CONTENIDO SERIES DE FOURIER SOBREEL

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1 1 SERIES DE FOURIER SOBREEL CÍRCULO Motivación y heurística Motivación de la física La cuerda-vibrante Flujo de calor en -los sólidos Series trigonométricas absolutamente convergentes *Ejemplos de funciones factoria1es y de Bessel Ejemplo del núcleo de Poisson *Demostración del método de Laplace *Series trigonométricas no absolutamente convergentes 11 Formulación de las series de Fourier Coeficientes de Fourier y sus propiedades básicas Series de Fourier de medidas finitas *Rapideces de decaimiento de los coeficientes de Fourier Funciones seccionalmente suaves Caracterización de Fourier de las funciones analíticas Integral senoidal Otras demostraciones de que SiC00) = Criterios de convergencia puntual *Integración de las series de Fourier Convergencias de las series de Fourier de medidas Principio de localización de Riemann Fenómeno de Gibbs-Wilbraham El caso general Series de Fourier en L Aproximación media cuadrática; teorema de Parseval *Aplicación a la desigualdad isoperimétrica v

2 vi CONTENIDO *Rapideces de convergencia en L Aplicación de las series de Fourier absolutamente convergentes 1.4 Convergencia en la norma y sumabilidad Identidades aproximadas Convergencia en casi todas partes de las medias de Abel Matrices de sumabilidad Medias de Fejér de una serie de Fourier Teorema de cerradura de Wiener sobre el círculo *Equidistribución módulo uno Teorema tauberiano de Hardy 1.5 Aproximación trigonométrica mejorada Rapideces de convergencia en C(1r) Aproximación con las medias de Fejér *Teorema de Jackson *Aproximación de orden superior *Teoremas inversos de Bemstein 1.6 Divergencia de las series de Fourier El ejemplo de du Bois-Reymond Análisis a través de las constantes de Lebesgue Divergencia en el espacio L *Apéndice: Complementos acerca del método de Lap1ace Primera variación del tema acerca de la aproximación gaussiana Segunda variación mejorada del tema acerca de la estimación de error *Aplicación a las funciones de Bessel *El teorema del límite local de DeMoivre-Laplace 1.8 Apéndice: Demostración del teorema de la acotabilidad uniforme 1.9 *Apéndice: Funciones de Bessel de orden superior 1.10 Apéndice: Teorema de Cantor de la unicidad 2 TRANSFORMADAS DE FOURIER SOBRE LA RECTA Y EL ESPACIO 2.1 Motivación y heurística 2.2 Propiedades básicas de la transformada de Fourier Lema de Riemann-Lebesgue Identidades aproximadas y sumabilidad gaussiana Identidades aproximadas mejoradas para la convergencia puntual Aplicación a la transformada de Fourier

3 vii El núcleo n-dimensional de Poisson Transformadas de Fourier de distribuciones con pesos *Caracterización de la densidad gaussiana *Teorema de Wiener de la densidad 2.3 Invertibilidad de la transformada de Fourier en una dimensión Núcleo de Dirichlet y sumas parciales simétricas Ejemplo de la función indicadora Fenómeno de Gibbs- Wilbraham Teorema de Dini de la convergencia Extensión a la integral sencilla de Fourier Operaciones y regularización en JRl; promediación y sumabilidad Promediado y convergencia débil Sumabilidad de Cesaro Propiedades de aproximación del núcleo de Fejér Desigualdad de Bemstein *Representación unilateral de la integral de Fourier Transformada cosenoidal de Fourier Transformada senoidal de Fourier Transformada h generalizada 2.4 Teoría de L2 en JRn Teorema de Plancherel *Teorema de Bemstein para las transformadas de Fourier El principio de incertidumbre Principio de incertidumbre sobre el círculo Análisis espectral de la transformada de Fourier Polinomios de Hermite Función propia de la transformada de Fourier Propiedades de ortogonalidad Completez 2.5 Inversión esférica de Fourier en JRn Procedimiento de Bochner Punto de vista de la suavidad por secciones Relaciones con la ecuación de onda El método de Brandolini y Colzani Sumabilidad de Bochner-Riesz Un teorema general sobre la sumabilidad casi en todas partes 2.6 Funciones de Bessel Transformadas de Fourier de funciones radiales

4 . viii CONTENIDO Teoremasde restricciónen L 2 para la transformada de Fourier 2;6.2.1 Un resultado mejorado Limitaciones sobre el rango de p El método de la fase estacionaria Enunciado del resultado :7.3 Aplicación a las funciones de Bessel. Demostración del método de la fase estacionaria Lema de Abel 1~ ANÁLISIS DE FOURIER EN LOS ESPACIOS U, Motivación y heurística 169 El teorema de interpolación de M. Riesz- Thorin Desigualdad generalizada de Young Desigualdad de Hausdorff- Young Teorema de Stein de la interpolación compleja 175 Función conjugada o transformada discreta de Hilbert Teoría en LP de la función conjugada Teoría en L1 de la función conjugada Identificación como una'integral singular 183 Transformada de Hilbert en IR Teoría de la transformada de Hilbert en L Teoría de la transformada de Hilbert, LP en 1 < P < Aplicaciones a la convergencia de las integrales de Fourier Teoría de la transformada y extensiones de Hilbert en L Desigualdad de Kolmogorov para la transformada de Hilbert Aplicación a las integrales singulares con núcleos impares 194 Función maximal de Hardy-Littlewood Aplicación al teorema de Lebesgue de la diferenciación Aplicación a los operadores de convolución radial Desigualdades maximales para promedios esféricos 203 El teorema de Marcinkiewicz de interpolación 206 Descomposición de Calderón-Zygmund 209 Una clase de integrales singulares 210 Propiedades de las funciones armónicas Propiedades generales Teoremas de representación en el disco Teoremas de representación en el semiplano superior Teoremas de Herglotz/Bochner y las funciones definidas positivas

5 ix 4 FÓRMULA DE LA SUMA DEPOISSON y LAS SERIES MÚLTIPLES DE FOURIER Motivación y heurística Fórmula de la suma de Poisson en ]H.! 4.2.1Periodización de una función Enunciado y demostración Muestreo de Shannon Series múltiples de Fourier Teoría básica en L! Convergencia puntual para las funciones suaves Representación de las sumas parciales esféricas Teoría básica en L Teoremas de restricción para los coeficientes de Fourier 236 Fórmula de la suma de Poisson en ]H.d *No localización simultánea 239 Aplicación a lospl1ntos reticulares' Error medio cuadrático de Kendall Fórmula asintótica de Landau Aplicación a las series múltiples de Fourier Caso tridimensional Caso con dimensiones superiores 247 Ecuación de Schrodinger y sumas de Gauss Distribuciones sobre el círculo La ecuación de Schrodinger sobre el círculo 250 Recurrencia del camino aleatorio APLICACIONES A LA TEORÍA DE PROBABILIDADES Motivación y heurística Definiciones básicas El teorema del límite central Reenunciado en términos de variables aleatorias independientes Extensión hacia las series con n no consecutivos Extensión hacia las sumas de Abel Convergencia débil de las medidas Teorema mejorado de continuidad Otra demostración del teorema de Bochner Semigrupos de convoluciones Teorema de Berry-Esséen Extensión a las distribuciones diferentes Ley dellogaritmo iterado 280

6 x 6 CONTENIDO INTRODUCCIÓN A LAS ONDOLETAS Motivación y heurística Tratamiento heurístico de la transformada por ondoleta 285 Transformada por ondoleta Caracterización de la suavidad por ondoletas 290 Desarrollo de Haar en ondoletas Funciones y serie de Haar Sumas de Haar y proyecciones diádicas Completud de las funciones de Haar Serie de Haar en los espacios Ca y Lp Convergencia puntual de la serie de Haar *Construcción del movimiento browniano estándar *Representación en funciones de Haar del movimiento browniano *Demostración de la continuidad *Módulo de continuidad de Lévy Análisis de multirresolución Sistemas ortonormales y sistemas de Riesz Ecuaciones de escala y constantes de estructura De la función de escala al AMR Observaciones adicionales Ondoletas de Meyer De la función de escala a la ondoleta ortonormal Demostración directa de que VI e Va es generado por {'l'(t - k) hez Integrabilidad nula de las ondoletas sin funciones de escala Ondoletas con soporte compacto Del filtro de escala a la función de escala Construcción explícita de ondoletas compactas Modelo de Daubechies Modelo de Hemández-Weiss Suavidad de las ondoletas Un resultado negativo Extensión de Cohen del teorema Propiedades de convergencia de los desarrollos en ondoletas Series de ondoletas en los espacios LP Análisis de escala grande Convergencia casi en todas partes Convergencia en un punto preasignado Teoremas de aproximación de Jackson y Bemstein Ondoletas en varias variables Dos ejemplos importantes Producto tensorial de ondoletas

7 xi Bibliografía Notaciones Índice Fonnulación general del AMR y las ondoletas en ]Rd Notaciones para subgrupos y clases de equivalencia Los sistemas de Riesz y los sistemas ortononnales en ]Rd Ecuación de escala y constantes de estructura Existencia del conjunto de ondoletas Demostración de que el conjunto de ondoletas genera VI e Vo Teorema de Cohen en]rd Ejemplos de ondoletas en ]Rd