circuito en particular, la energía magnética almacenada en su entorno cercano se obtiene integrando la Ecuación (5.45): W m = 1 H B dν (5.46) 2 V la cual se extiende en el espacio hasta los puntos donde los campos posean un valor significativo. Una deducción de la Ecuación 5.45 solo será posible cuando hayamos estudiado la ley de inducción de Faraday Inductancia Todo sistema que pueda albergar una corriente tiene asociada cierta «capacidad» para almacenar energía magnética. Una medida de esta capacidad es la autoinductancia o simplemente inductancia L: L = Φ I = S(Γ) B ds Γ H dl (5.47) donde Φ es el flujo total que se enlaza con el circuito de corriente, e I es la corriente del circuito que produce el campo magnético B. El campo B de la Ecuación (5.47) se puede calcular a 109

110 partir de la ley de Biot-Savart (5.2), de modo que: L = que al ser la corriente constante da lugar a: L = µ 4π ( µ S(Γ) 4π Γ Idl ) a R R 2 ds I S(Γ) ( Γ dl a ) R ds (5.48) R 2 De la Ecuación (5.48) se desprende que la inductancia es una función de las propiedades intrínsecas del medio µ en el que se encuentra inmerso el circuito de corriente y de la geometría de este S(Γ) y Γ : L = L(medio, geometría) Mini-proyectos Mini-proyecto 1 Dada una espira rectangular de lado l ver Fig recorrida por una corriente I 0, proceda a resolver los problemas que se plantean a continuación. l l l l l s s R s s l µ µ ÙÖ º µ Ô Ö Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ó ØÙ Óº µ Ô Ö Ö Ø Þ 1. Intente calcular el campo B analíticamente mediante los siguientes procedimientos: a) Por integración directa: B = µ/4π Γ I 0dl a R /R

111 b) Por diferenciación de A: B = A, con A = µ/4π Γ I 0dl/R 2 2. Intente calcular la inductancia L analíticamente como L = µ/4π S(Γ) ( Γ dl a R/R 2 ) ds, o usando el resultado de la pregunta anterior. 3. Calcule el campo B analíticamente en el centro de la espira y evalúelo para un par de valores dados de I 0 y l. 4. Discretice la espira como se ilustra en la Fig. 5.9(b) escogiendo un par de valores (N, M) convenientes, y: a) Calcule el campo B en el centro de la espira (en la supercie plana que contiene la espira) usando la aproximación B m0 µi 0 /4π N n l n /Rm 2 0 n, donde R m0 n es la distancia desde el punto medio del segmento l n al centro de la espira. b) Calcule el error relativo de B m0 respecto del valor obtenido en la pregunta 3. Concluya. c) Calcule el campo B en el resto de los puntos centrales de cada superficie incremetal S m usando la misma aproximación B m µi 0 /4π N n l n /Rmn 2. d) Calcule la desviación relativa de estos valores (B m ) respecto del valor del campo obtenido en el punto 4a (B m0 ). Concluya. 5. Calcule la inductancia L mediante las siguientes aproximaciones, compare los resultados y concluya: a) L = µ/4π m n l n S m /Rmn 2. b) L = Φ/I 0, con Φ = B m0 S, donde B m0 es el valor del campo magnético en el centro de la espira obtenido en el punto 4a y S es el área de la espira: S = l l. 111

112 5.8. Calculo del rotacional del campo de inducción magnética Procedimiento primero. Tómese el rotacional directamente de la expresión (5.8): [ µ0 B = J(r ) a ] R 4π V R 2 dν = µ [ 0 J(r ) a ] R dν (5.49) 4π V R 2 usando la identidad vectorial: obtenemos: [ µ 0 4π V (F G) = F ( G) G( F ) + (G )F (F )G J(r ) a ] R dν = R 2 µ 0 J(r ) 4π V [ ( )] ar µ 0 4π R 2 V dν µ 0 a R 4π V ( ) ar R J(r ) dν µ 0 2 4π R [ 2 J(r )] dν + V [J(r ) ] a R R 2 dν (5.50) tomando en cuenta que J(r ) no depende de las variables no primadas, las cantidades subintegrales de la segunda y tercera integral del miembro de la derecha son nulas, resultando nulas también las integrales correspondientes. Teniendo presente que ( a R R 2 ) = [ ( 1 R )] = 2 ( 1 R ) = 4πδ(r r ): y dado que [ [J(r ) ] a R R 2 J(r ) n n R 3 ] = [J(r ) ] a R = = J(r ) n=x,y,z [ J(r ) R 2 [ ( n n R 3 ( n n R 3 la Ec. 5.49, en vista de que J(r ) = 0, se puede reescribir como: B = µ 0 J(r )4πδ(r r )dν + 4π V n=x,y,z )] )] a n + [ J(r )] n n R 3 { [ µ0 J(r ) n ] } n dν a 4π V R 3 n (5.51) 112

113 La primera de estas integrales será nula si se escoge el punto de observación fuera de la distribución de corriente (r r ), ya que δ(r r ) será nula allí. Cuando se evalúe el rotacional del campo magnético en un punto dentro de la distribución de corriente será J 0, y la integral arrojará, a menos del factor 4π, el valor de la densidad de corriente en el punto de observación. Por otro lado, la segunda integral se puede resolver aplicando el teorema de la divergencia: B = µ 0 4π J(r)4π + =µ 0 J(r) n=x,y,z { µ0 n n } J(r ) ds a 4π S (V ) R 3 n ya que al evaluar el flujo de J a través de la superficie cerrada que delimita el recinto donde se localiza la corriente, no es posible obtener un valor distinto de cero, pues de lo contrario, el volumen V no contendría toda la distribución de corriente Procedimiento segundo Tómese el rotacional de la Expresión (7.22): A = A 2 A y ya que tenemos libertad para fijar cualquier valor de A, asúmase, por ahora arbitrariamente, que A = 0, y resolvamos 2 A: 2 A = 2 µ 0 J(r ) 4π V R dν = µ 0 2 J(r ) 4π V R dν = µ 0 J(r ) 2 1 4π V R dν donde se ha tomado en cuenta que 2 2. El cómputo de la integral V J(r ) 2 1 R dν se debe realizar teniendo mucho cuidado. Para ello es conveniente recordar que 2 (1/R) = (a R /R 2 ) y que (a R /R 2 ) = 0 para todo r r. Así, fijado el punto de observación en el interior de V, ya que fuera nos consta que B = 0, justamente por lo que acabamos de observar, será necesario aislar r de r durante el proceso de integración y calcular su contribución por separado. Para ello se divide el volumen V en dos partes: V σ, infinitesimalmente pequeño en 113

114 cuyo centro se encuentra el punto de observación, y V V σ que contiene el resto de los puntos fuentes. Como en V V σ aun se cumple que r r, allí será B = 0. En cambio, en V σ : µ 0 J(r ) ar 4π V σ R 2 dν = µ 0 4π J(r) ar V σ R 2 dν = µ 0 4π S J(r) a R σ(v σ) R 2 ds }{{} 4π = µ 0 J(r) 114

115 Capítulo 6 Del campo eléctrico al campo magnético a través de la relatividad especial Introducción En este artículo abordaremos la teoría de la relatividad especial con la finalidad de deducir el campo magnético como una manifestación «relativista» del campo eléctrico. La teoría de la relatividad especial o restringida de Einstein se basa en la asunción de dos postulados básicos: 1. El principio de relatividad en sentido restringido de Galileo, enunciado literalmente por Einstein en la forma [17]: If, relative to K, K is a uniformly moving co-ordinate system devoid of rotation, then natural phenomena run their course with respect to K according to exactly the same general laws as with respect to K. Este principio consiste en el hecho de que todos los eventos físicos transcurren de acuerdo a las mismas leyes físicas en todos los sistemas de referencia que se mueven con velocidad relativa uniforme, de tal suerte que no es posible detectar el propio movimiento únicamente a partir de mediciones realizadas sobre aquellos eventos físicos que ocurren en el propio sistema de referencia. El conjunto de sistemas que satisfacen esta condición se denominan inerciales. 2. La velocidad de la luz es la misma para todos los sistema inerciales, y su valor es de 115

116 c = [m/s] Ecuaciones de transformación de Lorentz La formulación matemática de la teoría de relatividad restringida de Einstein se resume en las denominadas ecuaciones de transformación de Lorentz. z K y z' ν K ' y' ν ν x' x ÙÖ º½ È Ö Ø Ñ Ò Ö ¹ Ð º Tales ecuaciones de transformación se definen con base a un par de sistemas inerciales, uno designado con la letra K, el cual suponemos unido a un observador en reposo, y otro, designado con la letra K, que se mueve respecto del primero con una velocidad uniforme ν ver figura 6.1. Sobre ambos sistemas inerciales se definen apropiadamente dos sistemas de coordenadas Cartesianas, (x, y, z) y (x, y, z ), tales que coincidan en el origen de referencia de los tiempos de ambos y que el movimiento de K respecto de K resulte paralelo al eje x: ν = νa x. Las ecuaciones de transformación de Lorentz se resumen en la tabla 6.1. x = γ (x νt) x = γ (x + νt ) y = y y = y z = z z = z t = γ ( t ν c 2 x ) t = γ ( t + ν c 2 x ) γ = 1 1 ν2 c 2 Ù ÖÓ º½ Ù ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Lorentzº 116

117 Un par de consecuencias directas de la relatividad especial consisten en la contracción (de Lorentz) de la longitud en la dirección de movimiento y la dilatación del tiempo para aquellos sistemas inerciales en movimiento cuando se les mide desde otro en reposo. Todo esto es por supuesto relativo, o sea: recíproco. Esto significa que si un observador A, quieto, observase el movimiento de un segundo observador B, móvil respecto del primero, advertiría una contracción de la longitud (en la dirección de movimiento) del observador B y vería transcurrir el tiempo de éste más lentamente que el suyo propio. Pero, el observador B, desde el móvil, se verá a sí mismo quieto y hará exactamente las mismas observaciones anteriores respecto del observador A. Quién tiene la razón? La respuesta es: ambos y ninguno a la vez, simplemente se trata de la imposibilidad natural de mantener alineados los respectivos dominios espacio-temporales. Otra importantísima consecuencia de la teoría de la relatividad especial consiste en que la simultaneidad es también relativa: eventos simultáneos en un sistema inercial dado, ya no lo son para el resto de los sistemas inerciales que se mueven respecto de éste Contracción de Lorentz Supóngase que el observador B lee sobre el eje x el valor de l 0 justo cuando los orígenes de ambos sistemas coinciden, momento en el cual ambos observadores convienen en comenzar a medir el tiempo, esto es t = t = 0. Qué valor de x le asigna el observador A a l 0 asumiendo que desde su punto de vista hace la lectura también en correspondencia de t = 0, admitiendo que ambos observadores son capaces de resolver el problema técnico que implica realizar la medición (lectura de l 0 ) simultáneamente en su propio sistema de referencia? Para contestar esta pregunta se utilizará la primera ecuación de la segunda columna de la tabla 6.1: x = γ (l 0 + νt ) donde, como vemos, la lectura que se realiza desde el sistema K, a menos del factor γ, no solo depende de la variable espacial x = l 0 sino también del tiempo t asociado a este punto. Cómo podemos conocer este tiempo t? Como sabemos que el observador A hace la lectura de x en 117

118 t = 0, t se puede despejar de la última ecuación de la misma columna: y al sustituir, resulta: t = γ ( t + ν ) c 2l 0 0 = t + ν c 2 l 0 t = ν c 2 l 0 x = γ (l 0 + νt ) ( ) x = γ l 0 ν2 c l 2 0 x = l 0 γ El observador A aprecia una longitud menor a l 0 en un factor de 1, siendo γ tal que 1 γ γ. Esto es: el observador A mide l 0 γ metros, mientras el observador B mide l 0 metros. Este fenómeno se conoce como contracción de Lorentz [18] Dilatación temporal Supóngase que para medir la duración t 0 de algún evento en el origen de K, el observador B dispone de un reloj en x = 0, el cual sincroniza con dos relojes que el observador A ha dispuesto en x = 0 y en x = γνt 0. Tal sincronización es realizada justo cuando ambos orígenes coinciden. El observador B mide, según su reloj, un tiempo de t 0 segundos de duración del mencionado evento. Qué duración mide en sus relojes el observador A? Para responder a esta pregunta utilizaremos la última ecuación de la columna de la derecha de la tabla 6.1: t = γ (t 0 + ν ) c 2x poniendo x = 0, sigue que: t = γt 0 El observador A mide un tiempo de duración del evento en cuestión mayor de t 0 en un factor de γ. Esto es: el observador A mide γt 0 segundos, mientras el observador B mide t 0 segundos. El observador A ve como si el reloj del observador B se retrasara. Este fenomeno se conoce como dilatación temporal [18]. 118

119 6.2. Transformación de velocidades, masas y fuerzas Transformación de velocidades Dado un objeto que se mueve con velocidad v = v xa x +v y a y+v za z respecto del observador B en el sistema K, el observador A en el sistema K medirá una velocidad v = v x a x +v y a y +v z a z, donde las componentes ( v x, v y, z) v y (vx, v y, v z ) se relacionan entre si mediante las ecuaciones de transformación de velocidades que se muestran en el cuadro 6.2 [13] ver figura 6.2. z z' ν v', v K y K ' y' ν ν x' x ÙÖ º¾ Ç ØÓ ÓÒ Ú ÐÓ Ö Ð Ø Ú v Ý vº Ù ÖÓ º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú ÐÓ º v x = v x+ν 1+(v xν/c 2 ) v x = vx ν 1 (v xν/c 2 ) v y = v y γ[1+(v yν/c 2 )] v y = v y γ[1 (v yν/c 2 )] v z = v z γ[1+(v zν/c 2 )] v z = v z γ[1 (v zν/c 2 )] Transformación de la masa La masa no es una invariante relativista: su valor es distinto dependiendo de la velocidad relativa de la partícula respecto del sistema de referencia desde la cual se la mide. Si se denota con m 0 la denominada masa en reposo de cierta partícula y siendo la velocidad de esta v = 119

120 v xa x + v ya y + v za z respecto del sistema inercial K, el observador B mide en el sistema K una masa par a: m 0 m = 1 ( v c ) 2 m 0 = 1 (v 2 x +v 2 y +v 2 z) c 2 = γ 1 m 0 donde γ 1 = 1/ 1 v 2 /c 2, mientras que el observador A mide en el sistema K una masa par a: m 0 m = 1 ( v c m 0 ) 2 = 1 (v2 x+v 2 y+v 2 z) c 2 = γ 2 m 0 donde γ 2 = 1/ 1 v 2 /c 2, siendo v = v x a x + v y a y + v z a z la velocidad con que la partícula se mueve respecto del sistema K. Usando las ecuaciones de trasformación de velocidades dadas en el cuadro 6.2, en uno y otro sentido, se obtienen las ecuaciones de transformación de la masa que se presentan en el cuadro siguiente [10]: Ù ÖÓ º Ù ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð Ñ º m = γ ( 1 + v xν c 2 ) m m = γ ( 1 vxν c 2 ) m Transformación de las fuerzas Como definición de fuerza debe tomarse la razón de cambio del momento por unidad de tiempo de una partícula: F = dp dt 120

121 donde p es el momento de la partícula y viene dado por: p = mv [19]. Ù ÖÓ º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð Ù ÖÞ º F x = F x + ( ν c 2 +v xν v y F y + v zf z) F x = F x vx ν c 2 v xν (v yf y + v z F z ) F y = F y γ[1+(v xν/c 2 )] F y = F y γ[1 (v xν/c 2 )] F z = F z γ[1+(v xν/c 2 )] F z = F z γ[1 (v xν/c 2 )] Como la masa y la velocidad son cantidades físicas relativas, igualmente resulta ser lo la fuerza. En la tabla 6.4 se muestran las ecuaciones de transformación de las fuerzas Transformación de la ley de Coulomb Q z, z ' ν y, y ' KK, ' x, x ' q ν ÙÖ º Ö Q Ý q Ò Ö ÔÓ Ó Ö Ô ØÓ K º En esta sección se mostrará como la Ley de Coulomb en el sistema de referencia K se transforma en si misma y en La Ley de fuerza de Ampere, especializada para cargas puntuales, en el sistema de referencia K. Supóngase que en el sistema K existen dos cargas puntuales en reposo: Q, puesta en el origen, y q, puesta en (x, y, 0) ver figura 6.3. Ambas cargas yacen, como se puede inferir, en el plano z = 0. La carga q experimenta una fuerza debido al campo electrostático E ver figura 6.4(a) producido por Q en el punto ocupado por q que vale: F 1 Q = q 4πε 0 r 2a r }{{} E Qq k e (x 2 + y 2 ) 3 2 (x a x + y a y ) 121

122 donde se ha puesto k e = 1/4πε 0. Evidentemente: F x = k Qq e x a (x 2 + y 2 ) 3 x 2 F y = k Qq e y a (x 2 + y 2 ) 3 y 2 F z = 0 z' y' K ' q E' z y K B E q ν Q x' Q ν x µ Ä Ö Q Ý q ÒÙ ÒØÖ Ò Ò Ö ÔÓ Ó Ò Ð Ø Ñ K º µ Ä Ö Q Ý q ÑÙ Ú Ò ÓÒ Ú ÐÓ ν Ö Ô ØÓ Ð Ø Ñ Ö Ö Ò Kº ÙÖ º ÑÔÓ Ó ÖÚ Ó ÐÓ Ø Ñ Ö Ö Ò K Ý K º En el sistema de referencia K, el observador A medirá fuerzas y posiciones distintas, las cuales se pueden estimar usando las ecuaciones de transformación resumidas en los cuadros 6.1 y 6.4. Antes de proceder a realizar estas transformaciones se simplificará el asunto asumiendo que éstas se harán justo cuando los orígenes de ambos sistemas de referencia coincidan, en cuyo caso se convendrá que t = t = 0. Procediendo de esta forma se obtiene: x = γx, y = y, z = 0, F x = F x, F y = F y/γ, y F z = 0. De esta forma se podrá escribir: Qq F x = k e [ (γx) 2 ] 3 γxa x + y 2 2 Qq y F y = k e [ (γx) 2 ] 3 + y 2 2 γ a y F z = 0 122

123 La componente F y se puede expandir de la siguiente manera 1 : Qq y F y = k e [ (γx) 2 ] 3 + y 2 2 γ a y = k e Qq [ (γx) 2 + y 2 ] 3 2 γya y k e Qq [ (γx) 2 ] 3 γ ν2 + y 2 2 c ya 2 y Qq = k e [ (γx) 2 ] 3 γya y + k e Qqv + y 2 2 c 2 [ (γx) 2 ] 3 γyν a z + y 2 2 = k e Qq [ (γx) 2 + y 2 ] 3 2 Qqv γya y + ν k m [ (γx) 2 ] 3 γya z + y 2 2 donde k m = k e /c 2 = µ 0 /4π 2. Juntando las componentes F x y F y obtenemos 3 : F = q k e Q Qv [ (γx) 2 ] 3 (γxa x + γya y ) + ν k m [ + y 2 2 (γx) 2 ] 3 + y 2 2 γya z Q (γxa x + γya y ) = q k e [ (γx) 2 ] 3 + y 2 2 }{{} E + ν k m Qν (γxa x + γya y ) [ (γx) 2 + y 2 ] 3 2 }{{} B (6.1) donde E y B son los campos eléctrico y magnético, respectivamente, producidos por Q desde el punto de vista del observador en el sistema K ver figura 6.4(b). La ecuación (6.1) se puede reescribir de una manera más conveniente tomando en cuenta 1 Poniendo β = ν c, se tiene que γ γβ2 = γ ( 1 β 2) = 1 β2 (1 β 2 ) 1/2 = 1 γ. 2 c = 1/ µ 0 ε 0 3 ν (γxa x + γya y ) = νa x (γxa x + γya y ) = νγya z 123

124 que: γxa x + γya y [ (γx) 2 + y 2 ] 3 2 = (xa x + ya y ) γ ( ) 3 x 2 + y 1 β = 1 (xa x + ya y ) (1 β 2 ) 2 1 ( ) x 2 +y 2 y 2 β β 2 = r (1 β2 ) ( ) r 3 1 y 2 β r 2 = a r (1 β 2 ) r 2 ( ) 1 y 2 β r 2 donde r = xa x + ya y, r = (x 2 + y 2 ) 1 2 y a r = r/r. De esta suerte la ecuación (6.1) se puede reescribir de la manera: Qa r Qν a r F = q k e + ν k r }{{ 2 m f (6.2) }}{{ r 2 } E B donde f = (1 β 2 ) / (1 y 2 β 2 /r 2 ) 3/2. La ecuación (6.2), a menos del factor relativista f, se conoce como fuerza de Lorentz y comprende la ley de Coulomb y la ley de fuerzas de Ampére, respectivamente. El factor relativista f para velocidades pequeñas se puede considerar prácticamente igual a la unidad: f 1 para ν c Conclusión De todo lo anterior se puede apreciar que el campo magnético ha «aparecido» como una consecuencia de haber observado la fuerza Coulombiana entre dos cargas desde un sistema inercial respecto del cual las cargas no se encuentran en reposo. Esto sugiere que la naturaleza del campo magnético no es distinta de la del campo eléctrico: el campo magnético es, precisamente, una manifestación relativista del campo eléctrico. 124

125 Capítulo 7 Campos variables en el tiempo 7.1. Ley de inducción de Faraday En los materiales con una conductividad distinta de cero, se inducen corrientes de conducción si se «sumergen» en un campo magnético variable en el tiempo. Con relación a la figura 7.1, Faraday (alrededor de 1831) observó que al variar el campo de inducción magnética B se engendraba una corriente en la espira conductora. En particular, tomando como referencia las direcciones del campo B y la corriente I indicadas en la figura 7.1, se observa que al incrementarse B B = B( t) i( t) ÙÖ º½ Ô Ö ÓÒ ÙØÓÖ Ò ÔÖ Ò ÙÒ ÑÔÓ Ñ Ò Ø Ó Ú Ö Ð Ò Ð Ø ÑÔÓº la corriente decrece, y viceversa, al disminuir B la corriente aumenta. El establecimiento de esta corriente se atribuye a la «inducción» de una fuerza capaz de realizar trabajo sobre los portadores de carga del medio conductor. El trabajo por unidad de carga que realiza esta fuerza, que bien pudiera llamarse trabajo, se denomina fuerza electro-motriz, abreviadamente f.e.m., y se define como sigue: f.e.m. = E dl (7.1) En la Ecuación (7.1) se asume que un campo de naturaleza eléctrica, E, es responsable de este trabajo. Ciertamente, tal campo eléctrico no es de naturaleza conservativa. La relación cuantitativa establecida experimentalmente por Faraday entre la variación tem- 125

126 poral del campo magnético B y la «fuerza electro-motriz» tiene la siguiente forma: C esp E dl }{{} f.e.m. = d dt ΦB S esp f.e.m. = d dt S esp B ds (7.2) La Ecuación (7.2) debe leerse de la siguiente manera: dado un campo magnético B, variable en el tiempo, y prefijado un cierto camino cerrado en la región de existencia del campo magnético, imaginario o real, que bien pudiera ser una espira conductora C esp, sobre tal camino se induce un campo eléctrico capaz de realizar un trabajo por unidad de carga, a lo largo del circuito, par al flujo de la razón de cambio temporal del campo magnético a través de una cualquiera de las superficies definidas por el camino mismo. La relación espacial entre los campos inducido E e inductor B/ t es de mutua ortogonalidad. El signo menos en la Ec. (7.2) se conoce como Ley de Lenz. La ley de Lenz establece que la f.e.m. que se induce en la espira por la acción del flujo magnético primario, o exterior, es tal que la corriente engendrada produce un flujo magnético secundario contrario al flujo magnético primario, produciendo un flujo resultante menor [?] Conductor que se mueve en un campo magnético Si un conductor se mueve con velocidad ν en una región en la que existe un campo magnético B t-invariante y uniforme (ver Fig. 7.2), todos los portadores de carga dentro del conductor experimentan una fuerza dada por: F = q(ν B) (7.3) La Ecuación (7.3) forma parte de una expresión de la fuerza aún más general, denominada fuerza de magnético: Lorentz, la cual tiene en cuenta la acción de los campos tanto eléctrico como F = q(e + ν B) (7.4) La componente magnética de la Fuerza de Lorentz por unidad de carga: F q = ν B 126

127 ÙÖ º¾ ÁÒ Ù Ò ÔÓÖ ÑÓÚ Ñ ÒØÓº ÖØ ÖÖ ÓÒ ÙØÓÖ ÔÐ Þ Ú ÐÓ ν Ó Ö ÙÒ Ô Ö Ö Ð ÓÒ ÙØÓÖ Ø Ñ Ò Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ð ÕÙ Ü Ø ÖØÓ ÑÔÓ B ÙÒ ÓÖÑ º ÌÓ Ó ÐÓ ÔÓÖØ ÓÖ Ö Ò Ð ÖÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ù ÖÞ ÔÓÖ ÙÒ Ö ÔÓÖ ν Bº ËÓÐÓ ÐÓ Ð ØÖÓÒ ÔÓ Ö Ò ÑÓÚ Ö Ò Ó ÐÙ Ö ÙÒ ÓÖÖ ÒØ I ÕÙ ÕÙ Ð Ñ Ø ÔÓÖ Ð Ö Ø Ò R Ò Ö ÓÒ Ð ÖÙ ØÓº se puede considerar, desde el punto de vista de la propia carga, como una suerte de campo eléctrico: E = ν B, de modo que para un circuito en el que una o más de sus partes, o todo él, presentan un movimiento relativo respecto de un campo magnético exterior, se puede definir una trabajo por unidad de carga, o f.e.m., no nulo, dado por: F dl = (ν B) dl Γ q Γ }{{} E E dl = (ν B) dl Γ } {{ } Γ f.e.m Caso general de la inducción Muy corrientemente se suele separar la f.e.m. inducida por la variación temporal del campo magnético de la inducida por el movimiento relativo del circuito, denominando f.e.m de transformación la primera, y f.e.m de generador, o de movimiento, la segunda [4]: B E dl = Γ S Γ t ds + (ν B) dl Γ }{{} f.e.m. de transformación }{{} f.e.m. de generador También se suelen englobar ambas f.e.m. en una única ecuación Γ E dl = d dt 127 (7.5) S Γ B ds (7.6)

128 I e e e ν B B Polo norte ω I Polo sur µ ÈÓÖ ØÖ Ð Ò Ð ÖÙ ØÓ µ ÈÓÖ ÖÓØ Ò Ð ÖÙ ØÓ ÙÖ º Å Ò ÑÓ Ò Ù Ò Ð f.e.m. Ò Ö ÓÖ Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓº donde queda sobrentendido que el flujo S Γ B ds puede variar en el tiempo porque el campo magnético sea t variante: B = B(t), o el circuito se deforme Fig. 7.2, se traslade Fig. 7.3(a), o rote Fig. 7.3(b), en el tiempo: S Γ = S Γ (t), o ambas cosas. Para comprobar el caracter general de la Ec. (7.6) procederemos como sigue partiendo de la forma compacta f.e.m. = dφ dt donde Φ = S Γ B ds, siendo S Γ una cualquiera de las superficies definidas por el circuito Γ en el que se desea determinar la f.e.m., pudiendo ocurrir que tanto el campo magnético B = B(t), como la superficie S Γ = S Γ (t) varíen con el tiempo. Se tiene [ dφ dt = lím 1 ] B(t + t) ds B(t) ds t 0 t S Γ (t+ t) S Γ (t) donde S Γ (t) y S Γ (t + t) son las superficies definidas por el mismo circuito en los instantes t y t + t, respectivamente, las cuales pueden ser, en general, distintas (ver Fig. 7.4). (7.7) Si en el intervalo t el circuito ha cambiado, por deformación, traslación o rotación, las superficies S Γ (t) y S Γ (t + t) en conjunto con una superficie que denotaremos S lat, la cual se puede pensar como el área barrida por la deformación, traslación o rotación del circuito en el intervalo t, conforman una superficie cerrada S = S Γ (t) + S Γ (t + t) + S lat. Ahora bien, si el campo magnético varía continuamente y con suavidad se podrá expandir de la forma: B(t + t) = B(t) + B(t) t + T.O.S., y al despreciar los términos de orden superior, la Ec. t (7.7) asume la forma 128

129 ÙÖ º ÖÙ ØÓ ÕÙ Ñ ÔÓÖ ÓÖÑ Ò ØÖ Ð Ò Ó ÖÓØ Òº Ò t Ð ÖÙ ØÓ Ð ÓÖÑ Γ(t) Ý Ø Ò Ó ÙÒ Ñ Ð ÙÔ Ö ÖØ S Γ (t)º Ò t + t Ð ÖÙ ØÓ Ð ÓÖÑ Γ(t + t) Ý Ø Ò Ó ÙÒ Ñ Ð ÙÔ Ö ÖØ S Γ (t + t)º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ t Ð ÖÙ ØÓ ÖÖ ÙÒ ÙÔ Ö S lat º ÍÒ Ö Ò Ð ÙÔ Ö Ó Ö S lat Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ ds = dl νt Ù Ó Ð Ó ØÓÑ Ò Ô Ö Ð ÐÓ Γ Ý Ð Ú ÐÓ ν Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÑÓ Ò º dφ dt = lím t 0 [ 1 B(t) ds + t S Γ (t+ t) S Γ (t+ t) ] B(t) t ds B(t) ds t S Γ (t) (7.8) tomando en cuenta que V (S Γ ) B(t) dν = S Γ (t+ t) B(t) ds S Γ (t) B(t) ds + S lat B(t) ds lat y que B = 0, resulta dφ dt = lím t 0 1 t B(t) ds lat S lat }{{} dl νdt + ( S Γ (t+ t) B(t) t ds ) t (7.9) En la Ecuación (7.9) el diferencial de superficie sobre S lat tendrá la forma ds lat = dl νt si sus dos lados se toman paralelos a Γ y a la velocidad ν, respectivamente, como se muestra en la Fig. 7.4, y la integral de superficie se podrá expresar de la forma S lat = t Γ(t) 0 : ( dφ dt = lím 1 t ) B(t) B(t) dl νdt + ds t t 0 t Γ(t) 0 S Γ (t+ t) t [ ( ) ( ) ] 1 B(t) = lím B(t) dl ν t + ds t t 0 t Γ(t) S Γ (t+ t) t B(t) = B(t) dl ν + ds (7.10) Γ(t) S Γ (t) t 129

130 Usando la propiedad A B C = B C A, se obtiene finalmente: f.e.m. = dφ dt Γ(t) = B(t) ν B(t) dl ds (7.11) S Γ (t) t Forma diferencial de la ley de inducción de Faraday Al tomar el límite S Γ 0, de modo de reducir la superficie S Γ y su contorno Γ a un punto (macroscópico), y usando el Teorema de Stoke, la Ec. (7.6) da lugar a: lím S Γ 0 lím E dl = lím d B ds Γ 0 Γ S Γ 0 dt S Γ E ds = lím d B ds S Γ S Γ 0 dt S Γ E ds = d B ds dt S Γ 0 y en la medida que la superficie S Γ se contrae, las cantidades subintegrales E y B, siendo funciones de buen comportamiento, tienden a comportarse como cantidades constantes en los S Γ 0 puntos de S Γ, pudiéndose factorizar de sus respectivas integrales: S Γ 0 E E ds = d dt S Γ 0 S Γ 0 ds = B t E = B t S Γ 0 B ds ds (7.12) La Ecuación (7.12) se conoce como Ley de Inducción de Faraday en forma diferencial o puntual. El campo eléctrico definido mediante la Ec. (7.12) es un campo de naturaleza solenoidal, o sea un campo no conservativo, de líneas cerradas. Con la Ec. (7.12) se completa el conocimiento del campo eléctrico. Se reconoce así, que el campo eléctrico posee dos componentes: una componente irrotacional, o estática, E i, y una componente solenoidal, o dinámica, E s : E = E i + E s, donde los campos E i y E s quedan definidos de la siguiente manera: E i = 0 E s = B t E i = ρ ν E s = 0 ε 0 130

131 Normalmente, sin embargo, se describe el campo eléctrico de la siguiente manera concisa: o equivalentemente (en el mundo macroscópico): E = B (7.13) t E = ρ ν (7.14) ε 0 E = B t (7.15) D = ρ ν (7.16) donde se debe distinguir la naturaleza distinta de las densidades volumétricas de cargas que aparecen en las Ecs. (8.22) y (8.26): la primera incluye todo tipo de cargas (libres y ligadas), la segunda incluye solo las cargas libres Corriente de desplazamiento de Maxwell En el Cuadro 7.1 se muestra el conjunto de leyes experimentales conocidas para la época de Maxwell escritas usando la notación moderna que debemos principalmente a Heaviside y Gibbs. Maxwell observó la incosistencia existente entre las ecuaciones de la ley de Ampere y de continuidad de la corriente: al tomar la divergencia de la primera se llega a un resultado incoherente con la segunda: ( H) = 0 = J, pero, a su vez: J = ρν t. Maxwell debió corregir la Ley de Ampere añadiendo algo al segundo miembro: H = J +algo, de tal suerte que al tomar la divergencia de esta ecuación resultase J = algo. Al comparar este resultado con la ecuación de continuidad de la corriente tendría que ser algo = ρν t. Facilmente se puede deducir, usando la Ley de Gauss ( D = ρ ν ) que algo = D t y: H = J + D t (7.17) donde el nuevo término D t se denomina densidad de corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell Maxwell concibió la densidad de corriente de desplazamiento por la vía del pensamiento, y no experimentalmente, y al hacerlo estaba postulando la teoría más completa de la Física: la 131

132 Ù ÖÓ º½ Ê ÙÑ Ò Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÙÑÙÐ Ó Ø Ð ÔÓ Å ÜÛ Ðк Formas diferenciales o puntuales Formas integrales o globales Ley de inducción de Faraday E = B t Γ E dl = d dt S(Γ) B ds Ley de Gauss D = ρ ν S D ds = V (S) ρ νdν Ley circuital de Ampere H = J B = 0 Γ H dl = S(Γ) J ds S B ds = 0 Ecuaciones constitutivas Ecuación de continuidad de la corriente D = εe, B = µh, J = σe J = ρν t S J ds = d dt V (S) ρ νdν Teoría Electromagnética. El conjunto de ecuaciones: E = B t (7.18) D = ρ ν (7.19) H = J + D t (7.20) B = 0 (7.21) se conocen como las Ecuaciones de Maxwell. Tales ecuaciones son ecuaciones del punto o diferenciales y permiten explicar todos los fenómenos electromagnéticos macroscópicos de la naturaleza. Las Ecuaciones de Maxwell contienen el concepto de acción contigua, en contraposición con la acción a distancia, pues correlacionan la razón de variación espacial con la razón de cambio por unidad de tiempo de los campos, lo cual implica que la evolución de 132

133 éstos no puede sino ocurrir mediante pequeños (infinitesimales) pasos espaciales y temporales Potenciales retardados De la Ecuación (8.4) se desprende que B = A, solo que A(r, t) µ J(r ) 4π V R dν. El vector potencial magnético ahora será función del tiempo y su valor en un punto dado será función de la distribución de corriente en un instante de tiempo anterior, el necesario para que el efecto de J(r ) ( o sea A) mediante una «acción contigua» se manifieste en el punto de observación r. Un expresión apropiada para A, tomando en cuenta este retardo, y asumiendo que la perturbación A «viaja» de un punto a otro a una velocidad ν p es A(r, t) = µ 4π V J(r, t R/ν p ) R dν (7.22) Otra consecuencia de las Ecuaciones de Maxwell es que E V, ya que E 0. Sin embargo al sustituir en la Ec. (11.25) B = A: E = B t = t A intercambiando los operadores t ( E = A ) t ( E + A ) = 0 t de donde E + A t }{{} E S }{{} E i E = V = V }{{} E i A t }{{} E s donde E s = A y E t i = V son las componentes solenoidal, o «dinámica», e irrotacional, o cuasiestática, del campo eléctrico, respectivamente. 133

134 Ciertamente el potencial V = V (r, t) 1 ρ ν(r ) 4πε V R dν y su causa ρ ν (r, t) no suceden simultáneamente: primero sucede la causa y luego sucede el efecto, de modo que al observar el potencial en r en un instante de tiempo t dado, la causa que lo ha engendrado ha debido ocurrir un instante de tiempo anterior, dígase t = t R/ν p, donde ν p es la velocidad con que la acción de las fuentes se propaga hacia los puntos contiguos alrededor y R ν p es el tiempo que tarda en ir del punto fuente r al punto de observación r: V (r, t) = 1 ρ ν (r, t R/ν p ) dν (7.23) 4πε V R Las funciones de las Ecs. (7.22) y (7.23) se conocen como los Potenciales Retardados Revisión del concepto de energía magnética En el capítulo previo definimos la densidad de energía magnética para medios lineales mediante la fórmula w m = 1 H B y advertimos que su deducción no podía ser posible hasta haber 2 completado el estudio de la Ley de Inducción de Faraday, tema que finalmente hemos tratado. Procederemos de seguido a deducir esta expresión usando como referencia un cuerpo conductor de la forma que se indica en la Fig. 7.5 el cual se conecta electricamente por los extremos 1 y 2 con un generador que forzará «suavemente» una corriente constante I, partiendo de un valor nulo. En t = 0 el generador empezará a inyectar cargas por uno de los extremos y las evacuará por el otro, de tal manera de realizar un trabajo dw = V dq sobre la carga diferencial dq, siendo V la difrencia de potencial entre los extremos 1 y 2 del conductor. Este diferencial de carga se incorporará a la corriente i que empezará a circular a través de la sección S 1 del conductor: i = S 1 J ds. Recordemos que hemos asumido que la corriente será inicialmente nula y por tanto la misma será una función del tiempo i = i(t), y que la haremos variar muy lentamente, o suavemente, hasta alcanzar un valor constante I. Anticiparemos que esto ocurrirá después de T s. Durante la evolución de i(t) se inducirá un campo E s dado por E s = A, donde A vendría t dado por la Ec. (7.22). Si se asume que la evolución temporal de J sea suficientemente lenta, dígase cuasiestática, se podrán despreciar los retardos y aproximar A como A = µ J(r 4π V,t) C R dν, donde V C es el volumen del conductor. En este punto es necesario precisar un poco mejor el caracter suave de la evolución temporal de la corriente. Cuando exigimos una variación lenta de la corriente lo hacemos porque deseamos que la derivada temporal A t 134 parta de un valor

135 ÙÖ º Ù ÖÔÓ ÓÒ ÙØÓÖ Ó Ö Ð ÕÙ ÓÖÞ Ö ÙÒ ÓÖÖ ÒØ I Ñ Ò Ö Ù Ú Ý ÕÙ ÖÚ Ö Ô Ö Ð Ù Ò Ð ÜÔÖ Ò w m = 1 2 H Bº nulo (cuando la corriente alcance el valor constante I, la misma derivada será igualmente nula). Cabe preguntarse el porqué de esta premisa tan restrictiva y particular. La respuesta es que no deseamos malgastar la energía del generador en las variaciones del momento de las cargas ni en radiación, sino utilizarla toda solo en la creación del campo magnético de I. Volviendo a la expresión dw = V dq, admitiremos que este trabajo debe hacerse para vencer la f.e.m. inducida contraria, y su valor mínimo, despreciando las pérdidas óhmicas en el conductor, vale y como dq = i(t)dt 2 V dq = E s dq dl (7.24) 1 ( dq = Reemplazando la Ec. (7.25) en la Ec. (7.24) se obtiene S J(t) dsa n ) dt (7.25) 2 ( ) dw = E s J(t) dsa n dt dl 1 S 135

136 tomando dl y a n colineales con E (y por ende con J), siendo E = A, de modo que las t integrales anidadas 2 1 y s equivalgan a la integral sobre el volumen V C del conductor V C, el trabajo diferencial realizado se podrá escribir como De esta manera dw = ( ) A V C t J dv dt dw dt = A V C t J dv representa la rapidez con que la fuente externa al conductor crea el campo magnético, o la rapidez con que la fuente transfiere su energía al campo magnético. Cuando la corriente alcance su valor estable, lo cual ocurrirá, según lo anticipamos, a los T segundos, el campo magnético creado albergará una energía par a W m = ( T 0 V C A t J dv Ahora bien, como A (A J) = J + A J se podrá escribir t t t ( T 0 V C A t J dv ) dt = A J dv V C T 0 ) dt (7.26) ( T 0 V C A J t dv y como A V J dv = C t V C A J dv, lo cual comprobaremos más adelante, sigue que t y si V C A J dv = 0, entonces 0 W m = 1 A J dv 2 V C W m = 1 2 T 0 V C A J dv (7.27) representa la energía magnética almacenada en la distribución de corriente y utilizada para crear el campo magnético correspondiente. Ahora bien, expandiendo el volumen de integración de la Ec. (7.27) hasta incorporar todo el espacio, remplazando J por H, utilizando la identidad vectorial (A H) = H A A H, y sustituyendo A por B se obtiene W m = 1 2 V H B dv (7.28) 136 ) dt

137 porque al convertir la integral de volumen de (A H) en la integral de flujo de A H a través de la superficie cerrada en el infinito, ésta se desvanece, toda vez que el vector A H decrece con el inverso del cubo de la distancia (A H 1 r 3 con el cuadrado (ds r 2 ). ), mientras que la superficie crece La cantidad 1 2 H B tiene dimensiones (Julios/m3 ) de una densidad volumétrica de energía, y se la denomina densidad volumétrica de energía magnética: w m = 1 2 H B (7.29) Comprobación Se desea comprobar que A V C t J dv = A J V C t Para ello partiremos poniendo J = H J A t A J t = H A t = A H t y usando la identidad vectorial (A B) = B A A B H A t A H t ( = H A ) t ( ) = A H t dv (7.30) + H B t + H t B Al sustituir estas expresiones en la Ec. (7.30) y al expandir el volumen de integración desde V C hasta incluir todos los puntos del universo, y al usar el teorema de la Divergencia para convertir las integrales de volumen de los términos ( ) ( ) H A t y A H t en integrales de flujo a través de la superficie en el infinito que encierra el universo, resulta ya que A 1 r, H 1 r 2 A V t J dv A J V t dv = = V H B t dv V H t B dv y ds r 2 las integrales S H A t ds y S A H t ds son nulas. 137

138 Si el medio es lineal y no posee memoria será H B V t dv = H V t B dv y por lo tanto A V C t J dv = A J V C t dv 138

139 Capítulo 8 Ecuaciones de Maxwell Introducción Las ecuaciones de Maxwell son : E = B t (8.1) D = ρ ν (8.2) H = J + D t (8.3) B = 0 (8.4) donde: E [V/m] es la intensidad del campo eléctrico, H [A/m] es la intensidad de campo magnético, D [C/m. 2 ] es la densidad de flujo eléctrico, B [T] es la densidad de flujo, magnético, ρ ν [C/m. 3 ] es la densidad volumétrica de cargas libres y J [A/m. 2 ] es la densidad de corriente libre 1. Es conveniente acompañar las ecuaciones de Maxwell con las ecuaciones constitutivas de la materia: D = εe (8.5) B = µh (8.6) J = σe (8.7) 1 Las unidades de medida pertenecen al sistema internacional de unidades (SI). 139

140 donde ε [F/m] es la permitividad eléctrica del medio, µ [H/m] es la permeabilidad magnética del medio y σ [S/m] es la conductividad del medio. Las ecuaciones de Maxwell también se pueden expresar de forma integral: E dl = d B ds, dt S H dl = d D ds + I, dt L L 8.1. Balance energético instantáneo S S S D ds = Q (8.8) B ds = 0 (8.9) Multiplicando escalarmente la Ecuación (11.26) por el campo E y la Ecuación (11.25) por el campo H y restando a la primera la última de las ecuaciones que se obtienen, resulta: usando la identidad vectorial se obtiene: H E E H = H B t E J E D t (A B) = B ( A) A ( B) (8.10) (E H) = H B t E D t E J (8.11) la cual, para un medio simple, se puede escribir de la siguiente forma: S = t (w e + w m ) p σ (8.12) donde S = E H es el vector de Poynting instantáneo en [W/m 2 ], w e = 1εE 2 y w 2 m = 1 2 µh2 son las densidades (volumétricas) de energía eléctrica y magnética, respectivamente, las cuales se expresan en [J/m 3 ] y p σ = σe 2 es la densidad (volumétrica) de potencia disipada en [W/m 3 ] por efecto Joule (todas las unidades en el sistema SI) Teorema de Poynting La forma integral de la Ecuación (8.12) se obtiene al integrar ambos miembros sobre un volumen dado y al aplicar el Teorema de la Divergencia al primer término: S ds = d (w e + w m ) dν p σ dν (8.13) S(V ) dt V V 140

141 En relación con la Ecuación (8.13) se enuncia el Teorema de Poynting en sus dos modalidades o regímenes. Regimen de emisión En el regimen de emisión ver Fig. 8.1(a) el flujo S S ds es positivo y se debe interpretar de la manera siguiente: la cantidad de energía que fluye al exterior de un volumen, a través de la superficie que lo delimita, debe igualar la razón de disminución temporal de la energía electromagnética en el interior, si en el interior no se localizan fuentes externas del campo [5]. µ Ê Ñ Ò Ñ Ò µ Ê Ñ Ò ÓÖ Ò ÙÖ º½ Ê Ñ Ò Ñ Ò Ý ÓÖ Òº Es conveniente añadir, en este sentido, un término J ex en el miembro de la derecha de la Ecuación (11.26) que modele las fuentes exteriores de los campos, en cuyo caso se deberá modificar la Ecuación (8.11) de la forma S = t (w e + w m ) p σ p ex donde p ex = E J ex (p ex < 0) representa la densidad volumétrica de potencia generada en el punto a partir de la conversión de algún tipo de energía no electromagnética en energía electromagnética. Regimen de absorción En el regimen de absorción ver Fig. 8.1(b) el flujo S S ds es negativo y se debe interpretar de la manera siguiente: la cantidad de energía que fluye al interior de un volumen, a través de la superficie que lo delimita, debe igualar a la suma de la razón de crecimiento temporal de la energía electromagnética más la potencia disipada por conducción en el interior. 141

142 8.2. Condiciones de borde En la superficie S 1,2 de separación de dos regiones (Fig. 8.2) en las que, por razones vinculadas a las distintas propiedades físicas de los medios que llenan tales regiones, cierto campo manifiesta un cambio discreto, el campo está obligado a cumplir ciertas condiciones, las cuales se derivan de su estructura (especificada mediante su y su ), denominadas condiciones de borde. ÙÖ º¾ ÖÓÒØ Ö S 1,2 Ò¹ Sea A tal campo, y sea h el espesor alrededor de la superficie de ØÖ Ó Ñ Ó Ø ÒØÓ º contacto entre las dos regiones en el que las propiedades físicas de los dos medios cambian de un valor dado en la región 1, a otro valor en la región 2. Las mencionadas condiciones de borde se expresan de la forma: a n (A 2 A 1 ) = lím h 0 (h A) a n (A 2 A 1 ) = lím h 0 (h A) En particular, los campos eléctrico y magnéticos están supeditados a las condiciones de frontera o de borde que se muestran en el cuadro 8.1. Ù ÖÓ º½ ÓÒ ÓÒ ÓÖ Componente Campo eléctrico Campo magnético Normal (D 2 D 1 ) a n = ρ s (B 2 B 1 ) a n = 0 Tangencial a n (E 2 E 1 ) = 0 a n (H 2 H 1 ) = J S 8.3. Campos en el espacio ilimitado La idea de campos en un espacio ilimitado se refiere a todas las soluciones posibles de las Ecuaciones de Maxwell ((11.25) (8.4)) en una región llena de un medio simple de extensión infinita o ilimitada, en la que no existen fuentes impresas (externas, exteriores o forzantes) del campo. Estos campos, a su vez, se denominan libres[5]. 142

143 Ecuaciones de segundo orden Es posible obtener, a partir e las Ecuaciones (11.25), (11.27), (11.26) y (8.4), y asumiendo, como se ha indicado, un medio simple, i.e. homogéneo, lineal e isotrópico, Ecuaciones de 2. o orden en función de solamente uno de los campos E y H: tomando en cuenta que E = µ t H (8.14) H = J + ǫ t E (8.15) se obtiene: A = ( A) 2 A de donde sigue: ( E) 2 E = µ t H (8.16) ( H) 2 H = J + ε t E (8.17) 2 E = 1 ε ρ + µ t J (8.18) 2 H = J (8.19) las cuales se denominan ecuacions ede D Alembert y donde el operador 2 = 2 µε 2 t se denomina d Alembertiano. Al no existir fuentes (ρ ν = 0 y J = ), las Ecuaciones (8.18) y (8.19) se convierten en las ecuaciones vectoriales homogéneas de la onda: 2 E = 0 (8.20) 2 H = 0 (8.21) Si los campos no variasen respecto al tiempo, las Ecuaciones (8.18) y (8.19) darían lugar a las ecuaciones vectoriales de Poisson y las Ecuaciones (8.20) y (8.21) a las Ecuaciones vectoriales 143

144 de Laplace. Cabe observar que, como veremos más adelante, el campo electromagnético libre más sencillo es la onda plana homogénea Ecuaciones de segundo orden de los potenciales Ecuaciones de segundo orden de las funciones potenciales, similares a las Ecs. (8.18) (8.19) y (8.20), (8.21), se pueden deducir de la manera que se describe a a continuación. Partiremos de las Ecuaciones de Maxwell (11.27) y (11.26), asumiendo un medio simple: tomando en cuenta que: E = ρ ν ε B = µε E t (8.22) + µj (8.23) B = A (8.24) E = V A t (8.25) al sustituir estas expresiones en las Ecuaciones (8.22) y (8.23) se obtiene: ( V A ) = ρ ν (8.26) t ε ( A) = µε ( V A ) + µj (8.27) t t usando las identidades vectoriales: ϕ = 2 ϕ F = ( F) 2 F y reordenando apropiadamente las ecuaciones resulta: Admitiendo la condición de Lorentz: 2 V = ρ ν ε ( A) (8.28) t ( 2 A µε 2 A = µj + A + µε V ) (8.29) t 2 t A = µε V t 144 (8.30)

145 las Ecuaciones (8.28) y (8.29) se desacoplan y dan lugar finalmente a las ecuaciones D Alembert de los potenciales: Para el caso J = 0 y ρ ν 2 V µε 2 V t 2 vectoriales de onda de las funciones potenciales: = ρ ν ε (8.31) 2 A µε 2 A t 2 = µj (8.32) = 0, las ecuaciones anteriores se convierten en las ecuaciones Solución de la Ecuación de D Alembert 2 V µε 2 V t 2 = 0 (8.33) 2 A µε 2 A t 2 = 0 (8.34) La Ecuación Vectorial de D Alembert 2 x(r, t) = y(r, t ) se puede resolver aplicando por la izquierda el operador inverso ( 2 ) 1 : El operador inverso tiene la forma ( 2 ) 1 2 x(r, t) = ( 2 ) 1 [ y(r, t )] ( 2 ) 1 [ ] x(r, t) = ( 2 ) 1 [ y(r, t )] V T [ ]g(r, r, t, t ) dt dν donde g(r, r, t, t ) es la respuesta impulsiva del medio y es la solución de la ecuación 2 g(r, r, t, t ) = δ(x x )δ(y y )δ(z z )δ(t t ) siendo δ(x x )δ(y y )δ(z z )δ(t t ) una fuente puntual impulsiva en (x, y, z, t ). Se puede demostrar que la forma de g(r, r, t, t ) es la siguiente g(r, r, t, t ) = δ [ t ( t R ν p 4πR por lo que la solución de la Ecuacion de D Alambert ha de tener la forma: ( ) r, t R νp x(r, t) = V y 145 4πR )] dν (8.35)

146 Vamos a deducir de seguido la solución dada por la Ec. (11.140) de una manera que esperamos resulte natural e intuitiva. Ya que la Ecuación Vectorial de D Alembert p.e. (8.18), (8.19) y (8.32) está compuesta, en coordenadas Cartesianas, por tres ecuaciones escalares de D Alembert p.e. (8.31), será suficiente entonces resolver la ecuación: donde x = x(t, r) y y = y(t, r ). 2 x µε 2 x = y (8.36) t2 El problema físico modelado por la Ec. (8.36) se reproduce gráficamente en la Fig µ Ù ÒØ ÓÒØ ÒÙ ØÖ Ù ¹ Ò ÙÒ ÚÓÐÙÑ Ò Ò ØÓ V º µ Ù ÒØ ÔÙÒØÙ Ð Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ü ÒØÖ Óº µ Ù ÒØ ÔÙÒØÙ Ð Ò Ð ÓÖ Òº ÙÖ º ØÖ Ù ÓÒ Ù ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ý ÔÙÒØÙ Ð ÕÙ Ö Ò Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÑÓ Ð Ó ÔÓÖ Ð º (8.36) En la Figura 8.3(a) unas fuentes se distribuyen en un volumen finito V, con una ley de dependencia espacial y temporal de la forma y(t, r ). Esta distribución de fuentes produce un campo x(t, r) en un punto de observación r determinado. La relación de interdependencia entre las fuentes y el campo está gobernada por la Ec. (8.36). Para hallar la solución de la Ec. (8.36) supondremos que las funciones x(t, r) y y(t, r ) describen procesos policromáticos: x(t, r) = F 1 {X(f, r)} y(t, r ) = F 1 {Y (f, r )} X(f, r)e j2πft df (8.37) Y (f, r )e j2πft df (8.38) donde las funciones X(f, r) y Y (f, r ) son las transformadas de Fourier de x(t, r) y y(t, r ), 146

147 respectivamente: X(f, r) = F{x(t, r)} Y (f, r ) = F{y(t, r )} x(t, r)e j2πft dt (8.39) y(t, r )e j2πft dt (8.40) Al sustituir las expresiones (8.37) y (8.38) en la Ecuación (8.36) se obtiene: 2 F 1 {X(f, r)} µε 2 {X(f, r)} = F 1 {Y (f, r )} {( t 2F 1 ) } F 1 2 µε 2 X(f, r) = F 1 {Y (f, r )} t 2 F 1 {( 2 + κ 2) X(f, r) } = F 1 {Y (f, r )} donde κ = ω µε, con ω = 2πf, se denomina número de onda. Y como esta ecuación ha de cumplirse individualmente para cada armónico, será: 2 X(r) + κ 2 X(r) = Y (r ), para el armónico a fhercios (8.41) La solución de la Ecuación (8.41) tendrá la forma: X(r) = ( 2 + κ 2 ) 1 [ Y (r )] (8.42) donde el operador inverso ( 2 + κ 2 ) 1 es una integral de convolución: X(r) = G(r, r )[ Y (r )] dν (8.43) V la función G(r, r ) se denomina función de Green. La función de Green satisface la ecuación: ( 2 + κ 2) G(r, r ) = δ(r r ) 4π r r 2 (8.44) donde δ(r r )/4π r r 2 representa una fuente puntual puesta en r ver Fig. 8.3(b), variable armónicamente en el tiempo a la frecuencia f. La Ecuación (8.44) se puede escribir explícitamente en coordenadas esféricas, poniendo, por comodidad, r = 0 Fig. 8.3(c), de la forma siguiente: 1 d d r 2 dr r2 dr G(r) + κ2 G(r) = δ(r) (8.45) En los puntos donde r 0, se puede escribir: 1 d d r 2 dr r2 dr G(r) + κ2 G(r) = 0 (8.46) 147

148 La solución de la Ec. (8.46) se halla poniendo G(r) = U(r), en efecto: r e jκr e jκr G(r) = C 1 + C 2 r r (8.47) La solución para una fuente puntual puesta en r se puede obtener de la Ec. (8.47) sustituyendo la distancia radial r respecto del origen por la distancia radial R respecto de r : G(R) = C 1 e jκr R + C 2 e jκr R (8.48) e El término C jκr 2 representa una onda esférica elemental que se propaga desde el punto r R e hacia el infinito. El término C jκr 2, en cambio, representa una onda similar que se propaga R desde el infinito hacia el punto r. Esta última componente de la solución se debe descartar por razones físicas: es una solución anticausal. Luego, al sustituir la solución (11.121) en la Ec. (8.44) se obtiene: ( 2 + κ 2) e jκr C 1 R = δ(r r ) (8.49) Al integrar esta ecuación, respecto de r, en un pequeño volumen V σ alrededor de r, se obtiene: C 1 V σ ( 2 + κ 2) e jκr R dν = Si V σ 0, para lo cual R 0, y siendo dν R 2, resulta: ( C κ 2) e jκr V σ } R }{{} dν {{} 1 R ( ) 1 C 1 2 dν + C 1 κ 2 1 V σ R V σ R dν }{{} C 1 V σ 2 ( 1 R 0 ) δ(r r ) V σ 4π r r dν (8.50) 2 R 2 = = 1 δ(r r ) V σ 4π r r 2 }{{} =1 dν = 1 (8.51) Tomando en cuenta que 2 (1/R) = ( a R /R 2 ), se puede aplicar el Teorema de la Divergencia ( ) 1 C 1 2 dν = 1 V σ R C 1 ( a R /R V 2 ) dν = 1 σ C 1 a R S σ(v σ) R ds = 1 2 }{{} = 4π C 1 = 1 4π 148 (8.52)

149 de tal suerte que: G(r, r ) = e jκ r r 4π r r = e jκr 4πR (8.53) Y ahora, sustituyendo el resultado (8.53) en la Ecuación (8.43), y sustituyendo luego lo que resulta de esta operación en la Ecuación (8.37), tomando en cuenta que F{x(t t 0 )} = X(f)e j2πft 0, obtenemos: x(t, r) = F 1 {X(f, r)} { ( = F κ 2) } 1 [ Y (f, r )] { } = F 1 G(f, r, r )[ Y (f, r )] dν V = F 1 {G(f, r, r )[ Y (f, r )]} dν V { e j2πf µεr [Y (f, r )] } = V F 1 = 1 4π 4πR y ( t R ν p, r V ) R dν dν (8.54) donde v p = 1/ µε es la velocidad de propagación. Y las soluciones de las Ecuaciones (8.31) y (8.32) finalmente son: V (t, r) = 1 4πε A(t, r) = µ 4π V ρ ν V J ( t R v p, r ) dν (8.55) ( R t R v p, r ) dν (8.56) R Las funciones expresadas mediante las Ecuaciones (8.55) y (11.119) se conocen como potenciales retardados. Una manera compacta de expresar las soluciones dadas por las Ecs. (8.55) y (11.119) consiste en poner: [ρ ν ] vp ρ ν ( t R v p, r ) y J ( t R v p, r ) [J ] vp, respectivamente: V (t, r) = 1 4πε A(t, r) = µ 4π V [ρ ν ] vp R dν (8.57) V [J ] vp R dν (8.58) Tales soluciones reflejan matemáticamente el hecho físico de que los campos producidos por las fuentes se propagan a través del espacio, o medio, a una velocidad v p finita. Por ende, los 149

150 campos que en un determinado instante de tiempo observamos en un punto son el resultado de la acción de las fuentes un instante de tiempo anterior. Existe, efectivamente, un retardo entre la acción de las fuentes y el tiempo en que esta acción se manifiesta en los puntos distantes de la distribución Problemas 1. Un generador entrega al punto (x = 1, y = 1, z = 0) del espacio libre (vacío, asuma que 1 µ0 ǫ 0 = [m/s]) un Julio de energía por segundo, durante un segundo, toda la cual se transforma instantáneamente en campo electromagnético. Los campos eléctrico y magnético, pasado un segundo, satisfacen ambos la Ecuación de D Alembert homogénea: a) Para un observador ubicado en el punto ( 2 2 ) µ 0 ǫ 0 Campo = 0 (8.59) t 2 (x = ,5 2, y = ,5 2, z = 0) cuánto tiempo transcurre para que perciba el campo electromagnético. b) Calcule el vector de Poynting S. c) Evalúe la integral de S a través de dos superficies cerradas S 1 y S 2 cualesquiera tal que: S 1 S ds S 2 S ds. Defina apropiadamente ambas superficies e indique el valor exacto de ambas integrales, y comente, por supuesto, que precauciones debe tomar con respecto al tiempo. d) Razonadamente responda: Se podrá hacer circular una corriente de un amperio sobre una resistencia de un ohmio en el punto del observador extrayendo energía del campo electromagnético?. 2. Compruebe que la solución de la ecuación 1 d r 2 dr r2 d dr G(r)+κ2 e G(r) = 0 es G(r) = C jκr 1 U(r). Ayuda: parta imponiendo que G(r) = C 2 e jκr r 3. Tomando en cuenta 150 r. r +

151 que la solución de la ecuación 2 x = y se obtiene aplicando por la izquierda el operador inverso ( 2 ) 1 : ( 2 ) 1 2 x = ( 2 ) 1 ( y) x = ( 2 ) 1 ( y) donde y representa las fuentes impresas, las cuales se localizan en cierto volumen V, y x los campos producidos por estas fuentes en una región ilimitada, y que la expresión analítica de ( 2 ) 1 ( ) se conoce: ( 2 ) 1 ( ) = 1 [ ( )] vp 4π V dν R Escriba: a) La solución de la ecuación 2 H = J. b) La solución de la ecuación 2 E = ρν ε + µ J t. 4. Demuestre que las soluciones que se obtienen en (3a) y (3b) coinciden con H = A µ y E = V A, respectivamente. Ayuda: puede valerse de la identidad vectorial t (ϕa) = ϕ A + ϕ A. 5. Dada la distribución de cargas libres: con f = 3 MHz, calcule: ρ ν (t, r ) = P 0 cos(2πft) δ(r) 4πr 2 a) V (t, r). b) V 1 (t) = V (t, 0p25 m) y V 2 = V (t, 0p5 m). c) Realice una gráfica de ρ ν (t, r ), V 1 y V 2 versus el tiempo. 151

152 8.4. Ecuaciones de Maxwell en forma compleja Dadas las ecuaciones de Maxwell para campos que varían con el tiempo de acuerdo a una ley arbitraria: valen las siguientes consideraciones: E = B t (8.60) D = ρ ν (8.61) H = J + D t (8.62) B = 0 (8.63) Los campos con una dependencia generalizada respecto del tiempo constituyen, en general, procesos policromáticos, o sea: poseen un espectro con múltiples componentes frecuenciales. Según el análisis de Fourier, toda función arbitraria del tiempo se puede expandir en una combinación continua (transformada de Fourier), o discreta (serie de Fourier), de ciertas funciones elementales (autofunciones), corrientemente denominadas armónicos. Cada armónico representa un proceso monocromático. Los operadores diferenciales de las ecuaciones de Maxwell son f-invariantes, o sea no varían con la frecuencia. Los resultados del análisis de un proceso monocromático, se pueden extender de manera natural al caso policromático Proceso monocromático Supongamos que los campos varían armónicamente respecto al tiempo. La expresión del campo eléctrico tendrá la siguiente forma: E(t, r) = E(r) cos[ωt + ϕ e (r)] = Re{E(r)e jϕe(r) e jωt } (8.64) donde la cantidad compleja E(r)e jϕe(r), o abreviadamente E, es el fasor campo eléctrico asociado a E(t, r). 152

153 Problema. En el espacio libre coexisten los siguientes campos eléctricos: a f 0 [Hz] E 1 = (1 j)ˆx 2ẑ (8.65) y a 2f 0 [Hz] E 2 = (2 j)ŷ (5 j)ẑ (8.66) Se dispone de un par de sondas (antenas) orientadas una en la dirección de ˆx y la otra en la dirección de ŷ, siendo sus factores de antena iguales a 1 metro (esto significa que el voltaje inducido en los terminales de tales antenas es igual a E 1 [V]). Ambas sondas se conectan con cables coaxiales de longitud despreciable con relación al menor valor de λ a los puertos de entrada A y B de un osciloscopio. Trace para dos períodos T 0 lo que deberá observarse en la pantalla. Indique con claridad las amplitudes y fases respectivas π2f 0 t 1 = 26.6 ϕ 2 = 26.6 E 1 (t) E 2 (t) E1(t), E2(t) t 1 t ϕ 1 = 45 2πf 0 t 2 = t ÙÖ º Ö ÐÓ ÚÓÐØ ÕÙ Ö Ò Ö Ú ØÓ Ò Ð Ô ÒØ ÐÐ Ð Ó ÐÓ ÓÔ Óº Resp. 153

154 Algunas propiedades de los fasores Para los fasores A y B valen las siguientes propiedades: { } Re {A} = Re t t A { } Re {A} dt = Re A dt Además, vale el siguiente lema: cre{a} = Re{cA} Re{A + B} = Re{A} +Re{B} si Re{Ae jωt } = Re{Be jωt } t A = B Ecuaciones de Maxwell complejas Para obtener las ecuaciones de Maxwell en forma compleja (o en el dominio de la frecuencia), podemos proceder de la siguiente manera sistemática: E = B t E(r) cos[ωt + ϕ e (r)] = t B(r) cos[ωt + ϕ m(r)] R{E(r)e jϕe(r) e jωt } = t R { B(r)e jϕm(r) e jωt} { t } B(r)ejϕm(r) e jωt R { E(r)e jϕe(r) e jωt} = R R {[ E(r)e jϕe(r)] e jωt} = R {[ jωb(r)e jϕm(r)] e jωt} E = jωb donde E = E(r)e jϕe(r) y B = B(r)e jϕm(r) son los fasores de los campos eléctrico y magnético, respectivamente. Por inspección de la definición de fasor y de su relación con el campo instantáneo correspondiente, y de las propiedades y lema de los fasores, vemos que es posible obtener las versiones complejas de las ecuaciones de Maxwell de una manera más expedita, simplemente sustituyendo los campos por sus fasores, y la derivada temporal por el factor jω: t t forma obtendremos: 154 jω. De cualquier

155 E = jωb (8.67) D = ρ ν (8.68) H = jωd + J (8.69) B = 0 (8.70) 8.5. Propiedades de los medios materiales en el dominio de la frecuencia Junto con las Ecuaciones de Maxwell (8.67), (8.68), (8.69), y (8.70), debemos escribir las ecuaciones constitutivas de la materia en forma compleja: D = εe B = µh (8.71) J = σe En las Ecuaciones (8.71) debemos advertir el carácter complejo de los parámetros ε y µ. Estos parámetros han de ser complejos porque los procesos de polarización eléctrica y de magnetización ocurren con inercia, y esta inercia se manifiesta mediante un desfase entre los campos D y E, y B y H, respectivamente. Para medios típicos, este desfase tiene la forma de un ángulo no mayor de π/2, α para los campos D y E, y β para los campos B y H. De esta forma podemos escribir: D = ε e jα E, 0 α π 2 (8.72) B = µ e jβ H, 0 β π 2 Por consiguiente: ε =ε jε µ =µ jµ (8.73) ε = ε cos α µ = µ cos β (8.74) ε = ε sin α µ = µ sin β (8.75) 155

156 El parámetro ε se debe interpretar como la permitividad eléctrica del medio en su sentido ordinario, y modela la propensión del medio a polarizarse eléctricamente. El parámetro ε, en cambio, modela la inercia del proceso de polarización, y permite cuantificar las pérdidas por calentamiento de la polarización. A través de la Body Tissue Dielectric Parameters Tool de la página web de la FCC se pueden consultar los valores de ε y σ para diferentes tejidos humanos. Los parámetros allí disponibles están basados en el trabajo experimental sobre Dielectric properties of body tissues de Camelia Gabriel publicados en el U.S. Air Force Report AFOSR-TR-96. El parámetro µ, por su parte, se debe interpretar como la permeabilidad eléctrica del medio en su sentido ordinario, y modela la tendencia del medio a magnetizarse. El parámetro µ, en cambio, modela la inercia del proceso de magnetización, y permite cuantificar las pérdidas por calentamiento de la magnetización Problemas µ Ô ØÓÖ µ Ö Ñ ÕÙ Ñ Ø Ó ÙÖ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾º 1. Tomando en cuenta el modelo equivalente de un capacitor real que se ilustra en la Fig. 8.5, se comprueba que I = I g + I c, que I = Y V y que Y = G + jωc. Asumiendo que J = [σ + jω(ε jε )]E a) Compruebe que G = (σ + ωε ) A y C = d ε A, donde A es el área de las placas del d capacitor y d la distancia entre ellas. 156

157 b) Si el capacitor lleno de aire presenta una capacitancia d-c de 3 ff, y al llenarlo con aceite presenta una impedancia de (500 j) 10 3 [Ω] a ω = 10 6, determine ε r y ε r asumiendo σ = Considerando J (t, r) = J 0 (r) cos[ωt + ϕ(r)], compruebe que A(t, r) = R{ Ae jωt }, donde A = µ e J(r) 4π V jκr R A(t, r) = µ 4π V dν J (r, t R/νp ) R 3. Cierta distribución de corriente J produce un vector potencial magnético dado por A(r) = 100A 0e jκ 0r ˆθ r donde f = 3 5 GHz, κ 0 es el número de onda del vacío y A 0 = 5 6π 10 9, a) determine A(r, t) de forma que en su expresión aparezca explícitamente el retardo temporal, b) calcule el campo eléctrico E(r, t) en el dominio del tiempo asociado con A(r, t), c) determine la longitud del camino Γ mas corto necesario para que este campo desarrolle un voltio pico: máx Γ E d l = 1 a 200 metros del origen, d) disponga de dos sondas de campo eléctrico para extraer energía de éste, ambas con un factor de antena K = 1 (EK = V ), una en r = 200 m y la otra en r = 200, 25 m, y conecte ambas sondas, con sendas líneas de transmisión de igual longitud, a un osciloscopio, y dibuje lo que debería verse en la pantalla de éste (sobre el dibujo indique los valores numéricos de interés: amplitud y fase de cana canal). dν 4. Un generador entrega al punto (x = 1, y = 1, z = 0) del espacio libre (vacío, asuma que 1 µ0 ǫ 0 = [m/s]) un Julio de energía cada segundo, armónicamente, toda la cual se transforma instantáneamente en campo electromagnético, el cual es irradiado isotrópicamente al espacio. Los campos eléctrico y magnético, fuera de dicho punto, alcanzado el regimen permanente, satisfacen ambos la Ecuación de Helmholtz homogénea: ( 2 + κ 2) Campo = 0 (8.76) 157

158 a) Para un observador ubicado en el punto (x = ,5 2, y = ,5 2, z = 0) calcule la diferencia de fase del campo con respecto al punto del cual emerge. b) Calcule el vector de Poynting S complejo. c) Evalúe la integral de S a través de dos superficies cerradas S 1 y S 2 cualesquiera tal que: S 1 S ds S 2 S ds. Defina apropiadamente ambas superficies e indique el valor exacto de ambas integrales. d) Calcule cuánta potencia se podrá extraer de este campo de una área de 1 m. 2 de su frente de onda en el punto (x = 2, y = 4, z = 5) [Kms] Balance energético complejo Si se procede a proyectar la Ec. (8.67) sobre H 2, y el conjugado de la (8.69) sobre E 2 H y luego se restan ambas ecuaciones: ( E = jωµh) 2 E 2 ( H = jωεe + J i ) 1 2 (H E E H ) = j ω 2 (µh2 ε E 2 ) 1 2 E J i 1 2 E H = j ω 2 (µh2 ε E 2 ) 1 2 E J i al integrar para cierto volumen, al aplicar el Teorema de la Divergencia y al separar las partes real e imaginaria, se obtiene: 1 R {E H } ds = ω 2 S(V ) 2 1 I {E H } ds = ω 2 S(V ) 2 Al comprobar, finalmente, que 1 R {E H } ds = 1 2 S(V ) T V V (µ H 2 + ε E 2 ) dν 1 2 (µ H 2 ε E 2 ) dν T 2 T 2 ( S(V ) V V E H ds R { E J i } (8.77) I { E J i } (8.78) ) dt

159 podemos interpretar el par de Ecs. (8.77) y (8.78) como las ecuaciones de balance de energía activa y de energía reactiva, respectivamente, las cuales describen el proceso de intercambio promedio (temporal) de potencia de la región encerrada por V con el exterior Problemas 1. Compruebe que el vector de Poynting instantáneo S se relaciona con el vector de Poynting complejo S de la forma S = R{S E Hej2ωt } Mini-proyecto 1 Usando la base de datos disponible en seleccione tres materiales de propiedades electromagnéticas muy distintas. Seleccione, además, un rango de frecuencias suficientemente grande para los fines de las tareas que se proponen a continuación y proceda, usando MATLAB 2, a 1. Construir las gráficas ε = ε (f) y ε = ε (f), usando, si es necesario, escalas a la izquierda y a la derecha. µ Ô ØÓÖ µ Ö Ñ ÕÙ Ñ Ø Ó ÙÖ º ÅÓ ÐÓ Ð Ô ØÓÖ Ó ÔÖÙ º 2 El uso de MATLAB no es restrictivo. Puede usar cualquier otro software matemático. 159

160 2. Con base en el modelo que se muestra en la Fig. 8.6 calcule la impedancia normalizada 3 z N (ω) de un capacitor de placas paralelas, separadas d m y de área transversal A m 2, relleno con cada uno de los materiales seleccionados y dibuje z N (ω), usando MATLAB, sobre una carta de Smith (función smithchart). 3 Normalice con 50 [Ω] 160

161 Capítulo 9 Ondas planas Introducción En el dominio de la frecuencia la ecuación homogénea de D Alembert 2 E = 0 se convierte en la ecuación homogénea de Helmholtz ( 2 + κ 2 )E = 0 (9.1) La familia de soluciones de la Ec. (9.1) en un medio simple infinito constituyen un conjunto de soluciones denominadas libres porque las mismas existen con independencia de las fuentes primarias que en la Ec. (9.1) se han anulado. Los campos libres no pueden ser sino dinámicos o solenoidales. Los campos irrotacionales no pueden ser solución de la Ec. (9.1) porque necesitan de las fuentes escalares para sostenerse. En la Ec. (9.1) κ será real si el medio no es absorbente La onda plana homogénea La Ecuación (9.1) se puede expandir en tres ecuaciones escalares en coordenadas Cartesianas ( ) 2 x y z + 2 κ2 E x = 0 ( ) 2 x y z + 2 κ2 E y = 0 (9.2a) (9.2b) 161

162 ( ) 2 x y z + 2 κ2 E z = 0 (9.2c) La solución más simple de la Ec. (9.1) se denomina onda plana homogénea y se puede obtener mediante las premisas que se enuncian a continuación. En primer lugar, postularemos que la orientación del campo E es invariante con la posición. Orientando los ejes del sistema de coordenadas de modo que el campo eléctrico yaga sobre el eje x, las Ecs. (9.2) se reducen a una: ( ) 2 x y z + 2 κ2 E x = 0 (9.3) Tomando en cuenta que el campo E ha de ser solenoidal necesariamente E x x = 0 y por tanto ( ) 2 y z + 2 κ2 E x = 0 (9.4) Finalmente, postularemos que el campo electrico solo varía a lo largo de una dirección. Haciendo coincidir esta dirección con el eje z, será E = E 0 (z)a x y la Ec. (9.4) asume la forma La solución de la Ec. (9.5) es: d 2 dz 2 E x + κ 2 E x = 0 (9.5) E x (z) = C 1 e jκz + C 2 e jκz (9.6) donde C 1 y C 2 son dos constantes complejas indeterminadas: C 1,2 = C 1,2 e jϕ 1,2. En el dominio del tiempo el campo eléctrico tiene la forma: E(t, z) = [ C 1 cos(ωt κz + ϕ 1 ) + C 2 cos(ωt + κz + ϕ 1 )]a x (9.7) En esta ecuación, el término C 1 cos(ωt κz + ϕ 1 ) representa una onda viajera en el sentido creciente de las z, u onda progresiva, y el término C 1 cos(ωt + κz + ϕ 1 ) representa una onda viajera en el sentido decreciente de las z, u onda regresiva. La velocidad ν p con que viajan los planos equifásicos es igual a la razón z/ t de dos puntos de igual fase: ωt κz = ω(t + t) κ(z + z), de modo que: ν p = l t = ω κ = 162 ω ω µε = 1 µε

163 En el espacio libre ν p = 1 µ0 ε 0 = c = [m/s]. La velocidad ν p se denomina velocidad de fase. La distancia z en la cual la fase de la onda varía en 2π radianes, para un instante de tiempo dado, se denomina longitud de onda λ: κ l = κλ = 2π, de donde sigue que κ = 2π λ Los planos transversales z = ctte. constituyen planos equifásicos: sobre ellos el campo eléctrico presenta la misma fase en todos los puntos Y qué del campo H? El campo magnético se obtiene como H = E jωµ : H = el cual se puede rescribir de la forma compacta = ( 1 jωµ x a x + y a y + ) z a z E 1 jωµ ( jκ) [ C 1 e jκz C 2 e jκz] a y H = (a z E) µ ε = a z E η (9.8) donde η = µ/ε es la impedancia intrínseca del medio. En el vacío η = η 0 = µ 0 /ε 0 = 120π = 377 [Ω]. De la Ec. (11.1) se observa que los campos eléctrico y magnético son mutuamente ortogonales y, a su vez, transversales a la dirección de propagación. El campo electromagnético: E = C 1 e jκl a x (9.9) H = C 1 η e jκl a y (9.10) se propaga en el sentido de crecimiento de la variable longitudinal z y representa una onda plana homogénea. Plana: por la forma de la superficie equifásica. Homogénea: por la uniformidad del campo sobre la superficie equifásica. 163

164 Onda plana en un medio homogéneo absorbente En un medio absorbente la apariencia de la solución de la Ec. 9.5 no cambia. Sin embargo, ya que ε = ε jε = ε jα y µ = µ jµ = µ e jβ, con, típicamente, 0 α π/2 y 0 β π/2, el número de onda será complejo: κ = ±ω ε jα µ e jβ α+β j = ±ω ε µ e 2 o, en forma Cartesiana, κ = ±ω ε µ [ cos ( ) ( )] α+β 2 j sin α+β 2 : donde κ, κ > 0. La Ec. 9.6 asume la forma κ = κ jκ E x (z) = C 1 e κ z e jκ z + C 2 e κ z e jκ z (9.11) Y la Ecuación 9.7 asume, a su vez, el aspecto: E(t, z) = [ C 1 e κ z cos(ωt κ z + ϕ 1 ) + C 2 e κ z cos(ωt + κ z + ϕ 1 )]a x (9.12) El primer término de la expresión 9.12 representa una onda progresiva amortiguada. El segundo término de la expresión 9.12 representa una onda regresiva amortiguada. κ [rad/m] se denomina constante o coeficiente de fase y juega el mismo rol que el número de onda en el caso de un medio no absorbente. κ [Np/m] se denomina constante o coeficiente de atenuación. La atenuación L se mide en neperios [Np] o decibelios [db]: [ ] E(z) L = ln = κ z [Np] E(z + z) [ ] E(z) L = 20 log = 20 log e κ z = κ z20 log e [db] E(z + z) La distancia en la que los campos, en un determinado medio, se atenuan un neperio se denomina profundidad de penetración y se suele designar con la letra δ. Fácilmente se comprueba que δ = (κ ) 1. Por otro lado, con relación a los campos complejos de la onda viajera progresiva, los mismos asumen la forma E = C 1 e κ z e jκ z a x (9.13) H = C 1 η e κ z e jκ z a y (9.14) 164

165 En este caso la impedancia intrínseca del medio es una cantidad compleja: η = µ e jβ ε e = µ jα ε e j(β α) 2 = η e jφη donde φ = (β α)/2 y 45 φ 45. En el dominio temporal las Ecs y 9.14 dan paso a las ecuaciones: E(t, z) = C 1 e κ z cos(ωt κ z + ϕ 1 )a x (9.15) H(t, z) = C 1 η e κ z cos(ωt κ z + ϕ 1 + φ η )a y (9.16) En un medio absorbente los campos eléctrico y magnético ya no están en fase. Medios absorbentes no magnéticos Particular interés tienen para nosotros los medios absorbentes no magnéticos. Un medio absorbente no magnético se caracteriza por µ µ 0 mientras ε 0 o σ 0. Al rescribir la ecuación H = J + jωεe de la forma: H = [jω(ε jε ) + σ]e [ = jω ε j = jωεe ( ε + σ ω )] E donde ε = ε e j, siendo tg = ε + σ ω. La tangente tg se denomina factor de pérdidas ε eléctricas, mientras que al ángulo se le denomina ángulo de pérdidas eléctricas. Al poner ε = ε, lo cual equivale a suponer que las pérdidas en el dieléctrico se deben a una pequeña conductividad σ, el factor de pérdidas asume la forma tg = σ ωε. Se dan los siguientes casos: 1, medio conductor; tg 1, medio dieléctrico. (9.17) 165

166 Dieléctrico ligeramente absorbente (ǫ 0 y ǫ ǫ ) se cumple 1 : κ = ω µ (ǫ jǫ ) ( ) = ω µǫ 1 j ǫ ǫ = ω µǫ 1 j ǫ ( ω µǫ 1 j ǫ 2ǫ 2ǫ ) Para un dieléctrico (σ = 0) ligeramente absorbente ( ǫ ǫ ) 2 + j 1 16 ( ) ǫ 3 + ǫ En modo análogo: ) µ η (1 + j ǫ ǫ 2ǫ Buen conductor En modo análogo: Para un buen conductor se cumple que ǫ = 0 y σ ωǫ, y por tanto: ( κ = ω µ ǫ j σ ) ω ( = ω 2 µ ǫ j σ ) ω = ωµ (ωǫ jσ) jωµσ ωµσ (1 j) 2 η ωµ (1 + j) 2σ Los resultados anteriores se resumen en el Cuadro Onda plana arbitrariamente orientada Para obtener las soluciones expresadas mediante las Ecs. (9.9) y (9.10), como se recordará, hemos tenido que orientar apropiadamente el sistema de referencia, haciendo coincidir el eje x con la dirección del campo eléctrico y el eje z con la dirección de propagación. 1 (1 + x) n = 1 + nx + n(n 1) 2! x 2 + n(n 1)(n 2) 3! x , siendo n un número natural o una fracción. 166

167 Ù ÖÓ º½ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ κ = κ jκ µ ÑÔ Ò ÒØÖ Ò η = R + jx = η e jϕη µº κ κ R X General R { ω µǫ } I { ω µǫ } R { } µ I { } µ ǫ ǫ Sin pérdidas magnéticas R { ω µ 0 ǫ } I { ω µ 0 ǫ } R { } { } µ 0 ǫ I µ0 ǫ Dieléctrico perfecto ω µǫ 0 µ 0 ǫ Buen dieléctrico ω µǫ ωǫ µ µ ǫ ǫ ǫ Buen conductor ωµσ 2 2 ωµσ 2 ωµ 2σ µ 2ǫ ǫ ωµ 2σ Tal sistema de referencia, aquél para el cual la expresión matemática del campo se simplifica al máximo, se denomina sistema de referencia natural de la onda. Cómo se expresa una onda plana respecto a un sistema de referencia arbitrario?. Dado un sistema de referencia natural, respecto al cual los campos de una onda plana quedan descritos como sigue: E = Ae jκz a x (9.18) H = A a η e jκz y (9.19) ÙÖ º½ ýò ÙÐÓ Ö ØÓÖ α i β i Ý γ i ÓÒ i {1, 2, 3} ÕÙ Ò Ò Ð ÓÖ Ò¹ Ø Ò Ð Ø Ñ Ö Ö Ò Ò ØÙÖ Ð Ð ÓÒ ÔÐ Ò Ú Ö Ð ÔÖ Ñ µ Ö Ô ØÓ Ð Ø Ñ Ö Ö Ò ÔÖ Ò¹ Ô Ð Ú Ö Ð ÒÓ ÔÖ Ñ µº Fijado un segundo sistema de referencia, que denominaremos sistema de referencia principal, con el que el sistema de referencia natural forma los ángulos directores α i, β i y γ i, con i {1, 2, 3} (Fig. 9.1), los campos 9.18 y 9.19 quedarán expresados mediante las fórmulas: E = Ae jκ(x cos γ 1+y cos γ 2 +z cos γ 3 ) (cos α 1 a x + cos α 2 a y cos α 3 a z ) (9.20) H = A η e jκ(x cos γ 1+y cos γ 2 +z cos γ 3 ) (cos β 1 a x + cos β 2 a y + cos β 3 a z ) (9.21) La ecuación x cos γ 1 + y cos γ 2 + z cos γ 3 = ctte. representa una familia de planos equifásicos. El argumento de los exponenciales de las Ecs y 9.21 se puede escribir como κ r, siendo κ = κ(cos γ 1 a x + cos γ 2 a y + cos γ 3 a z ) el vector de onda, y r = xa x + ya y + za z el vector 167

168 de posición de uno cualquiera de los puntos sobre un plano equifásico que dista z metros del origen. La distancia de cualquier plano equifásico al origen se puede obtener como la proyección del vector r, de uno cualquiera de sus puntos, sobre la dirección del vector de onda. Problema Una onda plana homogénea, proveniente desde la dirección θ = π/4 y ϕ = π/8, viaja al 90 % de la velocidad de la luz y se atenúa a razón de 1 Neperio por cada metro. El campo eléctrico de esta onda tiene una amplitud de 5 V/m en el plano equifásico a 5 metros del origen (viendo la onda venir hacia éste) y su fase cambia a razón de π/16 radianes cada metro. Se desea: 1. Al disponer de dos sondas de campo eléctrico, una en el punto (2, 2, 2) y la otra en el punto ( 1, 1, 2), ambas conectadas a los puertos A y B de un osciloscopio, con sendas líneas de transmisión de igual longitud, dibuje las señales que deben ser vistas en la pantalla del osciloscopio indicando con precisión las amplitudes y las diferencias de fase de las dos señales. Para ello asuma que 1 V/m en la antena se transforma en un voltio en el puerto de entrada correspondiente del osciloscopio y seleccione una escala de tiempo que permita ver tres períodos de las señales. 2. Determine la λ y la δ del medio Velocidad de grupo Los procesos monocromáticos no transportan información. La información es transportada por procesos policromáticos. El campo eléctrico resultante de la combinación de las ondas planas armónicas que conforman un proceso policromático se expresa mediante una transformación inversa de Fourier E(t) = F 1 {E(ω)}, donde E(ω) es el espectro del campo eléctrico E(t) = 1 E(ω)e jωt dω (9.22) 2π En sentido ordinario E(t) puede consistir en una señal de información con ancho de banda ω con la que se modula una portadora a una frecuencia de radio (RF) ω 0 para su transportación a través del espacio. Evidentemente E(t) es una cantidad real. En virtud de lo anterior, y tomando en cuenta que los parámetros intrínsecos del medio son, en general, función de la frecuencia, y 168

169 por tanto κ = κ(ω), el campo eléctrico E(t, z), a z metros del origen de radiación de la onda plana, se podrá expresar usando la Ec. (9.22) de la forma E(t, z) = Re { 1 π ω0 + ω 2 ω 0 ω 2 E(ω ω 0 )e j[ωt κ(ω)z] dω } (9.23) Si la variación de κ con la frecuencia es suave, κ(ω) podrá aproximarse mediante el siguiente desarrollo en serie de Taylor a partir de su valor κ 0 = κ(ω 0 ): κ(ω) = κ 0 + dκ (ω ω dω 0 ) + T.O.S. (9.24) ω0 por lo que la Ec. (9.23) se podrá reescribir: E(t, z) = Re { 1 π ω0 + ω 2 ω 0 ω 2 [ ( ) ] } E(ω ω 0 )e j ωt κ 0 + dω dκ (ω ω 0 )+T.O.S. z ω0 dω (9.25) y si el ancho de banda ω se ajusta para que sea lo suficientemente estrecho como para que los T.O.S. se puedan despreciar, se obtiene: { 1 E(t, z) = Re π { 1 = Re π ω0 + ω 2 ω 0 ω 2 ω0 + ω 2 ω 0 ω 2 [ ( ) ] } E(ω ω 0 )e j ωt κ 0 + dω dκ (ω ω 0 ) z ω0 dω ( } dκ jω(t E(ω ω 0 )e dω z) j κ 0 ω0 dωe dω dκ ω 0 )z ω0 tomando en cuenta que F 1 {X(ω)e jωt 0 } = x(t t 0 ) y F 1 {X(ω ω 0 )} = x(t)e jω 0t y si designamos con ν gr al inverso de la cantidad dκ/dω ω0, ν gr = dω/dκ: E(t, z) { ( = Re E t z ) } e jω 0(t z νgr ) e j(κ 0 ω 0 νgr )z (9.26) ν gr ( = E t z ) cos (ω 0 t κ 0 z) (9.27) ν gr De la Ecuación (9.27) se concluye que la información contenida en el campo eléctrico se propaga a la velocidad ν gr sin distorsión, pero acumulando un retardo par a z ν gr segundos. La velocidad de grupo, ν gr, es la velocidad común de los armónicos que conforman la señal de información, y se la puede definir si y solo si κ(ω) varía linealmente con la frecuencia en un entorno no menor al ancho de banda de la señal alrededor de la frecuencia de portadora. 169

170 9.2. Incidencia perpendicular En esta sección se analizará el problema de la incidencia perpendicular [5] de una onda plana sobre la interfaz, también plana, entre dos medios de propiedades electromagnéticas distintas. Este análisis se realizará inicialmente en forma analítica, en el dominio de la frecuencia (Sec ), y posteriormente en forma numérica (Sec ), en el dominio del tiempo utilizando el Método de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) Incidencia perpendicular en el domino de la frecuencia Dados dos medios simples de extensión infinita, contiguos, a través de una superficie plana, de propiedades intrínsecas (ε 1, µ 1 ) y (ε 2, µ 2 ), respectivamente, como se ilustra en la Fig Al propagarse una onda plana en el medio 1, en dirección del medio 2, tal que incida perpendicularmente sobre la superficie plana de separación de ambos medios, se tiene en el medio 1: ÙÖ º¾ ÁÒ Ò Ô ÖÔ Ò¹ ÙÐ Öº E 1 = [ C 1 e jκ 1z + C 2 e jκ 1] ax (9.28) H 1 = 1 η 1 [ C1 e jκ 1z C 2 e jκ 1] ay (9.29) y en el medio 2: Se conviene en denominar onda incidente (medio 1): E 2 = C 3 e jκ 2z a x (9.30) H 2 = C 3 η 2 e jκ 2z a y (9.31) E = C 1 e jκ 1z a x H = C 1 η 1 e jκ 1z a y onda reflejada (medio 1): E = C 2 e jκ 1z a x H = C 2 η 1 e jκ 1z a y 170

171 y onda refractada o transmitida (medio 2): E + = C 3 e jκ 2z a x H + = C 3 η 2 e jκ 2z a y En la interfaz, los campos están obligados a satisfacer las condiciones de borde: E 1 (0) = E 2 (0) (9.32) H 1 (0) = H 2 (0) (9.33) de donde: C 1 + C 2 = C 3 (9.34) C 1 η 1 C 2 η 1 = C 3 η 2 (9.35) de tal suerte que al definir los denominados coeficientes de reflexión, ρ, y de refracción, τ, de la interfaz: ρ = E (0) E (0) = C 2 C 1 (9.36) τ = E+ (0) E (0) = C 3 C 1 (9.37) y al sustituir las Ecs. (9.36) y (9.37) en las Ecs. (9.34) y (9.35) se obtiene: de donde: 1 + ρ = τ (9.38) 1 η 1 ρ η 1 = τ η 2 (9.39) ρ = η 2 η 1 η 1 + η 2 (9.40) τ = 2η 2 η 1 + η 2 (9.41) 171

172 Con estos resultados las Ecs. (9.28) y (9.29) del medio 1 se pueden reescribir de la siguiente manera: y las Ecs. (9.30) y (9.31) del medio 2 de esta otra: quedando por determinar una única constante: C 1. E 1 = C 1 [ e jκ 1 z + ρe jκ 1z ] a x (9.42) H 1 = C 1 η 1 [ e jκ 1 z ρe jκ 1z ] a y (9.43) E 2 = C 1 τe jκ 2z a x (9.44) H 2 = C 1τ η 2 e jκ 2z a y (9.45) Las soluciones encontradas admiten la siguiente interpretación física: una onda plana que se propaga en un medio simple, al incidir perpendicularmente sobre la superficie plana de separación con un segundo medio, engendra dos nuevas ondas planas: una que se refracta en éste, y otra que se refleja en el primero. Todas las ondas, la incidente, la refractada y la reflejada, se combinan en la interfaz satisfaciendo las condiciones de borde ρ τ 0.5 η /η ÙÖ º ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ρ Ý τ Ò ÙÒ¹ Ò η 2 /η 1 º Esta circunstancia física nos permite expresar las ondas refractada y reflejada, en función del valor de (los campos de) la onda incidente en la interfaz, mediante la introducción de los coeficientes de refracción y reflexión, respectivamente. Estos coeficientes quedan luego definidos en función de las propiedades intrínsecas de los medios. Todo lo cual permite afirmar que, al variar las propiedades electromagnéticas de los medios, se obtendrán diferentes niveles de reflexión y refracción. Intuitivamente, por ahora, se dirá que a mayor diferencia entre los medios, mayor reflexión y menor refracción, y a mayor parecido, menor reflexión y mayor refracción. Ésto será comprobado analíticamente. Sobre el campo resultante en el medio 2 no hay nada nuevo que decir, pues se trata de una onda plana homogénea progresiva más. En el medio 1, sin embargo, tiene lugar un nuevo 172

173 proceso, un campo que presenta, en principio, una estructura novedosa respecto de la onda plana progresiva simple. A partir de las Ecs. (9.42) y (9.43), nos podemos hacer una idea acerca de la estructura del campo resultante en el medio 1. Para hacer ésto, se dará un vistazo al comportamiento de los coeficientes de reflexión y transmisión en función de la relación entre las impedancias intrínsecas de los medios η 2 /η 1. En la Fig. 9.3 se ilustra dicho comportamiento. Así, se observa que el coeficiente de reflexión ρ asume valores entre 1 y 1: 1 ρ 1, mientras el coeficiente de transmisión τ entre 0 y 2: 0 τ 2. La estructura del campo resultante en el medio 1 se puede analizar dividiendo el problema en tres casos distintos: el caso ρ = 0, denominado de adaptación, el caso ρ = 1, de desadaptación total, y el caso 0 < ρ < 1, de adaptación, o desadaptación, intermedia Caso ρ = 0 Siendo el coeficiente de reflexión nulo, no ocurre ninguna reflexión de la onda incidente en la interfaz y toda ella se transmite al segundo miembro. La adaptación total se logra imponiendo η 2 = η 1. La estructura del campo resultante en el medio 1 no difiere del de la onda plana homogénea original ya que C 2 = Caso ρ = 1 Con η 2 = 0 (siendo el medio 2 un conductor perfecto), o con η 2 /η 1, se logra que ρ = 1. En este caso se dice que los medios están desadaptados en sentido extremo y la onda incidente es completamente reflejada por la interfaz, tendiendo a cero los campos refractados. La estructura del campo en el medio 1 forma un patrón denominado de onda estacionaria que se caracteriza por que no hay transportación de energía en ninguna dirección. La onda resultante en el medio 1, para ρ = 1, asume, por ejemplo, la forma: E 1 = C 1 [e jκ 1z e jκ 1z ] a x H 1 = C 1 η 1 [e jκ 1z + e jκ 1z ] a y = 2jC 1 sin(κ 1 z)a x = 2C 1 η cos(κ 1 z)a y

174 Al expresar los campos en el dominio temporal: E 1 (t, z) = R{E 1 e jωt } H 1 (t, z) = R{H 1 e jωt } = 2 C 1 sin(κ 1 z) sin(ωt + φ 1 )a x = 2 C 1 η 1 cos(κ 1 z) cos(ωt + φ 1 )a y donde C 1 = C 1 e jφ 1, se observa que la solución ya no progresa en ninguna dirección, sino que oscila estacionariamente. Al mismo tiempo, se observa que el vector de Poynting es imaginario puro: S = 1 2 E H por lo que los campos no transportan energía. = 2j C 1 2 η 1 sin(κ 1 z) cos(κ 1 z)a z (9.46) Caso 0 < ρ < 1 Este caso se presenta para cualquier valor de ρ distinto de los anteriores ( ρ 0, 1). En esta circunstancia una fracción del campo incidente se refleja y otra se refracta. Usando la Ec. (9.38) en las Ecs. (9.42) y (9.43) se obtiene: E 1 = C 1 [e jκ 1z + ρe jκ 1z ] a x H 1 = C 1 η 1 [e jκ 1z ρe jκ 1z ] a y = C 1 [(τ ρ)e jκ 1z + ρe jκ 1z ] a x = C 1 η 1 [(τ ρ)e jκ 1z ρe jκ 1z ] a y (9.47) = C 1 τe jκ1z a }{{ x + 2jC } 1 ρ sin(κ 1 z)a x }{{} onda progresiva onda estacionaria = C 1 τe jκ1z a y 2C 1 ρ cos(κ 1 z)a y η 1 η 1 }{{}}{{} onda progresiva onda estacionaria donde se observa la coexistencia de una onda progresiva y un patrón de onda estacionaria. Este último se forma mediante la combinación de una fracción de la onda incidente y la onda reflejada. La onda progresiva, en cambio, existe gracias a la refracción de la porción restante de la onda incidente. En este caso, que se puede considerar como el más general, ya que la onda resultante no es del todo progresiva, se introduce el concepto de impedancia de onda, Z(z), como la relación 174

175 entre las amplitudes complejas de los campos en z [12]: Z(z) z= l = E x( l) H y ( l) ( e jκ 1 l + ρe ) jκ 1l = η 1 (e jκ 1l ρe jκ 1l ) = η 1 η 2 cos(κ 1 l) + jη 1 sin(κ 1 l) η 1 cos(κ 1 l) + jη 2 sin(κ 1 l) donde l es la distancia al plano de separación entre los medios. Vale la pena indicar que con esta formulación se puede resolver el problema de la adaptación de un panel dieléctrico utilizado para construir las bóvedas dieléctricas de protección de las antenas de microondas. Obsérvese que al medir Z(l) a λ 1 /2 metros de la interfaz se obtiene: Z(λ 1 /2) = η 1 η 2 cos[(2π/λ 1 )(λ 1 /2)] + jη 1 sin[(2π/λ 1 )(λ 1 /2)] η 1 cos[(2π/λ 1 )(λ 1 /2)] + jη 2 sin[(2π/λ 1 )(λ 1 /2)] = η 1 η 2 ( 1) + jη 1 (0) η 1 ( 1) + jη 2 (0) = η 2 de modo que a media longitud de onda, correspondiente al medio 1, o a una distancia que sea un múltiplo entero de ésta, la impedancia de onda Z(λ 1 /2) coincide con la impedancia intrínseca del segundo medio Incidencia perpendicular en el domino del tiempo: método FDTD en una dimensión Con el propósito de ilustrar en el dominio del tiempo todo cuanto se ha dicho acerca de la incidencia perpendicular, se ha escrito fdtd1d, un código en MATLAB R (ver Sección 9.6) en el que se ha programado el Método de la Diferencias Finitas en el Dominio Temporal en una dimensión [20]. Vale la pena observar que, mientras la solución descrita en la Sec se encuentra en el dominio de la frecuencia, y representa la solución en régimen estacionario, el método FDTD proporciona una solución en el dominio del tiempo, y por lo tanto incluye el régimen transitorio del problema. En el Método de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (Finite Differences Time Domain FDTD ) las derivadas se aproximan mediante cocientes de diferencias centrales 175

176 siguiendo el esquema propuesto originalmente por Yee, intercalando tanto en el espacio como en el tiempo las componentes de los campos eléctrico y magnético [21]. La estructura espacial del método se ajusta a la denominada celda de Yee, y la estructura temporal sigue un patrón conocido como salto de rana. Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell en un medio simple de propiedades intrínsecas ε, µ, y σ: E t = 1 ε H σ ε E (9.48) H = 1 t µ E (9.49) comprenden seis ecuaciones escalares: E x t E y t E z t = 1 ( Hz ε y H ) y σ z ε E x = 1 ( Hx ε z H ) z σ x ε E y = 1 ( Hy ε x H ) x σ y ε E z H x t H y t H z t = 1 ( Ey µ z E ) z y = 1 ( Ez µ x E ) x z = 1 ( Ex µ y E ) y x a: Si se asume un campo eléctrico del tipo E = E x (t, z)a x, las ecuaciones anteriores se reducen E x t H y t = 1 H y ε z σ ε E x (9.50) = 1 E x µ z (9.51) Las Ecuaciones (9.50) y (9.51) definen una onda plana homogénea con el campo eléctrico en la dirección de a x y el campo magnético en la dirección de a y que se propaga en la dirección de a z. Discretización de las ecuaciones de onda plana y de su dominio Discretización del dominio bidimensional espacio-tiempo. Las Ecuaciones (9.50) y (9.51) están definidas en un dominio 176

177 Definiremos entonces un paso para el espacio, z, y un paso para el tiempo, t, y definiremos una malla en este dominio con K puntos para el espacio y T puntos para el tiempo, para un total de K T puntos de observación. En estos puntos estimaremos los campos, conviniendo en escribir: E n x(κ) = E x (n t, κ z) con n y κ enteros ÙÖ º ÓÑ Ò Ó ÓÐ Ô Ó º ËÓ Ö Ð Ö ÐÐ Ð Ò Ñ ÒØ ¹ El campo E x se estimará en los puntos {..., κ, κ + 1,...} { Ø Ñ Ö E x Ý Ó Ö Ð Ö ÐÐ en los instantes..., n 1, n 1, n + 1, }, mientras que el campo H y se estimará en los puntos Ð Ò ÓÒØ ÒÙ H y º {..., κ 1, κ + 1, } en los instantes {..., n, n + 1,...}. Con este esquema los valores estimados de los campos se entrelazan tanto en el tiempo como en el espacio. Así, el campo H y precede al campo E x en el espacio, y E x precede a H y en el tiempo. En la Fig se muestra como, procediendo de esta forma, se crean en realidad dos dominios solapados, uno para el campo eléctrico y otro para el campo magnético. Discretización de las ecuaciones diferencias centrales: Las Ecuaciones (9.50) y (9.51) se aproximan mediante E n+ 1 2 x (κ) E n 1 2 x (κ) t = 1 ε H n y (κ + 1/2) H n y (κ 1/2) z σ ε x (κ) + E n 1 2 x (κ) 2 (9.52) E n+ 1 2 Hy n+1 (κ + 1/2) Hy n (κ + 1/2) = 1 E n+ 1 2 x (κ + 1) E n+ 1 2 x (κ) t µ z (9.53) de las cuales se despejan E n+ 1 2 x (κ) y H n+1 y (κ + 1/2): H n+1 E n+ 1 2 x (κ) = [ ] 1 σ t 2ε [ 1 + σ t 2ε ]E n 1 2 x (κ) y (κ + 1/2) = Hy n (κ + 1/2) 1 t µ z 1 ] t [ H n z y (κ + 1/2) Hy n (κ 1/2)] (9.54) ] x (κ + 1) E n+ 1 2 x (κ) (9.55) ε [ 1 + σ t 2ε [ E n

178 Dando valores a las constantes ε, µ, y σ podemos simular la propagación de la onda en diferentes medios simples no dispersivos. Para medios no absorbentes la Ec. (10.2) se simplifica de la manera siguiente: x (κ) = E n 1 2 x (κ) 1 t [ H n ε z y (κ + 1/2) Hy n (κ 1/2)] (9.56) E n+ 1 2 la cual es similar a la Ec. (10.3). Otras consideraciones numéricas Escalamiento del campo eléctrico Debido a la enorme diferencia en órdenes de magnitud de las constantes ε 0 y µ 0 del vacío, el campo eléctrico E x se suele escalar por el inverso de la impedancia intrínseca del vacío η 0 = µ 0 /ε 0 : forma: Ẽ = ε0 µ 0 E De esta manera, para medios no magnéticos (µ = µ 0 ), las Ecs. (10.2) y (10.3) asumen la Ẽ n+ 1 2 x (κ) = [ ] 1 σ t 2ε [ 1 + σ t 2ε ]Ẽ n 1 2 x (κ) Hy n+1 (κ + 1/2) = Hy n (κ + 1/2) 1 t c 0 z donde c 0 1 ε r c 0 [ 1 + σ t [Ẽn ε x (κ + 1) 1 Ẽn+ 2 x ] t [ H n z y (κ + 1/2) Hy n (κ 1/2) ] (9.57) ] (κ) (9.58) = 1/ µ 0 ε 0 es la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío y ε r es la permitividad relativa del medio. Paso temporal t mágico El paso temporal t se debe seleccionar de manera que el método sea estable. La condición de estabilidad se conoce como condición de Courant : t z nc0 donde n es el orden del dominio espacial (n = 1 en el presente caso). Además, en FDTD en una dimensión espacial, existe un valor de t, conocido como magic step, para el cual no se manifiesta la dispersión numérica [22]. Este valor es: t = z 2c 0 (9.59) 178

179 Usando este paso temporal, las Ecs. (10.4) y (10.5) se simplifican de la manera siguiente: Ẽ n+ 1 2 x (κ) = [ ] 1 σ t 2ε [ 1 + σ t 2ε ]Ẽ n 1 2 x (κ) Hy n+1 (κ + 1/2) = Hy n (κ + 1/2) 1 [Ẽn Paso espacial 1/2 ε r [ 1 + σ t 2ε x (κ + 1) 1 Ẽn+ 2 x [ ] H n y (κ + 1/2) Hy n (κ 1/2)] (9.60) ] (κ) (9.61) El paso espacial z se debe escoger lo suficiente pequeño como para obtener una solución lo suficientemente precisa. En general, el nivel de precisión dependerá del problema. Una buena regla consiste en tomar como mínimo 10 muestras por longitud de onda, tomando como referencia, para señales policromáticas, la menor longitud de onda. Condiciones de borde absorbente Como modelar discretamente una región ilimitada es imposible, es necesario añadir, en los extremos del dominio espacial, ciertas condiciones, denominadas absorbentes, de tal suerte que, al incidir sobre tales extremos, las ondas no se reflejen. Estas condiciones de borde absorbentes se obtienen forzando el valor del campo en los extremos al valor que tendrían si la onda se propagara más allá de ellos. En el vacío esto se consigue poniendo en el extremo z = 0, por ejemplo [20]: Ex n (0) = En 2 x (1) Resultados de simulación Con el propósito de estudiar los casos de adaptación descritos anteriormente en el dominio del tiempo, la rutina fdtd1d se ha corrido simulando cuatro escenarios diferentes. La función fdtd1d presenta dos parámetros de entrada: epsir2 y sigma2, la permitividad eléctrica y la conductividad del segundo medio, respectivamente. La interfaz entre los medios se encuentra justo en el centro del dominio espacial. La descripción de los escenarios de simulación y los resultados obtenidos se presentan a continuación. Caso 1: adaptación fdtd1d(1,0) En la Figura 9.5 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarse desde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro medio de igual impedancia intrínseca. 179

180 2 E x ε 0 ε 2, σ z H y ε 0 ε 2, σ z ÙÖ º ÓØÓ Ö Ñ Ð ØÖ Ù Ò ÑÔÐ ØÙ ÐÓ ÑÔÓ E x Ý H y Ó ÔØ Ò ØÓØ Ðº Se recomienda correr la rutina fdtd1d(1,0) desde MATLAB para visionar la simulación. Caso 2: desadaptación parcial, reflexión parcial fdtd1d(4,0) En la Figura 9.6 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarse desde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro medio con distinta impedancia intrínseca. Se recomienda correr la rutina fdtd1d(3,0) desde MATLAB para visionar la simulación completa. Caso 3: desadaptación parcial con absorción fdtd1d(4,0.04) En la Figura 9.7 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarse desde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro medio de distinta impedancia intrínseca y absorbente. Se recomienda correr la rutina fdtd1d(4,0.04) desde MATLAB para visionar la simulación completa. 180

181 2 E x ε 0 ε 2, σ z H y ε 0 ε 2, σ z ÙÖ º ÓØÓ Ö Ñ Ð ØÖ Ù Ò ÑÔÐ ØÙ ÐÓ ÑÔÓ E x Ý H y Ó ÔØ Ò Ô Ö Ðº 2 E x ε 0 ε 2, σ z H y ε 0 ε 2, σ z ÙÖ º ÓØÓ Ö Ñ Ð ØÖ Ù Ò ÑÔÐ ØÙ ÐÓ ÑÔÓ E x Ý H y Ó ÔØ Ò Ô Ö Ð Ý ÓÖ Òº Caso 4: reflexión total fdtd1d(4,100) En la Figura 9.8 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarse desde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con 181

182 otro medio de distinta impedancia intrínseca y altamente absorbente. La enorme absorción del segundo medio produce una reflexión total. 2 E x ε 0 ε 2, σ z H y ε 0 ε 2, σ z ÙÖ º ÓØÓ Ö Ñ Ð ØÖ Ù Ò ÑÔÐ ØÙ ÐÓ ÑÔÓ E x Ý H y Ó Ö Ü Ò ØÓØ Ðº Se recomienda correr la rutina fdtd1d(4,100) desde MATLAB para visionar la simulación completa Leyes de Snell La incidencia oblicua [5] de una onda plana sobre la superficie de separación (también plana) entre dos medios simples da lugar a la dispersión de la onda incidente por la aparición de una onda reflejada y una onda refractada. La primera permanece en el medio de la incidente y la otra se transmite al segundo medio. Con base en la Fig. 9.9 se definen los ángulos y parámetros de interés para la descripción matemática del problema general de la incidencia oblicua. Los ejes z, z y z + constituyen los ejes z naturales de las ondas incidente, reflejada y transmitida, respectivamente. Los ejes z, z y z + naturales respectivamente forman los ángulos de incidencia ϕ, de reflexión ψ y de refracción θ con el eje z principal. Todos los ejes naturales yacen sobre un mismo plano denominado plano de incidencia, el cual es ortogonal a la superficie de separación de los medios. Respecto al sistema de referencia 182

183 ÙÖ º Ò Ð ÙÔ Ö Ô Ö Ò Ó Ñ Ó Ò ÙÒ Ø Ñ Ö Ö Ò ÔÖ Ò Ô Ðº Ê Ô ØÓ Ð ÒÓÖÑ Ð Ð ÙÔ Ö zµ Ò Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò Ò ϕ Ö Ü Ò ψ Ý Ö Ö Ò θº principal, los ejes z, z y z + forman los siguientes ángulos directores: γ1 = ẑ x = 90 γ1 = ẑ x = 90 γ 1 + = ẑ+ x = 90 γ2 = ẑ y = 90 ϕ γ2 = ẑ y = ψ 90 γ 2 + = ẑ+ y = 90 θ γ3 = ẑ z = ϕ γ3 = ẑ z = ψ γ 3 + = ẑ+ z = θ Mediante substitución directa de los valores indicados en el cuadro anterior se obtienen las siguientes funciones exponenciales: f (y, z) = e jκ 1(y sin ϕ+z cos ϕ) f (y, z) = e jκ 1(y sin ψ+z cos ψ) f + (y, z) = e jκ 2(y sin θ+z cos θ) Para que las condiciones de borde sean satisfechas, es necesario que las funciones f, f y f + sean funciones idénticas de la variable y sobre la superficie de separación de los dos medios ( por qué?): f (y, 0) = f (y, 0) = f + (y, 0) Esta doble ecuación contiene implicitamente las leyes de Snell: 1era. ley de Snell: 2da. ley de Snell: f (y, 0) = f (y, 0) sin ϕ = sin ψ f (y, 0) = f + (y, 0) κ 1 sin ϕ = κ 2 sin θ 183

184 era ley de Snell De acuerdo a la Figura 9.9: 0 ϕ 90 y 90 ψ 180, la primera ley de Snell conlleva a 180 ψ = ϕ, por lo que el ángulo de reflexión, medido respecto a la normal de la superficie de separación, es igual al ángulo de incidencia da. ley de Snell La segunda ley de Snell, por otro lado, establece sin θ sin ϕ = κ 1 (9.62) κ 2 Para dos medios no absorbentes se define el índice de refracción n = ε r µ r, por tanto donde n 12 = n 1 /n 2. sin θ sin ϕ = n 1 n 2 = n 12 (9.63) Estudios de casos Se dan dos casos interesantes: cuando el medio 1 es más denso ópticamente que el medio 2: n 1 > n 2, y cuando ocurre lo contrario: n 1 < n 2. Caso n 1 > n 2 En este caso, a paridad de ángulo de incidencia ϕ, mientras n 12 (sin θ > sin ϕ) θ. A paridad de n 12, mientras ϕ θ. Existe un ángulo ϕ c para el cual θ = 90. El ángulo ϕ c se denomina ángulo crítico: ( ) ϕ c = sin 1 n2 Para ángulos ϕ > ϕ c, θ es complejo. En este caso sin θ = (n 1 /n 2 ) sin ϕ > 1, y como cos θ = ± 1 sin 2 θ sigue que: cos θ = ±j (n1 n 2 n 1 ) 2 sin 2 ϕ 1 = ±jα(ϕ) Al poner β(ϕ) = sin θ = n 1 n 2 sin ϕ y al quedarnos con el signo negativo de ±jα(ϕ) ( por qué?) se podrá escribir: f + (y, z) = e κ 2zα(ϕ) e jκ 2yβ(ϕ) 184

185 µ ÓØÓ Ö Ð ØÖ Ù Ò Ð Ñ¹ ÔÐ ØÙ Ò Ð ÔÐ ÒÓ xy Ò Ð Ñ Ó ¾ Ð ÙÖ º Ô Ö Ð Ó ϕ < ϕ c µ ÓØÓ Ö Ð ØÖ Ù Ò Ð Ñ¹ ÔÐ ØÙ Ò Ð ÔÐ ÒÓ xy Ò Ð Ñ Ó ¾ Ð ÙÖ º Ô Ö Ð Ó ϕ = ϕ cº µ ÓØÓ Ö Ð ØÖ Ù Ò Ð Ñ¹ ÔÐ ØÙ Ò Ð ÔÐ ÒÓ xy Ò Ð Ñ Ó ¾ Ð ÙÖ Ô Ö Ð Ó ϕ > ϕ cº ÙÖ º½¼ ËÙ Ó Ô Ö n 1 > n 2 º La onda f + representa una onda superficial. Ejemplo Una onda plana, que se propaga en un medio con un índice de refracción n 1 = 6, incide con un ángulo de π/4 sobre la superficie de separación con un segundo medio de índice de refracción n 2 = 1. Calcule al ángulo θ de refracción y determine f + (y, z). Ê Ôº Ya que el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico ϕ C = arcsin(n 2 /n 1 ) = 9,59, el ángulo de refracción será complejo y tendrá la forma θ = π/2 jβ, y por tanto se tomará cómo ángulo físico de refracción el valor de π/2. Con relación al término f + (y, z) su forma será la siguiente: f + (y, z) = e κ 0(36 sin 2 ϕ 1) 1/2z e jκ 0(6 sin ϕ)y = e (26/λ)z e j(ω/c)4,2y de donde se deduce que: 1. la onda refractada se propaga en la dirección de y a una velocidad 4,2 veces menor que la velocidad de la luz en el segundo medio ν p = c/4,2, 185

186 2. la onda refractada se atenúa muy rápidamente en el segundo medio, a razón de 26 neperios cada longitud de onda, en la dirección de z, 3. la onda refractada se considera así una onda superficial evanescente ya que queda confinada a un pequeño espesor a partir de la superficie de separación de los dos medios, que acompaña al proceso resultante en el primer medio, que como se podrá demostrar más adelante, se propaga también en la dirección de y a la misma velocidad ν p = c/4,2. Caso n 1 < n 2 Cuando n 1 < n 2, pero en particular n 1 n 2 ocurre n 1 = sin θ n 2 sin ϕ 1 sin 1 0 θ 0 n 2 y todas las ondas se refractan en dirección de la normal para todos los valores del ángulo de incidencia Fórmulas de Fresnel Introducción Respecto al plano de incidencia el campo eléctrico puede presentar una orientación arbitraria. Sin embargo, cualquier campo eléctrico arbitrariamente orientado respecto al plano de incidencia se puede representar mediante una apropiada combinación lineal de las componentes perpendicular y paralela a dicho plano de incidencia ver Fig Polarización perpendicular Cuando el campo eléctrico de la onda incidente es normal al plano de incidencia se dice que la misma presenta polarización perpendicular ver Fig. 9.11(a). Respecto al sistema de referencia principal tenemos: Onda incidente: E o = Ae jκ 1(y sin ϕ+z cos ϕ) a e H o = A e jκ 1(y sin ϕ+z cos ϕ) a h η 1 186

187 µ ÇÒ Ò ÒØ ÓÒ ÔÓÐ Ö Þ Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÑÔÓ Ð ØÖ Ó ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ð ÔÐ ÒÓ Ò Ò ÒØÖ Ò Ó Ò Ð Ó º µ ÇÒ Ò ÒØ ÓÒ ÔÓÐ Ö Þ Ò Ô Ö Ð Ð Ð ÑÔÓ Ð ¹ ØÖ Ó Ø ÓÒØ Ò Ó Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ò Ò ÓÒØ Ò Ó Ò Ð Ó º ÙÖ º½½ ÈÓÐ Ö Þ ÓÒ Ð ÓÒ ÔÐ Ò Ò ÒØ º Onda reflejada: E = Be jκ 1(y sin ψ+z cos ψ) a e H = B e jκ 1(y sin ψ+z cos ψ) a h η 1 Onda refractada: E + = Ce jκ 2(y sin θ+z cos θ) a e + H + = C e jκ 2(y sin θ+z cos θ) a η h + 2 con A, B y C complejos. Los vectores a e o,,+ y a h o,,+ tienen la siguiente expresión en función de la base vectorial del sistema de referencia principal: a e n = cos α1 n a x + cos α2 n a y + cos α3 n a z a h n = cos β1 n a x + cos β2 n a y + cos β3 n a z con n {,, +}. Los valores de estos ángulos directores se han deducido a partir de la Figura 9.11(a) y se muestran en el Cuadro 9.2. Tomando en cuenta el valor de los ángulos del Cuadro 9.2 podemos escribir: Onda incidente: E o = Ae jκ 1(y sin ϕ+z cos ϕ) a x H o = A e jκ 1(y sin ϕ+z cos ϕ) (cos ϕa y sin ϕa z ) η 1 187

188 Ù ÖÓ º¾ ýò ÙÐÓ Ö ØÓÖ ÐÓ x,,+ Ý y,,+ Ò ØÙÖ Ð Ö Ô ØÓ Ð Ø Ñ Ö Ö Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ò Ð Ó ÔÓÐ Ö Þ Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Öº α1 0 α1 0 α α2 90 α2 90 α α3 90 α3 90 α β1 90 β1 90 β β2 ϕ β2 180 ϕ β 2 + θ β ϕ β3 270 ϕ β θ Onda reflejada: Onda refractada: E = Be jκ 1(y sin ψ+z cos ψ) a x H = B η 1 e jκ 1(y sin ψ+z cos ψ) (cos ϕa y + sin ϕa z ) E + = Ce jκ 2(y sin θ+z cos θ) a x H + = C η 2 e jκ 2(y sin θ+z cos θ) (cos θa y sin θa z ) Condiciones de borde Las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético han de ser continuas en la superficie de separación de los dos medios: De aquí sigue 2 que: E (y, 0) + E (y, 0) = E + (y, 0) H y(y, 0) + H y (y, 0) = H + y (y, 0) A + B = C 1 η 1 (A B) cos ϕ = 1 η 2 C cos θ 2 Tomando en cuenta las leyes de Snell: κ 1 sin ϕ = κ 1 sin ψ = κ 2 sin θ. 188

189 Al definir los coeficientes de reflexión, ρ, y transmisión, τ, para la polarización perpendicular : se podrá escribir: ρ = E (y, 0) E (y, 0) = B A τ = E+ (y, 0) E (y, 0) = C A y de aquí se obtiene: 1 + ρ = τ 1 (1 ρ ) cos ϕ = 1 τ cos θ η 1 η 2 ρ = η 2 cos ϕ η 1 cos θ η 2 cos ϕ + η 1 cos θ 2η 2 cos ϕ τ = η 2 cos ϕ + η 1 cos θ (9.64) (9.65) Tomando en cuenta que: sin ψ = sin ϕ cos ψ = cos ϕ Resulta, para z < 0: E 1 = E o + E = Ae jκ 1y sin ϕ (e jκ 1z cos ϕ + ρ e jκ 1z cos ϕ )a x (9.66) H 1 = H o + H = A η 1 e jκ 1y sin ϕ {[ e jκ 1z cos ϕ ρ e jκ 1z cos ϕ ] cos ϕa y [ e jκ 1z cos ϕ + ρ e jκ 1z cos ϕ ] sin ϕa z } (9.67) y para z > 0: E 2 = E + = Aτ e jκ 2(y sin θ+z cos θ) a x (9.68) H 2 = H + = A η 2 τ e jκ 2(y sin θ+z cos θ) (cos θa y sin θa z ) (9.69) 189

190 Ejemplo Una onda plana, que se propaga en un medio con un índice de refracción n 1 = 6, incide con un ángulo de π/4 sobre la superficie de separación con un segundo medio de índice de refracción n 2 = 1. El campo eléctrico incidente tiene una amplitud de E = 5 V/m y es perpendicular al plano de incidencia. Calcule: 1. El ángulo de refracción. 2. Los coeficientes de reflexión y transmisión. 3. S, S y S +. Solución 1. Ya que el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico ϕ C = arcsin(n 2 /n 1 ) = 9,59, el ángulo de refracción será complejo y tendrá la forma θ = π/2 jβ, y vale θ = arcsin(n 2 /n 1 sin π/4) = π/2 j2,124, y por tanto se tomará cómo ángulo físico de refracción el valor de π/2. 2. El coeficiente de reflexión ρ (Ec. (9.64)), tomando en cuenta que η 1,2 son reales, y que cos θ = j[(n 1 /n 2 ) 2 sin 2 ϕ 1] 1/2, tendrá la siguiente apariencia ρ = a+jb a jb = 1ejφ, en particular, sustituyendo el valor cos θ = j[(n 1 /n 2 ) 2 sin 2 ϕ 1] 1/2 en las Ecs. (9.64) y (9.65) se tiene: ρ τ = 1e j1,542 = 1,434e j0, Dado que S = 1 2 E H y que H = ẑ E η será: S = E2 2η 1 ŝ S = ρ 2 E 2 2η 1 S + = τ 2 E 2 2η 2 f + (y, z)f + (y, z) ŝ + 190

191 donde ŝ,+, es el unitario en la dirección de propagación de la onda plana respectiva y f + (y, z) = e (26/λ)z e j(ω/c)4,2y, de modo que Polarización paralela S = 25 40πŝ S = 25 40πŝ S + = (1,43) π e (52/λ)z ŝ + Cuando el campo eléctrico de la onda incidente yace sobre el plano de incidencia se dice que la misma presenta polarización paralela ver Fig. 9.11(b). Por inspección de las Figs. 9.11(a) y 9.11(b) se puede concluir que E se orienta como el campo H, y el campo H como el campo E, donde los sub-índices y indican polarización paralela y perpendicular, respectivamente. Para este caso, los vectores a e,,+ y a h,,+ de los campos eléctrico y magnético, forman los ángulos directores α,,+ 1,2,3 y β,,+ 1,2,3, respectivamente, con los ejes x, y y z del sistema de referencia principal que se indican en el Cuadro 9.3. Ù ÖÓ º ýò ÙÐÓ Ö ØÓÖ ÐÓ x,,+ Ý y,,+ Ò ØÙÖ Ð Ö Ô ØÓ Ð Ø Ñ Ö Ö Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ò Ð Ó ÔÓÐ Ö Þ Ò Ô Ö Ð Ð Ù Ó Ô ÖØ Ö Ð º º½½ µº α1 90 α1 90 α α2 ϕ α2 180 ϕ α 2 + θ α ϕ α3 270 ϕ α θ β1 180 β1 180 β β2 90 β2 90 β β3 90 β3 90 β Tomando en cuenta el valor de estos ángulos según el Cuadro 9.3 podemos escribir: Onda incidente: E o = Ae jκ 1(y sin ϕ+z cos ϕ) (cos ϕa y sin ϕa z ) H o = A e jκ 1(y sin ϕ+z cos ϕ) a x η 1 191

192 Onda reflejada: E = Be jκ 1(y sin ψ+z cos ψ) (cos ϕa y + sin ϕa z ) H = B η 1 e jκ 1(y sin ψ+z cos ψ) a x Onda refractada: E + = Ce jκ 2(y sin θ+z cos θ) (cos θa y sin θa z ) H + = C η 2 e jκ 2(y sin θ+z cos θ) a x Condiciones de borde Las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético han de ser continuas en la superficie de separación de los dos medios: De aqui sigue 3 que: E y(y, 0) + E y (y, 0) = E + y (y, 0) H (y, 0) + H (y, 0) = H + (y, 0) (A B) cos ϕ = C cos θ 1 η 1 (A + B) = C η 2 Al definir los coeficientes de reflexión, ρ, y transmisión, τ, para la polarización paralela: se podrá escribir: ρ = E (y, 0) E (y, 0) = B A τ = E+ (y, 0) E (y, 0) = C A (1 + ρ ) cos ϕ = τ cos θ 1 η 1 (1 ρ ) = 1 η 2 τ 3 Tomando en cuenta las leyes de Snell: κ 1 sin ϕ = κ 1 sin ψ = κ 2 sin θ. 192

193 y de aquí se obtiene: ρ = η 2 cos θ η 1 cos ϕ η 2 cos θ + η 1 cos ϕ 2η 2 cos ϕ τ = η 2 cos θ + η 1 cos ϕ (9.70) (9.71) Ù ÖÓ º ÖÑÙÐ Fresnelº ρ = η 2 cos ϕ η 1 cos θ η 2 cos ϕ + η 1 cos θ ρ = η 2 cos θ-η 1 cos ϕ η 2 cos θ + η 1 cos ϕ 2η 2 cos ϕ τ = η 2 cos ϕ + η 1 cos θ 2η 2 cos ϕ τ = η 2 cos θ + η 1 cos ϕ Las ecuaciones 9.64, 9.65, 9.70 y 9.71 se conocen como fórmulas de Fresnel y se resumen en el cuadro 9.4. Tomando en cuenta que: sin ψ = sin ϕ cos ψ = cos ϕ Resulta, para z < 0: E 1 = E o + E = Ae jκ 1y sin ϕ {[ e jκ 1z cos ϕ + ρ e jκ 1z cos ϕ ] cos ϕa y [ e jκ 1z cos ϕ ρ e jκ 1z cos ϕ ] sin ϕa z } (9.72) y para z > 0: H 1 = H o + H = A η 1 e jκ 1y sin ϕ (e jκ 1z cos ϕ ρ e jκ 1z cos ϕ )a x (9.73) E 2 = E + = Aτ e jκ 2(y sin θ+z cos θ) (cos θa y sin θa z ) (9.74) H 2 = H + = A η 2 τ e jκ 2(y sin θ+z cos θ) a x (9.75) Angulo de Brewster Para el caso de la polarización paralela existe un ángulo de incidencia ϕ B, denominado Ángulo de Brewster, para el cual el coeficiente de reflexión paralela se anula ρ = 0. Esto 193

194 ocurre, en efecto, si η 2 cos θ = η 1 cos ϕ B. Si consideramos dos medios no absorbentes y no magnéticos, la expresión anterior se puede escribir de forma equivalente como n 1 cos θ = n 2 cos ϕ B, siendo, como sabemos, n 1 y n 2 los índices de refracción de los medios 1 y 2, respectivamente. Tomando en cuenta la segunda Ley de Snell, n 1 n 2 = sin θ sin ϕ B, se ha de cumplir entonces que sin θ cos θ = sin ϕ B cos ϕ B, lo cual, en efecto, ocurre si θ = π 2 ϕ B. El ángulo de Brewster se puede estimar tomando en cuenta que: n 1 cos θ = n 2 sin ϕ B según la Ec. de Fresnel (9.70) poniendo ρ = 0, y n 1 sin ϕ B = n 2 sin θ según la 2da. Ley de Snell (Ec. (9.63)), considerando que sin 2 θ + cos 2 θ = 1 = sin 2 ϕ B + cos 2 ϕ B despejando sin 2 θ y cos 2 θ de las expresiones previas sin 2 θ = n2 1 sin 2 ϕ n 2 B 2 cos 2 θ = n2 2 cos 2 ϕ n 2 B 1 sigue que de donde n 2 1 n 2 2 sin 2 ϕ B + n2 2 cos 2 ϕ n 2 B = sin 2 ϕ B + cos 2 ϕ B 1 ( ) ϕ B = tan 1 n2 n Reflexión total Sean el medio 1 no absorbente: η 1 es real, y el medio 2 un conductor perfecto: σ 2 η 2 0 Sigue entonces que: ρ = 1 τ = 0 ρ = 1 τ = 0 194

195 Polarización perpendicular Los campos en el medio 2 son nulos. En el medio 1 los campos tienen la forma siguiente (ver Fig. 9.12): E = j2a sin(κ T z)e jκly a x (9.76) H = 2A [ ] cos(κt z)e jκly cos ϕa y + j sin(κ T z)e jκly sin ϕa z η 1 (9.77) donde κ T = κ 1 cos ϕ y κ l = κ 1 sin ϕ se denominan números de onda transversal y longitudinal, respectivamente ÙÖ º½¾ ØÖÙØÙÖ Ð ÑÔÓ Ñ Ò Ø Ó Ò Ð ÔÐ ÒÓ zyº En el dominio temporal: E(y, z, t) = 2A sin(κ T z) sin(ωt κ l y)a x (9.78) H(y, z, t) = 2A η 1 [cos(κ T z) cos(ωt κ l y) cos ϕa y sin(κ T z) sin(ωt κ l y) sin ϕa z ] (9.79) 195

196 Así como definimos κ T y κ l, es admisible definir Λ T = 2π κ T ( 2π E(y, z, t) = E x sin z Λ T ( 2π H(y, z, t) = H y cos z Λ T ( 2π H z sin z Λ T ) ) ) ( sin ωt 2π y Λ l = 2π κ l : ) y Λ l ( cos ωt 2π y Λ l ( sin ωt 2π y Λ l a x (9.80) ) a y ) a z (9.81) A partir de las Ecs. (9.80) y (9.81) se observa que en la dirección normal a la superficie S 1,2 de separación de los medios se crea un patrón de amplitudes con leyes de variación respecto a la variable z del tipo sin 2π Λ T z, para las componentes E x y H y, y del tipo cos 2π Λ T z para la componente H y. En virtud de las definiciones de κ T,l y Λ T,l se infiere, además, que al aumentar el ángulo de incidencia ϕ, el número de onda transversal disminuye κ T y por consiguiente la separación de los nulos en el plano transversal aumenta Λ T. Animación del campo magnético utilizando MATLAB Una animación que muestra la dinámica del campo magnético sobre el plano conductor se puede realizar usando MATLAB. En la página web del curso TeMii2.html se muestra esta animación de la cual en la Figura 9.12 se muestra un fotograma. Para todo ángulo ϕ de incidencia tal que 0 < ϕ < π, a partir de las Ecuaciones (9.78) y (9.79), comprendemos que el «proceso» 2 que resulta, se propaga tangente al plano de separación de los medios, en la dirección de y, con un patrón de amplitudes que presenta máximos y nulos en el plano transversal. Este «proceso» consiste en una onda plana no uniforme progresiva en la dirección de crecimiento de las y. Vemos como el plano conductor hace de guía, guiando la onda en una de sus direcciones tangenciales. A continuación se anexa una copia del script que permite crear la mencionada animación del campo magnético durante dos períodos. La ventana creada mide λ T /2 de alto (eje z) y 2λ l de ancho (eje y). % incoa phi=35*pi/180; kl=sin(phi); kt=cos(phi); lambdat=2*pi/kt; 196

197 lambdal=2*pi/kl; z=linspace(0,lambdat/2,20); y=linspace(0,3*lambdal,60); x=y; y=z; [X,Y]=meshgrid(x,y); for t=0:40 hy=cos(phi)*cos(kt*y).*cos(2*pi*t/20-kl*x); hz=-sin(phi)*sin(kt*y).*sin(2*pi*t/20-kl*x); quiver(x,y,hy,hz); axis([0 2*lambdal 0 lambdat/2]) set(gca, PlotBoxAspectRatio,[2,11]) image=getframe; M(t+1)=image; P=frame2im(image); directory = images/ ; number = num2str(t); extension =.bmp ; filename=[directory,number,extension]; imwrite(p,eval( filename ), bmp ); end Ahora bien, si se introduce un segundo cuerpo conductor en el escenario previo (ver figura futura) con una superfice exterior plana, ubicado a una distancia D igual a un número entero de medias Λ T : D = n Λ T 2, con n = 1, 2, 3..., los patrones de amplitudes dados por las ecuaciones (9.80) y (9.81), no se verían alterados, ya que los mismos satisfacen de antemano las condiciones de borde que el nuevo cuerpo conductor impondría. Cabe preguntarse, luego, dado el sistema de conductores de la Fig. futura, cuáles ángulos de incidencia, sobre uno cualquiera de los planos conductores (polarización perpendicular), dan lugar a un patrón de amplitudes de E y H que satisfagan las condiciones de borde que imponen 197

198 ambos conductores. La respuesta se obtiene al imponer: κ T D = nπ κ 1 cos ϕ = nπ D cos ϕ = nc 2Df (9.82) con n = 1, 2,..., N siendo N el número entero mayor para el cual se obtiene un ángulo de incidencia físicamente realizable. Problema Para un par de planos conductores separados una distancia D = 2 cm y a f = 40 GHz, calcule los ángulos de incidencia fisicamente realizables que permitan la propagación de los campos en la forma descrita previamente. Resp.: , , , y , en correspondencia de n = 1, 2, 3, 4, 5, siendo N = 5. Polarización paralela Los campos en el medio 2 son nulos. En el medio 1 los campos tienen la forma siguiente (ver figura 9.13): En el dominio temporal: E = 2A [ j sin(κ T z)e jκ ly cos ϕa y + cos(κ T z)e jκ ly sin ϕa z ] (9.83) H = 2jA η 1 cos(κ T z)e jκ ly a x (9.84) E(y, z, t) = 2A [sin(κ T z) sin(ωt κ l y) cos ϕa y cos(κ T z) cos(ωt κ l y) sin ϕa z ] (9.85) H(y, z, t) = 2A η 1 cos(κ T z) sin(ωt κ l y)a x (9.86) 198

199 ÙÖ º½ ØÖÙØÙÖ Ð ÑÔÓ Ð ØÖ Ó Ò Ð ÔÐ ÒÓ zyº Animación del campo eléctrico utilizando MATLAB A continuación se anexa una copia del script que permite crear una animación del campo eléctrico durante dos períodos. La ventana creada mide λ T /2 de alto (eje z) y 2λ l de ancho (eje y): % incob phi=35*pi/180; kl=sin(phi); kt=cos(phi); lambdat=2*pi/kt; lambdal=2*pi/kl; z=linspace(0,lambdat/2,20); y=linspace(0,3*lambdal,60); x=y; y=z; [X,Y]=meshgrid(x,y); for t=0:40 ey=cos(phi)*sin(kt*y).*sin(2*pi*t/20-kl*x); ez=-sin(phi)*cos(kt*y).*cos(2*pi*t/20-kl*x); quiver(x,y,ey,ez); 199

200 axis([0 2*lambdal 0 lambdat/2]) set(gca, PlotBoxAspectRatio,[2,1 1]) image=getframe; M(t+1)=image; P=frame2im(image); directory = images/ ; number = num2str(t); extension =.bmp ; filename=[directory,number,extension]; imwrite(p,eval( filename ), bmp ); end Condiciones límites de Leontóvich Analicemos la onda refractada en un buen conductor (ver Cuadro 9.5): f + (y, z) = e jκ(y sin θ+z cos θ) (9.87) donde κ = ωσµ (1 j) es complejo. 2 Ù ÖÓ º ÓÒ ÙØ Ú Ð ÙÒÓ Ù ÒÓ ÓÒ¹ ÙØÓÖ º Conductor Conductividad [S/m] Plata Cobre Oro Aluminio Tomando en cuenta la segunda ley de Snell para la interfaz espacio vacío-buen conductor κ 0 sin ϕ = κ sin θ, siendo κ 0 sin ϕ real, sigue que sin θ ha de ser complejo de modo que: κ 0 sin ϕ }{{} real = κ }{{} sin θ }{{} complejo complejo }{{} real (9.88) De esta forma la Ec. (9.87) se podrá escribir de la forma: f + jκ(y sin θ+z cos θ) (y, z) =e ( ) =e j yκ 0 sin ϕ+z κ 2 κ 2 0 sin2 ϕ (9.89) =e Bzz e j(ayy+azz) 200

201 { } { } donde A y = κ 0 sin ϕ, A z = R κ 2 κ 2 0 sin 2 ϕ y B z = I κ 2 κ 2 0 sin 2 ϕ. De la Ecuación (9.89) observamos que la onda refractada se propaga en el conductor formando cierto ángulo γ con la normal a la superficie de separación γ = tan 1 A y A z, y se amortigua de acuerdo al factor e Bzz. En sentido riguroso, la onda refractada en un buen conductor ya no es una onda plana uniforme, sino una onda plana no homogénea. Sin embargo, para un buen conductor, en general, se cumple que κ 2 κ 2 0 sin 2 ϕ (A y A z ) para cualquier valor de ϕ, de modo que: κ 2 κ 2 0 sin 2 ϕ ±κ (9.90) que por razones físicas se toma (?): κ 2 κ 2 0 sin 2 ϕ κ (9.91) De esta forma vemos como la tangente del ángulo γ vale, para cualquier ángulo de incidencia ϕ: tan γ = Ay A z 0, y por tanto γ 0. Todo lo cual nos permite concluir que, en la práctica, la onda refractada en el buen conductor lo hace siguiendo la normal a la superficie, y que las componentes tangenciales de los campos resultantes en el medio 1 se convierten en las amplitudes complejas de los campos refractados en el conductor no perfecto para cualquier ángulo de incidencia: E = E + (0)e jκ Cz a t (9.92) H = a z E η C (9.93) donde κ C y η C son el número de onda y la impedancia intrínseca del conductor, respectivamente, a t es cierto vector tangencial a la superficie de separación de los medios y E + (0) = E t (0)+E t (0). Estas Ecuaciones (9.92) y (9.93) son la condiciones límites de Leontóvich. Problema Una onda plana incide desde un medio dieléctrico sin pérdidas caracterizado por ε = ε 0 y µ = µ 0, sobre la superficie plana de separación de un buen conductor (σ = 6, [S/m] plata ). Para cada uno de los ángulos de incidencia de 20 y 80, y para una frecuencia f = 0,88 GHz, calcular: 1. τ y τ. 201

202 2. ρ y ρ. 3. El ángulo de refracción. 4. Si la intensidad del campo eléctrico en la superficie vale 0,5 V/m, escriba la expresión de los campos eléctrico y magnético, y de la densidad de corriente J en el conductor. Resp.: de acuerdo a la segunda ley de Snell ( θ = arcsin sin ϕ κ ) 1 κ 2 y tomando en cuenta que κ 1 = ω µ 0 ε 0 y κ 2 = ωµ 0 σ 2 2 (1 j) resulta ϕ 20 3, (1 + j) 80 1, (1 + j) Usando las fórmulas de Fresnel resumidas en el Cuadro 9.4, se obtienen: 1. los coeficientes de transmisión: θ ϕ τ τ 20 4, (1 + j) 3, (1 + j) 80 (4,006 + j4,005) , (1 + j) 2. los coeficientes de reflexión: ϕ ρ ρ j4, j3, j2, j6, El campo en el medio conductor se puede representar en la siguiente forma híbrida: E + = E 0 e jκ 2(y sin θ+z cos θ) a + e como κ 2 es complejo, pero κ 1 sin ϕ es real, sigue que sin θ ha de ser complejo de modo que el producto κ 2 sin θ sea también real. Con todo, κ 2 cos θ = κ 2 1 sin 2 θ será complejo. De esta forma el campo E se podrá escribir como E + = E 0 e Bzz e j(ayy+azz) a + e 202

203 donde A y = κ 2 sin θ, A z = Real(κ 2 cos θ) y B z = Im(κ 2 cos θ). El ángulo de refracción de la onda en el medio conductor, el cual denominaremos θ, es igual al ángulo que forma el vector de onda A y a y + A z a z con la normal a la superficie a z : θ = arctan ( ) Ay A z ϕ θ 20 0[ ] 80 0[ ] Comentarios: la onda refractada en un buen conductor lo hace acostándose a la normal a la superficie para cualquier ángulo de incidencia. Prácticamente la onda se refracta en la dirección de la normal a la superficie para todo ángulo ϕ de incidencia. 4. En el conductor: E + = 0,5e Bzz e j(ayy+azz) a + e H + = a z E+ η 2 y por tanto: J = σe + a) Para ϕ = 20 : E + = 0,5e z e j(6,308y z) a + e [V/m] H + = 33,127(1 + j)e z e j(6,308y z) a + h [A/m] J = 3, e z e j(6,308y z) a + e [A/m2 ] 203

204 b) Para ϕ = 80 : E + = 0,5e z e j(18,163y z) a + e [V/m] H + = 33,127(1 + j)e z e j(18,163y z) a + h [A/m] J = 3, e z e j(18,163y z) a + e [A/m2 ] 9.5. Mini-proyectos Mini-proyecto 1 Usando la base de datos disponible en seleccione tres materiales de propiedades electromagnéticas muy distintas. Seleccione, además, un rango de frecuencias suficientemente grande para los fines de las tareas que se proponen a continuación y proceda, usando MATLAB 4, a 1. Construir las gráficas κ = κ (f) [rad/m] y κ = κ (f) [Np/m], usando, si es necesario, escalas a la izquierda y a la derecha. La gráfica de κ = κ (f) repítala en [db/m] y la de κ = κ (f) en [ o /m]. 2. Repita los cálculos del punto anterior usando las fórmulas aproximadas considerando cada material una vez como un dieléctrico de bajas pérdidas (κ ω µ 0 ε y κ ω µ 0 ε ε 2ε ), y otra vez como un buen conductor (κ = κ ωµ 0 σ 2 ). Superponga los resultados con los del punto anterior sobre una misma gráfica (una por material) utilizando distintos tipos de líneas y marcas. Analice el resultado y concluya acerca del rango de frecuencia en el que las aproximaciones se pueden tomar como válidas. 3. Construir las gráficas ν p = ν p (f) y ν gr = ν gr (f), usando, si es necesario, escalas a la izquierda y a la derecha. 4. Construir las gráficas = (f) y tan = tan (f), usando, si es necesario, escalas a la izquierda y a la derecha. 4 El uso de MATLAB no es restrictivo. Puede usar cualquier otro software matemático. 204

205 5. Construir la gráfica δ = δ(f) Mini-proyecto 2 Introducción Se propone a continuación una terna de problemas para ser resueltos usando MATLAB o Mathcad, u otro software similar, con el propósito de estudiar la dispersión en los medios cuyas propiedades intrínsecas son dependientes de la frecuencia. Un medio dispersivo se modelará con una función de transferencia H(ω) = e jκ(ω) z, donde κ(ω) es el número de onda dependiente de la frecuencia, y z es la longitud recorrida por la onda a través del medio. De esta suerte, si E i (ω) es la transformada de Fourier de cierto campo E i (t) variable en el tiempo: E i (ω) = F{E i (t)}, donde el subíndice i está por «entrada», después de z metros recorridos por la onda en el medio, tendremos un campo eléctrico de «salida» E o (t) dado por: E o (t) =F 1 {E i (ω)h(ω)} =F 1 {E i (ω)e jκ(ω) z } En MATLAB, la transformada de Fourier, F{ }, y su inversa, F 1 { }, se estiman discretamente mediante las funciones FFT[ ] e IFFT[ ], respectivamente. Se trata, en los ejercicios que se proponen en este documento, de experimentar con cierto medio no magnético, de propiedades intrínsecas dipersivas ε (ω) y ε (ω), para estimar el efecto que estas propiedades dependientes de la frecuencia tienen sobre ciertos campos de entrada con formas temporales dadas. Para ello se deberá proceder de la siguiente manera: tomar N muestras de la forma temporal del campo E i (t) y almacenarlas en un vector de MATLAB, tomar la FFT de esta secuencia, multiplicar el vector resultante por un vector formado por igual número de muestras (N) de la función de transferencia H(ω) del medio, y 205

206 tomar, finalmente, la IFFT del vector resultante. El vector resultante contendrá N muestras de la forma temporal de E o (t). En adelante denominaremos este procedimiento «procedimiento numérico». 1. Usando la base de datos disponible en seleccione un medio. Seleccione, además, un rango de frecuencias suficientemente grande para los fines de las tareas que se proponen a continuación y proceda, usando MATLAB 5, a construir las gráficas ε = ε (ω) y ε = ε (ω), usando, si es necesario, escalas a la izquierda y a la derecha. 2. Para el medio dispersivo no magnético seleccionado, calcule la profundidad de penetración δ para un valor de frecuencia ω 1 prefijado por usted. Para este valor de frecuencia conciba un campo mono-cromático de entrada E i (t), y usando el procedimiento numérico, con H(ω 1 ) = e jκ(ω 1)δ, compruebe que E o (t) = E i(t) e. 3. Usando las formas temporales del campo E i (t) que se muestran en la Fig estime, usando el procedimiento numérico, las correspondientes formas temporales de salida E o (t), calibrando apropiadamente los valores de ω 0, ancho de banda (BW) y z, de manera tal de observar el efecto de la dispersión en el campo de salida. µ µ ÙÖ º½ ÓÖÑ Ø ÑÔÓÖ Ð ÒØÖ E i (t)º 9.6. El código FDTD en MATLAB R function fdtd1d(epsir2,sigma2) 5 El uso de MATLAB no es restrictivo. Puede usar cualquier otro software matemático. 206

207 % FDTD1D resuelve la propagación de una onda plana en dos medios contiguos % separados por un plano sobre el cual la onda incide perpendicularmente. % % % % % % % % % % valores recomendados % % % % % % % % % % % % % caso 1: epsi2r=1, sigma2=0 adaptación % caso 2: epsi2r=4, sigma2=0 desadaptación intermedia, reflexión parcial % caso 3: epsi2r=4, sigma2=0.04 desadaptación intermedia con absorción % caso 4: epsi2r=4, sigma2=100 reflexión total close all K=200; kc=k/2; t0=40; spread=12; n=0; N=600; ex(k)=0; hy(k)=0; z=1:k; exi1=0; exi2=0; exd1=0; exd2=0; epsi0= e-12; c=3e8; xd=100; epsir=epsir2; sigma=sigma2; f=700e6; lambdamin=c/(sqrt(epsir)*f); deltaz=lambdamin/10; deltat=deltaz/(2*c); eaf=(deltat*sigma)/(2*epsir*epsi0); sigmaz=[ones(1,xd-1) ones(1,k-xd+1)*((1-eaf)/(1+eaf))]; epsiz=[0.5*ones(1,xd-1) 0.5*ones(1,K-xd+1)./(epsir*(1+eaf))]; y=[-2 2]; zd=[xd xd]; deltaz=lambdamin/10; deltat=deltaz/(2*c); % % % % % % % % % % % % % Pasos de tiempo % % % % % % % % % % % % % for n=1:n 207

208 % % % % % % % calculo del campo eléctrico % % % % % % % for k=2:k ex(k)=sigmaz(k)*ex(k)+epsiz(k)*(hy(k-1)-hy(k)); end pulso=sin(2*pi*f*deltat*n); (5)=ex(5)+pulso; % % % % % % % % % % % % % % % % ABC % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ex(1)=exi2; exi2=exi1; exi1=ex(2); ex(k)=exd2; exd2=exd1; exd1=ex(k-1); % % % % % % % calculo del campo magnético % % % % % % % for k=1:k-1 hy(k)=hy(k)+0.5*(ex(k)-ex(k+1)); end % % % % % % % % visualización % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % subplot(2,1,1) plot(z,ex, b,zd,y, g ) ylabel( E_x ) axis([5 K -2 2]), text(80,1.5, \epsilon_0 ), text(105,1.5, \epsilon_2, \sigma_2 ); xlabel( z ) box off subplot(2,1,2) plot(z,hy, r,zd,y, g ), ylabel( H_y ) axis([5 K -2 2]), text(80,1.5, \epsilon_0 ),text(105,1.5, \epsilon_2, \sigma_2 ); xlabel( z ) box off pause(0.01) end 208

209 Capítulo 10 Principios de radiación Introducción Si en cierto volumen V se localizan cargas y corrientes (fuentes, Fig. 10.1(a)), al tomar una superficie cerrada S, en cuyo interior quede contenido V, y evaluar el flujo de potencia electromagnética activa a través de ella, si éste es no nulo, entonces tales fuentes estarán emitiendo energía. µ Ò Ö µ ÒØ Ò µ ÖÙ ØÓ ÙÖ ½¼º½ ØÖ Ù ÓÒ Ù ÒØ º Este desprendimiento de energía, que se denomina radiación, se detecta toda vez que la parte real del vector de Poynting sea, en promedio, radial respecto al centro geométrico de la distribución de fuentes. La radiación puede ser un efecto deliberado o indeseado. Cuando se trata de una antena Fig. 10.1(b), por ejemplo, la radiación es un proceso intencionado. Cuando 209

210 se trata de un circuito Fig. 10.1(c), en cambio, la radiación representa un problema de compatibilidad electromagnética. Conociendo en detalle como se produce la radiación, será posible diseñar antenas para que irradien con ciertas propiedades prestablecidas, o diseñar circuitos de modo que no lo hagan. Acerca de como hacer para que un circuito se someta a las leyes de la Teoría de Circuitos sin que irradie se puede leer en la Ref. [23]. En el presente documento haremos énfasis en la deducción del conjunto de ecuaciones matemáticas que describen los campos de radiación producidos por fuentes primarias suspendidas en el espacio libre Fig. 10.1(a). Sabemos, sin embargo, que en el mundo real es imposible forzar semejante distribución de fuentes impresas. Físicamente, la radiación ocurre porque cierta estructura material, llamada antena, puesta en proximidad de un campo primario, al interactuar con éste, esparce en el espacio circundante parte de la energía contenida en él en forma de un campo libre (dinámico) el cual se aleja radialmente. Invocando apropiadamente el Teorema de la Unicidad y el Principio de Equivalencia, los campos radiados pueden ser calculados, sin embargo, por integración de unas fuentes equivalentes que sustituyen a la antena y que pueden ser tratadas como fuentes impresas [24]. En todo caso, por ahora, la discusión de este asunto desde un punto de vista físico quedará pendiente. Acerca de como una antena emite parte de la potencia disponible en sus terminales (o puerto) de alimentación en forma de radiación se puede leer en la Ref. [25] Expresión exacta de los campos a partir de las funciones potenciales para todos los puntos del espacio El problema general de la radiación consiste, en su forma clásica, en estimar los campos eléctrico y magnético en los puntos suficientemente alejados de la distribución siguiendo el método integral, calculando primero, a partir de las fuentes J(r ) y ρ ν (r ), las funciones potenciales A(r) y V (r), y a partir de éstas los campos eléctrico E(r) y magnético H(r). La región definida por los puntos «suficientemente alejados» de las fuentes se suele denominar zona lejana, y es la zona que mayor interés práctico posee desde el punto de vista del diseño y análisis de los sistemas radiantes. Las expresiones exactas de los campo eléctrico y magnético en función de las funciones 210

211 potenciales A y V son: H = 1 µ A (10.1) E = V jωa (10.2) donde: donde R = r r. A(r) = µ J(r 4π V ) e jκr V (r) = 1 4πε R dν (10.3) ρ(r V ) e jκr R dν (10.4) Expresión exacta del campo H Para obtener la expresión completa del campo magnético se puede sustituir la Ec. (10.3) en la Ec. (10.1) H = 1 [ µ ] µ J(r )g(r, r ) dν 4π V (10.5) donde g(r, r ) = e jκr, y como los operadores y R V ( ) dν se pueden intercambiar, tomando el rotacional de la cantidad subintegral: H = 1 [J(r )g(r, r )] dν (10.6) 4π V Recurriendo a la identidad vectorial (ϕa) = ( ϕ) A + ϕ A, resulta [J(r )g(r, r )] = g(r, r ) J(r ) + g(r, r ) J(r ) (10.7) Toda vez que la densidad de corriente J varía con r y que el operador rotacional contiene derivadas espaciales respecto a las variables no primadas, será J(r ) = 0. El gradiente g(r, r ) se resuelve con facilidad teniendo presente que a r r ( g(r, r ) = jκ 1 ) g(r, r )a r (10.8) R Sustituyendo estos resultados en la Ec. (10.7) y luego ésta en la Ec. (10.6), y después de conmutar el orden de los factores del producto vectorial, se obtiene H = jκ J(r ) g(r, r )a R dν 1 + J(r ) g(r, r ) 4π V } 4π V {{} R a R dν (10.9) }{{} H R H I 211

212 donde H R, que varía con 1 R, es el campo magnético de radiación y H I, el cual varía con 1 R 2, es el campo magnético de inducción Expresión exacta del campo E Para obtener la expresión completa del campo eléctrico se puede proceder de manera similar a como se procedió con el campo magnético, partiendo de la Ec. (10.2) directamente o de ésta después de utilizar la condición de calibración de Lorentz ( A = jωµεv ), que convierte la mencionada Ec. (10.2) en la ecuación equivalente E = j A jωa (10.10) ωµε Partiremos de la Ec. (10.2) tomando el gradiente de la Ec. (10.4). Pudiéndose intercambiar los operadores y V ( ) dν, se deberá resolver [ρ ν (r )g(r, r )]. Ciertamente [ρ ν (r )g(r, r )] = ρ ν (r ) g(r, r ). El resultado de g(r, r ) se conoce del procedimiento anterior Ec. (10.8), por lo que el campo electrico se podrá expresar de la forma: E == 1 ρ(r ) g(r, r ) 4πε V R a R dν }{{} j [ κ ε ρ(r )a R ωµj(r )] g(r, r ) dν + 4π V } {{} E I E R (10.11) donde E I, que varía con 1, es el campo eléctrico de inducción y E R 2 R, el cual varía con 1, es el R campo eléctrico de radiación. ÙÖ ½¼º¾ Ä Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ö ÐÓ ÑÔÓ ÓÖÖ ÒØ Ý Ö µ ÒÙ ÒØÖ Ò Ù Ô Ò Ò Ð Ô Ó Ð Ö ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ð ÚÓÐÙÑ Ò Ò ØÓ V Ô ÒØ Ó ÞÙк Ò V Ø Ð Ù ÒØ ØÖ ÙÝ Ò Ù Ö Ó Ð Ò J(r ) Ý ρ ν (r )º 212

213 Los campos de inducción E I y H I predominan en los puntos muy próximos a la distribución (R 0), mientras que los campos de radiación prevalecen en los puntos muy alejados de la distribución (R ). En la Figura 10.2 se ilustran estas ideas. La región donde los campos se pueden aproximar por sus respectivas componentes de inducción se denomina zona cercana: en la zona cercana 1 R 2 1. La región donde los campos se pueden aproximar por sus respectivas R componentes de radiación se denomina zona lejana: en la zona lejana se cumple que 1 R 1 R 2. Entre la zona cercana y la zona lejana se localiza una región en la que ninguno de los dos tipos de campo descritos prevalece sobre el otro. En esta región, denominada zona intermedia, los campos se expresarán mediante las expresiones exactas (10.9) y (10.11) Estudio de los campos de radiación son: Las expresiones exactas de los campos de radiación contenidos en las Ecs. (10.9) y (10.11) E R (r) = j 4π H R (r) = jκ 4π V [ κ ε ρ(r )a R ωµj(r )] g(r, r ) dν (10.12) V J(r ) g(r, r )a R dν (10.13) Estructura de los campos de radiación a partir de la expresión aproximada de A en la zona lejana Para desentrañar la estructura de los campos de radiación contenidos en las Ecs. (10.12) y (10.13) procederemos de la manera convencional, ubicando el origen del sistema de referencia en el centro geométrico de la distribución como se muestra en la Fig Esta decisión nos permitirá aplicar una serie de aproximaciones las cuales nos conducirán a unas versiones, aunque simplificadas, técnicamente correctas de las Ecs. (10.12) y (10.13), a partir de las cuales será sencillo comprender el «comportamiento» espacial de los campos. Basándonos en la Fig advertimos que los vectores R, r y r forman un triángulo, por lo que R, el módulo de R, se puede poner en función de r y r, usando el teorema del coseno: R = (r 2 + r 2 2r r ) 1 2 (10.14) 213

214 ÙÖ ½¼º Í Ò Ð ÓÖ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ò Ð ÒØÖÓ ÓÑ ØÖ Ó Ð ØÖ Ù Ò Ù ÒØ Ô Ö Ð Ù Ò Ð ÜÔÖ ÓÒ ÑÔÐ ÐÓ ÑÔÓ Ö Òº Para R máx{r }, lo cual se cumple en la zona lejana, el término r se puede despreciar y la expresión (10.14) se puede aproximar de la siguiente manera: R r Expandiendo el binomio ( 1 2 r r r 2 ) : R r ( 1 2 r r r 2 1 r r r ) 1 2 (10.15) ( ) r r 2... (10.16) r 2 asumiremos las siguientes aproximaciones: r, para la amplitud; R r r a r, para la fase (10.17) y además a R a r. Al sustituir las aproximaciones expresadas mediante la Ec. (10.17) en las Ecs. (10.12) y (10.13) se obtiene: E R (r) = jωµ 4π H R (r) = jκ 4π r e jκr e jκr r V J(r ) e jκr a r dν + j e jκr κ 4π r V ε ρ(r )a r e jκr a r dν (10.18) V J(r ) e jκr a r a r dν (10.19) 1 (1 + x) n = 1 + nx + n(n 1) 2! x 2 + n(n 1)(n 2) 3! x , siendo n un número natural o una fracción. 214

215 La Ecuación (10.18) amerita un poco de manipulación adicional para obtener una versión equivalente que exprese mejor la idea en ella contenida. Para ello, vamos a hacer uso de la ecuación de continuidad de la corriente ρ(r ) = J(r )/ jω en la segunda integral de la Ec. (10.18): j e jκr κ 4π r V ε ρ(r )a r e jκr a r dν = κ e jκr J(r ) e jκr a r dν a r (10.20) 4πεω r V donde se ha extraido de la integral el vector unitario a r. Ya que J(r ) e jκr a r = [J(r ) e jκr a r ] J(r ) e jκr a r resulta: J(r ) e jκr a r dν = [J(r ) e jκr a r ] dν J(r ) e jκr a r dν V V V = [J(r ) e jκr a r ] ds J(r ) jκa r e jκr a r dν S } V {{} =0 = jκ J r (r ) e jκr a r dν V que al sustituir en la Ec. (10.20) resulta: j e jκr κ 4π r V ε ρ(r )a r e jκr a r Al sustituir la Ec. (11.32) en la Ec. (10.18) se obtiene: dν = jωµ e jκr J r (r )a r e jκr a r dν (10.21) 4π r V µ e jκr E R (r) = jω J(r )e jκr a r dν µ e jκr J r (r )a r e jκr a r dν (10.22) 4π r V } 4π r V {{}} {{} A zl A zlr a r H R (r) = jκ µ a r µ e jκr J(r )e jκr a r dν (10.23) 4π r V } {{} A zl Se define el Vector Potencial magnético aproximado en la zona lejana A zl : A zl (r) = µ 4π e jκr }{{ r } OEE J(r )e jκr a r dν V } {{} N(r) (10.24) donde e jκr consiste en una onda esférica elemental (OEE) que parte del origen radialmente r hacia el infinito, y la integral N(r) se denomina vector de radiación: 215

216 N(r) = J(r )e jκr a r dν V (10.25) Usando la definición anterior de vector potencial de zona lejana, los campos de radiación se pueden expresar de la forma compacta E R (r) = jω(a zl A zlr a r ) (10.26) H R (r) = jκ µ a r A zl (10.27) A partir de las Ecuaciones (10.26) y (10.27) se puede inferir que los campos eléctrico y magnético de radiación viajan en la dirección radial a r. También inferimos que tales campos son transversales respecto a esta dirección de propagación, que son entre si mutuamente ortogonales, y que la relación entre sus amplitudes complejas es idénticamente igual a la impedancia intrínseca del medio: Vector de radiación E R = jωµ H R jκ = η (10.28) El vector de radiación N(r) = V J(r )e jκr a r dν consiste en la «suma» de todos los elementos de corriente desfasados, respecto al elemento ubicado en el origen, un ángulo proporcional a la distancia, medida en la dirección de observación del campo, entre el elemento de corriente considerado y el origen. Por ejemplo, al elemento de corriente J(r )dν, ubicado en el punto fuente r, se le desfasa con un ángulo par a κr a r, el cual es proporcional a la distancia r a r entre el punto fuente y el origen, medida en la dirección hacia el punto de observación que viene dada por el vector unitario a r. En coordenadas Cartesianas, el vector de radiación (10.25) se puede escribir de la forma N(r) = V J(r )e jκxx e jκyy e jκzz dx dy dz (10.29) donde κ x = 2π sin θ cos ϕ, κ λ y = 2π sin θ sin ϕ y κ λ z = 2π cos θ, e interpretarse como una transformada de Fourier tridimensional entre el dominio fuente (posiciones de las fuentes [x, y, λ y z ] o geometría de la distribución) y el dominio de observación (ángulos de observación [θ,ϕ]), mediante las frecuencias espaciales κ x, κ y y κ z. 216

217 Por otro lado, tomando en cuenta que r = r sin θ cos ϕ a x + r sin θ sin ϕ a y + r cos θ a z escribiremos: κ r = 2π λ r (sin θ sin θ cos ϕ cos ϕ + sin θ sin θ sin ϕ sin ϕ + cos θ cos θ ) (10.30) al integrar, el vector de radiación queda como una función solamente de los ángulos de observación θ y ϕ, esto es: N(r) = N(θ, ϕ), y se podrá escribir de manera compacta y ademas A zl (r) = µ 4π e jκr r N(θ, ϕ) (10.31) E R (r) = jω µ N T (θ, ϕ) (10.32) 4π r donde N T (θ, ϕ) = N θ (θ, ϕ)a θ +N ϕ (θ, ϕ)a ϕ es la componente transversal (respecto a la dirección de propagación a r ) del vector de radiación. e jκr Ejemplo Se desean calcular los campos E y H de radiación de una espira circular de corriente I 0, de radio a λ, dispuesta sobre el plano z = 0, centrada en el origen y orientada según el eje z (ver Fig. 10.4). Sol.: en primer lugar se ha de calcular el Vector de Radiación N = V ÙÖ ½¼º Ô Ö ÖÙÐ Ö Ó¹ J(r )e jκr a r dν, para lo cual expandiremos e jκr a r en una serie de potencias: ÖÖ ÒØ I 0 Ö Ó a λ ÔÙ Ø Ó Ö Ð ÔÐ ÒÓ z = 0 ÒØÖ Ò Ð e jκr a r = 1+jκr a r + 1 2! (jκr a r ) n! (jκr a r ) n +... ÓÖ Ò Ý ÓÖ ÒØ Ò Ð zºº y aplicaremos la siguiente aproximación e jκr a r 1+jκr a r, donde se han despreciado los términos de orden superior a uno ( por qué?). La integral a resolver asume la forma N = I 0 a ϕ (1 + jκr a r ) dl Γ tomando en cuenta que solo nos interesan las componentes transversales de N y que a ϕ a θ = cos θ cos(ϕ ϕ π/2) a ϕ a ϕ = cos(ϕ ϕ ) r a r = a sin θ cos(ϕ ϕ ) 217

218 se obtiene N T = ji 0 κa 2 π sin θa ϕ A partir de aquí el campo eléctrico se puede calcular facílmente usando la Ec. (10.32) como: E = I 0η(κa) 2 4 y el campo magnético como H = a r E η : H = I 0(κa) 2 4 e jκr r e jκr r sin θa ϕ sin θa θ Problema Obtenga N, A zl, E R y H R para un dipolo de Hertz. El dipolo de Hertz consiste en un elemento filamentario de corriente. Una definición apropiada del dipolo de Hertz es la siguiente: jωµ 4π Resp.: N = I 0 dl( sin θa θ + cos θa r ), A zl = µ J(r ) = I 0 δ(x )δ(y )dla z (10.33) 4π e jκr r I 0 dl( sin θa θ + cos θa r ), E R = e jκr I r 0 dl sin θa θ y H R = jκ e jκr I 4π r 0 dl sin θa ϕ. En la página WWW (Fig. 3) se muestra una animación del campo eléctrico alrededor del dipolo de Hertz. El computo de dicho campo se realizó usando la expresión exacta del campo Condición de no radiación Las propiedades de la radiación de una determinada distribución de corrientes están contenidas en la integral N(θ, ϕ). Una inspección detallada de esta integral nos permitirá descifrar la clave para minimizar la radiación en aquellos casos donde ésta no se desee, como en la teoría de circuitos y en la teoría de líneas de transmisión. Debemos advertir, sin embargo, que una supresión completa de la radiación no es posible sino se apantalla apropiadamente la distribución de corrientes. Con todo, es de interés general, dada una distribución de corrientes, conocer cuales condiciones se deben cumplir para reducir los campos de radiación a valores practicamente despreciables. 218

219 Para resolver esta cuestión procederemos, asumiendo que se pueda, a «arreglar» todos los elementos de corriente en parejas: cada elemento J(r n )dν n con su retorno J(r m )dν m ver Fig. 10.5, tal que J(r n )dν n = J(r m )dν m, y a evaluar la aportación diferencial que dicha pareja hace al campo de radiación total. En efecto, según la Ec. (10.32), tal aportación será proporcional a ambos elementos de corriente de la forma ÙÖ ½¼º Ø ÐÐ Ð ØÖ Ù Ò Ò Ð ÕÙ ÑÙ ØÖ Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÒØ Ý Ù Ö ØÓÖÒÓ de R J(r n )ejκr n ar dν n + J(r m )ejκr m a r dν m J(r n )dν n (ejκr n a r e jκr m a r ) J(r n )dν ne jκr n a r (1 e jκδr a r ) (10.34) donde δr = r m r n es un vector que une a ambos elementos de corriente. Ahora bien, si la distribución de corriente se la restringe para que el máximo valor de la distancia entre un elemento de corriente y su retorno sea muy pequeño en comparación con la longitud de onda: máx{δr } λ, el ángulo de fase κδr a r 2π máx{δr } será aproximadamente de orden cero, λ el exponencial e jκδr a r de orden uno y el campo de radiación, que se obtiene integrando la Ec. (10.34), despreciable. Por esta razón, podemos declarar la condición máx{δr } λ, como la condición de no radiación de una distribución genérica de corrientes. Un ejemplo práctico de aplicación de la condición de no radiación se observa cuando al implementar un circuito impreso se utilizan al menos dos capas: un plano conductor de cobre (+ un substrato dieléctrico) y una cara con las pistas de cobre sobre la que se sueldan los distintos elementos concentrados. En este caso, todos los retornos de corriente se desarrollan sobre el plano conductor, de tal suerte que el máx{δr } viene dado por el espesor del substrato. Las lineas de transmisión también satisfacen la condición de no radiación toda vez que la separación entre los conductores es mucho menor que λ (esta condición también garantiza que los campos en la línea sean cuasi-tem). 219

220 10.3. Características básicas de las antenas Zona lejana La zona lejana de una antena, la cual constituye la zona de interés de la antena, posee un limite inferior que se define como [26]: r zl = máx { r/ r r MAX 1, κr 1 } (10.35) El conjunto de la ecuación contiene en realidad tres elementos, ya que la condición r/r MAX 1 impone restricciones tanto de fase como de amplitud: r zl = máx {r zlcp, r zlca, r zlca2 } (10.36) donde r zlcp y r zlca representan el límite inferior de la zona lejana por consideraciones de fase y amplitud, respectivamente, debido a la condición r/r MAX 1, y r zlca2 representa el límite inferior de la zona lejana debido al término κr 1, el cual establece un restricción en la amplitud de los campos. Si la máxima dimensión de la antena es D y su centro geométrico se hace coincidir con el centro del sistema de coordenadas, entonces este límite se puede expresar en función de D: { } 2D 2 r zl = máx, 50D, 20λ λ (10.37) Patrón de radiación El patrón de radiación, en general, es la ley variación de la intensidad del campo (eléctrico) o de la potencia asociada a este, en función de los ángulos θ y ϕ en la zona lejana. El diagrama de radiación (normalizado) se define en función de las componentes E θ y E ϕ del campo eléctrico, en función del campo E total, o en función de la potencia radiada (ver Cuadro 10.1)[26]. El diagrama de radiación se calcula teóricamente o se mide experimentalmente. Existen diferentes métodos de representación gráfica: polar 3D, polar 2D, Cartesiano y cartográfico. 220

221 La representación polar 3D consiste en la superficie r = F(θ, ϕ). En la Figura 10.6 se muestra el digrama de radiación 3D de un dipolo de longitud 2λ, asumiendo una distribución de corriente senoidal. Los diagramas de radiación más comunes son: toroidales, haz pincelado, haz en abanico, y cosecante. El diagrama de radiación polar 2D se obtiene seccionando el diagrama polar 3D mediante planos apropiados: r = F(θ, ϕ 1 ), r = F(θ 1, ϕ). En la Figuras 10.7(a) y 10.7(c) se muestran dos diagramas de radiación polares de una misma antena. En ÙÖ ½¼º È ØÖ Ò Ö Ò r = F(θ, ϕ)º la Figura 10.7(a) se muestra un diagrama de radiación polar con una escala logarítmica. En la Figura 10.7(c) se muestra un diagrama de radiación polar con una escala lineal. Ù ÖÓ ½¼º½ Ö Ñ Ö Ò F θ (θ, ϕ) F ϕ (θ, ϕ) F(θ, ϕ) Ý F θ (θ, ϕ) 2 ÙÒ ÒØ Ò N T (θ, ϕ) = N θ (θ, ϕ)a θ + N ϕ (θ, ϕ)a ϕ µº de E θ : de E ϕ : F θ (θ, ϕ) F ϕ (θ, ϕ) E θ (r,θ,ϕ) E θ (r,θ,ϕ ) MAX F θ (θ, ϕ) E ϕ(r,θ,ϕ) E ϕ(r,θ,ϕ ) MAX F ϕ (θ, ϕ) N θ (θ,ϕ) N θ (θ,ϕ ) MAX N ϕ(θ,ϕ) N ϕ(θ,ϕ ) MAX de E: F(θ, ϕ) E zl (r,θ,ϕ) E zl (r,θ,ϕ ) MAX F(θ, ϕ) N T (θ,ϕ) N T (θ,ϕ ) MAX de potencia: F(θ, ϕ) 2 S r(r,θ,ϕ) S r(r,θ,ϕ ) MAX En la Figuras 10.7(a) y 10.7(c) se muestran dos diagramas de radiación polares de una misma antena. En la Figura 10.7(a) se muestra un diagrama de radiación polar con una escala logarítmica. En la Figura 10.7(c) se muestra un diagrama de radiación polar con una escala lineal. Se observa claramente como al usar una escala lineal los lóbulos secundarios quedan escondidos, mientras la escala logarítmica permite apreciar mejor estos lóbulos secundarios. Usualmente se emplean 2, 3, 6 o 9 de estos diagramas para representar el patrón de radiación 221

222 µ ÈÓÐ Ö ÐÓ Ö ØÑ Ó µ ÖØ ÒÓ ÐÓ Ö ØÑ Ó µ ÈÓÐ Ö Ð Ò Ð ÙÖ ½¼º Ö Ñ Ö Ò ¾ ØÓÑ Ó de la antena. Se definen los planos E y H: el plano E es el plano paralelo al campo E y el plano H es el plano paralelo al campo H. El diagrama de radiación Cartesiano se obtiene poniendo en el eje de las abscisas la variable angular correspondiente (θ o ϕ), y en el de las ordenadas el valor de F(θ, ϕ) ver Fig. 10.7(b). En los diagramas de radiación Cartesianos la escala de las ordenadas puede ser lineal, cuadrática o logarítmica. El diagrama de radiación cartográfico consiste en una serie de curvas de nivel que se obtienen al poner F(θ, ϕ) = u, fijado r, con u como parámetro. En la figura 10.8 se muestran las curvas de nivel de la P IRE (potencia isotrópica radiada equivalente) en dbw 2 de dos satélites Apertura de haz y nivel de lóbulos secundarios La apertura del haz principal se suele medir sobre un plano que contenga el origen y al máximo del patrón de radiación F(θ, ϕ) = 1 y consiste en el ángulo formado por los radiales en correspondencia de los cuales F(θ, ϕ) 2 = 1/2 o E zl = E zl (r, θ, ϕ ) MAX / (2). El nivel de radiación secundaria (N ls ) se suele medir mediante la relación del máximo 2 P IRE = P rad D = P e G. 222

223 µ Å Ô ÓÒØÓÖÒÓ Ð Ø Ð ¹ Ø ÌÓÓÛ Ý ÌÅ Ò Ka Ù ÒØ µ Å Ô ÓÒØÓÖÒÓ Ð Ø Ð Ø Ë ÒÓ Ø ½ Ò Ku ØÓ Ïµ Ù ÒØ ÙÖ ½¼º Ö Ñ Ö Ò ÖØÓ Ö Ó Ó Ù ÐÐ Ø Ð Ø Ð º del mayor de los lobulos secundario y el máximo del lóbulo principal: [ F(θ s, ϕ s ) 2 ] MAX N ls [db] = 10 log F(θ, ϕ ) 2 MAX 10 log F(θ s, ϕ s ) 2 (10.38) donde (θ s, ϕ s ) es la dirección del máximo del mayor de los lóbulos secundarios Polarización Se define en general en la dirección de máxima ganancia de la antena. Se refiere a la variación de la dirección y amplitud relativa del campo eléctrico, y en particular a la figura trazada, en función del tiempo, por el extremo del vector en un punto fijo del espacio y al sentido en el cual dicha figura es trazada [27]. Tomando en cuenta que el campo en la zona lejana tiene la forma: E = jκη 4π Si se define el vector de polarización: e jκr r N T (θ, ϕ) p(θ, ϕ) = N T(θ, ϕ) N T (θ, ϕ) 223