Representación de datos en la computadora

Transcripción

1 Representación de datos en la computadora "I wish to God these calculations had been executed by steam Charles Babbage, C a p í t u l o INTRODUCCIÓN El lenguaje de una computadora no es el mismo que empleamos los humanos, las computadoras o cualquier máquina electrónica digital sólo son capaces de entender dos símbolos generalmente representados por 0 y 1 ya que en la memoria sólo se pueden almacenar bits de tal manera que lo que para nosotros es un número o una letra, para la computadora son cadenas de ceros y unos. Por ejemplo, en lenguaje de máquina la letra U se codifica como Los seres humanos utilizamos más de dos símbolos para representar datos, además de que tenemos diferentes formas de escribirlos, por ejemplo, el año en el que nació John von Neumann -con letras- es mil novecientos tres, si utilizamos números arábigos para escribirlo tenemos 03, o bien, con números romanos el dato se vería como MCMIII. A estas formas de codificación se les conoce como representación simbólica, en este sentido el lenguaje de máquina es una representación simbólica binaria ya que consta únicamente de dos símbolos. Ahora bien, sabiendo que la computadora sólo es capaz de interpretar y manipular cadenas de ceros y unos, nos surgen dos preguntas, la primera es si debemos introducir los datos codificados en binario para que puedan ser procesados por la computadora y la segunda es si será posible codificar cualquier dato utilizando únicamente ceros y unos. Como ya sabemos, los datos que proporcionamos a la computadora no están en código binario, existen procedimientos que convierten cada uno de los datos que introducimos a codificación binaria (cadenas de 0 s y 1 s). Aún queda pendiente la segunda pregunta cualquier dato se puede codificar en binario? De acuerdo con la teoría de la información toda representación simbólica puede ser transformada a una representación en binario. Justamente, el propósito de este capítulo será reconocer los procedimientos a seguir para dicho efecto, los cuales dependen del tipo de datos del que se trate. En el caso de los números, cualquier método de codificación en lenguaje de máquina está basado en la conversión de un número escrito en sistema decimal a sistema binario, ambos son sistemas de numeración posicional, por tanto, empezaremos por revisar qué son y cómo se representan los números en los sistemas de numeración más utilizados en computación, éstos son: binario, octal, hexadecimal y, por supuesto, decimal. Después introduciremos los métodos más comunes para codificar números enteros con y sin signo, así como los métodos para números con punto decimal. Finalmente presentaremos el código ASCII mediante el cual podremos codificar letras y símbolos.

2 2.2 DATOS Recordemos que un dato es una secuencia de símbolos que puede representar: un número, una letra, una cantidad, una medida o una palabra. Desde esta perspectiva, los datos se clasifican de la siguiente manera: Datos numéricos, generalmente combinaciones de dígitos del 0 al 9, pueden tener signo y punto decimal (por ejemplo: 98, -122, , -8.56) Datos alfabéticos, compuestos sólo por letras (por ejemplo: a, e, computadora, fin). Datos alfanuméricos, combinación de los dos anteriores y símbolos (por ejemplo: numero1, promedio2 2-a$) Los sistemas de numeración posicionales (SNP), son la forma más común de representación de datos numéricos, en particular el sistema binario, el cual se utiliza en un computadora, es un ejemplo de un SNP, al igual que el sistema decimal el cual se utiliza universalmente. Por tal motivo en la siguiente sección estudiaremos las características y el funcionamiento del mismo, así como los métodos más comunes para representar un número en diferentes SNP. 2.3 SISTEMAS NUMÉRICOS POSICIONALES Los sistemas numéricos posicionales (SNP) son una forma de representación simbólica de los números, por medio de la cual se simplifica la representación de grandes cantidades. Su nombre se debe a que dependiendo de la posición que ocupa un dígito dentro de la cifra tiene una contribución distinta al valor total. Por ejemplo en el sistema decimal, en la cifra 333, el dígito 3 en la primera posición de derecha a izquierda tiene un valor de 3, pero en la segunda posición (decenas) tiene un valor de 30, y la tercera posición (centenas), tiene un valor de 300. Observa que el nombre de cada posición esta relacionado con el valor por el cual se multiplicarse el dígito, este valor esta en función a potencias de 10. Las unidades por ejemplo multiplican por 1 que equivale a 10 0, las decenas multiplican por 10 que es 10 1, las centenas por 100 que es igual a 10 2 y así sucesivamente. Un sistema de numeración consta de un alfabeto, el cual esta formado por los símbolos que se utilizan para representar los números en el sistema y por las reglas que permiten construirlos, la regla principal indica que el valor de un símbolo depende de la posición que ocupa. A los símbolos del alfabeto se llama dígitos 1 y al número total de ellos se le conoce como base. En los SNP se utiliza una secuencia de dígitos para representar un número entero o cifra, concatenando los dígitos que sean necesarios. Por ejemplo, para representar ciento sesenta y cinco en decimal la secuencia de dígitos que se utiliza es En el caso del sistema binario también se llaman bits. 16

3 Los SNP más utilizados en programación son decimal, binario, octal y hexadecimal. En la tabla 2.1 se muestra su base, alfabeto y un ejemplo de cómo se representa el número ciento sesenta y cinco en cada uno. Se recomienda indicar al final del número la base en la cual está representado, cuando se están utilizando diferentes bases, como se muestra en los ejemplos de la tabla 2.1. SNP Base Alfabeto Ejemplo: Representación del número ciento sesenta y cinco Decimal 10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 165 (10) Binario 2 {0,1} (2) Octal 8 {0,1,2,3,4,5,6,7} 245 (8) Hexadecimal 16 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} A5 (16) Tabla 2.1. Sistemas de numeración posicional más utilizados en computación Todos los alfabetos se basan en el decimal, tomado tantos dígitos según sea la base, como en el caso del binario que solo utiliza los dígitos 0 y 1, o el octal que usa del 0 al 7. Si la base es mayor de 10 se utilizan los 10 dígitos decimales más las primeras letras del abecedario, este es el caso del sistema hexadecimal en donde A representa el valor de 10, B el valor 11 y así sucesivamente hasta la F que representa el 15.

4 2.3.1 Cómo convertir un número representado en cualquier base a decimal? En general, un número representado en algún SNP con dígitos tiene la siguiente forma: En donde, cada representa un dígito válido dentro del alfabeto y el subíndice i corresponde a la posición que ocupa el dígito dentro de la cifra, observa que los dígitos están enumerados de derecha a izquierda empezando desde cero. El valor de una cifra representada en cualquier sistema numérico posicional está dado por la siguiente expresión: (1) Donde representa la base y el número de dígitos con los que se representa el número en la base. Al dígito en el extremo derecho (d o ) se le llama menos significativo y al del extremo izquierdo (d n-1 ) más significativo, esto por la cantidad de unidades que aportan al valor del número. Por ejemplo, para el número ciento sesenta y cinto en base decimal 165 (10), el dígito menos significativo es el 5 ya que sólo aporta cinco unidades al valor del número, mientras que el 1 que es el dígito más significativo aporta cien unidades al valor del número. En general para convertir de cualquier base a decimal lo que la expresión (1) nos indica se puede resumir en la siguiente lista de pasos. 1. Enumerar los dígitos de derecha a izquierda iniciando con cero. 2. De acuerdo con la numeración dada, multiplicar cada dígito por la base elevada a la 3. Sumar los resultados de los productos calculados en el paso anterior para obtener el valor de la cifra. Para ilustrar este procedimiento revisemos los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.1: Tomemos el número 245 (8) en octal. Para el sistema octal la base es 8 ( = 8), el valor se representa mediante la concatenación de los dígitos: 2, 4 y 5 ( = 3). Como ya mencionamos, las posiciones en un SNP se enumeran desde cero de derecha a izquierda, por tanto la numeración queda como: El valor representado lo obtenemos con la ecuación (1), sustituyendo los valores tenemos: 18

5 valor 245 (8) = 2* * *8 0 valor 245 (8) = 2*64 + 4*8 + 5*1 valor 245 (8) = valor 245 (8) = 165 (10) Ejemplo 2.2: Convertir B32 (16) representado en hexadecimal a decimal Enumeramos los dígitos de izquierda a derecha empezando desde cero d 2 d 1 d 0 B 3 2 Considerando que =16 y =3, realizamos las sustituciones en (1) B x x x x x x = 2866 (10) Ejemplo 2.3: Convertir (2) representado en binario a decimal Enumeramos los dígitos en la forma indicada d 5 d 4 d 3 d 2 d 1 d Considerando que =2 y =6, realizamos las sustituciones en (1) 1 x x x x x x x x x x x x = 53 (10) Observemos que en todos los ejemplos el dígito que contribuye menos al valor final de una cifra es el que se encuentra más a la derecha, ya que éste siempre se multiplicará por la menor potencia, es por esto que se dice que es el dígito menos significativo; en cambio, el dígito que está más a la izquierda es el que mayor contribución tiene al valor por estar multiplicado por la potencia más grande, de ahí su nombre de dígito más significativo.

6 En la siguiente sección se explica el método utilizado para convertir un número representado en sistema decimal a cualquier otro sistema Cómo convertir un número en decimal a cualquier otra base? Para representar un número en cualquier SNP distinto al decimal tenemos que realizar una serie de divisiones enteras donde los residuos nos darán los dígitos correspondientes a la representación del número en el sistema deseado. Considerando que los dígitos se enumeran de derecha a izquierda, el primer residuo corresponderá al dígito (el menos significativo), el segundo residuo será el dígito, el tercer residuo corresponde al dígito, y así sucesivamente hasta llegar a que el cociente, el residuo de esta última división corresponde al dígito más significativo. A continuación se enlista los pasos para converir un número escrito en decimal a cualquier otro sistema de numeración con base : 1. Se divide el número entre la base 2. El residuo es el dígito menos significativo de la cifra, 3. Mientras el cociente sea mayor que cero realizar los siguientes pasos. i) Dividir el cociente entre la base ii) El residuo de la división corresponde al siguiente dígito de derecha a izquierda Revisemos paso a paso el método anterior con el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.4: Representar 9379 (10) en decimal a hexadecimal (base 16) Paso 1: Dividimos 9379 entre 16. Paso 2: El residuo es el dígito menos significativo de la cifra. Paso 3 (iteración 1) El resultado de la división es 586 por lo tanto realiza los pasos i y ii. i) El cociente 586 se vuelve a dividir entre la base. 20

7 ii) El residuo 10, al cual le corresponde la letra A, es el siguiente dígito. Paso 3 (iteración 2): Como 36 es mayor a cero se realizan los pasos i y ii. i) El cociente 36 se vuelve a dividir entre la base ii) El residuo es el siguiente dígito. Paso 3 (iteración 3): Como el cociente es mayor a cero se repiten los incisos del paso 3 i) El cociente se vuelve a dividir entre la base. ii) El residuo es el siguiente dígito. Paso 3 (iteración 4): como el cociente es cero se termina

8 Por lo tanto, la representación en hexadecimal del número 9379 (10) representado en decimal es 24A3 (16). A continuación se presentan dos ejemplos, el primero convierte un número de decimal a octal y el segundo de decimal a binario. Ejemplo 2.5: Representar 1487 (10) en decimal a octal (base 8) Cociente: d 0 Residuo: d 1 d d 2 d 1 d d 3 d 2 d 1 d La representación de 1487 (10) en octal es 2717 (8). Ejemplo 2.6: Representar 59 (10) en decimal a binario (base 2) d d 1 d d 2 d 1 d d 3 d 2 d 1 d d 4 d 3 d 2 d 1 d d 5 d 4 d 3 d 2 d 1 d 0

9 La representación de 59 (10) en octal es (2) Cómo convertir un número representado en cualquier base a una base diferente de decimal? El procedimiento que se sigue para convertir un número entre dos diferentes SNP distintos al decimal, es decir, un número representado en un SNP con base (diferente de 10), a otro SNP con base (también distinto de 10), consiste en los siguientes pasos: 1. Realizar la conversión de base a sistema decimal 2. Realizar la conversión del número representado en sistema decimal al sistema con base Revisemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.7: Convertir (2) a hexadecimal Paso 1: Convertimos el número binario a decimal. d 5 d 4 d 3 d 2 d 1 d Considerando que =2 y =6, realizamos las sustituciones en (1) 1 x x x x x x x x x x x x = 39 (10) Paso 2: Convertimos el número decimal 39 a hexadecimal d d 1 d

10 La representación de (2) en hexadecimal es 27 (16). El método anterior funciona para realizar la conversión de un número entre cualesquiera dos SNP distintos al decimal. Sin embargo, en el caso particular de los SNP que son potencias de 2, existe un método más simple, el cual presentamos en la siguiente sección Cómo convertir un número binario a otra base que sea potencia de 2? Para convertir un número representado en binario a cualquier otro sistema cuya base sea potencia de dos (es decir, por ejemplo, el sistema octal ( ) o el sistema hexadecimal, se debe considerar el mínimo número de bits que se necesitan para representar a cualquiera de los dígitos de estas bases. De acuerdo con la tabla 2.2 con un solo bit únicamente se pueden representar dos valores (a saber y ); con dos bits se pueden representar cuatro valores (0,1,2,3); con tres bits se pueden representar ocho valores ( ); con cuatro bits se pueden representar 16 valores ( ). En general con bits se pueden representar valores ( ). Por lo tanto, para representar todos los dígitos octales en binario se necesitan 3 bits y para los dígitos hexadecimales 4 bits. En general, se necesitan bits para representar los dígitos de un SNP con base igual a. Decimal Binario Octal Hexadecimal A B C D E F Tabla 2.2. Equivalencias de las bases: binario, octal y hexadecimal 24

11 A continuación se describe el método general para convertir un número en sistema decimal a cualquier otra base que sea la -ésima potencia 2 (es decir, : 1. Los bits del número binario se agrupan de en de derecha a izquierda, en caso de que no de un número exacto se agregan ceros a la izquierda. 2. Obtener el valor de cada grupo de bits, esto es su representación en decimal. 3. Representar el valor de cada grupo de bits como un dígito del SNP con base, escribiéndolos en el mismo orden en el que aparecían los grupos de bits. En nuestro caso únicamente nos centraremos en la conversión de decimal a octal y a hexadecimal. Conversión de Binario a Octal Ahora bien, si queremos convertir un número binario a octal sólo se necesitan 3 bits, por lo tanto, agrupamos de tres en tres de derecha a izquierda y cambiamos cada cuarteto por su dígito octal equivalente (ver tabla 2.2). Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.8. Representar el número binario en octal. Por lo tanto, el número binario (2) se representa en octal como 3427 (8) Conversión de Binario a Hexadecimal Si queremos cambiar de binario a hexadecimal lo que se hace es agrupar los bits de 4 en 4 de derecha a izquierda y cambiar cada cuarteto por su dígito hexadecimal equivalente (ver tabla 2.2), como se muestra a continuación. Ejemplo 2.9: Representar el número binario (2) en hexadecimal.

12 Por lo tanto, el número binario (2) se representa en hexadecimal como C97 (16) Cómo convertir un número que está en una base que es potencia de dos a binario? Finalmente, para convertir de un SNP cuya base es se deben realizar los siguientes pasos: 1. Obtener el valor de cada uno de los dígitos (convertirlos a decimal) 2. Codificar el valor de cada uno de los dígitos en binario utilizando bits, si es necesario se agregan ceros a la izquierda de número binario hasta completar los bits requeridos. 3. La representación del número en base corresponde a la concatenación de las secuencias de bits obtenidas en el paso anterior respetando el orden de la representación original. Nuevamente, nos centraremos en los sistemas octal y hexadecimal. Conversión de Hexadecimal a Binario Para convertir un número hexadecimal a binario lo que se debe hacer es cambiar cada dígito por su representación en binario utilizando cuatro bits, observemos el siguiente ejemplo. Ejemplo Representar el número hexadecimal 1B0 (16) en binario. 1 B 0 Representación binaria en 4 bits Por lo tanto 1B0 (16) se representa en binario como (2) Conversión de Octal a Binario 26

13 En el caso de la conversión de sistema octal a sistema binario, debemos representar cada dígito con 3 bits, de la misma forma que en el caso anterior. Ejemplo Representar el número octal 170 (8) en binario Representación binaria en 3 bits Por lo tanto 1B0 (16) se representa en binario como (2) 2.4 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Pare representar números enteros se utilizan diferentes métodos para su codificación en binario, ya que no solo se requiere poder representar número entero positivos, lo que se puede representar directamente en binario, si no además es necesario poder manejar número signados, es decir positivos y negativos. Algunos de los métodos más comunes para representar número con signo son: Signo y Magnitud, Complemento a uno y, Complemento a dos Codificación binaria sin signo La codificación binaria sin signo se utiliza para representar números no signados, el número se representa en binario tal como se explicó antes, si embargo es importante fijar el número de bits que se utilizarán, para que se puedan operar sin problema. De tal forma que si el número requiere para su representación en binario menos bits que los establecidos, se agregan ceros a la izquierda para completar el total de bits predefinidos. Se acostumbra utilizar grupos de bits que son potencias de dos, por ejemplo: 8, 16, 32. Además recordemos que el rango de números que se pueden representar depende del número de bits disponibles. Por ejemplo, con un octeto (8 bits) se puede representar 256 números ( ), iniciando en cero se pueden representar números entre 0 y 255. En el siguiente ejemplo se muestra la codificación del número 29. Ejemplo 2.12: Representa el número 29 (10) en código binario sin signo utilizando un octeto. Primero convertimos el número 29 (10) a binario, lo cual resulta ser (2) Dado que el número en binario sólo ocupa 5 bits agregamos tres 0 s a la izquierda del número para completar el octeto y obtener la representación deseada. 8 bits Por lo tanto, la representación de 29 (10) en código binario sin signo es (2)

14 Codificación en signo y magnitud Ante la necesidad de representar enteros signados, bajo esta codificación se decidió reservar un bit para representar el signo, ya que sólo se requiere representar alguna de dos opciones: positivo o negativo. Para este fin se destina el bit más significativo (el que está más a la izquierda), el cual es 0 para valores positivos y 1 para los negativos. La magnitud en valor absoluto del número se representa en binario en el resto de los bits. A esta representación se le denomina codificación binaria en signo y magnitud. Ejemplo 2.13: Representar en signo y magnitud en 8 bits los números 29 y -29: El valor absoluto de -29 y +29 es 29, la representación en binario es Luego entonces, como se necesita representar en 8 bits estos son distribuidos de la siguiente manera: el bit más significativo reservado para el signo y los 7 bits restantes para el valor absoluto del número, tenemos que agregar dos 0 s a la izquierda de la representación en binario para completar los 7 bits correspondientes al valor absoluto del número. 8 bits Y por último asignar al bit más significativo 0 para representar el número 29 y 1 para representar el -29. De esta manera, la codificación en signo y magnitud queda de la siguiente manera: Como en un octeto sólo quedan siete bits para representar la cantidad, en esta codificación un octeto puede representar números en el rango de -127 a 127. Un inconveniente en esta representación es que, el cero tiene dos posibles representaciones como número negativo o como positivo En general, con bits podemos representar números enteros con signo que está entre [, ] 2 2 Se resta menos uno porque se está considerando al cero. 28

15 Por ejemplo, para 16 bits el número de valores es que es 65,536 y los valores están entre y (, ya que ( es igual a 32767, entonces el rango es de a (considerando que el cero tiene dos representaciones) Codificación en complemento a uno En esta codificación los números positivos se representan como en el sistema binario en magnitud y signo, es decir, representando la magnitud en valor absoluto en binario y reservando el bit más significativo para el signo que en el caso de los positivos debe ser cero. En cambio, para los números negativos se utiliza el complemento a uno, que consiste en tomar la representación del correspondiente número positivo e intercambiar los bits (se cambian los bits 0 por 1 y viceversa) de tal manera que el bit más significativo del número positivo - que es cero- se vuelve 1. Para explicar el método anterior revisemos el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.14: Representar en complemento a uno los números 29 y -29: El valor absoluto de 29 en binario es: Por lo tanto, la representación en complemento a uno de +29 utilizando 8 bits es: Para el -29 tomamos su representación positiva y aplicamos complemento a uno (intercambiamos los bits) Por lo tanto, la representación de -29 en complemento a uno es: En esta codificación para el cero sigue existiendo una doble representación, y los rangos se calculan de la misma forma que en signo y magnitud.

16 Codificación en complemento a dos Para el manejo de operaciones básicas como el caso de la suma y resta, las representaciones previas no son muy apropiadas, ya que el manejo del signo y la magnitud se tienen que operar por separado, aunado a la doble representación del cero. La representación en complemento a dos resuelve estos problemas, lo que la hace la representación de enteros con signo más común y de mayor uso en la actualidad. En esta codificación, se sigue considerando el bit más significativo para codificar el signo y los números positivos se siguen representando como en las anteriores. En el caso de los números negativos, se utiliza un sistema distinto, denominado complemento a dos, el cual se aborda a continuación. Para obtener el complemento a dos de un número binario utilizando siguiente método bits, se puede utilizar el 1. Codificar en binario el valor absoluto del número utilizando bits 2. Localizar el primer 1 de derecha a izquierda 3. Intercambiar todos los bits que se encuentran a la izquierda del primer 1, esto es, los bits que son 1 cambiarlos por 0 y viceversa. Ejemplo 2.15: Representar en complemento a dos de los números +28 y -28: La representación en complemento a dos del número 28 es igual que en las anteriores: Para obtener la representación de -28 utilizamos la representación anterior de 28 y localizamos el primer bit de derecha a izquierda para intercambiar los bits siguientes (a la izquierda), como se muestra a continuación Por lo tanto, -28 en complemento a dos se representa como Una ventaja de esta codificación es que no hay dos representaciones para el cero, la única representación del cero es 0 s en todos los bits. Así que el número que tiene 1 s en todos los bits corresponde al valor negativo de -1, siendo el el valor más pequeño que se puede representar. De esta manera, el rango se define como:, 30

17 2.5 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS CON PUNTO DECIMAL En lo que respecta a los números con punto decimal existen dos codificaciones, posibles: Punto fijo Punto flotante En ambas, el número se divide en dos partes: el entero y la fracción. La representación de los números decimales corresponde a un ámbito de especialización que rebasa los propósitos didácticos de este texto. Sin embargo, resulta importante realizar un esbozo general sobre este tipo de representación, con el objeto de que el estudiante establezca una primera relación con el tema y de ser posible se interese en la búsqueda de mayor información por cuenta propia Codificación en punto fijo Bajo esta codificación, la posición del punto es la que define la potencia de la base por la que hay que multiplicar el dígito correspondiente para obtener el valor para cada posición. Para los dígitos que están antes del punto se enumeran las posiciones de derecha a izquierda iniciando en 0, en tanto que para los dígitos que están después del punto se enumeran de izquierda a derecha iniciando con -1. Ejemplo 2.16: El valor representando en punto fijo en 8 bits es ya que: = ( ³ + 0 2² + 1 2¹ ) + ( )= ( ) + ( ) = Parte entera Parte fraccionaria La representación anterior recibe el nombre de punto fijo, ya que se fija el número de bits que se reservan para la parte entera y para la fraccionaria. Como en el ejemplo anterior se están considerando 5 bits para parte entera y 3 para la parte fraccionaria. Al usar la representación en punto fijo, queda muy limitado el número de cantidades que se pueden representar y todas ellas deben tener la misma resolución, lo que ocasiona que se pierdan algunos decimales en la representación final. 3 Para mayor detalle sobre el tema puedes referirte a esta bibliografía : Organización y arquitectura de computadores William Stallings Pearson Prentice Hall Séptima Edición México

18 Codificación en punto flotante Se denomina punto flotante (abreviado comúnmente como FP, del inglés floating point) al método de representación de números con punto decimal que, en oposición al punto fijo, permite que la posición del punto se mueva (flote) a cualquier posición del número, permitiendo con ello un rango mayor de los números que es posible representar. Sin embargo, el hecho de que el punto se mueva, provoca que el número de bits designados para la parte entera y para la parte fraccionaria cambie de un número a otro, lo que hace difícil realizar operaciones. La solución consiste en normalizar la representación con lo que se desplaza el punto decimal de tal forma que siempre haya un uno a la izquierda del punto. Los números representados en punto flotante siguen el siguiente patrón: Donde: : signo con la convención de 0 para positivo y 1 para negativo. : mantisa que es el número binario a la derecha del punto decimal después de la normalización. : base del sistema de representación (2 en sistema binario) : exponente que indica la cantidad de posiciones hacia la izquierda del desplazamiento de la coma al normalizar(el desplazamiento negativo denota desplazamiento del punto hacia la derecha). Para almacenar un número codificado en punto flotante se guarda únicamente el signo, la mantisa y el exponente. El Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE) ha definido dos estándares para guardar representaciones en punto flotante, el formato de precisión doble y el formato de precisión simple. Ambos formatos almacenan en el bit más significativo el signo, seguido del exponente y al final la mantisa. En la figura 2.1 se muestra el número de bits designados en cada formato para ambos estándares bit 8 bits 23 bits Signo Exponente Mantisa a) Precisión simple 1 bit 11 bits 52 bits Signo Exponente Mantisa b) Precisión doble Figura 2.1. Estándares IEEE para representación en punto flotante

19 Ejemplo 2.17: Codifiquemos el número decimal usando el sistema de precisión simple de IEEE Empecemos por codificar el signo, dado que es un número negativo, el signo es "1". En seguida, escribimos el número (sin signo) usando notación binaria en punto fijo. Decimal Binario Una vez expresada así, se desplaza el punto decimal a la izquierda, dejando sólo un 1 a su izquierda = Esto es un número en coma flotante normalizado. Una vez normalizado el número, la mantisa es la parte que queda a la derecha del punto decimal, completando con ceros a la derecha hasta que obtengamos los 23 bits, la mantisa queda representada entonces como: Para codificar el exponente es necesario que el exponente más negativo sea 0 del tal forma que todos los exponentes son solamente número binarios no negativos. Por lo anterior es necesario hacer un desplazamiento de 127 sobre el exponente, para el formato IEEE de 32 bits, dado que se tienen 8 bits para el exponente. Así que el exponente será 6+127=133. En binario, esto se escribe como Por lo tanto la representación en punto flotante en precisión simple (32bits) queda de la siguiente forma (figura 2.2): Figura 2.2. Representación en punto flotante en precisión simple de

20 2.6 REPRESENTACIÓN DE CARACTERES Recordemos que básicamente, las computadoras sólo trabajan con números representados en binario. Por lo tanto, para que la computadora almacene caracteres es necesario codificarlos de alguna forma. Usar estándares aumenta la eficiencia y elimina errores al procesar datos. El estándar americano de codificación para el intercambio de información, código ASCII (American Standard Code for Information Interchange), es una de las alternativas más comunes para codificar caracteres, este estándar nos ayuda a representar caracteres y símbolos en forma electrónica. La codificación ASCII usa 7 bits para codificar 128 caracteres distintos. Se trata de valores numéricos entre 0 y 127 que sustituyen a las letras del alfabeto y otros caracteres escritos. Para poder usar más caracteres que no se incluyen en la especificación ASCII original, se decide usar un bit más, aprovechando que el tamaño mínimo de almacenamiento de los registros reales de las computadoras es comúnmente 8 bits, con lo que se extiende el código ASCII, permitiendo hasta 256 caracteres distintos (enumerados de 0 hasta 255), algunos de ellos utilizados muy frecuentemente como las vocales acentuadas y la letra ñ (figura 2.5). En el código ASCII los primeros 32 símbolos corresponden a caracteres especiales no imprimibles como lo son el salto de línea y el retorno de carro (figura 2.3), los restantes son todos caracteres imprimibles. Los caracteres correspondientes con letras mayúsculas y minúsculas tienen códigos distintos ya que no son el mismo caracter; por ejemplo, el código ASCII de a es 97 y de A es 65. Tanto las letras (mayúsculas y minúsculas) como los dígitos tienen códigos contiguos como podemos ver en la figura 2.4. Figura 2.3. Tabla de caracteres ASCII no imprimibles 34

21 Figura 2.4. Caracteres ASCII imprimibles Figura 2.5. Caracteres ASCII extendidos

22 En el siguiente ejemplo se describe como se representa una palabra, utilizando el código ASCII. Ejemplo 2.18: Escriba la palabra UaCm en código ASCII. Si se sabe que en código ASCII del número decimal 65 al 90 son letras mayúsculas del abecedario y del 97 al 122 corresponden las letras minúsculas. caracter Código ASCII U 85 a 97 C 67 m 109 De esta manera, lo que se almacena en la memoria de la computadora es el número correspondiente a cada símbolo representado en binario. En este caso: caracter Código binario (8 bits) U a C m

23 Ejercicios I. Lee los siguientes enunciados y determina si son verdaderos, en caso de que sean falsos explica por qué. a. Todo sistema numérico posicional se define a partir de una base y un alfabeto, el cual incluye tantos dígitos como el valor de la base. b. Los dígitos válidos para el sistema octal son: 0, 1, 2,, 8. c. La base del sistema numérico binario es 0 y 1. d. Al bit que se encuentra en el extremo derecho se le conoce como bit más significativo y el que está en el extremo izquierdo es el menos significativo. e. El complemento a dos es el método de representación de enteros signados más difundido actualmente. f. Una desventaja de la representación en complemento a dos es que hay una doble representación para el cero, al igual que en signo y magnitud. g. En la codificación binaria en signo y magnitud el bit menos significativo se utiliza para codificar el signo. h. La IEEE definió los estándares de precisión simple y doble para almacenar valores representados en punto flotante. i. El código ASCII asigna valores contiguos a partir del 48 y hasta el 57 a los dígitos. j. El código ASCII es una de las alternativas más comunes para representar caracteres y números. II. Expresa los siguientes números decimales en binario, hexadecimal y octal a. 35 b. 127 c. 16 d III. Convierte a decimal los siguientes valores (el subíndice indica la base en la cual está representado)

24 a. 231 (8) b (16) c (2) d. 2A4B (16) e (2) IV. Para cada uno de los siguientes números representados en complemento a dos, con 8 bits, indica que signo tienen y su valor absoluto. Número Signo Valor absoluto V. Imagina que se guardó una palabra de 7 caracteres en la computadora y el contenido de la memoria en donde se almaceno es: Caracter1: Caracter2: Caracter3: Caracter4: Caracter5: Caracter6: Caracter7: Descifra la palabra almacenada en memoria. 38

25 VI. Expresa en hexadecimal y octal los siguientes números binarios a b c VII. Expresa en complemento a uno y en complemento a dos, utilizando 8 bits, los siguientes valores a. -23 b. 15 c. -7 d. 23 e. 32 VIII. Cuántos bits se designan para la mantisa y cuántos para el exponente según el estándar de precisión doble de la IEEE?