Tema 3º: VIBRACIONES Y ONDAS

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1 Tema 3º: VIBRACIONES Y ONDAS INDICE: 1. Movimiento periódico y oscilatorio. Movimiento vibratorio armónico simple. Magnitudes 3. Ecuaciones del movimiento: elongación, velocidad y aceleración. 4. Dinámica del movimiento armónico simple: el oscilador armónico. 5. El péndulo simple. 6. Energía del oscilador armónico. 7. Movimiento ondulatorio 8. Tipos y clasificación de las ondas. 9. Magnitudes que caracterizan a una onda. 10. Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales. 11. Energía asociada al movimiento ondulatorio. 1. Intensidad. Atenuación de una onda esférica por la distancia al foco. 13. Absorción de ondas planas. 14. Principio de Huygens. 15. Estudio cualitativo de los fenómenos de reflexión, refracción y difracción de una onda. 16. Estudio cualitativo de las interferencias 17. Ondas estacionarias 18. Ondas sonoras: intensidad y sonoridad. 19. Estudio cualitativo de la contaminación acústica. 0. Estudio cualitativo del efecto Doppler. 1

2 1.3- MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO Un movimiento es periódico cuando el móvil pasa por un mismo punto a intervalos de tiempos iguales con las mismas características del movimiento, es decir con la misma velocidad y la misma aceleración. Ejem: movimiento circular uniforme, movimiento de rotación de la Tierra alrededor del Sol, movimiento de un péndulo, etc. Si además el móvil se encuentra en posiciones máximas y mínimas con respecto al origen, se dice que es oscilatorio. Ejem: movimiento de un péndulo. Si además el origen del movimiento se encuentra en el punto medio de ese movimiento oscilatorio, se dice que es vibratorio. Si además sus ecuaciones son función de senos o de cosenos, se dice que son armónicos..3- MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE. MAGNITUDES Se obtiene proyectando sobre uno de los ejes (por ejemplo el eje Y) el movimiento de un punto P que describe un movimiento circular uniforme. A este movimiento se le denomina vibratorio armónico simple y se le define como un Movimiento rectilíneo variado no uniforme que se obtiene mediante la proyección de un movimiento circular uniforme sobre uno de sus ejes. Las características del movimiento son: Ciclo: movimiento que realiza el móvil desde que pasa por un punto hasta que llega al mismo punto con las mismas características del movimiento. Periodo: tiempo que tarda un móvil en recorrer un ciclo. Frecuencia: número de ciclos que recorre el móvil en la unidad de tiempo. El periodo y la frecuencia son inversas Al proyectar el punto P sobre el eje Y, esta proyección se mueve hacia arriba y abajo del eje, describiendo un movimiento rectilíneo con velocidad y aceleración variables, es pues un movimiento rectilíneo porque su trayectoria es el eje y es oscilatorio porque su posición respecto al origen (centro de la circunferencia) pasa por un valor máximo y otro mínimo. Enlace θ = 1 T Elongación: distancia al origen del móvil en cada instante. Amplitud: valor máximo de la elongación que coincide con el radio del movimiento circular uniforme que origina el movimiento vibratorio (A)

3 Fase: indica el estado del movimiento en cada instante, y es el ángulo que forman el radio vector que une el punto P con el origen y cualquier eje que elijamos como referencia. φ = φ o + ωt Pulsación: coincide con el valor de ω del móvil que describe el movimiento circular uniforme ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: ELONGACIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Supongamos que el móvil se encuentra inicialmente en el punto P o y transcurrido un tiempo t se encuentra en P describiendo un movimiento circular uniforme con velocidad angular constante ω.el ángulo que inicialmente forma el radio A con el eje X es φ o y el que describe en el tiempo t es ωt siendo el ángulo total y por lo tanto la fase φ = φ o + ωt.a la proyección del punto P sobre el eje Y se la denomina elongación y se calcula: Proyección sobre el eje Y: y = A sin ωt + φ o Si la proyección se hiciera sobre el eje X la ecuación de la elongación sería: y = A cos ωt + φ o Se puede pasar de una a otra incrementando la fase inicial en π/ radianes ya que: sin φ = cos φ 0 = sin φ 0 + π ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD La velocidad del movimiento vibratorio armónico es un vector que tiene la misma dirección y sentido que la elongación y se calcula: v = dy dt = Aω cos ωt + φ o = ±Aω 1 sen ωt + φ o = = ±ω A A sen ωt + φ o = ±ω A y 3

4 v = ±ω A y si y= 0 v = v max = ±Aω (en el origen) si y = A v = 0 (en los extremos) ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN La aceleración es un vector que tiene la misma dirección que la elongación pero sentido contrario, y dirigido siempre hacia el centro de la vibración. Se calcula: a = dv dt = Aω sin ωt + φ o = ω y a = ω y si y = 0 a = 0 (en el origen) si y = A a = a max (en los extremos) Esta expresión indica que siempre que un móvil se mueva con movimiento rectilíneo con una aceleración que sea proporcional y de signo contrario a la distancia al origen y dirigida hacia el centro, podemos decir que ese móvil tiene un movimiento vibratorio armónico en el cuál la aceleración es máxima en los extremos y nula en el origen, con un periodo cuyo valor es: Como ω es constante podemos poner a = -k y donde k = ω y ω = k Y como ω = π T ; π T = k T = π k La representación gráfica de estas 3 ecuaciones, elongación, velocidad y aceleración es: 4.3- DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE: EL OSCILADOR ARMÓNICO Cuando un móvil se mueve con un movimiento armónico simple, está sujeto a una aceleración a = ω y Si el móvil tiene una masa m quiere decir que sobre él actúa una fuerza que es: F = m a = - m ω y como m y ω son ctes ; F = m a = - m ω y = - k y Esto quiere decir que la fuerza que origina el movimiento vibratorio armónico simple tiene la misma dirección y sentido que la aceleración, es decir que siempre está dirigida hacia el origen (centro), por lo tanto, siempre que sobre un cuerpo que se mueve sobre una recta 4

5 actúa una fuerza que depende de la elongación y que está dirigida hacia el centro, obliga al cuerpo a realizar un movimiento vibratorio armónico simple, cuyo periodo es: K = m ω = m 4π T ; T = π m k Ejemplo el movimiento de un cuerpo que cuelga de un muelle elástico: Consideremos una masa m que cuelga de un muelle elástico. Cuando el muelle está en equilibrio le estiramos una distancia y y al soltarle se pone a vibrar gracias a la fuerza de elasticidad de Hooke cuyo valor es F = -ky siendo la fuerza que hemos realizado para estirarlo F = ky.por el principio de acción y reacción, en donde k es La constante de elasticidad del muelle, las dos fuerzas son iguales pero de sentido contrario y como la fuerza elástica F = -ky tiene la misma dirección que y pero dirigida siempre hacia el origen, hace que el muelle describa un movimiento vibratorio armónico (Enlace) 5.3- EL PENDULO SIMPLE El péndulo simple o matemático, es un péndulo que está formado por un punto material que cuelga de un hilo inextensible y sin masa. El péndulo simple no existe pero se puede construir en la práctica, haciendo colgar una esfera pequeña de gran densidad de un hilo muy resistente y fino. Para ángulos muy pequeños, se puede sustituir el arco (s) por la cuerda (x) Cuando separamos la esfera de su posición de equilibrio una altura (h), le comunicamos una energía potencial que al dejarla libre se va transformando en energía cinética de tal forma que en el punto medio (punto de equilibrio), toda la energía potencial se ha transformado en energía cinética. Las únicas fuerzas que actúan sobre la esfera son su peso y la tensión del hilo, y en el punto de equilibrio se anulan, pero en cualquier otro punto, las fuerzas no se anulan pudiendo descomponer el peso (P) en dos componentes perpendiculares entre sí que son: T = F y = P cosα = mg cosα T y F y se anulan F x = - P senα = - mg senα La componente F x es la causante del movimiento oscilatorio del péndulo, y no es un movimiento vibratorio armónico porque esta fuerza depende del seno del ángulo, no de la elongación. 5

6 F x siempre es tangente al arco en cada punto, y el signo (-) es porque disminuye a medida que nos acercamos al punto de equilibrio, en el cuál su valor es cero. Para ángulos muy pequeños, menores de 5º, se puede sustituir el seno del ángulo por el valor del ángulo expresado en radianes. F x = - mg senα = - mgα y como s = α.l y α= s/l sustituyendo F x = mg s/l y cómo podemos sustituir el arco (s) por la cuerda (x) queda: F x = - mg x/l y como m,g y l son ctes : F x = - kx que es la fuerza que produce un movimiento vibratorio armónico, por lo que podemos decir que para ángulos menores de 5º el movimiento de un péndulo es un movimiento vibratorio armónico en el cuál k = mg/l y el periodo de vibración es: T = π m k = π m mg = π l l g Mediante un péndulo se puede calcular aproximadamente el valor de la gravedad en cualquier parte de la superficie terrestre. T = 4π l g g = 4π l T 6.3-ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO Un oscilador armónico es un sistema material que realiza un movimiento armónico simple. La energía del punto material que vibra, si se desprecia las pérdidas de energía por rozamiento, es siempre igual en cada instante a la suma de la energía cinética y la energía potencial. E m = E c + E p Teniendo en cuenta que v = ±ω A y E c = 1 mv = 1 mω A y Si y=a Ec = 0 (En los extremos) Si y=0 Ec = Em = Ec max (En el origen) La Ec será nula en los extremos y máxima en el origen. Para calcular la Ep hay que tener en cuenta que la fuerza no es constante. F elas = ky ; W 1 = F. d y 1 = ky. d y 1 = k yd y cos 0 1 = k y 1 = 1 ky 1 ky 1 = 1 ky 1 1 ky Como el trabajo que realiza la fuerza elástica solo depende del estado inicial y el estado final, la fuerza elástica es una fuerza conservativa Por ser una fuerza conservativa: 6

7 W 1 = E p = E p E p1 = E p1 E p Comparando con la anterior expresión se deduce que: E pelastica = 1 ky Luego: E p = 1 ky Si y = A Ep = Ep max = E m (En los extremos) Si y = 0 Ep = 0 (En el origen) En el movimiento vibratorio armónico la Ep es máxima en los extremos y nula en el origen, y en cualquier otro punto la energía es la suma de ambas. E m = E c + E p = 1 mω A y + 1 ky Pero como k = mω queda: E m = 1 mω A y + 1 ky = 1 k A y + 1 ky = 1 ka La representación gráfica de la Ec y la Ep elástica en función del tiempo y del desplazamiento ponen de manifiesto que ambas energías son siempre positivas y que su suma en todo 1 momento es igual a ka 7.3- MOVIMIENTO ONDULATORIO Si sobre las moléculas de un medio elástico como el agua, el aire y el acero, se ejerce una fuerza elástica que las hace vibrar, se produce una perturbación que se transmite a lo largo de todo el medio elástico porque al estar unidas las moléculas del medio unas a otras, cuando una se pone a vibrar arrastra a las otras y así las hace vibrar, creándose un movimiento ondulatorio que se define como un movimiento vibratorio armónico que se transmite a lo largo de un medio elástico en forma de ondas, considerándose una onda a toda perturbación que se propaga por un medio elástico, y siendo una perturbación toda energía que comunicamos a las moléculas de un medio elástico que las hace vibrar. Por lo tanto en un movimiento ondulatorio, lo que se transmite es la energía y no las partículas del medio. Cuando la perturbación es individual, lo que se transmite es un pulso de tal forma que una vez pasado el pulso, las partículas se quedan en equilibrio. (Enlace) 7

8 Mientras que una perturbación continuada genera un tren de ondas. Se denomina frente de ondas al lugar geométrico del medio elástico en el que en un instante determinado todas las moléculas se ponen a vibrar porque les llega la perturbación. Los frentes de ondas pueden ser: Esféricos: Se propagan en todas las direcciones. Ejemplo: las ondas del sonido. Circulares: Se propagan en dos direcciones. Ejemplo: las ondas de un estanque Puntuales: Se propagan en una sola dirección. Ejemplo: una cuerda tensa Planos: El foco emisor de ondas se encuentra muy lejos del frente de ondas. Ejemplo: la luz que proviene del Sol 8.3- TIPOS Y CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS Las ondas se pueden clasificar de varias formas 1º) En función del tipo de energía que se transmite Mecánicas: transmiten energía mecánica y por lo tanto necesitan un medio material para propagarse. Ejemplo: El sonido, ondas en un estanque, vibración de una cuerda, etc. Electromagnéticas: transmiten energía electromagnética producida por las vibraciones de las cargas eléctricas. No necesitan un medio material para propagarse, pueden hacerlo en el vacío. Todas las ondas electromagnéticas en el vacío se propagan a una velocidad de v = m/s º) En función de las dimensiones en las que se transmite la energía de la onda Unidimensionales: se propagan en una sola dirección. Ejemplo: la cuerda Bidimensionales: se propagan en dos direcciones. Ejemplo: el agua de un estanque. Tridimensionales: se propagan en tres direcciones. Ejemplo: ondas sonoras. 3º) En función de la dirección de propagación y de la dirección de vibración Transversales: la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración. Ejemplo: la cuerda Longitudinales: la dirección de propagación es paralela a la dirección de vibración. Ejemplo: El sonido, un muelle, etc. (Enlace) 9.3- MAGNITUDES QUE CARACTERIZAN UNA ONDA Fase: indica en cada instante el estado de movimiento del cuerpo elástico, como es la elongación, la velocidad, etc. 8

9 Se dice que dos puntos del movimiento ondulatorio se encuentran en fase cuando sus elongaciones tienen el mismo valor, la misma dirección, y el mismo sentido, y en oposición de fase cuando tienen el mismo valor, la misma dirección pero sentido contrario. λ A y C están en fase ; A y B están en oposición de fase Longitud de onda (λ): distancia que hay entre puntos consecutivos que se encuentran en fase. En el S.I se mide en m. Periodo (T): tiempo que la onda tarda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda. Coincide con el periodo del movimiento vibratorio armónico y en el S.I se mide en s Frecuencia (ν): indica el nº de longitudes de onda que hay en 1 segundo. Coincide con la frecuencia del movimiento vibratorio armónico y en el S.I se mide en Hz. La frecuencia y el periodo son inversas T = 1/ν Nº de ondas (K): indica el nº de longitudes de ondas que hay en π radianes. En el S.I se mide en m -1 y su fórmula es K = π/λ Amplitud (A): máxima elongación del movimiento vibratorio armónico que se transmite. En el S.I se mide en m Velocidad de propagación: indica la velocidad con la que la onda se propaga por el medio y no hay que confundir con la velocidad de vibración. En un medio homogéneo, las ondas se propagan en todas las direcciones con velocidad cte, pero si cambiamos de medio, cambia la velocidad de propagación. Se calcula: v = λ T o v = λ. ν ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS UNIDIMENSIONALES La ecuación de una onda es una expresión matemática que permite obtener el estado de vibración en cualquier instante de una partícula del medio. Vamos a suponer una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda sobre el eje X en sentido positivo, y consideremos un punto que se encuentra a una distancia x del origen que tarda en recorrer la onda un tiempo t siendo t el tiempo durante el cual está vibrando el origen. La ecuación de vibración que se propaga es: y = A sin ωt + φ 0 9

10 Siendo el tiempo durante el cual está vibrando el punto x (t-t ) luego la ecuación de vibración de ese punto es: y = A sin ω t t + φ 0 = A sin π T t t + φ 0 = A sin π t t + φ 0 = A sin π t x + φ T ν.t 0 = A sin π t x T λ A sin ωt kx + φ 0 + φ 0 = A sin πt T πx λ + φ 0 = La ecuación y = A sin ωt kx + φ 0 es la ecuación de una onda que se propaga en el sentido positivo del eje X. Si la onda se propaga en el sentido negativo del eje X sería: y = A sin ωt + kx + φ 0 Con carácter general la ecuación de un movimiento ondulatorio (de una onda armónica unidimensional) es: y = A sin ωt ± kx + φ 0 La ecuación de onda es doblemente periódica: respecto al tiempo t, y respecto a la distancia x. Respecto al tiempo porque se repite para un tiempo t = T y con respecto a la distancia porque se repite para una distancia x = λ ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO Teniendo en cuenta que un movimiento ondulatorio es la propagación de un movimiento vibratorio a lo largo de un medio elástico, y que solamente se propaga la energía, la energía de una onda coincide con la energía del movimiento vibratorio que se propaga, por lo tanto la energía de la onda es igual a la energía cinética de vibración máxima (origen) o a la energía potencial máxima (extremos). E onda = Ec max = ½ m v max y = A sin ωt + φ 0 ; v = dy dt = Aω cos ωt + φ 0 si cos ωt + φ 0 = 1 v max = Aω Y sustituyendo: E onda = 1 mv max = 1 ma ω = 1 ma 4π ν = ma π ν E ond a = ma π ν La energía de la onda es directamente proporcional a su amplitud al cuadrado y a su frecuencia al cuadrado. Como a medida que nos alejamos del foco emisor si la onda es esférica hay un mayor número de moléculas que se ponen a vibrar simultáneamente repartiéndose la energía, a medida que 10

11 nos alejamos del foco emisor, disminuye la energía de la onda, a este fenómeno se le denomina atenuación de la onda. Si además hay pérdidas de energía por rozamiento, se produce el fenómeno de amortiguación de la onda INTENSIDAD. ATENUACIÓN DE UNA ONDA ESFÉRICA POR LA DISTANCIA AL FOCO. La intensidad de una onda es la energía que atraviesa en un segundo a la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. I = E S. t = P S En el S.I la unidad de intensidad es el J/m.s o W/m Considerando un foco emisor de ondas que emite en todas las direcciones en un medio homogéneo y midiendo la intensidad de ese foco a una distancia r 1 y a una distancia r I 1 = P S 1 = I = P S = P 4πr 1 P 4πr I 1 I = P 4πr 1 P 4πr I 1 = r I r 1 En una onda esférica que se propaga por un medio homogéneo la intensidad de la onda disminuye proporcionalmente a la distancia al foco elevada al cuadrado, o lo que es lo mismo la intensidad de una onda en un punto es inversamente proporcional a la distancia al foco elevada el cuadrado. Por otra parte la energía de una onda es directamente proporcional a su amplitud al cuadrado, y la intensidad es a su vez directamente proporcional a la energía. Por lo tanto la intensidad de una onda es directamente proporcional a su amplitud al cuadrado. E = ma π ν I 1 = A 1 I A I = E S.t = P S Como tenemos I 1 = r I r 1 y I 1 = A 1 I A implica que A 1 A = r r 1 A 1 A = r r 1 Ecuación que relaciona la amplitud de una onda con su distancia al foco emisor. A este fenómeno de la disminución de la intensidad y de la amplitud de la onda con la distancia al foco se la denomina atenuación 11

12 Si la onda es plana y no existen pérdidas por rozamiento, como toda la intensidad que atraviesa una superficie es idéntica a la que atraviesa a otra colocada paralelamente y a una distancia mayor no existe el fenómeno de atenuación 13.3-ABSORCIÓN DE ONDAS PLANAS En realidad en todo medio material por el que se propaga una onda, siempre va a haber pérdidas por rozamiento. Si consideramos una onda plana, experimentalmente se deduce que cuando esa onda atraviesa un medio material de espesor l se produce una absorción de la onda cuyo valor es directamente proporcional a la intensidad de la onda de incidencia, al coeficiente de absorción del medio yal espesor del medio Matemáticamente: L = espesor del medio Intensidad de la onda incidente Intensidad de la onda después de atravesar el medio di = αi. dx ; di I = αdx I I 0 di I = α l dx 0 ln I I 0 = αl I = I 0 e αl Expresión que sirve para calcular la absorción de una onda que atraviesa un medio material. Si la onda es una onda esférica además de producirse el fenómeno de atenuación, se producirá el fenómeno de absorción. Tanto para una onda plana como para una onda esférica se produce una disminución de la intensidad y de la amplitud de la onda a medida que nos alejamos del foco emisor, pero la frecuencia prácticamente no varía, porque el foco emisor emite siempre a la misma frecuencia PRINCIPIO DE HUYGENS El principio de Huygens explica cómo se propaga una onda y dice que cada punto de un frente de onda se convierte en un centro emisor de ondas con las mismas características, de tal forma que la envolvente de todas las ondas elementales producidas por las partículas de un frente de ondas, se convierte a su vez en el nuevo frente de ondas. Se denomina rayo a cada una de las infinitas direcciones 1

13 De propagación de la onda. Todo rayo es perpendicular al frente de ondas. Mediante el principio de Huygens podemos explicar fenómenos ondulatorios: reflexión, refracción y difracción ESTUDIO CUALITATIVO DE LOS FENÓMENOS DE REFLEXIÓN, REFRACCIÓN Y DIFRACCIÓN DE UNA ONDA REFLEXIÓN: Fenómeno ondulatorio que consiste en que cuando una onda se propaga por un medio y choca contra un obstáculo, retrocede por el mismo camino cambiando de dirección. i = onda incidente r = onda reflejada N es la normal. Es la perpendicular al plano en el que se encuentra el obstáculo. i = ángulo de incidencia r = ángulo de reflexión La reflexión se rige por dos leyes: 1ª Ley = El rayo incidente, el normal y el reflejado se encuentran en el mismo plano. ª Ley = El ángulo de incidencia es igual al ángulo reflejado: i = r Demostración de la ª Ley Consideremos una onda plana que incide sobre un obstáculo. Cuando el punto A del frente de onda llega al punto C, el B llega al punto D y cuando el D llega al punto F el C llega al E. Como la velocidad de propagación es la misma, los triángulos CDF y CFE son iguales porque tienen iguales la hipotenusa y los lados CE y DF luego α = β y como α = i y β = r i = r REFRACCIÓN: Fenómeno ondulatorio que se produce cuando una onda atraviesa oblicuamente la superficie de separación de dos medios por los que se propaga a distinta velocidad, produciéndose un cambio en la dirección de propagación de la onda. i = rayo incidente r = rayo refractado i = ángulo de incidencia r = ángulo de refracción 13

14 La refracción se rige por dos leyes que son: 1ª Ley: el rayo incidente, el refractado y la normal se encuentran en el mismo plano. ª Ley: el cociente entre el seno del ángulo de incidencia partido por el seno del ángulo de refracción es una constante para dos medios dados e igual al cociente entre las velocidades de propagación en cada medio. sin i sin r = v 1 v = n (Ley de Snell) Demostración de la ª Ley Cuando el punto A llega al C el punto B del frente de onda se encuentra en D, y cuando el D se encuentra en F el C se encuentra en E pero como la onda se propaga a distinta velocidad el segmento DF es distinto al CE pero los triángulos CDF y CEF tienen la misma hipotenusa CF Luego se cumple: v 1 = DF t v 1 = DF t = DF v CE CE t v = CE t sin α = v 1 sin i = sin β v sin r sin α = DF CF DF sin α = CF = DF sin β CE CE CF sin β = CE CF v 1. sin r = v. sin i si v 1 > v sin r < sin i En este caso el rayo se acerca a la normal pero si v 1 < v sin r > sin i el rayo refractado se aleja de la normal. DIFRACCIÓN: Fenómeno que se produce cuando una onda que se propaga por un medio, al chocar contra un obstáculo que tiene un orificio de unas dimensiones parecidas a la longitud de onda, se propaga al otro lado del obstáculo en todas las direcciones y con las mismas características. Este fenómeno se explica mediante la teoría de Huygens según la cual cada punto del orificio pequeño se convierte en un nuevo foco emisor de ondas propagándose en todas las direcciones con las mismas características. Este fenómeno se utiliza en Física para medir distancias muy pequeñas como tamaños de átomos, redes cristalinas, longitudes de enlace, etc. Explica por qué detrás de una esquina, no puede verse lo que sucede (la luz tiene longitudes de onda muy pequeñas) pero si puede oírse (el sonido se difracta más). 14

15 16.3 ESTUDIO CUALITATIVO DE LAS INTERFERENCIAS En un medio pueden propagarse simultáneamente dos o mas ondas producidas por distintos focos. A la superposición de dos o mas ondas que se propagan por el mismo medio en un instante determinado y en el mismo punto se denomina interferencias. La interferencia origina una nueva onda que es la suma vectorial de las ondas que se superponen, pero una vez producida la interferencia, cada una de las ondas continúa su desplazamiento sin modificar ninguno de sus parámetros. A este principio se le llama principio de superposición de ondas. Cuando se superponen dos movimientos ondulatorios que se propagan por el mismo medio, existen puntos donde la perturbación es máxima porque las elongaciones de los dos movimientos tienen el mismo sentido y la interferencia es constructiva, y otros en los que es mínima porque tiene sentidos contrarios y la interferencia es destructiva. Sea P un punto sometido a la acción de dos movimientos ondulatorios, cuyos focos emisores son A y B. La distancia de P a dichos focos es x 1 y x, respectivamente. Si los dos movimientos ondulatorios tienen la misma frecuencia, amplitud y velocidad de propagación, de acuerdo con el principio de superposición, la perturbación y en el punto P es la suma de las perturbaciones que originan en dicho punto cada onda: y = y A + y B Por tanto, para este caso particular de dos movimientos ondulatorios iguales: y = A sin ωt kx 1 + A sin ωt kx Si tenemos en cuenta la relación trigonométrica sin A + sin B = sin A + B A B cos y = A sin ωt kx 1 + ωt kx cos ωt kx 1 ωt kx = A sin ωt k x 1 + x cos k x x 1 = A cos k x x 1 sin ωt k x 1 + x 15

16 Por tanto: y = A sin ωt kd siendo A = A cos k x x 1 y d = x 1+x Es decir, A es la amplitud en el punto P. Esta amplitud depende de la diferencia de caminos recorridos por las ondas; sus valores máximo y mínimo son: En la interferencia constructiva (máximo de interferencia): ± A implica que cos k x x 1 para nπ radianes: k x x 1 = ±1; esta situación se da para los ángulos: 0, π, π, 3π es decir = nπ ; π λ x x 1 = nπ x x 1 = nλ Se produce un máximo de interferencia cuando la diferencia de caminos es un múltiplo de la longitud de onda. En la interferencia destructiva (mínimo de interferencia): 0 Implica que k x x 1 = 0 ; esta situación se da para los ángulos: π, 3π, 5π (n + 1) π/ radianes (siendo n = 0,1,,..) es decir para k x x 1 = n + 1 π π λ x x 1 = n + 1 π x x 1 = n + 1 λ Se presenta un mínimo de interferencia cuando la diferencia de caminos es un múltiplo impar de la semilongitud de onda El conjunto de puntos cuya amplitud es cero constituye una línea nodal. Para una longitud de onda determinada, dando valores a n se obtiene las distintas líneas nodales que tienen forma de hipérbola Si las dos ondas que interfieren poseen amplitudes diferentes A 1 ya en los puntos de interferencia constructiva A = A 1 + A y en los puntos de interferencia destructiva A = A 1 A ONDAS ESTACIONARIAS Si sujetamos una cuerda por un extremo y la hacemos vibrar por el otro, al llegar la vibración al punto fijo, se refleja produciendo una onda estacionaria que es el resultado de la superposición de dos ondas de igual frecuencia, amplitud y velocidad de propagación, pero que avanzan en sentidos opuestos. (Enlace) 16

17 Luego las ondas estacionarias son un caso particular de interferencias que se forman en los tubos sonoros, cuerdas de un piano, etc. Se dice que son estacionarias por que dan la sensación de no avanzar, presentando unos puntos inmóviles llamados nodos en donde las amplitudes se anulan, y otros que vibran con una amplitud máxima que son los vientres donde las amplitudes se suman. Como entre dos nodos la energía permanece estancada, las ondas estacionarias no transportan energía La ecuación de la onda estacionaria se obtiene sumando en cada punto y en cada instante las dos ondas que interfieren, la que va y la que vuelve. y = y + y = A sin ωt + kx + A sin ωt kx Teniendo en cuenta la suma de los senos de dos ángulos vistos anteriormente se obtiene: y = A cos kx sin ωt = A sin ωt en donde A es la amplitud y vale A = A cos kx Esta ecuación es para el caso de que la onda estacionaria presente un vientre en el origen, ya que para x = 0 implica A = A cos k0 = A En este caso los valores máximo y mínimo de la amplitud de la onda estacionaria se presenta en: Máximo (vientres) cos kx = ±1 kx = 0, π, π, 3π, es decir kx = nπ rad π kx = nπ x = nπ x = n λ = 0, λ 3λ, λ,, λ λ Mínimo (nodos) cos kx = 0 kx = π, 3π, 5π.. n + 1 π rad Por tanto kx = n + 1 π π λ x = n + 1 π x = n + 1 λ 4 Se comprueba que la distancia entre dos nodos (o vientres) consecutivos es λ/, mientras que un nodo y un vientre consecutivos distan λ/4 En el caso de que en el origen haya un nodo, la ecuación es: y = A sin kx cos ωt = A cos ωt ya que para x = 0 A = A sin k0 = 0 En este caso los nodos y los vientres se encuentran en los puntos: Mínimo (nodos) ; sin kx =0 kx = 0, π, π, 3π = nπ ; π λ x = nπ ; x = n λ 17

18 Máximo (vientres) ; sin kx = ±1 kx = π, 3π, 5π = n + 1 π rad kx = n + 1 π π λ x = n + 1 π x = n + 1 λ 4 En una cuerda de una guitarra los extremos son fijos, luego los nodos se encuentran en los puntos 0, λ 3λ, λ,, λ y si la longitud de la cuerda es L las únicas ondas estacionarias que se pueden dar son aquellas en las que se cumple: (Enlace) L = n λ λ = L y como ν = v v = L ν = v n si n = 0 tenemos la n λ ν n L frecuencia fundamental y para n = 1,,3,.. tendríamos los armónicos En los tubos sonoros, en la boca hay un vientre y en el fondo un nodo, como la distancia entre un nodo y un vientre es λ 4 produce una onda es: la relación entre la profundidad del tubo L y la frecuencia que L = n + 1 λ ; L = n + 1 ν = n + 1 v 4 4L la frecuencia fundamental y para n = 1,,3,.. los armónicos v ν 4 para n = 0 también tendríamos ONDAS SONORAS: INTENSIDAD Y SONORIDAD Cuando un cuerpo elástico vibra, se producen compresiones y descompresiones de las partículas del medio que están en contacto con él, estas diferencias de presión se propagan por el medio constituyendo el sonido. Sonido: Onda producida por la vibración de un cuerpo elástico que se propaga por un medio material en forma de ondas longitudinales en todas las direcciones y con velocidad constante si el medio es homogéneo, pero que se propaga a distinta velocidad en distintos medios. En el aire a 0 ºC aproximadamente se propaga a 340 m/s pero en el agua a unos 1500 m/s y en el hierro a 5130 m/s. Las ondas sonoras se caracterizan y se distinguen unas de otras por 3 cualidades que son: 18

19 Sonoridad: relacionada con la intensidad de la onda Tono: relacionado con la frecuencia de la onda Timbre: relacionado con la forma de la onda INTENSIDAD: como el sonido es una onda, su intensidad se define como la energía que atraviesa la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda en la unidad de tiempo. Su unidad en el S.I es el W/m I = E S.t = P S Como la intensidad es directamente proporcional a la amplitud de la onda elevada al cuadrado, en función de la intensidad los sonidos se clasifican en fuertes si la amplitud es muy grande y débiles si la amplitud es pequeña. SONORIDAD: percepción que tiene el oído humano cuando recibe sonidos de distinta intensidad. Por lo tanto, la sonoridad depende de la intensidad del sonido pero también depende de la frecuencia del sonido. El oído humano percibe sonidos que van desde una intensidad mínima o intensidad umbral de 10-1 W/m hasta una intensidad máxima a partir de la cual produce dolor (1 W/m ) y con unas frecuencias que van desde una frecuencia mínima o frecuencia umbral desde 0 Hz hasta la máxima de Hz. Los sonidos emitidos por debajo de 0 Hz son infrasonidos, y los emitidos por encima de Hz ultrasonidos. Sonidos con la misma intensidad no se perciben igual a distintas frecuencias. La frecuencia a la que normalmente mejor se percibe la intensidad de un sonido está entre 000 y 3000 Hz La sonoridad se calcula: s = 10 log I I W/m en donde I 0 es la intensidad umbral que vale En el S.I la sonoridad se mide en decibelios (db) que va desde 0 decibelios el valor mínimo hasta 10 db el valor a partir del cual comienza el umbral del dolor Valor mínimo: s = 10 log = 10 log 1 = 0 db Umbral del dolor: s = 10 log = 10 log 101 = 10 db TONO: cualidad del sonido que permite distinguir entre sonidos graves y agudos. Los graves son los que emiten a frecuencias bajas y los agudos a frecuencias altas. TIMBRE: cualidad del sonido que permite distinguir entre sonidos emitidos por dos instrumentos distintos que tienen igual intensidad y tono. Esto es debido a que los sonidos emitidos por cualquier instrumento tienen una onda fundamental sobre la que se superponen 19

20 más o menos armónicos que son sonidos cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la onda fundamental y en función de los armónicos superpuestos las notas suenan distintas ESTUDIO CUALITATIVO DE LA CONTAMINACIÓN ACÚSTICA Se considera ruido al conjunto de sonidos cuyas frecuencias no guardan ninguna relación entre sí. La contaminación acústica es el conjunto de sonidos y ruidos que se propagan por el aire en el entorno en que vivimos. Los ruidos de nivel superior a 60 db actuando durante largos periodos de tiempo, pueden producir una pérdida de audición para determinadas frecuencias. Si los ruidos tienen una intensidad superior a 10 db producen sensaciones dolorosas, pero si son de más de 140 db pueden provocar la ruptura del tímpano. Aparte de los ya mencionados, los ruidos provocan pérdidas de audición, interfieren en el sueño, disminuye la capacidad de concentración, producen trastornos en el aparato digestivo, dan lugar a una conducta agresiva debido al aumento de la secreción de adrenalina, afectan al sistema cardiovascular porque alteran el ritmo cardiaco y aumentan la tensión e incluso pueden producir desequilibrios psíquicos. Las principales fuentes de contaminación acústica provienen de los vehículos a motor (80%) de las industrias (10%) de los ferrocarriles (6%) y de los locales públicos (4%). La mejor forma de luchar contra la contaminación acústica es suprimir el ruido en origen, pero si esto no es posible hay que controlar los silenciadores de los tubos de escape de los vehículos, poner pantallas acústicas en las vías rápidas, obligar a los trabajadores a ponerse cascos protectores de ruidos, etc ESTUDIO CUALITATIVO DEL EFECTO DOPPLER Cuando escuchamos el sonido de la sirena de una ambulancia que pasa velozmente frente a nosotros, nos parece agudo cuando el vehículo se aproxima, y grave cuando se aleja. Este fenómeno fue observado y descrito por el austriaco Christian Doppler en el siglo XIX El efecto Doppler es el cambio que experimenta la frecuencia con la que se percibe un sonido respecto de la frecuencia con la que se ha originado, debido al movimiento relativo entre la fuente y el receptor. El efecto Doppler no es exclusivo del sonido sino que es general de todos los movimientos ondulatorios. Podemos considerar 3 casos: 0

21 1 er Caso: Observador en reposo y foco en movimiento La frecuencia aparente de un foco sonoro en movimiento aumenta cuando se aproxima el observador y disminuye cuando se aleja del mismo, debido a que cuando se acerca los frentes de onda se agolpan en el sentido del movimiento y se distancian en el sentido opuesto. La frecuencia que percibe el observador cuando se acerca es: ν = ν v v v foco Y cuando se aleja: v ν = ν en donde ν es la frecuencia del foco, v es la velocidad v+v foco de propagación de la onda y v foco velocidad del foco. º Caso: Observador en movimiento y foco en reposo En este caso la frecuencia percibida aumenta al acercarse el observador al foco y disminuye cuando se aleja del mismo, porque aunque la separación entre dos frentes de ondas permanece constante, se modifica la velocidad relativa con la que se propagan las ondas respecto al observador. Cuando el observador se acerca al foco Cuando el observador se aleja del foco ν = ν v+v obs v ν = ν v v obs v 3er Caso: Observador y foco en movimiento Aunque cuantitativamente los efectos no son iguales, la frecuencia aparente de un foco sonoro aumenta cuando la distancia relativa disminuye, haciéndose más aguda y si la distancia relativa aumenta, la frecuencia aparente del foco disminuye y el sonido se torna más grave. La frecuencia final que percibe el observador es: ν = ν v+v obs v v foco En donde las velocidades de acercamiento tienen signo positivo y las de alejamiento signo negativo. El efecto Doppler tiene aplicaciones en diversos campos de la Física. Por ejemplo el radar, además de detectar objetos y determinar su posición, permite establecer la velocidad de estos respecto del radar, a partir de la diferencia entre las frecuencias de la onda emitida y la reflejada. También sirve para otras ondas como la luz emitida por una estrella en movimiento, gracias a la cual podemos determinar que las galaxias se alejan porque la frecuencia de la luz que emiten tiene un corrimiento hacia el rojo que en el espectro visible es la que tiene menor frecuencia. 1