Se consideran varios movimientos de sistemas indeformables

Transcripción

1 PROBLEMA Se consideran varios movimientos de sistemas indeformables (R 3 S / R (1) 3 S 1 ) Son movimientos sencillos por ser habituales y se visualizan a través de su materialización por representaciones de dispositivos o de mecanismos. Los movimientos considerados se denominan: 1) Movimiento de rotación con eje fijo. 2) Movimiento helicoidal o roto-traslacional. 3) Movimiento plano. 4) Movimiento plano de rodadura sin deslizamiento. 5) Movimiento de traslación rectilínea. 6) Movimiento de traslación circular. 7) Movimiento de rotación con punto fijo. Estando determinado el estado cinemático del movimiento de un sistema indeformable a través del conocimiento temporal de la velocidad de uno de sus puntos y del vector rotación. Para cada uno de ellos se pide (a) Modelización matemática posible. (b) Invariantes cinemáticos : (ω, v d ) (c) e.i.r(t) 1

2 RESOLUCIÓN 1) Movimiento de rotación con eje fijo FIGURA a) b) S/S 1 O S/v o = 0, t i = cos ϕi 1 + sen ϕj 1 j = sen ϕi 1 + cos ϕj 1 ϕ = ϕ(t) k = k 1 ω = (ω, v d ) v d = v o ( ) ( dj dk dt k i + ω ω ) dt i ( ) di j + dt j k = ϕk ω = ϕk = ϕk 1, v d = 0 c) e.i.r Eje fijo; P e.i.r : v P = v d = 0 2

3 2) Movimiento helicoidal o roto-traslacional FIGURA a) S/S 1 O S/v o = vk 1, v = v(t) i = cos ϕi 1 + sen ϕj 1 j = sen ϕi 1 + cos ϕj 1 ϕ = ϕ(t) k = k 1 b) ( ) ( ) ( ) dj dk di dt k i + dt i j + dt j k = ϕk (ω, v d ) tan α p 2πR = z Rϕ ϕ = 2π p z; ϕ = 2π p ż ω = 2π p v ω v d = v o ω = v c) ω = k = 2π p vk 1; v d = v e.i.r(t) Eje tornillo (eje móvil) ; P e.i.r(t) : v p = v d = vk 1 3

4 3) Movimiento plano FIGURA a) b) S/S 1 O S/v o = v 1 (t)i 1 + v 2 (t)j 1 i = cos ϕi 1 + sen ϕj 1 j = sen ϕi 1 + cos ϕj 1 ϕ = ϕ(t) k = k 1 ω = (ω, v d ) v d = v o ( ) ( dj dk dt k i + ω ω ) dt i ( ) di j + dt j k = ϕk ω = ϕk = ϕk 1, v d = 0 c) H e.i.r / OH ω = O OH = ω v o norω H π S π(t) = π 1 e.i.r Eje [ π(t) = π 1 ] pasando por el punto H(t) P e.i.r(t) : v p = v d = 0, t 4

5 4) Movimiento plano de rodadura sin delizamiento FIGURA a) S/S 1 O S/r o = x 1 i 1 + Rj 1 ; v o = ẋi 1 = v(t)i 1 i = cos ϕi 1 + sen ϕj 1 j = sen ϕi 1 + cos ϕj 1 ϕ = ϕ(t) k = k 1 t : I(t) S δ 1 (y 1 = 0)/v I = 0 b) ( ) ( ) ( ) dj dk di ω = (ω, v d ) dt k i + dt i j + dt j k = ϕk ω v d = v o ω a)vi = v f(v, ϕ) = 0 o + ω OI ; 0 = vi + ϕk ( Rj) ; 0 = v + R ϕ b)v o = v I + ω IO ; vi = 0 + ϕk Rj ; v = R ϕ f(v, ϕ) = 0 = ϕ = v R ω = ϕk = v R k 1, v d = 0 c) H e.i.r / OH ω = 0 OH = ω v o norω ϕk vi = ϕ 2 = v ϕ j = Rj H I e.i.r Eje [ π(t) = π 1 ] pasando por el punto I(t) P e.i.r(t) : v p = v d = 0, t 5

6 5) Movimiento de traslación rectilínea FIGURA a) S/S 1 O S/r o = x 1 i 1, v o = ẋi 1 = v o (t)i 1 I(t) S / v I/S2 (t) = 0 Λ r I (t) = Rj i = i 1 j = j 1 k = k 1 S 2 /S 1 : Movimiento de rotación con eje fijo [Ω = Ω(t)k 1 ] t : I(t) S δ 1 (y 1 = 0)/v I = 0 v I/S1 = V I/S2 + v I,S2/S 1 = 0 + Ω OI = Ωk 1 ( Rj 1 ) = ΩRi 1 vi 1 b) ( ) ( ) ( ) dj dk di ω = dt k i + dt i j + dt j k = 0 (ω, v d ) ω = 0, t = Movimiento de traslación ω = 0 = v d v p = v(t), P S v p = v I + ω IP = v I = vi 1 v o (t)i 1 v p = v o (t)i 1, P S = Movimiento de traslación rectilíneo Si : Ω = cte = v = cte vp = cte, P t v = cte = r o = x 1 i 1 c) ω = 0, t, v p = ΩRi 1 = v(t)i 1, P = Mov. traslación rectilíneo y uniforme ω = 0, t = e.i.r(t), t 6

7 6) Movimiento de traslación crcular FIGURA a) b) S/S 1 vo = a ϕ sen ϕi O S 1 + a ϕ cos ϕj 1 r o (0) = ai 1 i = i 1 j = j 1 k = k 1 ϕ = ϕ(t) ( ) ( ) ( ) dj dk di ω = dt k i + dt i j + dt j k = 0 (ω, v d ) ω = 0, t = Movimiento de traslación ω = 0 = v d v p = v o (t) v p = v o + ω OP = v o (t) ω = 0, t, v p = v o (t), P vo = a ϕ sen ϕi 1 + a ϕ cos ϕj 1 r o (0) = ai 1 = r o = a cos ϕi 1 + cos ϕj 1 r o = a cos ϕi 1 + cos ϕj 1 x 2 O,1 + y 2 O,1 = a 2 Mov. traslación circular Si ϕ Ω = cte v o (t) = aω = cte Mov. traslación circular uniforme c) ω = 0, t = e.i.r(t), t 7

8 NOTA: Los casos B), C ), C ) y D) también corresponden a la situación considerada con las variantes o modificaciones siguientes a tener en cuenta: B) r o = ai 1 + (H h)j 1 C ) y C ) : Movimiento de traslación circular S/S v o = vi 1, P S a) S /S 1 : ω S /S 1 = 0, t x1 i r o = 1 + Hj 1 x 1 i 1 + Rj 1 i = i b)s/s : j = j ω S/S = 0 k = k vo = a ϕ sen ϕi O S + a ϕ cos ϕj r o = ai ϕ = ϕ(t) D) Movimiento de traslación circular S S 3 /S 1 S2 /S 1 : ω 21 ω = ϕk 1, r O2 = Hk 1 S 3 /S 2 : ω 32 = ω = θk 1 ; θ = ϕ, r O3 = ai 2 ω 31 = ω 32 + ω 21 = 0 Mov. traslación : v p = v O3 (t), P S S 3 r O3 = a cos ϕi 1 + a sen ϕj 1 + Hk 1 Mov. traslación circular Si : ω ϕ = cte Mov. traslación circular uniforme 8

9 7) Movimiento de rotación con punto fijo 7.1- FIGURA a) O (S S 3 ) / v o = 0, t S 2 /S 1 : S 3 /S 2 : i 2 j 2 k 2 i 3 j 3 k 3 = = cos α sen α 0 sen α cos α cos β sen β 0 sen β cos β i 1 j 1 k 1 i 2 j 2 k 2 (S S 3 ) /S 1 i 3 j 3 k 3 i 3 j 3 k 3 = cos β sen β 0 sen β cos β = [C 32 (β)] [C 21 (α)] i 1 j 1 k 1 cos α sen α 0 sen α cos α i 1 j 1 k 1 9

10 b) ω = ω S/S1 ω S3/S 1 (ω, v d ) ω = ( ) ( ) ( ) dj3 dt k dk3 3 i 3 + dt i di3 3 j 3 + dt j 3 k 3 ω ω 31 = ω 32 + ω 21 = ω 32 i 3 + ω 21 k 2 v d = v o ω ω = 0 i3 = i 2 ω 32 β k2 = k 1 ω 21 α c) e.i.r(t) δ [ O, ω ω S/S1 (t) ] P e.i.r(t) : v p = v d = 0; t 10

11 7.2- FIGURA O (S S 3 ) / v o = 0, t S 2 /S 1 : S 3 /S 2 : S 4 /S 3 : i 2 j 2 k 2 i 3 j 3 k 3 i 4 j 4 k 4 = = = cos α sen α 0 sen α cos α cos β sen β 0 sen β cos β cos γ sen γ 0 sen γ cos γ i 1 j 1 k 1 i 2 j 2 k 2 i 3 j 3 k 3 11

12 (S S 4 )/S 3 /S 2 /S 1 i 4 j 4 k 4 [C 41 ] i 4 j 4 k 4 = [C 41 (α, β, γ)] i 1 j 1 cos γ sen γ 0 sen γ cos γ k 1 = [C 43 (γ)] [C 32 (β)] [C 21 (α)] cos β sen β 0 sen β cos β i 1 j 1 k 1 cos α sen α 0 sen α cos α b) ω ω S/S1 ω S4/S 1 (ω, v d ) ω = ( ) ( ) ( ) dj4 dt k dk4 4 i 4 + dt i di4 4 j 4 + dt j 4 k 4 ω ω 41 = ω 43 + ω 32 + ω 21 = ω 43 k 4 + ω 32 i 3 + ω 21 k 2 v d = v o ω ω = 0 k4 = k 3 ω 43 γ i3 = i 2 ω 32 β k2 = k 1 ω 21 α c) e.i.r(t) δ [ O, ω ω S/S1 (t) ] P e.i.r(t) : v p = v d = 0; t 12

13 PROBLEMA I.- Se tienen un cilindro de altua h y radio R y un cono de altura h y semiángulo cónico α que se mueven sobre un plano sin perder su contacto. La configuración en cada instante de ambos queda por ejemplo definida a través de las coordenadas del punto C de cada uno y por los ángulos θ y ϕ representados. Se utilizan los sistemas auxiliares S : (C, x, y, z) no solidarios a dichos sólidos, así mismo representados. Obtener para cada sólido, expresados en (C, x, y, z): 1) ω ω Cil/S1 y α α Cil/S1 = ω Cil/S1 2) ω ω Con/S1 y α α Con/S1 = ω Con/S1 II.-Un vástago AB(S 2 ) de longitud L se mueve en torno a un eje vertical arrastrando a una rueda (S 3 ) de radio R que tiene por centro el extremo del vástago y puede girar libremente respecto de él, a la vez que se apoya sobre el suelo. Para definir la configuración del sistema se utilizan los ángulos ϕ y θ y se toman como referencias en (S 2 ) y (S 1 ) a (i 2, j 2, k 2 ) y (i 3, j 3, k 3 ) respectivamente como se muestran en la figura. 13

14 3) Obtener ω 21 y α 21 expresados en S 1 y los axoides de S 2 /S 1 4) Obtener ω 32 y α 32 expresados en S 2 y los axoides de S 3 /S 2 5) Obtener ω 31 y α 31 expresados en S 3 y en S 1. Halle la relación que debe existir entre ϕ y θ; f( ϕ, θ) = 0, si la rueda no desliza sobre el suela y diga cuando se da esta condición cuáles son los axoides de S 3 /S 1. 6) Deducir la matriz de cambio de base que relaciona (i 3, j 3, k 3 ) con (i 1, j 1, k 1 ) expresándola en la forma habitual con notación pseudomatricial. III.- Una rueda (S) de radio R se mueve sobre un suelo horizontal de forma que el plano de la rueda siempre es vertical al mismo. Para definir la configuración del sistema se utilizan las coordenadas del punto C o las del punto de la rueda que en cada instante contacta con el suelo y los ángulos ϕ y θ representados. Se toma como referencia en S a (i, j, k) y se toma así mismo como referencia auxiliar no solidaria a S la S :(ξ, η, k) mostradas en la figura. 7) Obtener ω ω S/S1 expresado en S,S y S 1. 8) Obtener α α S/S1 expresado en S y S 1. 14

15 Soluciones: I.- 1) ω = ϕi + θk ; α = ϕi + θ ϕj + θk 2) ω = ( ϕ + θ sen α)i + θ cos αk ; α = ( ϕ + θ sen α)i + θ ϕ cos αj + θ cos αk II.- 5) ω 31 = θk 3 + ϕk 1 = ϕ sen θi 3 + ϕ cos θj 3 + θk 3 = θ cos ϕi 1 + θ sen ϕj 1 + ϕk 1 α 31 = ( ϕ sen θ + ϕ cos θ θ)i 3 + ( ϕ cos θ ϕ sen θ θ)j 3 + θk 3 = = ( θ cos ϕ θ sen ϕ ϕ)i 1 + ( θ sen ϕ + θ cos ϕ ϕ)j 1 + ϕk 1 f( ϕ, θ) L ϕ + R θ = 0 6) i 3 j 3 k 3 = 0 cos θ sen θ 0 sen θ cos θ cos ϕ sen ϕ 0 sen ϕ cos ϕ III.- 7) ω = ϕ sen θi + ϕ cos θj + θk = θk + ϕη = θ cos ϕi 1 + θ sen ϕj 1 + ϕk 1 8) α = ( ϕ sen θ + ϕ cos θ θ)i + ( ϕ cos θ ϕ sen θ ϕ)j + θk = = ( θ cos ϕ senϕ ϕ)i 1 + ( θ sen ϕ + cosϕ ϕ)j 1 + ϕk 1 i 1 j 1 k 1 15