Sistemas C-ortocéntricos y circunferencia de Feuerbach para cuadriláteros en planos de Minkowski

Transcripción

1 Sistemas C-ortocéntricos y circunferencia de Feuerbach para cuadriláteros en planos de Minkowski Tobías de Jesús Rosas Soto (tjrosas@gmail.com; trosas@demat-fecluz.org) Departamento de Matemática Facultad Experimental de Ciencias Universidad del Zulia Venezuela 8 de agosto de 04 Resumen Se presenta el estudio de propiedades geométricas de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, en un plano de Minkowski. Se estudian las relaciones entre los cuatro triángulos formados por los vértices del cuadrilátero, sus antitriángulos y puntos de simetría, sus baricentros y otros puntos asociados con dichos triángulos, respectivamente. Se introduce la noción de anticuadrilátero y se extiende la noción de circunferencia de Feuerbach de un cuadriláteros, inscritos en una circunferencia, a planos de Minkowski en general. Palabras claves: C-ortocentro, sistemas C-ortocéntricos, planos de Minkowski, cuadriláteros, baricentros, ortogonalidad isósceles. Abstract The study of geometric properties of a inscribed quadrangle in a circle, in a Minkowski plane is presented. We study the relations between the four triangles formed by the vertices of the quadrangle, its anti-triangles and points of symmetry, its barycenters and other points associated with such triangles, respectively. The notion of anti-quadrangle is introduced and extends the notion of Feuerbach circle for quadrangles, inscribed in a circle, to Minkowski planes in general. Key words: C-orthocenter, C-orthocentric systems, Minkowski plane, quadrangles, barycenters, isosceles orthogonality.

2 Introducción En 007, la matemática M. Spirova y el matemático H. Martini introdujeron la noción de circunferencia de Feuerbach de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia y muestran algunas propiedades de esta en planos de Minkowski estrictamente convexos (ver [5]). En el presente artículo, usando las nociones de C-ortocentro y sistemas C-ortocéntricos introducida por T. Rosas y W. Pacheco en [], se extiende dicha noción a planos de Minkowski en general y se estudian algunas propiedades de la circunferencia de Feuerbach de un cuadrilátero incrito en una circunferencia, relacionadas con las nociones de baricentro, ortogonalidad isósceles y otras circunferencias asociadas con los triángulos formados con los vértices del cuadrilátero. Denotemos por ( R, ) = M a un plano de Minkowski cualquiera con origen O, circunferencia unitaria C y norma. Para cualquier punto x M y λ R +, llamemos al conjunto C(x, λ) := x + λc la circunferencia de centro en x y radio λ. Para x y, denotemos por x, y a la línea que pasa por x y y, y por [x, y] el segmento entre x y y (ver [,, ]). Para puntos x, y M, se dice que x es ortogonal isósceles a y si x + y = x y, y lo denotaremos por x I y. Una propiedad de esta ortogonalidad que nos será de utilidad es la siguiente: para x, y M tales que x I y, entonces y I x, es decir, la ortogonalidad isósceles es simétrica (ver [, 6, 7]). Para p M, denotemos por S p a la simetría con respecto al punto p, dada por la expresión S p (w) = p w para w M. H p,k denotará la homotecia con centro p y razón k (k R), y está dada por H p,k (w) = ( k)p + kw para w M. Recordemos que las simetrías son isometrías en planos de Minkowski, es decir, S p (w) S p (v) = w v para todo w, v M (ver [8,, ]). Para x, z M, sean e un punto en el segmento [x, z], w uno sobre la prolongación del [x, z] y z 0 = S w (z). Diremos que los puntos e y w son conjugados armónicos de x y z, si H e, k (z) = x y H w, k (z 0 ) = x, con k Z (ver []). Para puntos x, x, x M denotemos por x x x al triángulo de vértices x, x, x. Si p 4 M, diremos que el p p p es el p 4 -antitriángulo del x x x, si p i = S mi (p 4 ) para i =,,, con m i los puntos medios de los lados del x x x. Al m m m lo llamaremos triángulo medial del x x x. Diremos que p 4 es un circuncentro del x x x, si p 4 x = p 4 x = p 4 x. Si tal p 4 existe, es el centro de una circunferencia que pasa por los vértices del x x x que llamaremos circunferencia circunscrita y a su radio el circunradio (ver [, ]). Denotemos por C( x x x ) el conjunto de los circuncentros del x x x. Diremos que el punto x 4 es el C-ortocentro del x x x, asociado a p 4, si p 4 C( x x x ) y se cumple que S q (p 4 ) = x 4, donde q es el punto de simetría del x x x y su p 4 -antitriángulo. Además, al conjunto {x, x, x, x 4 } lo llamaremos sistema C-ortocéntrico si exite p 4 C( x x x ) tal que cumple con lo anterior. Denotemos por H( x x x ) el conjunto de C-ortocentros del x x x. Llamaremos

3 circunferencia de Feuerbach del x x x a la circunferencia que pasa por los puntos medios del x x x y los puntos medios de los segmentos formados por el C-ortocentro del x x x y los vértices del mismo (ver [5,, ]). Denotaremos por p p p p 4 al cuadrilátero de vértices p, p, p y p 4. Diremos que este es un paralelogramo si sus lados son paralelos dos a dos. Diremos que una C(x, λ) es circunscrita del p p p p 4 si x p i = λ para i =,,, 4 (ver [8]). Denominaremos circunferencia de Feuerbach de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, a la circunferencia que pasa por los centros de las circunferencias de Feuerbach de los triángulos que se pueden formar con los vértices del cuadrilátero (ver [5, ]). Preliminares Los siguientes resultados son necesarios para la investigación. Lema.. (ver [5]) Sea M un plano de Minkowski. Si para x, y M se tiene que x = y, entonces (x + y) I (x y). Teorema.. (ver [, ]) Sea M un plano de Minkowski. Sean x, x, x y p 4 puntos en M. Sean m, m y m los puntos medios de los segmentos [x, x ], [x, x ] y [x, x ], respectivamente. Definamos los puntos p i = S mi (p 4 ), para i =,,, entonces se cumple lo siguiente:. Los segmentos [x i, p i ] tienen el mismo punto medio q, para i =,,. Además, (q m i ) = x i p 4 para i =,,, es decir, q = x +x +x p 4.. Si x 4 = S q (p 4 ), entonces x i x j = p j p i para {i, j} {,,, 4}.. x i p j = p k x l, donde {i, j, k, l} = {,,, 4}. 4. Si g = x +x +x, entonces H g, (p 4 ) = x 4. Teorema.. (ver []) Sean p 4 C( x x x ), p p p el p 4 -antitriángulo del x x x, q el punto de simetría de dichos triángulos y x 4 = S q (p 4 ), entonces se cumple:. Los puntos p i y x i son circuncentros de los triángulos x j x k x l y p j p k p l, para {i, j, k, l} = {,,, 4}, respectivamente. Los circunradios de dichos triángulos son iguales entre sí.. Los puntos medios de los lados del x i x j x k y su p l -antitriángulo, están en la circunferencia de centro q y radio q m, para {i, j, k, l} = {,,, 4}.. C(q, q m ) = H x4, (C(p 4, p 4 x )). En particular, q = H x4, (p 4 ) Corolario.. (ver []) Con las hipótesis del teorema anterior se cumple lo siguiente:. La circunferencia de los seis puntos (circunferencia de Feuerbach) de los triángulos p j p k p l y x j x k x l coinciden, y su centro es q.

4 . q = x i+x j +x k p l para {i, j, k, l} = {,,, 4}.. x i = x j + x k + x l p i para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Resultados y pruebas En esta sección se presentan los resultados principales del trabajo. El siguiente teorema estudia propiedades de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Presenta una expresión analítica para el centro de la circunferencia de Feuerbach del cuadrilátero, en función de sus vértices y el centro de la circunferencia que lo contiene. Teorema.. Sean p, p, p y p 4 cuatro puntos distintos, en un plano de Minkowski, pertenecientes a la C(x, λ). Sea q i el punto de simetría del p j p k p l y su x-antitriángulo, y h i = S qi (x) el C-ortocentro del p j p k p l, para {i, j, k, l} = {,,, 4}, entonces:. Los segmentos [h i.p i ] tienen el mismo punto medio q. Además,. q = p + p + p + p 4 x. h i h j = p j p i para {i, j} {,,, 4}.. Los segmentos [h i, h j ] y [q i, q j ] son paralelos para {i, j} {,,, 4}. 4. Si w = S q (x), entonces h i C(w, λ) para i =,,, q i C(q, λ ) para i =,,, C(q, λ ) = H w, (C(x, λ)). 7. Si m ij = p i+p j y x ij = S mij (x) para {i, j} {,,, 4}, entonces x ij es circuncentro de los triángulos que se forman a partir de los puntos p i, p j, h k y h l para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Proof. Por el ítem del Teorema., se tiene que q i = p j+p k +p l x para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Luego, y por tanto, Como p i + h i = p i + q i x = p i + p j + p k + p l x = p + p + p + p 4 x q = p + p + p + p 4 x. p i + h i = p j + h j para {i, j} {,,, 4}, entonces h i h j = p j p i (ver Figura ). 4

5 Por otro lado, h i h j = S qi (x) S qj (x) = q i x q j + x = (q i q j ), entonces los segmentos [h i, h j ] y [q i, q j ] son paralelos para {i, j} {,,, 4}. Como w = S q (x), se tiene que w = p + p + p + p 4 x. Así, w h i = p + p + p + p 4 x (p j + p k + p l x) = p i x = λ para {i, j, k, l} = {,,, 4} y por tanto, h i C(w, λ) para i =,,, 4. Figure : Circunferencia de Feuerbach C(q, λ ) del cuadrilátero Luego, q q i = p + p + p + p 4 x p j + p k + p l x = p i x = λ para {i, j, k, l} = {,,, 4} y por tanto, q i C(q, λ ) para i =,,, 4. Notemos que H w, (x) = ( )w + x = p + p + p + p 4 x = q, 5

6 lo que implica que C(q, λ ) = H w, (C(x, λ)). Por último, observemos que x ij p i = m ij x p i = p j x = λ x ij p j = m ij x p j = p i x = λ x ij h k = m ij x (p i + p j + p l x) = x p l = λ x ij h l = m ij x (p i + p j + p k x) = x p k = λ para {i, j, k, l} = {,,, 4} y por tanto, p i, p j, h k, h l C(x ij, λ), es decir, el punto x ij es circuncentro de los triángulos que se forman a partir de los puntos p i, p j, h k y h l para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Tomando en cuenta la construcción presentada en el Teorema., llamaremos al cuadrilátero h h h h 4 el x-anticuadrilátero del cuadrilátero p p p p 4, y al punto q el punto de simetría del cuadrilátero p p p p 4 y su x-anticuadrilátero, es decir, Definición.. Dados cuatro puntos p, p, p y p 4 del plano, pertenecientes a la C(x, λ), diremos que el h h h h 4 es el x-anticuadrilátero del p p p p 4, si h i = S qi (x), donde q i es el punto de simetría del p j p k p l y su x-antitriángulo para {i, j, k, l} = {,,, 4}. El siguiente teorema relaciona los vértices de un cuadrilátero y su anticuadrilátero, con la noción de sistemas C-ortocéntricos y la circunferencia de Feuerbach del cuadrilátero. Teorema.. Sean p, p, p y p 4 cuatro puntos distintos, en un plano de Minkowski, pertenecientes a la C(x, λ). Sea q i el punto de simetría del p j p k p l y su x-antitriángulo, h i = S qi (x) el C-ortocentro del p j p k p l para {i, j, k, l} = {,,, 4}, y z i = S q (q i ) para i =,,, 4, entonces se tiene que:. w es circuncentro del h i h j h k para {i, j, k} {,,, 4}.. H w, (p i ) = q i para i =,,, 4.. El punto z i es el punto de simetría del h j h k h l y su w-antitriángulo, para {i, j, k, l} = {,,, 4}. 4. q C(q i, λ ) para i =,,, El punto z i está en la circunferencia C(q, λ ) para i =,,, Los puntos h i, h j, h k y p l forman un sistema C-ortocéntrico para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Proof. Por el ítem 4 del Teorema., el punto w es circuncentro de los triángulos h i h j h k para {i, j, k} {,,, 4}. Los ítem 5 y 6 del Teorema. dicen que (p i ) = q i para i =,,, 4. Por el ítem del Teorema., q es el punto de simetría H w, 6

7 de los cuadriláteros p p p p 4 y h h h h 4. Por tanto, S q (q i ) = z i es el punto de simetría del h i h j h k y su w-antitriángulo para {i, j, k} {,,, 4}. Luego, ( ) q q i = p + p + p + p 4 x pj + p k + p l x = p i x = λ para {i, j, k, l} = {,,, 4}. De manera que q C(q i, λ ) para i =,,, 4 (ver Figura ). Figure : Intersección de circunferencias de Feuerbach De manera similar, usando el ítem 5 del Teorema. y el hecho de que z i = S q (q i ) para i =,,, 4, se tiene que el punto z i está en la C(q, λ ) para i =,,, 4. Por último, dado que w es circuncentro de los triángulos h i h j h k para {i, j, k} {,,, 4}, basta ver S zi (w) = p i con i =,,, 4, para tener que {h i, h j, h k, p l } es un sistema C-ortocéntrico para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Por tanto, S zi (w) = z i w = (S q (q i )) w = (q q i ) w = 4q w q i = para {i, j, k, l} = {,,, 4}. = (p + p + p + p 4 x) (p + p + p + p 4 x) q i = = p + p + p + p 4 x (p j + p k + p l x) = p i 7

8 Un resultado que se deduce fácilmente del Teorem. y el Teorema. es el siguiente: Corolario.. Con las mismas hipótesis del corolario anterior, se tiene que:. Los segmentos [p i, p j ] y [z i, z j ] son paralelos, para {i, j} {,,, 4}.. Los segmentos [q i, q j ] y [z i, z j ] son paralelos, para {i, j} {,,, 4}.. C(q, ) = H x, (C(w, λ)). Tomando en cuenta el Teorema., el Corolario. y que C(q, λ ) es la circunferencia de Feuerbach del cuadrilátero inscrito en la circunferencia C(x, λ), se tiene el siguiente resultado: Corolario.. Sean p, p, p y p 4 cuatro puntos en un plano de Minkowski, pertenecientes a la circunferencia C(x, λ). Sea h i el C-ortocentro del p j p k p l asociado a x, para {i, j, k, l} = {,,, 4}, entonces las circunferencias de Feuerbach de los cuadriláteros p p p p 4 y h h h h 4 coinciden. Proof. Del ítem 5 del Teorema. y los ítem y 5 del Teorema., se obtiene que las circunferencias de Feuerbach de los cuadriláteros p p p p 4 y h h h h 4 coinciden (ver Figuras y ). El siguiente teorema relaciona los vértices de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los puntos medios de sus lados y el centro de su circunferencia de Feuerbach, con la noción de ortogonalidad isósceles, tal y como sigue: Teorema.. Sea p p p p 4 un cuadrilátero inscrito en la C(x, λ) y sea q el centro de la circunferencia de Feuerbach del p p p p 4. Si m ij es el punto medio del segmento [p i, p j ], entonces (q m ij ) I (p k p l ) para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Proof. Por el ítem del Teorema., se tiene que Así, q = p + p + p + p 4 x q m ij = (p k + p l x) Dado que p k x = p l x, entonces ( ) ( ) pk + p l pk p l x I 8

9 por el Lema., pues y p k x p k x + p l x = p k + p l x ( ) pl x = p k p l para {i, j, k, l} = {,,, 4} y por tanto, q m ij I (p k p l ) para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Tomando en cuenta el Teorema. y que las simetrías son isometrías en los planos normados, se tiene el siguiente corolario Corolario.. Sea p p p p 4 un cuadrilátero inscrito en la C(x, λ) y sea h h h h 4 su x-anticuadrilátero. Sea q el centro de la circunferencia de Feuerbach de dichos cuadriláteros. Si k ij es el punto medio del segmento [h i, h j ], entonces para {i, j, k, l} = {,,, 4}. (q k ij ) I (h k h l ) El siguiente teorema relaciona: los puntos de simetría de los triángulos formados con los vértices de un cuadrilátero dado y sus antitriángulos; los puntos de simetría de los triángulos formados con los vértices del anticuadrilátero del cuadrilátero dado y sus antitriángulos; y la circunferencia de Feuerbach del cuadrilátero. Teorema.4. Sean el p p p p 4 inscrito en la C(x, λ) y h h h h 4 su x-anticuadrilátero, con punto de simetría q. Sea q i el punto de simetría del p j p k p l y su x-antitriángulo, para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Sea g i el baricentro del p j p k p l para {i, j, k, l} = {,,, 4}. Sea w = S q (x), entonces se tiene que:. Los puntos medios de los segmentos [w, p i ] y [x, h i ] están en la circunferencia de Feuerbach del p p p p 4, para i =,,, 4.. Si r C(x, λ), entonces el punto medio del segmento [w, r] está en la C(q, λ ).. El punto de intersección de los segmentos [p i, g i ], para i =,,, 4, es el punto medio del segmento [x, q], es decir, es el punto H q, (x). 4. Los puntos H q, (x) y x son conjugados armónicos de los puntos H q, (x) y q. Proof.. Dado que la circunferencia de Feuerbach del cuadrilátero dado es C(q, λ ), basta ver que para i =,,, 4 se cumple ( ) ( ) w + q pi = q x + q pi = x p i = λ 9

10 y ( ) x + q hi = ( x + q q pi ) = x p i = λ.. Dado que r C(x, λ), se tiene que x w = λ. Luego, ( ) ( ) w + r q = q x + r q = x w = λ. Figure : Circunferencias de Feuerbach y puntos conjugados armónicos. Tomemos las parametrizaciones de los segmentos [p i, g i ], para i =,,, 4, dadas por ( t)p i + tg i con t R. Como g i = p j+p k +p l para {i, j, k, l} = {,,, 4}, entonces ( ) pj + p k + p l ( t)p i + t Haciendo t = 4 se obtiene que el punto de intersección es p + p + p + p 4 4 = q x 4.Sean d = H q, (x) y f = S d (x). Observemos que H f, (x) = w y H q, (d) = w, (x) y x son conjugados armónicos de los puntos con lo que se tiene que los puntos H q, H q, (x) y q, de razón. Tomando en cuenta el teorema anterior y el hecho de que q es el punto de simetría de los cuadriláteros p p p p 4 y h h h h 4, se tiene el siguiente corolario: 0

11 Corolario.4. Con la hipótesis del teorema anterior, si z i = S q (q i ) para i =,,, 4, se tiene que:. z i = p i+w y z i = h i+x para i =,,, 4.. Si r C(w, λ), entonces el punto medio del segmento [x, r] está en la C(q, λ ).. El punto de intersección de los segmentos [p i, S q (g i )], para i =,,, 4, es el punto medio del segmento [w, q], es decir, es el punto H q, (w). 4. Los puntos H q, (w) y w son conjugados armónicos de los puntos H q, (w) y q. El siguiente lema muestra relaciones existentes entre la circunferencia circunscrita de un cuadrilátero dado y el cuadrilátero formado por los baricentros de los triángulos formados por los vértices del cuadrilátero original. Lema.. Sea el p p p p 4 inscrito en la C(x, λ), en un plano de Minkowski, y q el punto de simetría con su x-anticuadrilátero. Sean g i el baricentro del p j p k p l para {i, j, k, l} = {,,, 4}, entonces se cumple:. g i H q, (C(x, λ)), es decir, g i C(H q, (x), λ ) para i =,,, 4.. g i g j = (p i p j ) para {i, j} {,,, 4}.. H q, (x) es el punto de simetría del g g g g 4 y su H q, (x)-anticuadrilátero. 4. x es el centro de la circunferencia circuncrita del H q, (x)-anticuadrilátero del g g g g 4. Proof.. Sea w C(x, λ). Veamos que C(H q, (x), λ ) = H q, (C(x, λ)) (ver Figura 4) H q, (w) H q, (x) = w x = λ. Como g i es el baricentro del p j p k p l para {i, j, k, l} = {,,, 4}, se tiene que g i = p j+p k +p l. Así, por el ítem del Teorema. tenemos que ( ) g i H q, (x) = p j + p k + p l q + x = p i x = λ.. Teniendo en cuenta que g i = p j+p k +p l y g j = p i+p k +p l es claro que g i g j = (p i p j ).. Aplicando el ítem del Teorema. obtenemos que g + g + g + g 4 H q, (x) = (g + g + g + g 4 ) 4q x = 6 = (p + p + p + p 4 ) (p + p + p + p 4 ) + x = 6 = p + p + p + p 4 x + 4x = 6 q + x = H q, (x)

12 Figure 4: Circunferencia C(s, λ ) de los baricentros. H q, 4. Como H q, (x) es el punto de simetría entre el p p p p 4 y su (x)) = x (ver Figura 4). (x)-anticuadrilátero, basta ver que S Hq, (x)(h q, S Hq, (x)(h q, (x)) = H q, q + 4x (x) H q, (x) = ( ) q + x = x. El siguiente lema nos muestra la relación de un cuadrilátero incrito en una circunferencia con los puntos medios de los segmentos formados por el punto de simetría del mismo con su anticuadrilátero, y los vértices del cuadrilátero dado. Lema.. Sea el cuadrilátero p p p p 4 inscrito en la circunferencia C(x, λ), en un plano de Minkowski, y q el punto de simetría con su x-anticuadrilátero. Sea e i el punto medio del segmento [q, p i ] para i = {,,, 4}, entonces se cumple:. Si w C(x, λ) y t w = q+w, entonces t w C(H q, (x), λ ). e i C(H q, (x), λ ).. e i e j = (p i p j ) para {i, j} {,,, 4}. En particular,. q es el punto de simetría del e e e e 4 y su H q, (x)-anticuadrilátero. 4. e e e e 4 = H q, ( p p p p 4 ), es decir, e i = H q, (p i ) para i =,,, 4.

13 Proof.. Como w C(x, λ), entonces w x = λ. Basta ver que tw H q, (x) = λ. ( ) (x) = q + x = = λ. t w H q, w + q w x Si hacemos w = p i para i =,,, 4 obtenemos el caso particular.. Dado que e i = q+p i y e j = q+p j, es claro que para {i, j} {,,, 4} e i e j = (p i p j ). Figure 5: Demostración Teorema... Por el Teorema. se tiene que e + e + e + e 4 H q, (x) = q + p + p + p + p 4 x = q Veamos que H q, (p i ) = e i para i =,,, 4. H q, (p i ) = p i + q = e i. Tomando en cuenta la definición de los puntos e i presentada en el teorema anterior, se puede deducir fácilmente el siguiente corolario.

14 Corolario.5. Sean el p p p p 4 inscrito en la C(x, λ), en un plano de Minkowski, y q el punto de simetría con su x-anticuadrilátero. Sean C(w, λ), C(g, λ ), C(g, λ ) las circunferencias circuncritas de: el x-anticuadrilátero del p p p p 4, el p p p p 4, el g-anticuadrilátero del p p p p 4, asociadas a q respectivamente. Sean m ij = p i+p j y n ij = e i+e j para {i, j} {,,, 4}, entonces se cumple:. El m m m 4 m 4 es un paralelogramo.. El n n n 4 n 4 es un paralelogramo. Proof.. Dado que m ij = p i+p j para {i, j} = {,,, 4}, notemos que m m = m 4 m 4 y m 4 m = m m 4, por tanto el m m m m 4 es un paralelogramo. Figure 6: Demostración Lema.5.. Dado que n ij = e i+e j para {i, j} = {,,, 4}, notemos que n n = n 4 n 4 y n 4 n = n n 4, por tanto el n n n 4 n 4 es un paralelogramo. El siguiente lema muestra relaciones entre los puntos de simetría de los triángulos que se forman con los vértices de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, y los puntos de simetría de los triángulos formados con los vértices del cuadrilátero formado por los puntos medios de los segmentos comprendidos entre los vértices del cuadrilátero dado y el punto de simetría con su anticuadrilátero. Lema.. Sea el p p p p 4 inscrito en la C(x, λ), en un plano de Minkowski, y q el punto de simetría con su x-anticuadrilátero. Sean q i el punto de simetría del p j p k p l y su x-antitriángulo, y b i el punto de simetría del e j e k e l y su H q, (x)-antitriángulo, para {i, j, k, l} = {,,, 4}, con e i = q+p i para i =,,, 4, entonces. q i = S bi (q) para i =,,, 4. 4

15 . C(q, λ 4 ) = H q, ( C(q, λ )). En particular, b i C(q, λ 4 ) para i =,,, 4. Proof.. Tomando en cuenta el ítem del Teorema., el ítem del Teorema., obtenemos que S bi (q) = b i q = e j + e k + e l H q, (x) q = p j + p k + p l x = q i. para {i, j, k, l} = {,,, 4} Figure 7: Demostración Lema... Sea w C(q, λ ), por tanto w q = λ. Así, H q, (w) q = q + w q = w q = λ 4. Por último, tomando w = p i, se tiene que b i = H q, (p i ) C(q, λ 4 ), para i =,,, 4. References [] A. C. Thompson (996). Minkowski geometry. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 6. Cambridge University Press. Cambridge. ISBN X. [] E. Asplund and B. Grünbaum (960). On the geometry of Minkowski planes. Enseign. Math. 6, [] H. Martini, K. J. Swanepoel and G. Weiß (00). The geometry of Minkowski spaces - A survey. Part I. Expositiones Math. 9, [4] H. Martini and K. J. Swanepoel (004). The geometry of Minkowski spaces - A survey. Part II. Expositiones Math.,

16 [5] H. Martini and M. Spirova (007). The Feuerbach circle and orthocentricity in normed planes. L Enseignement Mathematique. 5(), [6] J. Alonso, H. Martini and S. Wu (0). On Birkhoff ortghogonality and isosceles orthogonality in normed linear spaces. Aequationes Math. 8, [7] J. Alonso (994). Uniqueness properties of isosceles orthogonality in normed linear spaces. Ann. Sci. Math. Québec. 8(), 5-8. [8] R. A. Johson (007). Advanced euclidean geometry. Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN-0: [9] R. C. James (945). Orthogonality in normed linear spaces. Duke Math. J., 9-0. [0] S. Wu (009). Geometry of Minkowski planes and spaces - Selected topics. Ph. D. Thesis. Chemnitz University of Technology. [] Rosas T. y Pacheco W. (04). Orthocentric systems in Minkowski planes. Beiträge zur Algebra und Geometrie (BZAG). DOI 0.007/s ISSN [] Rosas T. (04). C-ortocentros y sistemas C-ortocéntricos en planos de Minkowski. Pre-print. [] Rosas T. (04). Sistemas Ortocéntricos en planos de Minkowski y euclidianidad. Tesis Doctoral. Universidad Centroccidental Linsandro Alvarado, Barquisimeto, Venezuela. 6