Tema 1. Introducción

Transcripción

1 Grado en Ingeniería Aeroespacial en Aeronavegación Tema 1. Introducción Felipe Alonso Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Telecomunicación Universidad Rey Juan Carlos

2 Bibliografía 1 D. K. Cheng. Fundamentos de electromagnetismo para ingenieros. Ed.: Pearson-Addison Wesley. Tema 2. 2 F. Alonso-Atienza. Análisis vectorial. Apuntes tema 1. 3 Tema 1. OCW Electricidad y Magnetismo. Universidad de Cantabria, F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 2 / 50

3 Índice 1 Álgebra vectorial 2 Sistemas de coordenadas 3 Campos escalares y vectoriales 4 Cálculo integral 5 Operadores espaciales F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 3 / 50

4 Escalares y vectores Magnitudes electromagnéticas: Escalares: número (+ unidades ) V ab = 4 V, q = C,... Vectores: módulo + dirección + sentido (+ unidades) E = 0.4 ux V/m, F e = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 r 2 u r N,... Campo Distribución espacial de una magnitud (escalar o vectorial), que puede ser o no función del tiempo V ab (x, y, z; t) = xy + ytz V E(r, θ, φ) = sin θ r e jβr u φ V/m F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 4 / 50

5 Nociones básicas de álgebra vectorial Sea el vector a { Módulo: a = a Dirección y sentido: u a = a a de tal forma que a = a u a En coordenadas cartesianas, a = a x u x + a y u y + a z u z Módulo: a = a 2 x + a 2 y + a 2 z Dirección y sentido: ua = a = ax ux+ay uy+az uz a a 2 x +a 2 y +a2 z F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 5 / 50

6 Suma y resta de vectores Sean los vectores a = a x u x + a y u y + a z u z y b = b x u x + b y u y + b z u z Suma de vectores: a c = a + b c = a+ b = (a x +b x ) u x +(a y +b y ) u y +(a z +b z ) u z b Resta de vectores: c = a b b a b c = a b = (a x b x ) u x +(a y b y ) u y +(a z b z ) u z F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 6 / 50

7 Producto escalar Sean los vectores a = a x u x + a y u y + a z u z y b = b x u x + b y u y + b z u z a b = a b cos θ ab = a x b x + a y b y + a z b z El resultado es un NÚMERO!!! b Representa la proyección de un vector ( b) sobre una dirección ( a). Ej: b u x = b x Si a b, entonces θab = π/2 a b = 0 a θ ab b a Conmutativa: a b = b a Distributiva: a ( b + c) = a b + a c F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 7 / 50

8 Producto vectorial Sean los vectores a = a x u x + a y u y + a z u z y b = b x u x + b y u y + b z u z a b = a b sin θ ab u n El resultado es un VECTOR!!! a b b θ ab a Módulo: a b = a b sin θab Dirección: perpendicular al plano formado por a y b Sentido: regla del sacacorchos F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 8 / 50

9 Producto vectorial Sean los vectores a = a x u x + a y u y + a z u z y b = b x u x + b y u y + b z u z En coordenadas cartesianas el producto escalar puede calcularse a partir del determinante: a u x u y u z b = a x a y a z b x b y b z = (a y b z b y a z ) u x (a x b z b x a z ) u y + (a x b y b x a y ) u z Propiedades: Anticonmutativa: a b = b a. Distributiva: a ( b + c) = a b + a c. a a = 0. F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 9 / 50

10 Check your understanding Boletín ejercicios tema 1 Ejercicios apuntes Ejercicios material complementario P.S.: Los ejercicios pueden contener erratas en la solución. F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 10 / 50

12 Sistemas de coordenadas Dependiendo de la geometría del problema a resolver se utilizará uno de los siguientes sistemas de coordenadas: Coordenadas cartesianas: (x, y, z) Coordenadas ciĺındricas: (ρ, φ, z) Coordenadas esféricas: (r, θ, φ) F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 12 / 50

13 Coordenadas cartesianas x x 1 z z 1 O P1 = P ( x1, y1, z1) P 1 ~u ẑ z ~u x xˆ ~u y ŷ y = y 1 y 1 x = x 1 z = z 1 y Un punto P está determinado por la intersección de tres planos perpendiculares: x = x 1 = cte y = y 1 = cte z = z 1 = cte Coordenadas: P 1 = P (x 1, y 1, z 1 ) Un vector A puede representarse como: A = A x + A y + A z = A x u x + A y u y + A z u z F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 13 / 50

14 Coordenadas cartesianas Diferencial de longitud: desplazamientos diferenciales en cada una de las direcciones P (x, y, z) P (x + dx, y + dy, z + dz) d ~ l z = dz~u z P (x, y, z) P (x + dx, y, z) d l x = dx u x d ~ l x = dx~u x P (x, y, z) P (x, y + dy, z) d l y = dy u y d ~ l y = dy~u y P (x, y, z) P (x, y, z + dz) d l z = dz u z d l = d l x + d l y + d l z = dx u x + dy u y + dz u z F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 14 / 50

15 Coordenadas cartesianas Diferencial de superficie: los desplazamientos generan distintas superficies diferenciales, que pueden caracterizarse como: ~u z x = cte. : d S x = dydz u x ~u y y = cte. : d S y = dxdz u y ~u x z = cte. : d S z = dxdy u z d S = dydz u x + dxdz u y + dxdy u z Diferencial de volumen: los movimientos infinitesimales definen un volumen infinitesimal dv = dxdydz Nótese que dv es un escalar F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 15 / 50

16 Ejemplo Considere los puntos P (3, 1, 3) y P (1, 3, 2) en coordenadas cartesianas. Calcule: 1 El vector r = OP 2 El vector r = OP 3 El vector R = r r 4 Distancia de P a P 5 El vector unitario u R 6 El producto escalar r r 7 El producto vectorial r r F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 16 / 50

17 Coordenadas ciĺındricas Un punto P está determinado por la ~u z intersección de tres superficies: ~u ~u ρ = ρ 1 = cte, (0 ρ < ) φ = φ 1 = cte, (0 φ 2π) z = z 1 = cte, ( < z < ) Coordenadas: P 1 = P (ρ 1, φ 1, z 1 ) Un vector A está puede representarse en coordenadas ciĺındricas como: A = A ρ + A φ + A z = A ρ u ρ + A φ u φ + A z u z F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 17 / 50

18 Coordenadas ciĺındricas Diferencial de longitud: desplazamientos diferenciales en cada una de las direcciones P (ρ, φ, z) P (ρ + dρ, φ + dφ, z + dz) d l ρ = dρ u ρ d l φ = ρdφ u φ (arco de circunferencia!) d l z = dz u z d l = d l ρ + d l φ + d l z = dρ u ρ + ρdφ u φ + dz u z F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 18 / 50

19 Coordenadas ciĺındricas Diferencial de superficie: d S = ρdφdz u ρ + dρdz u φ + ρdρdφ u z ρ = cte. : d S ρ = ρdφdz u ρ φ = cte. : d S φ = dρdz u φ z = cte. : d S z = ρdρdφ u z Diferencial de volumen: dv = ρdρdφdz F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 19 / 50

20 Relación coordenadas cartesianas-ciĺındricas u x dy dz Y x φ ρ u φ y φ u x φ u y u ρ X Coordenadas x = ρ cos φ, y = ρ sen φ, z = z. ρ = x 2 + y 2, φ = arctan ( y x), z = z. Vectores unitarios u x u y u z u ρ cos φ sin φ 0 u φ sin φ cos φ 0 u z F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 20 / 50

21 Ejemplo Sea la función A(ρ, φ, z) = 3 cos φ u ρ 2ρ u φ + z u z : 1 Evalúe A en el punto P (4, 60 o, 5) 2 Exprese P en coordenadas cartesianas 3 Exprese A P en coordenadas cartesianas F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 21 / 50

22 Coordenadas esféricas Z u r Un punto P está determinado por la intersección de tres superficies: X φ θ p r ρ u φ u θ Y r = r 1 = cte, (0 r < ) θ = θ 1 = cte, (0 θ π) φ = φ 1 = cte, (0 φ 2π) Coordenadas: P 1 = P (r 1, θ 1, φ 1 ) x φ Un vector A está puede representarse en coordenadas esféricas como: Y ρ uφ φ uy y φ uρ ux Z z θ uz ur A = θa r + A θ + A φ θ uρ = A r uθ u r + A θ u θ + A φ u φ r X ρ ρ F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 22 / 50

23 θ Coordenadas esféricas ρ r Z dr x φ ρ rdθ y r θ dθ ρ X X ρ X φ φ φ u x u φ Y dφ u y u ρ ρ u x ρdφ Y Z z θ r ρ u z Z u r θ u θ ρ u θ θ r ρ r θ dθ ρ ρdφ = r sen θdφ dr rdθ ρ ρ Diferencial de ĺınea: d l = dr u r + rdθ u θ + r sen θdφ u φ Diferencial de superficie: ds = r 2 sen θdθdφ u }{{} r + r sen θdrdφ u θ + rdrdθ u }{{} φ }{{} r=cte. θ=cte. φ=cte. Diferencial de volumen: dv = r 2 sen θdrdθdφ F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 23 / 50

24 Relación coordenadas cartesianas-ciĺındricas-esféricas Ciĺındricas-esféricas Z z θ r u z u r θ u θ ρ u θ Ciĺındricas-cartesianas x φ ρ y φ φ u x u φ Y u y u ρ Z z θ ρ ρ X z = r cos θ ρ = r sen θ φ = φ x = ρ cos φ y = ρ sen φ z = z x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ z = r cos θ F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 24 / 50

25 Relación vectores unitarios Z z x X θ φ ρ r y u z X θ ρ θ u r u ρ u θ φ u x φ u φ φ ρ Y u y u ρ r ρ Y ciĺındricas-esféricas u ρ u φ u z u r sin θ 0 cos θ u θ cos θ 0 sin θ u φ Z cartesianas-esféricas u x u y u z u r sin θ cos z φ sin θ sin φ cos θ u θ cos θ cos φθ cos r θ sin φ sin θ u φ sin φ cos φ 0 ρ ρ u z θ θ u r u ρ u θ F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 25 / 50

27 Campo escalar Se define campo escalar U como una función escalar que asocia a cada punto del espacio r un escalar: U : R 3 R Notación: U U( r) U(x, y, z) U(ρ, φ, z) U(r, θ, φ) Puede ser o no función del tiempo: U( r, t) Ejemplos: T (x, y, z) = xyz + k, temperatura en el aula. A(x, y) : altitud geográfica. V (x, y, z) : potencial eléctrico. Representación: superficies equiescalares tales que U( r) = cte. F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 27 / 50

28 Representación campo escalar U(x, y, z) U(x, y, z) = cte F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 28 / 50

29 Campo vectorial Se define campo vectorial A como una función vectorial que asocia a cada punto del espacio r un vector: ψ : R 3 R 3 Notación: A A( r) A(x, y, z) A(ρ, φ, z) A(r, θ, φ) Puede ser o no función del tiempo: A( r, t) Ejemplos: A(x, y, z) = xy ux y 2 u y + xz u z Campo gravitatorio terrestre Campos eléctrico y magnético Representación: ĺıneas de campo F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 29 / 50

30 Representación campo vectorial Campo de velocidades Campo magnético V (x, y, z) B(x, y) F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 30 / 50

32 Integral de ĺınea de un campo escalar U a lo largo de una curva C Pf P i Udl = lím l n 0 n=1 U n l n = k de un campo vectorial A a lo largo de una curva C Pf P i A d l = lím l n 0 n=1 A n l n = k circulación: C A d l d l siempre positivo. Sentido en ĺımites de integración F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 32 / 50

33 Ejemplo Calcule la circulación de F = x 2 u x xy u y y 2 u z a lo largo del camino de la figura F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 33 / 50

34 Integral de superficie de un campo escalar U en la superficie S UdS = S lím S n 0 n=1 U n S n de un campo vectorial A en la superficie S se denomina flujo Φ = S A d s Flujo mide la fuerza de un campo Convenio: d s sentido hacia fuera de una superficie cerrada (encierra un volumen) F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 34 / 50

35 Ejemplo Calcule, por integración directa: 1 El área lateral de un cilindro de radio R y altura L 2 El área de una esfera de radio R F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 35 / 50

36 Integral de volumen de un campo escalar U en un volumen V Udv = lím V v n 0 n=1 U n v n de un campo vectorial A en un volumen V V A dv = lím v n 0 n=1 A n v n Integral poco habitual El resultado es un vector F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 36 / 50

37 Ejemplo Calcule, por integración directa, el volumen de: 1 Un cilindro de radio R y altura L 2 Una esfera de radio R F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 37 / 50

39 Operadores espaciales Operador nabla (coord. cartesianas) 1 Gradiente: U vector 2 Divergencia: A escalar 3 Rotacional: A vector 4 Laplaciano: Campo escalar: 2 U = U = x u x + y u y + z u z En cartesianas: 2 U x U y U z 2 Campo vectorial: 2 A = ( A) ( A) En cartesianas: ( 2 A x, 2 A y, 2 A z) F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 39 / 50

40 Operador nabla Coordenadas cartesianas Coordenadas ciĺındricas Coordenadas esféricas = x u x + y u y + z u z = ρ u ρ + 1 ρ φ u φ + z u z = r u r + 1 r θ u θ + 1 r sin θ φ u φ F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 40 / 50

41 Gradiente Definición matemática, en cartesianas U = U x u x + U y u y + U z u z Intuición: máxima derivada direccional en el punto considerado Dirección: en la que U crece más rápidamente. Módulo: representa el ritmo de variación de U en la dirección de dicho vector gradiente En otra dirección d l, la tasa de variación de U es: du = U d l F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 41 / 50

42 Gradiente Coordenadas cartesianas Coordenadas ciĺındricas Coordenadas esféricas U = U x u x + U y u y + U z u z U = U ρ u ρ + 1 U ρ φ u φ + U z u z U = U r u r + 1 U r θ u θ + 1 U r sen θ φ u φ F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 42 / 50

43 Ejemplo Calcule el gradiente de los siguientes campos escalares: 1 V = e z sin 2x cos y 2 U = ρ 2 z cos 2φ 3 W = 10r sin 2 θ cos φ F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 43 / 50

44 Divergencia Definición matemática A = lím V 0 S A d S v Intuición: fuentes y/o sumideros de un campo. A > 0 fuente A < 0 sumidero A = 0 campo solenoidoal: ĺıneas de campo cerradas F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 44 / 50

45 Divergencia Coordenadas cartesianas Coordenadas ciĺındricas Coordenadas esféricas A = A x x + A y y + A z z A = 1 (ρ A ρ ) + 1 A φ ρ ρ ρ φ + A z z A = 1 r 2 (r 2 A r ) r + 1 (sin θa θ ) + 1 A φ r sin θ θ r sin θ φ Teorema de la divergencia S A ds = ( A) dv v F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 45 / 50

46 Ejemplo Sea el campo G = 10e 2z (ρ u ρ + u z ) Determine el flujo de G en la superficie del cilindro de radio R = 1, y de altura 0 z 1. Confirme el resultado utilizando el teorema de la divergencia F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 46 / 50

47 Rotacional Definición matemática A = ( lím S 0 L A d l S ) u n Intuición: tendencia de un campo a inducir rotaciones alrededor de un punto Propiedades: ( A) = 0. U = 0. F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 47 / 50

48 Rotacional Coordenadas cartesianas A = u x u y u z x y z A x A y A z Coordenadas ciĺındricas A = 1 ρ u ρ ρu φ u z ρ φ z A ρ ρa φ A z Coordenadas esféricas A = 1 r 2 sen θ u r ru θ r sen θu φ r θ φ A r ra θ r sen θa φ F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 48 / 50

49 Rotacional Teorema de Stokes C A d l = ( A) ds S Clasificación de los campos vectoriales Un campo vectorial A se dice solenoidal si A = 0. Un campo vectorial A se dice irrotacional si A = 0. F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 49 / 50

50 Check your understanding Las anteriores figuras muestran las ĺıneas de un campo A. Identifique cuál de las siguiente situaciones se corresponden con las anteriores figuras: 1 A = 0, A 0 2 A = 0, A = 0 3 A 0, A 0 4 A 0, A = 0 F. Alonso-Atienza Tema 1. Introducción 50 / 50