Práctica 6 ANÁLISIS DE DOS MUESTRAS

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1 Práctica 6. Análisis de dos muestras 1 Práctica 6 ANÁLISIS DE DOS MUESTRAS Objetivos: En esta práctica utilizaremos SPSS para extender el análisis de una sola muestra visto en la Práctica 5 al de dos muestras, realizaremos estimación puntual, cálculo de intervalos de confianza y contrastes de hipótesis acerca de las medias poblacionales. Asimismo se estudia la adecuación de las hipótesis necesarias para la aplicación de la prueba T, planteándose, en su caso, contrastes no paramétricos. Índice: 1. Análisis de dos muestras independientes 1.1 Prueba T 1.2 Prueba Mann-Whitney 2. Análisis de dos muestras emparejadas o relacionadas 2.1 Prueba T 2.2 Prueba de los signos 3. Prueba de Normalidad 4. Ejercicios

2 Práctica 6. Análisis de dos muestras 2 1. Análisis de dos muestras independientes Vamos a considerar la comparación de las medias de dos poblaciones en base a dos muestras independientes procedentes de éstas. Por ejemplo, abrimos el archivo AMBIENTE y supongamos que queremos establecer si existe diferencia entre los niveles medios del ph en zonas con contenidos de ozono normal y alto Prueba T Para poder efectuar la Prueba T para muestras independientes, SPSS necesita una columna en el editor de datos que contenga los valores de la variable cuyas medias en las dos poblaciones se desea comparar, y otra que indica la población o grupo a que pertenece cada individuo. Comprobamos que así aparece en al archivo AMBIENTE en las columnas ph y ozono. A continuación, seleccionamos Analizar/Comparar medias/prueba T para muestras independientes y nos aparece la ventana siguiente: En ella, en primer lugar seleccionamos la variable numérica ph y con el puntero la situamos en la ventana de Contrastar variables. A continuación, seleccionamos la única variable de agrupación ozono y pulsamos Definir grupos. En esta ventana debemos especificar los dos valores de la variables de agrupación que definen al grupo ozono normal y ozono alto, eligiendo entre: Usar valores especificados. Escribimos un valor para el Grupo 1 y otro para el Grupo 2. Los casos con otros valores (si existen) quedarán excluidos.

3 Práctica 6. Análisis de dos muestras 3 Punto de corte. Escribimos un número que divida los valores de la variable de agrupación en dos conjuntos. Todos los códigos menores que el punto de corte forman un grupo y los mayores o iguales que el punto de corte forman el otro grupo. Si la variable de agrupación es de cadena corta, por ejemplo, SÍ y NO, podemos escribir una cadena para el Grupo 1 y otra para el Grupo 2. Los casos con otras cadenas quedarán excluidos del análisis. Una vez completada la ventana y tras pulsar Continuar, volvemos a la ventana de Prueba T para muestras independientes. Pulsando el botón Opciones podemos introducir un valor entre 1 y 99 para el coeficiente de confianza de un intervalo, cuyo valor por defecto es del 95%. Tras pulsar el botón Aceptar, SPSS muestra en el Visor de resultados, bajo el título de Estadísticos de grupo, para cada variable, se muestran: el tamaño de la muestra, la media, la desviación típica y el error típico de la media. A continuación, bajo el título de Prueba de muestras independientes, encontramos la Prueba de Levene para la igualdad de varianzas y los resultados de una Prueba T para la igualdad de medias. Estadísticos de grupo OZONO N MediaDesviación típ.error típ. de la media PH Normal 144 5,823729, ,60840E-02 PH Normal 144 5,823729, ,60840E-02 Alto 156 6,014887, ,11285E-02 Alto 156 6,014887, ,11285E-02 Prueba de muestras independientes Prueba de Levene Prueba T para para la igualdad la igualdad de de varianzas medias F Sig. t gl Sig. (bilateral) Diferencia de medias Error típ. IC(95%) para la de la diferencia diferencia Inferior Superior PHvarianzas iguales varianzas no iguales Salida del SPSS 2,878,091-3, ,002 -, ,159E-02 -, ,996E-02-3,095291,125,002 -, ,177E-02 -, ,959E-02 La Prueba de Levene es un contraste de igualdad de varianzas. En los resultados encontramos el valor del estadístico del contraste (F) y el p-valor correspondiente (Sig.) al ser > 0.05 asumimos la igualdad de varianzas. Respecto a la prueba T, podemos encontrar el estadístico del contraste (t), los grados de libertad (gl), el p-valor bilateral (Sig), la diferencia de medias, el error típico de la diferencia, un intervalo de confianza para la diferencia del nivel dado. Todos estos valores aparecen tanto en el caso de asumir varianzas iguales, como si no se asume. En este procedimiento el contraste que realiza el SPSS es el siguiente: H : µ = µ H : µ µ A 1 2

4 Práctica 6. Análisis de dos muestras 4 En nuestro caso µ 1 y µ 2 representan las medias de ph en las poblaciones donde el ozono es normal y alto, respectivamente. Puesto que el p-valor bilateral es < 0.05 rechazamos H 0. Los contrastes direccionales deberán resolverse a partir del p-valor del contraste no direccional anterior. Ejercicio 1 Podemos considerar que los niveles medios de sulfato son iguales en Castellón y Valencia? La Prueba T es válida siempre que los tamaños muestrales sean suficientemente grandes o cuando las muestras provengan de poblaciones con distribuciones normales. En la Sección 3 veremos como comprobar si se satisface esta última condición Prueba de Mann-Whitney Cuando la Prueba T no sea válida, debemos plantearnos una prueba no paramétrica como Mann-Whitney. Para obtenerla escogemos Analizar/Pruebas no paramétricas/2 muestras independientes y nos aparece la ventana siguiente, en la que se escogen, como en el caso de la prueba T, la variable a contrastar y la variable de agrupación, y se definen los grupos. El Tipo de prueba es U de Mann-Whitney. Vamos a realizar la prueba de Mann-Whitney para la variable ph dependiendo del nivel de ozono. Pulsando el botón Aceptar obtenemos el resultado siguiente donde podemos ver, además de una pequeña estadística de los rangos, el valor del estadístico U de contraste (junto al de Wilcoxon y la aproximación Z) y una aproximación del p-valor (Sig. asintót. (bilateral)). Rangos OZONO Rango N promedio Suma de rangos PH Normal , ,50

5 Práctica 6. Análisis de dos muestras 5 Alto , ,50 Total 300 Estadísticos descriptivos Percentiles N Media Desv. típica Mínimo Máximo (Mediana) 75 PH 300 5,923131, ,5191 7,7629 5, , , OZONO 300,52,50 0 1,00 1,00 1,00 Estadísticos de contraste PH U de Mann-Whitney 9025,500 W de Wilcoxon 19465,500 Z -2,939 Sig. asintót. (bilateral),003 a Variable de agrupación: OZONO Vemos pues que con la prueba de Mann-Whitney la conclusión es la misma que con el test T, rechazando en ambos casos la hipótesis nula. 2. Análisis de dos muestras emparejadas o relacionadas Ahora consideraremos la comparación de las medias de dos poblaciones en base a dos muestras emparejadas o relacionadas. Consideremos, por ejemplo, los datos del archivo GLUCOSA y supongamos que queremos establecer la influencia de la toma de un jarabe en el nivel de glucosa en sangre, por lo que se toman los niveles de glucosa antes (g1antes) y después (g1des) de tomar el jarabe, aquí cada caso representa a un mismo sujeto Prueba T Para efectuar la Prueba T para muestras emparejadas, a diferencia de las muestras independientes, se necesita una columna en los datos para cada una de las variables a comparar. Si seleccionamos Analizar/Comparar medias/prueba T para muestras relacionadas nos aparece la ventana: En ella seleccionamos las dos variables en cuya diferencia estamos interesados. Al hacer la primera selección en la columna de variables, esta aparece en el recuadro selecciones actuales como variable 1, y al realizar la segunda selección aparecerá como variable 2. En ese

6 Práctica 6. Análisis de dos muestras 6 momento, ya seleccionadas las dos es cuando las podemos introducir en la columna variables relacionadas y a continuación para ejecutar el procedimiento pulsamos Aceptar. Estadísticos de muestras relacionadas Par 1 Par 1 Glucosa en sangre (mg/dl). Tiempo 1, antes Glucosa en sangre (mg/dl). Tiempo 1, antes Glucosa en sangre (mg/dl). Tiempo 1, después Glucosa en sangre (mg/dl). Tiempo 1, después Correlaciones de muestras relacionadas Media N Desviación típ. Error típ. de la media 73, ,3088 1, , ,3088 1, , ,0569 3, , ,0569 3,0251 N Correlación Sig. Par 1 Glucosa en sangre (mg/dl). Tiempo 1, antes y Glucosa en sangre (mg/dl). Tiempo 1, después Prueba de muestras relacionadas Diferencias relacionadas 80,152,177 t gl Sig. (bilateral) Par 1 Glucosa en sangre (mg/dl). Tiempo 1, antes - Glucosa en sangre (mg/dl). Tiempo 1, después Media Desviación típ. Error típ. de la media 95% Intervalo de confianza para la diferencia Inferior Superior -23, ,6897 3, , ,2130-7,551 79,000 En el Visor de resultados podemos encontrar bajo el título de Estadísticos de muestras relacionadas, la media, tamaño muestral común, desviación típica y error típico de la media de cada una de las dos variables. A continuación vemos la correlación existente entre la pareja de variables escogida. Finalmente, encontramos los resultados de la prueba T de muestras relacionadas: media, desviación típica y error típico de la media para la diferencia de las dos muestras, un intervalo de confianza y un contraste para la diferencia de las medias. Puesto que la significación o P-valor es se concluye que hay diferencia significativa entre ambas muestras. Ejercicio 2 Son iguales los niveles medios de glucosa medidos por g2antes y g2des?. La Prueba T es válida siempre que los tamaños muestrales sean suficientemente grandes o la diferencia de las muestras tenga una distribución normal. En la Sección 3 veremos como comprobar si se satisface esta última condición.

7 Práctica 6. Análisis de dos muestras Prueba de los signos Si la Prueba T pudiera no ser válida, nos plantearíamos una prueba no paramétrica como la prueba de los signos. Esta prueba contrasta si las dos poblaciones tienen una distribución similar. Si las dos variables tienen una distribución similar, el número de diferencias positivas y negativas no difiere de forma significativa. Para obtenerla elegimos Analizar/Pruebas no paramétricas/2 muestras relacionadas. En la ventana que aparece seleccionamos las dos variables a contrastar, siguiendo un proceso similar al expuesto para la prueba T. A continuación, seleccionamos como Tipo de prueba Signos. En el Visor de resultados podemos ver además de una pequeña estadística con las diferencias positivas, negativas y empates, el valor del estadístico Z de contraste y una aproximación del p-valor ( Sig. asintót. (blilateral) ).

8 Práctica 6. Análisis de dos muestras 8 3. Pruebas de normalidad Como ya vimos en la Práctica 5 una de las hipótesis que deben comprobarse para la validez de las Pruebas T, tanto en el análisis de uno o dos muestras, es la de normalidad de los datos cuando el tamaño de las muestras es pequeño. La condición de normalidad puede comprobarse con la prueba de Kolmogorov-Smirnov y mediante el dibujo de histogramas, diagramas de cajas o gráficos Q-Q. En estos gráficos, la distribución de los datos debe ser aproximadamente simétrica y sin valores atípicos. Para obtener una prueba de normalidad de los datos, seleccionamos el menú Analizar/Estadísticos descriptivos/explorar. Aparece la ventana siguiente: En el caso de dos muestras independientes, situamos la variable a contrastar en la ventana Dependientes, y la variable que forma los grupos en la de Factores. Para dos muestras emparejadas hay que construir una nueva variable que contenga las diferencias de las dos originales en la ventana Dependientes, y dejamos Factores en blanco. A continuación, debemos pulsar el botón Gráficos y en la nueva ventana escoger la opción de

9 Práctica 6. Análisis de dos muestras 9 Histograma y activar la opción de Gráficos con pruebas de normalidad. Por ejemplo podemos estudiar la normalidad de la variable ph separada según los dos niveles de ozono. En el Visor de resultados encontramos, junto con los algunos estadísticos de la(s) variable(s) a estudiar, la prueba de Kolmogorov-Smirnov con corrección de Lilliefors para contrastar la normalidad de la distribución (hipótesis nula) y el (los) histograma(s). Pruebas de normalidad Kolmogorov-Smirnov OZONO Estadístico gl Sig. OZONO Estadístico gl Sig. PH Normal, ,200 PH Normal, ,200 Alto, ,006 Alto, ,006 * Este es un límite inferior de la significación verdadera. a Corrección de la significación de Lilliefors 16 Histograma Para OZONO= Normal 30 Histograma Para OZONO= Alto Frecuencia ,25 7,00 6,75 6,50 6,25 6,00 5,75 5,50 5,25 5,00 4,75 4,50 Desv. típ. =,55 Media = 5,82 N = 144,00 Frecuencia ,63 7,38 7,13 6,88 6,63 6,38 6,13 5,88 5,63 5,38 5,13 4,88 Desv. típ. =,51 Media = 6,01 N = 156,00 PH PH Observamos que el resultado del test Kolmogorov-Smirnov es aceptar la normalidad de la variable ph si ozono es normal su P-valor es 0.2, mientras que habría que rechazarla si ozono es alto, su P-valor es Observar la asimetría a la derecha que presenta el histograma para nivel de ozono alto, también observada en el siguiente gráfico Q-Q 3 Gráfico Q-Q normal de PH Para OZONO= Normal 3 Gráfico Q-Q normal de PH Para OZONO= Alto Normal esperado ,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 Normal esperado ,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 Valor observado Valor observado

10 Práctica 6. Análisis de dos muestras 10 Finalmente, los diagramas de caja siguientes, muestran las mismas características PH 4 N = Normal Alto OZONO En cualquier caso, dado que los tamaños muestrales son grandes (144 casos con ozono Normal y 156 con ozono Alto), es válido utilizar la prueba T. Ejercicio 3 Realizar el estudio de normalidad de la variable sulfato para las dos poblaciones que define la variable ozono. 4. Ejercicios Resolver los problemas que se plantean a continuación aplicando en cada caso el procedimiento más adecuado, dependiendo de si las muestras son independientes o emparejadas y de la adecuación de las hipótesis necesarias para la aplicación de un contraste paramétrico o no paramétrico. Obtener para todos los problemas i) Estimadores puntuales de la media y la desviación típicas de las poblaciones. ii) Intervalos de confianza al 80% y al 95% para la diferencia de las medias (método agrupado y método no agrupado) en el caso de independencia o para la media de la diferencia en caso de emparejamiento. iii) Plantear contrastes de hipótesis análogos a los de ii) y comprobar que conducen a los mismos resultados. iv) Realizar contrastes direccionales cuando se considere necesario. Ejercicio 1. (Fichero: Ensalada) En un estudio del crecimiento de la lechuga, se cultivaron dos variedades diferentes durante 16 días en una estación espacial. El objetivo de este experimento era comprobar si

11 Práctica 6. Análisis de dos muestras 11 ambas tenían el mismo proceso de crecimiento. Los resultados se midieron según el peso total en seco de las lechugas. Las dos variedades estudiadas fueron Ensalada y Bibbs y los datos fueron los siguientes: Variedad Ensalada: 3.06, 2.78, 2.87, 3.52, 3.81, 3.60, 3.30, 2.77, 3.62 Variedad Bibbs: 1.31, 1.17, 1.72, 1.20, 1.55, 1.53 Ejercicio 2. (Fichero: Monedas) En 1965, una escasez de plata en Estados Unidos, llevó al Congreso a autorizar la acuñación de monedas de 10 y 25 centavos con una cantidad menor de plata. También se recomendó que el contenido de plata de las monedas de medio dólar se redujera del 90% al 40%. Históricamente, las fluctuaciones en la cantidad de metales preciosos utilizados en las monedas son bastante frecuentes. Los datos de este ejemplo comparan los contenidos de plata de una moneda Bizantina del siglo doce en dos diferentes momentos durante el reinado de Manuel I ( ). El objetivo de este problema es comprobar si la proporción en el contenido de plata de una moneda bizantina era la misma en las dos acuñaciones. El análisis consiste en introducir la moneda en una solución con un 50% de ácido nítrico. Esta solución es tratada con cloruro sódico hasta que todo el cloruro de plata se precipita. Pesando el precipitado, es posible calcular el porcentaje de plata de la moneda. Las monedas analizadas son parte de un gran descubrimiento en Chipre. Los datos corresponden a los contenidos de plata de nueve monedas pertenecientes a la primera acuñación durante el reinado de Manuel I y de siete del cuarto acuñamiento. Primer 5.9, 6.8, 6.4, 7.0, 6.6, 7.7, 7.2, 6.9, 6.2 Cuarto 5.3, 5.6, 5.5, 5.1, 6.2, 5.8, 5.8 Ejercicio 3. (Fichero: Hipnosis) La investigación en percepción extrasensorial (ESP) ha tomado diferentes direcciones a lo largo del tiempo. Recientemente, se ha considerado la posibilidad de que la hipnosis puede facilitar la aparición de la ESP en personas que creían no tenerla. La manera más obvia de comprobarlo es comparar las habilidades extrasensoriales de los sujetos cuando están despiertos y cuando están hipnotizados. El objetivo del siguiente experimento es determinar si la habilidad de una persona para acertar cartas aumenta bajo hipnosis. Los experimentos de ESP habitualmente se realizan con cartas de Zener. Estas cartas especiales tienen solo cinco figuras. En este estudio, se pidió a 15 estudiantes que trataran de adivinar la forma de 200 cartas de Zener. Se utilizó la misma persona como canal -esto es, la persona que se concentra en la carta- para cada intento. Para 100 de los intentos, ambos (estudiante y canal) estaban despiertos y para los otros 100, los dos estaban hipnotizados. Los resultados del experimento vienen dados en forma del número de aciertos hecho por cada sujeto bajo ambas condiciones.

12 Práctica 6. Análisis de dos muestras 12 Despiertos: 18, 19, 16, 21, 16, 20, 20, 14, 11, 22, 19, 29, 16, 27, 15 Hipnotizados: 25, 20, 26, 26, 20, 23, 14, 18, 18, 20, 22, 27, 19, 27, 21 Ejercicio 4. (Fichero: Abejas) Hay muchos factores que predisponen a una abeja a picar. Una persona que vista ropa oscura, por ejemplo, es más probable que sea picada por una abeja que otra que lleve ropa más clara. El aumento de temperatura hace más agresivas a las abejas. Y alguien cuyos movimientos sean rápidos y bruscos, corre más riesgo que otro que se mueva más lentamente. Otro factor, muy importante para los apicultores es si la persona acaba de ser picada por otra abeja. Este último factor ha sido estudiado en el siguiente experimento. El objetivo era comprobar si las abejas tenían preferencia por picar objetos que ya han sido picados. Para realizarlo, se agitaron ocho bolitas de algodón envueltas en muselina alrededor de la entrada a un panal. Cuatro de ellas, habían sido expuestas previamente a otro enjambre de abejas furiosas y hambrientas y estaban totalmente llenas de picaduras: las otras cuatro estaban totalmente sin picaduras. Después de un tiempo prefijado de antemano, se contó el número de nuevas picaduras en cada grupo de cuatro bolitas. El proceso se repitió nueve veces en distintos momentos del día. Número de picaduras nuevas en cada grupo de 4 bolitas. Con picaduras previas: 70, 9, 33, 33, 4, 21, 20, 27, 33 Sin picaduras previas: 33, 10, 21, 15, 6, 16, 19, 15, 9 Ejercicio 5. (Fichero: Lagarto) En un estudio sobre el lagarto Sceloropis occidentalis, se estudió cual era el impacto ecológico de la infección por el parásito de malaria Plasmodium, en lagartos que no estaban en cautividad. Para ello, se investigó la respuesta de 15 lagartos infectados y 15 no infectados a una prueba de resistencia. Los resultados vienen dados por la distancia (en metros) que cada animal recorría en dos minutos. Infectados: 16.4, 29.4, 37.1, 23.0, 24.1, 24.5, 16.4, 29.1, , 30.2, 21.8, 37.1, 20.3, 28.3 No infect: 22.2, 34.8, 42.1, 32.9, 26.4, 30.6, 32.9, 37.5, 18.4, 27.5, 45.5, 34.0, 45.5, 24.5, 28.8 Ejercicio 6. (Fichero: Notas) En el siguiente banco de datos, se presentan las notas del primer y segundo parcial de un grupo de 47 estudiantes de Bioestadística, por orden de lista. El objetivo de este problema está en investigar si hay evidencia para afirmar si las notas medias son distintas. 1 er parcial: 7.6, 4.3, 9.4, 4.1, 9.6, 5.0, 7.1, 2.3, 8.1, 6.6, 1.5, 4.1, 4.0, 4.6, 6.6, 8.5, 7.1, 9.1, 3.5, 2.0, 4.7, 6.6, 9.5, 7.5, 6.8, 3.7, 7.0, 4.0, 5.3, 7.1, 7.5, 2.5, 9.1, 8.3, 3.0, 9.8, 5.8, 7.2, 8.8, 5.7, 6.9, 6.6, 4.2, 1.7, 4.5, 8.0, 8.4 2º parcial: 6.8, 6.2, 7.4, 6.5, 7.0, 7.0, 4.9, 4.2, 4.9, 4.5, 6.0, 5.8, 7.2, 5.8, 6.5, 8.7, 7.0, 9.5, 4.0, 4.0, 5.1, 5.0, 7.2, 5.9, 8.2, 4.6, 8.2, 5.1, 6.8, 6.3, 5.4, 5.1, 9.8, 8.2, 4.0, 8.8, 5.0, 4.7, 8.7, 6.1, 6.0, 4.3, 7.6, 3.9, 2.7, 5.2, 7.8