SISTEMAS DINÁMICOS DE SEGUNDO ORDEN SISTEMAS DINÁMICO DE ORDEN SUPERIOR

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA DEPARTAMENTO DE MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN UNIDAD CURRICULAR: DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS TEMA Nº 4 Y 5 SISTEMAS DINÁMICOS DE SEGUNDO ORDEN SISTEMAS DINÁMICO DE ORDEN SUPERIOR PROFESORES ES: Ing. Esp. CARLOS A. PÉREZ M.- Ing. Esp. JOSÉ CUAURO Ing. Esp. Eumar Leal PUNTO FIJO; Junio de 2011

2 TEMA N 4 SISTEMAS DINÁMICOS DE SEGUNDO ORDEN Generalmente un sistema lineal de segundo orden se puede representar por la siguiente ecuación diferencial de segundo orden: a 2 Y (t) + a 1 Y (t) +a o Y(t) = bx(t) Donde: a 2, a 1 y b son ctte, mientras que a 0 es distinto de cero (0). CASO N 1. PROCESO SUBAMORTIGUADO (ζ < 1) Raíces Complejas La respuesta es oscilatoria y, por tanto, se dice que los sistemas de este tipo son subamortiguados. CASO N 2. PROCESO CRITICAMENTE AMORTIGUADO (ζ = 1) Raíces reales e iguales Es la aproximación más rápida al valor final, sin sobrepasarlo, y en consecuencia, no hay oscilación CASO N 3. PROCESO SOBREAMORTIGUADO (ζ > 1) Raíces reales y diferentes La respuesta jamás sobrepasa al valor final y su aproximación es más lenta que en los sistemas críticamente amortiguados.

3 RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN A UN CAMBIO ESCALÓN UNITARIO EN LA FUNCIÓN DE FORZAMIENTO. DEFINICIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA: Las característica de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la respuesta transitoria, la característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a sus parámetros.

4 1. TIEMPO DE RETARDO (Td): Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez. Td= Tr / 2 (seg) 2. TIEMPO DE CRECIMIENTO (Tr): Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% para sistemas críticamente amortiguados y del 10 al 90% para sistemas sobreamortiguados. Tr π β Wd = (seg) β = tg 1 wd σ wd σ = ξ * = wn wn * 1 ξ 2 Donde: Wd = frecuencia natural amortiguada (rad/seg) Wn = frecuencia natural (rad/seg) σ = atenuación 3. TIEMPO PICO(Tp): Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. Tp π Wd = (seg) 4. TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO (Ts): Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido. Generalmente es del 2% al 5%, el rango mas común a nivel industrial es el del 2%. 4 Ts = (2%) (seg) σ 5 Ts = (5%) (seg) σ

5 5. MÁXIMO SOBREIMPULSO (Mp): Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. = e ξ * π 2 1 ξ Mp *100 (%)

6 TEMA N 5 SISTEMAS DINÁMICOS DE ORDEN SUPERIOR Los sistemas dinámicos de orden superior pueden ser: TANQUES EN SERIE SISTEMAS INTERACTIVOS TANQUES EN SERIE SISTEMAS NO INTERACTIVOS SISTEMAS REALIMENTADOS. PROCESO TÉRMICO REACTOR QUÍMICO TANQUES EN SERIE SISTEMAS NO INTERACTIVOS Se conocen como sistemas No Interactivos, porque no hay interacción completa entre las variables; el nivel del primer tanque afecta al segundo, pero este no afecta al primero. EJEMPLO: Un sistema no interactivo es el sistema de tanques que se muestra en la figura; se deben determinar las funciones de transferencia que relacionan el nivel del segundo tanque con el flujo de entrada al primer tanque, qi(t), y el flujo de la bomba, qo(t). En este ejemplo todos los tanques están abiertos a la atmósfera y el proceso es isotérmico. La apertura de las válvulas permanece constante y el flujo de líquido a través de las válvulas se expresa mediante:

7 TANQUES EN SERIE SISTEMAS INTERACTIVOS La interacción entre los tanques se demuestra claramente a partir de la ecuación de flujo de la válvula, q 1 (t), es decir: En esta ecuación se aprecia que el flujo entre los dos tanques depende del nivel en ambos; el uno afecta al otro. Ahora se determinarán las mismas dos funciones de transferencia que en el caso del sistema no interactivo. El flujo a través de la última válvula se expresa mediante la ecuación: PROCESO TÉRMICO: Considérese la unidad que se muestra en la figura, cuyo objetivo es enfriar un fluido caliente que se procesa; el medio de enfriamiento, agua, pasa a través de una camisa. Para este proceso se supone que el agua, en la camisa de enfriamiento, y el fluido, en el tanque, están bien mezclados y que la densidad y capacidad calorífica de ambos no cambia significativamente con la temperatura. Debido a que el fluido procesado sale del tanque por desborde, el nivel y el área de transferencia de calor en el tanque son constantes. Finalmente, se puede suponer también que el tanque está bien aislado. Se deben determinar las funciones de transferencia que relacionan la temperatura de salida del fluido que se procesa con la temperatura de entrada del agua de enfriamiento T ci (t), la tasa de

8 flujo del agua de enfriamiento, q c (t) y la temperatura de entrada del fluido que se procesa. NOTA: TODOS LOS PROCESOS ACA ENUNCIADOS Y EL DE SISTEMAS REALIMENTADOS Y REACTOR QUÍMICO SERÁN REALIZADOS EN LA CLASE RESPECTIVA.