Dr. Joaquin Aldas-Manzano

Transcripción

1 Departamento de Comercialización e Investigación de Mercados Departament de Comercialització i Investigació de Mercats Doctorado Interuniversitario en Marketing Análisis de Datos Avanzado ANÁLISIS FACTORIAL CONFIRMATORIO Apuntes y ejercicios Dr. Joaquin Aldas-Manzano

2 Nota importante Los presentes apuntes forman parte del borrador del libro de Joaquín Aldás y Ezequiel Uriel Análisis Multivariante Aplicado que será próximamente publicado por la editorial Thomson-Paraninfo. Por lo tanto, como tal borrador pueden existir erratas, siendo bienvenidos todos los comentarios que las detecten y sugerencias sobre la mejora del capítulo. 2

3 13 ECUACIONES ESTRUCTURALES: ANÁLISIS FACTORIAL CONFIRMATORIO 13.1 INTRODUCCIÓN El presente capítulo es el primero de los dos capítulos dedicados a ecuaciones estructurales. Además de su interés en si mismo, facilita el tránsito al segundo capítulo dedicado a modelos de estructuras de covarianza. Por qué el desarrollo del Análisis Factorial Confirmatorio (AFC) facilita este tránsito? Básicamente por dos razones. En primer lugar, porque su desarrollo se sigue con facilidad una vez el lector ha visto el capítulo dedicado al análisis factorial exploratorio y, en segundo lugar, porque la herramienta estadística que lo resuelve es, esencialmente, la misma que emplearemos en los modelos de estructuras de covarianza. Muchos son los textos que el lector puede utilizar para profundizar en el análisis del AFC que, en su gran mayoría, también incluyen el desarrollo de los modelos de estructuras de covarianza. La elección de uno u otro suele ir ligada a la decisión acerca del programa estadístico que se prefiera utilizar. El SPSS incluía, hasta hechas recientes, el programa LISREL (Jöreskog y Sörbom, 1989) como módulo opcional, convirtiéndolo en el de uso más extendido. Si se opta por este programa, Sharma (1996) ofrece una buena introducción con salidas comentadas o, si se prefiere un texto con mayor profundidad, puede recurrirse a Long (1983). Si, por el contrario, el lector opta por el EQS (Bentler, 1995), con un sistema de notación mucho más intuitivo en nuestra opinión (Bentler y Weeks, 1980), una buena guía es, sin duda, el texto de Byrne (1994). Una buena alternativa para aquellos que no se atreven a decidirse por uno u otro tipo de software, es recurrir al módulo CALIS del SAS, que permite utilizar alternativamente cualquiera de las dos notaciones. En este caso, Hatcher (1994) es un buen texto. Finalmente, puede recurrirse a Ullman (1996) para una aproximación a esta técnica con salidas comparadas de todos los programas mencionados. 3

4 Dado que, como hemos indicado, la notación de Jöreskog y Sörbon (1989) es la más conocida, será la que utilizaremos en el desarrollo del tema. Sin embargo, llegado el momento, presentaremos también la de Bentler y Weeks (1980) y demostraremos la equivalencia de ambas. Para introducirnos en el AFC es necesario presentar una serie de convenciones y términos no utilizados hasta el momento. Lo haremos basándonos en un ejemplo que nos servirá para ver la diferencia entre el AFC y el análisis factorial exploratorio y los modelos de estructuras de covarianza que analizaremos en el próximo tema. CASO 13.1 Componentes de la inteligencia Supongamos que un investigador ha recogido las notas de 275 alumnos de secundaria en seis asignaturas: Lengua (L), Filosofía (FSF), Historia (H), Matemáticas (M), Física (FSC) y Química (Q). En el cuadro 13.1 se recogen las correlaciones entre estas seis variables. Nuestro investigador se plantea una cuestión a la que quiere dar respuesta. Asumiendo que las notas de un alumno miden su inteligencia (I), desearía saber si estas se agrupan en un único factor (la inteligencia) o, por el contrario, miden distintos aspectos de la misma, por ejemplo, la inteligencia cuantitativa (IQ) y la inteligencia verbal (IV). Cuadro 13.1 Matriz de correlaciones entre las notas de los 275 estudiantes L FSF H M FSC Q X 1 =L 1 X 2 =FSF 0,493 1 X 3 =H 0,401 0,314 1 X 4 =M 0,278 0,347 0,147 1 X 5 =FSC 0,317 0,318 0,183 0,587 1 X 6 =Q 0,284 0,327 0,179 0,463 0,453 1 Si suponemos que el investigador no tiene una hipótesis a priori acerca de qué estructura es la adecuada (un único componente de la inteligencia o dos), decidirá efectuar un análisis factorial exploratorio para ver cuántos factores obtiene. Su planteamiento aparece recogido gráficamente en la figura Las variables observadas o manifiestas o indicadores, es decir, aquellas que se han medido (las notas en los alumnos en nuestro ejemplo), aparecen insertadas en un cuadrado y se denotan como X 1,...,X 6. Las variables latentes, esto es las no observables o subyacentes (por ejemplo, los factores, como la inteligencia en general, o la inteligencia verbal o cuantitativa en particular), aparecen rodeadas por círculos. Una flecha recta desde una variable latente a una variable observada, indica una relación de causalidad. Así el factor ξ 1 está causando las notas de los alumnos en las seis asignaturas, es decir, la mayor o menor inteligencia cuantitativa provoca que los alumnos tengan notas diferentes. El término λ que aparece en cada una de las relaciones causales o paths es el parámetro que mide la intensidad de la relación, esto es, el término que denominamos carga factorial en una análisis factorial exploratorio, o el coeficiente estandarizado asociado a una variable independiente en una regresión múltiple. 4

5 Figura 13.1 Modelo de análisis factorial exploratorio φ12=φ21 ξ1 ξ2 λ61 λ12 λ11 λ51 λ21 λ31 λ41 λ22 λ32 λ62 λ42 λ52 x1 x2 x3 x4 x5 x6 δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 Las variables latentes son de dos tipos. Los mencionados factores comunes (ξ), que son comunes en cuanto que sus efectos son compartidos por más de una variable observada, y los factores específicos o errores (δ). Como se comprueba en la figura 13.1, cada uno de estos factores afecta solamente a una variable observada, y son errores aleatorios que se pueden haber producido en la medida de la variable observada. Finalmente, la flecha curva con dos puntas que une a los factores comunes, indica que estas variables están correlacionadas con una intensidad φ 12. Planteados los convenios de representación y los términos empleados en el AFC que son comunes a los de los modelos de estructuras de covarianza, que se examinarán en el próximo tema, nos restaría por señalar las diferencias del análisis factorial confirmatorio con respecto al análisis factorial exploratorio, examinado en el tema 12, o con respecto al modelo de estructuras de covarianza. Volviendo a nuestro ejemplo, el investigador quiere saber si las notas están midiendo un único componente de la inteligencia o, por el contrario, reflejan el efecto de varios componentes. Como él no tiene establecida una hipótesis a priori, su análisis factorial ha de contemplar como plausibles todas las posibilidades. Un caso extremo consistiría en que todas las variables carguen de forma significativa sobre un solo factor. Un caso intermedio, aunque puede haber otras muchas combinaciones, consistiría en que un grupo de variables cargue significativamente sobre un factor y el resto de variables lo haga sobre un segundo factor. La figura 13.1 recoge todas las posibilidades y, en concreto, estos dos casos. En el primer caso, λ 11, λ 21,..., λ 61 serían significativos, mientras que λ 12, λ 22,..., λ 62 no lo serían. En el segundo caso, λ 11, λ 21 y λ 31 tendrían un valor significativo y λ 41, λ 51, λ 61 no (las notas en literatura, filosofía e historia cargan sobre un factor, inteligencia verbal, y no sobre el otro); por otra parte, λ 12, λ 22, λ 32 tendrían un valor no significativo, mientras que λ 42, λ 52, λ 62 sí (las notas en 5

6 matemáticas, física y química cargan sobre un factor, la inteligencia cuantitativa). El investigador debe efectuar un análisis factorial exploratorio con objeto de averiguar cuál de las dos posibilidades (o cualquiera de las otras muchas que sugiere la figura 13.1) es más verosímil de acuerdo con los datos. Ahora bien, el investigador basándose en estudios previos o en una revisión de la literatura existente, puede considerar la hipótesis, por ejemplo, de que no existe una medida global de la inteligencia sino dos tipos alternativos de la misma: inteligencia verbal (que explicaría las calificaciones en lengua, filosofía e historia) e inteligencia cuantitativa (que explicaría las obtenidas en matemáticas, física y química). Si éste es el caso, el análisis exploratorio ya no tiene sentido, ya que el investigador lo que pretende es confirmar o no la verosimilitud de su hipótesis. Su planteamiento aparece recogido ahora en la figura El investigador puede plantearse otra hipótesis alternativa según la cual, sí existe una sola medida global de la inteligencia que, a su vez, causa la inteligencia verbal y la cualitativa (figura 13.3). Su misión consistiría, ahora, en determinar cuál de los dos modelos es más verosímil de acuerdo con los datos. En este segundo caso, ha establecido una relación de causalidad, no de correlación, entre una o más variables latentes. El modelo deja de ser un AFC para convertirse en un modelo de estructuras de covarianza. Nótese en la figura 13.3 que, ahora, los factores ξ 1 y ξ 2 no son variables independientes (además de salir una flecha causal de ellas, también la reciben), por lo que están sujetos a un error de predicción que se denomina perturbación (disturbance) y que se suele denotar mediante la letra ζ. Los coeficientes de estos path se designan con la letra β. Figura 13.2 Modelo de AFC φ12=φ21 ξ1 ξ2 λ11 λ21 λ31 λ42 λ52 λ62 x1 x2 x3 x4 x5 x6 δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 θ12=θ21 θ32=θ23 θ45=θ54 θ56=θ65 θ13=θ31 θ46=θ64 6

7 Figura 13.3 Modelo de estructuras de covarianzas β13 ξ3 β23 ζ1 ξ1 ξ2 ζ2 λ11 λ21 λ31 λ42 λ52 λ62 x1 x2 x3 x4 x5 x6 δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ FORMALIZACIÓN MATEMÁTICA DEL AFC A partir del problema de AFC ilustrado en la figura 13.2, presentaremos a continuación la formalización del mismo siguiendo la notación de Jöreskog y Sörbom, (1989), tal y como la ofrece Long (1983). La relación entre las variables observadas y las latentes de la figura 13.2, pueden expresarse: x 1 = λ 11 ξ 1 + δ 1 x 2 = λ 21 ξ 1 + δ 2 x 3 = λ 31 ξ 1 + δ 3 x 4 = λ 42 ξ 2 + δ 4 x 5 = λ 52 ξ 2 + δ 5 x 6 = λ 62 ξ 2 + δ 6 Si recurrimos a la notación matricial, la anterior expresión adoptaría la forma: x 1 λ 11 0 δ 1 x 2 λ 21 0 δ 2 x 3 λ 31 0 ξ 1 δ 3 = + x 4 0 λ 42 ξ 2 δ 4 x 5 0 λ 52 δ 5 x 6 0 λ 62 δ 6 o de manera compacta: 7

8 x = Λξ + δ (13-1) donde, en general, x es un vector q 1 que contiene las q variables observadas, ξ es un vector s 1 que contiene los s factores comunes, Λ es una matriz q s que contiene las cargas factoriales de las variables latentes y δ es un vector q 1 de los factores específicos o errores. Asumimos que el número de variables observadas será siempre mayor que el de factores comunes, o lo que es lo mismo que q>s. Tanto las variables latentes como las observadas de la expresión (13-1) vienen expresadas como desviaciones sobre la media, con lo que la esperanza de cada vector es otro vector de ceros: E(x)=0; E(ξ)=0 y E(δ)=0. Este desplazamiento respecto al origen, no afecta a las covarianzas entre las variables. Si denotamos como Σ a la matriz de varianzas covarianzas entre las variables observadas (vector x), de acuerdo con 13.1, resulta que: Σ= E( xx ) = E ( Λξ+δ)( Λξ+δ ) Teniendo en cuenta que la traspuesta de una suma de matrices es la suma de las traspuestas y que la traspuesta de un producto es el producto de las traspuestas en orden inverso, tenemos que: Σ = E [( Λξ +δ)( ξ Λ+δ )] y teniendo en cuenta la propiedad distributiva y calculando la esperanza: [ ] [ Λξξ Λ ] [ Λξδ ] [ δξ Λ ] [ δδ ] Σ = E Λξξ Λ + Λξδ + δξ Λ + δδ = E + E + E + E Dado que la matriz Λ no contiene variables aleatorias, al ser constantes los parámetros poblacionales, se tiene que: [ ] [ ] [ ] [ ] Σ = ΛE ξξ Λ + ΛE ξδ + E δξ Λ + E δδ (13-2) Si hacemos Φ = E Θ = E [ ξξ ] [ δδ ] y asumimos que δ y ξ están incorrelacionados entre sí, la expresión (13-2) puede escribirse del siguiente modo: 8

9 Σ=ΛΦΛ + Θ (13-3) Es muy importante, para desarrollos posteriores, analizar el contenido de la expresión (13-3). Así, en el primer miembro aparece una matriz que contiene q(q+1)/2 varianzas y covarianzas distintas de las variables observadas 1. En el segundo miembro aparecen q s cargas factoriales (Λ), s(s+1)/2 varianzas y covarianzas entre los factores comunes (ξ) y q(q+1)/2 varianzas y covarianzas entre los factores específicos (δ). Por lo tanto, la expresión (13-3) expresa los q(q+1)/2 elementos distintos de Σ en función de [qs+s(s+1)/2+q(q+1)/2] parámetros desconocidos de las matrices Λ, Φ y Θ. Así pues, los parámetros que se deberán estimar aparecen vinculados mediante la expresión (13-3) a los valores de las varianzas y covarianzas poblacionales de las variables observadas. En el ejemplo ilustrado en la figura 13.2 se introducen restricciones adicionales sobre las cargas factoriales y se asume que δ 1, δ 2 y δ 3 están incorrelacionadas con δ 4, δ 5 y δ 6. Teniendo en cuenta estas restricciones y dado que existen q=6 variables observadas y s=2 factores comunes, las matrices que contienen los parámetros a estimar adoptarán la forma siguiente: λ 11 0 θ11 θ12 θ λ 21 0 θ21 θ22 θ λ 31 0 φ φ θ θ θ Λ = Φ = Θ = ; ; 0 λ 42 φ12 φ θ44 θ45 θ θ54 θ55 θ56 0 λ 52 0 λ θ64 θ65 θ66 62 donde los subrayados indican que esos elementos de las matrices Λ y Θ son 0 por la especificación concreta que tiene el modelo que se quiere contrastar. Lógicamente, si el investigador asumiera otras hipótesis la configuración de estas matrices sería distinta. De hecho, tal como hemos comentado anteriormente, en general, la matriz Θ tiene 6(6+1)/2 = 21 elementos distintos a estimar (el triángulo inferior), mientras que en nuestro caso, dado el modelo especificado, sólo hay 12. A qué se reduce, a grandes rasgos, el método AFC? La finalidad de este método es obtener estimaciones de las matrices Λ, Φ y Θ que hagan que la matriz de varianzas y covarianzas poblacional estimada Σ obtenida a partir de ellas, sea lo más parecida posible a la matriz de varianzas y covarianzas muestral que se obtiene a partir de los valores muestrales de las variables observadas. Pero para poder entrar en el procedimiento de estimación, es necesario abordar previamente el problema de la identificación que se plantea en el método AFC IDENTIFICACIÓN DEL MODELO EN EL AFC En el epígrafe anterior, hemos visto que en el método AFC disponemos de una serie de datos (las varianzas y covarianzas muestrales de las variables observadas) y con ellos hemos de estimar una serie de parámetros (cargas factoriales, varianzas y covarianzas de los factores comunes, y varianzas y covarianzas de los factores específicos o errores). Al igual que ocurre 1 Para determinar el número de varianzas y covarianzas distintas, téngase en cuenta que Σ es una matriz q q simétrica 9

10 con un sistema de ecuaciones lineales, podemos disponer en principio de más ecuaciones que incógnitas, del mismo número o de mayor número de incógnitas que ecuaciones. Pues bien, la identificación del modelo en el AFC hace referencia, precisamente, a la cuestión de si los parámetros del modelo pueden o no ser determinados de forma única. En palabras de Long (1983), si se intenta estimar un modelo que no esté identificado, los resultados que se obtendrán serán estimaciones arbitrarias de los parámetros lo que desembocará en interpretaciones carentes de sentido. En el apéndice A13.1 se demuestra cómo, si no se imponen restricciones a los parámetros a estimar, necesariamente habrá un número infinito de soluciones posibles para los mismos. Qué tipo de restricciones pueden imponerse a los parámetros? Por ejemplo, si una carga factorial λ ij de la matriz Λ se fija a 0, estaremos indicando que el factor ξ j no afecta causalmente a la variable observada x i. Si fijamos a 0 el elemento φ ij de la matriz Φ, estaremos señalando que los factores ξ i y ξ j están incorrelacionados. Si todos los elementos de la matriz Φ fuera de la diagonal se fijan a 0, los factores serán ortogonales (como ocurre en el análisis factorial exploratorio, por ejemplo). Restricciones similares se pueden imponer a los elementos de la matriz Θ. Long (1983) señala que existen una serie de condiciones para que el modelo esté identificado: necesarias (si no se dan, el modelo no está identificado), suficientes (si se dan el modelo está identificado, pero si no se dan no tiene porqué no estarlo) y necesarias y suficientes (si se dan el modelo está identificado y si no se dan está no identificado). No hay acuerdo entre la literatura acerca de si existen o no las condiciones necesarias y suficientes. Jöreskog y Sörbom (1989) señalan que el análisis de la llamada matriz de información, construida a partir de la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores de los parámetros, puede servir para establecer si el modelo está identificado. Estos autores señalan que si la matriz de información es definida positiva es casi seguro que el modelo está identificado. Por el contrario, si la matriz de información es singular, el modelo no está identificado. Las cursivas son de Long (1983) y las introduce porque indica que, dado que los programas existentes verifican esta condición, si no hacen advertencias acerca de problemas en esta matriz, estaríamos ante un buen indicador de que el modelo está identificado pero, en su opinión, aún siendo la matriz definida positiva es posible, aunque improbable, que el modelo no esté identificado. Otros autores, como Hatcher (1994) y Ullman (1996) confían también en las advertencias de los programas como indicadores de no identificación. En general, la mayoría de textos optan por recomendar que se comprueben una serie de condiciones necesarias que suelen demostrarse como lo suficientemente exigentes para garantizar la identificación del modelo. Siguiendo a Hatcher (1994) y Ullman (1996), el investigador debería centrarse en las siguientes tareas: 1. Comparar el número de datos con el número de parámetros que han de estimarse. Los datos son siempre las varianzas-covarianzas muestrales, y hemos visto que existen q(q+1)/2. Como el número de parámetros a estimar es qs+[s(s+1)/2]+[q(q+1)/2], el modelo estará sin identificar si no se imponen, al menos, qs+[s(s+1)/2] restricciones. Decimos al menos porque sólo si hay más datos que parámetros, el modelo está sobreidentificado (caso particular de identificación), lo que hace que, al existir grados de libertad, será posible la aceptación o el rechazo del modelo. 2. Establecer una escala para los factores comunes. Esto se consigue fijando la varianza de cada factor común a 1 o el coeficiente de regresión (carga factorial) de una de las variables observadas que cargan sobre cada factor a 1. Si esto no se hace se produce el 10

11 denominado problema de indeterminación entre la varianza y las cargas factoriales, es decir, es imposible distinguir entre los casos en los que un factor tiene una varianza grande y las cargas son pequeñas y el caso en que las varianzas son pequeñas y las cargas altas. 3. Asegurar la identificabilidad de la parte del modelo que contiene la relación entre las variables observadas y los factores. Para ello debe analizarse el número de factores y el número de variables observadas que cargan sobre cada factor. Si solo hay un factor, el modelo puede estar identificado si el factor tiene al menos tres variables con cargas no nulas sobre él. Si hay dos o más factores, examínese el número de variables observadas de cada factor. Si cada factor tiene tres o más variables que cargan sobre él, el modelo puede estar identificado si los errores asociados con los indicadores no están correlacionados entre sí, cada variable carga sólo sobre un factor y los factores pueden covariar entre ellos. Si sólo hay dos indicadores por factor, el modelo puede estar indentificado si los errores asociados con cada indicador no están correlacionados, cada indicador carga sólo sobre un factor y ninguna de las covarianzas entre los factores es igual a cero. 4. Fijar arbitrariamente el coeficiente de regresión del término de error al valor 1 2. La aplicación de las condiciones expuestas al modelo de la figura 13.2, que nos viene sirviendo de ejemplo, se ilustran en figura Figura 13.4 Modelo de AFC identificado φ12=φ21=* ξ1* ξ2* 1=λ11 1=λ42 λ21=* λ31=* λ52=* λ62=* x1 x2 x3 x4 x5 x δ1* δ2* δ3* δ4* δ5* δ6* 0=θ12=θ21 0=θ32=θ23 0=θ45=θ54 0=θ56=θ65 0=θ13=θ31 0=θ46=θ64 2 En el modelo (13-1), como puede verse, los coeficientes correspondientes al término de error (δ) son 1. Sin embargo, en algunos programas de ordenador para tratamiento del AFC se permite fijar los coeficientes δ a valores distintos de 1. 11

12 En primer lugar, recordemos que disponemos para estimar el modelo señalado de 6(6+1)/2=21 datos, que se corresponden con las varianzas covarianzas de las variables observadas. Tenemos que estimar, en principio, 6 2+(2 3/2)+(6 7/2)=36 parámetros. Estos parámetros son 12 coeficientes de regresión (cargas factoriales), la varianza de los 2 factores comunes, la covarianza entre ellos, 6 coeficientes de regresión entre las variables observadas y los factores específicos, las 6 varianzas de los factores específicos y las 15 covarianzas entre esos factores específicos. Veamos en qué medida las condiciones de determinación anteriores influyen en esta situación. En primer lugar, resolvemos el problema del establecimiento de la escala de los factores comunes. Obsérvese en la figura 13.4 como se ha fijado a 1 el coeficiente de regresión entre la variable x 1 y el primer factor y ente la variable x 4 y el segundo factor. Como indicábamos podríamos haber fijado a 1 la varianza de ambos factores y dejar libres los mencionados parámetros. Nótese que hemos señalado con un * aquellos parámetros que sigue siendo necesario estimar tras la identificación del modelo. A continuación aseguramos la identificabilidad de la parte del modelo que contiene la relación ente las variables observadas y los factores. En nuestro caso tenemos dos factores y tres variables observadas sobre cada uno de ellos. Entonces, tal como señalamos con anterioridad, se han adoptado los supuestos de que los errores asociados con los indicadores (δ) no estan correlacionados entre sí (es decir, las covarianzas θ ij se han hecho 0, como se observa en la figura 13.4), y de que cada variable carga sólo sobre un factor. Por otra parte, sí se ha permitido que las covarianzas entre los factores sean no nulas (las φ ij están marcadas con * para ser estimadas). Finalmente, los coeficientes de regresión entre las variables observadas y los términos de error se han fijado arbitrariamente a 1. Tras haber efectuado estas restricciones, cabe preguntarse el modelo está identificado, o sobreidentificado, y, en consecuencia, puede ser sometido a contraste? En otras palabras, hay más datos que parámetros a estimar? O, análogamente, disponemos de grados de libertad suficientes? Los datos son, según hemos visto, 21, mientras que los parámetros a estimar son los siguientes: 1 covarianza entre los factores comunes 2 varianzas de los factores comunes 4 coeficientes de regresión entre las variables observadas y los factores comunes. 6 varianzas de los factores específicos (errores). Es decir, hay 13 parámetros a estimar, con lo que tenemos 8 grados de libertad, dado que el número de datos es 21. Por tanto, el modelo puede someterse a contraste. A continuación aprovecharemos el ejemplo para presentar la sintaxis que nos permite estimarlo mediante uno de los programas que indicábamos al comienzo del capítulo, concretamente, el EQS. El EQS se basa en la notación de Bentler y Weeks (1980) que se limita a distinguir entre variables dependientes e independientes en el AFC. Una variable será independiente cuando de ella sólo salga una flecha causal y será dependiente si recibe alguna. Este programa denota como V i a las variables observadas, como F i a los factores comunes y como E i a los factores 12

13 específicos. Si un parámetro se ha de estimar, aparece señalado con un asterisco en la ecuación correspondiente y si se ha fijado que toma un valor determinado, se indica expresamente. Las covarianzas, de no especificarse, se suponen que son nulas. El cuadro 13.2 muestra la sintaxis del EQS para estimar el modelo de AFC, tal y como se ha especificado en la figura Cuadro 13.2 Sintaxis de EQS para el problema de AFC /TITLE CFA INTELIGENCIA VERBAL Y CUANTITATIVA /SPECIFICATIONS CASE=275; VAR=6; ME=ML; MA=COR; ANAL=COV; /MATRIX /STANDARD DEVIATIONS /LABELS V1=L; V2=FSF; V3=H; V4=M; V5=FSC; V6=Q; F1=IV; F2=IQ; /EQUATIONS V1= F1+E1; V2=*F1+E2; V3=*F1+E3; V4= F2+E4; V5=*F2+E5; V6=*F2+E6; /VARIANCES F1 TO F2=*; E1 TO E6=*; /PRINT EFFECT=YES; FIT=ALL; /COVARIANCES F1 TO F2=*; /LMTEST /WTEST /END Bajo el apartado de /SPECIFICATIONS se refleja la siguiente información: el número de casos, (CASE=275, tal y como se indicó en el cuadro 13.1 que recogía los datos originales); numero de variables observadas (VAR=6); la selección de máxima verosimilitud como método de estimación 3 (ME=ML); indicación de que la matriz de datos suministrada es una matriz de correlaciones (MA=COR); e indicación de que el análisis se efectúe sobre la matriz de varianzas covarianzas (ANAL=COV). Estas dos últimas instrucciones tienen dos implicaciones: en primer lugar, es necesario suministrar al programa la matriz de 3 En el epígrafe siguiente se examinarán los métodos de estimación 13

14 correlaciones, lo que se hace bajo el apartado /MATRIZ y, en segundo lugar, para que el EQS realice el análisis en términos de matriz de varianzas covarianzas es necesario ofrecerle las desviaciones típicas de las variables observadas (/STANDARD DEVIATIONS). El planteamiento de las ecuaciones se hace en el apartado /EQUATIONS. Puede comprobarse que las variables observadas son dependientes siendo explicadas por los factores comunes (F i ) y por los específicos (E i ). Así, la primera ecuación: V1=F1+E1 La anterior ecuación recoge la particularidad de que el parámetro de F1 (ξ 1, en la notación anterior) es 1, porque se ha fijado a este valor tal y como se ve en la figura 13.4 (λ 11 =1) y lo mismo ocurre con el parámetro del término de error E1. En cambio, en la segunda ecuación: V2=*F1+E2 el coeficiente del término de error sigue estando fijado a 1, pero es necesario estimar el parámetro de F1 (λ 21 =*). Todas las varianzas, tanto de los factores específicos como de los comunes han de estimarse, tal como indica la instrucción /VARIANCES y lo mismo ocurre con las covarianzas ente los factores comunes F1 y F2 (así lo indica la instrucción / COVARIANCES). Así pues, queda comprobada la sencillez de la sintaxis del programa cuando seguimos la notación de Bentler y Weeks (1980), dado que todo se reduce a distinguir entre variables dependientes e independientes, lo que permite deducir de manera natural las ecuaciones. Las dos últimas instrucciones (/LMTEST y /WTEST) las analizaremos más adelante. En el epígrafe siguiente, que dedicamos a la estimación del modelo, comentaremos las salidas resultantes de la ejecución del programa EQS con la sintaxis anterior. 14

15 13.4 ESTIMACIÓN DE MODELOS EN EL AFC A partir de lo descrito, y siguiendo a Sharma (1996), el proceso de estimación del AFC puede sintetizarse en los dos pasos siguientes: 1) Dada la matriz de varianzas covarianzas muestrales (S), se estiman los parámetros del modelo factorial hipotetizado. 2) Se determina el ajuste del modelo hipotetizado. Esto es, se determina en qué medida la matriz de varianzas covarianzas estimada ( ˆΣ ) está próxima a la matriz de varianzas covarianzas muestral S. Presentaremos a continuación algunos de los métodos de estimación disponibles. Profundizar en todos ellos va más allá del alcance de este libro, y recomendamos recurrir a Bentler (1995) para ello. Sin embargo, se ofrecerán los fundamentos básicos de cada uno de ellos. Como hemos señalado, el investigador parte de una matriz de varianzas y covarianzas muestral S. Como ya se ha indicado, la matriz de varianzas y covarianzas poblacional Σ, condicionada al modelo (13-1), está relacionada con los parámetros poblacionales por la conocida expresión (13-3): Σ = ΛΦΛ + Θ Estimar el modelo, supone encontrar valores, a partir de los datos muestrales, para las matrices anteriores (que denotamos con ^ ) que cumplan las restricciones impuestas en el proceso de identificación y que hagan que la matriz de varianzas y covarianzas estimada mediante la expresión siguiente, sea lo más parecida posible a S: Σˆ = ΛΦΛ ˆ ˆ ˆ + Θ ˆ (13-4) Long (1983) ilustra el proceso de estimación como sigue. Inicialmente existirán infinitas matrices estimadas de Λ, Φ y Θ que satisfagan la expresión anterior, pero habrá que rechazar todas aquellas soluciones que no cumplan las restricciones que se han impuesto en la identificación del modelo. Llamemos genéricamente Λ *, Φ * y Θ * a las matrices que sí cumplen las restricciones. Esas matrices permiten obtener una estimación de la matriz de varianzas covarianzas poblacional Σ* mediante (13-4). Si esta última matriz está próxima a S, entonces las estimaciones de los parámetros contenidas en Λ *, Φ * y Θ * serían razonables en el sentido de ser consistentes con los datos de S. Necesitamos una función, a la que denominamos una función de ajuste, que nos indique en qué medida Σ * está próxima a S. Long (1983) denota a estas funciones de ajuste con la expresión F(S;Σ * ) y están definidas para todas las matrices que cumplen las restricciones marcadas en la identificación del modelo. Si entre dos matrices que cumplen esta condición se verifica que F(S; Σ 1 ) < F(S; Σ 2 ), entonces concluiremos que Σ 1 está más próxima a S que Σ 2. Consecuentemente, aquellos valores de Λ *, Φ * y Θ * que minimizan el valor de F(S;Σ * ) serán las estimaciones de los parámetros poblacionales finales Λ, ˆ Θ ˆ y Φ ˆ. Los procedimientos de estimación que vamos a describir a continuación son los siguientes: mínimos cuadrados no ponderados, mínimos cuadrados generalizados, máxima verosimilitud, 15

16 estimación por la teoría de la distribución elíptica y estimación con libre distribución asintótica Estimación por mínimos cuadrados no ponderados La estimación por mínimos cuadrados no ponderados ULS (Unweighted Least Squares) toma como estimadores a los valores que minimizan la siguiente función de ajuste: 1 * F ( ) ( ) 2 ULS Σ;Σ = tr 2 S Σ (13-5) donde por tr indicamos la traza de la matriz resultante de la operación subsiguiente, esto es, la suma de los elementos de su diagonal. Long (1983) y Ullman (1996) indican que este método tiene dos limitaciones que hacen que no sea muy utilizado. En primer lugar, no existen contrastes estadísticos asociados a este tipo de estimación y, en segundo lugar, los estimadores dependen de la escala de medida de las variables observadas, esto es, no se alcanzaría el mismo mínimo de (13-5) si las unidades del nivel de renta, por ejemplo, estuviera medida en pesetas que si lo estuviera en millones. Este método tiene, sin embargo, algunas ventajas. Así, no es necesario asumir ningún tipo de distribución teórica de las variables observadas, frente a la hipótesis de normalidad multivariante que asumen otros métodos de estimación. Por ello, si la violación de esta hipótesis fuera muy evidente, algunos autores recomiendan recurrir a la estimación por este método, pero tomando como datos de partida la matriz de varianzas covarianzas estandarizada o matriz de correlaciones - para corregir el problema de la dependencia de las unidades de medida Estimación por mínimos cuadrados generalizados La estimación por mínimos cuadrados generalizados GLS (Generalized Least Squares) se basa en ponderar la matriz cuya traza se calcula en (13-5) mediante la inversa de matriz de varianzas covarianzas muestral, esto es: * 1 * 1 2 FGLS ( S; Σ ) = tr ( ) 2 S Σ S (13-6) Estimación por máxima verosimilitud La estimación por máxima verosimilitud ML (Maximum Likelihood) implica minimizar la siguiente función de ajuste: ( ) ( ) * * 1 * FML S; Σ = tr SΣ + log Σ log S q (13-7) donde toda la notación es conocida, salvo q que es el número de variables observadas y el hecho de denotar como al determinante de la matriz de referencia. Como señala Long (1983) cuanto más se aproximen las matrices S y Σ *, más se aproximará el producto SΣ * 1 a la matriz identidad q q. Como la traza de esa matriz identidad es la suma de los q unos de la 16

17 diagonal (o sea, q), el primer término de (13-7) se aproximará a q cuando las matrices estén próximas, compensándose con el término q de (13-7). Por otra parte, la diferencia de los logaritmos de los determinantes de S y Σ * tenderá a 0, dado que, cuando las matrices estén próximas, también lo estarán sus determinantes. De esta forma, cuando las matrices sean iguales la función de ajuste será cero Estimación por la teoría de la distribución elíptica La estimación EDT (Elliptical Distribution Theory) se basa en la distribución de probabilidad de este nombre. La distribución normal multivariante es un caso particular de esta familia con parámetro de curtosis 4 igual a cero. En este caso, la función a minimizar adopta la forma: * 1 1 * 1 ( ) ( ) ( ) 2 * 1 F ; 1 ( ) 2 EDT S Σ = κ + tr Σ δtr Σ 2 S W S W (13-8) siendo κ y δ funciones de curtosis y W cualquier estimador consistente de Σ Estimación con libre distribución asintótica La estimación ADF (Asymptotically Distribution Free) minimiza una función definida mediante la siguiente expresión: ( ; ) ( ) * F S Σ = [ s σ Θ ] W 1 [ s σ ( Θ )] (13-9) ADF donde s es el vector de datos, es decir, la matriz de varianzas covarianzas muestrales pero escrita en forma de un solo vector; σ es el la matriz de varianzas covarianzas estimada, de nuevo puesta en forma de vector y donde con el término (Θ) se ha querido indicar que se deriva de los parámetros del modelo (coeficientes de regresión, varianzas y covarianzas). W es una matriz que pondera las diferencias cuadráticas entre las matrices de varianzas y covarianzas muestrales y estimadas. En este caso, cada elemento de esa matriz se obtiene: wijkl = σijkl σijσkl siendo σ ijkl momentos de 4º orden y σ ij y σ kl las covarianzas Comparación de los distintos procedimientos de estimación Resumimos a continuación los resultados del trabajo de Hu, Bentler y Kano (1992), que analizaron mediante simulación de Monte Carlo cómo se comportaban los distintos procedimientos de estimación ante distintos tamaños muestrales, violación de las hipótesis de normalidad y de independencia entre los términos de error y los factores comunes. Estos autores encontraron que, en caso de que fuera razonable asumir la normalidad, el método ML funcionaba mejor cuando el tamaño muestral era superior a 500, mientras que 4 El coeficiente de curtosis de una distribución es igual al coeficiente estandarizado de cuarto orden menos 3. 17

18 para tamaños inferiores a esa cifra tenía un mejor comportamiento el método EDT. Finalmente, el método ADF sólo ofrecía buenos resultados con muestras superiores a 2500 casos. Cuando el supuesto de normalidad se violaba, los métodos de ML y GLS solo daban buenos resultados con muestras superiores a 2500 casos, aunque el GLS funcionaba algo mejor que el ML en muestras inferiores. Pese a no adoptar el supuesto de normalidad, el método ADF tampoco daba buenos resultados con muestras inferiores a 2500 casos. Cuando se produce una violación del supuesto de independencia entre los términos de error y los factores comunes, los métodos de ML y GLS funcionan muy mal, y también el ADF salvo que la muestra fuera superior a 2500 casos. En cambio, el EDT funcionaba significativamente mejor que los demás. A la luz de lo expuesto, Ullman (1996) recomienda: Los métodos de ML y GLS son la mejor opción con pequeñas muestras siempre que sea plausible la asunción de normalidad e independencia. En el caso en que ambos supuestos no parezcan razonables, se recomienda recurrir a la estimación ML denominada escalada. Una descripción de este procedimiento se encuentra en Bentler (1980) y es una opción de estimación del EQS. Veamos, a modo de ilustración, el resultado de estimar mediante máxima verosimilitud las matrices de (13-4). Para facilitar la familiarización con el EQS se ha seleccionado la parte del output resultante de aplicar la sintaxis recogida en el cuadro 13.2 que contiene esta información. En primer lugar, el programa ofrece la matriz S de varianzas covarianzas muestrales (cuadro 13.3). Como se señaló al comentar la sintaxis, al programa se le ha suministrado una matriz de correlaciones y las desviaciones típicas de las variables observadas. A partir de esta información el programa calcula la matriz de varianzas covarianzas muestral. Cuadro 13.3 Matriz S de varianzas covarianzas muestrales L FSF H M FSC Q V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 L V FSF V H V M V FSC V Q V La matriz Λ, que contiene los coeficientes de regresión entre las variables observadas y los factores comunes, se obtiene directamente de las ecuaciones que el EQS denomina ecuaciones de medida y que se recogen en el cuadro En estas ecuaciones aparecen también los estadísticos para contrastes de significatividad de cada coeficiente, así como los errores estándar, cuya interpretación se ofrecerá más adelante. 18

19 De este cuadro se deduce directamente que la estimación de Λ es la siguiente 5 : 1 0 0,509 0 ˆ 0, Λ = , ,817 MEASUREMENT EQUATIONS WITH STANDARD ERRORS AND TEST STATISTICS L =V1 = F E1 FSF =V2 =.509*F E H =V3 =.604*F E M =V4 = F E4 FSC =V5 =.373*F E Q =V6 =.817*F E Cuadro 13.4 Matriz Λ de coeficientes de regresión La estimación de Φ (matriz de varianzas covarianzas de los factores comunes) aparece separada en dos elementos de la salida del EQS (ambas recogidas en el cuadro 13.5): varianzas entre las variables independientes y covarianzas entre las variables independientes. De esta salida se obtiene que la estimación de la mencionada matriz es: ˆ 0, 636 0,388 Φ = 0,388 0, 698 Cuadro 13.5 Matriz Φ estimada de varianzas covarianzas entre factores comunes 5 Los subrayados indican que ese parámetro se fijo al valor señalado durante la identificación del modelo. 19

20 VARIANCES OF INDEPENDENT VARIABLES V F I F1 - IV I I I I F2 - IQ I I I.636*I.117 I I I.698*I.112 I I I COVARIANCES AMONG INDEPENDENT VARIABLES V F I F2 - IQ I F1 - IV I I.388*I.068 I I I Finalmente resta por obtener la estimación de la matriz Θ, que contiene las varianzas y covarianzas entre los factores específicos o términos de error. Si se observa la figura 13.4, se comprueba que, durante la identificación del modelo, todas las covarianzas se fijaron a 0 (como se indica con un subrayado en la matriz que se muestra a continuación), por lo que sólo se han estimado las varianzas. El cuadro 13.6 ofrece la información que nos permite obtener la estimación de la matriz Θ: 0, , ˆ 0 0 0, Θ = , , ,767 Basta operar matricialmente de acuerdo con la expresión (13-4) para obtener la estimación de la matriz de varianzas covarianzas poblacional (el EQS no la ofrece): 1,188 0,324 0,348 ˆ 0,384 0,196 0,960 Σ = (13-10) 0,388 0,197 0, 234 1, 210 0,145 0, 074 0, 087 0, 260 0,168 0,317 0,161 0,191 0,570 0, 213 1,

21 VARIANCES OF INDEPENDENT VARIABLES E D E1 - L.552*I I.088 I I I I I I E2 - FSF.183*I I.025 I I I I I I E3 - H.728*I I.071 I I I I I I E4 - M.512*I I.075 I I I I I I E5 - FSC.071*I I.010 I I I I I I E6 - Q.767*I I.079 I I I I I I Cuadro 13.6 Matriz Θ estimada de varianzas covarianzas entre factores específicos La diferencia entre la matriz de varianzas covarianzas muestral S y la matriz de varianzas y covarianzas poblacional estimada recogida en (13-10) es la denominada matriz residual de covarianzas. Esta matriz nos indica en qué medida el modelo ha sido capaz de ajustarse a los datos. Para que el ajuste sea bueno, los valores de cada uno de sus elementos deben ser pequeños. El EQS ofrece esta matriz tal y como la recogemos en el cuadro Cuadro 13.7 Matriz residual de varianzas covarianzas RESIDUAL COVARIANCE MATRIX (S-SIGMA) : L FSF H M FSC Q V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 L V FSF V H V M V FSC V Q V AVERAGE ABSOLUTE COVARIANCE RESIDUALS = AVERAGE OFF-DIAGONAL ABSOLUTE COVARIANCE RESIDUALS = BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO ESTIMADO Antes de pasar a interpretar los resultados del análisis factorial confirmatorio que se ha efectuado, es necesario determinar hasta qué punto el modelo asumido se ajusta a los datos muestrales. Si detectáramos problemas de ajuste, sería necesario plantear algún tipo de 21

22 reespecificación del mismo hasta que se lograra un mejor ajuste. Analizaremos, a continuación, una serie de criterios que se calculan en la mayor parte de programas que abordan este tema. Como ya avanzamos, los estadísticos elaborados con esta finalidad son muchos más de que los que aquí se muestran. La selección efectuada recoge, desde nuestro punto de vista, los más utilizados Matriz residual de covarianzas Como indicábamos al presentar los distintos métodos de estimación del AFC, el objetivo básico de los mismos es que la matriz de covarianzas poblacional estimada se parezca lo más posible a la muestral S. En otros términos, puede expresarse lo anterior diciendo que la diferencia entre ambas matrices, a la que llamamos matriz residual de covarianzas, esté lo más cercana posible a una matriz nula 0. Los valores de esta matriz deberían ser pequeños y estar homogéneamente distribuidos. Como señala Byrne (1994), residuos grandes asociados a algunos parámetros, podrían indicar que han sido mál especificados, y ello afectaría negativamente al ajuste global del modelo. El EQS proporciona la matriz residual de covarianzas recogida en el cuadro 13.7, así como su versión estandarizada que mostramos en el cuadro En ambos casos calcula los promedios de estos residuos teniendo en cuenta los elementos de la diagonal y obviándolos. Este segundo promedio se justifica porque, normalmente, son los elementos de fuera de la diagonal los que tienen más influencia sobre el estadístico χ 2 que mostraremos más adelante (Bentler, 1995). 22

23 Cuadro 13.8 Matriz residual estandarizada de varianzas covarianzas y otra información relacionada STANDARDIZED RESIDUAL MATRIX: L FSF H M FSC Q V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 L V FSF V H V M V FSC V Q V AVERAGE ABSOLUTE STANDARDIZED RESIDUALS = AVERAGE OFF-DIAGONAL ABSOLUTE STANDARDIZED RESIDUALS = LARGEST STANDARDIZED RESIDUALS: V 6,V 2 V 4,V 3 V 4,V 1 V 4,V 2 V 3,V V 5,V 3 V 3,V 2 V 6,V 1 V 6,V 5 V 5,V V 2,V 1 V 5,V 4 V 5,V 1 V 6,V 4 V 6,V V 2,V 2 V 3,V 3 V 6,V 6 V 5,V 5 V 4,V DISTRIBUTION OF STANDARDIZED RESIDUALS !! 20- -!!!!!!!! RANGE FREQ PERCENT 15- -!! %!! %!! %! *! % 10- * * %! * *! %! * *! %! * *! %! * *! % 5- * * - A %! * *! B %! * *! C %! * *! ! * *! TOTAL % A B C EACH "*" REPRESENTS 1 RESIDUALS Asimismo, el programa ordena de mayor a menor los 20 residuos estandarizados más grandes en valor absoluto, de tal manera que puedan identificarse las variables con mayores errores. Finalmente, muestra un gráfico con la distribución de estos residuos, distribución que debería ser simétrica y centrada en cero. Examinando los resultados de nuestro ejemplo en concreto, observamos que el error promedio de los elementos fuera de la diagonal es pequeño (0.0282), indicando un buen ajuste. El elemento que muestra un mayor residuo es el asociado a las variables V2 y V6 (notas en química y filosofía), pudiendo indicar una mala especificación, lo que será analizado posteriormente para comprobar si procede su reespecificación. Finalmente comprobamos que 23

24 el 100% de los residuos cae dentro del intervalo [ 0.1; 0.1] de forma prácticamente simétrica y, como se ha señalado, centrada en cero. En síntesis, el ajuste del modelo, a partir del análisis de los residuos es bueno, aunque puede existir un problema debido a la interrelación entre las variables V2 y V Estadísticos χ 2 para el contraste global del modelo Como hemos visto anteriormente, se ha denominado Σ a la matriz de varianzas covarianzas del vector x condicionado al modelo (13-1); su estimación se ha denotado por ˆΣ. Por otra parte, vamos a denominar Σ nc a la matriz de varianzas covarianzas de x no condicionada al modelo; la estimación de esta matriz es directamente la matriz muestral S. En el caso de que el modelo sea adecuado para explicar el comportamiento de x, ambas matrices serán iguales. Por lo tanto, podemos establecer la siguiente hipótesis nula: H 0 : Σnc = Σ (13-11) La hipótesis alternativa postula que la matriz Σ nc es igual a cualquier matriz que sea definida positiva. Para el contraste de estas hipótesis en Bentler y Bonett (1980) se propone el siguiente estadísico: N F 0 ML 0 donde N es el número de datos y F es el valor que toma la función de ajuste (13-7) al ML realizar la estimación por máxima verosimilitud. Este estadístico se distribuye, bajo la hipótesis nula, como una χ 2 con ½q(q+1)-k grados de libertad, siendo q el número de variables independientes y k el número de parámetros a estimar. Si el modelo es el adecuado, se puede esperar que se rechace la hipótesis nula planteada en este contraste. En el EQS a este estadístico se le denomina Chi Square. El EQS ofrece, además, un segundo estadístico denominado independence model chi-square. Este estadístico se distribuye también como una χ 2 bajo la hipótesis nula de que existe una completa independencia entre las variables (matriz de correlaciones identidad). En este caso, si el modelo es el apropiado, cabe esperar que el estadístico tome valores elevados. Por el contrario, si todas las variables observadas fueran independientes entre sí el modelo de AFC propuesto no tendría sentido y, consecuentemente, este estadístico tomaría valores bajos. El cuadro 13.9 recoge junto a los dos estadísticos citados, otros estadísticos que miden la bondad del ajuste que comentaremos posteriormente. Por otra parte el estadístico χ 2 para este modelo en que son independientes las variables observadas es efectivamente muy alto (392,8). Por otra parte, el estadístico χ 2 para contrastar la hipótesis nula (13-11) tiene ½ 6 (6+1)-13 = 8 grados de libertad y toma el valor 8,84 con un p=0,355, lo que nos permite aceptar la hipótesis nula de igualdad entre las matrices para los niveles usuales de significación. Este estadístico se utiliza, en definitiva, para contrastar la validez del modelo teórico propuesto por el investigador. 24

25 Cuadro 13.9 Estadísticos de bondad de ajuste GOODNESS OF FIT SUMMARY INDEPENDENCE MODEL CHI-SQUARE = ON 15 DEGREES OF FREEDOM INDEPENDENCE AIC = INDEPENDENCE CAIC = MODEL AIC = MODEL CAIC = CHI-SQUARE = BASED ON 8 DEGREES OF FREEDOM PROBABILITY VALUE FOR THE CHI-SQUARE STATISTIC IS THE NORMAL THEORY RLS CHI-SQUARE FOR THIS ML SOLUTION IS BENTLER-BONETT NORMED FIT INDEX= BENTLER-BONETT NONNORMED FIT INDEX= COMPARATIVE FIT INDEX (CFI) = BOLLEN (IFI) FIT INDEX= McDonald (MFI) FIT INDEX= LISREL GFI FIT INDEX= LISREL AGFI FIT INDEX= ROOT MEAN SQUARED RESIDUAL (RMR) = STANDARDIZED RMR = ROOT MEAN SQ. ERROR OF APP.(RMSEA)= % CONFIDENCE INTERVAL OF RMSEA ( 0.000, 0.075) En la construcción del estadístico χ 2 se ha tenido en cuenta que (i) se asume la hipótesis de normalidad de las variables observadas, (ii) el análisis se basa en una matriz de varianzas y covarianzas y no en una matriz de correlaciones y (iii) el tamaño muestral es lo suficientemente grande para que se justifiquen las propiedades asintóticas del contraste. Ahora bien, dado que rara vez se cumplen simultáneamente estos requisitos, Bentler y Bonett (1980), Long (1983) y Ullman (1996), entre otros, señalan que la utilización de este estadístico debe efectuarse con precaución con muestras grandes, dado que incluso pequeñas diferencias entre las matrices de covarianzas muestral y estimada serán evaluadas como significativas por el contraste. Este limitación ha llevado al desarrollo de más de 30 indicadores ad hoc de bondad de ajuste (véase Marsh, Balla y McDonald, 1988; Tanaka, 1993; Browne y Cudeck, 1993 o Williams y Holahan, 1994 para una revisión de los mismos), algunos de los cuales se mostrarán a continuación Estadísticos ad hoc Un primer grupo de estadísticos se correspondería con los denominados por Ullman (1996) índices comparativos de ajuste. Los distintos modelos que se pueden plantear en un AFC van desde el que hemos denominado modelo independiente (variables sin ninguna relación) y que tendría tantos grados de libertad como el número de datos menos el de varianzas que se han de estimar, hasta el llamado modelo saturado, con ningún grado de libertad. Los índices que se proponen son comparativos en el sentido de que comparan el valor del modelo teórico que se evalúa, con el del modelo independiente. Índice NFI El índice NFI (Normed Fit Index) ha sido propuesto por Bentler y Bonnett (1980) y compara el valor del estadístico χ 2 del modelo teórico con el del modelo independiente: NFI χ = 2 2 indep χteorico 2 χindep 25