Modelo de Computación Cuántica. Jesús García López de Lacalle

Transcripción

1 Modelo de Jesús García López de Lacalle Grupo de Investigación Mathematical Modeling and Biocomputing (MMBC) ETS de Ingeniería de Sistemas Informáticos Universidad Politécnica de Madrid

2 Modelo de 1. Un poco de historia.... Unidad de información cuántica 3. Qubits entrelazados 4. Puertas cuánticas 5. Propiedades de los qubits: Imposibilidad de copiar qubits Qubits no distinguibles Teletransporte de qubits 6. Algoritmos cuánticos básicos Problema de Deutsch Problema de Deutsch-Jozsa Problema de Simon

3 1. Un poco de historia... Los inicios de la computación cuántica Paul Benioff (198): Quantum mechanical Hamiltonian models of Turing machines, J. Stat. Phys. 9, (198) David Deutsch (1985): Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proc. of the Royal Society of London Ser. A, A400, (1985) Richard Feynman (198): Simulating physics with computers, International Journal of Theoretical Physics 1, 6-7, (198)

4 1. Un poco de historia... Los inicios de la criptografía cuántica Stephen Wiesner (196...): Conjugate coding, Sigact News, 15 (1), (1983) Charles H. Bennett y Gilles Brassard (1984): Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing, IEEE Int. Conf. on Computers, Systems and Signal Processing, (1984) Artur K. Ekert (1991): Quantum Cryptography Based on Bell s Theorem, Phys. Rev. Lett., 67 (661), (1991) Charles H. Bennett (199): Quantum cryptography using any two nonorthogonal states, Phys. Rev. Lett., 68 (1), (199)

5 1. Un poco de historia... Algoritmos cuánticos importantes Lov K. Grover (1995): Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack, Phys. Rev. Lett., 79 (), (1997) Determinar si un elemento pertenece o no a un conjunto desordenado de tamaño N ( N ) O Peter W. Shor (1994): Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer, SIAM J. Comp., 6 (5), (1997) Calcular un divisor no trivial de un entero N Calcular el logaritmo discreto en base B de A módulo N O ( log 4 (N) log log(n) )

6 . Unidad de información cuántica Representación de la información Unidad elemental de información: bit: b = 0 ó 1 qubit: q = 0, 1 ó a 0 + b 1 con a, b IC ( a + b = 1) q H = L( 0, 1 ), B 1 = [ 0, 1 ] base de computación (ortonormal) Implementación física de un qubit: En criptografía el soporte físico es un fotón: 0 = polarización horizontal del fotón 1 = polarización vertical del fotón En computación el soporte físico es un ión: 0 = espín del electrón externo 1/ 1 = espín del electrón externo +1/

7 . Unidad de información cuántica Lectura de la información Consideremos el qubit q = Al medirlo sólo pueden darse dos resultados: 0 ó 1 La medida del qubit q es un experimento aleatorio: Estado final Probabilidad Medida 0 p 0 = 1 = p 1 = = 3 1 4

8 . Unidad de información cuántica Representación de un qubit q = a 00 + b 01 + c 10 + d 11 q H = L( 00, 01, 10, 11 ) H = H H y 00 = 0 0, = 1 1 Medida del primer y segundo qubit del estado q = Estado Prob Medida 1 Estado Prob Medida 00 p 0 = 1 11 p 1 = 1 0 = 00 p 0 = = 11 p 1 = 1 1 La medida de los dos qubits coincide siempre

9 . Unidad de información cuántica Representación de un n qubit n qubit: q = x 1 q = n 1 x=0 a x x x n a x1 x x n x 1 x x n ( n 1 x=0 a x = 1 Estados básicos: x = x 1 x... x n = x 1 x x n ) ( ) a x1 x x n = 1 x 1 x n Espacio vectorial: H n = L( n 1 ) = H H H Base de computación: B n = [ 0, 1,..., n 1 ] (ortonormal) Medida del j ésimo qubit: Prob: p b = x j =b a x Estado resultante: q = 1 pb x j =b a x x

10 3. Qubits entrelazados Característica esencial de la información cuántica Estado producto: q = = ( ) ( ) 0 1 ) 0 1 Estado entrelazado: q = La mayoría de los estados son entrelazados Pares EPR: q = Son estados con entrelazamiento máximo Son fundamentales en criptografía, teletransporte, etc

11 4. Puertas cuánticas Transformación de la información Un n qubit se transforma mediante una aplicación U : H n H n tal que: U es lineal y conserva la norma Por tanto, U es una transformación unitaria Para evaluar U es preciso descomponerla en puertas cuánticas elementales: Negación: Negación controlada: Hadamard: X : X = C : ( H : 0 + = = 0 1 ) C = H = 1 ( )

12 4. Puertas cuánticas Transformación de la información Aplicación de la puerta X al segundo qubit en un qubit: X : X = Encontrar un algoritmo U que transforme U = C 1,3 C 1, Encontrar un algoritmo U que transforme U = C 1,3 C 1, H 1

13 5. Propiedades de los qubits Propiedades fundamentales Las medidas modifican los estados cuánticos Las medidas no dan información suficiente para conocer los estados cuánticos Un estado cuántico no se puede copiar No existe U tal que: U (Ψ 0 ) = Ψ Ψ para todo Ψ U (( ) 0 ) = U ( 0 0 ) + U ( 1 0 ) = = ( ) ( ) Dos estados no ortogonales son indistinguibles Por ejemplo: 0 y +

14 5. Propiedades de los qubits Teletransporte Alicia β = Φ 1 Φ Benito Ψ Φ =Ψ y H m 1 Alice { b 00 m X m Z m 1 y Bob

15 5. Propiedades de los qubits Teletransporte y { b 00 H m 1 m X m Z m 1 y Alice Bob Ψ β 00 = 1 [ a 0 ( ) + b 1 ( )] 1 [ a 0 ( ) + b 1 ( )] 1 [ ( ) ( ) ( ) ( )] a b = 1 [ ( ) ( ) 00 a 0 + b a 1 + b ( a 0 b 1 ) + 11 ( a 1 b 0 )]

16 6. Algoritmos cuánticos básicos Problema de Deutsch Dada una función booleana f : { 0, 1 } { 0, 1 } y su transformación unitaria asociada U f, encontrar un algoritmo que determine si f es constante o no aplicando U f el menor número posible de veces U f ( x y ) = x y f(x) 0 0 H H U f H ( ) ( 0 1 ) 1 ( ( 0 f(0) f(0) ) + 1 ( f(1) f(1) )) = 1 ( 0 + ( 1)α 1 ) ( f(0) f(0) ) 1 α ( f(0) f(0) ) α (probabilidad = 1)

17 6. Algoritmos cuánticos básicos Problema de Deutsch-Jozsa Dada una función booleana f : { 0, 1 } n { 0, 1 } constante o balanceada y su transformación unitaria asociada U f, encontrar un algoritmo que determine si f es constante o es balanceada aplicando U f el menor número posible de veces 0 0 W H U f W

18 6. Algoritmos cuánticos básicos Problema de Deutsch-Jozsa 0 W 0 H U f W ( x ( 0 1 )) n+1 0 x< n 1 ( ( )) x f(x) f(x) n+1 0 x< n 1 ( ( 1) n x y y ( )) f(x) f(x) 0 x< n 0 y< n 1 = n 0 ( ) f(x) f(x) + 0 x< n 1 n y ( ( ( 1) x y f(x) f(x) )) 0<y< n 0 x< n

19 6. Algoritmos cuánticos básicos Problema de Simon Dada una función booleana f : Z n Zn a 1 y periódica, encontrar un algoritmo que calcule en periodo de f aplicando U f el menor número posible de veces 0 0 W U f W ( k 0 ) 1 ( k f(k) ) n 0 k< n n 0 k< n 1 ( ( l + l T ) j medida j, { l, l T } = f 1 (j) ) 1 ) (( 1) l k + ( 1) (l T ) k k j n+1 0 k< n 1 ( = ( 1) l k 1 + ( 1) T k) k j n+1 0 k< n k tal que T k = 0