Mecánica y Ondas. Salamanca, Primer semestre

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1 Mecánica y Ondas Salamanca, Primer semestre

2 Índice 1. Preliminares Matemáticos 1 1. Sistemas de coordenadas ortonormales Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Derivada de un vector Gradiente de un escalar Divergencia de un vector Teorema de Gauss Integrales de volumen y superficie Rotacional de un vector Teorema de Stokes Integrales de línea Laplaciana de un escalar Problemas Cinemática de una partícula Sobre la noción de partícula Posición Orbita y trayectoria Velocidad Aceleración Estudio de curvas en el espacio Representación analítica de una curva Longitud de un arco de curva. Representación intrínseca Vector tangente Vector normal: Curvatura y círculo osculador Vector binormal: Torsión Triedro intrínseco de una curva en el espacio Fórmulas de Frenet Componentes intrínsecas de la aceleración i

3 ii 5. Problemas Movimiento de una partícula en tres dimensiones: Fuerzas centrales Movimiento de una partícula en tres dimensiones Segunda ley de Newton: Momento lineal Fuerzas conservativas: Conservación de la energía Fuerzas centrales: Conservación del momento angular Potencial efectivo Puntos de retroceso Estados ligados y estados de difusión El oscilador armónico tridimensional Resolución en coordenadas cartesianas Resolución en coordenadas esféricas Potencial de Coulomb Caso repulsivo Caso Atractivo Sección eficaz Concepto de sección eficaz y sección eficaz diferencial Difusión por una esfera dura Difusión de Rutherford Aproximación de ángulos pequeños Problemas Mecánica de Lagrange y Hamilton Cálculo de variaciones Funcionales integrales Principio variacional Ecuaciones de Euler-Lagrange Formulación lagrangiana para sistemas potenciales Coordenadas generalizadas Principio de Hamilton Función de Lagrange Ecuaciones del movimiento Términos de la energía cinética Potencial: Fuerzas generalizadas Momentos generalizados Sistemas con ligaduras Ligaduras holónomas Ligaduras no holónomas Ejemplos Formulación Hamiltoniana

4 4..1 Función de Hamilton Ecuaciones de Hamilton Conservación del Hamiltoniano Significado físico del hamiltoniano Problemas Mecánica relativista Relatividad en la Mecánica clásica Transformaciones de Galileo La relatividad de Galileo La mecánica clásica y La electrodinámica La Teoría del Eter Experimento de Michelson Morley Hipótesis de Fitzgerald: Experimento de Kennedy-Thorndike Hipótesis del arrastre del eter: aberración estelar y experimento de Fizeau Intentos de modificar el electromagnetismo: Experimento de De Sitter Relatividad especial Postulados básicos Transformaciones entre sistemas inerciales Transformaciones de Lorentz Consecuencias de la Relatividad especial Composición de velocidades Dilatación temporal. Tiempo propio Contracción espacial Efecto Doppler relativista Espacio de Minkovski Conservación del intervalo Espacio-tiempo cuadridimensional La partícula libre en relatividad especial Lagrangiano relativista de la particula libre Momento Hamiltoniano relativista de la particula libre Partículas con masa: Energía en reposo Energía de las partículas sin masa Interacciones relativistas Efecto Compton Efecto Fotoeléctrico Emisión de fotones Absorción de fotones Problemas iii

5 Capítulo 1. Preliminares Matemáticos 1. Sistemas de coordenadas ortonormales Sea {u 1, u 2, u 3 } un sistema de ejes coordenados perpendiculares y sean { j 1, j 2, j 3 } los respectivos vectores unitarios. Un vector r será, en este sistema: r = x 1 j 1 + x 2 j 2 + x 3 j 3 (1.1) Dado que, en general, los vectores unitarios (salvo en coordenadas cartesianas) varían de un punto a otro (dependen de las coordenadas), la diferencial de r será: d r = dx 1 j 1 + dx 2 j 2 + dx 3 j 3 + x 1 d j 1 + x 2 d j 2 + x 3 d j 3 (1.2) que es otro vector y por tanto ha de escribirse donde el indice i recorre los valores 1,2 y 3. Las cantidades h i definidas como d r = dl 1 j 1 + dl 2 j 2 + dl 3 j 3 = h i du i j i (1.3) dl i = h i du i (1.4) son los parámetros de escala que caracterizan a un sistema de coordenadas concreto. Como puede verse, el problema reside basicamente en determinar las valores d j i de los vectores de la base. Los elementos de longitud, superficie y volumen son por tanto: elemento de línea dl 1 = h 1 du 1 es el elemento de longitud cuando u 2 y u 3 permanecen constantes dl 2 = h 2 du 2 es el elemento de longitud cuando u 1 y u 3 permanecen constantes 1

6 2 Capítulo 1 dl 3 = h 3 du 3 es el elemento de longitud cuando u 1 y u 2 permanecen constantes elemento de superficie ds 1 = dl 2 dl 3 = h 2 h 3 du 2 du 3 es el elemento de superficie cuando u 1 permanece constante ds 2 = dl 1 dl 3 = h 1 h 3 du 1 du 3 es el elemento de superficie cuando u 2 permanece constante ds 3 = dl 1 dl 2 = h 1 h 2 du 1 du 2 es el elemento de superficie cuando u 3 permanece constante elemento de volumen dv = dl 1 dl 2 dl 3 = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du Coordenadas cartesianas La nomenclatura usual es: coordenadas {u 1, u 2, u 3 } = {x, y, z} (1.5)

7 Preliminares Matemáticos 3 vectores unitarios { j 1, j 2, j 3 } = { i, j, k} (1.6) donde los vectores unitarios son tangentes a la dirección de variación de las coordenadas.

8 4 Capítulo 1 Vector posición r = x i + y j + z k (1.7) Variación de los vectores unitarios En este caso los vectores unitarios son constantes por lo que la variación de r se debe solo a la variación de sus coordenadas d i = d j = d k = 0 (1.8) Variación del vector posición d r = dx i + dy j + dz k (1.9) Parámetros de escala h x = h y = h z = 1 (1.10)

9 Preliminares Matemáticos 5 Elementos de línea dl x = dx dl y = dy dl z = dz (1.11) Elementos de superficie ds x = dydz ds y = dxdz ds z = dxdy (1.12) Elemento de volumen dv = dxdydz (1.13) 1..2 Coordenadas cilíndricas La nomenclatura usual es:

10 6 Capítulo 1 coordenadas ϕ ρ {u 1, u 2, u 3 } = {ρ, ϕ, z} (1.14) donde la relación con las coordenadas cartesianas es ρ = x 2 + y 2 ϕ = arctg y x x = ρ cosϕ (1.15) y = ρ senϕ vectores unitarios

11 Preliminares Matemáticos 7 ϕ ρ Su relación con los vectores cartesianos es: { j 1, j 2, j 3 } = { j ρ, j ϕ, k} (1.16) j ρ = cos ϕ i + sin ϕ j i = cos ϕ j ρ sin ϕ j ϕ j ϕ = sin ϕ i + cos ϕ j j = sin ϕ j ρ + cos ϕ j ϕ (1.17) Vector posición r = ρ j ρ + z k (1.18) Variación de los vectores unitarios d j ρ = dϕ j ϕ d j ϕ = dϕ j ρ (1.19)

12 8 Capítulo 1 Variación del vector posición Puesto que este caso los vectores unitarios dependen de las coordenadas la variación de r se debe tanto a la variación de sus coordenadas como a la de los vectores unitarios d r = dρ j ρ + ρdϕ j ϕ + dz k (1.20) Parámetros de escala h ρ = 1 h ϕ = ρ h z = 1 (1.21) Elementos de línea dl ρ = dρ dl ϕ = ρdϕ dl z = dz (1.22) Elementos de superficie ds ρ = ρdϕdz ds ϕ = dρdz ds z = ρdρdϕ (1.23) Elemento de volumen dv = ρdρdϕdz (1.24)

13 Preliminares Matemáticos Coordenadas esféricas θ ϕ coordenadas {u 1, u 2, u 3 } = {r, ϕ, θ} donde la relación con las coordenadas cartesianas es r = x 2 + y 2 + z 2 x = r sin θ cosϕ ϕ = arctg y x y = r sin θ sin ϕ θ = arcos z r z = r cos θ (1.25) vectores unitarios { j 1, j 2, j 3 } = { j r, j ϕ, j θ } (1.26) Su relación con los vectores cartesianos es: j r = sin θ cos ϕ i + sin θsenϕ j + cos θ k j ϕ = sin ϕ i + cos ϕ j j θ = cos θ cos ϕ i + cos θ sin ϕ j sin θ k (1.27)

14 10 Capítulo 1 i = sin θ cos ϕ j r + cos θ cos ϕ j θ sin ϕ j ϕ j = sin θ sin ϕ j r + cos θ sin ϕ j θ + cos ϕ j ϕ k = cos θ j r sin θ j θ (1.28) Vector posición Variación de los vectores unitarios r = r j r (1.29) d j r = senθdϕ j ϕ + dθ j θ d j ϕ = dϕ(senθ j r + cosθ j θ ) d j θ = dθ j r + cosθdϕ j ϕ (1.30) Variación del vector posición Puesto que este caso los vectores unitarios dependen de las coordenadas la variación de r se debe tanto a la variación de sus coordenadas como a la de los vectores unitarios Parámetros de escala d r = dr j r + rsenθdϕ j ϕ + rdθ j θ (1.31) h r = 1 h ϕ = r sin θ h θ = r (1.32) Elementos de línea dl r = dr dl ϕ = r sin θdϕ dl θ = rdθ (1.33) Elementos de superficie ds r = r 2 sin θdϕdθ ds ϕ = rdrdθ ds z = r sin θdrdϕ (1.34)

15 Preliminares Matemáticos 11 Elemento de volumen dv = r 2 sin θdrdϕdθ (1.35) 2. Derivada de un vector Sea A un vector que, en un determinado sistema de coordenadas ortonormales {u 1, u 2, u 3 }, se escribe A = A 1 j 1 + A 2 j 2 + A 3 j 3 (2.1) y por tanto su derivada será: da = da 1 j 1 + da 2 j 2 + da 3 j 3 + A 1 d j 1 + A 2 d j 2 + A 3 d j 3 (2.2) Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior las expresiones en los distintos sistemas de referencia son: cartesianas da = da x j x + da y j y + da z j z (2.3)

16 12 Capítulo 1 polares da = da ρ j ρ + da ϕ j ϕ + da z k + Aρ d j ρ + A ϕ d j ϕ + A z d k (2.4) Utilizando las expresiones para las derivadas de los vectores unitarios: esféricas da = (da ρ A ϕ dϕ) j ρ + (da ϕ + A ρ dϕ) j ϕ + da z k (2.5) da = da r j r + da ϕ j ϕ + da θ j θ + A r d j r + A ϕ d j ϕ + A θ d j θ (2.6) Utilizando las expresiones para las derivadas de los vectores unitarios: da = (da r A ϕ senθdϕ A θ dθ) j r + (da ϕ + A r sin θdϕ + A θ cos θdϕ) j ϕ + 3. Gradiente de un escalar (da θ + A r dθ A ϕ cos θdϕ) j θ (2.7) Sea un escalar B. Se define como gradiente de B y se denota verifica: db = En un sistema de coordenadas ortonormales {u 1, u 2, u 3 }, forma: Dado que como vimos anteriormente dr se escribe B al vector que B. dr (3.1) B será un vector de la B = g 1 j 1 + g 2 j 2 + g 3 j 3 (3.2) dr = h 1 du 1 j 1 + h 2 du 2 j 2 + h 3 du 3 j 3 (3.3) y que db al ser la derivada de un escalar será simplemente: Substituyendo (3.2-4) en (3.1) obtenemos: db = B u 1 du 1 + B u 2 du 2 + B u 3 du 3 (3.4) B du 1 + B du 2 + B du 3 = h 1 g 1 du 1 + h 2 g 2 du 2 + h 3 g 3 du 3 (3.5) u 1 u 2 u 3 luego las componentes de g son: ( B) i = g i = 1 h i B u i (3.6)

17 Preliminares Matemáticos 13 Por tanto, teniendo en cuenta las expresiones de h i en los diferentes sistemas de coordanadas tenemos: cartesianas B = B x i + B y j + B z k (3.7) polares B = B ρ j ρ + 1 B ρ ϕ j ϕ + B z k (3.8) esféricas B = B r j r + 1 B r sin θ ϕ j ϕ + 1 B r θ j θ (3.9) 4. Divergencia de un vector 4..1 Teorema de Gauss Sea un vector A. Teorema de Gauss: Se define como divergencia de A al escalar que verifica el V. A dv = S A. ds (4.1)

18 14 Capítulo 1 Apliquemos este teorema al elemento de volumen de la figura. Se trata de un cubo de aristas dl 1, dl 2, dl 3 de manera que el elemento de volumen es dv = dl 1 dl 2 dl 3 (4.2) y las seis caras tienen por elemento de superficie ds 1 = ±dl 2 dl 3 j 1 ds 2 = ±dl 1 dl 3 j 2 ds 3 = ±dl 1 dl 2 j 3 (4.3) El signo ± se debe a que cada una de las dos caras a u i constantes tiene orientación positiva o negativa según esté dirigida en la dirección de j i o en la contraria. La integral de superficie se hace por tanto sobre las seis caras del elemento de volumen:

19 Preliminares Matemáticos Integrales de volumen y superficie V. A dl 1 dl 2 dl 3 = A 1 dl 2 dl 3 A 1 dl 2 dl 3 + u 1 +du 1 =cte u 1 =cte A 2 dl 1 dl 3 A 2 dl 1 dl 3 + u 2 +du 2 =cte u 2 =cte A 3 dl 1 dl 2 A 3 dl 1 dl 2 (4.4) u 3 +du 3 =cte u 3 =cte Substituyendo los elementos de línea. A h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 = V Teniendo en cuenta que u 1 +du 1 =cte u 2 +du 2 =cte u 3 +du 3 =cte A 1 h 2 h 3 du 2 du 3 A 2 h 1 h 3 du 1 du 3 A 3 h 1 h 2 du 1 du 2 u 1 =cte u 2 =cte u 3 =cte A 1 h 2 h 3 du 2 du 3 + A 2 h 1 h 3 du 1 du 3 + A 3 h 1 h 2 du 1 du 2 (4.5) A i h j h k (u i + du i ) A i h j h k (u i ) = du i (A i h j h k ) u i (4.6) la expresión anterior se escribe:. A h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 = V (A1 h 2 h 3 ) u 1 du 1 du 2 du 3 + (A2 h 1 h 3 ) u 2 du 1 du 2 du 3 + (A3 h 1 h 2 ) u 3 du 1 du 2 du 3 (4.7) de modo que, identificando los integrandos, tenemos: [. A 1 (A1 h 2 h 3 ) = + (A 2h 1 h 3 ) + (A ] 3h 1 h 2 ) h 1 h 2 h 3 u 1 u 2 u 3 (4.8) Aplicando esta expresión a los distintos sistemas de coordenadas: cartesianas. A = A x x + A y y + A z z (4.9)

20 16 Capítulo 1 polares esféricas. A =. A = 1 ρ [ (ρaρ ) ρ + A ϕ ϕ + (ρa ] z) z [ 1 (r 2 sin θa r ) + (ra ϕ) r 2 sin θ r ϕ + (r sin θa ] θ) θ (4.10) (4.11) 5. Rotacional de un vector 5..1 Teorema de Stokes Sea un vector A. Se define como Rotacional de A al vector que verifica el Teorema de Stokes: ( A) ds = A. dr (5.1) S c donde S es el área encerrada por una curva cerrada c. u2, u3 u2+du2, u3 u2+du2, u3+du3 u2, u3+du3 Apliquemos el teorema a la superficie ds 3 (u 3 =cte) del dibujo

21 Preliminares Matemáticos Integrales de línea ( A) 3 ds 3 = (A 1 dl 1 ) u2 + (A 2 dl 2 ) u1 +du 1 (A 1 dl 1 ) u2 +du 2 (A 2 dl 2 ) u1 (5.2) o bien: ( A) 3 h 1 h 2 du 1 du 2 = (A 1 h 1 du 1 ) u2 + (A 2 h 2 du 2 ) u1 +du 1 (A 1 h 1 du 1 ) u2 +du 2 (A 2 h 2 du 2 ) u1 (5.3) Teniendo en cuenta que: obtenemos: (A 1 h 1 ) = (A 1h 1 ) u2 +du 2 (A 1 h 1 ) u2 u 2 du 2 (A 2 h 2 ) = (A 2h 2 ) u1 +du 1 (A 2 h 2 ) u1 (5.4) u 1 du 1 ( A) 3 = 1 [ (A 2 h 2 ) ] (A 1 h 1 ) h 1 h 2 u 1 u 2 (5.5) El mismo proceso se puede aplicar a las superficies ds 1 y ds 2. El resultado es: ( A) i = 1 h j h k ɛ ijk (A kh k ) u j (5.6) que, escrito en los diferentes sistemas de coordenadas es: cartesianas A = ( Az y A y z ( Ax + z A z x ( Ay + x A x y ) i ) j ) k (5.7) polares A = 1 ( Az ρ ϕ (ρa ) ϕ) j ρ z ( Aρ + z A ) z j ϕ ρ + 1 ( (ρaϕ ) A ) ρ k (5.8) ρ ρ ϕ

22 18 Capítulo 1 esféricas A = ( 1 Aθ rsenθ ϕ (A ) ϕsenθ) j r (5.9) θ + 1 ( Ar r θ (ra ) θ) j ϕ r + 1 ( (rsenθaϕ ) A ) r j θ (5.10) rsenθ r ϕ 6. Laplaciana de un escalar Sea un escalar B, se define como laplaciana de B al escalar B que verifica B =.( B) (6.1) Según esta definición, combinando los resultados anteriores para la divergencia y el gradiente [ ( ) 1 h2 h 3 B B = + ( ) h1 h 3 B + ( )] h1 h 2 B (6.2) h 1 h 2 h 3 u 1 h 1 u 1 u 2 h 2 u 2 u 3 h 3 u 3 es decir: cartesianas polares esféricas B = 2 B x + 2 B 2 y + 2 B (6.3) 2 z 2 B = 1 ρ ρ B = 1 ( r 2 B ) + 1 r 2 r r r 2 senθ ( ρ B ) B ρ ρ 2 ϕ + 2 B (6.4) 2 z 2 ( senθ B ) + θ θ 1 2 B (6.5) r 2 sen 2 θ ϕ 2

23 Preliminares Matemáticos Problemas Enunciados 1) Hallar la relación entre los vectores unitarios en coordenadas polares y cartesianas. Calcular la variación de los vectores unitarios en coordenadas polares. 2) Hallar la relación entre los vectores unitarios en coordenadas esféricas y cartesianas. Calcular la variación de los vectores unitarios en coordenadas esféricas. 3) Hallar d r en los tres sistemas de coordenadas. 4) Hallar la posición, velocidad y aceleración en los tres sistemas de coordenadas. 5) Sea el escalar a = x + y 2 + z 2. Calcular la circulación de su gradiente cuando se pasa del extremo inferior del diámetro vertical de una circunferencia contenida en una esfera de radio r = 3 con centro en M = (2, 2, 1) al superior, siguiendo la circunferencia que se encuentra en el plano formado por su centro y el eje Z. 6) Comprobar el teorema de Gauss para el vector a = (2x 2, 4y 2, z), en la región limitada por la superficie x 2 + y 2 = 4 y los planos z = ±2. 7) Comprobar el teorema de Stokes para el vector a = (x 2y, y 2 z 3, y 3 z 2 ), en el contorno dado por x 2 + y 2 = 1, z = 0 y en el hemisferio superior de la superficie esférica que tiene por borde dicha circunferencia. 8) Demostrar que para un vector A, se satisface que ( A) = 0. Demostrar tambien que para un escalar φ se cumple que ( φ) = 0. 9)Escribir en polares la ecuación de una elipse centrada en un foco

24 20 Capítulo 1 1) Hallar la relación entre los vectores unitarios en coordenadas polares y cartesianas. Calcular la variación de los vectores unitarios en coordenadas polares. Solución j ρ se encuentra en el plano XY formando un ángulo ϕ con el eje X. Tenemos entonces j ρ = cos ϕ i + sen ϕ j j ϕ se encuentra también en el plano XY formando un ángulo (ϕ + π ) con el eje X 2 y por tanto j ϕ = sen ϕ i + cos ϕ j j z se encuentra dirigido según el eje Z, j z = k La variación de los vectores unitarios en coordenadas polares se determinará derivando las expresiones anteriores y teniendo en cuenta que los vectores unitarios en coordenadas carterianas permanecen constantes. Por lo tanto: d j ρ = ( sen ϕ i + cos ϕ j) dϕ = j ϕ dϕ d j ϕ = (cos ϕ i + sen ϕ j) dϕ = j ρ dϕ d j z = 0

25 Preliminares Matemáticos 21 2) Hallar la relación entre los vectores unitarios en coordenadas esféricas y cartesianas. Calcular la variación de los vectores unitarios en coordenadas esféricas. Solución El vector unitario j ϕ está contenido en el plano XY formando un ángulo (ϕ + π 2 ) con el eje X, j ϕ = sen ϕ i + cos ϕ j El vector unitario j r puede descomponerse en componentes según el eje Z y en el plano XY, ésta última formando un ángulo ϕ con el eje X. Por lo tanto puede escribirse: j r = cos θ k + sen θ(cos ϕ i + sen ϕ j) El vector j θ se descompone en su parte según el eje Z (con el que forma un ángulo (θ + π )) y su parte en el plano XY (que forma un ángulo ϕ con el eje X), 2 j θ = sen θ k + cos θ(cos ϕ i + sen ϕ j) Para calcular la variación de los vectores unitarios en coordenadas esféricas, basta derivar las expresiones anteriores y tener en cuenta que los vectores unitarios en coordenadas cartersianas permanecen constantes. El resultado es: d j ϕ = (sen θ j r + cos θ j θ ) dϕ d j r = dθ j θ + sen θdϕ j ϕ d j θ = dθ j r + cos θdϕ j ϕ

26 22 Capítulo 1 3) Hallar d r en los tres sistemas de coordenadas. Solución Coordenadas cartesianas Coordenadas polares r = x i + y j + z k d r = dx i + dy j + dz k r = ρ j ρ + z j z d r = dρ j ρ + ρd j ρ + dz j z = dρ j ρ + ρdϕ j ϕ + dz j z Coordenadas esféricas r = r j r d r = dr j r + rd j r = dr j r + r sen θdϕ j ϕ + rdθ j θ

27 Preliminares Matemáticos 23 4) Hallar la posición, velocidad y aceleración en los tres sistemas de coordenadas. Solución Coordenadas cartesianas Coordenadas polares Coordenadas esféricas r = x i + y j + z k v = d r dt = r = ẋ i + ẏ j + ż k a = d v dt = r = ẍ i + ÿ j + z k r = ρ j ρ + z j z v = ρ j ρ + ρ ϕ j ϕ + ż j k a = ( ρ ρ ϕ 2 ) j ρ + (2 ρ ϕ + ρ ϕ) j ϕ + z j k r = r j r v = ṙ j r + r( θ j θ + sen θ ϕ j ϕ ) a = ( r r θ 2 r sen 2 θ ϕ 2 ) j r + (2ṙ ϕ sen θ + 2 θ ϕr cos θ + r sen θ ϕ) j ϕ + (2ṙ θ + r θ r cos θ sen θ ϕ 2 ) j θ

28 24 Capítulo 1 5) Sea el escalar a = x + y 2 + z 2. Calcular la circulación de su gradiente cuando se pasa del extremo inferior del diámetro vertical de una circunferencia contenida en una esfera de radio r = 3 con centro en M = (2, 2, 1) al superior, siguiendo la circunferencia que se encuentra en el plano formado por su centro y el eje Z. Solución Teniendo en cuenta el centro M de la circunferencia, los puntos A y B en coordenadas se escribirán A = (2, 2, 4) y B = (2, 2, 2). Para calcular la circulación del gradiente de a tendremos en cuenta que éste se define como da = a. dr La circulación del gradiente de a = x + y 2 + z 2 será entonces a. dr = A B da = a(a) a(b) = = 12 Se concluye que el resultado sólo depende de los puntos inicial y final y no del camino seguido desde A hasta B.

29 Preliminares Matemáticos 25 6) Comprobar el teorema de Gauss para el vector a = (2x 2, 4y 2, z), en la región limitada por la superficie x 2 + y 2 = 4 y los planos z = ±2. Solución Sea un vector a. Se define como divergencia de a al escalar que verifica el Teorema de Gauss, ρ V. a dv = S a.d S siendo V el volumen de la región considerada y S su superficie. Calcularemos por separado ambas integrales. Por la simetría del problema es conveniente utilizar coordenadas polares. Sean S ρ, S z + y Sz las superficies que rodean la región cosiderada. La integral de superficie será por tanto a. ds = a ρ ds ρ + a z ds z a z ds z S S ρ donde a ρ a z son las componentes del vector a en las direcciones perpendiculares a la superficie, es decir: a = 2x 2 i 4y 2 j + z k = a ρ j ρ + a ϕ j ϕ + a z k S + z S z

30 26 Capítulo 1 Haciendo uso de las relaciones entre los vectores unitarios en coordenadas cartesianas y polares se tiene que S a ρ = 2ρ 2 (cos 3 ϕ 2 sen 3 ϕ) a ϕ = 2ρ 2 cos ϕ sen ϕ(cos ϕ + 2 sen ϕ) a z = z La integral de superficie puede escribirse entonces como [ 2π 2 ] a. ds = 2ρ 3 (cos 3 ϕ 2 sen 3 ϕ)dϕdz [ 2π donde hemos utilizado que ] [ 2π zρdρdϕ z= ρ=2 ] zρdρdϕ = 16π z= 2 2π 0 [ sen x (cos 3 ϕ 2 sen 3 ϕ)dϕ = 3 { cos 2 x + 2 } + cos x 3 { 2 sen 2 x + 4 }] 2π 0 = 0 Calculemos ahora la integral de volumen. El gradiente del vector a es. a = 4x 8y + 1 y por lo tanto tenemos que (. a) dv = 2π 2 2 V (4ρ cos ϕ 8ρ sen ϕ + 1) ρdρdϕdz = 16π

31 Preliminares Matemáticos 27 7) Comprobar el teorema de Stokes para el vector a = (x 2y, y 2 z 3, y 3 z 2 ), en el contorno dado por x 2 + y 2 = 1, z = 0 y en el hemisferio superior de la superficie esférica que tiene por borde dicha circunferencia. Solución Sea el vector a. Se define como rotacional de a al vector que verifica el Teorema de Stokes S ( a) ds = siendo S el área encerrada por la curva cerrada C. Para el vector C a. dr su rotacional es: a = (x 2y) i + y 2 z 3 j + y 3 z 2 k a = 2 k En esféricas Sobre la superficie esférica r = 1, 0 < ϕ < 2π, 0 < θ < π 2

32 28 Capítulo 1 El elemento de superficie es a r = cte = 1. Por tanto ds r = r 2 sin θdθdϕ j r = sin θdθdϕ j r Mientras que a = 2(cos θ j r sin θ j θ ) Por lo tanto ( a) ds = S π 2 θ=0 2π ϕ=0 Sobre la circunferencia 2 cos θ sin θdθdϕ = r = 1,, 0 < ϕ < 2π, θ = pi 2 x = cosϕ, y = sin ϕ, z = 0 ( ) π cos (2θ) 2 (ϕ) 2π ϕ=0 = 2π 2 θ=0 i = cos ϕ j r sin ϕ j ϕ, j = sin ϕ j r + cos ϕ j ϕ, k = j theta En consecuencia mientras que Por lo tanto dr = dr j r + r sin θdϕ j ϕ + rdθ j θ = dϕ j ϕ a = (cos ϕ 2 sin ϕ)(cos ϕ j r sin ϕ j ϕ ) a. dr = a. dr = 2π ϕ=0 2π ϕ=0 (cos ϕ 2 sin ϕ)( sin ϕdϕ ( ) sin 2ϕ + 1 cos ϕ dϕ = 2π 2 En polares En estas coordenadas el vector a se escribe a = (x 2y) i + y 2 z 3 j + y 3 z 2 k = = (ρ cos 2 ϕ 2ρ sen ϕ cos ϕ + ρ 2 z 3 sen 3 ϕ) j ρ + (2ρ sen 2 ϕ ρ cos ϕ sen ϕ + ρ 2 z 3 sen 2 ϕ cos ϕ) j ϕ + ρ 3 sen 3 ϕz 2 k Calculemos en primer lugar la integral de superficie. S ( a) ds = S 2π ( a) z dsz = ρdρdϕ = 2π

33 Preliminares Matemáticos 29 donde hemos utilizado ( a) z = ( ay x a ) x = 2. y Calculemos ahora la integral de linea. a. dr = a ϕ ρdϕ = 2π 0 (2ρ sen 2 ϕ ρ cos ϕ sen ϕ + ρ 2 z 3 sen 2 ϕ cos ϕ) ρdϕ La integral se lleva a cabo en la linea dada por las ecuaciones z = 0 y ρ = 1 y por tanto 2π a. dr = (2 sen 2 ϕ cos ϕ sen ϕ)dϕ = 2π 0

34 30 Capítulo 1 8) Demostrar que para un vector A, se satisface que ( A) = 0. Demostrar tambien que para un escalar φ se cumple que ( φ) = 0. Solución Por simplicidad elegimos coordenadas cartesianas..( A) = ( Az x y A ) y z + ( Ay z x A ) x y ( φ) = + y = 0 i j k x φ x y φ y z φ z ( Ax z A ) z x = 0

35 Preliminares Matemáticos 31 9)Escribir en polares la ecuación de una elipse centrada en un foco Solución donde o bien La ecuación de la elipse en cartesianas es (x c) 2 a 2 + y2 b 2 = 1 c 2 = a 2 b 2 c = aɛ con ɛ = 1 b2 a 2 En tal caso se verifican las sigientes relaciones r 1 = a c = a(1 ɛ) r 2 = a + c = a(1 + ɛ) a = r 2 + r 1 2 b 2 = r 1 r 2 c = r 2 r 1 2

36 32 Capítulo 1 Pasando la ecuacion de la elipse a polares b 2 (ρ cos ϕ c) 2 + a 2 ρ 2 (1 cos 2 ϕ) = a 2 b 2 ρ 2 cos 2 ϕ(b 2 a 2 ) 2b 2 cρ cos ϕ + b 2 c 2 b 2 a 2 + a 2 ρ 2 = 0 c 2 ρ 2 cos 2 ϕ + 2b 2 cρ cos ϕ + b 4 a 2 ρ 2 = 0 Es una ecuación de segundo grado cuya solución es: ρ cos ϕ = ±aρ b2 c Si tomamos el sino + (el signo correspondería al otro foco) ρ( a c cos ϕ) = b2 c o bien escribiéndolo en términos de r 1 y r 2 Para ϕ = 0, r = r 2, perihelio Para ϕ = π, r = r 1, afelio ρ = r 2(1 ɛ) 1 ɛ cos ϕ

37 Capítulo 2. Cinemática de una partícula 1. Sobre la noción de partícula En este curso nos referiremos principalmente a partículas puntuales, llamadas también puntos materiales, masas puntuales o simplemente partículas. Se trata de una idealización aplicable cuando lo único que interesa es conocer la posición de un punto del cuerpo porque se puede prescindir de su extensión. Es decir, cuando las dimensiones del cuerpo sean despreciables frente al problema que tratamos. Por ejemplo: en el estudio del movimiento de la tierra alrededor del sol esta se puede considerar puntual dado que su radio es de unos 6000 Km frente a la distancia al sol que son Km Posición Para introducir el concepto de movimiento de una partícula necesitamos un sistema de referencia, es decir: un origen de coordenadas, un origen de tiempos, un sistema de coordenadas y un reloj. En tal sistema de referencia la posición de una partícula vendrá descrita por su vector posición. Se dice que una partícula se encuentra en movimiento en un sistema de referencia cuando su posición respecto del origen está cambiando con el tiempo Orbita y trayectoria Con el transcurso del tiempo, la partícula describirá una curva en el espacio. Dicha curva consistirá en una determinada relación entre las coordenadas de la partícula. Si damos simplemente la relación entre las coordenadas con independencia del tiempo, estamos dando la órbita de la partícula. Si por el contrario describimos como evolucionan las coordenadas con el tiempo, nos estamos refiriendo a la trayectoria. Por ejemplo, si la curva descrita es una 33

38 34 Capítulo 2 elipse en el plano, la órbita en cartesianas será x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (1.1) mientras que la trayectoria en el caso, por ejemplo, de que se mueva con velocidad angular constante es x = a cos ω 0 t y = b sin ω 0 t (1.2) Como se ve la trayectoria ofrece la posibilidad de saber la posición de la partícula en cada instante de tiempo Velocidad Sea una partícula con vector de posición r. Su velocidad es la derivada de r con respecto al tiempo, es decir dr v = dt r r(t + δt) r(t) = lim δt 0 δt Este vector se puede calcular en los diferentes sistemas de coordenadas (1.3) cartesianas v x = ẋ v y = ẏ v z = ż (1.4) polares v ρ = ρ v ϕ = ρ ϕ v z = ż (1.5) esféricas v r = ṙ v ϕ = r sin θ ϕ v θ = r θ (1.6)

39 Cinemática de una partícula Aceleración Se llama aceleración a(t) a la segunda derivada del vector posición respecto del tiempo a(t) = r(t) = v(t) (1.7) Su expresión en los distintos sistemas coordenados es: cartesianas polares esféricas a x = ẍ a y = ÿ a z = z (1.8) a ρ = ρ ρ ϕ 2 a ϕ = ρ ϕ + 2 ρ ϕ a z = z (1.9) a r = r r θ 2 r sin 2 θ ϕ 2 a ϕ = r sin θ ϕ + 2ṙ ϕ sin θ + 2r θ ϕ cos θ a θ = r θ r sin θ cos θ ϕ 2 + 2ṙ θ (1.10) Mas adelante hablaremos de las componentes intrínsecas de la aceleración 2. Estudio de curvas en el espacio 2..1 Representación analítica de una curva Hay varias formas de describir una curva en el espacio: a) Representación paramétrica donde u es el parámetro b) Si dx du x = x(u) y = y(u) z = z(u) (2.1) 0 se puede utilizar como parámetro la propia coordenada x y = y(x) z = z(x) (2.2)

40 36 Capítulo 2 c) Intersección de dos superficies F 1 (x, y, z) = 0 F 2 (x, y, z) = 0 (2.3) Aqui utilizaremos preferentemente la forma paramétrica Longitud de un arco de curva. Representación intrínseca Dado un punto de coordenadas (x, y, z) el elemento de arco descrito cuando pasamos a otro punto (x + dx, y + dy, z + dz) a lo largo de una curva dada será que en parámetricas será: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (2.4) ds = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 du (2.5) donde el punto significa derivada con respecto al parámetro u. La integración de la expresión (2.5) nos permite expresar la longitud de arco s en función del parámetro u y por tanto utilizar el propio arco s como parámetro. Hablaremos en tal caso de representación intrínseca de la curva cuando la parametricemos en la forma r = r(s), es decir: x = x(s) y = y(s) z = z(s) (2.6) 2..3 Vector tangente Dada una curva intrínseca r = r(s), se define el vector tangente a la curva como: t = d r ds (2.7) Es fácil comprobar que se trata de un vector unitario. En efecto: t. t = d r ( d r ds.d r ds = du = (ẋ 2 + ẏ 2 + ẋ 2 ) du ds ( du ds ) ( d r. du ) du = d r ds du. d r ( ) 2 du du ds ) 2 = 1 (2.8)

41 Cinemática de una partícula Vector normal: Curvatura y círculo osculador El vector normal se define como: n = 1 k donde k es la curvatura definida como d t ds (2.9) k = d t ds (2.10) de forma que n es obviamente unitario por construcción. Si derivamos con respecto a s la expresión t. t = 1 (2.11) obtenemos t. n = 0 (2.12) de forma que t y n son ortonormales. Se define como círculo osculador en un punto r 0 de una curva al círculo, situado en el plano formado por t y n, de radio 1 k y centrado en r 0 + n k Vector binormal: Torsión Puesto que t y n son unitarios y perpendiculares podemos definir un vector unitario y perpendicular a ambos en la forma: b = t n (2.13) Por otra parte si hacemos el cálculo de la siguiente expresión n d ( b = n t d n ) ( = t n. d n ) d n ds ds ds ds ( n. t) = [ ] 1 d = t 2 ds ( n. n) = 0 (2.14) lo que significa que d b ds está en la dirección de n y por tanto d b ds El coeficiente de proporcionalidad τ, es decir, = τ n (2.15) se denomina torsión de la curva. τ = n. d b ds (2.16)

42 38 Capítulo 2 3. Triedro intrínseco de una curva en el espacio Puesto que los vectores t, n y b son unitarios y perpendiculares, en cada punto r 0 de una curva constituyen una base ortonormal intrínseca a la curva. Los tres planos definidos por estos tres vectores constituyen un triedro de planos perpendiculares que se denomina triedro intrínseco a la curva en el punto r 0. Estos planos son: Plano osculador Es el definido por t 0 y n 0 y por tanto perpendicular a b 0, es decir el formado por los puntos r tales que ( r r 0 ). b 0 = 0 (3.1) Plano normal Es el perpendicular a t 0, es decir el formado por los puntos r tales que ( r r 0 ). t 0 = 0 (3.2) Plano rectificante Es el perpendicular a n 0, es decir el formado por los puntos r tales que 3..1 Fórmulas de Frenet ( r r 0 ). n 0 = 0 (3.3) Con las definiciones anteriores es fácil comprobar que se verifican las siguientes ecuaciones, denominadas Fórmulas de Frenet. d t ds d n ds d b ds = k n = τ b k t = τ n (3.4)

43 Cinemática de una partícula 39 d ds t n b = 0 k 0 k 0 τ 0 τ 0 4. Componentes intrínsecas de la aceleración Si pasamos ahora al parámetro físico que es el tiempo, tendremos de forma que donde t n b. s = s(t) (4.1) v = d r ds ds dt = v t (4.2) v = ṡ (4.3) ya que t es unitario. Por tanto el vector velocidad es siempre paralelo al vector tangente. Si derivamos ahora (4.2) respecto al tiempo tenemos: a = v t + v d t ds ds dt = v t + v 2 k n (4.4) que es la representación intrínseca de la aceleración. Como vemos está en el plano osculador. Sus proyecciones en las direcciones de t y n reciben el nombre de: aceleración tangencial aceleración normal a t = v (4.5) a n = kv 2 (4.6)

44 40 Capítulo 2 5. Problemas Enunciados 1) Una partícula se mueve sometida a la aceleración a = 2e t i + 5 cos t j 3 sen t k En el instante t = 0 la partícula está situada en el punto i 3 j + 2 k con velocidad v 0 = 4 i 3 j + 2 k. Calcular la velocidad y la posición de la partícula en cualquier instante. 2) Encontrar la velocidad, aceleración y componentes intrínsecas de ésta para una partícula que se mueve en la elipse. x = acosωt, y = b sin ωt 3) Calcular el elemento de arco, los vectores normal, tangente y binormal y el triedro intrínseco para la curva x = R cos 2 t, y = R cos t sin t, z = R sin t 4) Hallar la longitud de arco de las siguientes curvas en los intervalos indicados: a) x = e t cos t; y = e t sen t; z = e t, desde t = 0 hasta t = 2. b) y = a arcsin x; z = a a+x ln, desde (0, 0, 0) hasta (x a 4 a x 0, y 0, z 0 ). c) x 2 = 3y; 2xy = 9z, desde (0, 0, 0) hasta (3, 3, 2). 5) Una partícula de masa m y carga q se encuentra bajo la acción de un campo magnético B = (mc/q)ω 0 k. Encontrar y analizar la curva que describe la partícula en los siguientes casos: a) Parte del origen con velocidad inicial v 0 = (0, v 0, 0). b) Parte del origen con velocidad inicial v 0 = (0, 0, v 0 ). c) Parte del punto r 0 = (x 0, 0, 0) con velocidad inicial v 0 = ω 0 x 0 (0, 1, 1). 6) Determinar para el caso c) del problema anterior la longitud de arco, los vectores tangente y normal, y el triedro intrínseco para t = 0, t = π 4ω 0 y t = π 2ω 0.

45 Cinemática de una partícula 41 7) Estudiar la curva que describe una partícula situada a t = 0 en el origen con velocidad inicial v 0 = v 0 j, si se encuentra bajo la acción de una fuerza F = m (6αt i + 6αv 0 k). Determinar asimismo la longitud de arco, los vectores tangente y normal, y el triedro intrínseco para t = 0. 8) Un bote parte desde un punto P de una orilla de un río y viaja con velocidad constante (en módulo) v en dirección hacia el punto Q que se encuentra enfrente en la otra orilla, siendo D la anchura del río. Si r es la distancia instantanea de Q al bote, θ el ángulo entre r y P Q, y la corriente del río tine a velocidad c, probar que el camino del bote viene dado por la expresión r = D sec θ (sec θ + tg θ) v/c Probar también que cuando c = v el camino es un arco de parábola. 9) Un punto describe una circunferencia de radio R en el sentido contrario a las agujas del reloj, de forma que la componente de su aceleración sobre un diámetro fijo, que se tomará como el eje de las X, es nula. Sabiendo que en el instante inicial la componente del vector velocidad paralela al citado diámetro vale v 0, hallar, en función de θ y del tiempo: a) Los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula. b) Las componentes intrínsecas del vector aceleración. 10) Un punto P de una circunferencia de radio R rueda sin resbalar sobre el eje X con velocidad angular ω. Encontrar las ecuaciones paramétricas que describen el movimiento de dicho punto. Determinar asimismo la curvatura, la velocidad y la aceleración, y las componentes intrínsecas de esta. Cuales son las velocidades mámima y mínima y a que punto de la curva corresponden?

46 42 Capítulo 2 1) Una partícula se mueve sometida a la aceleración a = 2e t i + 5 cos t j 3 sen t k En el instante t = 0 la partícula está situada en el punto r 0 = i 3 j + 2 k con velocidad v 0 = 4 i 3 j + 2 k. Calcular la velocidad y la posición de la partícula en cualquier instante. Solución Teniendo en cuenta que la aceleración es a = d v integramos para obtener la expresión del vector velocidad dt v = adt = ( 2e t i + 5 sin t j + 3 cos t k) + A siendo A un vector constante de integración que calcularemos con la condición inicial v(t = 0) = v 0. 2 i + 3 k + A = 4 i 3 j + 2 k Se tiene por tanto que A = 6 i 3 j k y la expresión para el vector velocidad es v = ( 2e t + 6) i + (5 sin t 3) j + (3 cos t 1) k Procediendo de la misma forma, el vector de posición se calculará a partir del vector velocidad como r = vdt = (2e t + 6t) i + ( 5 cos t 3t) j + (3 sin t t) k + B La condición inicial r(t = 0) = r 0 para la posición de la partícula permite ahora calcular 2 i 5 j + B = i 3 j + 2 k y por tanto B = i + 2 j + 2 k r = (2e t + 6t 1) i + ( 5 cos t 3t + 2) j + (3 sin t t + 2) k

47 Cinemática de una partícula

48 44 Capítulo 2 2) Encontrar la velocidad, aceleración y componentes intrínsecas de ésta para una partícula que se mueve en la elipse. x = acosωt, y = b sin ωt Solución El vector de posición para una partícula que se mueve en una elipse de semiejes a y b viene dado por la expresión La velocidad será entonces r = a cos ωt i + b sin ωt j v = r = ω( a sin ωt i + b cos ωt j) cuyo módulo es v = ω a 2 sin 2 ωt + b 2 cos 2 ωt La aceleración queda de la forma a = r = ω 2 r y su módulo a = ω 2 a 2 cos 2 ωt + b 2 sin 2 ωt

49 Cinemática de una partícula 45 La componente tangencial de la aceleración está dirigida en la dirección de v y su módulo es a t = v. a v = ω2 (a 2 b 2 ) sin ωt cos ωt a2 sin 2 ωt + b 2 cos 2 ωt Por lo tanto la aceleración tangencial será v a t = a t v = ω2 (a 2 b 2 ) sin ωt cos ωt a 2 sin 2 ( a sin ωt i + b cos ωt j) ωt + b 2 cos 2 ωt Teniendo en cuenta que a n = a a t tenemos que la componente normal de la aceleración es a n = abω 2 b cos ωt i + a sin ωt j a 2 sin 2 ωt + b 2 cos 2 ωt y su módulo abω 2 a n = a2 sin 2 ωt + b 2 cos 2 ωt Es fácil comprobar que se verifica a 2 = a 2 t + a 2 n.

50 46 Capítulo 2 3) Calcular el elemento de arco, los vectores normal, tangente y binormal y el triedro intrínseco para la curva Solución x = R cos 2 t, y = R cos t sin t, z = R sin t El elemento diferencial de arco viene dado por medio de la expresión ds 2 = dt 2 (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 ). En este caso ẋ = R sin 2t ẏ = R cos 2t ż = R cos t Operando obtenemos para el elemento diferencial de arco ds = R 3 + cos 2t 1 + cos 2 t dt = R dt En cuanto al vector tangente, tomará la forma t = d r dt 2 dt ds = ( sin 2t, cos 2t, cos t) 3 + cos 2t que en el punto con t = π/4 es el vector 2 3 ( 1, 0, ) 1 2

51 Cinemática de una partícula 47 Para calcular el vector normal es preciso determinar primero el vector K, K = d t dt dt ds = 2 R(3 + cos 2t) 2 ( cos 2t(6 + cos 2t) 1, sin 2t(6 + cos 2t), cos t sin 2t sin t(3 + cos 2t)) La curvatura será simplemente el módulo de K y el vector normal vendrá dado por n = 1 d t, que en el punto considerado es el vector k ds n = (0, 6, 2) El vector binormal es el vector perpendicular a t y n que en t = π/4 es b(π/4) = t(π/4) n(π/4) = (3 2, 2, 6) Por último el triedro intrínseco en t = π/4 está constituido por los planos normal, rectificante y osculador; es trivial comprobar que en este punto tienen, respectivamente, las ecuaciones 2x z = 0, 6y + 2z 4 = 0, 3 2x 2y + 6z 4 2 = 0

52 48 Capítulo 2 4) Hallar la longitud de arco de las siguientes curvas en los intervalos indicados: a) x = e t cos t; y = e t sen t; z = e t, desde t = 0 hasta t = 2. b) y = a arcsin x; z = a a+x ln, desde (0, 0, 0) hasta (x a 4 a x 0, y 0, z 0 ). c) x 2 = 3y; 2xy = 9z, desde (0, 0, 0) hasta (3, 3, 2). Solución El elemento diferencial de arco ds se determina a partir de la expresión ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 a) x = e t cos t; y = e t sen t; z = e t, En este caso tenemos la curva en forma paramétrica y por lo tanto ds 2 = dt 2 (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 ) donde el punto indica derivadas con respecto al parámetro t. Es fácil comprobar que ds = 3e t dt que una vez integrada proporciona la longitud de arco, que en el intervalo considerado será ds = e t dt = 3(e 2 1) b) y = a arcsin x; z = a a+x ln, a 4 a x En este caso el elemento diferencial de arco vendrá dado por ds 2 = dx 2 (1 + ( ) 2 dy + dx donde a partir de las expresiones para y y z se tiene ( ) ) 2 dz dx Operando obtenemos dy dx = a a2 x 2, dz dx = a 2 2(a 2 x 2 ) s = 1 2 x0 0 3a 2 2x 2 a 2 x 2 dx = x 0 + z 0 c) x 2 = 3y; 2xy = 9z, Para este caso podemos expresar y y z en función de x y = x2 3, z = 2 27 x3

53 Cinemática de una partícula 49 La longitud de arco en el intervalo indicado será simplemente 3 ( ) 2 s = 9 x2 + 1 dx =

54 50 Capítulo 2 5) Una partícula de masa m y carga q se encuentra bajo la acción de un campo magnético B = (mc/q)ω 0 k. Encontrar y analizar la curva que describe la partícula en los siguientes casos: a) Parte del origen con velocidad inicial v 0 = (0, v 0, 0). b) Parte del origen con velocidad inicial v 0 = (0, 0, v 0 ). c) Parte del punto r 0 = (x 0, 0, 0) con velocidad inicial v 0 = ω 0 x 0 (0, 1, 1). Solución La ecuación del movimiento para la partícula es, teniendo en cuenta la expresión para el campo magnético B m d v dt = q c ( v B) = mω 0 ( v k) Esta ecuación vectorial puede escribirse en componentes como dv x dt dv y dt dv z dt = ω 0 v y = ω 0 v x = 0 Integrando las ecuaciones anteriores obtenemos las expresiones para las componentes del vector velocidad v x = α sin(ω 0 t + β) v y = α cos(ω 0 t + β) v z = γ siendo α, β y γ constantes de integración. Las componentes del vector de posición se obtendrán trás una nueva integración: x = a α ω 0 cos(ω 0 t + β) y = b + α ω 0 sin(ω 0 t + β) z = c + γt Tenemos por lo tanto seis constantes de integración a determinar con las condiciones iniciales correspondientes a cada uno de los casos.

55 Cinemática de una partícula 51 a) La partícula parte del origen con velocidad inicial v 0 = (0, v 0, 0). Las constantes de integración con estas condiciones iniciales son β = 0, α = v 0, γ = 0 y a = α/ω 0, b = c = 0. Sustituyendo los valores anteriores el resultado es x = v 0 ω 0 (1 cos ω 0 t) y = v 0 ω 0 sin ω 0 t z = 0 Las ecuaciones anteriores constituyen la trayectoria de la partícula bajo esas condiciones iniciales. Es fácil comprobar que, eliminando entre ellas el tiempo, la órbita que describe la partícula en este caso es la circunferencia de radio v 0 /ω 0 y con centro en el punto (v 0 /ω 0, 0), ( x v ) 2 ( ) y 2 v0 = ω 0 ω 0 b) En este caso suponemos que la partícula parte del origen con velocidad v 0 = (0, 0, v 0 ). Las constantes de integración son ahora α = 0, γ = v 0 y a = b = c = 0; la sustitución de estos valores en las ecuaciones nos dan para la trayectoria una linea recta de ecuación z = v 0 t c) La partícula parte del punto r 0 = (x 0, 0, 0) con velocidad v 0 = (0, ω 0 x 0, ω 0 x 0 ), en cuyo caso los valores para las constantes de integración son α = x 0 ω 0, β = 0, γ = x 0 ω 0, a = 2x 0 y b = c = 0. Las ecuaciones de la trayectoria son x = 2x 0 x 0 cos ω 0 t y = x 0 sin ω 0 t z = x 0 ω 0 t que corresponden a las ecuaciones paramétricas de una espiral cilíndrica como la de la figura

56 52 Capítulo

57 Cinemática de una partícula 53 6) Determinar para el caso c) del problema anterior la longitud de arco, los vectores tangente y normal, y el triedro intrínseco para t = 0, t = π 4ω 0 y t = π 2ω 0. Solución Consideremos los resultados obtenidos en el apartado c) del problema anterior. El vector de posición de la partícula es r = (x 0 cos ω 0 t, x 0 sin ω 0 t, x 0 ω 0 t) y por tanto el elemento diferencial de arco ds será ds = 2x 0 ω 0 dt Se define el vector tangente a una curva como el vector t = d r, que para nuestro ds caso será t = d r ds = d r dt dt ds = 1 ( sin ω 0 t, cos ω 0 t, 1) 2 El vector normal se define como n = 1 K y por tanto d t, donde ds K = d t ds = d t dt dt ds = 1 ( cos ω 0 t, sin ω 0 t, 0) 2x 0 n = ( cos ω 0 t, sin ω 0 t, 0) siendo la curvatura K = 1/(2x 0 ). El vector binormal será b = t n = 1 2 (sin ω 0 t, cos ω 0 t, 1) La torsión de una curva viene definida a partir de la derivada con respecto al arco del vector binormal τ = n. d b ds = 1 2x 0 Calculemos ya el triedro intrínseco a la curva en cada punto dado por el vector de posición r 0. Se trata de un conjunto de tres planos construidos a partir de los vectores tangente, normal y binormal. El plano osculador, definido por t 0 y n 0 y por tanto perpendicular al vector b 0, dado por la ecuación ( r r 0 ). b 0 = 0 El plano normal, definido por n 0 y b 0 y por tanto perpendicular al vector t 0, dado por la ecuación ( r r 0 ). t 0 = 0

58 54 Capítulo 2 El plano rectificante, definido por t 0 y b 0 y por tanto perpendicular al vector n 0, dado por la ecuación ( r r 0 ). n 0 = 0 Veamos cuales son dichos planos para cada uno de los valores de t del enunciado. 1) t = 0 Los vectores de posición, tangente, normal y binormal son en este caso r 0 = (x 0, 0, 0), t 0 = 1 2 (0, 1, 1) n 0 = ( 1, 0, 0), b0 = 1 2 (0, 1, 1) El triedro intrínseco está constituido por los planos z y = 0, y + z = 0, x = x 0 2) t = π 4ω 0 Los vectores de posición, tangente, normal y binormal son en este caso r 0 = x 0 ( 1 2, 1 2, π 4 ), t 0 = 1 ( 1, 2 2 n 0 = 1 2 ( 1, 1, 0), b0 = 1 2 ( 1 2, 1 2, 1 El triedro intrínseco está constituido por los planos ) 1, 1 2 ) 1 2 (x y) + z = π 4 x 0, x + y = 2x 0, 1 2 (y x) + z = π 4 x 0 3) t = π 2ω 0 Los vectores de posición, tangente, normal y binormal son en este caso r 0 = ( 0, x 0, π ) 2 x 0, t 0 = 1 ( 1, 0, 1) 2 n 0 = (0, 1, 0), b0 = 1 2 (1, 0, 1) El triedro intrínseco está constituido por los planos x + z = π 2 x 0, z x = π 2 x 0, y = x 0

59 Cinemática de una partícula 55 7) Estudiar la curva que describe una partícula situada a t = 0 en el origen con velocidad inicial v 0 = v 0 j, si se encuentra bajo la acción de una fuerza F = m(6αt i+ 6αv 0 k). Determinar asimismo la longitud de arco, los vectores tangente y normal, y el triedro intrínseco para t = 0. Solución La segunda ley de Newton nos proporciona la ecuación del movimiento F = m d2 r dt = m(6αt i + 6αv 0 k) Integrando la ecuación anterior podemos calcular las componentes del vector de posición x = αt 3 + at + x 0 y = bt + y 0 z = z 0 + ct + 1 6αv0 t 2 2 donde a, b, c, x 0, y 0, z 0 son constantes de integración a determinar haciendo uso de las condiciones iniciales. Teniendo en cuenta que la partícula parte del reposo con velocidad v 0 = (0, v 0, 0), tenemos que estas constantes toman los valores a = c = x 0 = y 0 = z 0 = 0 y b = v 0. La trayectoria para la partícula es x = αt 3 y = v 0 t z = 1 6αv0 t 2 2

60 56 Capítulo 2 Pasemos ya a analizar la curva anterior. En primer lugar calculamos el elemento diferencial de arco que será de la forma ds = (3αt 2 + v 0 ) dt Los vectores tangente, normal y binormal quedan n = 1 K t = d r ds = 1 v 0 + 3αt 2 ( 3αt 2, v 0, 6αv 0 t ) d t ds = K = d t ds = 1 ( 6αv0 t, 6αv v 0 + 3αt 2 0 t, v 0 3αt 2) b = t n = y la curvatura y la torsión toman el mismo valor 1 ( v0, 3αt 2, 6αv v 0 + 3αt 2 0 t ) K = τ = 6αv0 (v 0 + 3αt 2 ) 2 Por último, para calcular el triedro intrínseco en t = 0, utilizamos los vectores r 0 = (0, 0, 0), t 0 = (0, 1, 0), n 0 = (0, 0, 1), b 0 = (1, 0, 0). Los planos osculador, normal y rectificante tienen por ecuaciones, respectivamente, x = 0, y = 0, z = 0

61 Cinemática de una partícula 57 8) Un bote parte desde un punto P de una orilla de un río y viaja con velocidad constante (en módulo) v en dirección hacia el punto Q que se encuentra enfrente en la otra orilla, siendo D la anchura del río. Si r es la distancia instantanea de Q al bote, θ el ángulo entre r y P Q, y la corriente del río tine a velocidad c, probar que el camino del bote viene dado por la expresión r = D sec θ (sec θ + tg θ) v/c Probar también que cuando c = v el camino es un arco de parábola. Solución ϕ La velocidad del bote escrita en el sistema de coordenadas con vectores unitarios j r y j ϕ viene dada por u = (c cos ϕ v) j r c sin ϕ j ϕ En estas coordenadas el vector velocidad se escribe en general en la forma u = ṙ j r + r ϕ j ϕ Comparando las dos expresiones anteriores tenemos las ecuaciones diferenciales ṙ = c cos ϕ v, r ϕ = c sin ϕ Interesa determinar una relación entre r y ϕ. Las ecuaciones anteriores proporcionan la ecuación diferencial dr dϕ = dr dt dt dϕ = ṙ ϕ = r c cos ϕ v c sen ϕ

62 58 Capítulo 2 La solución de esta ecuación es r = r 0 (tg(ϕ/2)) v/c sin ϕ siendo r 0 la constante de integración a determinar utilizando las condiciones iniciales r(π/2) = D. El valor para esta constante es entonces r 0 = D, y en consecuencia r = D (senϕ/2) v/c 1 2 (cosϕ/2) v/c+1 1 Caso c<vo, c=vo que proporciona la expresión para el camino que sigue el bote. Consideremos ahora el caso particular en el cual c = v; el camino vendrá dado simplemente por D r = 2(cosϕ/2) 2 Pasando a coordenadas cartesianas, teniendo en cuenta que x = r cos ϕ, y = r sen ϕ es fácil ver que la expresión para el camino seguido por el bote se escribe en este caso particular como y por tanto x = D ( 2 ) 1, y = 2D sen(ϕ/2) cos 2 (ϕ/2) cos(ϕ/2) ( y 2 = 2D x D ) 2 Se trata por lo tanto de una parábola con vértice en el punto (D/2, 0) y foco en el origen de coordenadas.

63 Cinemática de una partícula 59 1 Caso c>vo 0 Volviendo al caso general en el cual v c, las expresiones correspondientes para x e y son x = D 2 y = D 2 (senϕ/2) v/c 1 cos ϕ (cosϕ/2) v/c+1 (senϕ/2) v/c 1 sen ϕ (cosϕ/2) v/c+1 Para el instante inicial en el cual el bote se encuentra en el punto P, ϕ = π/2 y se tiene que x = 0, y = D. Para un valor del ángulo ϕ = 0, el bote llegará a la orilla opuesta y entonces y = 0 mientras que el valor de la coordenada x depende del valor de v/c. Si v/c > 1 entonces x = 0, y si v/c < 1 el eje X es una asintota de la curva. Como vimos anteriormente, para el caso particular en que v = c la coordenada x para ϕ = 0 es exactamente x = D/2. Por lo tanto para que el bote llegue a la otra orilla es condición necesaria que v > c. En el caso particular v = c el bote alcanzará la otra orilla pero no en el punto Q, sino que lo hará a una distancia D/2 de Q. Las gráficas muestran el camino seguido por el bote en los distintos casos