Se observa X, realización del fenómeno aleatorio. Lo anterior implica razonamiento inductivo.

Transcripción

1 Pruebas de Hipótesis Hay un contexto. Hay un fenómeno aleatorio de interés. ( ΩF,, P( θ )) Valor de θ desconocido. Se observa X, realización del fenómeno aleatorio. Lo anterior implica razonamiento inductivo.

2 Modelo estadístico (paramétrico) { Pθ ( ) θ Θ} Θ θ espacio paramétrico parámetro (desconocido) El modelo estadístico elegido para representar el fenómeno aleatorio puede variar, dependiendo de opiniones.

3 Hipótesis H Θ H echo: com o se desconoce θ, no hay certeza sobre validez de H. Problem a inferencial de "prueba de hipótesis": a la luz de datos, X, cuál es la plausibilidad de H? (contrastar con pregunta: A la luz de datos, X, cuál es valor de θ?) N ota: H existe antes de com enzar!!

4 Evidencia o datos (X) H Medida de viabilidad o plausibilidad de la hipótesis H a la luz de los datos X

5 Componente conductual en una prueba de hipótesis Para qué queremos resolver el problema de inferencia? A veces (no siempre): para modificar mi conducta. Ejemplo: Observo cielo gris (datos datos). Infiero que va a llover. Decido llevar un paraguas.

6 No siempre es conductual Ejemplo: niño observa que mago adivinó la carta (datos). Infiere que el mago tiene poderes sobrenaturales.

7 Jerzy Neyman ( )

8 Egon Pearson ( )

9 Karl Pearson ( )

10 Paradigma de Neyman-Pearson Premisas: Hay una hipótesis alternativa a H. Para distinguirla, usemos H=H 0 y H 1. Existe una actitud conductual, asociada a rechazar y a no rechazar H 0 en favor de H 1. Se originan como consecuencia dos tipos de error: Tipo I y Tipo II. El error de Tipo I es conceptualmente más grave que el de Tipo II. Para realizar una prueba, se debe conceder la posibilidad de cometer en cierto grado el error de Tipo I. Denotemos esto por α, la probabilidad de cometer error de Tipo I.

11 Neyman-Pearson=juicio H 0 es presunción de inocencia; H 1 es no inocencia. Error de Tipo I es peor que Tipo II Hay implicación conductual : condenar o exonerar. La prueba de la hipótesis es el juicio. Los datos es la evidencia. Se trata de un proceso de razonamiento inductivo, no deductivo. Hay incertidumbre. Cuánto vale α?

12 En un juicio: No rechazar no es demostración de inocencia ( OJ Simpson?). Rechazar no es demostración de culpabilidad (no rechazar no es lo mismo que aceptar). Si error de Tipo I aumenta, entonces Tipo II disminuye y vice-versa. versa.

13 Noción matemática de optimalidad que se deriva: Fijar el valor de la constante α. Minimizar la probabilidad de ocurrencia del error de Tipo II. Noción de prueba más potente.

14 Ejemplo #1 Línea de producción industrial. X 1, X 2,..., X n observaciones de defecto-no defecto. p=proporción proporción de defectos Hipótesis: H 0 : p<=10% vs. H 0 : p>10% Consecuencia conductual : parar línea de producción o no pararla. Error de Tipo I es más grave que el error de Tipo II. α=proporción de falsas alarmas

15 Ejemplo #2 Observación en astronomía. X 1, X 2,..., X n observaciones de conteos de cúmulos en sectores de la bóveda celeste. Hipótesis: los conteos tienen distribución de Poisson (distribución homogénea de estrellas en el espacio tridimensional). Consecuencia conductual :??? Error de Tipo I es más grave que el error de Tipo II??? α=???

16 Los datos rechazan la hipótesis? Según los datos, se rechaza la hipótesis nula. No exactamente: se rechaza también porque alguien, o algo, eligió el valor de α.

17 Hipótesis H Θ P roblem a de "prueba de hipótesis": a la luz de datos, X, cuál es la plausibilidad de H?

18 Ronald Aylmer Fisher ( )

19 Paradigma de Fisher (p-valores, o Premisas: pruebas de significancia) D(X,H)>0 es una distancia entre datos y la hipótesis, con la propiedad de que si D(X 1,H)>D(X 2,H), entonces X 1 constituye mayor evidencia en contra de H que X 2. p-valor= valor=p H (D>d),, donde d=valor observado de D.

20 Paradigma de Fisher (p-valores, o pruebas de significancia) Interpretación: La estadística D ordena muestras de acuerdo a la cantidad de evidencia en contra de H que representan. No es relevante la noción H es cierta, sino la utilidad de H para describir X. p-valor es un re-escalamiento escalamiento de D a una escala [0,1]. Cualquier D que cumpla ordenar muestras funciona. No hay noción de que una D sea mejor que otra. No hay noción de optimalidad. Bajo H,, la distribución del p-valor es U(0,1). Un valor chico de p indica evidencia en contra de H.. Un valor grande de p,, también, aunque con otra interpretación. Replicabilidad de experimentos es importante. p-valor puede cuantificar evidencia en contra de H,, no a favor. p-valor NO representa la probabilidad de que H sea cierta. p-valor NO es un concepto frecuentista, como lo es el error de Tipo I-II II en Neyman-Pearson. No es relevante el concepto de hipótesis alternativa, como en N-P.

21 Paradigma Bayesiano Premisas: Se sabe algo acerca de θ aún antes de observar X.. Esta información previa es cuantificable a través de una densidad de probabilidad, π(θ). Se conoce un modelo para datos, f(x θ). Una vez observado X,, la información se actualiza, mediante el Teorema de Bayes: f ( X θ ) π ( θ ) f ( θ X ) f ( X θ ) π ( θ ) dθ = La probabilidad de que H sea cierta a la luz de los datos es: f ( θ X ) dθ H

22 Interpretación: Paradigma Bayesiano π(θ) es información subjetiva; luego la interpretación de probabilidad es subjetiva. Si no hay información previa, usar π(θ) no informativa.

23 Principales críticas Neyman-Pearson Por naturaleza binaria se pierde resolución. No siempre existen pruebas UMP. p-valores La cuantificación de incertidumbre no posee interpretación probabilística. Bayesiano Origen de densidad previa.

24 Conceptos básicos en pruebas de hipótesis a la N-P Hipótesis nula, hipótesis alternativa. Errores de Tipo I y Tipo II. Estadística de prueba y región crítica. Función de potencia de una prueba.