Fotodiodos en la determinación de la constante de Planck

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1 Fotodiodos en la determinación de la constante de Planck Franchino Viñas, Sebastián f ranchsebs@yahoo.com.ar Universidad Nacional de La Plata Grupo 2 Hernández Maiztegui, Francisco f ranx22182@hotmail.com Muglia, Juan Panelo, Mauro Salazar Landea, Ignacio juanchomu@hotmail.com mauropanelo@yahoo.com.ar peznacho@gmail.com Resumen Las ideas de Planck acerca de la cuantificación de la energía llevaron al comienzo de una nueva era en la física. El rol de la constante de Planck (h) en la física moderna es sin duda indiscutible. En el presente trabajo determinamos h relacionando la temperatura del filamente de un foco, con la intensidad de la corriente que circula por un fotodiodo polarizado inversamente situado frente a dicho emisor. El valor que obtenemos es h = (6, 6 ± 0, 7) J s, claramente comprendido dentro del valor h = (6, ± 0, ) J s que Alonso cita en su libro [1]. 1. Introducción A fines del siglo XIX, prácticamente todos los fenómenos de la naturaleza parecían explicados por las leyes físicas acumuladas a la fecha. Se creía que sólo era cuestión de tiempo para encontrar la relación existente entre los procesos todavía no entendidos y las leyes logradas por los grandes genios (vale citar a Newton y a Maxwell): Lord Kelvin sólo veía dos pequeñas nubes en el cielo de la física. Dichas nubes transformadas en huracán, fueron el puntapié inicial para el desarrollo de la física moderna, tanto relativista como cuántica. La idea fundamental de la mecánica cuántica es creer que la naturaleza prefiere la discreción al continuo: por ejemplo, una onda transporta energía en paquetes indivisibles. Partiendo de esta y otras hipótesis, se llega a leyes que siempre involucran una constante h (llamada constante de Planck en honor a su inventor/descubridor Max Planck) que determina el tamaño de los cuantos o partes indivisibles. El mismo Planck fue el primero en determinar el valor de h; el valor al que llegó es h = (6, 55 ± 0, 01) J s, realmente cercano al actualmente aceptado de h = (6, ± 0, ) J s [1]. En el presente trabajo, utilizando la teoría de radiación de cuerpo negro de Planck analizamos la irradancia de un foco común para una frecuencia dada. Para ello utilizamos un fotodiodo, elemento sensible a la intensidad de la radiación electromagnética en una zona del espectro. Finalmente, determinamos h considerando el ajuste a los datos obtenidos basándonos en la ecuación de Planck para la irradiancia de un cuerpo negro. 1

2 1.1. Fundamentos Físicos Radiación de cuerpo negro Se denomina cuerpo negro a aquel que absorbe en su totalidad la radiación que sobre él incide 1. En la práctica, el interior de una caja con un pequeño agujero se comporta como tal, y permite realizar experiencias en las que se observa que la energía radiada por unidad de intervalo de frecuencia es sólo función de la temperatura de la misma y la frecuencia de la onda emitida. Los datos experimentales obtenidos señaron el fracaso de muchas teorías que intentaban explicar la radiación del cuerpo negro. Uno de los primeros intentos de explicar el fenómeno fue el de Wien, a fines del siglo XIX, quien consideró a los átomos como osciladores armónicos que emiten luz con una frecuencia propia. El resultado que obtuvo es u(ν) dν = C 1 ν 3 c 4 exp C 2 ν T dν (1) donde u es la energía radiada por un cuerpo negro por unidad de volumen y de frecuencia, ν la frecuencia de emisión, T la temperatura absoluta a la que se encuentra el cuerpo, c la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío y C 1 y C 2 constantes que se deben ajustar a los datos experimentales. A partir de esta ecuación se obtienen buenos ajustes sólo para altas frecuencias. Luego, ya a comienzos del siglo XX, Lord Rayleigh y su discípulo Jeans, analizaron el problema desde el electromagnetismo. Dedujeron que en una cavidad metálica debían establecerse ondas electromagnéticas estacionarias, que consideraron como osciladores armónicos donde el grado de libertad es la amplitud del campo eléctrico. Utilizando además el principio de equipartición de la energía llegaron a la siguiente ecuación (k es la constante de Boltzmann): u(ν) dν = 8 π ν2 k T dν (2) c 3 Si bien dicha función aproxima para frecuencias bajas bien a los datos experimentales, a altas frecuencias difiere notablemente de ellos. A este inconveniente se le dio el nombre de catástrofe ultravioleta. Fue Max Planck, también a principio del siglo XX, quien encontró la falla de la física clásica al analizar el problema de la emisión. La equipartición de la energía analizada desde la mecánica estadística, como ya dijimos, asocia una energía promedio (Ē) a cada oscilador igual a k T : Planck sugiere, sin embargo, que para frecuencias altas la energía media debe tender a cero. Esta propuesta de introducir una dependencia de la energía media con la frecuencia de emisión, la filtra en sus cálculos utilizando un concepto que va más allá de la física clásica: la energía correspondiente a los osciladores se encuentra cuantizada, o dicho de otra manera, sólo puede tomar valores que son múltiplos de una cantidad E que depende de la frecuencia (0, E, 2 E,..., n E). Utilizando esos nuevos conceptos, se puede realizar un cálculo totalmente análogo al de Boltzmann para obtener la expresión de la energía media de un oscilador, sólo 1 Un libro que detalla los cálculos aquí realizados es el de Eisberg-Resnick [2]. 2

3 que en vez de considerar sumas sobre un continuo se hacen sumas discretas. El cálculo clásico (Ēc)y el de Planck (Ē) resultan ser: Ē c = n l E l dl E l dl = k T Ē = l=0 l E E l l=0 E l = E exp( E / k T ) 1 Comparando con los valores experimentales, Planck observó que su teoría se adaptaba bien a los datos disponibles si E dependía linealmente de la frecuencia: E = h ν Ē = h ν exp(h ν / k T ) 1 Podemos ahora volver a la ecuación de Rayleigh-Jeans y reemplazar el valor medio de energía k T considerado para el oscilador por el que figura en (4), para obtener la ley de radiación de Planck ampliamente validada por numerosos experimentos 2 : (3) (4) u(ν) = 8 π ν2 c 3 h ν exp(h ν / k T ) 1 dν = 8 π h ν3 c 3 1 exp(h ν / k T ) 1 dν (5) A partir de dicha ecuación deducimos que la intensidad de la radiación de un cuerpo negro para una frecuencia ν, a una temperatura T y en un punto del espacio (de posición r ) cumple: I(T, r, ν) = C(r) ν 3 exp(h ν / k T ) 1 (6) Resistencias y su variación con la Temperatura El valor de una resistencia se encuentra vinculado claramente a la temperatura a la que se encuentra la misma. Empíricamente se obtiene la siguiente relación que vincula la resistencia R de tungsteno a la temperatura T, sabiendo que a la temperatura T 0 la resistencia tenía un valor R 0 : T = T 0 ( R R 0 ) 5 6 (7) Fotodiodos Por un fotodiodo polarizado inversamente circula una corriente (i) que es proporcional a la intensidad lumínica sobre el mismo, siempre que esta supere una intensidad umbral. La corriente que circula cuando no incide luz sobre él, se denomina corriente oscura. Además, a fines prácticos el fotodiodo es sensible sólo en una región del espectro 2 Observar que para frecuencias altas se obtiene la ecuación propuesta por Wien, mientras que un desarrollo lineal de la exponencial exp(h ν / k T ) alrededor de cero conduce a la ecuación de Rayleigh- Jeans. 3

4 electromagnético (ν 0 ± ν), por lo que en principio se puede considerar la intensidad sobre el fotodiodo correspondiente a una única frecuencia ν 0 con una incertidumbre ν. A partir de dichas observaciones, resulta la siguiente relación, donde a es una constante e I(T,ν 0 ) la intensidad para una frecuencia ν 0 a una temperatura T : i(t, ν 0 ) = a I(T, ν 0 ) (8) Si el fotodiodo recibe radiación de un cuerpo negro con h ν 0 k T, combinamos (6) y (8) para obtener, con b y D constantes: i(t, ν 0 ) = a C(r) h ν ν 3 0 exp(h ν / k T ) = b exp k T ln (i(t, ν 0 )) = h ν k T + D (9) 2. Dispositivo y Procedimiento Experimental El circuito que utilizamos para realizar la determinación de la constante de Plank, es el que se observa en la Figura 1 : el mismo permite registrar la corriente que circula por el fotodiodo polarizado inversamente para una temperatura dada del filamento de tungsteno de una lámpara. Para ello, conectamos la lámpara a un transformador de voltaje variable en un rango de 0 y 250 V., y este a la red de distribución domiciliaria de electricidad. Aumentando el voltaje en la salida del transformador, logramos un incremento en la temperatura del filamento; a su vez, esto ocasiona una variación en la radiación emitida por el filamento que tiene como resultado una variación en la corriente que circula por el fotodiodo. Intentando evitar la influencia de la radiación no proveniente del foco en el comportamiento del fotodiodo, colocamos la lámpara junto con el fotodiodo en un tubo de acrílico negro. Figura 1. Circuito utilizado. Para determinar la temperatura del filamento, recordamos que ella se encuentra relacionada con la resistencia del mismo (R) de acuerdo a la ecuación (7). También es válida la ley de Ohm, que relaciona la resistencia R con la corriente efectiva a 4

5 través de la lámpara (i 1 ) y la diferencia de potencial efectiva en los bornes de la misma (V 1 ) 3. Gracias a un amperímetro conectado en serie y un voltímetro en paralelo podemos registrar estas últimas magnitudes, que en definitiva, nos permiten determinar la temperatura del filamento si conocemos su resistencia para una dada temperatura. Es por ello que determinamos la resistencia de las dos bombilla utilizadas (una de 40 y otra de 75 W.) a temperatura ambiente: medimos la resistencia de la bombilla mediante un multímetro de resolución 0, 1Ω; a este valor le restamos la resistencia de los cables para obtener la verdadera resistencia del filamento, que tendrá una incertidumbre del doble de la resolución del instrumento (0, 2 Ω); la temperatura ambiente es medida utilizando una termocupla Cole - Parmer Instrument Company modelo de resolución 0,1 o C; la incertidumbre en este caso está dada por la resolución del instrumento (en la tabla 1 se detallan las medidas para las dos lámparas utilizadas). Potencia de la R de la lámpara R de los R de la lámpara Temperatura Lámpara [W] medida [Ω] cables [Ω] determinada [Ω] Ambiente [ o C] 40 86, 2 ± 0, 1 0, 9 ± 0, 1 85, 3 ± 0, 2 18, 8 ± 0, , 5 ± 0, 1 0, 9 ± 0, 1 44, 6 ± 0, 2 17, 7 ± 0, 1 Tabla 1. Determinación de la resistencia del filamento a temperatura ambiente. Por otro lado, no medimos la corriente i 2 que circula por el fotodiodo, sino que utilizamos un amplificador y registramos mediante un voltímetro la diferencia de potencial V 2 en su salida: esta es proporcional a i 2, por lo que la relación (9) continúa siendo válida si reemplazamos V 2 por i 2 (sólo varía la constante D). Llegados a este punto, cabe aclarar que el fotodiodo no responde de la misma manera a radiación de diferentes longitudes de onda. La figura 2 muestra la sensibilidad relativa en función de la longitud de onda. Consideramos que la longitud de onda de la radiación a la que responde el fotodiodo es de (950 ± 100) nm., descartando longitudes de onda con sensibilidad relativa menor a 0,5. Continuando con las características del fotodiodo, en la figura 3 se muestra la dependencia de la corriente inversa que circula por el diodo con la intensidad lumínica. 3 La ley de Ohm establece para un circuito resistivo puro como el considerado que R = V 1 i. 5

6 Figura 2. Sensibilidad relativa respecto de la longitud de onda incidente. Figura 3. Corriente inversa respecto de la irradiancia. La experiencia en sí, la comenzamos incrementando el voltaje que entrega el transformador en pasos de aproximadamente 15 V. Luego de transcurridos 20 seg. que permiten al sistema equilibrarse, anotamos las lecturas de los voltímetros y el amperímetro; en todos los casos obtenemos intervalos, debido a que los valores que entregan varían en el tiempo entre un valor mínimo y uno máximo. Consideramos como valor representativo de dicho intervalo al centro del mismo, y le asignamos una incertidumbre igual a la mitad del largo del intervalo (despreciamos la incertidumbre por la resolución del instrumento frente a este valor). Una vez que llegamos a un valor de 220 V. en la salida del transformador, comenzamos a disminuirlo en pasos siempre cercanos a 15 V. y realizamos la toma de datos correspondiente. 3. Resultados y Discusión Haciendo uso de la ecuación (7), determinamos, para cada valor de voltaje y corriente en las lámparas, la correspondiente temperatura a la que se encontraban las mismas. Luego, con los datos de diferencia de potencial en el fotodiodo medidos directamente, hacemos los gráficos de logaritmo natural del voltaje V 2 en función de la recíproca de la temperatura del filamento incluyendo los datos conseguidos tanto al aumentar como disminuir la temperatura. La incertidumbre para estas magnitudes las determinamos mediante el método de propagación de incertidumbres. En esos gráficos observamos que para valores altos de temperatura, existe un comportamiento lineal entre los dos parámetros; ello no se da para temperaturas cercanas a la ambiente. 6

7 Figura 4. Gráfico de ln(v) en función de 1/T para la lámpara de 75 watts. Es claro en este gráfico que la linealidad sólo se da a partir de ciertas temperaturas. Figura 5. Gráfico de ln(v) en función de 1/T para la lámpara de 40 watts. Aquí es aún más evidente la no linealidad para ciertas temperaturas. Aducimos la no linealidad de esos puntos al hecho de que el filamento de la lámpara, a temperaturas bajas, no emite radiación con una intensidad superior a la umbral (para 7

8 longitudes de onda cercanas a aquellas en las que el fotodiodo es sensible). Entonces, la corriente no se comporta linealmente con la intensidad y esto conduce a los puntos obtenidos. A manera estimativa, la energía por unidad de volumen que emite el foco en la región (950 ± 100) nm a una temperatura de 750 K es aproximadamente 1 J m 3 mientras que para 1200 K asciende a 2200 J m 3. Esta explicación concuerda con el hecho de que el voltaje medido en la salida del amplificador, para temperaturas bajas, toma un valor constante. Dado que deseamos utilizar la relación lineal existente a partir de cierta intensidad, eliminamos los datos para bajas temperaturas de ambos gráficos, y ajustamos los puntos restantes a ecuaciones de la forma y = M x + B. Los mismos resultan ser buenos, a juzgar por el valor del Reduced χ 2. Figura 6. Ajuste lineal del gráfico de ln(v) en función de 1 T El resultado del ajuste es: M = ( ± 100) K B = (7, 79 ± 0, 06) ln(v ) Reduced χ 2 = 0, 9992 para la lámpara de 75 watts. 8

9 Figura 7. Ajuste lineal del gráfico de ln(v) en función de 1/T para la lámpara de 40 watts. El resultado del ajuste es: M = ( ± 100)K B = (7, 31 ± 0, 06)ln(V ) Reducedχ 2 = 0, Con estos resultados, podemos determinar la constante de Planck recordando que de acuerdo a la ecuación (9), la pendiente M toma la siguiente forma: M = h ν k = h c k λ = h = M k λ c En esta ecuación, k = (1, 38065±0, 00001) J es la constante de K Boltzmann[1], y c = ( ± 1) m es la velocidad de la luz en el s aire[1]. La longitud de onda que consideramos, como se discute en la sección dispositivo experimental, es λ = (950 ± 100) nm. A partir de los datos recabados para cada lámpara, determinamos un valor de la constante de Planck con una incertidumbre dada nuevamente por la propagación de errores correspondiente: Para la lámpara de 75 W: h 1 = (6, 5 ± 0, 7) J s Para la lámpara de 40 W: h 2 = (6, 6 ± 0, 7) J s Para obtener el valor final, realizamos un promedio de los mismos y le asignamos como incertidumbre la correspondiente a uno de ellos: h = (6, 6 ± 0, 7) J s 9

10 El valor de h que Alonso [1] da es h = (6, ± 0, ) J s, que está incluido en el resultado obtenido. Por otro lado, la incertidumbre porcentual en nuestro valor ronda el 10 %, que, si bien es alta, se debe a la incertidumbre en la longitud de onda cercana también al 10 %. Utilizar un fotodiodo con una curva de sensibilidad relativa con un pico más pronunciado, seguramente acarrearía una disminución en la incertidumbre final de h. Además, a pesar de haber determinado la inversa de la temperatura de una manera totalmente indirecta, la incertidumbre que le corresponde se mantiene en todos los casos menor al 5 % lo que permite realizar un buen ajuste a los datos. 4. Conclusiones Utilizando una bombilla común y un fotodiodo determinamos el valor h = (6, 6 ± 0, 7) J s para la constante de Planck. Dicho valor incluye al observado en la bibliografía (h = (6, ±0, )10 34 J s de Alonso [1] ), por lo que podemos establecer que el método experimental es exacto. Por otra parte, la incertidumbre del valor final cercana al 10 % habla de una precisión baja. Seguramente podríamos disminuirla utilizando un fotodiodo con sensibilidad concentrada en un intervalo menor de longitudes de onda. Finalmente, sería apropiado poder verificar que para bajas temperaturas la diferencia de potencial que detectamos a la salida del amplificador corresponde a la corriente oscura. Referencias [1] Alonso, M. y Finn, E., Física, pág. 948, Pearson Eduación (1995). [2] Eisberg, R. y Resnick, R., Física Cuántica, pág. 19 a 39, Noriega Editores (1997). 10