Un algoritmo rápido de la transformada de Hough para la detección de líneas rectas en una imagen

Transcripción

1 Programación Matemática y Software (2015) 7 (2): ISSN: Un algoritmo rápido de la transformada de Hough para la detección de líneas rectas en una imagen Fast algorithm of the Hough transform to straight lines detection in an image Luis Canul-Arceo 1, José López-Martínez 2, Lizzie Narváez-Díaz 3 Facultad de Matemáticas-Unidad Multidisciplinaria Tizimín, Universidad Autónoma de Yucatán, Calle 48 S/N C.P , Tizimín, Yucatán, México correo-e: 1 luis.canul@outlook.com 2 jlopezm@uady.mx, 3 endiaz@uady.mx PALABRAS CLAVE: RESUMEN Transformada de Hough, Detección de líneas, Paralelismo, Descomposición piramidal La transformada de Hough es uno de los métodos más comunes utilizado para detectar formas (i.e. líneas) en el procesamiento digital de imágenes. Sin embargo, la complejidad computacional de la transformada es alta si se realiza de forma secuencial (utilizando un solo procesador). En este trabajo, se presenta un algoritmo rápido de la transformada de Hough para la detección de líneas rectas en una imagen, la cual utiliza una técnica de descomposición en la imagen de entrada. Esta técnica implementada en forma paralela permite cargas de trabajo balanceadas en los procesadores participantes, evitando de esta forma la sobrecarga computacional. Simulaciones por computadora son presentadas y discutidas, las cuales demuestran la eficiencia del algoritmo rápido propuesto con algunos ejemplos de imágenes. KEYWORDS: ABSTRACT Hough transform, Line detection, Parallel processing, Pyramidal decomposition The Hough transform is one of the most common methods used to detect shapes (i.e. lines) in digital image processing. However, the computational complexity of the transform is high if performed sequentially (using a single processor). In this paper, a fast algorithm of the Hough transform to straight lines detection in an image is presented, which used an image decomposition technique. This technique implemented in parallel computing enables balanced workload for the processors involved to avoid the computational overhead. Computer simulations are presented and discussed, which showed the efficiency of proposed algorithm with some examples of images. Recibido: 30 de noviembre de 2014 Aceptado:2 de marzo 2015 Publicado en línea: 30 de junio de

2 1 INTRODUCCIÓN En para los humanos es relativamente sencillo poder determinar patrones como líneas o curvas en los objetos que nos rodean; sin embargo, hacer que las computadoras puedan reconocer dichos patrones, es una tarea un poco más complicada. Uno de los métodos más importantes en las áreas de procesamiento de imágenes y visión computacional, debido a que es utilizada ampliamente para detectar diversas formas como líneas y curvas es la transformada de Hough (TH) [1][2][3]. La TH no es el único método para el reconocimiento de líneas pero es una herramienta muy fácil de implementar y robusta al ruido presente en imágenes reales [4]. Generalmente, la TH consiste de las siguientes fases: votación, localización de picos, determinación de los parámetros actuales y verificación. Cada una de las cuales ha sido, ampliamente, descrita en la literatura [5].Una de sus principales desventajas de la TH, radica en el alto costo computacional que requiere para la realización de los cálculos y el almacenamiento de los datos [4], debido a lo anterior existen gran variedad de trabajos que buscan reducir la complejidad computacional utilizando métodos paralelos [1][6]. En este trabajo, se propone realizar un diferente enfoque a la paralelización de la TH utilizando una técnica de descomposición a la imagen de entrada. Esta descomposición asegura carga de trabajo homogénea entre los procesadores participantes en la paralelización. Lo anterior permite que los tiempos de trabajo en los procesadores sean aproximadamente iguales, de tal manera, que se aproveche al máximo el tiempo de procesamiento en cada uno de ellos. Para realizar lo anterior, el artículo se organiza de la siguiente forma. En la sec. 2 se describe brevemente la TH. Los detalles de la paralelización se presentan en la sec. 3. La simulación por computadora y los resultados experimentales se describen y discuten en la sec. 4. Y finalmente, en la sec. 5 se muestran las conclusiones. El primer grupo utiliza los parámetros de la pendiente a y del parámetro de intersección con la ordenada b, para lo cual utiliza la representación de la recta dada por la siguiente ecuación: y=ax+b (1) por cada punto del plano pasan infinitas rectas, que satisfacen la ecuación anterior para diferentes valores de a y b. Considerando el plano ab denominado espacio de parámetros, da una única recta para cada punto, por ejemplo, si consideramos dos puntos (xi,yi) y (xj,yj), cada punto tendrá asociada una única recta las cuales al intersectarse darán los parámetros de a y b de la recta que contiene los puntos colineales de (xi,yi) y (xj,yj), tal como se muestra en la Fig.1 En la implementación de la TH se utilizan unas celdas acumuladoras, las cuales dividen el espacio de parámetros a fin de evaluar todos los posibles valores por cada punto e ir acumulando los frecuentes (fase de votación), dando como resultado la creación de una malla en los cuales mientras mayor sea el valor en cada casilla significa que se ha encontrado una línea recta (fase de localización de picos en la malla)[8]. El inconveniente de utilizar el espacio de parámetros es la dificultad de detectar líneas verticales debido a que los parámetros pueden llegar a ser infinitos mientras la línea se hace vertical. El segundo grupo utiliza coordenadas polares y está compuesto por los parámetros ρ y θ, con la siguiente ecuación ρ=x cosθ +y sinθ, (2) donde ρ es la distancia de la línea con el origen y θ es el ángulo entre el vector con respecto al eje de las abscisas, el comportamiento es similar a lo realizado en el primer grupo, la diferencia radica que en vez de rectas, por cada punto estará asociado un sinusoide en el plano ρ θ, como se muestra en la Fig. 2. Utilizando las coordenadas polares se soluciona el inconveniente del primer grupo. 2 EL ALGORITMO DE LA TRANSFORMADA DE HOUGH La transformada de Hough es utilizada para detectar líneas en aplicaciones de procesamiento de imágenes, para realizar lo anterior, transforma los puntos del plano cartesiano a un espacio de parámetros. La literatura clasifica la TH en dos grandes grupos dependiendo de la parametrización usada para representar líneas [7]. Fig. 1. (a) Recta en el plano xy; (b) Espacio de parámetros. 8

3 Fig. 2. (a) Parametrización de las lineas en el plano xy; (b) Curvas sinusoidales en el plano ρ θ. 3 EL ALGORITMO RÁPIDO PROPUESTO A continuación se presenta una técnica de descomposición de imágenes que se utilizará en el algoritmo propuesto. La técnica conocida como decimation technique, consiste en descomponer una imagen con un factor L a través de filas y columnas en un conjunto de L2 imágenes como se muestra en la Fig. 3. Los pasos del algoritmo se resumen a continuación: La imagen de entrada es de tamaño N x N pixeles, a la cual se le aplica un filtro Canny [8]. El objetivo es extraer los bordes principales de la imagen de entrada. Se realiza la descomposición de la imagen anterior con un factor L=2, y se asigna su ejecución a pi,i=1..4 procesadores. Cada procesador pi realiza la TH en el espacio de parámetros de ρθ con la subimagen que se le asigno. Cada uno de los pi procesadores tiene sus propias celdas acumuladoras generando una matriz de votación Mi. El tamaño de la Mi tiene los siguientes rangos -90< θ < 90 y -N< ρ <N. Al finalizar el procesamiento de los pi debido a que la carga es balanceada, se ahorra tiempo en el proceso de sincronización, ya que los pi consumirán aproximadamente el mismo tiempo al realizar su trabajo. Posteriormente, se realiza la unión de los resultados de las celdas acumuladores, es decir,mt= (i=1)^4 M_i^. Por lo que se obtiene un acumulador global. Finalmente, a partir de la MT se procede a encontrar los picos de las celdas utilizando un umbral conocido y se obtienen los parámetros actuales y se verifican en la imagen de entrada. Fig. 3. Descomposición de la imagen utilizando la técnica decimation con L=2 En la Tabla 1 se presenta el pseudocódigo del algoritmo propuesto en donde la I es la imagen de entrada a la cual se le aplica el filtro Canny con la finalidad de obtener los bordes de la imagen, el resultado de aplicar el filtro se almacena en Ic. Posteriormente, Ic se divide aplicando la técnica de descomposición piramidal mencionada con anterioridad, como consecuencia las imágenes resultantes se almacenan en ID(i), a la cual se le aplica la TH y el resultado se guarda en M(i) respectivamente. Como M(i) contiene los acumuladores parciales de la imagen de entrada, se suma al acumulador global MT.Es muy importante señalar que tanto la descomposición, la aplicación de la TH, así como la suma de los resultados se hace en paralelo, como se había mencionado, la paralelizacion se realiza utilizando cuatro procesadores. Para obtener los acumuladores máximos, y trazar las líneas en la imagen original, se utiliza las funciones Hough-picos y Hough-lineas respectivamente. El vector P contiene los parámetros necesarios para trazar las líneas y la imagen original con las líneas detectadas se encuentra en IL. I ImagenEntrada() IC AplicarFiltroCanny(I) For i 1 to 4 do in parallelo ID(i) Descompone-Ima(IC) M(i) TFHough(ID(i)) MT MT+M(i) End For P Hough-picos(MT) IL Hough-lineas(I,P) Tabla 1. Pseudocódigo del método propuesto 9

4 4 RESULTADOS EXPERIMENTALES En esta sección se presentan los resultados experimentales con una imagen de N x N con diferentes tamaños en pixeles, N={1024,2048,4096}. Los experimentos se realizaron en una computadora con procesador Intel Xeon con 4 núcleos, con 8GB de RAM. Se utilizó el software Matlab con el toolbox de paralelismo, en particular la función parfor para realizar la descomposición de la imagen y la TH utilizando cuatro procesadores. Las imágenes de prueba se muestran en la Fig. 4 y Fig. 7, las cuales corresponden al primer y segundo experimento respectivamente. Con el objetivo de medir la eficiencia del método propuesto, se comparó con la TH secuencial y con el método estándar de dividir la imagen de entrada en cuatro cuadrantes (división por segmentos). Al método propuesto le llamaremos división por intercalación para diferenciarlo del anterior. Se puede ver en la Fig. 5 que el método propuesto es más rápido que la TH secuencial y que el método de descomposición utilizando segmentos. El tiempo que se presenta en la Fig. 5 se incluye la suma de los acumuladores de cada procesador a la matriz global de acumuladores. Fig. 5. Rendimiento del método propuesto (intercalado) en términos de segundos y tamaño de la imagen de entrada, para la Fig. 4. Fig. 6. Utilizando la Fig. 4 con un tamaño de 2048 x 2048 pixeles, (a) carga de trabajo para el algoritmo que utiliza el método de descomposición por segmentos; (b) carga de trabajo para el algoritmo propuesto, el cual utiliza el método de descomposición intercalado. Fig. 4. Imagen de [8] utilizada en el primer experimento. En la Fig. 6 se muestran los resultados de las cargas de trabajo del método de división por segmentos contra el método propuesto para una imagen de 2048 x 2048 pixeles. Se puede observar que el método propuesto proporciona carga de trabajo homogénea a los procesadores, minimizando el tiempo total de ejecución de la TH. Esto es porque al realizar el método de descomposición por segmentos, es posible que existan pocas líneas dentro de uno de los segmentos, lo que origina una carga heterogénea para los procesadores. En la Fig. 8 se presenta el rendimiento el método propuesto con el método secuencial y la descomposición por segmentos para la Fig. 7. En la Fig. 9 se muestra la comparativa entre el método propuesto y el método de descomposición por segmentos utilizando una imagen de entrada de tamaño 2048 x 2048 pixeles, claramente se puede apreciar que la carga de trabajo y el tiempo de procesamiento es menor al método de descomposición por segmentos. 10

5 5 Conclusiones Fig. 7. Imagen utilizada para el segundo experimento. En este artículo se presentó un algoritmo rápido para la transformada de Hough utilizado para la detección de líneas rectas en una imagen de entrada. El algoritmo utiliza una técnica de descomposición aplicada a la imagen de entrada, lo que permite que la carga de trabajo entre los procesadores sea homogénea. Las simulaciones por computadora muestran que el algoritmo propuesto es más rápido que la TH secuencial y que otra técnica de descomposición de imágenes más común. Para un trabajo futuro, el algoritmo propuesto será implementado en GPU para mejorar su tiempo de respuesta. Fig. 8. Rendimiento del método propuesto (intercalado) en términos de segundos y tamaño de la imagen de entrada para la Fig.7. Fig. 9. Utilizando la Fig. 7 con un tamaño de 2048 x 2048 pixeles, (a) carga de trabajo para el algoritmo que utiliza el método de descomposición por segmentos; (b) carga de trabajo para el algoritmo propuesto, el cual utiliza el método de descomposición intercalado. 11

6 REFERENCIAS 1. Chen, L., Chen, H., Pan, Y., Chen, Y. A fast efficient parallel Hough transform algorithm on LARPBS. The Journal of Supercomputing. 2004, 29, Duda, R.O., Hart, P.E. Use of the Hough transform to detect lines and curves in pictures. Commun. ACM. 1972, 15(1), Zhu, T., Jeong-Hyun, K., Dong-Joong, K. Ellipse detection: a simple and precise method based on randomized Hough transform. Optical Engineering. 2012, 51(5). 4. Atiquzzaman, M. Multiresolution Hough transforman efficient method of detecting patterns in images. IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence. 1992, 14(11), } Ji J., Chen, G., Sun, L. A novel Hough transform method for line detection by enhancing accumulator array. Pattern recognition letters. 2011, 32, HanaHara, K., Matuyama, T., Uchiyama, T. A real-time processor for the Hough transform. IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence. 1988, 10(1), Gauil N.,Villalba J., Zapata, E. A fast hough transform for segment detection. IEEE transactions on image processing. 1995, 4(11), Gonzalez, R.C., Woods, R. E. Digital Image Processing. Pearson, Prentice Hall, Upper Saddle River. NJ, Acerca de los autores Luis Canul-Arceo, actualmente es pasante de la Licenciatura en Ciencias de la Computación de la Facultad de Matemáticas-Unidad Multidisciplinaria Tizimín de la Universidad Autónoma de Yucatán. Entre sus líneas de investigación se encuentra: procesamiento de imágenes, cómputo paralelo y reconocimiento de patrones. Lizzie Narváez-Díaz obtuvo su grado de Licenciatura en Ciencias de la Computación en 1997 en la Universidad Autónoma de Yucatán (UADY) y su Maestría en Ciencias de la Computación en 2006 en el Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey campus Cuernavaca (ITESM). Actualmente es Profesora de la Facultad de Matemáticas, UADY, UMT. Su área de interés son las redes de computadoras. José Luis López Martínez obtuvo su grado de Licenciatura en Ciencias de la Computación en 2002, en la Universidad Autónoma de Yucatán (UADY), México y el grado de Doctor en Ciencias de la Computación en 2011 en el Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada (CICESE), México. Actualmente, es profesor en la Facultad de Matemáticas, UADY, México. Su área de investigación incluyen el procesamiento de imágenes, computo paralelo y reconocimiento de patrones. 12