Los rayos a tierra y las probabilidades de Poisson

Transcripción

1 Nota técnica Los rayos a tierra y las probabilidades de Poisson Por Ing. Juan Carlos Arcioni e Ing. Jorge Francisco Giménez 1. Modelo probabilístico de Poisson (MPP) 2. Ejemplos típicos de variables de Poisson. 3. Fórmulas de Poisson. 4. Valores medios (promedio o esperanza matemática), varianza y desviación cuadrática media (σ) de una variable aleatoria de Poisson de parámetros μ y λt.. Propiedades del modelo de Poisson. 6. Los días con tormentas eléctricas (Td) y sus promedios anuales (Td) y decenales (). Aplicación del modelo probabilístico de Poisson y del criterio de Petrov y D'Alessandro. 7. Ejemplos prácticos de aplicación del criterio de Petrov y D'Alessandro. 8. Ejemplos de caída de rayos a tierra como una variable de Poisson. Bibliografía. Anexos A y B. 1. Modelo probabilístico de Poisson (MPP) En 1837 el matemático francés Simeon Denis Poisson ( ) buscó la manera de modificar la forma de la distribución binominal de probabilidades (ver el Anexo B), para adaptarlas a situaciones donde se presentan "las variables de Poisson", que representan el número de sucesos que ocurren por unidad de tiempo (segundo, minuto, hora, año, lustro, decenio, etc.) o de espacio (metro, metro cuadrado, kilómetro, kilómetro cuadrado, etc.) de tal forma que no se puede contar su no-ocurrencia, ni existe un límite desde el punto de vista teórico. 2. Ejemplos típicos de variables de Poisson. 2.1 En el tiempo: El resumen de visitas diarias a una página web. El número de averías anuales de un ascensor. El número de llamadas que llegan a una central telefónica durante la hora de almuerzo. 2.2 En el espacio: El número de puntos de óxidos por metro lineal de alambre. El número de fallas por metro cuadrado (o por cada diez metros cuadrados) de una tela. 2.3 En el espacio y en el tiempo: El número de rayos a tierra que caen en una manzana de una ciudad durante un año. 3. Fórmulas de Poisson La fórmula que da la probabilidad de que se presenten X ocurrencias de un suceso es: μ P(χ) = Prb (χ; μ) = e -μ χ (1) χ! 62 Ingeniería Eléctrica Abril 2014 IE286_abril_2014.indd 62 07/04/2014 ::37

2 siendo μ el promedio de ocurrencias (en el tiempo o en el espacio) que se supone constante y se puede expresar así: μ = np b) Prb (1; 1 año, λ = 2) = (2 1 e -2 ) / 1 = 0,27 = 27% Prb (2; 1 año, λ = 2) = (2 2 e -2 ) / 2! = 0,27 = 27% Prb (3; 1 año, λ = 2) = (2 3 e -2 ) / 3! = 0,18 = 18% donde n es el número de ocurrencias del suceso y p, la probabilidad (elemental) de que ocurra ese suceso. Para los sucesos que se desarrollan en el tiempo (t) la fórmula (1) puede adoptar la fórmula (2) siguiente: Pt(χ) =Prb (χ; t; λ) = [(λt) χ e -λt ] / χ! (2) siendo λ la tasa (o intensidad) de ocurrencia de los sucesos que por unidad de tiempo (t), que se supone constante en el tiempo (t) (por hipótesis). Ejemplo: Un ascensor se avería dos veces por año en promedio (λ = 2 averías/año). Calcular las probabilidades de que: a) No se averíe durante un año b) Se averíe una vez y dos o tres veces en un año: Respuestas: Pt = Prb (χ; t; λ) = [(λt) χ e -λt ] / χ! a) Prb (0; 1 año, λ = 2) = (2 0 e -2 ) / 0! = 0,14 = 14% 4. Valores medios (promedio o esperanza matemática), varianza y desviación cuadrática media (σ) de una variable aleatoria de Poisson de parámetros μ y λt [4] Las sistematizamos en el cuadro siguiente.. Propiedades del modelo de Poisson [4].1 El número de valores de la variable X de Poisson que ocurren en un intervalo de tiempo (o en una cierta región del espacio) es independiente del número (cantidad) de X que ocurre en cualquier otro intervalo (o región del espacio disjunto). Así vemos que el modelo de Poisson no tiene memoria..2 La probabilidad de que ocurra un valor X durante un intervalo de tiempo muy corto (o en una región espacial pequeña) es proporcional a la duración del El matemático francés del siglo XIX, Simeon Denis Poisson ( ) [2] Función de Poisson Parámetro de Poisson Valor medio Varianza intervalo (longitud) o al tamaño de la región (largo, área) y no depende de los números de valores que ocurren fuera de este intervalo (o región)..3 Es insignificante la probabilidad de que ocurra más de un valor de X en tal intervalo temporal corto (o tal región espacial pequeña). DCM (σ) P(x) = (e -μ μ x) / x!) μ μ σ 2 = μ μ Pt(x) = [e -λt (λt) x ] / x! λt λt σ 2 = λt λt 6. Los días con tormentas eléctricas (Td) y sus promedios anuales (Td) y decenales (). Aplicación del modelo probabilístico de Poisson y del criterio de Petrov y D'Alessandro [1] [3] Ingeniería Eléctrica Abril IE286_abril_2014.indd 63 07/04/2014 ::37

3 Nota técnica de promedios anuales Td extre- En la tabla que presentamos a mos, para = [; ; ; 9] continuación sistematizamos a la para el 99,7% de los casos (3 σ). expresión: En la tabla A2 del anexo A repetimos la aplicación para = Td = ± kσ = ± k [9; ; ; 9] para el 9% de los casos (2 σ). siendo Td un promedio anual (días/año) de días con tormentas 7. Ejemplos prácticos de aplicación del criterio de Petrov y eléctricas entre los (diez) registrados (o probables) en un decenio climatológico de una región En la figura 7.1 podemos apre- D'Alessandro [3]: continental terrestre (RCT). ciar que la expresión Td = ± 3 es el promedio anual de nuestro capítulo 6 se verifica de manera notable en los valores (días/año) de días con tormentas eléctricas registrado (o previsto) registrados en la estación meteorológica del Aeropuerto Ezeiza (pro- en un decenio climatológico en esa región RCT. vincia de Buenos Aires) durante los σ = es la desviación cuatro periodos decenales meteorológicos: 1961/1970, 1971/1980, cuadrática media (DCM) del según el modelo de Poisson. 1981/1990 y 1991/2000. k es el número de veces σ Los valores (mínimos, máximos) registrados (31, 6) están (sigma) siendo k = 3 para cubrir el 99,7% de los casos (los promedios Td) y k = 2 para el 9% de los que corresponde al = (real) dentro de intervalo teórico (28, 70) casos (Td) según el criterio de Petrov y D'Alessandro. Así, la tabla para 3 σ siendo σ = = = 7. es la siguiente: Promedios anuales y decenales en días tormentosos/año Porcentaje de casos Promedio decenal Promedios anuales extremos en el decenio % días/año Máximos Mínimos 9% Tdmáx = Tdt + 2 Tdmín = ,7% Tdmáx = Tdt + 3 Tdmín = La densidad de rayos a tierra por kilómetro cuadrado y por año (Ng), que es un dato meteorológico, nos permite aplicar la ley probabilística temporal de Poisson: Pt(x) = Prb (x, t, λ) = [e -λt (λt) x ] / x! (1) Aplicaremos el procedimiento siguiente: a) En una zona, campo, predio, estructura civil, etcétera, las normas IRAM 2184/AEA 9230 e IEC 6230, definen el área colectora de rayos o área equivalente a la estructura, predio, campo, etcétera (Ae [m 2 ]). b) Conociendo la densidad ceráunica Ng local, podemos estimar la cantidad Nd de rayos directos/año al área colectora Ae: Nd (rayos directos/año) = Ng (rayos a tierra / km 2 año) Ae (m 2 ) -6 (km 2 / m 2 ) (2) La fórmula (2) tiene la unidad de medida rayos directos / año. Esta misma unidad la adoptaremos para la constante temporal λ en la fórmula de Poisson (1). En la tabla A1 del Anexo A aplicamos las fórmulas de esta tabla 8. Ejemplos de caída de rayos a tierra como una variable Poisson: 8.2 Ejemplos prácticos de aplicación: Un predio rural de cien metros por cien metros está en una zona 64 Ingeniería Eléctrica Abril 2014 IE286_abril_2014.indd 64 07/04/2014 ::38

4 σ = 21 3σ = Td MAX. REGISTRADO MIN. REGISTRADO (*) 1990 (*) (*) 1993 (*) 2000 Td max (teórico) = Td min (teórico) = 28 Años Td d = Figura 7.1 Gráfico de la expresión Td = ± 3 σ siendo σ = para el Aeropuerto Ezeiza (provincia de Buenos Aires); periodos 1961/20. Notas: (*) 1988, (*) 1990: valores extremos del periodo (**) 1991, (**) 1993: valores extremos del periodo Siendo Ng =, Ae =.000 m 2 = 0,01 km 2, resulta Nd = 0,0 rayos directos / año. Para la ley de Poisson (1) adoptaremos: λ = Nd = 0,0 (rayos / año) = constante siendo λt = 0,0 para t = 1 año y λt = 0, para t = años. b) Cálculos de las probabilidades de Poisson> Pt(x) = Prb (x, λ, t) = e -λt (λt) x ] / x! Las sistematizamos en el cuadro 8.2 que sigue debajo. Se puede observar que la probabilidad de que caiga/n algún/os rayo/s es> Qt(0) = 1 - Pt(0) de densidad ceráunica Ng = (rayos a tierra / km 2. año). Calcular...: (a) la cantidad de rayos directos que inciden en el predio por año. (b) las probabilidades de que en t = 1 año incidan: 0, 1, 2 rayos, algún rayo. (c) ídem (b) para t = años Solución: El área colectora equivalente al predio será Ae = 0 m. 0 m =.000 m 2 = 1 hectárea. y también que> a) La incidencia de rayos directos será: Nd (rayos directos / año) = Ng (rayos Qt(0) Pt(1) + Pt(2) para λt = 0,0 (1 año) Qt(0) Pt(1) + Pt(2) + Pt(3) para a tierra / km 2 año) Ae (m 2 ) -6 (3) λt = 0, ( años) Cuadro 8.2 Pt (x) X t λ λt Pt (x) Observación Rayos Años Rayos / Año Rayos 0/1 Pt (0) 0 1 0,0 0,0 0,91 Pt (1) 1 1 0,0 0,0 0,047 Pt (2) 2 1 0,0 0,0 0,0012 Qt (0) Algunos 1 0,0 0,0 0,0 Qt(0) = 1 - Pt(0) Pt (0) 0 0,0 0, 0,607 Pt (1) 1 0,0 0, 0,303 Pt (2) 2 0,0 0, 0,076 Pt (3) 3 0,0 0, 0,013 Qt (0) Algunos 0,0 0, 0,393 Qt(0) = 1 - Pt(0) Ingeniería Eléctrica Abril IE286_abril_2014.indd 6 07/04/2014 ::38

5 Nota técnica Bibliografía 1] Arcioni, Juan Carlos, La actividad elécrica atmosférica media anual -AEAMA- en la Argentina, en Ingeniería Eléctrica, Editores SRL, Buenos Aires, Abril 2006, págs ] Pere Grima, La certeza absoluta y otras ficciones. Los secretos de la estadística, RBA Coleccionables, Navarra, España, ] Petrov, N. I.; D'Alessandro, F., Determination of the dependency of average ground density and its scatter upon ceraunic level from observation data, VI SIPDA, 19-23/11/2001, Santos, Brasil, págs ] Walpole, R. E.; Myers, R. H.; Myers, S. L., Probabilidad y estadística para ingenieros, sexta edición, Prentice Hall Hispanoamericana, México, 1999 Tabla A1: Anexo A σ= máx. mín. promedios Td (días tormentosos / año) y decenal Td [dt en años / 40 año] (promedios) Tabla A1: Niveles ceráunicos Td = ± 3 σ = ± 3 (99,7% de los casos) Nota: Esta tabla A1 se representa en la figura A1. ). ax m )m in (dte/año) Figura A1. Gráfico de la tabla A1 66 Ingeniería Eléctrica Abril 2014 IE286_abril_2014.indd 66 07/04/2014 ::40

6 ax. (T d) m (T d) m ax. )m in in. )m (dte/año) Figura A2. Gráfico de la tabla A2 Tabla A2 Tabla A2: Niveles ceráunicos, σ= máx. mín promedios anuales Td y decenales Td = ± 2 σ = ± 2 (9% de los casos) Nota: Esta tabla A2 se representa en la figura A2. Ingeniería Eléctrica Abril 2014 IE286_abril_2014.indd /04/2014 ::42

7 Nota técnica Anexo B La distribución de probabilidades binominal: un ejemplo y su generalización [2] En general, el número de éxitos al realizar n experimentos cuando la probabilidad de éxito, p, es constante, es una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad muy conocida, denominada binominal. No hace falta deducir nuevas fórmulas para calcular probabilidades cuando nos encontramos ante un caso que encaja en este escenario. Un afórmula muy útil: la ley binominal En un ejemplo de lanzar una moneda, si se trata de calcular la probabilidad P (x, n, p) de que salgan x caras realizando n lanzamientos, y llamamos p a la probabilidad de obtener una cara y (1 p) a la de obtener una cruz, la fórmula será: P (χ, n, p) = b (χ, n, p) = = n! p χ (1 p) n-χ χ!(n χ)! ( ) Lo interesante es que esta fórmula no solo es válida para el problema del lanzamiento de monedas, sino que puede generalizarse a cualquier ámbito de acuerdo con el siguiente esquema: Ejemplo: el lanzamiento de monedas Lanzar n monedas Puede salir cara o cruz Tanto la probabilidad de cara (p) como la de cruz (1 p) se mantiene constante en todos los lanzamientos Interesa la probabilidad de obtener x caras en n lanzamientos Generalización Realizar n experimentos Cada experimento tiene dos resultados posibles, que denominaremos éxito o fracaso. Tanto la probabilidad de éxito (p) como de fracaso (1 p) se mantienen constantes en todos los experimentos Interesa la probabilidad de obtener x éxitos en n experimentos. P (x, n, p) 68 Ingeniería Eléctrica Abril 2014 IE286_abril_2014.indd 68 07/04/2014 ::42