Jornadas sobre Polinomios Ortogonales. Resumen de las conferencias

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1 Jornadas sobre Polinomios Ortogonales Jaca (Huesca), 25 y 26 de mayo de 2007 Resumen de las conferencias Viernes, 25 de mayo, mañana Sobre la obra científica de Manuel Alfaro Francisco Marcellán Universidad Carlos III de Madrid Sobre polinomios ortogonales de Sobolev Juan José Moreno Balcázar Departamento de Estadística y Matemática Aplicada Universidad de Almería Los polinomios de Sobolev, ortogonales con respecto a un producto escalar no estándar, son una rama muy activa dentro de la Teoría de Polinomios Ortogonales. Actualmente se trabaja en diversas direcciones: Sobolev en varias variables, asintótica, ceros, propiedades algebraicas, diferenciales...en esta charla me limitaré a dos problemas que se han abordado recientemente: cómo balancear/equilibrar un producto escalar de Sobolev que involucra medidas de soporte no acotado (ver [1]) y cómo obtener una función generatriz para un familia de polinomios ortogonales -Sobolev (ver [2]). Finalmente, se plantearán algunas nuevas tendencias en polinomios ortogonales de Sobolev. Referencias [1] M. Alfaro, J. J. Moreno-Balcázar, A. Peña y M. L. Rezola, Sobolev orthogonal polynomials: balance and asymptotics, Trans. Amer. Math. Soc., aceptado. [2] J. J. Moreno-Balcázar, T. E. Pérez y M. A. Piñar, A generating function for non standard orthogonal polynomials involving differences: the Meixner case, prepublicación. 1

2 2 Polinomios ortogonales múltiples Guillermo López Lagomasino Universidad Carlos III de Madrid Se expondrán resultados recientes sobre la teoría general de polinomios multi-ortogonales relativos a entrelazamiento de ceros, propiedades espectrales, fórmulas de recurrencia, propiedades asintóticas, aproximación vectorial de sistemas de funciones de Markov y fórmulas de cuadratura simultáneas. Teoría CMV. Aplicaciones María José Cantero Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Zaragoza Es conocida desde el siglo pasado la conexión entre Polinomios Ortogonales (PO) en R, Teoría de Operadores Autoadjuntos y determinados Sistemas Integrables: las denominadas Redes de Toda. La piedra angular de esta triple interconexión es la matriz de Jacobi que emerge de diversas formas en los tres campos anteriores. En el caso de los PO en R, debido la relación de recurrencia a tres términos que los caracteriza. Por otra parte, las matrices de Jacobi proporcionan las representaciones canónicas de los Operadores Autoadjuntos. Finalmente, son también esenciales en la formulación de las Redes de Toda en términos de un par de Lax. La estrecha interrelación que la matriz de Jacobi establece entre los campos anteriores ha sido el origen de un muy fructífero intercambio de información. La proliferación de resultados consecuencia de esta triple simbiosis es de tal magnitud que hace deseable el poder disponer de una interconexión análoga en otros contextos. No parece descabellado pensar que en la nueva terna los PO en la circunferencia unidad (T) jueguen un papel similar al que antes tenian los PO en R. Es natural que ahora los Operadores Unitarios, cuyo espectro está en T, sean los sustitutos de los Operadores Autoadjuntos, cuyo espectro está en R. A falta de precisar cómo tiene lugar esta interconexión, aún faltaría por determinar el vértice restante de esta nueva terna: cuál es el correspondiente Sistema Integrable? El objetivo de esta comunicación es dar respuestas a los anteriores interrogantes en T que, a diferencia de la situación en R, han sido obtenidas recientemente. Dichas respuestas señalan a la denominada matriz CMV como piedra angular que reemplaza a la matriz de Jacobi en la nueva terna.

3 Sobre ecuaciones en diferencias parciales de tipo hipergeométrico Jaime Rodal Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Vigo El objetivo de esta comunicación es exponer un breve resumen del trabajo realizado sobre el estudio de una ecuación en diferencias parciales de tipo hipergeométrico sobre una red uniforme y no uniforme y de las propiedades de una solución polinómica de dicha ecuación. Información de Fisher de polinomios ortogonales discretos Pablo Sánchez Moreno Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear Universidad de Granada El estudio de la teoría de información de distribuciones discretas comenzó en 1998 con el cálculo de las entropías de Renyi y Shannon de las distribuciones de Poisson, Pascal y binomial, por parte de C. Knessel, P. Jacquet y S. Szpankowski. En este trabajo se extienden estas investigaciones en dos sentidos. En primer lugar se considera una clase generalizada de distribuciones discretas que está constituida por las densidades de Rakhmanov de las familias clásicas de polinomios ortogonales clásicos. Y en segundo lugar, se calcula la información de Fisher relativa de estas densidades generalizadas en términos del grado y los parámetros que caracterizan los polinomios involucrados. Viernes, 25 de mayo, tarde Sobre polinomios ortogonales clásicos en varias variables Miguel A. Piñar Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada En este trabajo abordamos el estudio de las propiedades diferenciales que caracterizan a los polinomios ortogonales clásicos multivariados. Utilizando un enfoque matricial mostraremos los análogos multivariados de las caracterizaciones de Hahn-Sonine (ortogonalidad de las derivadas), Al Salam-Chihara (relación de estructura), S. Bochner (ecuación diferencial de segundo orden). Finalmente, estudiaremos la 3

4 4 existencia de una fórmula de Rodrigues matricial para los polinomios multivariados. Sobre polinomios ortogonales clásicos Renato Álvarez Nodarse Departamento de Análisis Matemático Universidad de Sevilla Es bien conocido el papel que juegan las funciones especiales (y dentro de ellas los polinomios ortogonales) dentro de las matemáticas y fuera de ellas. Alberto Grünbaum los definió (informalmente) como las cañerías de una casa, nadie las quiere ver, pero no podemos vivir sin ellas, lo cual queda de manifiesto debido a sus incontables aplicaciones, por ejemplo, en física, procesamiento de imágenes y teoría de la aproximación (una historia más detallada se puede encontrar en R. Álvarez-Nodarse: Polinomios ortogonales: historia y aplicaciones. Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. 18 (2001), 19 45). Dentro de esta gran familia de funciones ocupan un lugar especial los polinomios clásicos. Aquí el término clásico lo entenderemos como polinomios que, de una u otra forma, están relacionados con los polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi. En esta charla discutiremos brevemente distintas caracterizaciones de los polinomios clásicos partiendo, por supuesto, por los clásicos continuos y terminando por los q-polinomios, y, en la medida de lo posible, mostraremos algunas aplicaciones de los mismos. Finalmente, comentaremos varios problemas abiertos. Polinomios ortogonales semiclásicos sobre la circunferencia unidad Alicia Cachafeiro Departamento de Matemática Aplicada I Universidad de Vigo El objeto de esta comunicación es introducir los polinomios ortogonales semiclásicos sobre la circunferencia unidad y presentar las propiedades más relevantes: 1. Relación de estructura. 2. Ecuación diferencial. 3. Caracterizaciones en términos de las series formales de momentos. Se estudia también la estabilidad de la clase y finalmente se presenta una clase más amplia, la correspondiente a los llamados polinomios de Laguerre-Hahn afín.

5 Entropías (generalizadas) de polinomios ortogonales con representación trigonométrica Julio de Vicente Universidad Carlos III de Madrid En esta charla daremos cuenta de los resultados obtenidos recientemente en el cálculo de entropías de Shannon de polinomios ortogonales a partir de representaciones trigonométricas de los mismos y técnicas de integración en el plano complejo. Así mismo, discutiremos la posible extensión del método para el cálculo de entropías generalizadas (de Rényi y Tsallis). Sobre sistemas bi-ortogonales de funciones trigonométricas y fórmulas de cuadratura para integrandos periódicos Ruymán Cruz-Barroso Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna En esta conferencia consideraremos fórmulas de cuadratura con un número arbitrario de nodos y que integren exactamente polinomios trigonométricos de grado lo mayor posible, con el fin de aproximar integrales de funciones pesadas 2π-periódicas. Para este propósito introduciremos ciertos sistemas bi-ortogonales de funciones trigonométricas y analizaremos sus propiedades más relevantes, completando así los resultados obtenidos por Szegő en [2] y estableciendo una conexión con los de Jones, Njåstad y Thron en [1]. El contenido es parte de un trabajo en colaboración con los profesores Pablo González-Vera, del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de La Laguna y Olav Njåstad, del Departamento de Ciencias Matemáticas de la Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología en Trondheim, Noruega. Referencias [1] W. B. Jones, O. Njåstad y W. J. Thron, Moment theory, orthogonal polynomials, quadrature, and continued fractions associated with the unit circle, Bull. London Math. Soc. 21 (1989), [2] G. Szegő, On bi-orthogonal systems of trigonometric polynomials, Magyar Tud. Akad. Kutató Int. Kőzl 8 (1963),

6 6 Sábado, 26 de mayo, mañana Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad: enfoque de Riemann-Hilbert Andrei Martínez Finkelshtein Departamento de Estadística y Matemática Aplicada Universidad de Almería En esta charla se pretente describir algunos resultados obtenidos sobre la asintótica de polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad por medio de las técnicas de Riemann-Hilbert. Se describirán los principales ingredientes del método, los casos donde el análisis arroja resultados totalmente novedosos, ilustrándolo con experimentos numéricos representativos. Sobre medidas variantes, ceros y coeficientes de Verblunsky Jesús M. Montaner Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Zaragoza Se expone, en primer lugar, un resumen de los trabajos realizados conjuntamente con el profesor Manuel Alfaro, cuyo objeto principal es el estudio de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad y, en particular, los ceros de dichos polinomios. En una segunda parte, fruto de la colaboración, fundamentalmente, con los profesores María Pilar Alfaro y Manuel Bello, se recogen diversas propiedades relativas a polinomios ortogonales respecto de medidas variantes y, en particular, sobre su comportamiento asintótico. Se muestra un interesante resultado referente a ceros de polinomios ortogonales respecto a una medida fija y finalmente se describen propiedades asintóticas de los coeficientes de Verblunsky. Polinomios ortogonales matriciales Antonio J. Durán Departamento de Análisis Matemático Universidad de Sevilla Conforme más familias de polinomios ortogonales matriciales verificando ecuaciones diferenciales de segundo orden se van conociendo, más diferencias se aprecian con las familias escalares clásicas. La relación de estas últimas con su operador diferencial de segundo orden parece estar regida por una fidelidad de pareja que, de conocerla, haría las delicias del papa Benedicto y su séquito. En cambio, las familias matriciales

7 son más aficionadas a promiscuidades e infidelidades que, en algunos casos, alcanzan cotas realmente diabólicas. Revelarlas será el objetivo de la charla, y dado que se mostrarán escenas explícitas, no está recomendada para obispos, abadesas, ni menores. Se ruega también a los mayores de 60 que vayan acompañados. Entropías de información de polinomios ortogonales Jesús Sánchez-Dehesa Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear Universidad de Granada Esta comunicación trata de la caracterización de la no-linealidad espectral de ciertos operadores y de la forma de las cosas en espacios de dimensión arbitraria, por medio de algunas medidas teóricas de información. Se ilustrará con algunos ejemplos concretos que la determinación de tales fenómenos se reduce al cálculo de integrales entrópicas de polinomios ortogonales y de otras funciones especiales de la matemática aplicada. A veces, cuando no es posible la evaluación analítica de tales objetos matemáticos, habrá que limitarse a la obtención de cotas obtenidas a través de desigualdades extraídas del análisis funcional. En cualquier caso, la asintótica de las entropías polinómicas juega un papel básico en la descripción de los fenómenos físicos mencionados, amén de otros no considerados aquí. Conclusión y cierre María Luisa Rezola Universidad de Zaragoza 7