Seguimiento de trayectorias de un robot diferencial considerando su modelo dinámico

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1 CIINDET 1 4 al 6 de noviembre de 1, Cuernavaca Morelos, México. Seguimiento de trayectorias de un robot diferencial considerando su modelo dinámico C.O. Cortes Aviles, A. Rodríguez Angeles, A. Morales Diaz. Resumen: En este artículo se propone un control de sincronización para robots diferenciales considerando su modelo dinámico. El objetivo del control de sincronización es controlar la posición del robot móvil diferencial a la trayectoria cartesiana deseada por medio de las coordenadas articulares de cada rueda. De esta manera se garantiza que el robot móvil siga la trayectoria deseada con la orientación apropiada. El controlador se basa en retroalimentación de posición y velocidad angular de las ruedas con una acción integral en el error de sincronización, el cual compensa la deriva propia de estos robots el controlador solamente requiere la medición de la posición angular de las ruedas. Palabras Clave: control de sincronización, robots móviles, modelo dinámico, ruedas motrices. Introducción Los modelos dinámicos de los robots móviles son necesarios para su control de movimientos de manera más realista en ambientes no estructurados, al aire libre que tienen cambios sustanciales en elevación, tipo de terreno o requieren aceleraciones o desaceleraciones abruptas. [1] Los robots móviles son sistemas muy versátiles y que pueden ejecutar una gran variedad de tareas con gran destreza []. Cuando existen múltiples robots estos pueden trabajar de forma síncrona. La sincronización puede ser definida como la mutua conformidad de procesos o sistemas con respecto al tiempo. La conformidad puede ser caracterizada por la aparición de ciertas relaciones de funcionales de los procesos [3]. Desde el punto de vista de control, la sincronización presenta una herramienta interesante que permite la búsqueda de funcionales para la interconexión de Este trabajo es apoyado por CONACYT en virtud de las concesiones y 8467.A.Rodriguez-Angelesis en el Centro de Investigación y Estudios Avanzados, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Sección de Mecatrónica, Av. I.P.N. 58, México D.F.aangeles@cinvestav.mx A. Morales-Diaz, G. Arechavaleta-Servin y J.C. Bernabe-De la Cruz are en el Programa de Robótica y Manufactura Avanzada, Cinvestav- Saltillo, Carretera Saltillo-Monterrey Km. 13.5, Ramos Arizpe Coahuila, 59, México america.morales@cinvestav.edu.mx procesos simultáneos, con lo cual se genera un comportamiento síncrono, además de que garantiza la estabilidad de los sistemas interconectados. El esquema de sincronización da la maniobrabilidad y destreza que no pueden ser alcanzados por un único sistema. En la práctica, hay dos esquemas básicos de sincronización, esquema de coordinación y esquemas de cooperación [3]. El problema de control en los robots móviles diferenciales es que estos sistemas poseen tres grados de libertad de movimiento [x ; y ; θ ], por lo que son sistemas subactuados y que presentan deriva, por lo tanto, el sistema no puede ser estabilizado vía control [4]. La sincronización provee una serie de ventajas y oportunidades para resolver el problema de control de seguimiento de una trayectoria cartesiana en un robot móvil diferencial. El control de sincronización puede ser aplicado para resolver el problema de seguimiento de trayectorias de estos sistemas al considerar que el ángulo de inicio es afectado por la diferencia del error entre las coordenadas de las dos ruedas motrices, regulando de manera síncrona las coordenadas de las ruedas e incluyendo la restricción no-holonóma. El controlador propuesto se basa en una combinación de retroalimentación de la posición y velocidad angular de las ruedas motrices, con esto se garantiza que los errores de seguimiento y de sincronización converjan a cero asintóticamente. Este artículo está organizado de la siguiente forma, en la sección se introduce el modelo dinámico del robot móvil diferencial y la relación entre las coordenadas articulares y cartesianas. La sección 3 presenta la construcción del control de sincronización, en la sección 4 se presentan los resultados del sistema vía simulaciones, por último en la sección 5 se presentan algunas conclusiones y las perspectivas de trabajo a futuro. Modelo del robot móvil diferencial La posición y orientación de un robot móvil en el plano pueden describirse por sus coordenadas (x, y) con 699 1

2 CIINDET 1 4 al 6 de noviembre de 1, Cuernavaca Morelos, México respecto a un referencial fijo y el ángulo θ que el robot forma con respecto a X como se muestra en la Figura 1. Este sistema presenta las siguientes relaciones cinemáticas. cos sin 1 1 Donde x representa la posición a lo largo del eje X, y representa la posición a lo largo del eje Y y θ representa la orientación del eje longitudinal del robot móvil respecto al eje X. De manera ideal la, velocidad lineal u y la velocidad angular ω pueden considerarse como variables de control (1). En términos de las velocidades lineales de rueda u y angular son. ; Donde es la velocidad lineal de la rueda 1 en el espacio articula, la velocidad lineal de la rueda, r w es el radio de la ruedas motrices se asume que son idénticas. Fig. 1 Localización en el plano cartesiano De nuestra matriz J(q i ) obtenemos la matriz de transformación J # (q i ) la cual se calcula de la siguiente forma J # (q i )=[J(q i ) T J(q i )] -1 J(q i ) T, la matriz de transformación tiene una relación con las velocidades articulares a cartesianas # se muestra en la siguiente ecuación. # cos sin 3 cos sin Para calcular el modelo dinámico del robot, sabemos que las velocidades en el plano cartesiano son, y de acuerdo a la ecuación (1) y () las cuales se definen de la siguiente forma. cos sinθ Ya teniendo las velocidades cartesianas, se aplica el formalismo de Euler Lagrange, y posterior mente hacer el cambio de variable a las coordenadas articulares en el cual está basado el control de sincronización, dando como resultado la matriz de inercias del sistema y fuerzas exógenas Donde m es la masa del robot, I z es el tensor de inercia en Z, R es la distancia de la rueda al centro de masa del robot, I 1 e I es el momento de inercia del eje de giro de las ruedas, τ 1 y τ son las entradas de control a nivel de rueda, El sistema (5) puede reescribirse de la forma compacta, 1,, donde H i es la inercia. El control de sincronización que se propone se basa en el espacio de angular de la rueda. Considerando φ 1 y φ como el desplazamiento angular de la rueda derecha y la izquierda respectivamente y las velocidades lineales denotadas por v 1 y v respectivamente, la velocidad angular del robot móvil diferencial es dada por:

3 CIINDET 1 4 al 6 de noviembre de 1, Cuernavaca Morelos, México 6 Donde R denota la distancia entre las dos ruedas motrices. De la ecuación (6) se sigue la orientación del robot móvil diferencial: 7 Donde θ c es la constante de integración, que depende de la condición inicial de las ruedas del robot móvil diferencial. Control de sincronización Sea q d = [x cd ; y cd ; θ d ] la configuración deseada del robot móvil, se mapea como:, este mapeo se define de manera única. Sin embargo esto no implica que se llegue a la configuración cinemática deseada. Lo anterior representa el problema de deriva en el seguimiento de trayectorias del robot móvil, sobre todo cuando se basa en mediciones de odométria. Acerca del problema, esté puede ser resuelto considerando control de sincronización de las dos ruedas. El objetivo del control de sincronización es de regular el ángulo de la posición de las dos ruedas φ 1, φ a sus valores deseados φ d1, φ d y la diferencia del error de seguimiento entre la trayectoria de cada rueda a la deseada, deben ser cero. En la Figura se pueden ver las dos ruedas motrices del robot en una trayectoria curva deseada en el instante de tiempo t. El desplazamiento angular de las ruedas es denotado por, φ d1 y φ d, y el desplazamiento angular actual φ 1 y φ. Definimos el error de desplazamiento o de seguimiento, donde φ i para i = 1,: 8 Tal que el error de desplazamiento lineal de las ruedas es r w e i. Note que R ca y R cd en la Figura denotan los radios de curvatura en el centro del robot, cuando se encuentra en su posición actual y la deseada respectivamente. Fig Ruedas motrices en la trayectoria deseada Hipótesis 1. Considerando la trayectoria deseada en este caso de estudio, la trayectoria es suave y continua, y el radio de curvatura no varía significativamente de manera que: La diferencia de los radios de curvatura R ca y R cd es suficientemente pequeño para ser despreciado, por decir: El radio de curvatura R c es tal que R c > R y al menos dos veces diferenciable. Para una trayectoria circular, la Hipótesis 1, implica que el radio de curvatura se mantiene constante. Cuando el radio de curvatura varia a lo largo de la trayectoria, la Hipótesis 1, se mantiene si e 1 y e son suficientemente pequeñas. La línea como trayectoria deseada es tratada como caso especial, en el que el radio de curvatura es infinitamente grande [4]. Se puede ver en la Figura que cuando el robot sigue una trayectoria deseada, esté debe cumplir una relación cinemática, la cual está dada por: 9 Bajo la condición de que el error inicial de la configuración del robot es cero se tiene que con la ecuación (9) se asegura que el robot mantiene la ruta deseada, la ecuación (9) se puede re escribir como: 1 3

4 CIINDET 1 4 al 6 de noviembre de 1, Cuernavaca Morelos, México Donde c 1 y c denotan a los parámetros de acoplamiento: ; 11 Usando la ecuación (1) se define el error de sincronización entre las dos ruedas: 1 En el caso especíal de la línea recta, R c = entonces c 1 = 1 y c = -1. Haciendo que el error de sincronización, es equivalente a mantener la relación cinemática (9) y además es tratado como un objetivo de control adicional causando que el error de seguimiento e i, lo cual implica que φ i φ di. De esto se deduce que bajo el enfoque de sincronizacón el objetivo del control en el espacio cartesiano esta dado: Δ 13 Se convierte en el objetivo de control en el espacio de rueda: 14 La convergencia de los errores en el espacio de rueda y bajo la premisa de que e i (), () =, garantiza el seguimiento de la trayectoria cinemática (13). Por lo tanto las propiedades de convergencia del sistema en lazo cerrado dependerán del desempeño del controlador y de la configuración inicial del robot, así la convergencia local y estabilidad pueden ser obtenidas. Observación. El objetivo de emplear la ecuación (14) es evitar la restricción no-holonóma en el diseño del control y por lo tanto es posible diseñar un controlador con retroalimentación continua, para así lograr el seguimiento de una trayectoria deseada. Observación 3. Cuando el radio de curvatura varía a lo largo de la trayectoria se presenta un error de cálculo al obtener c i dada por la ecuación (1). Esto se debe a la diferencia entre R ca y R cd. Este cálculo afecta evidentemente el desempeño del movimiento del robot a medida que cambia el radio de curvatura a lo largo de la trayectoria deseada. Reducir los errores e 1 y e es la estrategia de control de sincronización propuesta garantizando una convergencia de e i. En esta sección se propone un control que complemente el objetivo de sincronización para el robot móvil diferencial, en la cual se toman las siguientes hipótesis. Hipótesis 4. Solamente son medidas las posiciones angulares de las ruedas motrices del robot móvil diferencial. Hipótesis 5. Los efectos de fricción en las ruedas motrices son despreciados:,, 1, 15 Hipótesis 6. La trayectoria deseada q d es suave, continua y por lo menos dos veces diferenciable. Hipótesis 7. Los errores de seguimiento y el error del ángulo de partida en t = son cercanos a cero. La hipótesis 7 implica que el robot móvil diferencial está cerca de la trayectoria deseada y con la orientación aproximada adecuada, como condición inicial. Se garantiza la convergencia de la posición cartesiana del robot móvil a su trayectoria deseada, al mismo tiempo que las coordenadas de rueda y el ángulo de partida convergen a sus valores deseados [4]. El controlador usado para las ruedas motrices en este caso es un PD. Con esté control se garantiza que el error de seguimiento converja asintóticamente a cero y también.,. 16 τ i es un control con retroalimentación de los errores de sincronización de la posición y velocidad angular de las ruedas motrices del robot móvil diferencial. Donde K d,i y K p,i son ganancias positivas, que se eligen de forma que el polinomio sea Hurwitz [6]. Mientras s i y son errores de sincronización que se definen a continuación: ; 17, y, son variables de referencia nominal basadas en las trayectorias deseadas : 4

5 CIINDET 1 4 al 6 de noviembre de 1, Cuernavaca Morelos, México 18 ; (19) De la ecuación (18) da la trayectoria deseada para, por lo tanto está a cargo de la convergencia de posición angular a su valor deseado. El segundo término es una retroalimentación del error de sincronización, esto regula el ángulo de orientación e induce el comportamiento síncrono entre las ruedas motrices del robot móvil diferencial. Hay que tener en cuenta la definición del error de sincronización s i y el de la referencia nominal porque implican los errores de seguimiento y el de sincronización. Por lo tanto, los errores pueden ser penalizados a favor de una convergencia de e i o pequeños errores en el ángulo de orientación para obtener una mejor convergencia de. Simulaciones Para efectos de simulación se considerará el modelo dinámico de la ecuación (5) del robot móvil diferencial que opera a bajas velocidades, por lo que las fuerzas de fricción y fuerzas centrífugas pueden ser despreciadas. Los parámetros del robot móvil diferencial son, el radio de la rueda r w =.76 [m], la separación entre las dos ruedas motrices R =.315 [m] y ϐ i = 5. Los valores de las ganancias se muestran en la Tabla 1 y en la Tabla los valores de la matriz de inercias. Tabla 1: Valores de las ganancias Ganancia K p K d Valor El robot móvil diferencial esta comandado a moverse a lo largo una trayectoria circular con un radio de R c =. [m]. La trayectoria circular está dada en ángulos de rueda deseados por: cos sin 1 cos sin Las condiciones iníciales de posición de las ruedas son: 1.7 y.85, las condiciones iníciales del error son las mismas que las de posición de las ruedas. Por tanto el error de sincronización en un inicio es de.367, para la trayectoria circular el parámetro de acoplamiento c i es constate. En la Figura 3 se muestra el error de seguimiento del ángulo de rueda, así como también el error de sincronización. Y se observa que ambos converjan a cero de forma asintotica, por lo que el objetivo de control que consiste en que el robot móvil siga una trayectoria deseada y esté es alcanzado. En la Figura 4 se muestran las trayectorias deseadas a nivel articular, por lo que se puede ver que las ruedas siguen la referencia deseada, haciendo que el error se seguimiento converja casi a cero. En la Figura 5 se ve la trayectoria deseada en el plano cartesiano y la que sigue el robot en plano X, Y, el la sigue sin ningún problema, ya que la trayectoria es suave y diferenciable, a pesar de que el robot no inicia exactamente en la trayectoria deseada el móvil converje a ella. También se muestra la orientación del robot móvil θ y la orientación deseada θ d. Está es igual a la deseada ya que el control de sincronización se hace en base a las coordenadas articulares de rueda, y la conversión a la orientación está dada en la ecuación (7). Tabla : Valores de los elementos de la matriz de inercia (H i ) Elemento Valor a 11 a 1 a 1 a

6 CIINDET 1 4 al 6 de noviembre de 1, Cuernavaca Morelos, México e 1,e ε..1 Error de seguimineto e 1,e e 1 e Error de sincronización.4. error de sincronizacion Fig 3 Error de seguimiento de las ruedas motrices e 1 es la línea solida y e es la línea punteada, la grafica de la parte inferior es el error de sincronización. φ d,1 & φ 1 φ d & φ 1-1 Trayectoria deseada φ 1d φ Trayectoria deseada φ d 1 φ Fig 4 Trayectorias deseadas y línea solidas, trayectorias seguidas y líneas punteadas. x [m] Y [m] 4 x 1-5 Seguimiento de trayectoria en plano cartesiano.5 - trayectoria del móvil trayectoria deseada X [m] x i x d x θ y [m].5 x θ 4 x 1-5 y - y i y d θ i θ d Fig 5 Seguimiento de la trayectoria en el plano cartesiano x & y es la línea solida y x d & y d línea punteada en la figura de la parte superior, en la inferior se muestra a θ que es la línea solida y la punteada θ d. Conclusiones Una estrategia de control de sincronización para un robot móvil diferencial se ha propuesto y probado. Considerando que la configuración inicial del robot es cero, la estrategia de control de sincronización garantiza estabilización y seguimiento de las ruedas motrices a una trayectoria deseada, tanto articular mente como en el plano cartesiano. Las simulaciones demuestran la eficacia del enfoque propuesto. La ventaja del diseño de este control es evitar la restricción no holonómica involucrada, y así proponer un controlador de retroalimentación continua para estabilizar al robot móvil. Y de esta manera resolver el problema de deriva. Como trabajo a futuro probará está estrategia de control en una plataforma experimental que está en construcción. Referencias [1] W. Yu., O. Ylaga., E. Collis and P. Hollis, " Analysis and Experimental Verification for Dynamic Modeling of A Skid- Steered Wheeled Vehiclel" IEEE Transactions on robotics,. vol 6, No., pp , 1. [] D. Sun., H.N. Dong and S.K. Tso, " Tracking Stabilization of Differential Mobile Robots Using Adaptive Synchronized Control", Proceeding of the IEEE International Conference on Robotics Automation.pp , Washington,.. [3] Alejandro Rodriguez Angeles, "Synchronization of Mechanical Systems," PhD, Thesis, T U/ e, [4] R.W Brocket, Asymptotic stability and feedback stabilization. In: Differential Geometric Control Theory, Brocket,R.W Millman, R.S and Sussman, H.J., Eds., pp Birkhäuser. Boston, MA, USA., (1983) [5] H. Nijmeijer and A. Rodriguez Angeles, "Synchronization Mechanical Systems". World Scientific Publishing Co., Davers, MA, USA, 3. [6] S. Seshagiri and H.K. Khalil "Robust output feedback regulation of minimun-phase nonlinear systems using conditional integrators" Automatica,vol 41,pp