Matemáticas Avanzada II

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1 Matemáticas Avanzada II Ing. Romeo Altúzar Meza 2010 w w w. r o m e o a l t u z a r m e z a. j i m d o. c o m E - m a i l : a l t u z a r 2 g m a i l. c o m

2 Matemáticas Avanzada II Unidad I. Probabilidad 1.1. Probabilidad subjetiva 1.2. Probabilidad como frecuencia 1.3. Espacio Muestral 1.4. Eventos 1.5. Eventos mutuamente independiente, regla de la multiplicación y regla de la adición 1.6. Tablas de la probabilidad conjunta 1.7. Probabilidad marginal y condicional 1.8. Independencia estadística 1.9. Teorema de bayes Unidad II. Estadística Descriptiva 2.1. Tabulación de Datos 2.2. Distribución de Frecuencia 2.3. Representación grafica de datos a. Histogramas b. Ojivas c. Diagramas de Barras 2.4. Medidas de tendencia central 2.5. Medidas de dispersión 2.6. Teorema de Chebysheb y regla empirica Unidad III. Estadística Inferencial 3.1. Teoría del muestreo Distribución muestrales y el teorema central de limite 3.3. Estimación de Parametros. Unidad IV. Prácticas en el Laboratorio de Informática 4.1. Prácticas utilizando software estadístico. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 2

3 Unidad I. Probabilidad Probabilidad subjetiva Definición de Probabilidad Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas. Probabilidad subjetiva: La probabilidad o juicio personal es una forma de cuantificar, por medio de factores de ponderación individuales, la probabilidad de que ocurra cierto evento, cuando no es posible cuantificarlo de otra manera más confiable. La formula básica de la probabilidad es la siguiente: en ella, el número de eventos exitosos puede ser 0, 1, 2, etc., por lo que la probabilidad será siempre igual o mayor que cero, es decir, Pi 0 La probabilidad puede expresarse en términos de porcentajes, lo cual puede resultar más comprensible. Por ejemplo: Si la probabilidad de un evento es de puede multiplicarse por 100 para obtener el porcentaje de probabilidad: P(A)= * 100 = 18.75% Cuando utilizamos porcentaje de probabilidad decimos que la suma de todas las probabilidades será igual a 100. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 3

4 Otras consideraciones importantes es que la probabilidad de que ocurra un evento se denota por p y la probabilidad de que no ocurra se denota por q por lo tanto p + q = 1 de aquí p = 1 - q Donde: p es probabilidad de éxitos q es la probabilidad de fracaso Probabilidad como frecuencia La probabilidad objetiva bajo el enfoque de frecuencias relativas define a la probabilidad como la relación entre el número de eventos favorables obtenidos, respecto al total intentos. Por ejemplo: Si de una caja que contiene manzanas y naranjas se han tomado 80 frutas y de éstas 15 han sido manzanas, se deduce que, al sacar una fruta de esa caja, la probabilidad de que sea manzana es: Espacio Muestral Definición: Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Por ejemplo 1.- Al lanzar una moneda, el espacio muestral es: E = {sale águila, sale sol} ó E = {a, s}. 2.- Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es Ing. Romeo Altúzar Meza Página 4

5 E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3.- Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(a,a), (a,s), (s,a), (s,s)}. 4.- Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(a,a,a), (a,a,s), (a,s,a), (a,s,s), (s,a,a), (s,a,s), (s,s,a), (s,s,s)} Eventos Definición: Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: 1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5} 2. Obtener un número primo y par B = {2} 3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6} Los eventos se pueden clasificar de la siguiente forma: Mutuamente excluyentes o disjuntos Independientes Dependientes No excluyentes entre sí a.- Mutuamente excluyentes o disjuntos. Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea o al mismo tiempo. Por ejemplo: 1.- Que un billete sea de $10 y de $ Que una persona chifle y coma pinole b.- Mutuamente no excluyentes entre sí: Cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que suceda también otro. Por ejemplo: Ing. Romeo Altúzar Meza Página 5

6 Que una persona sea doctor y que tenga más de 35 años. c.- Dependientes: Cuando un evento afecta la probabilidad de que suceda otro. Por ejemplo: Si un trabajo se hace descuidadamente, es más probable que resulte mal Eventos mutuamente independientes, regla de la multiplicación y regla de la adición Definición: Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene ningún efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro evento. En otras palabras los eventos mutuamente independientes no se ven afectados por otros. Por ejemplo: El color de mis zapatos y la probabilidad de que llueva hoy en la tarde. Regla de la adición: La regla de la adición se emplea cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra un evento u otro (o ambos) en una sola observación (los eventos tienen que ser mutuamente excluyentes). Simbólicamente, podemos representar la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B con (A o B). En el lenguaje de la teoría de conjuntos como la unión de A y B, y la probabilidad se designa como P(A U B) ( Probabilidad de A unión B ). P(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B) Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos se resta de la suma de las probabilidades simples de los dos eventos. Regla de la Multiplicación: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) P(A o B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) La regla de la multiplicación se refiere a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B. Esto se refiere a la intersección de A y B, que en el lenguaje de la teoría de conjuntos se conoce como la intersección A y B. La regla de la multiplicación para eventos independientes es: Ing. Romeo Altúzar Meza Página 6

7 P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B) Cuando dos eventos son dependientes se emplea el concepto de probabilidad condicional que se verá más adelante Tablas de la probabilidad conjunta Una tabla de probabilidades conjuntas es una tabla en la que todos los posible valores ( o resultados) de una variable se registran como encabezados de líneas, todos los posibles eventos de una segunda variable se registran como encabezados de columnas y el valor incluido en cada celda de la tabla representa la probabilidad de cada ocurrencia conjunta. A menudo, las probabilidades de tablas de este tipo se basan en frecuencias observadas de ocurrencias conjuntas que pueden servir de base para la elaboración de una tabla de probabilidades conjuntas y se le llama tabla de contingencias. Ejemplo: La tabla 1: Es una tabla de contingencia en la que se describe por géneros y edad a 200 personas visitantes de una tienda de ropa. Tabla de contingencias de Clientes de una tienda de ropa Edad Masculino Genero Femenino Total Menor de Mayor de Total Tabla No. 1 En la siguiente tabla 2. Muestra la tabla de probabilidad conjunta correspondiente a la tabla de contingencias de clientes de una tienda de ropa. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 7

8 Tabla de probabilidades conjuntas de Clientes de una tienda de ropa Edad Genero Total Masculino(M) Femenino(F) Menor de 30 (Mn) Mayor de 30 (My) Probabilidad Marginal Tabla No Probabilidad condicional La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama Probabilidad condicional y se denota por P(B A). El símbolo P(B A) por lo general se lee La probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A o simplemente la probabilidad de B, dado A La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con P(B A), se define como Ejemplo: La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(D) = 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A)= 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(D A)= Encuentre la probabilidad de que un avión a. Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo. b. salió a tiempo, dado que llegó a tiempo. a. La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: b. La probabilidad de que un avión saliera a tiempo, dado que llegó a tiempo es: Ing. Romeo Altúzar Meza Página 8

9 1.8.- Independencia estadística Se dice que dos variables X e Y son independientes estadísticamente cuando la frecuencia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales en todos los casos, es decir: Para todo i, j Si esto no se cumple para todos los valores se dice que hay dependencia estadística Teorema de Bayes Tomas Bayes matemáticos Inglés ( ) desarrollo una fórmula que puede simplificar el cálculo de las probabilidades condicionales. La formula de Bayes, en su forma más sencilla, permite calcular la probabilidad de que ocurra el evento B, si se sabe que ya ocurrió el evento A, esto es, P(B A). Para ello se requiere conocer la probabilidad simple de que ocurra el evento A, o sea P(A); la probabilidad siempre de que ocurra el evento B, es decir, P(B); y la probabilidad de que ocurra el evento A, si se sabe que ya ocurrió el evento B, o sea, P(A B). Lo anterior puede expresarse por medio de la siguiente formula, la cual se aplica a continuación. Ejercicios Resueltos. Regla de la adición Al extraer un naipe de un mazo, los eventos As (A) y Rey (R) son mutuamente excluyentes, la probabilidad de extraer un As o un Rey en una sola extracción es: Regla de la multiplicación Ing. Romeo Altúzar Meza Página 9

10 Si una moneda se lanza dos veces, la probabilidad de que ambos lanzamientos den por resultado una Sol es: Teorema de Bayes 1.- El 55.26% de los automóviles de un estacionamiento son de 4 puertas. Los automóviles blancos son el 21.27% del total, y los automóviles de 4 puertas escogidos de entre los blancos son el 59.77%. Determine el porcentaje de autos blancos escogidos de entre los de 4 puertas. Solución. Sea A = Porcentaje de autos de 4 puertas B = Porcentaje de autos blancos A B = porcentaje de autos de 4 puertas que son blancos Los datos del problema son: P(A) = 55.26% = P(B) = 21.27% = P(A B)= 59.77% = El porcentaje deseado es: P(Autos Blancos que son de 4 puertas), lo cual puede obtenerse aplicando la formula de Bayes para probabilidades condicionales. 2.- La máquina A de una fábrica de alfileres produce el 58% de la producción total de la fábrica, mientras que la maquina B produce el 42% del total. La maquina A produce con un porcentaje de alfileres defectuosos del 2%, en tanto que la maquina B produce con un 4% de defectuosos. a. Cuál es la probabilidad de que, al tomar al azar un alfiler, este sea defectuoso? b. Cuál es la probabilidad de que, al tomar al azar un alfiler defectuoso, este provenga de la maquina B. Solución: La probabilidad de obtener una artículo defectuoso es el promedio del porcentaje de defectuoso que produce cada máquina, ponderado por su porcentaje de participación en la producción total de la fábrica, esto es: Ing. Romeo Altúzar Meza Página 10

11 a. Probabilidad (defectuosos) = 0.02 * * 0.42 = = 2.84% b. Para calcular la probabilidad de que, al tomar al azar un alfiler defectuoso, este haya sido fabricado por la maquina B, puede aplicarse la formula de Bayes: Sean P(A) la probabilidad simple de obtener un alfiler defectuoso, P(A) = 2.84% P(B) la probabilidad simple de obtener un alfiler de la maquina B, P(B) = 42% P(A B) la probabilidad condicional de obtener un alfiler defectuoso, si proviene de la maquina B en este caso P(A B) = 4% Ing. Romeo Altúzar Meza Página 11

12 Unidad II. Estadística Descriptiva Tabulación de Datos La tabulación consiste en presentar los datos estadísticos en forma de tablas o cuadros. Partes de una tabla TITULO de la tabla, que debe ser preciso y conciso CONTENIDO, con la fila de encabezamiento o cabecera (títulos de las columnas) la columna matriz, con las modalidades o clases de la variable columnas de parámetros NOTAS EXPLICATIVAS (opcional), como fuente de los datos, abreviaturas, etc. Forma de tabular a. Variables cualitativas Pueden representarse: La frecuencia absoluta (símbolo: f ó n), que es el nº de veces que aparece cada modalidad (resultado del recuento). La frecuencia total, de todas las modalidades juntas, se representa por N. la frecuencia relativa (fr) o proporción se obtiene dividiendo la frecuencia de cada modalidad entre el total de datos. fr = f / N. Los valores posibles oscilan entre 0 y 1. Suele expresarse con 3 decimales. La suma de todas las fr tiene que dar 1 ó un número muy cercano al 1, si ha habido redondeos. el porcentaje (P o %), que es la frecuencia relativa multiplicada por 100. P = fr * 100 ó % = (f*100)/n. Suele expresarse con 3 dígitos. La suma de todos los porcentajes debe dar 100 o un número muy próximo, si ha habido redondeos. las frecuencia acumuladas (Sf ó Sn ) que se obtienen sumando la frecuencia de cada modalidad a las frecuencias ya acumuladas anteriormente. En la primera modalidad no hay nada acumulado de antes y por tanto su frecuencia acumulada será su misma frecuencia. La última modalidad tiene que dar una frecuencia acumulada igual a N. las frecuencias relativas acumuladas y los porcentajes acumulados se obtienen de forma similar En las variables nominales las modalidades pueden ponerse en el orden que se quiera, pero en las ordinales hay que respetar el orden lógico. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 12

13 Residencia Sanitaria S.S. de Castellón Ingresos en Pediatría. Marzo 1980 Sección f fr % f fr % Neonatología Lactantes Preescolar Total En la tabla definitiva no se presentan todos estos parámetros, sino los más adecuados en cada caso concreto. b. Variables cuantitativas Los datos se agrupan según la frecuencia de los valores. Es lo que se denomina Distribución de frecuencias. La forma de tabular depende del nº de datos. (se verá mas adelante) Si son pocos (la mayoría de autores pone el tope en 30), se hace una tabla simple de forma similar a lo visto para las variables CL. Cada dato equivale a una modalidad. Al final nos quedaremos con la f de cada número y si se prefiere también con él %. Los números se ordenan de menor a mayor o de mayor a menor. La tabla puede hacerse en sentido vertical u horizontal. Ejemplo: Si x = ( 4, 1, 7, 2, 2, 9, 7, 2, 2, 9, 7, 1, 4) Si son muchos se agrupan en clases, que son intervalos sucesivos de valores. Los datos se asignan a la clase que les corresponde y se cuentan los datos de cada clase, que está representada por el punto medio o centro de clase (pm ó c). Esta agrupación es arbitraria con dos condiciones esenciales: que las clases sean mutuamente excluyentes y que todos los datos puedan se asignados a una clase. Ahora bien, la experiencia ha ido introduciendo una serie de normas, que permiten hacer esta agrupación de la forma más racional posible (que se verá en distribución de frecuencias). Ing. Romeo Altúzar Meza Página 13

14 2.2.- Distribución de Frecuencia Una distribución de frecuencias es una tabla que presenta el número de elementos que pertenecen a cada una de las clases o categorías en las que se halla dividido para su estudio un grupo de datos. Una distribución de frecuencias son la forma más común de organizar un gran número de datos, por ejemplo. Las calificaciones de los alumnos de primer semestre y a partir de ellas lograr conclusiones que no eran visibles originalmente, un estudio que se puede hacer es la concentración de calificaciones en sus niveles bajo. Medio y alto; incluso permiten definir líneas de decisión, como los precios al mayoreo de cierto artículo, las tarifas de agua potable para una ciudad, o las tablas de impuesto sobre la renta. Pasos para elaborar una tabla de distribución de Frecuencias 1. Calcular el RECORRIDO ( R ), (a veces mal llamado Rango) R = (límite real superior del dato mayor límite real inferior del dato menor) O si se prefiere: R = (valor tabulado máximo valor tabulado mínimo) Calcular el Nº DE CLASES (NC). Es función de N (tamaño de la muestra) y no hay reglas fijas. En general: entre 4 y 20. Pero se puede calcular con las relaciones matemáticas: NC = 1+ 3,32*logN ó 1+1,44*Ln(N) 3. Calcular la AMPLITUD de las clases ó INTERVALO (i) : i = R / NC Si i no es número entero, se redondea al número entero superior para que NC*i _ R y así queden englobados todos los datos. Como probamos con 2 ó 3 opciones, conviene elegir una i que sea impar, pues así el punto medio de la clase (pm ó c) tendrá una cifra menos. 4. Ver si hay SOBRAS, que son la diferencia entre NC*i y R. Se reparten lo mejor posible entre ambos extremos de la distribución fijando así los límites definitivos de la tabla. 5. Construir el esquema de la tabla, poniendo columnas de: CLASES ó LIMITES TABULADOS LIMITES REALES PUNTO MEDIO (pm ó c) FRECUENCIA ( f ó n) FRECUENCIA RELATIVA ( fr) PORCENTAJE (P o %) FRECUENCIAS ACUMULADAS ( fa ) FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS (fra) PORCENTAJES ACUMULADOS (%a) 6. Hacer el RECUENTO de datos y rellenar las casillas correspondientes Ing. Romeo Altúzar Meza Página 14

15 7. Escribir la TABLA DEFINITIVA. Son obligadas las clases y la frecuencia absoluta, pudiendo añadir otros parámetros, si se considera que mejoran la información. Una tabla excesivamente prolija resulta más difícil de leer. Por tanto la norma es: poner todo lo necesario, pero no más de lo necesario. Algunos de éstos parámetros son los mismos que se han visto para las variables CL. Otros precisan una aclaración: Los límites de las clases son los valores inferior y superior de cada clase. (Límite inferior y límite superior). Hay que distinguir entre los límites tabulados (LT) y los límites reales (LR). Los límites tabulados son los datos originales que abren y cierran una clase. Los límites reales son el límite real inferior del primer valor (LRI) y el límite real superior del último (LRS). El punto medio o centro de la clase (pm ó c) representa a la clase cuando se hacen operaciones matemáticas. Es la media de los límites. Da lo mismo tomar los límites reales que los tabulados, ya que ambos dan el mismo resultado. En una distribución con todas las clases de la misma amplitud las diferencias entre los puntos medios, los límites inferiores y los límites superiores de dos clases consecutivas valen lo mismo y son igual a la amplitud de la clase (i). Esto facilita la construcción de la tabla. Una clase es abierta cuando carece de un límite. Sólo pueden ser abiertas la primera clase (p.e. <10 ; no tiene límite inferior)) y la última (p.e. >100 ; no tiene límite superior). No deben usarse, a no ser que no haya otro remedio. Ejemplo: Tabular los 70 valores siguientes: Datos Originales (N = 70) Pasos de la tabulación Dato mayor: 62, cuyo LRS es 62.5 Dato menor: 13, cuyo LRI es 12.5 Recorrido (R): = 50 ó (62-13)+1 = 50 Nº de clases (NC): 7 u 8 Amplitud (i): Si NC = 7, i = 50/7 = (par) Si NC = 8, i = 50/8 = (impar) Nos quedamos pues con NC = 8 de amplitud 7, que es impar Sobras: (8*7) 50 = 6, que repartimos así: 3 abajo y 3 arriba La 1ª clase empezará en 10 (13-3) La última terminará con el 65 (62+3) Ing. Romeo Altúzar Meza Página 15

16 Ya se puede construir el esquema de la tabla (clases, LR y punto medio) y proceder al recuento de los datos que corresponden a cada clase, para completar las otras columnas Representación grafica de datos Los gráficos son útiles porque ponen en renombre y aclaran las tendencias que no se captan fácilmente en la tabla, ayudan a estimar valores con una simple ojeada y brinda una verificación gráfica de la veracidad de las soluciones. Histogramas Un histograma de frecuencias es un gráfico que se forma levantando rectángulos sobre cada uno de los Límites Reales de cada intervalo, con una altura equivalente a la frecuencia absoluta de cada clase. El histograma se utiliza para representar datos que corresponden a los valores de una variable cuantitativa continua. Para indicar esta continuidad de la variable no se dejan espacios entre las barras. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 16

17 Polígono de frecuencias. Un polígono de frecuencias es sólo una línea que conecta los Puntos Medios de todas las barras de un histograma. En el polígono de frecuencia como en el histograma, el valor de la variable aparece en el eje horizontal y la frecuencia absoluta o relativa en el eje vertical. La diferencia con respecto al histograma es que el polígono sólo toma en consideración los Puntos medios de clase como representativo de cada clase o intervalo. Ojivas o polígonos de frecuencia acumulada La gráfica de una distribución de frecuencias acumuladas se conoce como ojiva Una distribución de frecuencias acumuladas nos permite ver cuántas observaciones son menores o igual a un valor específico, en lugar de hacer un mero registro del número de elementos que hay dentro de los intervalos. El intervalo (o el límite superior del intervalo) aparece en el eje horizontal y la frecuencia absoluta acumulada o relativa acumulada en el eje vertical. Esta gráfica facilita la comparación dos grupos de datos de forma visual y de manera mucho más efectiva que el polígono de frecuencia, puesto que permite comparar los porcentajes acumulados de dos distribuciones con respecto al mismo intervalo. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 17

18 Ejemplo de graficas de Histograma, polígono de frecuencia y ojiva 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. Pasos de la tabulación Dato mayor: 48, cuyo LRS es 48.5 Dato menor: 3, cuyo LRI es 2.5 Recorrido (R): = 46 ó (48-3)+1 = 46 Nº de clases (NC): 6 u 10 Amplitud (i): Si NC = 6, i = 46/6 = Si NC = 10, i = 46/10 = Nos quedamos pues con NC = 8 de amplitud 6, que es par Sobras: (5*10) 46 = 4, que repartimos así: 1 abajo y 1 arriba La 1ª clase empezará en (3-1)= 2 La última terminará con el (48+1)= 49 clases limites Punto medio f fa fr % Grados (limites tabulados reales c % % % % % % % % % % % 18 Ing. Romeo Altúzar Meza Página 18

19 Frecuenecia Acumulada Matemáticas Avanzada II % 18 suma % % % 5% 9 20% Gráfica de Pastel 8 18% 1 2% 2 2% 3 7% 4 8% 7 10% 5 5% 6 8% Ojiva Nombre de la Clase Diagramas de Sectores o Pastel Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente: El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos Ej emp lo Ing. Romeo Altúzar Meza Página 19

20 En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte. Alumnos Ángulo Calculo Baloncesto Natación 3 36 Fútbol Sin deporte 6 72 Total Grafica de Pastel Medidas de tendencia central Una medida de posición es un valor calculado de un grupo de datos que sirven para describir a éstos de alguna manera. Lo común es que nos interese que este valor sea representativo de todos los valores del grupo, motivo por el cual es de desear cierto tipo de promedio. Un promedio es una medida de la tendencia central de una serie de datos o valores. Ing. Romeo Altúzar Meza Página 20

21 2.5.- Medidas de dispersión Asdasdasdasdsa Teorema de Chebysheb y regla empírica asd Ing. Romeo Altúzar Meza Página 21