Curso de GNU Octave y L A TEXpara el apoyo a la investigación en ingeniería

Transcripción

1 Curso de GNU Octave y L A TEXpara el apoyo a la investigación en ingeniería Red de investigaciones y Tecnología Avanzada - RITA Facultad de ingeniería Universidad Distrital Francisco José de Caldas Copyleft Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé ingeniería Junio, de Caldas) / 1

2 Sistemas numéricos Los sistemas numéricos más antiguos son: Babilónico: base 60 Romano: (I, V, X, L, C, D y M) Hindú y árabe: decimal El extendido uso del sistema decimal oculta la existencia de otros sistemas numéricos: Binario: base 2 Octal: base 8 Hexadecimal: base 16 Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé ingeniería Junio, de Caldas) / 1

3 Sistema numérico Babilónico El aspecto más asombroso de las habilidades de los cálculos de los babilonios fue su construcción de tablas para ayudar a calcular. De las tablillas babilónicas, unas 300 se relacionan con las matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc. Los problemas que se planteaban eran sobre cuentas diarias, contratos, préstamos de interés simple y compuesto. Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé ingeniería Junio, de Caldas) / 1

4 Sistema numérico Babilónico Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé ingeniería Junio, de Caldas) / 1

5 Sistemas numéricos de posición Aquí se encuentran los principales sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal entre otros. se puede representar mediante un sistema de posición con base b. ±x = ±(a n b n + a n 1 b n 1 + a n 2 b n ) = ± n i= Donde a es el valor absoluto del número real a representar, 0 a i < b 1 con a n 0 a i b i Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé ingeniería Junio, de Caldas) / 1

6 Caso de estudio La mayoría de los computadores hacen los cálculos aritméticos usando el sistema numérico binario(base 2).Un computador con nueve cifras decimales de exactitud da como respuesta k=1 0,1 = 9999,99447 Aquí se trataba de sumar veces el número 1 10.La respuesta exacta es 10000, la idea es comprender la razón de este cálculo aparentemente erróneo. Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé ingeniería Junio, de Caldas) / 1

7 Números binarios Este utiliza solamente dos dígitos o símbolos: 0 y 1, y su base es 2. bit: del ingles Binary digit, representa un dígito binario. Ademas, el bit es la unidad mínima de información empleada en la teoría de la información. byte:generalmente se refiere a 8 bits. Formalmente es una secuencia de bits contiguos, cuyo tamaño depende del código de información o de carácteres en que esté usando. Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé ingeniería Junio, de Caldas) / 1

8 Números binarios Nombre Abrev. Factor Valor kilo K mega M giga G tera T peta P exa E zetta Z yotta Y bronto B geop Ge Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé ingeniería Junio, de Caldas) / 1

9 Binary Floating Point Arithmetic Standard En 1985 la IEEE establece este estandar, donde se establecen los formatos para representar números punto flotantes de precisión simple (32 bits) y doble (64 bits) Los números se distribuyen de forma exponencial en la recta real ( 1) s 2 E 127 (1 + 0.f ) O ( 1) s 2 E 1023 (1 + 0.f ) donde, S representa el bit de signo, E el exponente y F la parte fracción binaria del número. Presición Signo exponente mantisa Simple 1 8 bits( ) 23 bits (7 cifras dec.) Doble 1 11 bits ( ) 52 bits (16 cifras dec.) Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé ingeniería Junio, de Caldas) / 1

10 Números binarios En general, sea N un número natural; entonces existen J cifras b 0, b 1,..., b j, cada una de las cuales es un 0 o un 1, tales que N admite el siguiente desarrollo en base 2. N = (b J x2 J ) + (b J 1 x2 J 1 ) + (b J 2 x2 J 2 ) (b 1 x2 1 ) + (b 0 x2 0 ) Esto permite expresar N en notación binaria como. N = (b J, b J 1,..., b 2, b 1, b 0 ) dos Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 10 / 1

11 Números binarios A menudo se da el caso de que la representación binaria de un número requiere más cifras que su representación en decimal. Esto se debe a que las potencias de 2 crecen mucho más lentamente que las potencia de 10. Un algoritmo eficiente para hallar la representación en base 2 de un número natural N puede deducir de: N 2 = (b Jx2 J 1) + (b J 1 x2 J 2 ) + (b J 2 x2 J 3 ) (b 1 x2 0 ) + b 0 2 así que la cifra b 0 es el resto de la división de N entre 2. A continuación determinamos b 1 ; para esto escribimos N/2 = Q 0 + b 0 /2 Q 0 = b J x2 J 1) + (b J 1 x2 J 2 ) + (b J 2 x2 J 3 ) (b 1 x2 0 ) Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 11 / 1

12 Números binarios Ahora dividimos ambos miembros entre 2 y obtenemos Q 0 2 = b Jx2 J 2) + (b J 1 x2 J 3 ) + (b J 2 x2 J 4 ) (b 2 x2 0 ) + b 1 2 luego la cifra b 1 es el resto de la división de Q 0 entre 2. Continuando con este proceso generamos dos sucesiones Q k y b k de cociente y restos. Este proceso termina cuando se encuentra un número natural J tal que Q J = 0. Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 12 / 1

13 Números binarios Estan sucesiones obedecen a las siguientes fórmulas. N = 2Q 0 + b 0 Q 0 = 2Q 1 + b 1... Q J 2 = 2 J 1 + b J 1 Q J 1 = 2Q J + b J hasta que Q J = 0 Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 13 / 1

14 Sucesiones y series Cuando los números racionales se expresan en forma decimal, en ocasiones se da el caso de que falta una cantidad infinita de cifras. 1 3 = 0. 3 El símbolo 3 significa que la cifra 3 se repite sin fin para formar un decimal periódico con infinitas cifras todas iguales a 3. Este decimal periódico tiene representación por medio de la serie S = (3x (3x10 2 ) +...(3x10 n ) +... = 3(10) k = 1 3 k=1 Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 14 / 1

15 Sucesiones y series Entonces si se usa una serie finita de cifras, lo que se obtiene es una aproximación a 1/3.Por ejemplo, 1/3 0,333 = 333/1000. La serie geométrica.la serie = cr n = c + cr + cr cr n +... n=0 Donde c 0 y r 0, se llama serie geométrica de razón r. Convergencia de la serie geométrica Si r < 1, entonces n=0 = cr n = c 1 r Si r > 1, entonces la serie diverge Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 15 / 1

16 Sucesiones y series Se puede utilizar la anterior serie para convertir una expresión decimal periódica en una fracción = 3(10) k = 3 + 3(10) k k= = k=0 = = 1 3 Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 16 / 1

17 Fracciones binarias Las fracciones en sistema binario pueden ser representadas en potencias negativas de 2.Si R es un número real tal que 0 < R < 1, entonces existe una sucesión de cifras d 1, d 2,..., d n,..., todas con valores discretos binarios, de la forma. R = (d 1 x2 1 ) + (d 2 x2 2 ) (d n x2 n ) +... Y se suele expresar en notación fraccionaria como R = (0.d 1, d 2,..., d n,...) dos Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 17 / 1

18 Fracciones binarias Hay muchos números reales cuya representación binaria requiere una cantidad infinita de ciertas cifras iguales a 1. La fracción 7/10 = 0,7 en base 10, pero su representación binaria requiere un cantidad infinita de unos y ceros = 0,10110 dos Esta fracción binaria es periódica, el grupo 0110 se repite sin fin. Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 18 / 1

19 Fracciones binarias Se puede desarrollar un algoritmo eficiente para hallar representaciones en base 2. Si multiplicamos la anterior expresión por 2. 2R = d 1 + ((d 2 x2 1 ) (d n x2 n+1 ) +...) La cantidad entre paréntesis en el en miembro derecho de la anterior formula es un número positivo y menor que 1; por tanto, d 1, es la parte entera de 2R, por lo que d 1 = ent(2r). F 1 = fracc(2r) = (d 2 x2 1) (d n x2 n+1 ) +... Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 19 / 1

20 Fracciones binarias Para continuar con el proceso, se toma la parte fraccionaria de la igualdad. Donde fracc(2r) es la parte fraccionaria del número real 2R. Multiplicando por 2 ambos miembros el resultado es: 2F 1 = d 2 + ((d 3 x2 1 ) (d n x2 n+2 ) +...) Tomando la parte entera en esta igualdad obtenemos d 2 = ent(2f 1 ). El proceso continúa, posiblemente sin fin(si R tiene representación binaria que no es finita ni periódica), se genera de forma recurrente dos sucesiones d k y F k d k = ent(2f k 1 ) F k = frac(2f k 1 ) Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 20 / 1

21 Fracciones binarias Donde d 1 = ent(2r) y F 1 = fracc(2r). La representación binario de R viene dada entonces por la serie convergente R = d j (2) j j=1 Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 21 / 1

22 Fracciones binarias Ejemplo:La representación binaria de 7/10 se obtiene usando la formula anterior con R = 7/10, entonces: 2R = 1,4 d 1 = ent(1,4) = 1 F 1 = fracc(1,4) = 0,4 2F 1 = 0,8 d 2 = ent(0,8) = 0 F 2 = fracc(0,8) = 0,8 2F 2 = 1,6 d 3 = ent(0,8) = 1 F 3 = fracc(0,8) = 0,6 2F 3 = 1,2 d 4 = ent(0,8) = 1 F 4 = fracc(0,8) = 0,2 2F 4 = 0,4 d 5 = ent(0,8) = 0 F 5 = fracc(0,8) = 0,4 2F 5 = 0,8 d 6 = ent(0,8) = 0 F 6 = fracc(0,8) = 0,8 2F 6 = 1,6 d 7 = ent(0,8) = 1 F 7 = fracc(0,8) = 0,8 Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 22 / 1

23 Fracciones binarias Representar el número racional decimal en su forma binaria por medio la serie geométrica 0.01 = (0x2 1 ) + (1x2 2 ) + (0x2 3 ) + (1x2 4 ) = (2 2 ) k = 1 + (2 2 ) k k= = k=0 = Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 23 / 1

24 Los números en el computador Se usa una representación binaria en coma flotante normalizada de acuerdo a la norma IEEE754, lo que significa que lo que almacena no es una cantidad matemática de x sino una aproximación a x. x ±qx2 n Donde q se llama mantisa y es una expresión binaria finita que verifica la desigualdad 1/2 q 1. El número entero n se llama exponente. Utiliza un pequeño subconjunto de número reales Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 24 / 1

25 Operaciones aritméticas con escalares Los números pueden ser utilizados en cálculos aritméticos directos o asignando a variables que pueden se usando en cálculos Operación Descripción Ejemplo Suma Resta 5-8 Multiplicación 3*8 División derecha / 16/4 División izquierda \ 4/16 Exponenciación ˆ 6 4 Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 25 / 1

26 Formatos de visualización de números format short:punto fijo con 4 dígitos decimales format long:punto fijo con 14 dígitos decimales format short e:notación científica con 4 números decimales format long e:notación científica con 5 números decimales format long g:15 primeros dígitos fijos o en punto flotante format short g:5 primeros dígitos fijos o en punto flotante Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 26 / 1

27 Funciones matemáticas básicas Función Descripción Ejemplo sqrt(x) Raíz cuadrada sqrt(25) exp(x) Exponencial exp(5) abs(x) Valor absoluto abs(-3) log(x) Logaritmo natural e log(2.1786) log10(x) Logaritmo en base 10 log10(100) factorial(x) Función factorial factorial(5) Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 27 / 1

28 Funciones trigonométricas Función Descripción Ejemplo sin(x) Seno del ángulo x(radianes) sin(pi/6) cos(x) Coseno del ángulo x(radianes) cos(pi/6) tan(x) Tangente del ángulo x(radianes) tan(pi/6) cot(x) Cotangente del ángulo x(radianes) cot(pi/6) sinh(x) Seno hiperbolico del ángulo x(radianes) sinh(pi/6 asinh(x) Seno inverso hiperbolico del ángulo x(radianes) asinh(pi/6 Todas las operaciones se hacen en radianes para convertir grados a radianes se usa π 180 Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 28 / 1

29 Funciones de redondeo Función Descripción Ejemplo round(x) Redondea al entero mas proximo round(17/5)=3 fix(x) Redondea hacia cero fix(13/5)=2 ceil(x) Redondea hacia el infinito ceil(11/5)=3 floor(x) Redondea hacia menos infinito floor(-9/4)=-3 rem(x,y) Retorno el resto de la división rem(13,5)=2 sign(x) Función de signo sign(-5)=-1 Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 29 / 1

30 Variables predefinidas ans:esta variable contiene el resultado de la última escrita ya sea una variable definida o sin definir. pi:es el número π eps:representa la diferencia mas pequeña entre dos números. Es igual a 2 52 que es aproximadamente 2,2204e 16 inf:representa el infinito i 0 j:se define como la raíz cuadrada de -1, que es equivalente a 0 + 1,000i Nan:Se usa cuando no se puede determinar un valor numérico válido. Por ejemplo en la operación 0/0 Algunas variables como i y j se pueden usar en bucles siempre y cuando no se usen números complejos Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 30 / 1

31 Otros comandos útiles en el uso de variables clear Borra todas las variables de la memoria clear x y z Borra solo las variables x, y, z de la memoria El comando who Muestra un listado de las variables almacenadas en memoria El comando whos Muestra un listado de las variables almacenadas en memoria y su tamaño, junto con la información sobre su clase y longitud Red de investigaciones y Tecnología AvanzadaCurso - RITA de (Facultad GNU Octave de ingeniería y LATEXparaUniversidad el apoyo a Distrital la investigación Francisco enjosé Junio, ingeniería de2014 Caldas) 31 / 1