Teoría de Máquinas y Mecanismos 2 o curso de Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Curso

Transcripción

1 Teoría de Máquinas y Mecanismos 2 o curso de Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Curso Segunda práctica de la asignatura: Ley de Grashof y ángulo de transmisión Introducción La segunda práctica de la asignatura se realiza con la ayuda del programa WinMecC elaborado por el Área de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Málaga. La práctica se basa en el estudio de la ley de Grashof para mecanismos de cuatro barras, así como en el estudio del ángulo de transmisión. En primer lugar se realizarán una serie de ejercicios en el laboratorio con la intención de analizar la movilidad del mecanismo de cuatro barras y los diferentes valores alcanzados por el ángulo de transmisión. Después de realizar estos ejercicios, el alumno deberá contestar a una serie de cuestiones relacionadas con la práctica. Es posible obtener una versión de demostración del programa en la dirección winmecc.uma.es. Parte 1. Ejercicios a realizar en el laboratorio Se tiene las siguientes longitudes de eslabones: a = 3 cm, b = 6 cm, c = 8 cm y d = 9 cm. 1. Compruebe si los eslabones cumplen la ley de Grashof. 2. Utilizando el programa WinMecC de la Universidad de Málaga construya un mecanismo de cuatro barras usando las dimensiones dadas y cuyo comportamiento sea de manivela-balancín. Note que existen diversas opciones. Una vez construido, use la barra 2 como barra conductora y realice las siguientes tareas: 2.1 Usando el programa obtenga de forma aproximada el ángulo barrido por el balancín para una vuelta completa de la manivela y dibuje las dos posiciones extremas del balancín. 2.2 Obtenga de forma exacta el ángulo barrido usando relaciones trigonométricas. 2.3 Obtenga con el programa entre qué valores oscila el ángulo de transmisión, dibujando esas dos posiciones. A continuación hágalo de forma exacta usando relaciones trigonométricas. 2.4 Indique cuál es el mejor y cuál el peor ángulo de transmisión en todo el recorrido. 2.5 Obtenga mediante trigonometría el ángulo que forma la barra de entrada con la horizontal cuando el ángulo de transmisión es de 90 o. 3. A continuación, usando la pestaña central abajo en el programa, pase a conducir el mecanismo desde el eslabón 4. Haga lo siguiente: 3.1 Obtenga con el programa las dos posiciones extremas del mecanismo y dibújelas (en este caso son puntos muertos, ángulo de transmisión 0 o o 180 o ). 3.2 Obtenga entre qué valores oscila el ángulo de transmisión, dibujando esas dos posiciones extremas. 3.3 Indique cuál es el mejor y cuál el peor ángulo de transmisión en todo el recorrido. 3.4 ¾Qué diferencia hay entre conducir por 2 y por 4?

2 4. Monte el mecanismo como doble manivela. Haga lo siguiente: 4.1 Indique si hay puntos muertos. 4.2 Conduciendo el mecanismo desde el eslabón 2 obtenga entre qué valores oscila el ángulo de transmisión, dibujando esas dos posiciones extremas. 4.3 Obtenga esos ángulos de transmisión de forma exacta mediante relaciones trigonométricas. 4.4 Indique cuál es el mejor y cuál el peor ángulo de transmisión en todo el recorrido. 5. Monte el mecanismo como doble balancín y condúzcalo desde 2. Haga lo siguiente: 5.1 Dibuje las dos posiciones extremas que puede alcanzar el mecanismo (puntos muertos) y obtenga con el programa el ángulo de entrada para esas dos posiciones. A continuación obtenga esos valores de forma exacta mediante trigonometría. 5.2 Obtenga entre qué valores oscila el ángulo de transmisión. Indique cuál es el mejor y cuál el peor ángulo de transmisión en todo el recorrido. Parte 2. Ejercicios a entregar mediante el servidor Se trata de analizar la movilidad y la variabilidad del ángulo de transmisión de un mecanismo de 4 barras articulado. Los resultados se entregan a través del servidor de docencia Goodle GMS. Las longitudes de las barras del mecanismo a estudiar dependen del DNI de cada alumno. Para obtener las longitudes de las barras siga el siguiente procedimiento: 1. Considere que su DNI está compuesto por 8 dígitos de la siguiente forma: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 Nota: El DNI debe tener 8 cifras numéricas. Si su DNI comienza por una letra, ignórela y utilice solo los dígitos. Si tiene menos de 8 dígitos añada ceros al nal del número, es decir a la derecha, hasta completar las 8 cifras. 2. Considere que cada dígito 0 de su DNI equivale a 10. De esta forma, el DNI se compone de las cifras: A 1 = 10, A 2 = 1, A 3 = 2, A 4 = 3, A 5 = 4, A 6 = 5, A 7 = 6, A 8 = Calcule las siguientes constantes: k g = 8 8 i=1 A i k a = 1 8 A i (1) 8 i=1

3 4. A continuación calcule las longitudes de la siguiente forma: l 2 = k g k g k g + k a + 3 d = (k a + 3) k g k g + k a + 3 l 3 = k g k a k g + k a l 4 = k a k a k g + k a (2) B 2 A 3 θ 3 θ 4 4 y θ 2 O 2 x O 4 d Fig. 1. Mecanismo de cuatro barras a estudiar. A continuación: En primer lugar compruebe si los eslabones cumplen la ley de Grashof. Como la barra de entrada es la más corta se trata de un mecanismo manivela-balancín. Suponiendo las coordenadas denidas en la gura, calcule los siguientes valores: 1. p1 = valor del ángulo θ 3 [0, 360], expresado en grados, para el que θ 4 es mínimo. 2. p2 = valor del ángulo θ 3 [0, 360], expresado en grados, para el que θ 4 es máximo. 3. p3 = porcentaje del tiempo que el balancín tiene velocidad angular negativa, expresado en tanto por ciento, suponiendo que la manivela rota a velocidad angular constante y positiva. Explicación: de los 360 o rotados por la manivela en cada vuelta, una parte se emplean en rotar el balancín en el sentido contrario al de las agujas del reloj (velocidad angular del balancín positiva) y el resto hasta 360 o en rotarlo en el sentido de las agujas del reloj (velocidad angular del balancín negativa). Estos dos periodos no tienen por qué ser iguales, ya que el mecanismo no tiene que tener un movimiento simétrico, y por tanto la respuesta p3 no tiene que ser 50 %. 4. p4 = MEJOR ángulo de transmisión para una vuelta completa de la manivela, expresado en grados.

4 5. p5 = PEOR ángulo de transmisión para una vuelta completa de la manivela, expresado en grados. A continuación entre en el servidor e introduzca las 5 respuestas. Para las respuestas numéricas no hay limitación en el n o de decimales, pero si se redondea hay que tener en cuenta que el corrector admite un error del 5 % respecto al valor exacto. La cifra decimal se separa con un punto y no con una coma. Instrucciones para entregar las respuestas usando el Servidor de Docencia La entrega de la práctica a través del servidor consiste en rellenar un formulario de texto con formato MatLab R. En este formulario aparecen las variables p1, p2, p3, p4 y p5, todas ellas igualadas a cero, como valor inicial. El alumno deberá sustituir esos ceros por los valores que haya obtenido. Ejemplo de formulario relleno: % Valor del ángulo theta3, expresado en grados, para el que theta4 es mínimo p1 = ; % Valor del ángulo theta3, expresado en grados, para el que theta4 es máximo p2 = ; % Porcentaje del tiempo que el balancín tiene velocidad angular negativa, expresado en tanto por ciento p3 = 55.95; % Mejor ángulo de transmisión, expresado en grados p4 = 87.56; % Peor ángulo de transmisión, expresado en grados p5 = 22.31; Fechas límite: Periodo de entrega de la práctica 2: desde el lunes 14 de marzo hasta el lunes 11 de abril.

5 APÉNDICE Teoría sobre la ley de Grashof y el ángulo de transmisión Ley de Grashof Dado que la conducción de un mecanismo se efectúa frecuentemente desde un motor con movimiento circular, las condiciones para que una barra dé vueltas completas son interesantes de conocer. Grashof dedujo en 1883 las condiciones de rotabilidad para el cuadrilátero articulado. Suponga los cuatro valores correspondientes a las longitudes de los cuatro lados a, b, c, d, ordenados de menor a mayor. En la gura siguiente se muestran las tres formas de conexión posibles. Fig. 2. Tres conguraciones del mecanismo de cuatro barras de longitudes a, b, c y d. Para la conguración a1 de dicha gura, la barra a dará vueltas completas alrededor de d, si logra ocupar las posiciones que se ven en la siguiente gura, que son las que producen los triángulos de lado más largo y más corto. Por tanto, deben cumplirse las relaciones: a + d < b + c (1) a + d > c b (2) d a < b + c (3) d a > c b (4) De las relaciones anteriores, el cumplimiento de las tres últimas en todos los casos es automático, quedando solo el cumplimiento de la primera para que la barra a de vueltas completas alrededor de d en la disposición a1. Es sencillo demostrar que si se cumple la condición primera, la barra a da vueltas completas respecto a todas las restantes barras. Repitiendo exactamente el proceso anterior, para las disposiciones a2 y b1, se llega al mismo resultado dado por la expresión (1). Este conjunto de resultados permite, por tanto,

6 enunciar la primera ley de Grashof: La barra más corta de un mecanismo de cuatro barras da vueltas completas respecto de todas las demás, si se verica que la suma de las longitudes de la barra más larga y más corta es menor que la suma de las otras dos. Si no se verica la condición de esta ley, la barra más corta no da vueltas completas alrededor de todas las demás y, con mayor motivo, las restantes barras tampoco dan vueltas completas, es decir, todas oscilan entre sí. Si se verica la condición de Grashof, las barras restantes sólo pueden oscilar entre sí. Así, en la gura a1, para conseguir que la barra c de vueltas completas alrededor de d, debe poder situarse alineada con ella, para lo cual sería necesario que se cumpliera entre otras: c + d < a + b lo que es imposible de cumplirse. Luego la barra c no puede dar vueltas completas alrededor de d. En forma similar, para que b pueda dar vueltas alrededor de c, debe cumplirse entre otras la condición: c b > d a que tampoco es posible. Por tanto, si b no puede dar vueltas completas sobre c y esta última no puede darlas respecto de d, la barra b no dará vueltas sobre d. Para las otras conguraciones, se llega a conclusiones similares si se realizan razonamientos como los que se han hecho para la primera conguración. Por tanto si se verica la condición de Grashof las barras b, c y d pueden sólo oscilar unas respecto a otras. Para un mecanismo que cumpla la ley de Grashof, se obtendrán los siguientes mecanismos en función de la inversión elegida: 1. Si la barra ja es contigua a la más corta, el mecanismo será de manivela-balancín. 2. Si se ja la barra más corta, el mecanismo es de doble manivela. 3. Si el eslabón más corto es el seguidor, se obtiene un balancín-manivela 4. Fijando la barra opuesta a la más corta, el mecanismo será de doble balancín. En este mecanismo es posible la rotación total del acoplador. En caso de no cumplirse la condición impuesta por la ecuación (1), todas las inversiones del mecanismo serán de triple balancín, ya que ninguna barra podrá dar vueltas alrededor de las demás. En este caso no es posible el movimiento relativo continuo. El caso límite en el que la desigualdad de la ecuación (1) se convierta en una igualdad: a + d = b + c, se conoce como caso especial de Grashof y todas las inversiones serán doblemanivela o manivela-balancín, pero tendrán puntos muertos dos veces por revolución de la manivela de entrada cuando todos los eslabones se vuelven colineales. En estos puntos, el movimiento de salida se vuelve impredecible ya que puede asumir cualquiera de dos con- guraciones; estos puntos muertos se vencen con dispositivos adecuados: volantes, diadas, multiparalelogramos, etc. Un caso especial del anterior es cuando a = b y c = d. En este caso se pueden obtener los mecanismos de la gura 4. El eslabonamiento de paralelogramo es muy útil, ya que duplica exactamente el movimiento rotatorio de la manivela impulsora en la manivela impulsada. Un empleo común es el acoplamiento de los balancines frotadores de un limpiaparabrisas de un automóvil. El acoplador del eslabonamiento de paralelogramo tiene traslación curvilínea y permanece con el mismo ángulo, en tanto que todos sus

7 Fig. 3. Las cuatro conguraciones del mecanismo de cuatro barras. puntos describen trayectorias circulares idénticas. Este mecanismo paralelogramo se utiliza con frecuencia en los elevadores traseros de carga de camiones y en robots industriales. La disposición en cometa, es una doble manivela en la que la manivela más corta realiza dos revoluciones por cada una de las realizadas por la manivela larga. Fig. 4. Conguraciones especiales del mecanismo de cuatro barras. Nota: para más detalles sobre la ley de Grashof se puede consultar el libro "Síntesis de mecanismos", de Justo Nieto.

8 Ángulo de transmisión en un mecanismo de 4 barras Si se desea obtener el ángulo de transmisión en un mecanismo de 4 barras de longitudes conocidas y para una posición de la barra de entrada, denida por θ 2, se puede aplicar el teorema del coseno a los triángulos ÂMQ y ÂBQ, usando la diagonal auxiliar m, como se muestra a continuación: Combinando las dos ecuaciones se obtiene: a 2 + d 2 2ad cos θ 2 = m 2 b 2 + c 2 2bc cos µ = m 2 a 2 + d 2 2ad cos θ 2 = b 2 + c 2 2bc cos µ Fig. 5. Cálculo del ángulo de transmisión. Para determinar el ángulo de transmisión más grande y más pequeño en todo el recorrido se puede alinear la barra de entrada con la barra de tierra en alargue y solape, como se muestra en las dos guras siguientes, y volver a aplicar el teorema del coseno. Fig. 6. Valores extremos del ángulo de transmisión. El mejor ángulo de transmisión a lo largo de todo el recorrido de la barra de entrada será el de 90 o, si se da, o el más cercano a él. Y el peor ángulo de transmisión en todo el recorrido será el más alejado de 90 o, ya sea agudo u obtuso. Si no se puede alinear la barra de entrada con la de tierra será porque se ha producido un punto muerto y por tanto el ángulo de transmisión habrá alcanzado un valor de 0 o o 180 o. En la gura 7 se muestra como ejemplo un mecanismo doble balancín en el que se está

9 A θ 3 3 B 2 y θ 2 θ 4 O 2 x O 4 d 4 B y 3 A θ 3 θ 2 2 θ 4 4 O 2 x O 4 d Fig. 7. Mecanismo de cuatro barras en posiciones extremas. conduciendo desde la barra 2. En la gura de la izquierda, las barras 3 y 4 están alineadas en alargue, mientras que en la conguración de la derecha las barras 3 y 4 está alineadas en solape. Ambas conguraciones muestran las posiciones extremas de la barra 2.