Teoría Electromagnética. Escalar: Número, cantidad: masa, carga, temperatura, volumen, edad, altura, etc.

Transcripción

1 Apéndice A: Cálculo Vectorial Escalar: Número, cantidad: masa, carga, temperatura, volumen, edad, altura, etc. Vector: Número + Dirección: velocidad, aceleración, desplazamiento, fuerza, campos, etc. F 1 F 2 W F 3 1

2 Suma: Operaciones algebraicas: B A B A C=A+B Resta: B C=A-B A A C=A-B B a) b) 2

3 Multiplicación por un escalar: A 2A -A -2A 3

4 Producto Escalar (Producto Punto): vector vector escalar A B = ABcosα B α A 4

5 El Producto Escalar es: Conmutativo: A B = B A Y distributivo: A (B + C) = A B + A C Magnitud de un vector: A A = AA cos(0) = A 2 A = A A Vector unitario (magnitud = 1): n ˆ = 5 n n n

6 Ejemplo A.1 Ley de los Cosenos: B C=A-B α A C C = (A B) (A B) = A A A B B A + B B C 2 = A 2 + B 2 2ABcosα 6

7 Producto Vectorial (Producto Cruz): vector vector vector A B = (ABsenα)ˆ n Saliendo n^ B α Entrando A Regla de la mano derecha: Los dedos de la mano derecha apuntan en dirección del primer vector (A); se enroscan hacia el segundo (B) a través del ángulo más pequeño (α); el pulgar apunta en dirección de n ˆ. 7

8 El producto cruz es: No conmutativo: Sí es distributivo: A B = B A A (B + C) = A B + A C Si los vectores A y B son paralelos: A B = 0 8

9 Geométricamente: A B = área de la superficie definida por A y B A B área vector 9

10 Productos múltiples: Producto de un vector por un producto punto: A(B C) = (B C)A Producto cruz de un vector por un producto cruz: A (B C) = B(A C) C(A B) Producto punto de un producto cruz: A (B C) = B (C A) = C (A B) 10

11 Volumen de paralelepípedo de lados A, B y C: C B A τ = C (A B) 11

12 Cartesiano Derecho: Sistemas Coordenados: z d (x,y,z) (x o,y o,z o ) d o ^i ^ k ^ j y x d o = x oˆ i + y oˆ j + z o ˆ k d = (x x o )ˆ i +(y y o )ˆ j + (z z o ) ˆ k 12

13 Distancia entre dos puntos: {[ ] d = (x x o )ˆ i + (y y o )ˆ j + (z z o )ˆ k [ ]} 1/ 2 (x x o )ˆ i + (y y o )ˆ j + (z z o )ˆ k ˆ i ˆ j = ˆ i k ˆ = ˆ j k ˆ = 0 ˆ i ˆ i = ˆ j ˆ j = k ˆ k ˆ =1 d = (x x o ) 2 +(y y o ) 2 +(z z o ) 2 13

14 Producto Escalar en Coordenadas Cartesianas: A B = (A xˆ i + A yˆ j + A z ˆ k ) (B xˆ i + B yˆ j + B z ˆ k ) = A x B x + A y B y + A z B z Producto Vectorial en Coordenadas Cartesianas: ˆ i i ˆ = ˆ j ˆ j = k ˆ k ˆ = 0 ˆ i ˆ j = ˆ j ˆ i = k ˆ ˆ j k ˆ = k ˆ ˆ j = ˆ i ˆ k ˆ i = ˆ i ˆ k = ˆ j 14

15 A B = ˆ i ˆ j ˆ k A x A y A z = B x B y B z (A y B z A z B y )ˆ i + (A z B x A x B z )ˆ j +(A x B y A y B x ) ˆ k Volumen: C ( A B) = C x C y C z A x A y A z B x B y B z 15

16 Esférico: z (r,θ,φ) r^ ^φ θ r ^ θ y φ x 0 r + 0 θ π 0 φ 2π 16

17 Equivalencia con sistema cartesiano: x = rsenθcosφ y = rsenθsenφ z = rcosθ Transformaciones inversas: r = x 2 + y 2 +z 2 θ = cos 1 z x 2 + y 2 + z 2 = tan 1 x 2 + y 2 z φ = tan 1 y x 17

18 Distancia del origen a cualquier punto: Vectores unitarios: d = rˆ r r ˆ = senθcosφˆ i +senθsenφˆ j + cosθk ˆ θ ˆ = cosθcosφˆ i + cosθsenφˆ j senθˆ k φ ˆ = senφˆ i + cosφˆ j ˆ i = senθcosφˆ r +cosθcosφˆ θ senφˆ φ ˆ j = senθsenφˆ r + cosθsenφˆ θ + cosφˆ φ k ˆ = cosθˆ r senθˆ θ 18

19 Derivadas de vectores unitarios: ˆ r θ = cosθcosφˆ i + cosθsenφˆ j senθˆ k = θ ˆ ˆ r φ = senθsenφˆ i + cosθcosφˆ j ˆ θ θ = senθcosφˆ i senθsenφˆ j cosθˆ k = ˆ r ˆ θ φ = cosθsenφˆ i + cosθcosφˆ j ˆ φ φ = cosφˆ i senφˆ j 19

20 Producto Escalar en coordenadas Esféricas: A B = (A rˆ r + A θˆ θ + A φˆ φ ) (B rˆ r + B θˆ θ + B φˆ φ ) = A r B r + A θ B θ + A φ B φ Producto Vectorial en Coordenadas Esféricas: A B = r ˆ ˆ θ ˆ φ A r A θ A φ = B r B θ B φ (A θ B φ A φ B θ )ˆ r + (A φ B r A r B φ )ˆ θ + (A r B θ A θ B r ) φ ˆ 20

21 Cilíndrico: z ^k ^φ r r^ (r,φ,z) d o y φ x 0 r + 0 φ 2π z + 21

22 Equivalencia con sistema cartesiano: x = rcosφ y = rsenφ z = z Transformaciones Inversas: r = x 2 + y 2 φ = tan 1 z = z y x 22

23 Distancia del origen a cualquier punto: d o = rˆ r + zˆ k d o = r 2 + z 2 Vectores unitarios: r ˆ = cosφˆ i + senφˆ j φ ˆ = senφˆ i + cosφˆ j k ˆ = k ˆ ˆ i = cosφˆ r senφˆ φ ˆ j = senφˆ r +cosφˆ φ k ˆ = k ˆ 23

24 Derivadas de vectores unitarios: ˆ r φ = senφˆ i + cosφˆ j ˆ φ φ = cosφˆ i senφˆ j = ˆ r Producto Escalar en Coordenadas Cilíndricas: A B = (A rˆ r + A φˆ φ + A z k ˆ ) (B rˆ r + B φ φ ˆ + B z k ˆ ) = A r B r + A φ B φ + A z B z 24

25 Producto Vectorial en Coordenadas Cilíndricas: A B = r ˆ ˆ φ ˆ k A r A φ A z = B r B φ B z (A φ B z A z B φ )ˆ r + (A z B r A r B z ) φ ˆ + (A r B φ A φ B r ) k ˆ 25

26 Operaciones diferenciales: Gradiente Divergencia Rotacional Operador diferencial Del ( Nabla ): Cartesianas: Esféricas: x ˆ i + y ˆ j + z ˆ k r r ˆ + 1 r θ ˆ θ + 1 rsenθ φ ˆ φ 26

27 Cilíndricas: r r ˆ + 1 r φ ˆ φ + z ˆ k Gradiente: Del actúa sobre una función escalar vector f = F F: dirección de máximo cambio de la función escalar F: pendiente en un punto dado 27

28 Ejemplo A.2.-Temperatura panel solar: T(x,y) = 25 [ 2 xy 5y2 2x +17y 4] 28

29 T(x,y) = T x ˆ i + T y ˆ j = 25 2 (y 2) i ˆ + 25 (x 10y +17) 2 ˆ j T(x = 4,y = 0) = 25ˆ i + (525/ 2)ˆ j T(x = 4,y = 0) = ( 25) 2 + (525/2) 2 = C/ m T(x = 2,y = 1.5) = ( 25/ 4)ˆ i + 50ˆ j T(x = 2,y =1.5) = ( 25/ 4) 2 + (50) 2 = C/ m 29

30 25 2 (y m 2) = 0 y m = (x m 10y m +17) = 0 x m = 3 T(x m,y m ) = 25 [ 2 (3)(2) 5(2)2 2(3)+17(2) 4] = 125 C Divergencia: Del actúa sobre una función vectorial escalar E = f 30

31 E = > 0 campo divergente : fuente 0 campo no divergente < 0 campo convergente : sumidero P P P 31

32 Rotacional: Del actúa sobre una función vectorial vector H = J 32

33 Derivadas de productos: ( fg) = f g + g f ( A B) = A ( B) +B ( A) + ( A )B + ( B )A ( fa) = f( A) + A ( f) ( A B) = B ( A) A ( B) ( A B) = ( B )A ( A )B + A( B) B( A) ( fa) = f( A) A ( f) 33

34 Derivadas de segundo orden: ( A) = 2 A + ( A) ( f ) = 2 f ( A) = 0 ( f ) = 0 ( A) = ( A) 2 A 2 A = ( A) ( A) 34

35 Operaciones integrales: integral de un vector línea superficie volumen Integral de un vector: Sigue siendo un vector El vector unitario debe ser constante x 1 x o ( xyzˆ i + y 3ˆ j + xz 2ˆ k )dx = 1 2 x2 yzˆ i + xy 3ˆ j x2 z 2 k ˆ x 1 x o 35

36 = 1 2 yz ( x x o )ˆ i + y 3 ( x 1 x o )ˆ j z2 ( 2 x 1 2 xo )ˆ k x 1 xyzdxˆ r 1 2 yz ( x x o )ˆ r x o r ˆ no es constante r ˆ = f ˆ i, ˆ j, k ˆ r ˆ = senθcosφˆ i + senθsenφˆ j + cosθk ˆ ( ) = x x 2 + y 2 + z 2 ˆ i + y x 2 + y 2 + z 2 ˆ j + z x 2 + y 2 + z 2 ˆ k 36

37 x 1 xyzdxˆ r x o = yz 2 x 2 1 x 1 + y 2 + z 2 y 2 + z 2 ( ) ln x 1 + x y 2 + z 2 x o x o 2 + y 2 + z 2 + y 2 + z 2 ( ) ln x o + x o 2 + y 2 + z 2 i ˆ +y 2 { z x y 2 + z 2 x 2 o + y 2 + z 2 }ˆ j + yz 2 x o 2 + y 2 + z 2 x o 2 + y 2 + z 2 { } ˆ k 37

38 Integral de línea: escalar b a F dl F dl Cartesiano: dl = dxˆ i + dyˆ j + dz ˆ k Esférico: dl = drˆ r + rdθ ˆ θ + rsenθdφ ˆ φ Cilíndrico: dl = drˆ r + rdφ ˆ φ + dz ˆ k 38

39 Ejemplo A.3.- F(x,y,z) = 3x2ˆ i + 2xzˆ j y 2 k ˆ (x o, y o, z o ). (0, 0, 0) Forma incorrecta: F dl = ( 3x 2ˆ i + 2xzˆ j y 2ˆ k ) dxˆ i + dyˆ j + dzk ˆ ( ) x o y o z o = 3x 2 dx + 2xzdy y 2 dz o o o = x o 3 + 2xy o z y 2 z o 39

40 Forma correcta: Se define una trayectoria z (x o,y o,z o ) III I y (x o,0,0) (x o,y o,0) II x Sub-trayectoria I: x: x=0 x=xo dx 0 y: y=0 y=0 dy=0 z: z=0 z=0 dz=0 40

41 x o x o I F dl = 3x 2ˆ i dxˆ i = 3x 2 3 dx = x o 0 0 Sub-trayectoria II: x: x=xo x=xo dx=0 y: y=0 y=yo dy 0 z: z=0 z=0 dz=0 y o y o F dl = 2xzˆ j dyˆ j = 2x o (0)dy = 0 II

42 Sub-trayectoria III: x: x=xo x=xo dx=0 y: y=yo y=yo dy=0 z: z=0 z=zo dz 0 z o z o F dl = y 2ˆ k dz k ˆ = 2 y odz III 0 0 = y o 2 zo F dl = I F dl + F dl + F dl II III = x o y o 2 z o = x o 3 y o 2 z o 42

43 Ejemplo físico: Trabajo W = F dl II b a I 43

44 Integral de superficie: escalar F da F da Cartesianas: da = ±dydzˆ i Esféricas: da = ±r 2 senθdθdφˆ r da = ±dxdzˆ j da = ±rdrdθˆ φ da = ±dxdy ˆ k da = ±rsenθdrdφ ˆ θ Cilíndricas: da = ±rdφdzˆ r da = ±drdzˆ φ da = ±rdrdφˆ k 44

45 Ejemplo A.4.- F(x,y,z) = 3x2 yˆ i + xyzˆ j y 3ˆ k z da V (0,0,c) da II da IV (a,0,0) da I (0,b,0) da III y x da VI 45

46 Cara anterior: da = +dydzˆ i x=a I F da = 3x 2 yˆ i dydzˆ i b c = 3a 2 ydydz = 3a 2 ydy dz = 3 2 a2 b 2 c 0 0 Cara posterior: da = dydzˆ i x=0 F da = 3x 2 yˆ i ( dydzˆ i ) = 3(0) 2 ydydz = II 0 46

47 Cara derecha: da = +dxdzˆ j y=b F da = xyzˆ j dxdzˆ j III a c = xyzdxdz = b xdx zdz = 1 4 a2 bc Cara izquierda: da = dxdzˆ j y=0 F da = xyzˆ j ( dxdzˆ j IV ) = x(0)zdxdz = 0 47

48 Cara superior: da = +dxdyˆ k z=c. V F da = ( y 3ˆ k ) dxdyˆ k a b Cara inferior: = y 3 dxdy = dx 0 0 da = dxdyˆ k z=0 y 3 dy = 1 4 ab4 F da = ( y 3ˆ k ) ( dxdyk ˆ ) VI a b = + y 3 dxdy = dx 0 0 y 3 dy = 1 4 ab4 48

49 Total: VI i=i F da = F da i = 3 2 a2 b 2 c a2 bc ab ab3 F da = 1 4 a2 bc(6b + c) Flujo de F F da = a través de superficie 49

50 Integral de volumen: escalar τ = volumen Cartesianas: dτ = dxdydz Esféricas: dτ = r2 senθdrdθdφ Cilíndricas: dτ = rdrdφdz Ejemplo A.5.-Volumen de esfera de radio R. τ = dτ = r2 senθdrdθdφ 50

51 z dτ y R x R 0 r 2 dr π 0 2π senθdθ dφ = 1 3 R3 (2)(2π) = 4 3 πr3 0 51

52 Teoremas fundamentales: Del De la Del Gradiente Divergencia Rotacional Teorema fundamental del gradiente: b ( f ) dl = f (b) f(a ) a ( f ) dl = 0 52

53 Teorema fundamental de la divergencia: ( F) dτ = F da da superficie cerrada que envuelve al volumen dτ. Ejemplo A.6.-Teorema de la Divergencia usando F(x,y, z) = 3x 2 yˆ i + xyzˆ j y 3ˆ k y el volumen definido por un paralelepídedo regular de lados x=a, y=b, y z=c. F = x ˆ i + y ˆ j + k z ˆ 3x 2 yˆ i + xyzˆ j y 3ˆ k ( ) = 6xy + xz = x(6y + z) 53

54 ( F)dτ = x(6y+ z)dxdydz a b c = xdx (6y + z)dydz b = 1 2 a2 6yc c2 dy = 1 4 a2 bc(6b + c) 0 ( F)dτ = 1 4 a2 bc(6b + c) 54

55 Teorema fundamental del rotacional: ( F) da = F dl dl perímetro que define la superficie abierta da. Si: F = f F = 0 ( f ) = 0 El rotacional de un gradiente es siempre cero 55