PROBLEMAS PROPUESTOS DE ESTÁTICA Y ELASTICIDAD

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1 PROBLEMAS PROPUESTOS DE ESTÁTICA Y ELASTICIDAD 1. Con la finalidad de sacar un automóvil del lodo en el que se atascó, el conductor estira una soga desde el extremo frontal del automóvil hasta un árbol resistente. Luego empuja hacia los lados contra la soga en el punto medio. Cuando el conductor empuja con una fuerza de 900 N, el ángulo entre las dos mitades de la soga a su derecha e izquierda es de 170º. Cuál es la tensión en la soga bajo estas condiciones? Solución: N. 2. El mástil de un bote de vela se sostiene mediante dos cables de acero unidos como se muestra en la figura. El cable frontal tiene una tensión de N. El mástil mide 10 m de alto. Cuál es la tensión en el bote de vela? Qué fuerza ejerce el pie del mástil sobre el bote de vela? Suponga que el peso del mástil puede despreciarse y que el pie del mástil está articulado (y por tanto no ejerce momento). Solución: N, N. 3. Suponga que usted levanta la tapa de un cofre. La tapa es una hoja uniforme de 12 kg de masa, articulada en la parte posterior. Cuál es la fuerza menor que puede aplicar en el frente de la tapa para mantenerla a un ángulo de 30 con la horizontal y cuál para mantenerla a 60? Solución: 51 N, 29 N. 4. La figura muestra la distribución de ruedas en una locomotora de pasajeros del Caledonian Railway. Los números dan las distancias entre las ruedas, en pies, y las fuerzas descendentes que cada rueda ejerce sobre la vía en toneladas cortas (1 tonelada corta = lbf; los números para las fuerzas incluyen las ruedas derecha e izquierda). A partir de la información dada, encuentre a qué distancia de la rueda frontal se encuentra el centro de masa de la máquina. Solución: 7,65 m.

2 5. Una muleta presiona contra la acera con una fuerza F m a lo largo de su propia dirección, como indica la figura. Esta fuerza está equilibrada por una fuerza normal F n y una fuerza de rozamiento f e. (a) Demostrar que cuando la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo, el coeficiente de rozamiento depende del ángulo θ según la relación μ e = tg θ. (b) Explicar cómo se aplica este resultado a las fuerzas que actúan sobre el pie cuando no se utiliza la muleta. (c) Por qué conviene dar pasos cortos al andar sobre superficies deslizantes? Solución: (b) Utilizar muletas largas requiere un mayor coeficiente de rozamiento estático, pues θ es mayor en estos casos; (c) Si μ e es pequeño, es decir, hay hielo en la superficie, θ debe ser pequeño para evitar el deslizamiento. 6. Una tabla horizontal destinada a determinar centros de gravedad está apoyada sobre un punto en un extremo y en una balanza en el otro. Un estudiante yace horizontalmente sobre la tabla con la cabeza sobre el fulcro, como indica la figura. La balanza está a dos metros del punto de apoyo. El estudiante tiene una masa de 70 kg y cuando está sobre la tabla, la balanza marca 250 N (la masa de la tabla es despreciable). Dónde está localizado el centro de gravedad del estudiante respecto a sus pies? Solución: 0,728 m. 7. Un cilindro de masa M y radio R rueda contra un escalón de altura h, como indica la figura. Cuando una fuerza F se aplica a la parte alta del cilindro, éste permanece en reposo. (a) Cuál es la fuerza normal ejercida por el suelo sobre el cilindro? (b) Y la fuerza horizontal ejercida por el borde del escalón sobre el cilindro? (c) Cuál es la componente vertical de la fuerza ejercida por el borde del escalón sobre el cilindro? Solución: (a) FF nn = MMMM FF (2RR h)/h; (b) F; (c) FF (2RR h)/h

3 8. La figura muestra una mano sosteniendo un florete, un arma usada en el deporte de la esgrima. El centro de masas del florete está a 24 cm del extremo de la empuñadura. El florete tiene 0,700 kg de masa y 110 cm de longitud. (a) Aplicar una de las condiciones para la existencia de equilibrio estático para determinar la fuerza (total) ejercida por la mano sobre el florete. (b) Aplicar la otra condición de equilibrio estático para determinar el momento ejercido por la mano sobre el florete. (c) La mano ejerce una fuerza que se aplica a lo largo de todo el florete. Representar las fuerzas ejercidas por la mano como dos fuerzas en direcciones opuestas cuyas líneas de acción están separadas por la anchura de la mano del luchador (unos 10 cm). Cuáles son los módulos y las direcciones de estas dos fuerzas? Solución: (a) 6,9 N; (b) 1,7 N; (c) 8,3 N, 15,2 N. 9. Tal como se muestra en la figura, una barca en un río caudaloso, que fluye rápidamente hacia la derecha, está amarrada al extremo de un muelle mediante una cadena de 5 m de longitud. Para dotar a la cadena de una cierta flexibilidad frente a las variaciones del régimen de flujo del río, se ata un peso de 100 N al centro de la misma. Si la fuerza de resistencia sobre el bote es de 50 N, (a) cuál es la tensión de la cadena? (b) A qué distancia del muelle estará la barca? (c) Si la tensión máxima que soporta la cadena es de 500 N, cuál es el valor mínimo de la fuerza que el río puede ejercer sobre la barca para que rompa la cadena? Solución: (a) 71 N; (b) 3,5 m; (c) 0,50 kn. 10. Una escalera de masa despreciable y longitud L se apoya contra una pared pulida formando un ángulo θ con el suelo horizontal. El coeficiente de rozamiento entre la escalera y el suelo es μ e. Un hombre de masa M sube por la escalera. Qué altura h puede ascender antes de que la escalera se deslice? Solución: h = μ e L tg θ sen θ. 11. Una escalera uniforme se apoya contra una pared vertical sin rozamiento. El coeficiente de rozamiento estático entre la escalera y el suelo es 0,3. Cuál es el menor ángulo para el cual la escalera permanece fija sin deslizarse? Solución: 59.

4 12. La figura muestra un móvil formado por cuatro objetos que cuelgan de tres barras de masa despreciable. Determinar el valor de las masas de cada uno de los objetos cuando el móvil está en equilibrio. Sugerencia: hallar primero la masa de m 1. Solución: m 1 = 0,15 kg; m 2 = 0,71 kg; m 3 = 0,36 kg. 13. Una placa que tiene la forma de un triángulo equilátero de masa M se suspende de un vértice. Otra masa m se suspende de otro de los vértices del triángulo. Cuál debe ser la relación m/m para que la base del triángulo forme un ángulo de 6,0 con la horizontal? Solución: 0, Un cubo de masa M se apoya contra una pared sin rozamiento formando un ángulo θ con el suelo, como indica la figura. Determinar el coeficiente mínimo de rozamiento estático μ e entre el cubo y el suelo que permite que el cubo permanezca en reposo. Solución: (1/2) (cot θ + 1). 15. Una escalera de 20 kg está apoyada contra una pared sin rozamiento y descansa sobre una superficie horizontal también sin rozamiento. Para evitar que la escalera se deslice, la parte inferior de la escalera se ata a la pared con un alambre delgado; la tensión del alambre es de 29,4 N. El alambre se romperá si la tensión supera los 200 N. (a) Si una persona de 80 kg asciende hasta la mitad de la escalera, qué fuerza ejercerá ésta sobre la pared? (b) Hasta qué altura puede ascender una persona de 80 kg con esta escalera? Solución: (a) 0,15 kn; (b) 3,8 m.

5 16. Dos esferas sólidas pulidas (sin rozamiento) de radio r se sitúan dentro de un cilindro de radio R. La masa de cada esfera es m. Determinar la fuerza ejercida por el fondo del cilindro sobre la esfera inferior, la fuerza ejercida por la pared del cilindro sobre cada una de las esferas y la fuerza ejercida por una esfera sobre la otra. Expresar todas las fuerzas en función de m, R y r. Solución: FF nn = 2mmmm; FF = mmmm ; FF RR(2rr RR) ww = mmmm rr RR rr RR(2rr RR) 17. La figura muestra una carga que cuelga de la pluma de carga de un barco. Si la pluma está inclinada 30 respecto de la vertical y la carga tiene una masa de kg, Cuál es la fuerza de compresión de la pluma? La masa de la pluma no se considera. Solución: 1,23x10 4 N; 2,13x10 4 N. 18. Un montasacos de cable consiste en un polipasto de cuatro poleas ensambladas en dos pares con tirantes rígidos, con una soga enrollada alrededor, como se muestra en la figura. Una carga de 300 kg cuelga del par inferior de poleas. Qué tensión debe aplicar a la soga para sostener la carga estacionaria? Trate las poleas y la soga como sin masa e ignore cualquier fricción en las poleas. Solución: 736 N. T

6 19. La figura muestra un cortatornillos compuesto. Si las dimensiones son las indicadas en esta figura, cuál es la ventaja mecánica? Solución: 8, Un alambre de cobre de 10 m de largo y 1,0 mm de radio se estira al mantener un extremo fijo y tirar del otro extremo con una fuerza de 150 N. Cuál es el cambio de longitud? Al aumentar de forma breve la fuerza para superar el límite de comportamiento elástico (una elongación fraccional de aproximadamente el 1,0%), el alambre puede quedar deformado de manera permanente. Con frecuencia, esto se hace con la finalidad de enderezar los pliegues o rizos en un alambre. Qué fuerza se necesita para ello?. Dato: Y cobre = N/m 2. Solución: m; 3, N. 21. Dos masas, M 1 y M 2 están sujetas a sendos cables que tienen igual longitud cuando no soportan ninguna carga. El alambre que soporta a M 1 es de aluminio de 0,7 mm de diámetro y el que soporta a M 2 es de acero de 0,5 mm de diámetro. Cuál es la relación M 1 /M 2 si los dos cables se alargan por igual? Y aluminio = N/m 2 Y acero = N/m 2. Solución: 0, Hay que construir un cable de un ascensor a partir de un nuevo material compuesto desarrollado por los Laboratorios Acme. En el laboratorio, una muestra del cable de 2 m de longitud y de 0,2 mm 2 de área transversal se rompe cuando se la somete a una tensión de N. El cable del ascensor tendrá una longitud de 20 m y un área transversal de 1,2 mm 2 y deberá aguantar una carga de N. Aguantará? Solución: No. 23. En un rascacielos, un elevador está suspendido de tres cables de acero iguales paralelos de 300 m de largo, cada uno de 1,0 cm de diámetro. Cuánto se estiran estos cables si la masa del elevador es de kg? Solución: 0,057 m. 24. Si el volumen de una esfera sujeta a una presión externa se reduce 0,10%, cuál es la disminución porcentual del radio? Demuestre que, en general, la reducción porcentual del volumen es igual a tres veces la disminución porcentual del radio siempre que éstas sean pequeñas. Solución: 0,033%. 25. Una losa de piedra, de kg de masa, se une a la pared de edificio mediante dos tornillos de hierro de 1,5 cm de diámetro. La distancia entre la pared y la losa de piedra es de 1,0 cm. Calcule cuánto se pandean hacia abajo los tornillos debido al esfuerzo de corte al que están sujetos. Solución: 4, m.

7 26. Una soga de nailon, de 1,3 cm de diámetro, se empalmará a una soga de acero. Si la soga de acero debe tener la misma resistencia a la rotura que el nailon, qué diámetro tendrá? La resistencia a la rotura para el acero es de 2, N/m 2 y para el nailon es de 3, N/m 2. Solución: 0,52 cm. 27. Cuando una barra de acero se calienta, su longitud se expande 0,0012% por cada grado Celsius de aumento de la temperatura. Si la longitud de la barra calentada debe reducirse a su valor original, se debe aplicar un esfuerzo de compresión, que se denomina esfuerzo térmico. Cuál es su valor para una barra cilíndrica de acero fundido de 4,0 cm 2 de sección transversal calentada a 150 C? Solución: 3, N/m Un alambre se estira cuando se sujeta a una tensión. Esto significa que el alambre puede considerarse como un resorte. Si un alambre de acero de 2,0 m de longitud y 0,50 mm de radio debe tener la misma constante de resorte que un alambre de acero de 4,0 m de longitud, cuál debe ser el radio del segundo alambre? Solución: 0,71 mm. 29. Se suelta en el océano una esfera de aluminio, de 10 cm de radio, y se hunde a una profundidad de m, donde la presión es de 5, N/m 2. Calcule cuánto se encogerá el diámetro de esta esfera? Solución: 0,027%.