Lectura 2. Ayudante: Guilmer González Día 14 de agosto, Sobre los trabajos. Comentar sobre los ejercicios.

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1 Geometría Analítica I Lectura 2 Ayudante: Guilmer González Día 14 de agosto, 2008 El día de hoy veremos: 0. Sobre los trabajos. Comentar sobre los ejercicios. 1. Sobre las medianas, resultados. 2. Sobre las bisectrices, resultados 3. Sobre las mediatrices, resultados. 4. Sobre las alturas, resultados. 5. Resolver algunos ejercicios en clase. 1 Sobre las medianas Partamos de conceptos e ideas. Llamaremos mediana al segmento que parte de un vértice de un triángulo hacia el punto medio del lado opuesto. Resultado Un resultado es el siguiente, si consideramos las medianas de un triángulo, estás son concurrentes; es decir, se intersectan en un sólo punto, que muchas veces se le conoce como baricentro, o centroide, o gravicentro. Demostración Consideremos el triángulo ABC, tracemos las medianas por A yporc. Al punto de intersección lo llamamos G (por qué se cortan?). Ahora bien, sea P la mitad del segmento AG, yq la mitad del segmento CG, como se muestra en la figura de abajo 1

2 . Observe que MN y QR son paralelos e iguales entre sí por ser paralelos a AC e iguales a su mitad. Puede aplicar Thales a alguna versión sencilla (revise el libro de Geometría de la biliografía, o algun otro). Con esto, el cuadrilátero MNQR es un paralelogramo, de donde G es el punto medio de las diagonales. Observe que AR = RG = GN, y que CG = QG = GM; es decir, tenemos una proporción 2:1 con AG/GN, y CG/GM. Procedemos de manera análoga. Tracemos las medianas AN y BP, las cuales se cortan en G, es un punto. Sea R el punto medio entre AG y S el punto medio entre B y G. Nuevamente observamos que NP y R S son paralelos a AB y miden la midad de el. Nuevamente, NPR S es un paralelogramo con G punto medio de las diagonales. Con ésto, se cumple que AR = R G = G N y que BS = SG = G P. 2

3 Lo interesante de esta prueba es observar la relación en que G parte a la mediana. 1. Puede coincidir una de las medianas del triángulo con un lado? 2. Se puede afirmar que el baricentro de un triángulo es un punto interior de dicho triángulo? 3. Puede coincidir el baricentro de un triángulo con alguno de sus vértices? 2 Sobre las bisectrices La bisectriz entre dos rectas, está caracterizado por los puntos que se encuentran a la misma distancia de esas rectas. Hemos de notar que cuando trazamos el segmento de menor distancia entre un punto y una recta, éste es perpendicular a la recta. Un resultado inmediato está al considerar las bisectrices de un triángulo, es que éstas son concurrentes, el punto de concurrencia es el incentro del triángulo, esto es, se forma dentro del triángulo un círculo cuyo centro es ése punto y tangente a los lados. 1. Puede el incentro encontrarse en el exterior del triángulo? 3

4 Ahora bien, un detalle interesante, es que podemos considerar las bisectrices exteriores de las rectas que se forman al prolongar los segmentos de los triángulos. Si a un triángulo ABC, trazamos la bisectriz interior y exterior a C, la primera corta al segmento AB en P y la segunda en Q (observe la figura de abajo) Se cumple que /P B = CA/CB y que AQ/QB = CA/CB. De ambas relaciones tenemos que PB = AQ BQ Veamos la primera parte. Observe que área( C)/área(P BC) = /P B, pues la altura de ambos triángulos coinciden. Ahora bien, basta observar que él área de esos triángulos se pueden escribir sobre el segmento CA y CB respectivamente. Ahora bien, cuál es la altura? La altura está sobre la bisectriz CP, enp claro. Con esto, tenemos que área( C)/área(P BC) = CA/CB. Así, hemos probado que PB = CA CB Un razonamiento análogo para los triángulos CAQ y CBQ nos conduce a que y con ello, mostramos que AQ QB = CA CB PB = AQ BQ 4

5 Lo interesante de ésto, es la proporción en que las bisectrices parten a AB. En general, si dos puntos P, Q, parten a un segmento AB en la razón PB = AQ BQ se dicen que son armónicos conjugados. 3 Sobre la mediatriz La mediatriz de un segmento, es el conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia de los extremos del segmento. Observe que la mediatriz es una recta perpendicular al segmento y que pasa por el punto medio de éste. Al considerar las mediatrices de un triángulo, observamos que son concurrentes, el punto de concurrencia se conoce como circuncentro del triángulo, el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Esbozar la prueba, hacer comentarios claves. 1. Puede el circuncentro encontrarse en el exterior del triángulo? 2. En qué tipo de triángulos se encuentra dentro y en cuáles fuera? 4 Sobre las alturas La altura de un triángulo es básico para encontrar el área. Al menos eso siempre lo hemos considerado al transformar nuestro problema a uno conocido, un triángulo rectángulo. Consideremos un triángulos y las álturas de éste. Observamos un resultado interesante: las alturas son concurrentes, ese punto se le conoce como el ortocentro. Esbozar la prueba, hacer comentarios claves. 5

6 1. Puede el ortocentro encontrarse en el exterior del triángulo? 2. En qué tipo de triángulos se encuentra dentro y en cuáles fuera? 3. Qué ocurre en un triángulo rectángulo? 5 Resolver ejercicios 6