RECURSOS DIDÁCTICOS: LECTURAS Y ACTIVIDADES

Transcripción

1 Pág. 1 Breve historia del cálculo de probabilidades En esta lectura se muestran los orígenes y la evolución de la probabilidad hasta nuestros días. Se concluye este artículo con los datos más interesantes sobre la biografía de Pascal. Aprende jugando Con este juego se pretende que los alumnos y las alumnas vean con claridad (adquieran una intuición bien asentada) que al tirar dos dados las probabilidades de las posibles sumas de resultados (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12) no son iguales. Podría tratarse de una experiencia de aula en la que el profesor o profesora propone una carrera entre 11 contendientes, numerados del 2 al 12, que van a avanzar según el resultado obtenido al sumar las puntuaciones de dos dados. Antes de empezar cada estudiante apuesta por uno de ellos. Y se realiza, paso a paso tirada a tirada señalando los avances en un tablero pintado sobre la pizarra. Los alumnos y las alumnas, antes de empezar, no suelen ser conscientes que las casillas centrales son más probables (los contendientes son más rápidos) que las extremas. Al terminar el juego es posible que caigan en la cuenta de que es más fácil obtener suma 6, 7 ó 8, que 2 ó 12. Es especialmente divertido admitir, de entrada, al corredor número 1 al que le asignará un casillero, como a los demás. Pronto se darán cuenta de que el pobre no tiene ninguna posibilidad de avanzar, pero antes de empezar siempre suele haber algún alumno o alumna que apuesta por él. Al finalizar el juego se puede proponer una nueva apuesta para la carrera siguiente. Ahora son muchos más los alumnos y alumnas que apuestan por las casillas centrales. No es necesario seguir jugando. Ya están en condiciones de reflexionar sobre el tablero y de evaluar inequívocamente la probabilidad que tiene cada uno de ellos de avanzar un paso en cada jugada. Probabilidades históricas Se trata de una lectura de alto nivel, dedicada a los alumnos y a las alumnas especialmente preparados o curiosos. Se incluyen dos artículos: La aguja de Buffon, o cómo usar las probabilidades para calcular aproximadamente el número, y La matemática de la herencia, descripción de las primeras leyes de Mendel en términos probabilísticos. Probabilidad condicionada

2 Pág. 2 BREVE HISTORIA DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Sobre sus comienzos La probabilidad nació en el juego y es jugando como mejor se aprende la probabilidad. A los algebristas del Renacimiento, en el siglo XVI, Pacioli Cardano, Tartaglia, se deben las primeras consideraciones matemáticas profundas a propósito de los juegos de azar y de las apuestas. Un problema antiguo En 1654, Blaise Pascal, un matemático francés sobre cuya vida puedes leer algo en la página siguiente, hacía un viaje en compañía de un jugador más o menos profesional: el caballero de Méré. Éste propuso entonces un problema que a Pascal le interesó mucho. Sin que ninguno de los dos lo supiera, era esencialmente el mismo problema que había interesado tanto a Pacioli, Tartaglia y Cardano un siglo antes. Esta es una versión del problema: Dos jugadores, Antonio y Bernardo, ponen sobre la mesa 100 cada uno. Un árbitro va a tirar un dado varias veces seguidas. Cada uno de los jugadores va a elegir un número entre el 1 y el 6. Antonio elige el 5 y Bernardo, el 3. Se llevará los 200 aquel cuyo número salga primero tres veces. Resulta que, después de unas cuantas tiradas, el 5 ha salido dos veces y el 3 solo ha salido una. En este momento, Bernardo recibe un mensaje por el que debe abandonar necesariamente la partida. Cómo repartir de modo justo y equitativo los 200? Pascal pensó mucho, escribió a su amigo Fermat y por diferentes caminos dieron ambos con la misma solución del problema y con un montón enorme de ideas: la Teoría de la Probabilidad había comenzado en serio.

3 Pág. 3 Las obras más importantes a partir de entonces fueron debidas al suizo Jacob Bernoulli, con su Ars conjectandi (1713) y más adelante al francés Pierre Simon de Laplace con su Teoría analítica de las probabilidades (1812). La probabilidad ahora La teoría, que comenzó como un juego, se ha convertido hoy día en una de las disciplinas matemáticas más profundas y con más aplicaciones en otras ciencias, tanto exactas, como naturales y sociales. En todas las ciencias, la incertidumbre ocupa un papel importante que es necesario cuantificar. En las ciencias económicas y sociales, es claro que las leyes que se pueden proponer tienen su fundamento en el manejo de gran cantidad de hechos semejantes y en las leyes probabilísticas que los gobiernan. Pero incluso el conocimiento físico de los últimos elementos constituyentes de la materia es también probabilístico. No se puede decir que un electrón ocupa este lugar..., sino que la probabilidad de que el electrón sea detectado en este lugar determinado es... Biografía de Pascal Uno de los grandes genios matemáticos de todos los tiempos fue Blaise Pascal ( ). Nació en Clermont (Francia). Su madre murió cuando Blasise tenía 3 años y desde entonces su padre tomó a su cargo personalmente la educación de sus dos hijos: Jacqueline (dos años menor que Blasise y que mostró un talento precoz en el terreno literario) y Blasise (que lo hizo en el de las matemáticas). El genio científico de Pascal es impresionante. Entre otros muchos resultados importantes suyos destacan sus ideas sobre la inducción completa, la invención de los principios de cálculo de probabilidades, su descubrimiento y utilización de los principios del cálculo y la construcción de lo que, probablemente, fue la primera máquina de calcular.

4 Pág. 4 Hacia el año 1646 comenzó a interesarse por la hidrostática, la presión atmosférica y el vacío, yendo, en muchos puntos, más lejos que Torricelli, contemporáneo suyo. Antes de cumplir los 30 años, Pascal había adquirido un gran renombre como matemático y físico. Sin embargo el nombre de Pascal se ha hecho aún más famoso como filósofo de la religión y como escritor, ocupando así un lugar muy peculiar en la historia del pensamiento. A partir de 1654, después de una honda experiencia religiosa, que él llamó su noche de fuego, decidió dedicarse enteramente a una vida de oración y de pensamiento religioso. Sus obras más importantes en este aspecto son Las cartas provinciales, de gran influencia en su tiempo y, sobre todo, los fragmentos hallados después de su muerte de la gran obra que planeaba en forma de Apología de la religión cristiana.

5 Pág. 5 APRENDE JUGANDO META META En la figura 1 aparece el tablero de juego, en el que las pistas o calles están numeradas del 2 al 12. En cada casilla de salida hay una ficha. Después de lanzar dos dados y sumar las puntuaciones obtenidas, se avanza una casilla la ficha correspondiente. Ve efectuando tiradas y avanzando las fichas. Ganará la ficha que primero llegue a la meta. La figura 2 muestra la situación de una carrera después de 44 tiradas. La suma de los puntos ha sido 4 en 3 ocasione. El 12 aún no ha salido. Aventúrate a decir, antes de jugar, qué ficha será la vencedora. Juega una partida. Piensa en los resultados obtenidos. Para una siguiente partida, a cuál consideras favorita? Observa la siguiente tabla e intenta relacionar con ella el resultado del juego: 2º dado 1 er dado

6 Pág. 6 PROBABILIDADES HISTÓRICAS La aguja de Buffon A mediados del siglo XVIII un francés, Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, tuvo la curiosa idea de estudiar la probabilidad de que, al lanzar una aguja de 2 centímetros de longitud sobre un papel con rayas paralelas separadas 4 centímetros, la aguja quedase tocando una raya. La probabilidad, que se puede obtener mediante matemáticas superiores resulta ser precisamente 1 1 3,14 0, es decir, que aproximadamente un tercio de las veces que se tire la aguja, ésta quedará tocando una raya. Pero esta idea de Buffon conduce, a su vez, a un ingenioso método para calcular experimentalmente el número. Tomas una cerilla sin cabeza. La cortas de forma que mida 2 cm. Tomas una hoja de papel bien grande. Pintas rayas paralelas separadas 4 cm. Tiras 100 veces la cerilla sobre el papel y apuntas el número P de veces que se queda tocando una raya. Entonces has hallado que la probabilidad experimental de que la cerilla toque raya es P Como se debe aproximar a 1 (calculado por Buffon), resulta que, aproximadamente: P P Por qué no haces el experimento? Verás que la exactitud se hace mayor si el número de tiradas es 200, La matemática de la herencia Un fraile agustino austriaco, Gregor Mendel, inició a mediados del siglo XIX el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas con diferentes características. Su obra, La Matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de la probabilidad a las ciencias naturales. Mendel escogió una planta que presenta un variedad de flores rojas y otra de flores blancas. Al cruzarlas obtenía una nueva variedad de flores de color rosa. Cuando estas plantas de color rosa se cruzan entre sí aparecen tres clases de plantas: una con flores rojas, otra con flores blancas y otra con flores rosas. La proporción viene a ser: 25% rojas, 25% blancas y 50% de color rosa.

7 Pág. 7 Cómo se explica? Se puede pensar que el color viene determinado por un par de genes. Cada gen puede ser de dos tipos diferentes que llamaremos gen rojo, R, y gen blanco, B. Cuando los genes son RR entonces la flor es roja. Si los dos son BB entonces la flor es blanca. Si son uno R y otro B entonces la flor es de color rosa. La planta hija recibe de su padre uno de sus genes correspondiente al color, el otro de su madre. Cuál de los dos genes del padre y cuál de los dos de la madre van a parar a la hija lo determina la suerte, el azar. Con esto se explica el fenómeno perfectamente. En la primera generación las plantas que provenían de una variedad que da siempre flores rojas tienen claramente genes RR, las que dan siempre color blanco tienen genes BB. Es claro que las hijas segunda generación van a tener todas un gen R y otro B. Así serán todas rosas. Pero en la tercera generación las cosas son distintas. Los genes del padre y de la madre se pueden distribuir, suponemos que con igual probabilidad, así: Madre (rosa) Padre (rosa) B R B BB BR R RB RR Como ves, los casos en que las plantas de la tercera generación son BR o RB, plantas rosa son dos veces más que los casos en que son BB, blancas, y también dos veces más que los casos en que son RR, rojas. Por otra, parte el número de casos en que son BB es igual al de casos en que son RR.

8 Pág. 8 Propuesta: Te atreves a conjeturar por qué la proporción de plantas rojas, blancas y rosa que se obtendrán al cruzar plantas rojas y plantas rosas es la siguiente: 50% rojas, 50% rosas, 0% blancas?

9 Pág. 9 PROBABILIDAD CONDICIONADA Una estrategia para ganar en la ruleta (!) Al contrario que Cauchi, Monge, Lavoisier y otros científicos de la agitada Francia de su tiempo, Laplace tuvo la extraña habilidad de mantenerse en la cresta del poder político y científico durante prácticamente toda su vida. La Gran obra de Laplace es su Tratado de Mecánica Celeste, cumbre de la astronomía teórica. Con él, la teoría de la probabilidad (a la que consideraba «el sentido común reducido al cálculo»), experimentó un fuerte impulso. Para «atribuir un grado de racional creencia a las proposiciones sobre los acontecimientos de azar», enunció siete principios generales del cálculo de probabilidades. Laplace advierte sobre las dificultades que pueden sobrevenir de las «mutuas combinaciones» de las probabilidades, debidas a que los hechos no sean independientes. Veamos en qué consiste esa falta de independencia y cómo alguien la utilizó para ganar mucho dinero a la ruleta. En un cierto lugar se ha contabilizado el número de días lluviosos y secos durante muchos años. Se llega a la conclusión de que llueve el 13 % de los días o, lo que es lo mismo, que la probabilidad de que llueva un día escogido al azar, es de 0,13. Sin embargo, si sabemos que hoy ha llovido, la probabilidad de que llueva mañana aumenta, pues hay más proporción de días lluviosos después de día lluvioso que después de día seco. En los escritos en idioma castellano, la proporción de vocales y consonantes suele ser aproximadamente estable. Así, si en un periódico escogemos una letra al azar, la probabilidad de que sea vocal es un cierto número conocido, p. Pero si sabemos que la letra anterior es consonante, la probabilidad de que ésta sea vocal es muy superior a p, pues hay mucha mayor proporción de vocales detrás de consonante que detrás de vocal.

10 Pág. 10 Un matemático pasó muchas horas tomando nota de los números que salían en una ruleta. Observó que, como era de esperar, las proporciones en que salían los distintos números eran prácticamente las mismas. Pero al clasificar los resultados en función del número que había salido la tirada anterior, las proporciones cambiaban, llegando a conclusiones del siguiente tipo: como la tirada anterior salió un «5», lo más probable es que ahora salga «2», «23» o «29», mientras que es poco probable que salga «7» o «16». Con esa información y una buena estrategia de juego basada en ella, consiguió ganar mucho dinero. A esas probabilidades basadas en una información adicional se las llama condicionadas y se las designa mediante P (A/ B), que se lee probabilidad A sabiendo que ha ocurrido B. En los casos anteriormente mencionados ocurre lo siguiente: P [llueva mañana / ha llovido hoy] > P [llueva mañana] P [vocal / la anterior es consonante] > P [vocal] P [23 / el anterior fue 25] > P [23]