Adelantando las estimaciones fasoriales bajo oscilaciones de potencia

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1 Adelantando las estimaciones fasoriales bajo oscilaciones de otencia José Antonio de la O Serna FIME-UANL jdelao@mail.uanl.mx RESUMEN El rincial objetivo de este trabajo es la reducción del retraso y de la comlejidad comutacional en las estimaciones fasoriales, calculadas bajo oscilaciones del sistema de otencia. Se roonen diferentes aroximaciones al fi ltro Coseno Elevado, cuya imlementación de fase mínima reduce a la mitad el retraso de las estimaciones fasoriales, con transitorios más cortos y sin distorsión signifi cativa de fase. La comlejidad comutacional de los estimados se reduce en un factor de diez, con fi ltros de resuesta imulsional infi nita sin afectar signifi cativamente el retraso, con una distorsión en fase mayor, y con transitorios más rolongados. Esta solución odría ser muy útil en imlementaciones en las cuales la comlejidad comutacional revalece sobre el retraso y la distorsión. PALABRAS CLAVE Fasorial, filtros FIR, filtros IIR, filtros digitales. ABSTRACT The urorse of this work is to minimize delay and comutational comlexity of hasor estimates under ower oscillations. Different aroximations to the Raised Cosine (RC) fi lter lead to a reduction in delay and comutational comlexity of the hasor estimates are roosed. The minimum-hase imlementation of the linear--hase RC fi lter reduces the delay of the hasor estimates by a half, with a shorter transient, and without introducing signifi cant hase distortion. The comutational comlexity of the estimates is reduced by a factor of ten with infi nite imulse resonse (IIR) fi lters without signifi cant delay reduction, with hase distortion, and longer transient behavior. This solution could be useful for imlementations in which the concern about comutational comlexity revails over the concern about delay and distortion. KEYWORDS Phasor, FIR filter and IIR filter digital filters. INTRODUCCIÓN La estimación de fasores bajo oscilaciones de sistemas de otencia es un reto ingenieril interesante. Las alicaciones modernas de control y monitoreo de sistemas eléctricos de otencia reuieren mediciones fasoriales ráidas, recisas, y confiables ara asegurar el flujo de otencia máximo mientras reservan un 66 Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No. 39

2 alto nivel de seguridad y calidad de energía. En el diseño de controladores retroalimentados remotos, emleando mediciones fasoriales sincronizadas, el retraso entre la salida del sistema y la entrada del controlador es un factor crucial ara garantizar la robustez del controlador. 1, 2 Un controlador robusto es esencial ara mitigar las oscilaciones intra-área y otimizar el rendimiento dinámico de un sistema de otencia grande. Pero el tiemo de retraso de la señal de salida en el lazo de control no sólo deende del sistema de transmisión, sino del retraso debido al filtro digital utilizado ara estimar los fasores en las unidades de medición fasorial (PMU). También deende del tio de enlace de comunicación usado or el controlador. El retraso romedio de comunicación ara un enlace satelital uede ser de hasta 12 ms, 1 ara canales de microondas 4 ms, ero uede ser tan corto como decenas de milisegundos ara un enlace de fibra ótica. De hecho, se ha definido 4 ms como lazo de entrega a tiemo en enlaces Ethernet bajo la norma Utility Communication Architecture (UCA-IEC6185). Así, ara sistemas de transmisión ráida de datos, el retraso entre la señal de salida y su estimación fasorial es la comonente redominante, y or tanto su reducción es crucial ara las alicaciones de control moderno. En, 3 la velocidad y recisión de las estimaciones fasoriales, calculadas bajo oscilaciones de otencia fueron mejoradas sustancialmente usando la imlementación del filtro Coseno Elevado (Raised Cosine, RC) en resuesta imulsional finita (FIR), con resecto a las obtenidas con el filtro tradicional de Fourier, utilizado en las alicaciones comerciales. Dicho artículo suscitó las siguientes objeciones: Porué no utilizar un filtro de resuesta imulsional infinita (IIR) en vez de la solución FIR rouesta? Desués de todo la imlementación de un filtro IIR reuiere menos coeficientes, y or tanto menos memoria y comlejidad comutacional. También suscitó cuestiones acerca de una osible reducción adicional del retraso de los estimados rouestos. Estas objeciones son tan legítimas e imortantes, ue este artículo aborda ambos temas, considerando rimero la versión de fase mínima de la imlementación FIR y varias aroximaciones IIR a la resuesta en frecuencia del filtro RC. Su versión en inglés se uede encontrar en. 4 Los resultados obtenidos son muy interesantes. En articular, los filtros de fase mínima reducen a menos de la mitad el retraso de la imlementación de fase lineal. Por otra arte, las imlementaciones IIR disminuyen la comlejidad comutacional or un factor del orden de diez ara alicaciones en las cuales retraso y distorsión no son relevantes. Esta investigación fue motivada considerando la fuerte similitud ue existe entre el roceso de estimación fasorial bajo oscilaciones de otencia y el roceso de detección llevado a cabo en el recetor digital de un sistema de transmisión digital. Aun cuando no sean llamados fasores los untos de una constelación en el lano comlejo, calculados a artir de las señales recibidas en el recetor, se trata en realidad de fasores de la señal ortadora. Así, el mejor modelo ara las señales de voltaje y corriente de un sistema de otencia oscilando, es el de señales moduladas en cuadratura con una frecuencia ortadora igual a la frecuencia fundamental del sistema. Por eso se inicia con una descrición de la estimación fasorial como si fuera realizada or un recetor digital. En esta descrición se establece la formulación del roblema tratado. Sin embargo, aun cuando el roceso numérico es estrictamente el mismo, se discuten también las discreancias entre ambas alicaciones. Luego, se define el filtro ideal RC y sus realizaciones FIR de fase lineal y de fase mínima. Desués se consideran algunas imlementaciones IIR clásicas, tales como la de Butterworth, Chebyshev tio II, y la obtenida de la descomosición de valor singular de la matriz de Hankel. Los filtros clásicos IIR ue no ueden alcanzar ganancia constante en la banda de aso (Elíticos y Chebyshev tio I) no se consideran en este trabajo. La sección de filtros digitales se dedica al análisis de la resuesta en frecuencia, imulsional y del retraso de gruo. Finalmente, se comara la distorsión roducida or los filtros comarados y se resentan las conclusiones. EL RECEPTOR DIGITAL COMO UN ESTIMADOR FASORIAL Un recetor digital alica técnicas de tratamiento de señales ara extraer la señal modulante de la señal de radiofrecuencia (RF). 5 Baja el contenido esectral de una cierta banda de frecuencias a la frecuencia cero Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No

3 (cd) y extrae las señales fuera de banda alicando filtrado asabajas. Los tres elementos esenciales de un recetor digital, mostrados en la figura 1, son el oscilador local, el mezclador, y un filtro asabajas. El oscilador local genera dos señales senoidales en cuadratura. El mezclador comlejo consiste de dos multilicadores ue acetan muestras digitales del convertidor A/D y del oscilador local. Produce una reresentación comleja de la señal de entrada bajando el esectro de acuerdo con la frecuencia establecida en el oscilador local. La señal comleja es entonces filtrada or un filtro asa bajas ara rechazar señales indeseadas fuera de la banda de interés (otros canales). A la salida del filtro, las comonentes en fase y cuadratura de la reresentación fasorial se denotan con I y Q resectivamente. Finalmente, una etaa de submuestreo se ueda sólo con una de cada L muestras. Esto roduce la salida de banda base comleja submuestreada ara las tareas subsecuentes de tratamiento de señal, tales como demodulación, decodificación o almacenamiento. En comunicaciones digitales, el retraso de los estimados fasoriales no es tan imortante como en alicaciones de sistemas de otencia debido a ue los recetores digitales generalmente oeran a mucho más altas frecuencias (ue la de 6Hz). Así el retraso es relativamente eueño e imercetible en el canal de comunicaciones. Por otra arte, los filtros en los recetores digitales deben cumlir con el criterio de Nyuist ara canales libres de interferencia intersimbólica (ISI). 6 El criterio de canales libres de ISI básicamente reuiere de filtros de resuesta imulsional con cruces or cero searados euidistantemente. Finalmente, el diseño de recetores digitales se enfoca en la reducción de Fig. 1. Diagrama de Bloues del Recetor Digital. distorsión de amlitud y de fase. Es or esto ue la resuesta en magnitud del filtro debe de ser constante y la fase lineal en la banda de aso. Este criterio es el ue exlica orué se utiliza tanto el filtro RC en sistemas de transmisión. En alicaciones de estimación fasorial, sin embargo, no nos reocua tanto la forma de la resuesta imulsional, a exceción de su longitud, y una eueña distorsión en fase uede tolerarse si eso ayuda a reducir el retraso de las estimaciones. La oeración global del recetor digital en la figura 1 uede exresarse or la siguiente ecuación: ρ jωn (n) (s(n)e ) h(n) = (1) donde ρ(n) es la salida del recetor, s(n) es la señal de entrada, la exonencial comleja negativa reresenta el descenso frecuencial alicado or el mezclador y denota convolución con h(n), resuesta imulsional del filtro asabajas. Más exlícitamente, se tiene j k ρ(n) = s(k)h(n k)e ω (2) k Las ecuaciones corresondientes en términos esectrales son las siguientes: ρω ( ) = H( ω)s( ω+ ω ). (3) donde ρω ( ), H( ω ) y S( ω ) son las transformadas digitales de Fourier de las secuencias ρ(n), h(n) y s(n) resectivamente. Para una secuencia de la forma s(n) = a(n)cos( ω n + θ) (4) en la cual, la secuencia de amlitudes a(n) tiene esectro A( ω ) limitado en banda or α<π, la resuesta en frecuencia de un filtro asabajas ideal odría definirse mediante { H( ω ) = 2 ara ω α ara ω > α. (5) La salida de este filtro será la secuencia fasorial de la secuencia de entrada jθ ρ (n) = a(n)e. (6) Esto uede ser demostrado reemlazando en (3) el esectro trasladado de la secuencia en (4), el cual es 1 jθ jθ S( ω + ω ) = ( A( ω)e + A( ω + 2 ω )e ) (7) 2 68 Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No. 39

4 y obteniendo la transformada inversa de Fourier de P( ω ) ara el filtro ideal en (5). Pero el filtro ideal rouesto no es causal, y or tanto no imlementable en alicaciones de tiemo real. Una solución ráctica odría obtenerse truncando la resuesta imulsional ideal y trasladando los términos no nulos a los rimeros índices no negativos. Este filtro ofrecería estimados fasoriales de la forma: ρ ˆ (n) = a(n ˆ / 2 )e jθ (8) donde /2, mitad de la longitud del truncamiento, es el retraso introducido or el filtro de fase lineal ue aroxima la resuesta frecuencial ideal, y â(n) es el estimado de a(n). Note ue cuando, an ˆ( ) an ( ), ero desués de un retraso también infinito. A continuación se aborda este roblema de aroximación, esencial a los métodos de diseño de filtros digitales. FILTROS DIGITALES Aun cuando los filtros ideales no son imlementables, siemre es osible aroximar una resuesta ideal en frecuencia con la de un sistema lineal invariante en el tiemo definido or la siguiente ecuación en diferencias: y( n ) = a ( k )y( n k ) + b ( k )x( n k ) (9) k= 1 k= la cual corresonde a un filtro realizable físicamente y causal. 7 La resuesta en frecuencia de dicho sistema es dada or jkω B( ω ) b(k)e H( ω ) = =. jkω (1) A( ω ) 1+ a(k)e k = k = 1 El roblema se resuelve seleccionando aroiadamente los ++1 coeficientes {a (k)} k = 1 y {b (k)} k = ue mejor aroximan las características frecuenciales deseadas. Note ue ara filtros FIR A( ω ) = 1 y H ( ω) = B ( ω ). El método de enventaneado es la solución más simle al diseño de filtros FIR. 7 Para imar, la resuesta en frecuencia es de la forma j /2 H ( ω) = Hr( ω) e ω, donde H ( ) r ω es una función real dada or H( ω ) = r ( 1)/ 2 jω/ 2 e 2b ( k )cos[ ω( k / 2)]. k = (11) Por otra arte, el roblema de filtro IIR consiste en aroximar una resuesta deseada H d ( ω ), con un sistema ue tiene la resuesta en frecuencia definida en (1), seleccionando adecuadamente los coeficientes {a (k)} k = 1 y {b (k)} k =. El diseño de los filtros digitales generalmente arranca con un filtro rototio analógico a artir del cual el digital es creado a través de una transformación bilineal. 7 Este es el método utilizado ara aroximar las soluciones de Butterworth y Chebyshev tio II. Sólo se resentan estos dos filtros debido a ue el criterio rincial en este trabajo es alcanzar ganancia lana en la banda de aso. Filtros RC de fase lineal y mínima En esta sección se consideran imlementaciones rácticas del filtro RC, en articular, las imlementaciones FIR de fase lineal y mínima. El filtro de fase mínima reserva exactamente la resuesta en magnitud del de fase lineal y minimiza el retraso de gruo. El filtro RC de fase lineal inicia con una resuesta en frecuencia ideal dada, 3 definida or una frecuencia de corte en 1/2T, y un factor de redondeado (rolloff) α, α 1. Este factor controla las bandas 1 α de aso f < 2 f y de transición. La resuesta imulsional del filtro RC es dada or h(t, d α ) = π t αt 1 αt 1 senc( )( senc( ) + senc( + )) (12) 4 T T 2 T 2 donde senc(x) es el seno cardenal definido como senc(x) = sen( πx)/ π x. La secuencia unitaria del filtro de fase lineal se obtiene truncando la resuesta ideal en (12) hasta una duración tolerable, y muestreando y trasladando la función segmentada a los rimeros índices no negativos. En este artículo se considera una frecuencia de muestreo de N =64 muestras or ciclo ( fs = Nf). Los coeficientes del filtro digital FIR de longitud =1 son dados or la siguiente ecuación: Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No

5 b(k, α ) = ( 2k + 1) ( + 1) h( d T, α ), k =,, (13) 2N Auí interesa el filtro RC de fase lineal de cuatro ciclos ( = 4N 1) con un factor de redondeo a=.77 como se rouso en. 3 Este valor evita el rizado en la banda de aso introducido or el truncamiento. Su retraso de gruo es constante e igual a /2, corresondiente a dos ciclos. El filtro de fase mínima de una longitud arbitraria se obtiene reemlazando todos los ceros fuera del círculo unitario del de fase lineal or sus corresondientes recírocos; es decir, reflejando todos sus ceros externos dentro del círculo unitario. La resuesta en magnitud revalece cuando un cero externo z i es reflejado hacia adentro or su recíroco 1/z i. Para una resuesta en magnitud, existen 2 osibles configuraciones, deendiendo de la localización interna/externa de sus ceros. El sistema de fase mínima corresonde a la única configuración ue tiene todos los ceros dentro del círculo unitario y tal versión ofrece el retraso mínimo ara todas las comonentes frecuenciales de la señal de entrada. El rocedimiento estándar ara obtener el filtro de fase mínima consiste en factorizar la función de transferencia del filtro de fase lineal, reflejar todos los ceros externos hacia adentro del círculo unitario y entonces encontrar los nuevos coeficientes. El rimer aso es llamado deflación olinomial y uede ser ejecutado or un algoritmo ue encuentre las raíces del olinomio. El tercer aso se logra mediante el roceso inverso (inflación olinomial) una vez ue las raíces externas se han reflejado dentro del círculo. El roblema con este rocedimiento es ue ara olinomios de alto orden los resultados ueden ser catastróficos debido a los errores de redondeo. Para filtros RC de fase lineal, este rocedimiento (usando olystab en Matlab) falla ara longitudes mayores a 64, roduciendo resultados terribles sin ninguna advertencia. Para obtener los olinomios de mínima fase, se alicó el rocedimiento rouesto en. 8 Éste reemlaza la resuesta de fase lineal del filtro FIR con la resuesta de fase mínima obtenida de la Transformada Discreta de Hilbert (DHT) de ln B ( ω ), la cual corresonde a la resuesta en fase del cestrum de b(k). La longitud de la transformada ráida de Fourier (FFT) usada ara obtener la resuesta imulsional en estas oeraciones fue de 2 2. Este rocedimiento ofrece excelentes resultados ara cualuier longitud. Las características frecuenciales de la imlementación del filtro RC de fase lineal y mínima (4~,.77) se muestran en la figura 2. Note ue las resuestas en magnitud son exactamente las mismas, como era de eserarse, mientras ue la fase del de fase mínima no es lineal. La figura 3 muestra el retraso de gruo de ambos filtros. Mientras el retraso del de fase lineal es constante e igual a dos ciclos, el de fase mínima va de 1.22 a 1.66 ciclos dentro de la banda de aso. Bajo la ganancia constante ([,.1465]), el retraso de gruo es relativamente constante, lo ue significa ue el filtro se comorta ahí como un filtro lineal, y su distorsión en fase será muy eueña, como se corroborará en el análisis comarativo de distorsiones de la última sección. Fig. 2. Resuesta en frecuencia de los filtros RC de fase lineal (4~, a=.77) y mínima. Las resuestas imulsionales se comaran en la figura 4. Note ue la simetría así como la searación euidistante de los cruces or cero del de fase lineal se ierde en el de fase mínima. Esta figura sugiere ue los transitorios del filtro de fase mínima serán más cortos ue los del filtro de fase lineal, aunue con un sobretiro ligeramente mayor. Esta considerable reducción de retraso, rácticamente sin distorsión, hace al filtro de fase mínima muy atractivo como sustituto de la imlementación de fase lineal del 7 Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No. 39

6 filtro RC en alicaciones de mediciones fasoriales bajo oscilaciones de otencia. Auí surge una cuestión interesante. Qué tan imortante es la minimización del retraso de los filtros de fase mínima corresondiente a filtros de fase lineal con longitudes más y más largas? Se sabe ue entre más larga es la imlementación de fase lineal, más exacta es la aroximación a la resuesta en frecuencia ideal. La rincial desventaja del filtro de fase lineal es ue su retraso es igual a la mitad de su longitud. Las figuras 5 y 6 muestran la resuesta imulsional y el retraso de gruo de filtros de fase mínima corresondientes a los de fase lineal con duraciones de 4, 6, 8 y 1 ciclos. Es Fig. 3. Retraso de gruo de los filtros RC de fase lineal (4~, a=.77) y mínima. Fig. 5. Resuesta imulsional de filtros RC de fase mínima corresondientes a los de fase lineal con duración de 4,6,8 y 1 ciclos (a=.77). evidente ue mientras se incrementa la duración de las resuestas imulsionales de los filtros de fase lineal, la de los de fase mínima ermanece relativamente constante e inferior a cinco ciclos. Por otra arte, el retraso de gruo bajo la ganancia constante ([,.1465]) ermanece casi constante e inferior a dos ciclos, lo ue significa ue, en esa banda, los filtros se comortan como si fuesen lineales. Este es un resultado muy imortante y la rincial contribución de este trabajo: reservando la resuesta en magnitud, los filtros de mínima fase son mucho más cortos y roducen mucho menos retraso ue sus corresondientes imlementaciones de fase lineal. De manera ue con transitorios más cortos, roducen estimados fasoriales más ráidos. Cuando el mismo análisis se alica a los filtros raíz cuadrada de coseno levantado (RRC) 9 una reducción de retraso adicional es encontrada (de cerca de un ciclo) con longitudes de filtro un tanto mayores (6 ciclos) como se muestra en la figura 7. A continuación se considera la aroximación de diferentes filtros IIR a las características frecuenciales del filtro RC (ganancia constante y frecuencia de corte (-6dB) en f /2). Fig. 4. Resuesta imulsional de los filtros RC de fase lineal (4~a=.77) y mínima. Filtros IIR or descomosición en valores singulares La rimera aroximación IIR al filtro RC es la obtenida mediante descomosición de valores singulares de la matriz Hankel formada con Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No

7 Las figuras 8 y 9 muestran la resuesta en frecuencia e imulsional de los filtros IIR obtenidos con éste método. Dos filtros fueron obtenidos (==7 and ==9) utilizando dos tolerancias de aroximación diferentes (.1,.1). Es claro ue ambas resuestas en magnitud no son lanas en la banda de aso, aunue ahí sus resuestas en fase son erfectamente lineales, con exactamente el mismo retraso de gruo (2~) del filtro RC de fase lineal. Como resultado, roducirán distorsión de amlitud en los estimados fasoriales de la oscilación conservando el retraso del filtro RC de fase lineal. Fig. 6. Retraso de gruo de filtros de mínima fase corresondientes a los RC de fase lineal con duración de 4, 6, 8 y 1 ciclos (a=.77). Fig. 8. Resuesta de magnitud y fase de los filtros IIR obtenidos de la descomosición de valores singulares de la matriz de Hankel. Fig. 7. Resuesta imulsional y retraso de gruo de los filtros de mínima fase corresondientes a los filtros RRC de fase lineal con duraciones de 4, 6, 8 y 1 cciclos (a=.77). la resuesta imulsional del filtro RC. 1 Esta aroximación es muy útil en sistemas de transmisión digital orue reserva las osiciones de los cruces or cero de la resuesta imulsional del filtro RC y además su resuesta en fase es lineal en la banda de aso. Desafortunadamente, estas dos ventajas se comensan con la érdida de ganancia constante en la banda de aso, rincialmente debido a ue la resuesta imulsional falla en adatarse correctamente a los lóbulos laterales de la resuesta imulsional original. Fig. 9. Resuestas imulsionales de los filtros IIR obtenidos de la descomosición en valores singulares de la matriz de Hankel. 72 Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No. 39

8 Filtros de Butterworth y de Chebyshev tio II Auí se consideran las aroximaciones de los filtros de Butterworth y de Chebyshev Tio II a la resuesta en frecuencia del filtro ideal RC mediante el método de transformación lineal. Aun cuando los filtros elíticos roducen los órdenes más bajos ara unas esecificaciones de banda de aso y aro dadas, se excluyen de nuestro análisis orue roducen rizos en la banda de aso. Lo mismo se uede decir del filtro Chebyshev Tio I. Las resuestas en frecuencia de los filtros Butterworth y Chebyshev se uede encontrar en. 7 El Butterworth, tiene una transición suave y monotónica, y no tiene rizos. Su rincial desventaja es ue su banda de transición es relativamente amlia. El Chebyshev Tio II es monotónico en la banda de aso y es euirizado en la banda de aro. En general, el filtro de Chebyshev cumle las esecificaciones de banda de aso y aro con órdenes más bajos ue el de Butterworth. los lóbulos laterales aumentan considerablemente. El filtro de Chebyshev tiene la banda de transición más aguda. Por otra arte, es evidente ue la resuesta en fase del filtro de Butterworth, bajo la ganancia lana, se aroxima a la resuesta en fase del filtro RC de fase lineal, de manera ue sus estimados fasoriales estarán más róximos de los obtenidos con el filtro RC de fase lineal. Sin embargo, la resuesta en fase del filtro de Chebyshev es más no lineal bajo la banda de aso, y or tanto distorsionará más la fase. Fig. 11. Retraso de gruo de los filtros Butterworth, Chebyshev Tio II (= =8) y RC (a=.77). Fig. 1. Resuesta en frecuencia del filtro de Butterworth (==8) y de Chebyshev Tio II (==8) comarada con la del filtro RC de fase lineal. La figura 1 muestra las resuestas de magnitud y fase de los filtros digitales de octavo orden de Butterworth y Chebyshev Tio II, comarado con el filtro RC de fase lineal de cuatro ciclos (a=.77). Todos con una frecuencia de corte (db) de la mitad de la fundamental. Note ue los filtros IIR ofrecen una ganancia constante más ancha. El rizado de la banda de aro del filtro de Chebyshev Tio II es forzado a ermanecer abajo de los 6 db. Para niveles más altos, tanto la banda de transición como el nivel de La figura 11 muestra el retraso de gruo de los filtros IIR. Note ue, bajo la ganancia constante del RC (u<.15), el de Butterworth no mejora tanto el retraso del RC de fase lineal, como el de Chebyshev. Finalmente, en la figura 12 se ueden ver sus resuestas imulsionales. Es evidente ue los transitorios de los estimados fasoriales obtenidos con los filtros IIR son más largos ue los del filtro RC. De hecho es en su resuesta imulsional donde falla el filtro de Chebyshev y roducirá transitorios más largos (~12) ue los de Butterworth (8~). Las estimaciones de amlitud fasorial de una oscilación de 6Hz entre 1 y 2 se muestran en la figura 13. Los retrasos de los filtros RC de fase mínima y de Chebyshev son casi iguales, seguidos or los del filtro Butterworth. Los filtros IIR obtenidos mediante descomosición en valores singulares tienen un retraso muy cercano al del filtro RC de fase lineal (2~). Aun si los filtros IIR reducen la carga comutacional en un factor del orden de diez, Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No

9 no mejoran mucho el rendimiento global (recisión y velocidad) de las estimaciones fasoriales. En la róxima sección se muestra ue el filtro de Chebyshev distorsiona los fasores debido a su fase no lineal. Sin embargo ara alicaciones en las cuales la cantidad de cálculos es la rincial reocuación, el filtro de Butterworth odría ser alicado. Fig. 12. Resuesta Imulsional de los filtros de Butterworth y Chebyshev Tio II (==8) comarados con el fitro RC de fase lineal de cuatro ciclos (a=.77). de oscilaciones de amlitud es generado de acuerdo con el siguiente modelo secuencial: 3 i a( n ) = e α n s e n( ωin ) i= 1 donde las ω i son las frecuencias radiales corresondientes a frecuencias aleatorias distribuidas uniformemente con rango unitario y centradas en 2, 4 y 6 Hz de la señal continua, y α i son atenuaciones exonenciales distribuidas uniformemente con constantes de tiemo de 14 a 18 ciclos. Las secuencias generadas cubren cien ciclos, y desués de ser normalizadas (energía unitaria) sobre esa duración, son asadas a través de los filtros comarados. El grado de distorsión a la salida es medido como el valor rms de la diferencia entre una versión trasladada de la salida y la entrada. Para excluir el retraso de la medición de distorsión, la secuencia de salida se traslada temoralmente de tal manera ue el ico de la oscilación coincida con el de la señal de entrada. Idealmente, tal medida de distorsión deberá ser cero ara filtros de fase lineal, ero debido a la distorsión de amlitud y a los errores de redondeo es de hecho muy eueña en esos casos. Esta medida de distorsión corresonde a la distancia euclidiana entre las secuencias de entrada y salida en su esacio métrico. Ya ue la entrada es normalizada, la distorsión uede exresarse como orcentaje. Fig. 13. Estimaciones de amlitud con los filtros de Butterworth, Chebyshev Tio II y RC de fase lineal y mínima. La amlitud de la oscilación (línea continua) se muestra como referencia. EVALUACIÓN DE LA DISTORSIÓN Para evaluar la distorsión (de amlitud y fase) introducida or los filtros comarados, un conjunto Fig. 14. Distribuciones de la medición de la distorsión ara los filtros RC, Butterworth y Chebyshev Tio II. La figura 14 muestra la distribución de las mediciones de distorsión obtenidas cuando una 74 Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No. 39

10 oblación de mil secuencias de amlitud con arámetros generados aleatoriamente es asada a través de los diferentes filtros. Se uede observar ue la distorsión de cada filtro se distribuye en caas searadas. La menor distorsión corresonde al filtro RC de fase lineal (como era de eserarse). Es seguida or el filtro de fase mínima. Note ue la distorsión de este filtro es inferior al 1% y odría ser tolerada or la mayoría de las alicaciones. El siguiente filtro distorsionador es el de Butterworth con distorsiones entre 1 y 1.8%, y finalmente el Chebyshev Tio II, con la distorsión más disersa. Fig. 15. Distribución de mediciones de distorsión de los filtros IIR obtenidos or descomosición de los valores singulares de la Matriz Hankel (.1,.1). Se encontró ue la distorsión de amlitud del filtro IIR obtenido or descomosición de los valores singulares (con la tolerancia más eueña) es un oco más grande ue la del filtro RC de fase mínima, con valores entre.75 y 1%, como se muestra en la figura 15. DISCUSIÓN La reducción del retraso inherente a los estimados fasoriales conduce a soluciones alternativas interesantes. La rincial contribución de este artículo es haber adelantado los estimados fasoriales de dos a un ciclo. Para enlaces de fibra ótica, este resultado reresenta una reducción de la mitad. Otra contribución es haber rouesto los filtros de fase mínima como sustituto de los filtros de fase lineal comúnmente utilizados en sistemas de transmisión digital. La reducción del retraso con filtros de fase mínima se obtiene sin distorsionar significativamente los estimados, y con imlementaciones más cortas si se las comara con las soluciones de fase lineal. Se reuiere trabajo de investigación ara analizar el comortamiento de los filtros RC y RRC en otras alicaciones de medición fasorial. Cuando la rincial reocuación de la alicación es la comlejidad comutacional, los filtros IIR ueden ser la solución, esecialmente el obtenido or descomosición en valores singulares de la Matriz Hankel o el de Butterworth. CONCLUSIONES Los filtros de fase mínima reducen el retraso de los filtros RC sin un incremento significativo en distorsión y con transitorios más cortos. El retraso constante del filtro RC de fase lineal, igual a la mitad de su duración, se reduce a retrasos variando entre uno a dos ciclos ara con el filtro RC y alrededor de un ciclo con el filtro RRC de fase mínima. Este resultado mejorará alicaciones de control ue demandan estimados fasoriales más ráidos ue reserven la recisión, esecialmente las alicaciones ue corren con enlaces de fibra ótica. Las soluciones IIR con ganancia constante en la banda de aso reducen considerablemente el orden del filtro digital (==8), ero a exensas de una distorsión mayor y un comortamiento transitorio más duradero. Cuando se Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No

11 tolera distorsión en amlitud, y no se desea reducción del retraso, el más efectivo es el filtro IIR obtenido mediante descomosición en valores singulares de la matriz de Hankel. Su distorsión es sólo un oco más grande ue la del filtro RC de fase mínima. AGRADECIMIENTOS Este trabajo fue financiado or la Universidad Autónoma de Nuevo León, bajo el royecto PAICYT CA863-4: Usando filtros IIR ara Estimación Fasorial bajo Oscilaciones del Sistema de Potencia, REFERENCIAS 1. A. F. Snyder, D. Ivanescu, N. HadjSad, D. Georges, T. Margotin, Delayed-Inut Wide- Area Stability Control with Synchronized Phasor Measurements and Linear Matrix Ineualities, 2 IEEE Power Engineering Society Summer Meeting, Vol. 2, H. Wu, H. Ni, G.T. Heydt, The Imact of Time Delay on Robust Control Design in Power Systems, 22 IEEE Power Engineering Society Winter Meeting, Vol. 2, J. A. de la O, K. Martin, Imroving Phasor Measurements under Power System Oscillations, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 18, No.1, , Februrary J. A. de la O, Reducing the Delay of Phasor Measurements under Power System Oscillations, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 56, No. 6, Dec. 27, J. G. 6, Digital Communications, 4th Ed., New York:McGraw Hill International Edition, 21, N. Sheikholeslami, P. Kabal, Generalized Raised-Cosine Filters, IEEE Trans. Commun., Vol. 47, July 1999, J.G. Proakis, D.G. Manolakis Digital Signal Processing:Priciles, Algorithms and Alications, 3th Ed., New York:Prentice Hall, 1996, ch N. Damera, B.L. Evans, S.R. McCaslin, Design of Otimal Minimum-Phase Digital FIR Filters Using Discrete Hilbert Transform, IEEE Transactions in Signal Processing, Vol. 48, No. 5, , May G.L. Stüber, Princiles of Mobile Communications, 2nd Edition, Boston:Klower Academic Publishers,21, Chi-Tsong Chen, Linear System Theory and Design 3th Ed., New York:Oxford University Press, 1999,. 77, Ingenierías, Abril-Junio 28, Vol. XI, No. 39