Nuestra Señora de Loreto Matemática 2º Año ECUACIONES

Transcripción

1 Un lenguaje nuevo ECUACIONES Para comunicarnos a diario con quienes nos rodean, nos valemos del lenguaje coloquial; de este modo usando palabras organizadas en oraciones podemos manifestar nuestras opiniones, sentimientos, deseos, etcétera. Sin embargo existen otras formas de comunicación, quizá menos conocidas o menos usadas, pero tan válidas como la anterior. Por ejemplo el lenguaje gestual de los sordomudos o el código Morse. Podríamos mencionar muchos otros, desde el sistema Braile hasta el moderno código de barras. En matemática el lenguaje es simbólico y sintético, se puede decir mucho en muy poco espacio. Para traducir enunciados Resuelve el siguiente enigma: algunas personas poseen un verdadero talento para convertir números en palabras y viceversa. En el mundo del espionaje, el uso de números como sustituto de palabras es una práctica común. En este cifrado, cada letra se representa por el par de dígitos correspondiente a la fila y columna en que está ubicada u v w x y z 3 ñ o p q r s t 2 h i j k l m n 1 a b c d e f g Descubran el siguiente mensaje: / / / / Envíen en clave el siguiente mensaje: AUXILIO, MI CEREBRO ECHA HUMO - 1 -

2 Lenguaje coloquial y simbólico El lenguaje coloquial es el que se utiliza en la vida cotidiana, y el lenguaje simbólico es el que utiliza la Matemática. Está compuesto por números, letras y símbolos. Las letras representan números cuyo valor se desconoce. Por ejemplo: Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico El doble de un número 2.n La tercera parte de un número c : 3 El consecutivo o siguiente de un número x + 1 Actividades 1. Expresa en lenguaje simbólico. Nueve es menor que once: El doble de doce es veinticuatro: La diferencia entre nueve y seis es tres: La cuarta parte de cien es veinticinco: El producto entre seis y siete es cuarenta y dos: El cociente entre doscientos y cinco es cuarenta: El cuadrado de siete es cuarenta y nueve: 2. Traduce al lenguaje simbólico y luego resuelve. El producto entre nueve y catorce: La cuarta parte de ciento treinta y dos: El cuádruple de veintinueve: La diferencia entre el doble de dieciséis y veinticinco: El cociente entre doscientos cuatro y el triple de cuatro: El cuadrado del siguiente de once: El producto entre el anterior y el siguiente de quince: La suma entre el cubo de ocho y la mitad de cuarenta: La tercera parte de la diferencia entre noventa y doce: - 2 -

3 3. Marca con una x la expresión correcta. La mitad del anterior de un número. x : 2 1 1: 2 El doble del siguiente de un número x 2. 1 El siguiente de la tercera parte de un número. x : 3 1 1: 3 El producto de dos números consecutivos. x. x 1 x 1. x La diferencia entre un número y su mitad. x : 2 x x 1 : 2 x x 1. 2 x x 1 : 3 x 1. x 1 x x : 2 x x x : 2 PARA RECORDAR Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce un valor, la incógnita. Resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de la incógnita que hacen que la igualdad se cumpla. Llamamos miembros a las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual. Balanzas y Ecuaciones 4. PARA PENSAR a) Cuánto pesa cada barril a? - 3 -

4 b) Cuánto pesa cada ficha de dominó? c) Calcula el peso de cada cuadrado d) Qué elementos, diferentes a los que se encuentran en el platillo de la izquierda, debes agregar en la balanza 3 para que quede equilibrada? Para averiguar lo desconocido 5. Mariano tiene la balanza de platillos que era de su abuelo, con una pesa de 3 kg y otra de 9 kg. Encontró 4 prismas de madera, todos iguales, y se propuso averiguar el peso de cada uno. Tomó lápiz y papel para anotar los pasos y resultados obtenidos. Después de varios intentos logró equilibrar la balanza como muestra el dibujo. Se le ocurrió llamar q al peso de cada prisma y escribió simbólicamente la igualdad que había logrado entre los pesos de ambos platillos. a) Escribe la igualdad que debió anotar Mariano b) Mariano retiró, de cada platillo, todos los prismas que pudo, manteniendo el equilibrio. Representa gráfica y simbólicamente la nueva situación de la balanza. c) Finalmente Mariano encontró, por tanteo, el peso de cada prisma. Escríbelo

5 Resolución de ecuaciones En el problema 5, describimos la situación de equilibrio de la balanza, mediante una igualdad en la que figura un valor desconocido, una incógnita, que indicamos con la letra q. Simbólicamente: 3. q + 9 = q + 27 Primer miembro Segundo miembro Cómo procedemos para resolver una ecuación? Comenzamos retirando 1 prisma de madera de cada platillo, el equilibrio se mantiene y queda: 2. q + 9 = 27 Luego, debemos deshacer dichas operaciones pero en el orden inverso de aquel en el que actúan sobre la incógnita (despejar lo desconocido). En nuestro caso, para resolver la ecuación 2. q + 9 = 27 debemos tener en cuenta que, a la incógnita q, primero se la ha multiplicado por 2 y luego se le ha sumado 9 al resultado, para obtener 27. Si deshacemos las operaciones en el orden inverso, primero debemos deshacer la suma, es decir restar q = 27-9 Como 9 9 = 0 resulta: 2. q = 18 Ahora debemos deshacer la multiplicación: dividir por 2. como 2 : 2 = 1 2. q : 2 = 18 : 2 q = 9 El número 9 es la solución o raíz de la ecuación: 3. q + 9 = q + 27 Podemos verificar reemplazando a la incógnita q por 3 y resolver = = Se ha verificado la ecuación 36 =

6 6. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) b) c) d) e) f) 7. Resuelve las siguientes ecuaciones. Resuelve los cálculos que puedas antes de comenzar a despejar x. a) e) b) f) c) g) d) h) 8. Resuelve las siguientes sumas y restas. a) = b) c) d) = e) f) 9. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) e) b) f) c) g) d) h) Propiedad distributiva en la resolución de ecuaciones Para resolver algunas ecuaciones, a veces, es necesario aplicar la propiedad distributiva. Ejemplo: ( ) ( ) Verificamos: ( ) ( ) - 6 -

7 10. Resuelve cada ecuación de dos maneras diferentes. a) ( ) b) ( ) c) ( ) 11. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) ( ) c) ( ) ( ) b) ( ) d) ( ) 12. Plantea la ecuación y luego resuelve aplicando la propiedad distributiva. a) El doble de la diferencia entre un número y seis es veinticuatro. De qué número se trata? b) La mitad de la edad que tendrá Juan dentro de diez años es trece. Cuál es su edad actual? c) Si se aumenta en 6 cm los lados de un cuadrado, su nuevo perímetro es de 44 cm. Cuál era su perímetro original? Ecuaciones con potencias y raíces Las ecuaciones se resuelven de la siguiente manera: a) b) c) d) ( ) ( ) 13. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) b) c) d) e) ( ) f) g) h) i) j) ( ) k) l) - 7 -

8 14. Traduce a lenguaje simbólico y luego encuentra el valor de la incógnita para los siguientes casos. Un número aumentado en cinco unidades es igual a ocho. Un número disminuido en 4 unidades es igual a 7. El doble de un número es igual doce. La mitad de un número es igual al cuadrado de dos. El doble de un número, aumentado en cinco unidades da diecisiete. La suma de un número y su consecutivo es 41. El cociente entre un número y tres es igual a la diferencia entre veinticinco y doce. La mitad de un número, aumentado en siete unidades es igual a veintiuno. 15. Plantea una ecuación y luego resuelve: Si a la mitad de un número se lo disminuye en seis unidades, y al resultado se lo multiplica por tres, da nueve. De qué número se trata? Si al triple de un número se lo aumenta cuatro unidades, y al resultado se lo multiplica por cinco, se obtiene cincuenta. Cuál es el número? Si a la diferencia entre el cuadrado de un número y cuatro se la divide por cuatro, da ocho. De qué número se trata? La suma de tres números naturales consecutivos da 48, cuáles son esos números? Agustina hizo 72 alfajores el fin de semana para venderlos el lunes en el colegio. Si el domingo hizo el triple que el sábado, cuántos alfajores hizo el sábado y cuántos el domingo? Llevaron entre las dos $830 para gastar esos días. Si Verónica tenía $70 más que Mariana, cuánto dinero llevó cada una? El triple de un número, menos 7, es igual al doble de dicho número más cinco. Cuál es dicho número? - 8 -