Qué es una computadora? Qué es un algoritmo? Bibliografía. Dispositivo para manipulación simbólica que ejecuta cualquier algoritmo.

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1 Algoritmos y Estructuras de Datos I Algoritmos y Estructuras de Datos I Segundo cuatrimestre de 2014 Departamento de Computación - FCEyN - UBA Especificación - clase 1 Introducción a la especificación de problemas Lógica proposicional Clases teóricas Profesores Verónica Becher, Hernán Melgratti, Paula Zabala Clases prácticas Mañana: Rodrigo Castaño, Esteban Pavese, Alexis Tcatch (JTPs) Noche: Brian Curcio, Gabriela Di Piazza (JTPs) Sitio web de la materia: Algoritmos y Estructuras de Datos I Régimen de aprobación parciales 2 parciales 2 recuperatorios (al final de la cursada) trabajos prácticos 2 entregas 2 recuperatorios (cada uno a continuación) grupos de 4 alumnos Exámen final o en caso de tener dado el final de Álgebra, coloquio. Calificacion= promedio de la cursada y el nota del coloquio, algo1-alu@dc.uba.ar algo1-doc@dc.uba.ar cursada = p 1 + p 2 + t 1 + t

2 Bibliografía A Method of Programming Edsger Dijkstra, W. H. Feijen Addison-Wesley Longman, 1988 Structured Programming Edsger Dijkstra, C. A. R. Hoare, Ole-Johan Dahl Academic Press, 1972 A Discipline of Programming Edsger Dijkstra Prentice Hall, 1976 Mathematical Logic: A Course With Exercises, Part 1 René Cori, Daniel Lascar. Oxford University Press, 2000 The Science of Programming David Gries Springer Verlag, 1981 Reasoned programming K. Broda, S. Eisenbach, H. Khoshnevisan, S. Vickers, Prentice-Hall, 1994 Qué es una computadora? 5 6 Qué es una computadora? Dispositivo para manipulación simbólica que ejecuta cualquier algoritmo. Qué es un algoritmo? Matemáticamente, es una función recursiva parcial universal. 7 8

3 Definición de Algoritmo Pasos primitivos Un algoritmo es una sucesión de pasos primitivos que permiten resolver un problema. Con qué pasos primitivos contamos? Ejemplo: Problema sumar dos números naturales. Algoritmo de suma escolar, por columnas Algoritmo de sucesor n veces. Problema: sumar dos números naturales Algoritmo suma escolar: sumo las unidades del primero a las del segundo, después las decenas y así ( llevándome uno de acarreo cuando hace falta). Algoritmo sucesor: voy sumando uno al primero y restando uno al segundo, hasta que llegue a cero. Algoritmo moderno: escribo el primero en una calculadora, aprieto +, escribo el segundo, aprieto =. Los tres algoritmos para distintas operaciones primitivas: sumar dos dígitos y acarreo, y concatenar resultados. sumar uno, restar uno y comparar por 0. apretar una tecla de una calculadora Definición de programa Fue en los años Definición: Un programa es la descripción de un algoritmo en un lenguaje de programación. El programa siempre termina? Alonzo Church, define el cáculo lamdba An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory, American Journal of Mathematics, 1936 A Note on the Entscheidungsproblem, Journal of Symbolic Logic, Es correcto? Es decir, resuelve el problema? Alan Turing, define máquina universal y demuestra sus limitaciones. On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem, Journal of the London Mathematical Society,

4 Algoritmos y Estructuras de Datos I Objetivos El principal: aprender a programar Especificar problemas describirlos en lenguaje no ambiguo, formal Escribir programas sencillos tratamiento de secuencias Razonar acerca de estos programas visión abstracta del cómputo manejo simbólico y herramientas para demostrar propiedades correctitud de un programa respecto de su especificación Algoritmos y Estructuras de Datos I Contenidos 1. Especificación de problemas Lenguaje formal cercano a la lógica proposicional 2. Introducción a la programación imperativa Semántica por transformación de estados Correctitud para especificación dada 3. Estructuras de datos Especificación de tipos de datos Implementación de tipos mediante estructuras de datos 4. Algoritmos sobre secuencias Búsqueda lineal Búsqueda binaria Algortimos de ordenamiento Intercalación ordenada (merge) y otros con dos secuencias 5. Noción de complejidad tiempo. 6. Algoritmos y estructuras de datos dinámicas Problemas y soluciones Especificación, algoritmo, programa Si vamos a escribir un programa, es porque hay un problema a resolver. necesitamos describirlo de manera precisa no siempre es claro que haya solución 1. especificación = descripción del problema qué problema tenemos? en lenguaje formal es un contrato que da las propiedades de los datos de entrada y las propiedades de la solución Edsger Dijkstra, C.A.R. Hoare (años 70) 2. algoritmo = descripción de la solución escrita para humanos cómo resolvemos el problema? 3. programa = descripción de la solución para la computadora también, cómo resolvemos el problema? usando un lenguaje de programación 15 16

5 Etapas en el desarrollo de programas 1. Especificación especificación: diseño: programación: validación: mantenimiento: definición formal del problema elegir una solución y dividir el problema en partes dar algoritmos e implementarlos en algún lenguaje testear y demostrar que el programa cumple con la especificación. corregir errores y adaptarlo a nuevos requerimientos. El planteo inicial del problema puede ser vago y ambiguo. Al especificar damos una descripción clara y precisa en lenguaje formal, por ejemplo, el lenguaje de la lógica matemática. Ejemplo, el problema calcular de edad de una persona, es vago porque: Cuáles son los datos? fecha de nacimiento, ADN Qué forma van a tener? días, años enteros, fracción de años Cómo recibo los datos? manualmente, archivo en disco, sensor E D P V M Cómo devuelvo el resultado? pantalla, papel, voz alta, Una especificación formaliza algunas, como: Necesito una función que, dadas dos fechas en formato dd/mm/aaaa, de la cantidad de días que hay entre ellas Diseño Varios programas o uno muy complejo? cómo dividirlo en partes? distintas partes en distintas máquinas? (mini) especificación de cada parte un programador recibe una sola (o una por vez) Programas ya hechos con los que interactuar? Estos son temas de Algoritmos y Estructuras de Datos II y de Ingeniería del Software I. 3. Programación (algoritmos) Escribir un algoritmo para dar solución a cada problema: Asumimos que están definidos los pasos primitivos Dar la sucesión de pasos para resolver cada problema Ejemplo: Dadas dos fechas a y b en formato dd/mm/aaaa, calcular la cantidad de días que hay entre ellas. Un algoritmo es: 1. restar el año de b al año de a 2. multiplicar el resultado por sumarle la cantidad de días desde el 1 de enero del año de b hasta el día b 4. restarle la cantidad de días desde el 1 de enero del año de a hasta el día a 5. sumarle la cantidad de 29 de febrero que hubo en el período Son todos pasos primitivos? si no, hay que dar algoritmos para realizarlos (Por ej. para 3, 4 y 5)

6 3. Programación (algoritmos) 3. Programación (estructuras de datos) traducir el algoritmo (escrito o idea) para que una computadora lo entienda lenguaje de programación Haskell (ya saben) Java (vamos a ver en esta materia) hay muchos otros pueden ser más adecuados para ciertas tareas depende del algoritmo, de la interfaz, tiempo de ejecución, tipo de máquina, interoperabilidad, entrenamiento de los programadores, licencias, etc. La elección del algoritmo viene junto con la elección de una representación de los datos. Ejemplos Para el problema de calcular la edad de una persona, es posible representar los datos como días, meses, años, fracciones de año, etc. Para el problema contar la cantidad de alumnos de cada género podríamos usar foto, nombre, ADN, etc. Una vez elegida la representación de los datos, es necesario elegir una estructura de datos computacional, que será usada por los algoritmos. En un tema de estudio en Algoritmos y Estructuras de Datos II Validación Asegurarse de que un programa cumple con la especificación Testeo probar el programa con muchos datos y chequear la especificación. si hay un error, con algo de suerte uno puede encontrarlo no es infalible (puede pasar el testing pero haber errores). Para garantizar corectitud, debería probar infinitos datos de entrada. Las técnicas de testeo son un tema de Ingeniería del Software I. Verificación formal demostrar matemáticamente que un programa cumple con una especificación. Se llama correctitud de un programa respecto de una especificación. Requiere que el lenguaje de especificación sea formal y admita una teoría de prueba, y una semántica. una demostración cubre infinitos valores de entrada (abstracción) es infalible (si está demostrado, el programa no tiene errores) 5. Mantenimiento tiempo después, encontramos errores el programa no cumpĺıa la especificación la especificación no describía correctamente el problema o cambian los requerimientos puede hacerlo el mismo equipo u otro justifica las etapas anteriores si se hicieron bien la especificación, diseño, programación y validación, las modificaciones van a ser más sencillas y menos frecuentes En esta materia vamos a estudiar cómo demostrar la correctitud de programas sencillos para problemas sencillos

7 Lenguaje naturales y lenguajes formales Lenguajes naturales idiomas (castellano) mucho poder expresivo (modos verbales potencial, imperativo, tiempos verbales pasado, presente, futuro, metáforas, etc. ) con un plus (conocimiento del contexto, experiencias compartidas, ambigüedad e imprecisión) Lenguajes formales limitan lo que se puede expresar todas las suposiciones quedan expĺıcitas relación directa entre lo escrito (sintaxis) y su significado (semántica) pueden tratarse formalmente símbolos manipulables directamente las manipulaciones son válidas también para el significado ejemplo: aritmética lenguaje formal para los números y sus operaciones resolvemos problemas simbólicamente sin pensar en los significados numéricos y llegamos a resultados correctos Es un tema de Teoría de Lenguajes y de Lógica y Computabilidad. 25 Especificación de problemas Es un contrato que define qué se debe a resolver y qué propiedades debe tener una solución: define el qué y no el cómo No usamos problemas para especificar problemas. Después de programar la especificación de problemas sirve para: testing verificación formal de correctitud derivación formal (construir un programa a partir de la especificación) 26 Parámetros de un problema Problemas funcionales ejemplo de problema: arreglar una cafetera para solucionarlo, necesitamos más datos qué clase de cafetera es? qué defecto tiene? cuánto presupuesto tenemos? se llaman parámetros del problema los valores de los parámetros se llaman argumentos cada combinación de valores de los parámetros es una instancia del problema una instancia: arreglar una cafetera de filtro cuya jarra pierde agua, gastando a lo sumo $30 no podemos especificar formalmente cualquier problema simplificación (para esta materia) problemas que puedan solucionarse con una función parámetros de entrada un resultado para cada combinación de valores de entrada 27 28

8 Tipos de datos Cada parámetro tiene un tipo de datos conjunto de valores para los que hay ciertas operaciones definidas. Cada tipo de datos lleva un nombre. Por ejemplo: parámetros de tipo fecha valores: ternas de números enteros operaciones: comparación, obtener el año,... parámetros de tipo dinero valores: números reales con dos decimales operaciones: suma, resta,... Contratos Una especificación es un contrato entre el programador de una función que resuelva el problema y el usuario de esa función. Ejemplo de problema: calcular la raíz cuadrada de un real Especificación de una función con un un argumento real va a calcular un resultado real Para hacer el cálculo, debe recibir un número no negativo obligación del usuario: no puede proveer números negativos derecho del programador de la función: puede suponer que el argumento recibido no es negativo. El resultado va a ser la raíz cuadrada del número. obligación del programador: debe calcular la raíz, siempre y cuando haya recibido un número no negativo derecho del usuario: puede suponer que el resultado va a ser correcto Partes de una especificación (contrato) Tiene 3 partes 1. encabezado 2. precondición condición sobre los argumentos el programador da por cierta lo que requiere la función para hacer su tarea por ejemplo: el valor de entrada es un real no negativo 3. poscondición condición sobre el resultado debe ser cumplida por el programador, siempre y cuando el usuario haya cumplido la precondición lo que la función asegura que se va a cumplir después de llamarla (si se cumpĺıa la precondición) por ejemplo: la salida es la raíz cuadrada del valor de entrada 31 El contrato El programador va a hacer un programa P tal que si el usuario suministra datos que hacen verdadera la precondición, entonces P va a terminar en una cantidad finita de pasos y va a devolver un valor que hace verdadera la poscondición. El programa P es correcto para la especificación dada por la precondición y la postcondición exactamente cuando se cumple el contrato. Si el usuario no cumple la precondición y P se cuelga o no cumple la poscondición... el usuario tiene derecho a quejarse? No. Se cumple el contrato? Sí. El contrato prevé este caso y dice que P solo debe funcionar en caso de que el usuario cumpla con la precondición Si el usuario cumple la precondición y P se cuelga o no cumple la poscondición... el usuario tiene derecho a quejarse? Sí. Se cumple el contrato? No. Es el único casode violación del contrato. 32

9 Una especificación es un contrato Contrato: El programador va a hacer un programa P para una especificación E tal que si el usuario suministra datos que hacen verdadera la precondición, entonces el programa P va a terminar en una cantidad finita de pasos y va a arrojar un valor que hace verdadera la poscondición. P es correcto para la especificación dada por la precondición y la postcondición cuando se cumple el contrato. Nuestro lenguaje de especificación Encabezado de un problema Ejemplos problema nombre(parámetros) = nombreres : tipores nombre: nombre que le damos al problema será resuelto por una función con ese mismo nombre nombreres: nombre que le damos al resultado tipores: tipo de datos del resultado parámetros: lista que da el tipo y el nombre de cada uno problema rcuad(x : Float) = result : Float { requiere x 0; asegura result result == x; problema suma(x : Int, y : Int) = result : Int { asegura result == x + y; problema resta(x : Int, y : Int) = result : Int { asegura result == x y; problema cualquieramayor(x : Int) = result : Int { asegura result > x; 35 36

10 Argumentos que se modifican (modifica y usa pre()) Problema: Incrementar en uno el argumento de entrada. Alternativa sin modifcar la entrada (usual). problema incremento(a : Int) = res : Int{ asegura res == a + 1; Alternativa que modifica la entrada: usamos el mismo argumento para la entrada y para la salida. problema incremento-modificando(a : Int){ modifica a; asegura a == pre(a) + 1; Observar que en este caso la función no tiene un resultado en su nombre. Otro ejemplo Dado dos enteros dividendo y divisor, obtener el cociente entero problema cociente(dividendo : Int, divisor : Int) = result : Int { requiere divisor > 0; asegura (result divisor dividendo) asegura ((result + 1) divisor > dividendo) La especificación anterior es la función haskell div or mod. Notar div (-5) 3 == -2 div 5 (-3) == -2 div (-5) (-3) == 1 mod (-5) 3 == 1 mod 5 (-3) == -1 mod (-5) (-3) == -2 cociente:: Int -> Int -> Int cociente x y (x < y) = 0 cociente x y (x >= y) = 1 + (cociente (x-y) y) cociente 1 0: No termina (pero no viola la especificación). cociente (-4) (-2) == 0. Viola la especificación. cociente 4 (-2): No termina. Viola la especificación Argumentos de salida (modifica, no usa pre()) Dos argumentos de salida (modifica, no usa pre) Problema: Calcular el cociente y el resto Cociente: el resultado de la función. Resto: argumento modificable. problema cocientemodificaresto(a, b, r : Int) = q : Int { requiere b > 0; modifica r; asegura a == q b + r 0 r < b; Problema: Calcular el cociente y el resto Cociente y resto: ambos argumentos modificables La función no tiene resultado en su nombre. problema ModificaCocienteYModificaResto(a, b, q, r : Int){ requiere b > 0; modifica q, r; asegura a == q b + r 0 r < b; 39 40

11 Sobrespecificación Subespecificación Dar una postcondición más restrictiva que lo que se necesita o una precondición más laxa Limita excesivamente los posibles algoritmos que resuelven el problema, porque impone más condiciones para la salida, o ampĺıa los datos de entrada. Ejemplo de sobrespecificación: problema distinto(x : Int) = res : Int { asegura res == x + 1; en vez de problema distinto(x : Int) = res : Int { asegura not(res == x) Dar una una precondición más restrictiva o postcondición más débil. Deja afuera datos de entrada o ignora condiciones necesarias para la salida (permite soluciones no deseadas). Ejemplo de subespecificación: problema distinto(x : Int) = res : Int { requiere x > 0; asegura not(res == x) en vez de : problema distinto(x : Int) = res : Int { asegura not(res == x) Especificar los siguientes problemas Especificar el siguientes problema: Calcular la función signo problema signo(x : Float) = r : Int { asegura(r == 0 x == 0) (r == 1 x < 0) (r == 1 x > 0) Calcular el área de un triángulo rectángulo problema area(x, y : Float) = r : Float { requiere x > 0 requiere y > 0 asegura r == x y/2 Encontrar una raíz para un polinomio de grado 2 problema raizpolinmiogrado2(a, b, c : Float) = r : Int { requiere a 0 requiere b b 4 a c asegura a r r + b r + c == 0 43 Dada una hora,minutos y segundos correspindientes a una hora de la mañana, dar la cantidad de segundos que faltan hasta mediodía. problema hastamediodia(h, m, s : Int) = r : Int { requiere 0 h < 12 requiere 0 m < 60 requiere 0 s < 60 asegura r + (h 60 + m) 60 + s ==

12 Lógica proposicional - sintaxis símbolos true, false,,,,,,, (, ) Lógica proposicional variables proposicionales (infinitas) p, q, r,... fórmulas 1. true, false y son fórmulas 2. cualquier variable proposicional es una fórmula 3. si A es una fórmula, A es una fórmula 4. si A 1, A 2,..., A n son fórmulas, (A 1 A 2 A n ) es una fórmula 5. si A 1, A 2,..., A n son fórmulas, (A 1 A 2 A n ) es una fórmula 6. si A y B son fórmulas, (A B) es una fórmula 7. si A y B son fórmulas, (A B) es una fórmula Semántica clásica Semántica clásica 2 valores de verdad posibles 1. verdadero (1) 2. falso (0) El valor de verdas de una fórmula se obtiene a partir del valor de verdad de sus subfórmulas. true siempre vale 1 false siempre vale 0 A se interpreta como no, se llama negación se interpreta como y, se llama conjunción se interpreta como o (no exclusivo), se llama disyunción se interpreta como si... entonces, se llama implicación se interpreta como si y solo si, se llama doble implicación o equivalencia Conociendo el valor de las variables proposicionales de una fórmula, conocemos el valor de verdad de la fórmula p p p q (p q) p q (p q) p q (p q) p q (p q)

13 Ejemplo: tabla de verdad para ((p q) r) Un ejercicio p q r (p q) ((p q) r) Escribir la siguiente frase como una fórmula de lógica proposicional. Si Juan está cursando y no conoce a nadie entonces Juan todavía no tiene grupo Solución: p = Juan está cursando q= Juan no conoce a nadie r= Juan no tiene grupo (p q) = r Otro ejercicio Oro ejercicio más Si Juan está cursando y no conoce a nadie entonces Juan todavía no tiene grupo Sea p = Juan está cursando; q= Juan no conoce a nadie; r= Juan no tiene grupo. (p q) = r. Esta fórmula es equivalente a una sola de las siguientes. A cuál? 1. Si Juan está cursando entonces no tiene grupo. Solución (p = q) Cuáles de las siguientes son una especificación adecuada para el el problema de decidir si un número entero es positivo? problema espositivo (x : Int) = r : Bool 1. asegura(x > 0 r == true) 2. asegura(x > 0 r == true) (x <= 0 r == false) 2. Si Juan no tiene grupo entonces Juan no conoce a nadie. Solución (r = q) 3. Si Juan está cursando y no tiene grupo entonces Juan no conoce a nadie. Solución (p r) = q 4. Si Juan no conoce a nadie entonces está cursando y no tiene grupo. Solución q = (p r) 5. Si Juan no conoce a nadie entonces está cursando o no tiene grupo. Solución q = (p r) 6. Si Juan tiene grupo entonces Juan conoce a alguien. Solución r = q 7. Si Juan tiene grupo entonces es imposible que esté cursando y no conozca a nadie Solución r = (p q) asegura(x > 0 r == true) (x <= 0 r == false) 4. asegura(x > 0 = r == true) 5. asegura(x > 0 = r == true) (x <= 0 = r == false) 6. asegura(x > 0 = r == true) 7. asegura(x > 0 r == true) 8. asegura(x <= 0 r == false) Solución: La número 3 es adecuada. Y las que son equivalentes a la postcondición dada en 3. Descubrirlas escribir las postcondiciones como fórmulas de tipo Bool y hacer las tablas de verdad usando, p : (x > 0), q : (r == true). Notar que ( p) : (x <= 0) y ( q) : (r == false) 52