Universidad de Costa Rica. Facultad de Ingeniería. Escuela de Ingeniería Eléctrica

Transcripción

1 Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica IE-0502 Proyecto Eléctrico Ecuaciones para la sintonización de controladores PID con acción derivativa aplicada a la señal realimentada Por: Ricardo Maroto Solórzano Ciudad Universitaria Rodrigo Facio Julio de 2007 }

2 Ecuaciones para la sintonización de controladores PID con acción derivativa aplicada a la señal realimentada Por: Ricardo Maroto Solórzano Sometido a la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Costa Rica como requisito parcial para optar por el grado de: BACHILLER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA Aprobado por el tribunal: M.Sc. Víctor M. Alfaro Ruiz Profesor guía Dr. Guillermo Loría Martínez Profesor lector Ing. Peter Zeledón Méndez Profesor lector ii

3 DEDICATORIA A Dios, por haber bendecido mi vida con mi familia y padrinos, quienes siempre han estado en los momentos difíciles y me han enseñado a luchar por conseguir todas mis metas. A mis familiares, amigos y todas aquellas personas que se han preocupado por el bienestar de mi familia y que han influido positivamente en nuestras vidas. iii

4 RECONOCIMIENTOS Agradezco al profesor Víctor M. Alfaro, por su apoyo, dedicación y consejos para la realización de este proyecto, así como su empeño y disposición para con los estudiantes que buscan alcanzar sus metas profesionales. A los profesores Peter Zeledón y Guillermo Loría, los cuales han favorecido el crecimiento profesional de muchos ingenieros a través de sus conocimientos y por haber aceptado formar parte de este trabajo. A la familia Deliyore, por toda su ayuda y apoyo incondicional durante todos estos años. iv

5 Índice General RESUMEN... x Capítulo 1 Introducción Objetivos Objetivo general Objetivos específicos Metodología Capítulo 2 Desarrollo teórico Criterios integrales de desempeño Criterio integral del error absoluto IAE Criterio integral del error cuadrático ISE Criterio integral del tiempo por el error absoluto ITAE Criterio integral del tiempo por el error cuadrático ITSE Criterio integral del tiempo al cuadrado por el error absoluto ISTAE Criterio integral del tiempo al cuadrado por el error cuadrático ISTSE Controladores PID Respuesta de un sistema a un cambio escalón en el valor deseado Capítulo 3 Sintonización de los controladores Procedimiento de optimización Ecuaciones para la sintonización del controlador Ecuaciones obtenidas para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada Capítulo 4 Análisis de resultados Análisis de los resultados del controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada Comparación entre el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada y el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error Análisis de las ecuaciones Capítulo 5 Conclusiones y recomendaciones APÉNDICES Apéndice A. Datos obtenidos a partir de las simulaciones Apéndice B. Características de la respuesta del sistema de control con controladores PID con la derivada aplicada solo a la señal realimentada Apéndice C. Características de la respuesta del sistema de control con controladores PID con la derivada aplicada al error Apéndice D. Ecuaciones para el cálculo de los parámetros óptimos de los controladores Apéndice E. Ecuaciones para la sintonización de los controladores v

6 Índice de figuras Figura 1. Respuesta a un cambio escalón en el valor deseado... 1 Figura 2. Error estático en un sistema Figura 3. Error dinámico en un sistema Figura 4. Criterio integral IAE Figura 5. Criterio integral ISE Figura 6. Criterio integral ITAE Figura 7. Criterio integral ITSE Figura 8. Criterio integral ISTAE Figura 9. Criterio integral ISTSE Figura 10. Lazo de control realimentado Figura 11. Respuesta del sistema ante un cambio escalón en el valor deseado para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada Figura 12.Respuesta del sistema ante un cambio escalón en el valor deseado para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error Figura 13. Respuesta del sistema ante un cambio escalón en la perturbación para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error Figura 14. Respuesta del sistema ante un cambio escalón en la perturbación para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada Figura 15. Parámetros de la respuesta de un sistema a una entrada escalón en el valor deseado Figura 16. Comportamiento de la constante integral en los criterios ITAE e ISTAE Figura 17. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 18. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 19. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 20. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 21. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 22. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 23. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 24. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 25. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 26. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 27. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 28. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 29. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 30. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 31. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 32. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 33. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 34. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, vi

7 Figura 35. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 36. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 37. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 38. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 39. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 40. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 41. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 42. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 43. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 44. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 45. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 46. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 47. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 48. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 49. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 50. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 51. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 52. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 53. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 54. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 55. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 56. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 57. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 58. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 59. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 60. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 61. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 62. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0, Figura 63. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = vii

8 Figura 64. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 65. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = Figura 66. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = Índice de tablas Tabla 1. Parámetros de sintonización del controlador Tabla 2. Parámetros de la respuesta Tabla A1. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio IAE Tabla A2. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISE Tabla A3. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ITAE Tabla A4. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ITSE Tabla A5. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISTAE Tabla A6. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISTSE Tabla D1. Ecuaciones para el cálculo de los parámetros óptimos de los controladores PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada Tabla E1. Ecuaciones para obtener la ganancia del controlador Tabla E2. Ecuaciones para obtener la constante integral del controlador Tabla E 3. Ecuaciones para obtener la constante derivativa del controlador viii

9 ix

10 RESUMEN El objetivo general de este proyecto fue determinar los parámetros óptimos de los controladores PID ideal con la parte derivativa aplicada sólo a la señal realimentada a través de funciones de costo del tipo IT m AE n, así como determinar las ecuaciones de sintonización de los controladores para un ámbito de tiempo muerto normalizado de 0,05 τ 0 2 y para una relación de constantes de tiempo a variando entre 0 y 1. Así, se concluye el trabajo iniciado por Rímolo (2005) y Méndez (2006) para la optimización y sintonización de los parámetros de los controladores automáticos con base en los criterios de error integral IAE, ISE, ITAE, ITSE, ISTAE e ISTSE. La optimización de los parámetros se realizó utilizando el programa VisSim TM, para modelos de planta de primer orden más tiempo muerto y segundo orden más tiempo muerto. Con los parámetros obtenidos, se determinaron las ecuaciones de sintonización de los controladores en función del tiempo muerto normalizado y en función de la relación de constantes de tiempo a a través de la aplicación Curve fitting tool de Matlab. Posteriormente se comparó el desempeño de los controladores PID ideal con la parte derivativa aplicada al error y los controladores PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada. Para ambos controladores se determinó que el mejor criterio de diseño es el ISTAE mientras que el criterio ISE es el que produce sistemas menos robustos ante una entrada escalón en el valor deseado. x

11 Capítulo 1 Introducción. Los controladores automáticos como parte esencial en el desarrollo de la industria, han ido evolucionando tanto en la tecnología utilizada para su fabricación, como en la búsqueda de criterios y métodos que optimicen el funcionamiento de estos en los distintos procesos de producción. El método de sintonización de un controlador, requiere el estudio previo de los factores que puedan afectar o beneficiar la planta de producción y las condiciones que se requieran para el proceso. Entre los principales factores a tomar en cuenta se tienen: Rapidez de respuesta. Reducción o eliminación del efecto de las perturbaciones. Insensibilidad a errores de modelado y mediciones. Reducción de la excesiva acción del controlador. Condiciones operativas. En el diseño de los parámetros que rigen el comportamiento de los controladores, es común prestar especial atención al comportamiento del error, el cual es la diferencia entre la respuesta de la planta y el valor deseado de operación. Figura 1. Respuesta a un cambio escalón en el valor deseado. 1

12 2 El error en un sistema de control se ve afectado por las modificaciones en el valor deseado o por perturbaciones del proceso, imperfecciones en los componentes del sistema y deterioro del equipo. En los sistemas de control se tienen dos tipos de error: 1. Error estacionario. 2. Error dinámico. El error estacionario es la diferencia entre la salida y el valor deseado en régimen permanente, esto es, cuando t. Este error es causado por la incapacidad de un sistema de seguir diferentes tipos de entradas, generalmente entradas tipo escalón o rampa. El error es utilizado como criterio de diseño para medir la exactitud de un sistema de control. Así, un sistema puede tener error nulo ante una entrada tipo escalón. Figura 2. Error estático en un sistema. Por su parte, el error dinámico representa la variación del error cuando se presenta un cambio en la entrada o cuando se produce una perturbación en el sistema. Usualmente este error se pondera utilizando un índice de error integral de la forma: 0 t n e m ( t) dt, para n=0,1,2 y m=0,1,2 (1.1)

13 3 Figura 3. Error dinámico en un sistema. El índice de error (1.1) se puede utilizar como una medida del desempeño del lazo de control, pudiéndose obtener reglas de sintonización para calcular los parámetros del controlador que optimizan el funcionamiento del sistema de lazo cerrado al minimizar alguno de estos índices. Rímolo (2005) determinó los parámetros óptimos de los controladores PI, PID ideal y serie con la parte derivativa aplicada al error y PID serie con la parte derivativa aplicada únicamente a la señal realimentada por medio de los criterios de desempeño de error integral del tipo IT m E n y con base en estos posteriormente Méndez (2006) desarrolló las ecuaciones generales para el cálculo de los parámetros y comparó el comportamiento del lazo de control obtenido sintonizando el controlador con el procedimiento desarrollado y con otras reglas similares. Como complemento a los trabajos anteriores, este trabajo se desarrolló en torno a los principales criterios de desempeño integrales utilizados en la actualidad para la sintonización de controladores PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal

14 4 realimentada, dichos criterios son capaces de proporcionar un índice de desempeño con base en la evolución dinámica del error que permite la optimización del proceso y el cumplimiento de las especificaciones del sistema. Además, se obtuvieron las ecuaciones a partir de los parámetros óptimos para la sintonización de los mismos Objetivos. Este proyecto fue desarrollado en base a los siguientes objetivos Objetivo general. Determinar los parámetros óptimos IT m AE n de los controladores PID Ideal con el modo derivativo aplicado solamente a la señal realimentada Objetivos específicos Obtener los parámetros del controlador PID Ideal que optimizan los criterios de error integral IT m AE n ante un cambio en el valor deseado, para plantas de primer orden y segundo orden sobreamortiguadas con tiempo muerto en el ámbito 0,05 τ 0 2,0 tms k pe Utilizar el modelo G ( s) =, a= [ 0, 0,25, 0,50, 0,75, 1] p ( τs+ 1)( aτs+ 1) Determinar las ecuaciones para el cálculo de los parámetros óptimos para cada valor de a. Obtener ecuaciones para la sintonización para cualquier valor 0 a 1. Comparar el comportamiento de los lazos de control ante un cambio en el valor deseado cuando el modo derivativo se aplica al error con el obtenido cuando se aplica solo a la señal realimentada.

15 Metodología. El proyecto se realizó siguiendo las siguientes etapas principales: Investigación bibliográfica de la teoría del control automático, con énfasis en el modo de operación y viabilidad de los criterios de desempeño de la forma IT m AE n, para la sintonización de los controladores según los parámetros predominantes en el diseño del sistema. Estudio de los proyectos de Rímolo (2005) y Méndez (2006) relacionados con la optimización de los parámetros de los controladores funcionando como servomecanismos o reguladores y con la determinación de ecuaciones generales para la sintonización en base a los criterios integrales de funcionamiento. Optimización de los parámetros del controlador PID ideal con acción derivativa aplicada en la señal realimentada utilizando el programa VisSim TM, empleando modelos de primer orden y segundo orden sobreamortiguados con tiempo muerto en el ámbito 0,05 τ 0 2,0. Determinación de las ecuaciones de sintonización de los parámetros del controlador para cualquier valor 0 a 1. Análisis comparativo del comportamiento del controlador PID ideal en un lazo de control cuando la acción derivativa se aplica a la señal realimentada y cuando se aplica al error, haciendo uso de los parámetros óptimos y de las ecuaciones de sintonización encontradas previamente.

16 Capítulo 2 Desarrollo teórico Criterios integrales de desempeño. El comportamiento del error dinámico en un sistema de control es comúnmente utilizado como criterio de diseño durante la sintonización de controladores PID. Debido a su comportamiento dinámico, este error es evaluado mediante un criterio o índice de comportamiento. Los índices de comportamiento se definen como un valor que sirve como parámetro para evaluar la calidad de la respuesta de un sistema ante una entrada. Así, la optimización de los parámetros de un sistema de control dependerá del mejor índice de comportamiento que se pueda lograr maximizando o minimizando dicho criterio. Para que un criterio de desempeño sea útil, debe ser fácilmente computable, es decir, su optimización debe ser factible tanto experimental como analíticamente; debe ser selectivo, ya que debe proporcionar valores exactos que indiquen la optimización real del sistema y debe estar en función de los parámetros del sistema de control. Los principales criterios de desempeño utilizados para la optimización de sistemas de control son: 1. Integral del error absoluto IAE. 2. Integral del error cuadrático ISE. 3. Integral del tiempo por el error absoluto ITAE. 4. Integral del tiempo por el error cuadrático ITSE. 5. Integral del tiempo al cuadrado por el error absoluto ISTAE. 6. Integral del tiempo al cuadrado por el error cuadrático ISTSE. 6

17 Criterio integral del error absoluto IAE. La integral del valor absoluto del error IAE está dada por la ecuación IAE = 0 e ( t) dt (2.1) Se caracteriza por ser de fácil aplicación y por proporcionar un amortiguamiento y una respuesta aceptables a la salida del lazo de control. Sin embargo, este criterio no es capaz de optimizar sistemas altamente sobreamortiguados o altamente subamortiguados. Además, es difícil de evaluar analíticamente y no es muy selectivo. [Ogata (1998)] En la Figura 4 se presentan las gráficas de la evolución del error y la salida del sistema ante una entrada tipo escalón en el valor deseado, así como el valor absoluto del error y el valor de la integral IAE. Figura 4. Criterio integral IAE Criterio integral del error cuadrático ISE. La integral del error cuadrático ISE está dada por la ecuación ISE= 0 e ( t) 2 dt (2.2)

18 8 De acuerdo a la Figura 5 se observa que se produce una rápida disminución de los errores grandes, a través de la curva del error cuadrático. Esta rápida disminución de los errores grandes producirá una respuesta de pobre estabilidad relativa debido a las oscilaciones de la señal de salida, acorde con la señal de salida del sistema mostrada. [Ogata (1998)] Este criterio da mayor importancia a los errores grandes pero da poco peso a los errores pequeños. Es fácilmente computable tanto analítica como experimentalmente pero no es muy selectivo, ya que variaciones de los parámetros no afectan significativamente el resultado final de la integral. [Ogata (1998)] Figura 5. Criterio integral ISE Criterio integral del tiempo por el error absoluto ITAE. La integral del tiempo por el error absoluto está dada por la ecuación ITAE= 0 t e ( t) dt (2.3) Bajo este criterio se obtienen respuestas transitorias con sobreimpulsos pequeños y oscilaciones bien amortiguadas según se muestra en la Figura 6. Al estar

19 9 el valor absoluto del error multiplicado por el tiempo, errores grandes son multiplicados por tiempos pequeños, brindando poco peso a los errores grandes que se dan al inicio del sobreimpulso y gran peso a los errores pequeños. [Ogata (1998)] Además, se caracteriza por ser un criterio muy selectivo pero difícil de evaluar analíticamente. [Ogata (1998)] Figura 6. Criterio integral ITAE Criterio integral del tiempo por el error cuadrático ITSE. La integral del tiempo por el error cuadrático está dada por la ecuación ITSE= t e 0 2 ( t) dt (2.4) En comparación con el criterio ITAE se caracteriza por dar poco peso a los errores iniciales grandes pero castiga a los errores presentes tiempo después del inicio de la entrada al sistema según se muestra en la Figura 7. Al igual que el criterio ISE, al disminuir los errores grandes rápidamente según se observa en la

20 10 figura, se podría obtener un sistema con una estabilidad relativa pobre, debido al aumento en las oscilaciones. [Ogata (1998)] Figura 7. Criterio integral ITSE Criterio integral del tiempo al cuadrado por el error absoluto ISTAE. La integral del tiempo al cuadrado por el error absoluto está dado por 0 ( t) 2 ISTAE = t e dt (2.5) Figura 8. Criterio integral ISTAE.

21 11 Según se aprecia en la Figura 8, los errores grandes son disminuidos rápidamente por medio de este criterio de desempeño pero sin afectar la estabilidad del sistema, produciendo una señal de salida con poca oscilación. El ISTAE proporciona un peso pequeño a los errores grandes producidos al aplicar la entrada escalón al sistema, pero un peso grande a los errores ocasionados en un tiempo mucho mayor al tiempo de aplicación del escalón Criterio integral del tiempo al cuadrado por el error cuadrático ISTSE. La integral del tiempo al cuadrado por el error cuadrático está dado por 0 ( t) 2 2 ISTSE = t e dt (2.6) Figura 9. Criterio integral ISTSE. El criterio ISTSE disminuye rápidamente los errores grandes presentes al inicio del cambio en la entrada del sistema, produciendo una señal de salida oscilatoria como se muestra en la Figura 9.

22 12 En la misma figura se puede observar que el criterio integral ISTSE proporciona factores de peso similares tanto para errores grandes como errores pequeños Controladores PID. Un lazo de control está compuesto por un controlador G c (s) que compara el valor efectivo de salida de una planta y(s) con el valor deseado de funcionamiento r(s), determina la señal de error e(s) y produce una señal de control que reduce la desviación a cero o a un valor pequeño. [Ogata (1998)] Figura 10. Lazo de control realimentado. En su funcionamiento como servomecanismo, los controladores deben llevar la salida del sistema al valor deseado de funcionamiento con la menor oscilación y en el menor tiempo posible. Al operar como regulador, el controlador debe asegurar que al producirse un cambio en la perturbación z(s), la señal de salida debe retornar al valor deseado de funcionamiento sin desestabilizar el sistema. Existen cuatro tipos de controladores automáticos: el controlador P, el controlador PD, el controlador PI y el controlador PID, el cual es una combinación de los tres controladores anteriores. Los controladores PID están compuestos por tres modos de control: proporcional, integral y derivativo aplicados generalmente en forma directa al error.

23 13 En un controlador con solo modo proporcional, la variación de la parte proporcional afectará el error permanente, pues al aumentar la ganancia, el error permanente respecto al nuevo valor deseado disminuye; el tiempo de levantamiento disminuye, el sistema responde inicialmente más rápido; el tiempo de asentamiento aumenta, el sistema es cada vez más lento y las respuestas son cada vez más oscilatorias pudiendo llegar el sistema a ser inestable. [Alfaro (2005)] El modo integral en un controlador PID elimina el error estacionario pero produce una respuesta oscilatoria a la salida, disminuyendo la estabilidad relativa del sistema. El modo derivativo toma en cuenta la velocidad con que cambia el error, aumentando la amplitud de la acción correctiva cuando el error cambia rápidamente y disminuyéndola cuando cambia lentamente. [Alfaro (2005)] Al responder a la variación de la velocidad del error, la acción derivativa aumenta la estabilidad del sistema al tener la capacidad de corregir el error actuante antes de que éste alcance un valor excesivo. La ecuación de salida del controlador PID Ideal es u 1 T s T s Td s α + 1 d ( s) = K 1+ + e( s) c i (2.7) y la de un controlador PID Serie u 1 1+ T s c Ti s Td s = + α + 1 d ( s) K 1 e( s) (2.8) Una modificación empleada usualmente en los controladores PID industriales, es aplicar el modo derivativo solo a la señal realimentada y no directamente al error. Con esto, se tienen sistemas de control con controladores que responden igual a las

24 14 perturbaciones pero en forma más lenta ante cambios en la entrada, protegiendo el sistema de control ante cambios bruscos en el valor deseado. Las ecuaciones resultantes de los controladores con el modo derivativo aplicado únicamente en la señal realimentada se muestran a continuación. Ideal Serie u 1 1 T s c c Ti s Ti s Td s = 1 + (2.9) α + 1 d ( s) K r( s) K 1+ + y( s) u T s c c Ti s Ti s Td s = + + α + 1 d ( s) K 1 r( s) K 1 y( s) (2.10) En la Figura 11 y en la Figura 12 se presenta la respuesta del lazo de control para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada y para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error, respectivamente. La parametrización de los controladores y de la planta en ambos casos fueron los mismos. Se observa que cuando el controlador actúa como servomecanismo, esto es, regulando la salida del sistema cuando se produce un cambio en el valor deseado, se tienen respuestas más lentas cuando la parte derivativa se aplica en la realimentación pues se tiene una respuesta con un tiempo de levantamiento normalizado de 0,55, en contraparte con la respuesta de la Figura 12, donde el tiempo de levantamiento normalizado es de 0,39.

25 15 Figura 11. Respuesta del sistema ante un cambio escalón en el valor deseado para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada. Figura 12.Respuesta del sistema ante un cambio escalón en el valor deseado para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error. En su funcionamiento como regulador, al producirse un cambio escalón en la perturbación, se obtienen señales de respuesta idénticas para ambos controladores, según se aprecia en la Figura 13 y en la Figura 14.

26 16 Figura 13. Respuesta del sistema ante un cambio escalón en la perturbación para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error. Figura 14. Respuesta del sistema ante un cambio escalón en la perturbación para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada Respuesta de un sistema a un cambio escalón en el valor deseado. Al aplicar una señal tipo escalón al sistema de la Figura 10 se pueden obtener varios parámetros a través de la respuesta del lazo de control que permiten optimizar el funcionamiento o implementación de los mismos.

27 17 Los parámetros más significativos que se pueden obtener por medio de la respuesta del sistema son: Sobrepaso máximo (M p ): indica el porcentaje máximo en que la respuesta excede su valor final. Tiempo al sobrepaso máximo (t p ): indica el tiempo al que ocurre el sobrepaso máximo. Tiempo de levantamiento (t l ): tiempo que tarda la respuesta en pasar del 10% al 90% de su valor final; a menor tiempo, mayor velocidad de respuesta. Tiempo de asentamiento (t a2% ): indica el tiempo que tarda la señal de salida en entrar a una banda del 2% de su valor final y permanecer en ella, permitiendo saber cuando el sistema logró estabilizarse. Figura 15. Parámetros de la respuesta de un sistema a una entrada escalón en el valor deseado.

28 18 En un lazo de control, se busca que la respuesta a una entrada escalón en el valor deseado tenga el menor sobrepaso posible y el tiempo de levantamiento más corto para asegurar una salida con la mínima oscilación y con gran velocidad de respuesta. También se busca llevar el tiempo de asentamiento al mínimo para producir una respuesta con gran capacidad de estabilización, es decir, que ante un cambio escalón en la entrada del sistema de control la respuesta logre entrar en un estado de régimen permanente en el menor tiempo posible.

29 Capítulo 3 Sintonización de los controladores. 3.1 Procedimiento de optimización. Para optimizar los parámetros del PID industrial se utilizó el programa VisSim TM, aplicando el método de optimización de Powell con un máximo de 300 iteraciones, un error tolerable y un tamaño de paso de 0,001. El tamaño de paso fue cambiado para algunos casos ya que este debe ser como máximo la décima parte del valor de la constante T d, de lo contrario se produce un error matemático. El método de integración utilizado fue Runge Kutta de 4º orden. Al igual que Rímolo (2005), se partió de un valor de 1 para las constantes K c, T i y T d, realizando las iteraciones necesarias para que dichos valores, junto con el valor de costo del criterio integral lograran converger a un valor determinado. El proceso fue realizado para cada criterio integral, con valores de a variando entre 0 y 1 y tiempo muerto normalizado variando entre 0,05 y 2 para cada valor de a. Con los datos obtenidos y a través del programa Matlab, se determinaron los parámetros de la respuesta del sistema de control al aplicarse una entrada escalón en el valor deseado. Para simular el tiempo muerto, se utilizó la aproximación de Padé de orden diez. 3.2 Ecuaciones para la sintonización del controlador. Tomando como referencia el trabajo realizado por Méndez (2006), se utilizó la aplicación cftool de Matlab para obtener las ecuaciones que mejor se ajustaran al comportamiento de los datos obtenidos para los parámetros K c, T i y T d en función del tiempo muerto normalizado, especificando un margen de confiabilidad del 99%. 19

30 20 Con las constantes obtenidas para las ecuaciones de los parámetros en función del tiempo muerto, se obtuvieron nuevas ecuaciones que permiten calcular el valor de las constantes para cada valor de a. En este proceso, el principal problema para determinar las ecuaciones fue el comportamiento de la constante integral para los criterios ITAE e ISTAE, ya que los valores optimizados no siguen un patrón completamente definido, según se observa en la figura. Figura 16. Comportamiento de la constante integral en los criterios ITAE e ISTAE. Ante este comportamiento, se procedió a obtener las ecuaciones de sintonización de los controladores dependiendo del rango de tiempo muerto normalizado que sería utilizado como criterio de diseño.

31 21 Las ecuaciones obtenidas para la sintonización del controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada requieren de un modelo de planta dado por la ecuación (3.1), el cual comprende modelos de primer orden más tiempo muerto (a=0) y modelos de segundo orden sobreamortiguados más tiempo muerto (0 < a 1). G p tms k pe ( s) = ( τs+ 1)( aτs+ 1) (3.1) Estas ecuaciones se determinaron en función del tiempo muerto normalizado en un ámbito de 0,05 τ 0 2 y en función de a en un ámbito de 0 a Ecuaciones obtenidas para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada. La ecuación de la ganancia del controlador está dada por: K c k p = a+ b τ (3.2) c 0 donde, a = a 0 + a 1 a + a 2 a 2 + a 3 a 3 + a 4 a 4 b = b 0 + b 1 a + b 2 a 2 + b 3 a 3 + b 4 a 4 c = c 0 + c 1 a + c 2 a 2 + c 3 a 3 + c 4 a 4 La ecuación del tiempo integral del controlador está dada por: donde, T i τ = d+ f τ 0 τ 0 + g τ 2 0 (3.3) d = d 0 + d 1 a + d 2 a 2 + d 3 a 3 + d 4 a 4 f = f 0 + f 1 a + f 2 a 2 + f 3 a 3 + f 4 a 4 g = g 0 + g 1 a + g 2 a 2 + g 3 a 3 + g 4 a 4

32 22 La ecuación del tiempo derivativo del controlador está dada por: donde, T d i τ0 j τ 0 τ = h (e e h = h 0 + h 1 a + h 2 a 2 + h 3 a 3 + h 4 a 4 i = i 0 + i 1 a + i 2 a 2 + i 3 a 3 + i 4 a 4 j = j 0 + j 1 a + j 2 a 2 + j 3 a 3 + j 4 a 4 ) (3.4) Los valores de las constantes a a j de las ecuaciones se muestran en el apéndice E.

33 Capítulo 4 Análisis de resultados. 4.1 Análisis de los resultados del controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada. El funcionamiento del controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada actuando como regulador es igual al obtenido con un PID ideal con la parte derivativa aplicada al error. Dicho análisis fue realizado por Rímolo (2005). En el apéndice B se muestran los gráficos de desempeño y robustez logrados con los controladores optimizados con cada uno de los criterios de error integral estudiados. Para el análisis de los datos, se utilizó como criterio de robustez mínima un margen de ganancia mayor a 6 db y un margen de fase mayor a 45º. Al analizar el tiempo de levantamiento, se observa que el tiempo de levantamiento aumenta al aumentar el valor del tiempo muerto normalizado y al aumentar el valor de a. El mayor tiempo de levantamiento se obtiene al utilizar el criterio ISTAE, seguido por los criterios ITAE e IAE. Los menores tiempos de levantamiento se obtienen con los criterios ISE e ITSE, seguidos por el criterio ISTSE. Según este comportamiento, se obtiene mayor velocidad de respuesta del sistema de control al emplear criterios que toman en cuenta el error cuadrático, esto es, los criterios ISE, ITSE e ISTSE, en contraparte con los demás criterios, los cuales producen una señal más lenta a la salida del lazo de control. 23

34 24 Para los distintos criterios, el sobrepaso máximo se mantiene aproximadamente constante al aumentar el valor de tiempo muerto normalizado y al aumentar el valor de a. Se presentan pequeñas diferencias cuando a = 0, donde el sobrepaso máximo se mantiene aproximadamente constante al aumentar el tiempo muerto normalizado pero con una magnitud inferior con respecto al sobrepaso para los demás valores de a. Cuando el tiempo muerto normalizado es pequeño, esto es menor a 0,3, los criterios ITAE, IAE e ISTAE logran alcanzar sobrepasos de hasta un 60%. Cuando el tiempo muerto normalizado es mayor a 0,3, el sobrepaso que se tiene utilizando estos criterios no sobrepasa el 10%. El mayor sobrepaso se obtiene con el criterio ISE, seguido por los criterios ITSE e ISTSE. A su vez, el menor sobrepaso se obtiene al emplear el criterio ISTAE, seguido por los criterios ITAE e IAE. A pesar que con los criterios ISTAE, ITAE e IAE se obtiene el menor sobrepaso, estos criterios son los que tienen mayor tiempo al pico, es decir, pese a tener sobrepasos menores, el sobrepaso tarda más en aparecer. Contrario a dichos criterios, con los criterios ISE, ITSE e ISTSE se obtienen los mayores sobrepasos que aparecen en tiempos menores, según se aprecia en las gráficas de tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado en el apéndice B. Para todos los criterios, el tiempo al pico mantiene un comportamiento creciente conforme aumenta el valor del tiempo muerto normalizado y el valor de a. La respuesta del sistema de control tarda más en estabilizarse al aumentar el valor de tiempo muerto normalizado y el valor de a para los distintos criterios.

35 25 A pesar que el sobrepaso máximo se mantiene aproximadamente constante, el pico máximo se presenta en un tiempo mayor conforme aumenta el valor del tiempo muerto normalizado. Cuando el tiempo al pico es pequeño y el sobrepaso máximo es grande, las respuestas del lazo de control requieren de un mayor tiempo para estabilizarse y lograr entrar en la banda del ±2% del valor de la respuesta final. Como ejemplo se tiene el criterio ISTAE, el cual presenta el menor sobrepaso y el mayor tiempo al pico, pero es el que tiene menor tiempo de asentamiento; contrario al criterio ISE, el cual tiene el mayor sobrepaso, donde el pico máximo se presenta en el menor tiempo pero logra el mayor tiempo de asentamiento al compararlo con el tiempo de asentamiento de los demás criterios. Así, luego del criterio ISE, los criterios ITSE e ISTSE son los que tardan más en alcanzar la banda del ±2%, lográndolo en tiempos casi iguales. Por otra parte, luego del criterio ISTAE, los menores tiempos de asentamiento se obtienen con los criterios ITAE e IAE. Al analizar el margen de ganancia, se observa que éste tiene un leve aumento conforme se incrementa el valor del tiempo muerto normalizado. Los criterios ISTAE e ITAE son los que tienen mayores márgenes de ganancia, superando el margen de referencia de 6 db cuando el tiempo muerto normalizado es mayor a 0,3 para todos los valores de a diferentes de uno. Cuando a = 1, estos criterios logran superar los 6 db cuando el tiempo muerto normalizado es mayor a 0,4. El criterio IAE también logra superar los 6 db de margen de ganancia, pero al aumentar el valor de a este margen disminuye, requiriendo un tiempo muerto normalizado mayor para lograr alcanzar los 6 db. Los criterios ISTSE, ITSE e ISE nunca logran superar los 6 db, obteniendo los menores márgenes de ganancia con el criterio ISE.

36 26 Conforme aumenta el valor de a, se requiere un tiempo muerto normalizado mayor para que los criterios superen los 45º establecidos como margen de robustez. Así, los criterios aumentan rápidamente el margen de fase conforme aumenta el valor del tiempo muerto normalizado hasta llegar a un valor aproximadamente constante de 70º para todos los criterios. 4.2 Comparación entre el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada y el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error. En este apartado se realizó un análisis comparativo de los resultados obtenidos para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error, en adelante PID ideal, obtenidos por Rímolo (2005) y mostrados en el apéndice C, con los resultados obtenidos para el PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada, en adelante PID industrial, funcionando como servomecanismo, los resultados para este controlador se muestran en el apéndice B. En el controlador PID ideal y en el controlador PID industrial se obtienen tiempos de levantamiento mayores al utilizar el criterio integral de error ISTAE como criterio de diseño mientras que los tiempos de levantamiento más pequeños se obtienen haciendo uso del criterio integral ISE. En el PID ideal este comportamiento se presenta para todos los valores de a excepto cuando a = 1, donde el mayor tiempo de levantamiento se obtiene utilizando el criterio ISE. En el PID industrial, en pequeños tramos se obtienen tiempos de levantamiento menores al utilizar el criterio ITSE. Para ambos controladores, el tiempo de levantamiento tiene un comportamiento creciente conforme aumenta el valor del tiempo muerto normalizado y el valor de a.

37 27 Luego del criterio ISTAE, los mayores tiempos de levantamiento se obtienen con los criterios ITAE, IAE, ISTSE e ITSE. Al comparar los tiempos de levantamiento obtenidos para un mismo valor de tiempo muerto normalizado y un mismo valor de a, se obtienen sistemas más lentos con el controlador PID industrial. Por ejemplo, con el criterio ISTAE, para un tiempo muerto normalizado de 1 y un valor de a de 0,75, se tiene un tiempo de levantamiento normalizado de 1,6 con el controlador PID ideal, mientras que para los mismos valores y el mismo criterio con el controlador PID industrial el tiempo de levantamiento normalizado obtenido es de 1,75. En el PID industrial, el sobrepaso máximo tiene un comportamiento creciente para valores del tiempo muerto normalizado menores a 0,3 en el 67% de los casos; para valores mayores a este, el sobrepaso permanece aproximadamente constante. En el PID ideal, el sobrepaso es máximo para valores de tiempo muerto menores a 0,3 y valores de a diferentes de cero. Luego de este valor de tiempo muerto normalizado, el sobrepaso disminuye pero tiende a aumentar conforme se incrementa el valor del tiempo muerto. En ambos controladores, el mayor sobrepaso se obtiene utilizando el criterio ISE y al emplear los criterios ITSE, ISTSE, IAE, ITAE e ISTAE el sobrepaso máximo disminuye, respectivamente. Para los controladores PID ideal y PID industrial, el menor tiempo de asentamiento se obtiene al utilizar el criterio ISTAE, seguido por el criterio ITAE. El criterio ISE es el que produce mayores tiempos de asentamiento en el PID industrial mientras que en el PID ideal, este criterio produce los mayores tiempos de asentamiento para valores de tiempo muerto normalizado menores a 1. Luego de

38 28 este valor de tiempo muerto normalizado, los tiempos de asentamiento obtenidos con los criterios ISE, ITSE, ISTSE e IAE es casi el mismo. En el controlador PID ideal todos los criterios, exceptuando el criterio ISE obtienen un margen de ganancia mayor a los 6 db y un margen de fase mayor a los 45º. El criterio ISE, a pesar de sobrepasar el margen de fase establecido como referencia, sólo logra pasar los 6 db de margen de ganancia cuando el tiempo muerto normalizado es pequeño y a es diferente de cero. En el PID industrial, todos los criterios logran superar el margen de fase de 45º en algún momento, pero sólo los criterios ISTAE, ITAE e IAE logran superar el margen de ganancia de 6 db. 4.3 Análisis de las ecuaciones. Para el análisis del comportamiento de la señal de respuesta de un sistema de control ante una entrada tipo escalón en el valor deseado se toma como referencia un tiempo muerto normalizado de 1 y un valor de a de 0,5. Los parámetros para la sintonización del controlador obtenidos según las tablas del apéndice A y las ecuaciones del apéndice D y E se muestran en la Tabla 1. De la Tabla 1 se observa que la mayor diferencia entre los parámetros optimizados y los parámetros obtenidos mediante las ecuaciones se obtiene en el valor de la ganancia para el criterio ISTAE, con un error de 5,57%. El menor error en el parámetro de la ganancia se obtiene con el criterio IAE, para un 0,462%. Para la constante integral, el mayor porcentaje de error se obtiene con el criterio ISE, con un 0,629% de diferencia, mientras que con el criterio ITAE se obtiene un error de 0,05%.

39 29 En la constante derivativa, la mejor aproximación se tiene con los criterios ISE e ITAE, donde se obtienen los mismos valores tanto en los parámetros optimizados como con las ecuaciones de sintonización. La mayor diferencia se presenta con el criterio IAE, con un porcentaje de error de 0,739%. Tabla 1. Parámetros de sintonización del controlador. Parámetro Criterio IAE ISE ITAE ITSE ISTAE ISTSE Tablas 1,081 1,382 0,967 1,252 0,879 1,152 K C Ecuaciones 1,086 1,365 0,924 1,239 0,830 1,139 % error 0,462 1,230 4,447 1,038 5,570 1,128 Tablas 2,118 2,383 2,003 2,235 1,899 2,147 T i Ecuaciones 2,128 2,398 2,002 2,240 1,902 2,152 % error 0,472 0,629 0,050 0,224 0,158 0,233 Tablas 0,541 0,593 0,485 0,580 0,445 0,552 T d Ecuaciones 0,537 0,593 0,485 0,577 0,446 0,548 % error 0, ,517 0,225 0,725 Tablas 2,110 1,652 2,620 1,492 5,146 1,975 Costo Ecuaciones 2,110 1,652 2,691 1,493 6,759 1,977 % error -0,009-0,021-2,710-0,067-31,344-0,101 Al comparar la función de costo de las respuestas obtenidas se observa que la mayor diferencia se presenta al utilizar el criterio ISTAE, debido principalmente al error presente al encontrar el valor de Kc. Para las demás respuestas, se obtienen señales con una diferencia despreciable, siendo el criterio IAE el que tiene la respuesta más exacta.

40 30 Tomando como muestra los criterios ITSE e ISTAE se obtienen las siguientes características de la respuesta. Tabla 2. Parámetros de la respuesta. Criterio M p t p t l t a2% Gm (db) Pm (º) Tabla 12,663 3,195 1,141 7,075 4,610 72,2 ITSE Ecuación 11,767 3,119 1,114 7,130 4,721 72,65 % error 7,076 0,024 2,366-0,777-2,408-0,623 Tabla 1,615 4,093 1,675 3,349 8,514 71,304 ISTAE Ecuación 0 0 1,767 3,731 9,009 72,732 % error ,493-11,406-5,814-2,003 Según se observa en la Tabla 2, en ambos casos se logra reducir el sobrepaso máximo, con el criterio ITSE el sobrepaso disminuye en un 7,076% al emplear las ecuaciones obtenidas para la sintonización del controlador mientras que con el criterio ISTAE y utilizando las ecuaciones, no se obtiene sobrepaso. En el criterio ITSE, el pico máximo se presenta más rápidamente cuando el controlador es sintonizado por medio de las ecuaciones obtenidas, en comparación con la sintonización a través de los parámetros optimizados de las tablas. El tiempo al pico es reducido en un 0,024% para este criterio. El tiempo de levantamiento con el criterio ITSE mediante las ecuaciones de sintonización disminuye en un 2,366%, obteniendo un sistema con una respuesta más rápida pero más oscilatoria, según se observa al comparar el tiempo de asentamiento, donde la respuesta del lazo de control sintonizado con las ecuaciones tarda más en alcanzar la banda del 2% del valor final. Para el criterio ISTAE el sistema responde más lentamente cuando es sintonizado con las ecuaciones y tarda más tiempo en estabilizarse.

41 31 Para ambos criterios se logra mejorar el margen de ganancia y el margen de fase, sin embargo, con el criterio ITSE no se logra alcanzar una robustez aceptable pues el margen de ganancia alcanzado es de 4,721 db y el margen de fase es de 72,65º. Al utilizar las ecuaciones para la sintonización del controlador mediante el criterio ISTAE, se logra mejorar el margen de ganancia en un 5,814% y el margen de fase en un 2,003%, obteniendo así un sistema más robusto.

42 Capítulo 5 Conclusiones y recomendaciones En la realización de este proyecto se tomó como punto de partida el trabajo realizado por Rímolo (2005), en el cual se obtuvieron los parámetros de optimización de los controladores PI, PID ideal, PID serie con la parte derivativa aplicada al error y PID serie con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada, en su funcionamiento como servomecanismo y como regulador. Con este trabajo, se logró optimizar los parámetros K c, T i y T d de los controladores PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada por medio de criterios de error integral del tipo IT m AE n, para modelos de planta de primer orden más tiempo muerto (a = 0) y segundo orden sobreamortiguados más tiempo muerto (0 < a 1) por medio del programa VisSim TM, con el cual se mejoró el comportamiento de la respuesta de un sistema de control ante un cambio escalón en el valor deseado en un ámbito de tiempo muerto normalizado de 0,05 τ 0 2 y para una relación de constantes de tiempo a variando entre 0 y 1. La mayor dificultad en este proceso se tuvo al optimizar los criterios IAE, ITAE e ISTAE ya que se requería una gran cantidad de iteraciones para que los valores convergieran, a diferencia de los criterios ISE, ITSE e ISTSE, que rápidamente lograban alcanzar su valor optimizado. Luego de obtener los parámetros optimizados, se procedió a analizar los datos con la ayuda del programa Matlab, con el cual se determinaron los márgenes de fase y de ganancia, tiempo de levantamiento, tiempo al pico y sobrepaso máximo, entre otros. 32

43 33 Al analizar los datos, se concluye que conforme aumenta la velocidad de respuesta del sistema de control se tienen sobrepasos mayores y mayores tiempos de asentamiento. Este comportamiento también afecta el margen de fase y el margen de ganancia del sistema, ya que para respuestas más lentas, se tienen sistemas más robustos. El mejor criterio para la sintonización de controladores PID ideal con la parte derivativa aplicada solo a la señal realimentada es el criterio ISTAE, ya que con este criterio se producen las respuestas más lentas, con menor sobrepaso y menor tiempo de asentamiento, logrando así los mayores márgenes de fase y de ganancia. En cambio, el peor criterio para la sintonización de los controladores es el criterio ISE, con el cual se obtuvo el mayor sobrepaso y el menor tiempo de levantamiento. Debido a esto, con este criterio se requiere un mayor tiempo de asentamiento, es decir, la respuesta del sistema de control tarda más en estabilizarse. Además, debido a las características de su respuesta, con este criterio se obtienen los menores márgenes de ganancia y fase. Al buscar la robustez del sistema, es preferible sintonizar el controlador basándose en los criterios ISTAE, ITAE o IAE, pues con estos criterios se logra superar el margen de ganancia de 6 db y el margen de fase de 45º. Con los criterios ISTSE, ITSE e ISE no se logra superar los 6 db de margen de ganancia pero se logra superar los 45º de margen de fase para valores de tiempo muerto grandes. El comportamiento de la respuesta del sistema de control cuando se utiliza un controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada fue comparado con la respuesta obtenida al utilizar un controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error. El resultado fue velocidades de respuesta más

44 34 bajas al utilizar el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada. Con el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada a la señal realimentada sólo se logran sistemas robustos al emplear los criterios ISTAE, ITAE e IAE mientras que con el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada al error se pueden lograr sistemas robustos con todos los criterios, dependiendo del valor del tiempo muerto normalizado y el valor de la constante de tiempo a. Con la aplicación cftool de Matlab se obtuvieron las ecuaciones para el cálculo de los parámetros óptimos en función del tiempo muerto normalizado para cada valor de a y posteriormente las ecuaciones de sintonización de los controladores para cualquier valor 0 a 1. Para conseguirlo, se analizó el patrón que siguen los parámetros del controlador en función del tiempo muerto normalizado y se determinó la ecuación que mejor se ajustó a la tendencia de los datos. Las ecuaciones de sintonización para cualquier valor 0 a 1 se obtuvieron analizando las constantes de las ecuaciones anteriores pero en función de a. Las ecuaciones encontradas tienen un mejor funcionamiento al utilizar los criterios ISE, IAE, ITSE e ISTSE pues los datos optimizados para estos criterios siguen un patrón definido, mientras que para los criterios ITAE e ISTAE, las ecuaciones debieron ser divididas para distintos rangos del tiempo muerto debido al comportamiento de los valores de la constante integral. Para la sintonización de los controladores, se recomienda el uso del criterio ISTAE ya que proporciona los mayores márgenes de estabilidad y el menor sobrepaso. Si se quieren respuestas más rápidas, se recomienda el uso del criterio

45 35 ITAE, el cual mantiene una robustez similar pero produce mayores sobrepasos y mayores tiempos de asentamiento. Sin embargo, no se recomienda la sintonización de controladores con los criterios ITAE e ISTAE para valores de tiempo muerto normalizado menores a 0,3 pues para estos valores de tiempo muerto y al utilizar estos criterios, se obtienen sobrepasos de hasta un 60%, se aumenta el tiempo de asentamiento y disminuyen los márgenes de robustez del sistema. Por otra parte, no se recomienda el uso de los criterios ISE, ITSE e ISTSE pues no proporcionan una robustez aceptable, a la vez que generan señales con mayores oscilaciones y sobrepaso. Si se requiere sintonizar el controlador por medio de las ecuaciones obtenidas, se recomienda la sintonización mediante el criterio IAE, ya que permite obtener las respuestas más exactas y con un margen de estabilidad aceptable.

46 Bibliografía. 1. Alfaro V. (2005) Apuntes del curso IE-431 Sistemas de Control, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica. 2. Alfaro V. (2005) IE-431 Sistemas de Control: Controladores PID, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica. 3. Alfaro V. (2005) IE-431 Sistemas de Control: Métodos de Sintonización, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica. 4. Alfaro V. (2005) Estimación del desempeño IAE óptimo de los reguladores y servomecanismos PID, Ingeniería 15 (1): Méndez V. (2006) Ecuaciones para la sintonización de controladores PID utilizando funciones de costo del tipo IT m E n, Proyecto Eléctrico, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica. 6. Ogata K. (1998) Ingeniería de Control Moderna, 3ª edición, University of Minnesota, Prentice-Hall Hispanoamericana. 7. Rímolo J. (2005) Análisis del desempeño y la robustez de los servomecanismos y reguladores PID, optimizados con funciones de costo del tipo IT m E n, Proyecto Eléctrico, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica. 8. The MathWorks (2006) User s Guide, Version 7.0, The MathWorks, Inc. 9. Visual Solutions (1999) VisSim User s Guide version 3.0, Westford, MA, EUA. 36

47 37 APÉNDICES Apéndice A. Datos obtenidos a partir de las simulaciones. Tabla A1. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio IAE. a t m K c T i T d IAE 0,00 0,05 16,769 1,328 0,022 0,086 0,00 0,10 8,292 1,344 0,042 0,171 0,00 0,20 4,389 1,411 0,084 0,338 0,00 0,30 2,956 1,417 0,116 0,503 0,00 0,40 2,277 1,445 0,150 0,667 0,00 0,50 1,868 1,471 0,183 0,828 0,00 0,60 1,597 1,499 0,214 0,988 0,00 0,70 1,404 1,525 0,244 1,146 0,00 0,80 1,259 1,551 0,274 1,303 0,00 0,90 1,148 1,579 0,302 1,457 0,00 1,00 1,059 1,606 0,330 1,610 0,00 1,10 0,986 1,635 0,358 1,762 0,00 1,20 0,926 1,664 0,384 1,912 0,00 1,30 0,875 1,695 0,410 2,061 0,00 1,40 0,832 1,727 0,435 2,209 0,00 1,50 0,795 1,761 0,460 2,355 0,00 1,60 0,762 1,794 0,484 2,501 0,00 1,70 0,732 1,826 0,507 2,646 0,00 1,80 0,706 1,861 0,529 2,789 0,00 1,90 0,684 1,899 0,551 2,932 0,00 2,00 0,665 1,939 0,573 3,075 0,25 0,05 25,705 4,361 0,126 0,178 0,25 0,10 10,152 2,939 0,172 0,313 0,25 0,20 4,306 2,182 0,224 0,542 0,25 0,30 2,796 1,953 0,256 0,744 0,25 0,40 2,114 1,850 0,284 0,931 0,25 0,50 1,729 1,800 0,309 1,108 0,25 0,60 1,482 1,780 0,334 1,279 0,25 0,70 1,307 1,770 0,359 1,445 0,25 0,80 1,178 1,773 0,384 1,606 0,25 0,90 1,079 1,783 0,409 1,765 0,25 1,00 1,001 1,799 0,433 1,921 0,25 1,10 0,938 1,819 0,457 2,074 0,25 1,20 0,885 1,842 0,481 2,226 0,25 1,30 0,840 1,867 0,505 2,375

48 38 Tabla A1 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio IAE. a t m K c T i T d IAE 0,25 1,40 0,801 1,893 0,527 2,523 0,25 1,50 0,769 1,922 0,550 2,670 0,25 1,60 0,740 1,953 0,571 2,816 0,25 1,70 0,714 1,984 0,593 2,960 0,25 1,80 0,692 2,017 0,614 3,104 0,25 1,90 0,672 2,051 0,634 3,246 0,25 2,00 0,654 2,086 0,655 3,388 0,50 0,05 61,925 0,486 0,117 0,272 0,50 0,10 15,828 4,780 0,213 0,345 0,50 0,20 5,681 3,178 0,305 0,603 0,50 0,30 3,471 2,694 0,355 0,832 0,50 0,40 2,520 2,454 0,391 1,041 0,50 0,50 2,000 2,313 0,421 1,238 0,50 0,60 1,677 2,229 0,447 1,424 0,50 0,70 1,457 2,178 0,471 1,604 0,50 0,80 1,296 2,144 0,495 1,777 0,50 0,90 1,175 2,125 0,518 1,945 0,50 1,00 1,081 2,118 0,541 2,110 0,50 1,10 1,005 2,120 0,563 2,271 0,50 1,20 0,943 2,126 0,585 2,429 0,50 1,30 0,890 2,139 0,606 2,584 0,50 1,40 0,847 2,155 0,627 2,737 0,50 1,50 0,809 2,175 0,648 2,888 0,50 1,60 0,777 2,198 0,668 3,038 0,50 1,70 0,748 2,223 0,688 3,186 0,50 1,80 0,724 2,249 0,708 3,332 0,50 1,90 0,702 2,278 0,727 3,478 0,50 2,00 0,682 2,308 0,747 3,622 0,75 0,05 86,043 0,502 0,124 0,279 0,75 0,10 18,958 6,086 0,235 0,357 0,75 0,20 7,168 4,196 0,350 0,633 0,75 0,30 4,243 3,459 0,415 0,877 0,75 0,40 3,013 3,093 0,461 1,100 0,75 0,50 2,351 2,874 0,496 1,309 0,75 0,60 1,942 2,729 0,527 1,508

49 39 Tabla A1 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio IAE. a t m K c T i T d IAE 0,75 0,70 1,667 2,634 0,554 1,697 0,75 0,80 1,470 2,570 0,578 1,880 0,75 0,90 1,322 2,526 0,602 2,057 0,75 1,00 1,206 2,494 0,625 2,230 0,75 1,10 1,114 2,477 0,648 2,398 0,75 1,20 1,040 2,469 0,670 2,563 0,75 1,30 0,977 2,466 0,691 2,724 0,75 1,40 0,924 2,470 0,712 2,883 0,75 1,50 0,880 2,480 0,733 3,040 0,75 1,60 0,841 2,493 0,753 3,194 0,75 1,70 0,808 2,510 0,773 3,347 0,75 1,80 0,778 2,530 0,792 3,498 0,75 1,90 0,752 2,552 0,811 3,647 0,75 2,00 0,729 2,576 0,830 3,795 1,00 0,05 74,391 13,114 0,154 0,199 1,00 0,10 26,194 7,943 0,232 0,369 1,00 0,20 8,654 5,229 0,382 0,651 1,00 0,30 5,047 4,233 0,455 0,904 1,00 0,40 3,534 3,743 0,509 1,137 1,00 0,50 2,728 3,448 0,550 1,355 1,00 0,60 2,234 3,253 0,584 1,561 1,00 0,70 1,902 3,115 0,614 1,759 1,00 0,80 1,666 3,020 0,641 1,949 1,00 0,90 1,490 2,952 0,666 2,133 1,00 1,00 1,353 2,902 0,690 2,311 1,00 1,10 1,243 2,865 0,713 2,486 1,00 1,20 1,155 2,841 0,736 2,656 1,00 1,30 1,081 2,827 0,758 2,823 1,00 1,40 1,019 2,818 0,780 2,987 1,00 1,50 0,966 2,817 0,801 3,149 1,00 1,60 0,920 2,820 0,822 3,308 1,00 1,70 0,881 2,829 0,842 3,465 1,00 1,80 0,847 2,842 0,862 3,620 1,00 1,90 0,816 2,857 0,881 3,773 1,00 2,00 0,789 2,876 0,901 3,925

50 40 Tabla A2. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISE. a t m K c T i T d ISE 0,00 0,05 20,008 1,430 0,026 0,069 0,00 0,10 10,220 1,448 0,048 0,137 0,00 0,20 5,269 1,484 0,090 0,271 0,00 0,30 3,613 1,520 0,131 0,405 0,00 0,40 2,786 1,557 0,170 0,537 0,00 0,50 2,292 1,595 0,208 0,668 0,00 0,60 1,963 1,634 0,244 0,797 0,00 0,70 1,730 1,674 0,279 0,926 0,00 0,80 1,556 1,715 0,313 1,054 0,00 0,90 1,421 1,757 0,345 1,180 0,00 1,00 1,315 1,800 0,376 1,306 0,00 1,10 1,228 1,843 0,406 1,431 0,00 1,20 1,156 1,887 0,435 1,555 0,00 1,30 1,096 1,932 0,464 1,678 0,00 1,40 1,045 1,978 0,491 1,801 0,00 1,50 1,001 2,024 0,517 1,922 0,00 1,60 0,963 2,070 0,543 2,043 0,00 1,70 0,929 2,117 0,568 2,164 0,00 1,80 0,900 2,165 0,593 2,283 0,00 1,90 0,874 2,213 0,615 2,402 0,00 2,00 0,851 2,262 0,640 2,521 0,25 0,05 36,292 4,580 0,107 0,124 0,25 0,10 13,383 3,077 0,161 0,226 0,25 0,20 5,616 2,322 0,225 0,403 0,25 0,30 3,602 2,092 0,270 0,564 0,25 0,40 2,709 2,001 0,305 0,714 0,25 0,50 2,200 1,961 0,340 0,859 0,25 0,60 1,878 1,952 0,371 0,999 0,25 0,70 1,654 1,958 0,401 1,135 0,25 0,80 1,490 1,975 0,430 1,269 0,25 0,90 1,365 1,999 0,457 1,401 0,25 1,00 1,266 2,028 0,484 1,531 0,25 1,10 1,185 2,061 0,510 1,659 0,25 1,20 1,119 2,097 0,536 1,785 0,25 1,30 1,064 2,135 0,560 1,911

51 41 Tabla A2 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISE. a t m K c T i T d ISE 0,25 1,40 1,017 2,175 0,585 2,035 0,25 1,50 0,976 2,216 0,609 2,158 0,25 1,60 0,941 2,259 0,632 2,280 0,25 1,70 0,911 2,303 0,655 2,402 0,25 1,80 0,883 2,347 0,677 2,522 0,25 1,90 0,859 2,393 0,700 2,642 0,25 2,00 0,838 2,440 0,721 2,761 0,50 0,05 59,814 7,937 0,124 0,131 0,50 0,10 20,056 4,929 0,197 0,242 0,50 0,20 7,561 3,384 0,292 0,439 0,50 0,30 4,556 2,875 0,355 0,616 0,50 0,40 3,281 2,636 0,404 0,781 0,50 0,50 2,589 2,507 0,444 0,938 0,50 0,60 2,160 2,435 0,479 1,088 0,50 0,70 1,870 2,397 0,510 1,234 0,50 0,80 1,661 2,379 0,539 1,377 0,50 0,90 1,504 2,376 0,567 1,516 0,50 1,00 1,382 2,383 0,593 1,652 0,50 1,10 1,285 2,398 0,616 1,786 0,50 1,20 1,205 2,418 0,642 1,918 0,50 1,30 1,138 2,443 0,665 2,048 0,50 1,40 1,083 2,472 0,688 2,177 0,50 1,50 1,035 2,504 0,711 2,304 0,50 1,60 0,994 2,539 0,732 2,430 0,50 1,70 0,959 2,576 0,754 2,555 0,50 1,80 0,928 2,614 0,775 2,679 0,50 1,90 0,900 2,654 0,796 2,802 0,50 2,00 0,875 2,695 0,816 2,924 0,75 0,05 83,440 11,289 0,130 0,134 0,75 0,10 26,854 6,787 0,215 0,249 0,75 0,20 9,630 4,465 0,328 0,455 0,75 0,30 5,621 3,688 0,405 0,642 0,75 0,40 3,955 3,309 0,464 0,815 0,75 0,50 3,066 3,095 0,511 0,980 0,75 0,60 2,522 2,964 0,552 1,138

52 42 Tabla A2 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISE. a t m K c T i T d ISE 0,75 0,70 2,156 2,882 0,588 1,291 0,75 0,80 1,896 2,831 0,620 1,440 0,75 0,90 1,701 2,801 0,650 1,585 0,75 1,00 1,551 2,787 0,678 1,726 0,75 1,10 1,431 2,784 0,704 1,865 0,75 1,20 1,334 2,789 0,729 2,002 0,75 1,30 1,254 2,801 0,753 2,137 0,75 1,40 1,187 2,819 0,777 2,270 0,75 1,50 1,129 2,841 0,799 2,401 0,75 1,60 1,080 2,867 0,821 2,531 0,75 1,70 1,038 2,895 0,843 2,659 0,75 1,80 1,000 2,927 0,864 2,787 0,75 1,90 0,967 2,960 0,885 2,913 0,75 2,00 0,938 2,996 0,905 3,038 1,00 0,05 111,456 14,826 0,129 0,133 1,00 0,10 33,685 8,646 0,225 0,253 1,00 0,20 11,734 5,552 0,350 0,465 1,00 0,30 6,721 4,510 0,437 0,657 1,00 0,40 4,663 3,996 0,503 0,837 1,00 0,50 3,575 3,698 0,557 1,007 1,00 0,60 2,912 3,510 0,603 1,170 1,00 0,70 2,470 3,387 0,643 1,328 1,00 0,80 2,156 3,305 0,679 1,481 1,00 0,90 1,923 3,250 0,711 1,630 1,00 1,00 1,743 3,215 0,742 1,776 1,00 1,10 1,600 3,195 0,770 1,919 1,00 1,20 1,485 3,186 0,797 2,060 1,00 1,30 1,389 3,185 0,823 2,198 1,00 1,40 1,309 3,192 0,848 2,335 1,00 1,50 1,241 3,204 0,872 2,469 1,00 1,60 1,183 3,222 0,895 2,602 1,00 1,70 1,133 3,243 0,917 2,734 1,00 1,80 1,088 3,267 0,939 2,864 1,00 1,90 1,049 3,294 0,960 2,993 1,00 2,00 1,015 3,324 0,981 3,121

53 43 Tabla A3. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ITAE. a t m K c T i T d ITAE 0,00 0,05 15,941 1,418 0,028 0,005 0,00 0,10 8,943 1,323 0,037 0,019 0,00 0,20 3,959 1,317 0,072 0,065 0,00 0,30 2,715 1,344 0,104 0,145 0,00 0,40 2,101 1,381 0,138 0,254 0,00 0,50 1,726 1,408 0,167 0,392 0,00 0,60 1,477 1,437 0,196 0,558 0,00 0,70 1,299 1,465 0,224 0,750 0,00 0,80 1,165 1,492 0,250 0,968 0,00 0,90 1,061 1,519 0,275 1,210 0,00 1,00 0,979 1,548 0,299 1,476 0,00 1,10 0,913 1,578 0,324 1,765 0,00 1,20 0,859 1,609 0,347 2,077 0,00 1,30 0,813 1,641 0,370 2,410 0,00 1,40 0,775 1,673 0,393 2,763 0,00 1,50 0,742 1,705 0,416 3,137 0,00 1,60 0,713 1,738 0,438 3,531 0,00 1,70 0,688 1,771 0,459 3,945 0,00 1,80 0,665 1,804 0,480 4,377 0,00 1,90 0,645 1,838 0,500 4,829 0,00 2,00 0,627 1,871 0,520 5,299 0,25 0,05 32,333 0,286 0,095 0,060 0,25 0,10 13,383 3,077 0,161 0,226 0,25 0,20 5,616 2,322 0,225 0,403 0,25 0,30 2,476 1,817 0,242 0,336 0,25 0,40 1,885 1,730 0,263 0,519 0,25 0,50 1,549 1,693 0,284 0,729 0,25 0,60 1,331 1,678 0,304 0,963 0,25 0,70 1,178 1,675 0,324 1,222 0,25 0,80 1,065 1,683 0,345 1,503 0,25 0,90 0,979 1,697 0,366 1,807 0,25 1,00 0,910 1,715 0,386 2,132 0,25 1,10 0,854 1,737 0,407 2,478 0,25 1,20 0,808 1,762 0,427 2,844 0,25 1,30 0,769 1,789 0,448 3,231

54 44 Tabla A3 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ITAE. a t m K c T i T d ITAE 0,25 1,40 0,736 1,817 0,468 3,637 0,25 1,50 0,708 1,847 0,488 4,063 0,25 1,60 0,683 1,877 0,507 4,507 0,25 1,70 0,661 1,909 0,527 4,970 0,25 1,80 0,642 1,942 0,546 5,452 0,25 1,90 0,624 1,975 0,565 5,951 0,25 2,00 0,609 2,008 0,584 6,469 0,50 0,05 57,829 0,488 0,095 0,092 0,50 0,10 17,243 4,815 0,197 0,106 0,50 0,20 5,501 3,183 0,315 0,245 0,50 0,30 3,023 2,478 0,345 0,432 0,50 0,40 2,204 2,266 0,373 0,668 0,50 0,50 1,763 2,152 0,395 0,933 0,50 0,60 1,483 2,083 0,414 1,225 0,50 0,70 1,292 2,041 0,432 1,541 0,50 0,80 1,153 2,016 0,450 1,879 0,50 0,90 1,049 2,005 0,468 1,516 0,50 1,00 0,967 2,003 0,485 2,620 0,50 1,10 0,902 2,009 0,502 3,021 0,50 1,20 0,849 2,020 0,520 3,441 0,50 1,30 0,805 2,036 0,538 3,881 0,50 1,40 0,768 2,055 0,555 4,339 0,50 1,50 0,736 2,077 0,573 4,816 0,50 1,60 0,708 2,100 0,591 5,311 0,50 1,70 0,684 2,126 0,608 5,855 0,50 1,80 0,662 2,154 0,626 6,356 0,50 1,90 0,643 2,182 0,643 6,904 0,50 2,00 0,627 2,212 0,661 7,471 0,75 0,05 70,869 0,288 0,124 0,075 0,75 0,10 23,380 0,531 0,195 0,237 0,75 0,20 8,742 1,083 0,274 0,665 0,75 0,30 3,665 3,177 0,411 0,488 0,75 0,40 2,611 2,837 0,446 0,756 0,75 0,50 2,051 2,652 0,474 1,059 0,75 0,60 1,703 2,534 0,496 1,391

55 45 Tabla A3 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ITAE. a t m K c T i T d ITAE 0,75 0,70 1,468 2,458 0,516 1,750 0,75 0,80 1,298 2,404 0,533 2,133 0,75 0,90 1,170 2,368 0,551 2,538 0,75 1,00 1,071 2,346 0,567 2,964 0,75 1,10 0,992 2,336 0,584 3,411 0,75 1,20 0,928 2,333 0,601 3,878 0,75 1,30 0,875 2,337 0,617 4,363 0,75 1,40 0,831 2,345 0,634 4,868 0,75 1,50 0,793 2,358 0,650 5,392 0,75 1,60 0,760 2,374 0,667 5,933 0,75 1,70 0,732 2,392 0,683 6,493 0,75 1,80 0,707 2,413 0,700 7,070 0,75 1,90 0,685 2,437 0,717 7,665 0,75 2,00 0,665 2,461 0,733 8,277 1,00 0,05 90,605 0,292 0,129 0,077 1,00 0,10 29,149 0,538 0,207 0,251 1,00 0,20 10,599 1,102 0,297 0,728 1,00 0,30 6,093 1,532 0,360 1,244 1,00 0,40 3,060 3,431 0,498 0,814 1,00 0,50 2,368 3,168 0,530 1,142 1,00 0,60 1,950 3,005 0,556 1,503 1,00 0,70 1,667 2,893 0,578 1,893 1,00 0,80 1,465 2,816 0,597 2,309 1,00 0,90 1,313 2,759 0,615 2,749 1,00 1,00 1,195 2,718 0,632 3,212 1,00 1,10 1,101 2,691 0,649 3,695 1,00 1,20 1,026 2,675 0,666 4,200 1,00 1,30 0,963 2,667 0,682 4,724 1,00 1,40 0,910 2,666 0,699 5,268 1,00 1,50 0,865 2,669 0,715 5,831 1,00 1,60 0,827 2,677 0,731 6,412 1,00 1,70 0,793 2,689 0,747 7,012 1,00 1,80 0,764 2,704 0,764 7,630 1,00 1,90 0,738 2,721 0,780 8,266 1,00 2,00 0,715 2,741 0,796 8,920

56 46 Tabla A4. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ITSE. a t m K c T i T d ITSE 0,00 0,05 18,593 1,406 0,025 0,003 0,00 0,10 9,495 1,414 0,046 0,010 0,00 0,20 4,891 1,436 0,087 0,040 0,00 0,30 3,351 1,462 0,126 0,088 0,00 0,40 2,582 1,491 0,164 0,154 0,00 0,50 2,122 1,522 0,201 0,239 0,00 0,60 1,816 1,555 0,236 0,340 0,00 0,70 1,599 1,588 0,271 0,458 0,00 0,80 1,437 1,623 0,304 0,593 0,00 0,90 1,312 1,660 0,336 0,743 0,00 1,00 1,213 1,697 0,367 0,909 0,00 1,10 1,132 1,735 0,398 1,091 0,00 1,20 1,065 1,773 0,427 1,287 0,00 1,30 1,009 1,813 0,456 1,498 0,00 1,40 0,962 1,853 0,483 1,723 0,00 1,50 0,921 1,894 0,511 1,962 0,00 1,60 0,886 1,936 0,537 2,216 0,00 1,70 0,855 1,978 0,563 2,483 0,00 1,80 0,827 2,020 0,588 2,763 0,00 1,90 0,803 2,063 0,613 3,058 0,00 2,00 0,782 2,107 0,637 3,365 0,25 0,05 31,087 4,525 0,112 0,009 0,25 0,10 11,698 3,017 0,163 0,030 0,25 0,20 5,002 2,244 0,223 0,093 0,25 0,30 3,239 2,005 0,264 0,178 0,25 0,40 2,445 1,905 0,299 0,283 0,25 0,50 1,996 1,861 0,331 0,406 0,25 0,60 1,708 1,846 0,361 0,547 0,25 0,70 1,507 1,848 0,390 0,703 0,25 0,80 1,359 1,860 0,418 0,875 0,25 0,90 1,246 1,880 0,446 1,062 0,25 1,00 1,156 1,904 0,473 1,265 0,25 1,10 1,083 1,932 0,499 1,482 0,25 1,20 1,023 1,963 0,525 1,713 0,25 1,30 0,973 1,996 0,551 1,958

57 47 Tabla A4 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ITSE. a t m K c T i T d ITSE 0,25 1,40 0,930 2,031 0,576 2,218 0,25 1,50 0,893 2,068 0,600 2,491 0,25 1,60 0,861 2,106 0,624 2,777 0,25 1,70 0,833 2,145 0,648 3,077 0,25 1,80 0,809 2,185 0,671 3,390 0,25 1,90 0,787 2,226 0,694 3,716 0,25 2,00 0,767 2,268 0,717 4,055 0,50 0,05 50,526 7,816 0,131 0,011 0,50 0,10 17,262 4,837 0,205 0,035 0,50 0,20 6,636 3,278 0,295 0,112 0,50 0,30 4,041 2,760 0,354 0,217 0,50 0,40 2,929 2,514 0,399 0,345 0,50 0,50 2,322 2,381 0,436 0,493 0,50 0,60 1,944 2,304 0,469 0,660 0,50 0,70 1,687 2,261 0,499 0,844 0,50 0,80 1,501 2,240 0,527 1,044 0,50 0,90 1,361 2,232 0,554 1,261 0,50 1,00 1,252 2,235 0,580 1,492 0,50 1,10 1,165 2,246 0,605 1,739 0,50 1,20 1,094 2,262 0,629 2,000 0,50 1,30 1,034 2,283 0,653 2,275 0,50 1,40 0,985 2,307 0,676 2,564 0,50 1,50 0,942 2,335 0,699 2,866 0,50 1,60 0,905 2,365 0,722 3,182 0,50 1,70 0,873 2,398 0,744 3,511 0,50 1,80 0,845 2,432 0,766 3,854 0,50 1,90 0,820 2,467 0,787 4,209 0,50 2,00 0,798 2,504 0,808 4,578 0,75 0,05 70,067 11,101 0,139 0,011 0,75 0,10 22,947 6,666 0,225 0,038 0,75 0,20 8,390 4,338 0,335 0,122 0,75 0,30 4,951 3,550 0,407 0,238 0,75 0,40 3,508 3,165 0,462 0,380 0,75 0,50 2,734 2,945 0,506 0,544 0,75 0,60 2,256 2,810 0,544 0,729

58 48 Tabla A4 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ITSE. a t m K c T i T d ITSE 0,75 0,70 1,935 2,724 0,577 0,932 0,75 0,80 1,705 2,669 0,608 1,153 0,75 0,90 1,533 2,636 0,637 1,390 0,75 1,00 1,399 2,618 0,664 1,643 0,75 1,10 1,293 2,610 0,690 1,912 0,75 1,20 1,207 2,612 0,715 2,196 0,75 1,30 1,135 2,620 0,739 2,495 0,75 1,40 1,075 2,634 0,762 2,807 0,75 1,50 1,024 2,651 0,785 3,134 0,75 1,60 0,980 2,673 0,808 3,475 0,75 1,70 0,942 2,698 0,830 3,829 0,75 1,80 0,908 2,725 0,851 4,196 0,75 1,90 0,879 2,754 0,873 4,577 0,75 2,00 0,853 2,785 0,894 4,970 1,00 0,05 89,631 14,381 0,143 0,011 1,00 0,10 28,664 8,499 0,236 0,039 1,00 0,20 10,179 5,409 0,359 0,128 1,00 0,30 5,895 4,355 0,442 0,252 1,00 0,40 4,120 3,833 0,504 0,403 1,00 0,50 3,175 3,529 0,554 0,578 1,00 0,60 2,597 3,337 0,596 0,775 1,00 0,70 2,210 3,209 0,634 0,992 1,00 0,80 1,934 3,123 0,667 1,227 1,00 0,90 1,728 3,064 0,698 1,480 1,00 1,00 1,569 3,026 0,728 1,749 1,00 1,10 1,442 3,002 0,755 2,035 1,00 1,20 1,340 2,989 0,782 2,337 1,00 1,30 1,255 2,985 0,807 2,653 1,00 1,40 1,184 2,987 0,831 2,985 1,00 1,50 1,123 2,996 0,855 3,331 1,00 1,60 1,071 3,009 0,878 3,691 1,00 1,70 1,026 3,026 0,901 4,066 1,00 1,80 0,987 3,046 0,923 4,454 1,00 1,90 0,952 3,069 0,945 4,855 1,00 2,00 0,921 3,095 0,967 5,270

59 49 Tabla A5. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISTAE. a t m K c T i T d ISTAE 0,00 0,05 21,251 0,125 0,020 0,002 0,00 0,10 10,651 1,478 0,045 0,010 0,00 0,20 4,729 1,357 0,068 0,033 0,00 0,30 2,909 1,337 0,095 0,081 0,00 0,40 1,966 1,327 0,125 0,149 0,00 0,50 1,602 1,351 0,153 0,285 0,00 0,60 1,375 1,381 0,180 0,484 0,00 0,70 1,208 1,407 0,205 0,754 0,00 0,80 1,079 1,430 0,228 1,106 0,00 0,90 0,983 1,458 0,251 1,546 0,00 1,00 0,908 1,487 0,274 2,083 0,00 1,10 0,848 1,517 0,296 2,722 0,00 1,20 0,798 1,548 0,318 3,470 0,00 1,30 0,757 1,580 0,340 4,332 0,00 1,40 0,721 1,613 0,360 5,313 0,00 1,50 0,690 1,645 0,380 6,420 0,00 1,60 0,662 1,676 0,398 7,658 0,00 1,70 0,635 1,708 0,416 9,033 0,00 1,80 0,618 1,743 0,435 10,550 0,00 1,90 0,600 1,777 0,453 12,212 0,00 2,00 0,585 1,813 0,472 14,023 0,25 0,05 5,207 2,051 0,175 0,042 0,25 0,10 5,081 2,051 0,175 0,034 0,25 0,20 3,283 1,847 0,202 0,102 0,25 0,30 2,194 1,671 0,218 0,252 0,25 0,40 1,755 1,664 0,253 0,465 0,25 0,50 1,414 1,607 0,265 0,760 0,25 0,60 1,218 1,595 0,282 1,144 0,25 0,70 1,079 1,595 0,299 1,622 0,25 0,80 0,977 1,604 0,316 2,200 0,25 0,90 0,898 1,618 0,334 2,882 0,25 1,00 0,836 1,637 0,352 3,680 0,25 1,10 0,786 1,659 0,370 4,594 0,25 1,20 0,744 1,684 0,387 5,631 0,25 1,30 0,709 1,711 0,405 6,797

60 50 Tabla A5 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISTAE. a t m K c T i T d ISTAE 0,25 1,40 0,679 1,740 0,423 8,097 0,25 1,50 0,653 1,770 0,440 9,534 0,25 1,60 0,631 1,800 0,457 11,115 0,25 1,70 0,611 1,832 0,475 12,843 0,25 1,80 0,594 1,863 0,492 14,722 0,25 1,90 0,578 1,895 0,509 16,758 0,25 2,00 0,564 1,929 0,526 18,954 0,50 0,05 47,732 0,274 0,119 0,028 0,50 0,10 16,491 0,483 0,181 0,149 0,50 0,20 6,259 0,796 0,250 0,669 0,50 0,30 2,601 2,270 0,332 0,375 0,50 0,40 1,967 2,122 0,359 0,702 0,50 0,50 1,583 2,022 0,376 1,143 0,50 0,60 1,336 1,961 0,391 1,699 0,50 0,70 1,167 1,926 0,404 2,374 0,50 0,80 1,044 1,906 0,418 3,171 0,50 0,90 0,951 1,898 0,431 4,093 0,50 1,00 0,879 1,899 0,445 5,146 0,50 1,10 0,821 1,907 0,459 6,333 0,50 1,20 0,774 1,920 0,473 7,658 0,50 1,30 0,735 1,937 0,488 9,127 0,50 1,40 0,701 1,957 0,502 10,743 0,50 1,50 0,673 1,979 0,517 12,511 0,50 1,60 0,649 2,004 0,532 14,437 0,50 1,70 0,628 2,030 0,547 16,523 0,50 1,80 0,608 2,056 0,562 18,773 0,50 1,90 0,591 2,083 0,577 21,192 0,50 2,00 0,576 2,113 0,592 23,785 0,75 0,05 65,866 0,281 0,128 0,031 0,75 0,10 21,803 0,506 0,201 0,173 0,75 0,20 5,523 3,247 0,295 0,289 0,75 0,30 3,242 2,957 0,405 0,457 0,75 0,40 2,324 2,650 0,434 0,864 0,75 0,50 1,850 2,499 0,459 1,409 0,75 0,60 1,524 2,376 0,474 2,094

61 51 Tabla A5 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISTAE. a t m K c T i T d ISTAE 0,75 0,70 1,316 2,306 0,488 2,925 0,75 0,80 1,166 2,261 0,502 3,902 0,75 0,90 1,054 2,232 0,514 5,025 0,75 1,00 0,966 2,215 0,526 6,301 0,75 1,10 0,897 2,208 0,539 7,727 0,75 1,20 0,841 2,208 0,551 9,310 0,75 1,30 0,794 2,214 0,564 11,053 0,75 1,40 0,755 2,225 0,577 12,959 0,75 1,50 0,721 2,239 0,590 15,034 0,75 1,60 0,693 2,256 0,603 17,279 0,75 1,70 0,668 2,276 0,617 19,701 0,75 1,80 0,646 2,298 0,630 22,302 0,75 1,90 0,627 2,323 0,644 25,088 0,75 2,00 0,608 2,346 0,658 28,061 1,00 0,05 83,916 0,286 0,133 0,033 1,00 0,10 27,171 0,520 0,212 0,189 1,00 0,20 9,638 0,890 0,312 0,939 1,00 0,30 5,490 1,176 0,374 2,185 1,00 0,40 2,984 3,409 0,504 1,028 1,00 0,50 2,191 3,028 0,521 1,608 1,00 0,60 1,761 2,833 0,539 2,381 1,00 0,70 1,488 2,709 0,552 3,326 1,00 0,80 1,314 2,643 0,567 4,441 1,00 0,90 1,179 2,593 0,580 5,725 1,00 1,00 1,074 2,559 0,592 7,182 1,00 1,10 0,992 2,538 0,604 8,807 1,00 1,20 0,925 2,526 0,616 10,607 1,00 1,30 0,870 2,521 0,628 12,584 1,00 1,40 0,824 2,524 0,641 14,742 1,00 1,50 0,785 2,529 0,653 17,084 1,00 1,60 0,751 2,539 0,666 19,616 1,00 1,70 0,721 2,553 0,678 22,337 1,00 1,80 0,696 2,569 0,691 25,255 1,00 1,90 0,673 2,588 0,704 28,371 1,00 2,00 0,653 2,609 0,718 31,692

62 52 Tabla A6. Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISTSE. a t m K c T i T d ISTSE 0,00 0,05 17,457 1,372 0,024 0,000 0,00 0,10 8,913 1,384 0,044 0,001 0,00 0,20 4,589 1,406 0,082 0,008 0,00 0,30 3,142 1,430 0,119 0,027 0,00 0,40 2,420 1,455 0,155 0,064 0,00 0,50 1,988 1,482 0,190 0,123 0,00 0,60 1,701 1,511 0,224 0,208 0,00 0,70 1,497 1,541 0,256 0,325 0,00 0,80 1,345 1,573 0,288 0,478 0,00 0,90 1,227 1,606 0,319 0,670 0,00 1,00 1,134 1,640 0,349 0,906 0,00 1,10 1,058 1,674 0,378 1,188 0,00 1,20 0,996 1,710 0,406 1,521 0,00 1,30 0,943 1,746 0,434 1,908 0,00 1,40 0,898 1,783 0,461 2,351 0,00 1,50 0,860 1,821 0,487 2,855 0,00 1,60 0,827 1,860 0,512 3,421 0,00 1,70 0,798 1,899 0,538 4,054 0,00 1,80 0,772 1,938 0,562 4,756 0,00 1,90 0,750 1,979 0,586 5,530 0,00 2,00 0,729 2,019 0,610 6,378 0,25 0,05 27,042 4,236 0,115 0,001 0,25 0,10 10,371 2,879 0,165 0,006 0,25 0,20 4,514 2,168 0,219 0,033 0,25 0,30 2,949 1,941 0,255 0,085 0,25 0,40 2,239 1,844 0,286 0,167 0,25 0,50 1,835 1,800 0,315 0,284 0,25 0,60 1,574 1,784 0,343 0,439 0,25 0,70 1,392 1,784 0,370 0,636 0,25 0,80 1,257 1,794 0,396 0,878 0,25 0,90 1,154 1,811 0,423 1,169 0,25 1,00 1,072 1,832 0,448 1,512 0,25 1,10 1,005 1,858 0,474 1,911 0,25 1,20 0,950 1,886 0,499 2,368 0,25 1,30 0,904 1,917 0,523 2,887

63 53 Tabla A6 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISTSE. a t m K c T i T d ISTSE 0,25 1,40 0,864 1,949 0,547 3,470 0,25 1,50 0,830 1,983 0,571 4,120 0,25 1,60 0,801 2,019 0,595 4,841 0,25 1,70 0,775 2,055 0,616 5,633 0,25 1,80 0,752 2,093 0,641 6,506 0,25 1,90 0,732 2,131 0,663 7,455 0,25 2,00 0,714 2,170 0,685 8,485 0,50 0,05 43,355 7,235 0,137 0,001 0,50 0,10 15,078 4,564 0,210 0,008 0,50 0,20 5,903 3,146 0,295 0,045 0,50 0,30 3,631 2,661 0,348 0,117 0,50 0,40 2,648 2,426 0,388 0,231 0,50 0,50 2,110 2,296 0,420 0,390 0,50 0,60 1,773 2,221 0,450 0,597 0,50 0,70 1,542 2,178 0,477 0,856 0,50 0,80 1,376 2,155 0,503 1,170 0,50 0,90 1,250 2,146 0,528 1,542 0,50 1,00 1,152 2,147 0,552 1,975 0,50 1,10 1,073 2,156 0,575 2,472 0,50 1,20 1,008 2,170 0,598 3,036 0,50 1,30 0,955 2,189 0,621 3,669 0,50 1,40 0,909 2,211 0,643 4,375 0,50 1,50 0,870 2,237 0,665 5,156 0,50 1,60 0,837 2,264 0,687 6,014 0,50 1,70 0,808 2,294 0,708 6,953 0,50 1,80 0,782 2,326 0,729 7,975 0,50 1,90 0,759 2,359 0,750 9,083 0,50 2,00 0,739 2,394 0,771 10,279 0,75 0,05 59,771 10,224 0,146 0,002 0,75 0,10 19,906 6,249 0,232 0,009 0,75 0,20 7,412 4,145 0,338 0,051 0,75 0,30 4,419 3,414 0,405 0,137 0,75 0,40 3,152 3,050 0,453 0,272 0,75 0,50 2,469 2,839 0,492 0,459 0,75 0,60 2,046 2,707 0,526 0,704

64 54 Tabla A6 (continuación). Parámetros para el controlador PID ideal con la parte derivativa aplicada en la señal realimentada optimizado para el criterio ISTSE. a t m K c T i T d ISTSE 0,75 0,70 1,760 2,623 0,556 1,008 0,75 0,80 1,554 2,568 0,583 1,376 0,75 0,90 1,400 2,534 0,609 1,809 0,75 1,00 1,281 2,515 0,634 2,312 0,75 1,10 1,185 2,506 0,658 2,887 0,75 1,20 1,108 2,506 0,681 3,536 0,75 1,30 1,043 2,512 0,703 4,262 0,75 1,40 0,989 2,524 0,725 5,068 0,75 1,50 0,943 2,540 0,747 5,957 0,75 1,60 0,903 2,559 0,768 6,932 0,75 1,70 0,869 2,582 0,789 7,994 0,75 1,80 0,839 2,607 0,809 9,142 0,75 1,90 0,812 2,634 0,831 10,391 0,75 2,00 0,788 2,663 0,851 11,732 1,00 0,05 76,212 13,202 0,152 0,002 1,00 0,10 24,766 7,931 0,245 0,010 1,00 0,20 8,955 5,149 0,365 0,056 1,00 0,30 5,241 4,180 0,442 0,150 1,00 0,40 3,688 3,690 0,498 0,299 1,00 0,50 2,857 3,400 0,542 0,507 1,00 0,60 2,347 3,215 0,579 0,779 1,00 0,70 2,003 3,091 0,612 1,117 1,00 0,80 1,758 3,006 0,642 1,525 1,00 0,90 1,574 2,948 0,670 2,005 1,00 1,00 1,432 2,909 0,697 2,562 1,00 1,10 1,319 2,884 0,722 3,197 1,00 1,20 1,227 2,870 0,746 3,913 1,00 1,30 1,151 2,864 0,769 4,714 1,00 1,40 1,087 2,865 0,792 5,602 1,00 1,50 1,032 2,872 0,814 6,579 1,00 1,60 0,985 2,883 0,836 7,648 1,00 1,70 0,944 2,898 0,857 8,813 1,00 1,80 0,909 2,916 0,879 10,074 1,00 1,90 0,877 2,937 0,900 11,436 1,00 2,00 0,849 2,960 0,920 12,900

65 55 Apéndice B. Características de la respuesta del sistema de control con controladores PID con la derivada aplicada solo a la señal realimentada. Figura 17. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = 0 Figura 18. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0

66 56 Figura 19. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0 Figura 20. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0 Figura 21. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = 0

67 57 Figura 22. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0 Figura 23. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25 Figura 24. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25

68 58 Figura 25. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25 Figura 26. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25 Figura 27. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25

69 59 Figura 28. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25 Figura 29. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5 Figura 30. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5

70 60 Figura 31. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5 Figura 32. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5 Figura 33. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5

71 61 Figura 34. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5 Figura 35. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75 Figura 36. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75

72 62 Figura 37. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75 Figura 38. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75 Figura 39. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75

73 63 Figura 40. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75 Figura 41. Tiempo al pico en función del tiempo muerto normalizado para a = 1 Figura 42. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 1

74 64 Figura 43. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 1 Figura 44. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 1 Figura 45. Margen de ganancia en función del tiempo muerto normalizado para a = 1

75 Figura 46. Margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 1 65

76 66 Apéndice C. Características de la respuesta del sistema de control con controladores PID con la derivada aplicada al error. Figura 47. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0 Figura 48. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0

77 67 Figura 49. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0 Figura 50. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0 Figura 51. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25

78 68 Figura 52. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25 Figura 53. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25 Figura 54. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,25

79 69 Figura 55. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5 Figura 56. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5 Figura 57. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5

80 70 Figura 58. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,5 Figura 59. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75 Figura 60. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75

81 71 Figura 61. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75 Figura 62. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 0,75

82 72 Figura 63. Tiempo de levantamiento en función del tiempo muerto normalizado para a = 1 Figura 64. Sobrepaso máximo en función del tiempo muerto normalizado para a = 1

83 73 Figura 65. Tiempo de asentamiento al 2% en función del tiempo muerto normalizado para a = 1 Figura 66. Margen de ganancia y margen de fase en función del tiempo muerto normalizado para a = 1