Todo lo que se puede conocer tiene un número. Sin el número, no conocemos ni comprendemos nada. Filolaos (siglo V a.c.)

Transcripción

1 Todo lo que se puede conocer tiene un número. Sin el número, no conocemos ni comprendemos nada. Filolaos (siglo V a.c.) Unidad Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables Objetivos: problema.

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3 ÁLGEBRA Introducción En la unidad definimos lo que es una ecuación lineal en general. En esta unidad consideraremos solamente las ecuaciones lineales con dos variables; es decir, aquellas que tengan la forma: a + b = c, en donde a, b c son números reales. Sabemos que una ecuación o un conjunto de ecuaciones se puede interpretar e incluso ser la representación simbólica de un problema físico. Por ejemplo, supón que tus ahorros son $.0 que te proponen que realices dos inversiones, una de $0.00 otra de $.0, las cuales te proporcionarán como interés total la cantidad de $.60. Pero si intercambias las cantidades, entonces el interés total será de $.0. Cuáles son las tasas de interés? El planteamiento es como sigue: A las tasas de interés las llamaremos: Entonces tenemos que el interés total en el primer caso es: 0 +. =.6 () El interés total en el segundo caso es:. + 0 =.0 () Para determinar las tasas de interés debemos encontrar la solución común o conjunto de soluciones comunes de las ecuaciones () (). Cuando tenemos varias ecuaciones lineales nos interesa conocer la intersección de sus soluciones, entonces decimos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales. Recuerda que una sola ecuación lineal con más de una incógnita tiene un número infinito de soluciones. Por tal motivo, cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales lo que se determina es la intersección de los conjuntos solución de cada ecuación. Debemos tener en cuenta que una ecuación lineal es una ecuación cuo grado máimo es, por tanto, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones donde todas son de primer grado o lineales. Qué es un sistema de ecuaciones? Ejemplos:. D etermina si el siguiente sistema de ecuaciones es un sistema lineal: () () Como ambas ecuaciones tienen términos cuos grados son maores a, concluimos que el sistema no es lineal. 9

4 Unidad. D etermina si el siguiente sistema de ecuaciones es un sistema lineal Como ambas ecuaciones son de primer grado, el sistema sí es lineal. En esta unidad estudiaremos varios métodos para resolver el caso especial de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Un sistema con dos ecuaciones lineales dos variables se dice que es un sistema de por. Ejercicio Determina si cada uno de los sistemas es un sistema de ecuaciones lineales en dos variables En los ejercicios escribe el sistema de ecuaciones que describe el problema determina si es un sistema de ecuaciones lineales en dos variables.. El triple de un número, menos el doble de otro, menos unidades es, pero si el primer número se resta del segundo el resultado es.. El quíntuple del lado de un cuadrado menos el número que representa su área es 6, mientras que el doble de su lado más su perímetro es. 60

5 ÁLGEBRA.. Solución algebraica Resolver un sistema de ecuaciones lineales a través de un método algebraico asegura la eactitud de las soluciones. Eisten varios problemas que pueden manejarse sin tropiezos por medio de una aproimación adecuada de su solución. Sin embargo, es importante contar con recursos que nos conduzcan a respuestas eactas para cuando éstas sean necesarias, como pudiera ser el caso de cantidades en una concentración química, cantidades de material para minimizar costos, etcétera. Recuer das cuándo dos ecuaciones son equivalentes?... Método de eliminación Este método está basado en la equivalencia de ecuaciones. Para obtener ecuaciones equivalentes a partir de una ecuación dada, se pueden realizar de manera general dos tipos de operaciones. Primera: sumar o restar la misma cantidad en ambos lados de la ecuación. Segunda: multiplicar o dividir por la misma cantidad ambos lados de la ecuación. En los dos tipos de operaciones se inclue la reducción de términos semejantes. Ejemplos: equivalentes:. Considera la ecuación =, entonces las siguientes ecuaciones son algunas de sus = Porque se restó en cada miembro. = 8 Porque se efectuó la resta. 8 Porque se dividió entre 8 cada miembro. 8 8 Porque se redujo la fracción. 6

6 Unidad equivalentes:. Considera la ecuación = ; entonces las siguientes ecuaciones son algunas de sus 6 = Porque se multiplicó por cada miembro. + 0 = Porque se multiplicó por cada miembro. + 0 = Porque se dividió por cada miembro. Porque se dividió por 6 cada miembro. Ejercicio D etermina si las ecuaciones son equivalentes.. + = 0 =. + = + =. + = =. 6 = 6 + = 8. + = = 0 Sistemas equivalentes de dos ecuaciones lineales con dos variables a b c a b c Decimos que el sistema es equivalente al sistema si tienen las d e f d e f mismas soluciones. a b c a b c Simbólicamente, la equivalencia se representa como: d e f d e f L os dos sistemas tienen el mismo número de ecuaciones el mismo número de variables. El método de eliminación consiste en:. Seleccionar dos ecuaciones equivalentes a las del sistema original de tal forma que al sumarlas o restarlas se elimine una de las variables.. Resolver la ecuación resultante.. Sustituir en una de las ecuaciones del sistema original o equivalente el valor de la variable obtenido en.. Resolver la ecuación resultante. 6

7 ÁLGEBRA Ejemplos:. ( ) 8 ( ) Siguiendo el punto del método de eliminación, multiplicamos la Ec. () por se la sumamos a la Ec. () para eliminar la variable. A partir de este ejemplo escribiremos simplemente: Ec. () + Ec. (). ( ) 8 ( ) La ecuacion () se multiplica por 6 ( ') 8 ( ') 0 + = Ecuación resultante: = Solución Ec. resultante: = = Sustituendo este valor en la Ec. () obtenemos: + () = + 0 = Solución Ec. resultante: = 8 Por lo tanto, la solución del sistema es: = 8 = Comprobación: ( 8) ( ) 8 0 ( ) ( 8) ( ) 8 ( ) 6. ( ) ( ) En general, el método de eliminación consiste en multiplicar las ecuaciones () (), de tal forma que los coeficientes de (o de ) sean iguales, pero de signo contrario en el sistema equivalente. Ilustremos esta idea con nuestro ejemplo. Observa que: Ec. () + Ec. () Elimina la variable. ( ) 9 ( ') ( ) 8 ( ') Ecuación resultante: = Solución Ec. resultante: Sustituendo en la Ec. () obtenemos: 6 6 6

8 Unidad Solución Ec. resultante: 9 9 Por lo tanto, la solución es: Comprobación: ( ) ( ) En este ejemplo los coeficientes de las en el sistema original eran, el coeficiente (con signo contrario) de las en el sistema equivalente fue. Cómo deter minar los númer os por los que se multiplica cada ecuación de tal for ma que sean los óptimos? Qué relación eiste entre,? Veamos otro ejemplo:. 6 ( ) 0 ( ) Observa que: Ec. () + 6 Ec. () elimina la variable. 0 0 ( ') Sistema equivalente: 0 0 ( ') El coeficiente (con signo contrario) de la es: 0 Los coeficientes de las en el sistema original eran 6 el coeficiente (con signo contrario) de las en el sistema equivalente fue 0. Qué relación eiste entre, 6 0? Por otra parte: Ec. () + Ec. () elimina la variable. Sistema equivalente: ( ') 0 0 ( ') El coeficiente (con signo contrario) de las es: Qué r elación eiste entr e los variable que se desea eliminar en el sistema or iginal de esa var iable en el sistema equivalente? L os coeficientes de las en el sistema original eran el coeficiente (con signo contrario) de las en el sistema equivalente fue. Qué relación eiste entre,? Observa que: En el ejemplo 6 el mínimo común múltiplo de los coeficientes de las es M CM(,)= ; por tal motivo, multiplicamos la Ec. () por la Ec. () por, para obtener en ambos como coeficientes. 6

9 ÁLGEBRA En el ejemplo el mínimo común múltiplo de los coeficientes de las es MCM(,6)= 0; por tal motivo, multiplicamos la Ec. () por la Ec. () por 6, para obtener como coeficientes 0 0. Por último, en el ejemplo el mínimo común múltiplo de los coeficientes de las es MCM (,)= ; por tal motivo, multiplicamos la Ec. () por la Ec. () por, para obtener como coeficientes. Generalizando tenemos lo siguiente: a b c ( ) Si el sistema a resolver es: se desea eliminar la variable, entonces: d e f ( ) i. Encuentra MCM( a, d )= M. Las barras señalan valor absoluto lo único que te indican es que no tomes en cuenta el signo de a, ni el de d. ii. Determina el entero a', tal que ( a )(a')= M determina el entero d', tal que ( d )(d')= M. a' por Ec. ( ) ( ') iii. Encuentra el sistema equivalente a través de: d' por Ec. ( ) ( ') iv. Dependiendo del signo de a de d tendrás que sumar o restar para eliminar obtener la ecuación resultante que depende de. v. Resuelve la ecuación resultante. vi. Sustitue el valor de en cualquiera de las ecuaciones del sistema despeja. La solución del sistema es el valor de el valor de así obtenidos. Ejemplos: 8. veces un número es 6 unidades menor que el triple de otro, mientras que 0 veces el primer número es unidades menor que veces el segundo. Cuáles son los números? Al primer número lo llamamos: Al segundo número lo llamamos: veces es 6 unidades menor que veces : + 6 = Ordenando: = 6 0 veces es unidades menos que veces : 0 + = Ordenando: 0 = 6 ( ) El sistema por resolver es: 0 ( ) Eliminaremos, entonces calculamos el MCM(,0) que es 0. Observa que ()()= 0 que (0)()= 0, por lo tanto: Ec. () Ec. () elimina la variable. 6

10 Unidad 6 ( ) 0 0 ( ') 0 ( ) 0 ( ') 0 = Restando miembro a miembro se obtiene la ecuación resultante, que es: = Solución Ec. resultante: = Sustituendo en la Ec. () obtenemos: ( )= 6 = 8 Solución Ec. resultante: = Por lo tanto, la solución es: = = ; es decir, el primer número es el segundo es. Comprobación: ( ) ( ) 6 ( ) 0( ) ( ) ( ) Ecuaciones lineales con dos variables linealmente independientes Si se tiene el sistema a b c d e f ( ) ( ) eiste un número k, no necesariamente entero, ni necesariamente positivo, tal que al sumar las ecuaciones del sistema equivalente ka kb kc d e f ( ') ( ') se obtiene 0= 0; entonces se dice que las ecuaciones Ec. () Ec. () son linealmente dependientes (L.D.). Dos ecuaciones con dos variables son linealmente dependientes si una es múltiplo de la otra. Ejemplos: 9. Consideremos el siguiente sistema ( ) 6 ( ) Para evitar fracciones multiplicamos la Ec. () por obtenemos el sistema equivalente: 66

11 ÁLGEBRA 6 8 ( ') 6 ( ') Restando miembro a miembro obtenemos 0= esto es un absurdo. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. H emos visto que dado un sistema de por puede suceder que: El sistema a b c d e f genera una epresión de la forma: Tipo de solución. A =B Ecuación con respecto a. o C=D Ecuación con respecto a. Única. 0=k, en donde k es un número diferente de cero. No eiste. Tabla.. Observación: cuando en un problema en particular se tienen condiciones adicionales para las variables, el caso de 0= 0 no necesariamente arroja soluciones infinitas. Ejercicio Resuelve los siguientes sistemas por el método de eliminación Aplica el método de eliminación para determinar si cada uno de los siguientes problemas tiene solución. Si la respuesta es afirmativa, resuélvelo. Si es negativa, eplica por qué. 6

12 Unidad. Un avión recorrió 00 km en 6 h con el viento a su favor, mientras que volando en contra del viento se demoró 8 h. Cuál es la velocidad del avión con el viento en calma cuál es la velocidad del viento?. José invirtió una parte de su dinero al % el resto al 8%. El ingreso por las inversiones fue de $ Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $ Qué cantidad representa cada parte?. La edad de A, más 8 la edad de B es, mientras que el sétuple de la edad de A, más el 6 séptuple de la edad de B es 0. Cuántos años tiene A cuántos años tiene B?... Método de sustitución Con lo que hemos estudiado hasta ahora, sabemos que un sistema de por está formado por dos ecuaciones de la forma a + b = c. Sabemos que la solución de este tipo de ecuación con c b respecto a es: a, si a 0, o bien que la solución con respecto a es: c a, si b 0. b Veamos cómo podemos aplicar esta información a través de algunos ejemplos. Ejemplos: 0. ( ) ( ) Por observación podemos apreciar que la Ec. () es más simple que la Ec. () la variable más sencilla para despejar en esta ecuación es. Resolviendo la Ec. () con respecto a, obtenemos que: = + (') Sustituendo el valor de en la Ec. (): ( + ) + = Realizando operaciones: = = Resolviendo la ecuación resultante: Sustituendo el valor de en la Ec.(') obtenemos: 68

13 ÁLGEBRA Por lo tanto, la solución del sistema es Comprobación: ( ) 9 ( ). Un joero combina oro de quilates de quilates obtiene oro de 8 quilates. Si tuviera 9 onzas más de oro de quilates, obtendría oro de 0. quilates. Cuántas onzas tiene de oro de quilates cuántas de oro de quilates? A la cantidad de onzas de oro de quilates la llamamos: A la cantidad de onzas de oro de quilates la llamamos: Al combinar el oro de quilates con el oro de quilates se obtiene oro de 8 quilates: + = 8( + ) Desarrollando: = 0 Al combinar 9 onzas más de oro de quilates con el oro de quilates se obtiene oro de 0. quilates: ( + 9)+ = 0.( + + 9) Desarrollando:. 8. =. 0 ( ) El sistema por resolver es:. 8.. ( ) Para evitar decimales multiplicamos por 0 la Ec. () obtenemos el sistema equivalente: 0 ( ') 8 ( ') Resolveremos por el método de sustitución: Despejando de Ec. (), obtenemos: = ('') Sustituendo en la Ec. (), obtenemos: 8 = 0 = Resolviendo la ecuación resultante: Sustituendo el valor de en la Ec.(''), obtenemos: = 6. Por lo tanto, la solución del sistema es = 6. = 6.; es decir, el joero tiene 6. onzas de oro de quilates 6. onzas de oro de quilates Comprobación: ( ). ( 6. ) 8. ( 6. ). 0.. ( ) 69

14 Unidad Generalizando, podemos decir que el método de sustitución consiste en: dado el sistema a b c d e f ( ) ( ) i. Resolver la Ec. () o la Ec. () con respecto a una de las variables. A esta ecuación llámesele Ec. (') ii. Si se resolvió la Ec. (), entonces sustituir el valor de la variable despejada en la Ec. (). Si se resolvió la Ec. (), entonces sustituir el valor de la variable despejada en la Ec. (). iii. D espejar la variable de la ecuación resultante. iv. Sustituir este último valor en la Ec. (') despejar la variable en esta ecuación resultante. v. La solución del sistema es el valor de las variables así obtenidas. Ejemplos:. Se tienen $86.00 en monedas de $.00 de $.00. Si las monedas de $.00 fueran de $.00 las monedas de $.00 fueran de $.00, el valor total sería de $0.00. Cuántas monedas ha de cada una? A la cantidad original de monedas de $.00 la llamamos: A la cantidad original de monedas de $.00 la llamamos: La suma de las cantidades originales de monedas es $86.00: + = 86 () Si las monedas de $.00 fueran de $.00 las de $.00 fueran de $.00, la suma total sería $0.00: + = 0 + = 0 () El sistema por resolver es: 86 ( ) 0 ( ) 0 Resolveremos por el método de sustitución; para iniciar seleccionamos la Ec. (), porque es la más sencilla: D espejando de Ec. (), obtenemos: Sustituendo en la Ec. (), obtenemos: 0 Desarrollando: ( ') 86 ( 0 ) = 8 Resolviendo la ecuación resultante: = 8 0 ( 8) 60 Sustituendo el valor de en la Ec. ('),obtenemos: 0 Por lo tanto, la solución del sistema es = 8 = 0; es decir, la cantidad original de monedas es 8 monedas de $.00 0 monedas de $.00.

15 ÁLGEBRA Comprobación: ( 8) ( 0) ( ) ( 8) ( 0) ( ). veces el largo de un rectángulo más veces su ancho es 9 unidades, mientras que el doble de su ancho más de su largo es unidades. Cuáles son sus dimensiones? Al largo del rectángulo lo llamamos: Al ancho del rectángulo lo llamamos: veces su largo más veces su ancho es 9 unidades: + = 9. Cómo indica el método de sustitución que un sistema tiene un númer o soluciones? El doble de su ancho más de su largo es : El sistema a resolver es: Multiplicamos por la Ec. () para evitar fracciones: 9 ( ) ( ) 9 ( ') ( ') L o resolveremos por el método de sustitución: Resolviendo la Ec. ') con respecto a, obtenemos que: Sustituendo el valor de en la Ec. ('): + = 9 Multiplicando por tenemos: 60 + ( )= 6 ('') 60 60= = 0 Al igual que en el método de eliminación, este resultado nos indica que las ecuaciones del sistema son linealmente dependientes, por lo tanto: 9 ( ) ( ) 9 ( ') ( ') Observa que si multiplicamos por la ecuación (') obtenemos la ecuación ('); esto significa que las ecuaciones son linealmente dependientes.

16 Unidad L a solución de esta última ecuación es ; por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, el hecho de que representen las dimensiones de un rectángulo nos obliga a restringir sus valores. Por ejemplo = es una solución del sistema, pero no ( ) puede ser una solución del problema porque entonces esto es una contradicción. Por otra parte, si =, entonces =, lo cual significa que el largo del rectángulo es unidad el ancho es unidades. Comprueba este resultado encuentra dos soluciones más al problema. Ejercicio Aplica el método de sustitución para determinar si cada uno de los siguientes sistemas tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución. Si el sistema tiene solución, resuélvelo Aplica el método de sustitución para resolver los siguientes problemas:. Si el largo de un terreno rectangular se disminue en m su ancho se incrementa en m, su área se incrementa en 6 m, pero si su largo se aumenta en m su ancho se disminue en m, el área aumenta m. Cuál es la superficie del terreno original?. El punto de apoo de dos cargas de 60 kg 0 kg está situado de tal manera que las cargas quedan en equilibrio. Sin embargo, si a la carga de 60 kg se le agregan 0 kg, la carga de 0 kg debe recorrerse 0. cm a la izquierda para mantener el equilibrio. Encuentra la distancia original entre las dos cargas de 60 kg 0 kg.

17 ÁLGEBRA.. Sistemas de ecuaciones reducibles o resolubles como un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables En ocasiones la forma como es epresada una ecuación no permite que se le catalogue en una primera instancia como una ecuación lineal en dos variables, sino que es necesario trabajarla un poco para notar que pertenece a este tipo de ecuación. En esta sección estudiaremos algunos procedimientos que nos permitirán obtener sistemas de ecuaciones lineales con dos variables equivalentes a sistemas de ecuaciones que aparentemente no pertenecen a esta clasificación. También estudiaremos la forma de resolver algunos sistemas de ecuaciones que no son necesariamente lineales en dos variables, pero que por medio de un cambio de variable pueden manejarse como tales. Ejemplos:. Cada una de las siguientes ecuaciones es equivalente a una ecuación lineal en dos variables. a) ( )(+ )= + Efectuando el producto del primer miembro, obtenemos: + = + Restando en ambos miembros: = Sumando en ambos miembros: = 8 Por lo tanto, ( )( + ) = + = 8 b) ( ) = ( + ) D esarrollando las potencias en cada miembro, obtenemos: 0 + = Restando en ambos miembros: 0 + = + 9 Sumando 0 9 en cada miembro: = Por lo tanto, ( ) = ( + ) = Ahora veamos algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones que son equivalentes a sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, o bien que, sin serlo, pueden manejarse como tales.. Si el largo de una piscina en forma rectangular disminue en 0 m su ancho aumenta 0 m, su área se incrementa en 00 m. Si el largo aumenta 0 m su ancho disminue m, el área de la piscina permanece constante. Cuál es el área de la piscina original?

18 Unidad Al largo original lo llamamos: Al ancho original lo llamamos: Si el largo disminue en 0m el ancho aumenta 0m, el área se incrementa en 00 m : ( 0)( + 0) = + 00 Si el largo aumenta 0m el ancho se disminue en m, el área no cambia: ( + 0)( ) = El sistema a resolver es: ( 0)( 0) 00 ( ) ( 0)( ) ( ) La Ec. (): ( 0)(+ 0)= = = 00 La Ec. (): ( + 0)( )= = 0 = 0 Por lo tanto: ( 0)( 0) 00 ( ) ( 0)( ) ( ) ( ') 0 0 ( ') Resolveremos este último sistema por el método de eliminación. Observa que este sistema es lineal en dos variables. Observa que este sistema es lineal en dos variables. L o resolveremos por el método de eliminación; para esto la ecuación (') se multiplica por la sumamos a la ecuación ('). Obtenemos como ecuación resultante: = 0 ('') Solución de la ecuación resultante: = 0 Sustituendo el valor de en la Ec. ('), obtenemos: (0) 0 = 0 0= 600 Solución de la ecuación resultante: = 60

19 ÁLGEBRA Por lo tanto, la solución del sistema es = 0 = 60; es decir, el largo original de la piscina es 0 m el ancho original es 60 m, el área original es m. Comprobación: ( 0 0)( 60 0) ( 00)( 0) 000 ( 0)( 60) 00 ( ) ( 0 0)( 60 ) ( 0)( ) ( 0)( 60) ( ) Ejercicio Plantea los problemas del al reduce cada sistema que los representa a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables. Resuélvelos por el método que juzgues más adecuado:. Si al ancho de una fotografía en forma rectangular se le suman cm a su largo se le restan cm, el área decrece cm ; si al ancho se le restan cm al largo se le suman cm, el área decrece cm. Cuáles son las dimensiones de la fotografía?. Si al numerador al denominador de una fracción se le suman unidades la nueva fracción es 0. Sin embargo, si al numerador se le suman, el denominador se multiplica por se toma el recíproco de la fracción completa, el resultado es 9. Cuál es la fracción?. Si a una salmuera al 0% se le agregara otra salmuera al %, se obtendría una al 8%. Pero si hubiera 0 l más de salmuera al 0% se le agregara la salmuera al %, la nueva estaría al %. Cuántos litros ha de cada una?. A B juntos realizan un trabajo en h. Si A trabaja solo durante 0 h después B trabaja solo para terminar el trabajo, B demorará. h. Cuántas horas tarda cada uno en efectuar solo el trabajo?. Reduce a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables resuelve con el método que consideres más adecuado: ( )( ) ( ) ( )

20 Unidad.. Método de Cramer Gabriel Cramer (0 ) fue un matemático suizo que desarrolló el método para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de variables que de ecuaciones. En esta unidad aplicaremos su método a sistemas de dos por dos; en la siguiente unidad lo haremos para sistemas de tres por tres de cuatro por cuatro. El método además de sencillo es mu ingenioso, pues sólo considera los coeficientes los términos independientes de las ecuaciones del sistema. Veamos un ejemplo para entender de qué se trata. 6. Consideremos el sistema D espejando de la Ec. (), obtenemos: 6 ( ) ( ) 6 Sustituendo el valor de en Ec. () 6 M ultiplicando por () (6 )+ ()() = ()() (()() ()()) = ()() ()(6) ( )( ) ( )( 6) ( )( ) ( )( ) Eiste alguna for ma sistemática de efectuar la r esta de los pr oductos en cr uz par a determinar los valores de las variables de un sistema de dos por dos? Si en lugar de despejar en la Ec.() hubiéramos despejado : 6 Sustituendo el valor de en la Ec.(): 6 M ultiplicando por ()() + (6 ) = ()() (()() ()()) = ()() ()(6) ( )( ) ( )( 6) ( )( ) ( )( ) ( )( 6) ( )( ) ( )( ) ( )( ) La solución del sistema 6 ( ) ( ) ( )( 6) ( )( ) es: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 6) ( )( ) ( )( ) Observa que el denominador de las dos fracciones es igual que está formado por la resta de la multiplicación en cruz de los coeficientes de las ecuaciones del sistema. 6

21 ÁLGEBRA El numerador de la está formado por la resta de la multiplicación en cruz de los coeficientes de la los términos independientes, mientras que el numerador de la es la resta de la multiplicación en cruz de los coeficientes de la los términos independientes. Para eplicar cómo se aplica el método de Cramer en un sistema de ecuaciones lineales de dos por dos es necesario definir dos conceptos previos: matriz determinante. Una matriz de dos por dos es un arreglo rectangular de números reales que se representa en la forma a b c d. Ejemplos:. Consideremos el sistema 9 0 La matriz de coeficientes es la matriz formada por los coeficientes de las los términos independientes es: 9 0 la matriz formada por los coeficientes de las los términos independientes es: 9 0 D efinamos ahora el concepto de determinante para una matriz de dos por dos. El determinante es un número que se le asocia a una matriz. El determinante de la matriz a b c d se representa por a b c d se calcula como sigue: a c b d = ad bc 6 ( ) Estamos en condiciones de retomar el sistema ( ) del ejemplo 6 epresar por medio de un cociente de determinantes su solución. Sabemos que

22 Unidad ( )( 6) ( )( ) ( )( ) ( )( ) No es difícil observar que si construimos la matriz con los términos independientes los coeficientes de las (en este orden), su determinante es el numerador de esta fracción: 6 ( 6)( ) ( )( ) ( )( 6) ( )( ) En cambio, si construimos la matriz con los coeficientes de los coeficientes de (en este orden) su determinante es el denominador de las dos fracciones: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Analicemos ahora el numerador de = ( )( ) ( )( 6). Si formamos la matriz con los coeficientes ( )( ) ( )( ) de los términos independientes (en este orden) su determinante es el numerador de la : 6 6 ( )( ) ( )( 6). Resumiendo, tenemos que: 6 como sigue: Generalizando tenemos que el sistema a b c d e f se resuelve por el método de Cramer i. Para saber si el método es aplicable o no, primero se calcula el determinante de la matriz formada por los coeficientes. La primera columna contiene los coeficientes de la la segunda columna los de la : a b d e Si a b = 0, el método no es aplicable; entonces la solución del sistema se debe intentar por d e otro método. Si a b d e 0, entonces el método es aplicable este determinante será el denominador de los valores de las variables. 8

23 ÁLGEBRA c b ii. Para obtener el valor de, se calcula el determinante de la matriz. Observa que f e en el lugar de los coeficientes de las se colocaron los términos independientes. El valor de queda determinado por: c b f e a b d e a c iii. Para obtener el valor de, se calcula el determinante de la matriz. Observa que d f en el lugar de los coeficientes de las se colocaron los términos independientes. El valor de queda determinado por: a c d f a b d e Ejemplos: 8. H ace 6 años un niño tenía 9 de la edad de su padre dentro de años tendrá de la edad que tendrá su padre. Cuál es la edad actual de padre e hijo? A la edad del padre la llamamos: A la edad del hijo la llamamos: H ace 6 años el niño tenía 9 de la edad del padre: 6 ( 6) 9 Dentro de años el niño tendrá la edad del padre: ( ) Sistema a resolver: Veamos si el método de Cramer es aplicable: El determinante de la matriz de coeficiente es: Por lo tanto, el método sí es aplicable. Calcularemos. 9

24 Unidad El determinante de la matriz: 6 6 es: 6 El determinante de la matriz es: Por lo tanto: L o que significa que el niño tiene 0 años el padre tiene años. Ejercicio 6 En los ejercicios, determina si la regla de Cramer es aplicable. Si tu respuesta en afirmativa, resuelve el sistema por este método Aplica Cramer para resolver los problemas. 80

25 ÁLGEBRA. La suma de los recíprocos de números es su diferencia es 9. Cuáles son los números?. Un avión voló 00 km en dirección del viento en hora minutos. De regreso voló en contra del viento demoró hora minutos en realizar el vuelo. Cuál es la velocidad del viento cuál es la velocidad del avión con el viento en calma? Caso práctico de aplicación Una alberca se puede llenar en 0 minutos si sus dos llaves están abiertas simultáneamente. Si por hora sólo se abre la primera llave, la segunda deberá abrirse sola minutos para que se llene la alberca. Cuánto tarda cada llave en llenar la alberca separadamente? Al tiempo en minutos que tarda en llenar la llave A (sola) la alberca lo llamamos: Al tiempo en minutos que tarda en llenar la llave B (sola) la alberca lo llamamos: La parte que llena la llave A sola en un minuto es: La parte que llena la llave B sola en un minuto es: Por lo tanto, la parte de la alberca que llena la llave A en 0 minutos es: Y la parte de la alberca que llena la llave B en 0 minutos es: 0 0 En 0 minutos las dos llaves juntas llenan la alberca: La parte que llena la llave A sola en hora= 60 minutos es: La parte que llena la llave B sola en minutos es: Si por 60 minutos sólo se abre la llave A, la llave B deberá abrirse sola minutos para que 60 se llene la alberca: El sistema a resolver es: H aciendo los cambios de variable: a b 0a 0b, obtenemos el sistema 60a b 8

26 Unidad Resolviendo por Cramer: 0 0 a ( 0)( ) ( 60)( 0) ; 0 b ( 0)( ) ( 60)( 0) Regresando a las variables originales, tenemos que = 0 = 0. Es decir la llave A, sola, tarda 0 minutos en llenar la alberca la llave B, sola, tarda 0 minutos. 8

27 ÁLGEBRA Ejercicios resueltos. Resuelve por el método de eliminación los siguientes sistemas: a) 6( ) 8 ( ) ( ) 0 b) 0 8 Solución: a) 6( ) 8 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ' ) ( ') Eliminaremos la variable. Multiplicando la Ec. (') por 0: Restando miembro a miembro: 8 = 6 Resolviendo la ecuación resultante: = 0 ( '') ( '') Sustituendo el valor de en la Ec. ('): () = Despejando : = Por lo tanto, = =. Comprueba que la solución sea correcta. b) 0 8 ( ) ( ) El MCM de los denominadores en la Ec. () es: MCM (,, ) = El MCM de los denominadores en la Ec. () es: M CM(,, ) = Un sistema equivalente a 0 8 ( ) sin fracciones es: ( ) ( ') 08 6 ( ') 8

28 Unidad Eliminaremos la variable. El mínimo común múltiplo de 6 80 es: MCM (6, 80)= 60 Observa que ()(80)= 60 que (0)(6)= 60, por lo tanto: ( ') 08 6 ( ') ( '') ( '') Sumando miembro a miembro: 0 = 8 Resolviendo la ecuación resultante: Sustituendo el valor de en la Ec.('): Despejando : 6 Por lo tanto, 6. Comprueba que la solución sea correcta.. Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas: a) b) 8 6 ( ) Solución: a) ( ) ( ) ( ) El MCM de los denominadores en la Ec. () es: MCM(6, 8, )= ( ) 8 6 ( ') Un sistema equivalente a sin fracciones es: ( ) 8 ( ') ( ) 8

29 ÁLGEBRA D espejando de la Ec. ('), obtenemos: Sustituendo en la Ec. ('): Despejando : Sustituendo el valor de en la Ec. (''): Despejando : = Por lo tanto, la solución del sistema es = b) 8 ( ) ( ) Ec. (''). Comprueba que la solución es correcta. H aciendo los cambios de variable a Un sistema equivalente a a b a 8b b tenemos: ( ') sin fracciones es: ( ') a b a 8b ( ') ( ') a b ( '') a 6b ( '') Despejando la variable a de la Ec. (''): a b b Sustituendo a en la Ec. (''): Despejando b: b= Sustituendo el valor de b en la Ec. ('''): a ( ) Ec. (''') 6b H aciendo los cambios de variable, tenemos que la solución del sistema es Comprueba la solución. 89 b 89. 8

30 Unidad. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Cramer. a) b) 6 6 Solución 8 a) 6 ( ) ( ) 6 ( ') ( ') El mínimo común múltiplo de 6 es: MCM(,6)= ( ') Un sistema equivalente a sin fracciones es: ( ') 6 Por Cramer tenemos: ( '') 0 9 ( '') Por lo tanto, la solución del sistema es = =. Comprueba este resultado. b) 6 ( ) 8 ( ) H aciendo los cambios de variable a b tenemos: 6a b ( ') a b ( ') 86

31 ÁLGEBRA Por Cramer tenemos: a b 6 6 H aciendo los cambios de variable, tenemos que la solución del sistema es Comprueba este resultado.. Un seto de un primer número se suma al triple de otro el resultado es el doble del segundo número, mientras que la diferencia del primero menos el segundo dividida por es. Cuáles son los números? Al primer número lo llamamos: Al segundo número lo llamamos: Un seto del primero más el triple del segundo es el doble del segundo: La diferencia del primero, menos el segundo, entre es : El sistema a resolver es: 6 ( ) ( ) Sumando miembro a miembro, obtenemos: Despejando : Sustituendo en la Ec. ('): Despejando : Por lo tanto la solución del problema es ( ') ( ') Comprueba este resultado.. La mitad de la edad de Juan más un tercio de la edad de Josefina es, mientras que el sétuple de la edad de Juan ecede en 00 al cuádruple de la edad de Josefina. Cuantos años tiene cada uno? Solución: A la edad de Juan la llamamos: A la edad de Josefina la llamamos: 8

32 Unidad La mitad de la edad de Juan más un tercio de la edad de Josefina es : El sétuple de la edad de Juan ecede en 00 al cuádruple de la edad de Josefina: 6 00= ( ) El sistema por resolver es: 6 00 ( ) Para evitar las fracciones multiplicamos por MCM(, ) = 6 la Ec. () obtenemos el sistema 0 ( ') 0 ( ') equivalente: 6 00 ( ') 6 00 ( ') Eliminaremos ; entonces calculamos MCM(, ) que es. Observa que ()()= ()()= ; por lo tanto: Ec. ()+ Ec. () elimina la variable. 0 ( ') 6 00 ( ') 6 00 ( '') 6 00 ( '') Sumando miembro a miembro se obtiene la ecuación resultante que es: = 600 Solución Ec. resultante: = 0 Sustituendo en la Ec. ') obtenemos: (0) + = 0 = 0 Solución Ec. resultante: = 0 Por lo tanto, la solución es: = 0 = 0; es decir, Juan tiene 0 años Josefina es una bebé de menos de un año de edad. Comprobación: 0 ( ) ( 0 ) ( ) 6( 0) 00 ( 0) ( ) 6. Cuando Jaime va en bicicleta de su casa al gimnasio maneja a una velocidad uniforme de 0 km/h llega mins antes de lo usual, pero si maneja a 0 km/h llega con mins de retraso en relación al tiempo usual, cuál es la distancia de su casa al gimnasio? Solución: Convirtiendo todos los datos a la misma unidad: mins= h mins= 0 h Fórmula a emplear: A la distancia de su casa al gimnasio la llamamos: velocidad distancia tiempo 88

33 ÁLGEBRA Al tiempo usual que le toma hacer el recorrido de un punto a otro lo llamamos: t Observa que tiempo distancia, entonces: velocidad El tiempo que le toma llegar al gimnasio a una velocidad de 0 km/h es: 0 El tiempo que le toma llegar al gimnasio a una velocidad de 0 km/h es: 0 Si la velocidad es de 0 km/h llega min antes de lo usual: t 0 Si la velocidad es de 0 km/h llega min después de lo usual: t 0 0 Sistema a resolver: t t El MCM(, 0) = 60, entonces: t Un sistema equivalente a 0 t 0 0 ( ) ( ) sin fracciones es: 60t ( ') 0t ( ') Ec. (') Ec. ('): 0t = Despejando t: t 0 Sustituendo el valor de t en Ec. ('): 0 0 Despejando : = 8 Por lo tanto, la solución del sistema es: t = = 8, lo que significa que a Jaime le 0 toma usualmente horas ir de su casa al gimnasio. La distancia entre esos dos puntos es de 8 0 km. Comprueba este resultado.. La edad de A hace años era el doble de la edad de B, pero actualmente la edad de A menos el doble de la edad de B es. Cuál es la edad de cada uno? Solución: A la edad actual de A la llamamos: A la edad actual de B la llamamos: La edad de A hace años era el doble de la edad de B: = ( ) 89

34 Unidad La edad de A menos el doble de la edad de B es : = Sistema a resolver: ( ) Restando miembro a miembro: 0 = 6. (U na contradicción.) Por lo tanto, el problema no tiene solución, lo cual significa que es imposible tener esos datos con las edades de dos personas. 8. Un número de cifras supera en 9 al cuádruple de la suma de sus dígitos. Si los dígitos se intercambian el resultado es unidades maor que 0 veces el dígito de las decenas del número con las cifras intercambiadas. Cuál es el número? Solución: A las decenas a las unidades del número las llamamos respectivamente: Entonces el número tiene la forma: 0 + El número supera en 9, veces la suma de sus dígitos: 0 + = ( + )+ 9 Si se intercambian los dígitos el nuevo número es: 0 + El número con los dígitos intercambiados es unidades maor que 0 veces el dígito de las decenas del número con cifras intercambiadas: 0 + = 0 + El sistema a resolver es: 0 ( ) 9 ( ) ( ') 0 0 ( ) ( ') Sustituendo el valor de en la Ec. ('), obtenemos: () = Despejando : = Por lo tanto, la solución del sistema es = =, lo que significa que el número es. Comprueba este resultado. 9. Un pez se desplaza mins sin interrupción en dirección de la corriente de un río, desde un punto A a un punto B. De regreso (contra la corriente) le toma mins llegar del punto B al punto A. Cuántos minutos necesitará un barco de papel para desplazarse del punto A al punto B, sólo con el impulso de la corriente? Solución: La distancia de A a B la representaremos por: Al tiempo que necesita el pez para ir de A a B en aguas tranquilas lo llamamos: AB Al tiempo que necesita el barco de papel para ir de A a B con auda de la corriente: 90

35 ÁLGEBRA En min el pez se desplaza en aguas tranquilas una distancia de: En min el barco se desplaza con auda de la corriente una distancia de: de de Observa que la distancia recorrida por el barco es igual a la distancia recorrida por la corriente. En min el pez impulsado por la corriente recorre una distancia de: En dirección a la corriente el pez tarda mins en recorrer AB; entonces en min recorre: de AB Por lo tanto: El pez, contra la corriente, recorre en min la distancia de: El pez tarda mins en recorrer contra corriente la distancia AB; entonces en min recorre: de AB Por lo tanto: El sistema a resolver es: H aciendo los cambios de variable a Aplicando Cramer: b obtenemos: AB AB de de a a b b AB AB ( ) ( ) a 00 ( ) 99 b 0 ( ) 9 H aciendo los cambios de variables tenemos que: 99 = 9. 9

36 Unidad Por lo tanto, la solución del sistema es = 99 = 9, lo cual significa que el pez tarda en recorrer la distancia AB en aguas tranquilas 99 mins. El barco de papel impulsado por la corriente tarda 9 mins en recorrer AB ; eactamente, 8 horas minutos. 0. Resuelve el siguiente sistema con el método que juzgues más adecuado: 0 Solución: ( ) ( ) ( ') ( ') Calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores en cada ecuación, obtenemos: MCM (, )= MCM(,, 0)= 0. Un sistema equivalente a 6 0 Resolveremos por eliminación. Eliminaremos. 9 ( '') 6 ( '') 8 ( ') sin fracciones es: ( ') 9 ( ''') 0 ( ''') 9 ( '') 6 ( '') Sumando miembro a miembro, obtenemos: = Despejando : = Sustituendo el valor de en la Ec. (''): 6() = D espejando : = Por lo tanto, la solución del sistema es = =. Comprueba este resultado. 9

37 ÁLGEBRA Ejercicios propuestos. Resuelve por el método de eliminación el sistema. Resuelve por el método de Cramer 8. Un avión recorrió 00 km en h con el viento a favor, mientras que, volando en contra del viento, 6 6 demoró 0 h. Cuál es la velocidad del avión con el viento en calma cuál es la velocidad del viento?. Si al numerador de una fracción le sumamos unidades al denominador le restamos unidades, el resultado es. Pero si le sumamos tanto al numerador como al denominador unidades el resultado es 0. Cuál es la fracción?. El punto de apoo de dos cargas de 80 kg 60 kg está situado de tal manera que las cargas quedan en equilibrio. Si a la carga de 80 kg se le aumentan 0 kg, la de 60 kg deberá recorrerse cm más lejos del punto de apoo para mantener el equilibrio. Encuentra la distancia entre las cargas originales. 6. Los dígitos de un número de cifras tienen las siguientes características: si las decenas se multiplican por las unidades por, la suma es ; si las decenas se dividen por se les suma un tercio de sus unidades, el resultado es. Cuál es el número?. Cuando María se lastimó un tobillo podía caminar aproimadamente a una velocidad de km/h llegaba con 0 minutos de retraso de la parada del autobús a su casa con respecto al tiempo usual; cuando esta misma traectoria la puede hacer corriendo, lo hace a una velocidad de km/h llega 0 minutos antes del tiempo usual. Cuál es la distancia de la parada del autobús a la casa de María a qué velocidad camina normalmente? 9

38 Unidad 8. Al mezclar una solución de glicerina al 0% con otra al 6% se obtiene una solución al 8%. Si se tuvieran litros más de la solución al 6% se mezclara con la solución al 0%, se obtendría una solución al %. Cuántos litros ha al 0% cuántos al 6%? 9. Si A B trabajan juntos terminan un trabajo en horas, pero si A trabaja solo horas después es reemplazado por B, éste deberá trabajar horas para terminar el trabajo. Cuántas horas tarda cada uno en efectuar solo el trabajo? 9

39 ÁLGEBRA Autoevaluación. Resuelve por el método de eliminación a) = 8, = b) = 8, = c) = 8, = 8 8 d) = 8, = e) = 8, =. Resuelve por el método de sustitución a), = b), c), d), e),. Resuelve por el método de Cramer a) =, = b) =, = c) =, = d) =, = e) No tiene solución. ( ) 9 ( ). El triple de la suma de dos números, más la suma del primero, es igual a veces el segundo, mientras que el quíntuple del segundo, menos el doble del primero es. Cuáles son los números? a) b) c) d) e) N o tiene solución. 9

40 Unidad. El triple del recíproco de la edad de Gerardo, más el quíntuple del recíproco de la edad de Roberto es 9. Pero si se invierten los múltiplos, es decir, si se toma el quíntuple del recíproco de la edad 0 de Gerardo se le suma el triple del recíproco de la edad de Roberto, se obtienen. Cuál es la 0 edad de cada uno? a) Gerardo tiene 0 años Roberto tiene. b) Gerardo tiene años Roberto tiene 0. c) Gerardo tiene años Roberto tiene 0. d) Gerardo tiene años Roberto tiene. e) Gerardo tiene años Roberto tiene. 96

41 ÁLGEBRA Respuestas a los ejercicios Ej.. Sí.. Sí.. No (el grado de las ecuaciones es ).. Si es el primer número el segundo. = =. Sí es un sistema lineal.. 6 ; es el lado del cuadrado. No (el grado de la primera ecuación es ). Ej.. No.. Sí.. No.. Sí.. Sí. Ej.. =, =. =, =. Velocidad del viento: km/h. Velocidad del avión: km/h.. Al %, $ al 8%, $ No tiene solución (no ha edades negativas). Ej.., N o tiene solución

42 Unidad. 00 m.. m Ej.. cm de ancho 0 cm de largo (infinito número de soluciones) l al 0% 6 l al %. 9. A tarda horas en hacer solo el trabajo B tarda. horas.., Ej. 6., 9 9. No es aplicable.., 6. =,. Velocidad del viento: km/h. km/h 0. km/h. Velocidad del avión 0 km/h Ejercicios propuestos. =, =.,. Velocidad del avión con el viento en calma: km/h. Velocidad del viento: km/h.. 98

43 ÁLGEBRA. 00 cm = m La distancia de la parada del autobús a su casa es km la velocidad a la que normalmente camina es km/h.9 km/h. 8.. litros al 0%. litros al 6%. 9. A tarda 8 horas en hacer solo el trabajo B tarda 6 horas. Autoevaluación. b). b). b). c). a) 99

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