Tema V. El Mecanismo de los terremotos.

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1 Tema V. El Mecanismo de los terremotos. I. Introducción. II. Tensor momento sísmico y parámetros de la fractura. III. Modelos cinemáticos. Doble par de fuerzas. Patrones de radiación de las ondas P y S. IV. Fuentes extensivas: Modelos de Brune y Haskell. V. Modelos dinámicos: Modelos de asperezas y de barreras. VI. Métodos de determinación de mecanismos focales.

2 TEMA 5 EL MECANISMO DE LOS TERREMOTOS 5.1 INTRODUCCIÓN Mallet Foco puntual del cual se propagan ondas sísmicas (terremoto de Napoles de 1857) Oldham Terremoto de Assan (India) en 1857 Ambos establecen la relación entre terremotos y fracturas corticales Reid (1911). Teoría del Rebote Elástico

3 5.1 INTRODUCCIÓN Parámetros de la falla Línea AA : Traza de la Falla AA BB : Plano de Falla L: Longitud de la Falla u: Deslizamiento o dislocación (slip) φ: Azimut de la traza (strike) δ: Buzamiento del plano (dip) λ: Angulo de deslizamiento (slip angle)

4 5.2 MODELOS CINEMÁTICOS: DOBLE PAR DE FUERZAS Estudio del mecanismo Aproximación de foco puntual plano de fractura = dislocación infinitesimal (solo se considera el campo lejano) Esto es válido para observaciones de onda cuya longitud de onda y distancias sean >> que las dimensiones del foco. 1º: Cálculo del campo de desplazamientos elásticos u i (x j, t) en un medio infinito y homogéneo, producido por una fuerza unitaria impulsiva f i = δ(x i ) δ(t) δ in, actuando en el origen de coordenadas en la dirección de n. Solución: Función de Green para un medio de estas características (Tensor de segundo que depende de la dirección de la fuerza)

5 5.2 MODELOS CINEMÁTICOS: DOBLE PAR DE FUERZAS Si la fuerza está en la dirección n u i (x j, t) = G in (x j, t). Para una fuente sísmica puntual, M ij, el campo de desplazamiento viene dado por la convolución de éste con la derivada de la función de Green: Gki ( xn, t ) uk ( xn, t) = Mij ( xn, τ) τ dτ x j Para una fractura de cizalla sobre un plano S de normal n i y desplazamiento u en la dirección de l i, el tensor M ij vale: M = M ( l n + l n ) ij o i j j i Para una fuente puntual, los desplazamientos son equivalentes a los producidos por dos pares de fuerzas en las direcciones de n i y l i, sin momento resultante. El sistema es también equivalente a fuerzas de presión P y tensión T, en el plano que contiene a n i y l i y a 45º de estas direcciones.

6 5.2 MODELOS CINEMÁTICOS: DOBLE PAR DE FUERZAS Fractura de Cizalla Fractura en el plano (x 1,x 3 ) Desplazamientos en x 1, n i es (0,1,0) y l i (1,0,0). Fuerzas equivalentes; doble par de fuerzas sin momento resultante. 2 pares de Fuerzas en x 1 y x 2 1 par de presión y 1 par de tensión a 45º de x 1 y x 2

7 5.2 MODELOS CINEMÁTICOS: DOBLE PAR DE FUERZAS En el plano (x 1, x 3 ), tomando coordenadas polares, los desplazamientos de la onda P, en un punto P(r,θ), tienen sólo componente radial y los de la S sólo transversal: M α o u r sen r = 2θ 4 3 u β θ πρα M o = 4 3 cos2θ πρβ r Representando estos valores normalizados en función de θ Patrones de radiación de las ondas P y S

8 5.2 MODELOS CINEMÁTICOS: DOBLE PAR DE FUERZAS 4 Cuadrantes alternantes en dirección (dilataciones y compresiones). Máxima amplitud para: θ = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4. En cada cuadrante, la dirección de la onda S cambia de sentido y converge hacia el eje de tensión. Máxima amplitud para: θ = 0, π/2, π, 3π/2.

9 5.3 TENSOR MOMENTO SÍSMICO. Introducido por F.Gilbert (1970), G. Backus y M. Mulcany (1976). Sea un volumen de material litosférico V, sujeto a esfuerzos τ ij I En t =0, se produce dentro del volumen V una fractura de área S y desplazamiento relativo u (x i, t). Después de la fractura τ ij II Caída de esfuerzos: T ij = τ ij I -τ ij II

10 5.3 TENSOR MOMENTO SÍSMICO. El tensor momento sísmico se denomina M ij El tensor momento sísmico por unidad de volumen se denomina tensor densidad de momento m ij y representa el esfuerzo inelástico, relacionado con las deformaciones inelásticas: Luego Mij viene dado por: M ij m = C e T ij ijkl kl = m dv Vo: volumen región focal Vo ij Es un tensor simétrico de 6 componentes distintos y puede representar con gran generalidad los procesos del foco de un terremoto.

11 5.3 TENSOR MOMENTO SÍSMICO. Los vectores propios del tensor ν 1, ν 2, ν 3, son ortogonales y representan la dirección de los ejes principales de los esfuerzos. Los valores propios σ 1, σ 2, σ 3, son la magnitud de los esfuerzos principales, expresados de forma que σ 1 >σ 2 > σ 3. σ 1 corresponde a las presiones. σ 2 corresponde a las tensiones. Para una explosión σ 1 = σ 2 = σ 3, y cualquier dirección corresponde con los esfuerzos principales.

12 5.3 TENSOR MOMENTO SÍSMICO. Fractura de cizalla en el interior de un medio elástico Mij = µ u( lin j + l jni ) ds S n i : normal al plano de fractura l i : dirección en la que se produce el desplazamiento o dislocación. Si u, li y ni son constantes en toda la fractura S Mij = M o ( lin j + l jni ) con Mo = µ u S 1 σ = σ I - σ II σ = σ + σ 2 ( I II ) E E = ησ S u ησ = µ M S o

13 5.4 FUENTES EXTENSAS Una representación completa de la fuente sísmica debe incluir sus dimensiones y considerar sus efectos en la radiación de ondas. Modelos de fuentes extensas:.- Ben Menahem (1961,1962): FE como distribuciones de pares de fuerzas que se propagan con una velocidad dada sobre una superficie de área finita..- Berckhemer (1962): Efecto de una fractura circular de radio finito que se propaga desde su centro..- Burridge yknopoff (1964): Dislocaciones de cizalla que se propagan sobre un área dada..- Haskell (1964, 1966): Modelo rectangular de fractura.- Savage (1966): Falla elíptica..- Brune (1970): Modelo con esfuerzos de cizalla aplicados a una falla circular..- Hartzell (1989): Fractura de cizalla que se propaga sobre fallas finitas.

14 5.4 FUENTES EXTENSAS Modelo cinemático de fuentes extensas representado por una superficie sobre la cual se propaga una dislocación de cizalla u (ξ i ) con velocidad constante v en una dirección, desde el origen (ξ i =0) hasta un punto final a una distancia L. La velocidad de fractura se supone constante y tal que v < β< α (v = 0.7 β) P u ( x, t) i j µ R( nk, lk, γ k ) = u& 3 ξi, t 4πα ρ r r ds α con r = x i - ξ i distancia del punto de observación x a un punto de la fuente ξ i donde el deslizamiento u está localizado para cada momento y R es el patrón de radiación que depende de la orientación de la fuente (l, n) y la posición del punto de observación (γ i ).

15 5.4 FUENTES EXTENSAS Si estamos interesados en la forma de onda como función del tiempo para una distancia r o desde el origen de ξ i r u( t) = u& i, t ds ξ α Desarrollando r en serie de Taylor y despreciando los términos superiores al primer orden (desplazamientos de longitud de onda λ, tal que, λ r o >> L 2 ) ro i i u( t) = u& i, t ds ξ ξ γ α iω ro / α iωγ iξi / α U ( ω) = e iω U( ω, ξi ) e ds Σ iω ro / α iωγ iξi / α U ( ω) = e u( ξi ) e ds Σ U ( 0) µ u( ξ ) ds µ us M Σ i o T. Fourier U(ω) Asumiendo: u(t,ξ i ) = u (ξ i ) H(t) Cte para un rango de ω y comienza a decrecer a partir de una ω dada. Para bajas frecuencias, las amplitudes espectrales son proporcionales a Mo

16 5.4 FUENTES EXTENSAS Modelo de Haskell Modelo cinemático de dimensiones finitas representado por una falla rectangular de longitud L y ancho W, tal que el deslizamiento u se propaga únicamente a lo largo de la dirección L con una velocidad constante v. Las fractura que se propagan en un solo sentido (de 0 a L) se llaman unilaterales y las que lo hacen en ambos sentidos (de 0 a L/2 y 0 a L/2) se llaman bilaterales. La expresión para la transformada de los desplazamientos elásticos de las ondas P es para fracturas unilaterales: X ro U ( xi, ) WL U ( ) sin ω π ω = ω ω exp i X X α 2 con X = bl = ω L α v cosθ 2 2α

17 5.4 FUENTES EXTENSAS Modelo de Haskell Parte Plana Línea recta pendiente -2 Espectro de amplitudes de ondas sísmicas para una falla extensa con dimensiones finitas y tiempo de subida. Si θ=π/2 y ω c corresponde a X= π/2 ω c =2v/L, es decir la frecuencia esquina es proporcional a la inversa de la longitud de la fuente. De la ecuación de los desplazamientos se deduce que si λ >>L X 0 y sinx/x =1 para todo θ, luego las amplitudes no son afectadas y el patrón de radiación es de fuente puntual. Si λ L las amplitudes se ven afectadas de forma que son mayores en la dirección de propagación de la fractura y menores en la dirección opuesta.

18 5.4 FUENTES EXTENSAS Modelo de Haskell Si la fractura es bilateral con velocidad de ruptura v=0.9 β y U ( ω) = u ( 1 + iωτ ) iω el modelo de Haskell tiene dos frecuencias esquina y se puede definir una tercera como la intersección de la parte plana y del decaimiento. Para ondas P: ω 1 =α/2l ω 2 =2.4α/W ω 32 =2.9 α 2 /LW Para ondas S: ω 1 =3.6β/L ω 2 =4.1β /W ω 32 =14.8 α β 2 /LW Las frecuencias esquinas observadas corresponden a ω 3 normalmente y las dimensiones de la fuentes son: (LW)1/2 =1.7α/ω cp =3.8 β / ω c S

19 5.4 FUENTES EXTENSAS Modelo de Brune Plano de falla circular de radio finito sobre el cual se aplica instantáneamente un pulso de esfuerzo de cizalla. No se trata de un modelo cinemático exactamente porque especifica el esfuerzo sobre la falla. No hay propagación de fractura porque el esfuerzo se aplica instantáneamente sobre todo el área de la falla. El pulso de cizalla genera una onda de cizalla que se propaga perpendicularmente al plano de falla. x σ( x, t) = σ H t Pulso de esfuerzos β El desplazamiento de cizalla para x=0, teniendo en cuenta que σ= µ u/ x es: σ u( t) = H( t) t µ β Y su T.de F. es: σβ U( ω) = 2 µω

20 5.4 FUENTES EXTENSAS Modelo de Brune Para caída total de esfuerzos, el desplazamiento de las ondas S en el campo lejano para una distancia r, sin incluir el patrón de radiación y la dependencia con la distancia es: σβ r r u( t) = t exp b t µ β β Su espectro es: σβ β U ( ω) = 2 2 con b = µ ω + b a El espectro tiene una parte plana para bajas frecuencias y decrece inversamente proporcional al cuadrado de la frecuencia para altas frecuencias a partir de la frecuencias esquina = b. Si la caída de esfuerzos no es total y para ε 0.01, el espectro decrece con la inversa de la frecuencia. El radio de la falla se deduce de: a = 2.33 β / ω c

21 5.4 FUENTES EXTENSAS Modelo de Brune El modelo de Brune se usa normalmente para obtener las dimensiones de la falla a partir del espectro de las ondas S de terremotos de tamaño moderado a pequeño ( M <6), para los cuales una falla circular es una buena aproximación. Los terremotos de mayor tamaño tienen mayores dimensiones y puesto que sus anchuras están limitada a 20 km aprox., sus longitudes deben ser mayores que sus anchuras (L > W). En estos casos el modelo rectangular de Haskell da una aproximación mejor.

22 5.4 FUENTES EXTENSAS: MODELOS DINÁMICOS Los modelos dinámicos más sencillos son fracturas homogéneas en las que el desplazamiento comienza en un punto interior y se detiene en los bordes, siendo producido éste por una caída de esfuerzos dada que supera la resistencia del material. Un modelo dinámico debe incluir todo el fenómeno, es decir, su iniciación o nucleación, su propagación y su detención, solamente en función de las condiciones de los esfuerzos y las propiedades mecánicas del material. Desde el pto de vista dinámico una fractura se produce por una caída en los esfuerzos y la energía producida es suma de la energía sísmica debida al deslizamiento sobre la falla y la energía residual perdida por fricción: 1 σ σ E = us + f us 2

23 5.4 FUENTES EXTENSAS: MODELOS DINÁMICOS El problema estático Problema estático de una fractura libre de esfuerzos. Para una falla circular de radio a, el esfuerzo de cizalla antes del fracturamiento es σo y después, dentro de la falla (ρ < a) es cero. Teniendo en cuenta las condiciones de desplazamiento y esfuerzo dentro y fuera de la falla, la solución para el desplazamiento dentro de la falla es: σ o 2 2 1/ 2 u( ρ) = ( a ρ ) ; ρ < a µ De ella se deriva el esfuerzo fuera de la falla (σ(ρ) = µ u/ ρ ) σ( ρ) = σ ρ o 2 2 1/ 2 ( ρ a ) ; ρ > Estas ecuaciones describen la distribución estática de deslizamiento dentro de la falla y fuera de ella. a

24 5.4 FUENTES EXTENSAS: MODELOS DINÁMICOS El problema estático Modelo estático de fractura con caída total de esfuerzos.: a) Desplazamiento y b) Esfuerzos.

25 5.4 FUENTES EXTENSAS: MODELOS DINÁMICOS El problema dinámico Requiere la solución del problema de la fractura como una función temporal. El frente de la fractura se propaga con una velocidad dada, y conforme avanza, el material se fractura. Tras el frente, los esfuerzos se hacen cero para una caída total en el esfuerzo o tienen un valor residual que depende de la fricción. Sea un frente de ruptura plano ilimitado en la dirección x 2 que avanza en la dirección x 1 con una velocidad constante v. La relación entre la dirección del desplazamiento en el plano de fractura y su dirección de propagación define tres modos de fractura.

26 5.4 FUENTES EXTENSAS: MODELOS DINÁMICOS El problema dinámico Modo I. Fractura Tensional: Poca aplicación porque se suponen debidos a fracturas de cizalla. Modo II. Fractura de cizalla en el plano: Se observan ondas P y SV. Modo III. Fractura de cizalla antiplano: Se observan sólo ondas SH.

27 5.4 FUENTES EXTENSAS: MODELOS DINÁMICOS El problema dinámico La situación en el frente de ruptura (x =l(t)) para una fractura dinámica: a) Desplazamiento; b) Velocidad del desplazamiento; c) Esfuerzo.

28 5.4 FUENTES EXTENSAS: MODELOS DINÁMICOS En la realidad las fractura no son homogéneas sino que el proceso de ruptura es heterogéneo y complejo.para explicar la complejidad hay dos modelos: Barreras y Asperezas. Das y Aki (1977): La ruptura tiene lugar bajo condiciones uniformes de esfuerzos, pero en la superficie de la falla se dan regiones de distinta resistencia. Las de mayor resistencia forman barreras que impiden la propagación de la fractura. Entonces si son débiles pueden romperse o permanecer intactas si son fuertes y continuar la ruptura detrás de ellas. Terremoto grande está formado por series de rupturas separados por barreras que no se rompen o se rompen luego provocando réplicas.

29 5.4 FUENTES EXTENSAS: MODELOS DINÁMICOS Kanamori y Stewart (1978). Parte de una distribución heterogénea de esfuerzos sobre la superficie de una falla. Las zonas de esfuerzos altos forman las asperezas. Las zonas de esfuerzos bajos se van rompiendo dando lugar a pequeños terremotos y van concentrando los esfuerzos en las asperezas que al romperse dan lugar a terremotos grandes. Los terremotos grandes se deben a la ruptura de varias asperezas, lo que explica su complejidad. Al final los esfuerzos residuales sobre la falla son homogéneos y se explican los premonitorios y las réplicas.

30 5.4 FUENTES EXTENSAS: METODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL MECANISMO Orientación del mecanismo de un terremoto = Orientación del plano de falla. Necesito datos de observación del sentido del primer impulso de la onda P (distribución de los desplazamiento en 4 cuadrantes de sentido alternante y con los dos planos nodales ortogonales coincidiendo con los dos posibles planos de falla). Método de Byerly (1926): Observar en muchos puntos de la superficie terrestre la dirección del primer impulso de la onda P (compresión o dilatación).

31 5.4 FUENTES EXTENSAS: METODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL MECANISMO Esfera focal (Honda, Koning y Ritsema hacia 1940): - Los ptos de observación se proyectan sobre la superficie de una esfera focal de radio unidad con centro en el foco. - Los ptos proyectados sobre la esfera tienen coordenadas φ, acimut medido desde el Norte, e i, ángulo de salida del rayo medido desde la vertical.

32 5.4 FUENTES EXTENSAS: METODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL MECANISMO Los valores de i dependen de la distancia epicentral, de la profundidad del foco y de la distribución de velocidad. Para distancias grandes ( > 10º), la curva (, i) se puede deducir fácilmente de la curva domocrónica (t, ) de acuerdo con la expresión: vf dt seni = r d F con v F y v F velocidad y radio terrestre correspondiente al foco. Para distancias cortas, el valor de i depende de la estructura de la corteza en cada región y la profundidad del foco

33 5.4 FUENTES EXTENSAS: METODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL MECANISMO Una vez determinados los valores de (φ, i) para cada observación, estos se sitúan sobre la proyección de la esfera focal. Las más usadas son las esterográficas como la de Wulff y la de Schmidt o de igual área. En ellas el acimut se conserva y el ángulo i se representa por la distancia b desde el centro de la proyección. b = tg i/2 :: Wulff b = sen i/2 :: Schmidt

34 5.4 FUENTES EXTENSAS: METODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL MECANISMO Una vez situadas todas las observaciones sobre la proyección, se separan las regiones de compresiones y dilataciones en cuatro cuadrantes por dos planos ortogonales A y B. Para conseguir la ortogonalidad hacer pasar el segundo plano por el polo del primero (X es el polo del plano A)..- Orientación de los planos(φ,δ,λ).- Los polos o planos normales forman los ejes X (normal a A) e Y (normal a B)..- Si A es el plano de falla, X es su normal e Y la dirección del desplazamiento..- Ejes T (compresión) y P (dilat.) a 45º de los planos y eje Z intersección de los planos..- Orientación del mecanismo: P,T,Z (esfuerzos principales) o X,Y,Z (pares de fuerzas) o la orientación de Ay B (planos nodales).

35 5.5 FUENTES EXTENSAS: METODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL MECANISMO Pasos a seguir: a) Observación de las direcciones (Comp. o Dilat.) del primer impulso de la P en muchas estaciones alrededor del epicentro. b) Cálculo de la distancia y acimut α del epicentro a cada estación, y pasar de la distancia al ángulo i de salida del rayo en el foco. c) Situar las compresiones y dilataciones para cada punto (α,i) sobre la proyección estereográfica de la esfera focal. Generalmente sobre el hemisferio inferior. d) Separar las compresiones y dilataciones por dos planos ortogonales, y determinar los ángulos (φ,δ,λ) de cada plano y los Φ y Θ de los ejes XYZ y PTZ.

36 5.4 FUENTES EXTENSAS: METODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL MECANISMO Solución del mecanismo focal del terremoto de Alhucemas, Norte de Africa del 26 de mayo de 1994 (círculos negros: compresiones; triángulos blancos: dilataciones).

37 5.4 FUENTES EXTENSAS: METODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL MECANISMO