MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Transcripción

1 UNIDADES 2 y 3 MECÁNICA MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Tomados de Physics, Serway, e-book, 2005 Fisica, Vol. 1 Ohanian/Markert, 2009 Tipler/Mosca 2005 Bauer, 2011 GRM. Física I. Semestre

2 MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Usain Bolt gana su segundo oro en Moscú, en la carrera de 200 m hizo un tiempo de segundos, le falta una medalla para superar a Carl Lewis GRM. Física I. Semestre

3 Rapidez promedio Pero es una determinación relativa GRM. Física I. Semestre

4 Velocidad promedio para movimiento rectilíneo Un automóvil que se mueve en línea recta. El eje x coincide con esta línea recta. GRM. Física I. Semestre

5 Velocidad promedio para movimiento rectilíneo Gráfica de posición contra tiempo de un automóvil que acelera y luego se detiene. Velocidad promedio para el intervalo de t 1 = 8.0 s a t 2 es la pendiente de la línea recta P 1 y P 2 GRM. Física I. Semestre

6 Velocidad instantánea Gráfica de posición contra tiempo para un automóvil que se mueve con velocidad variable En un intervalo de tiempo puede aproximarse a la gráfica por una línea recta corta (azul) GRM. Física I. Semestre

7 Velocidad instantánea Velocidad instantánea como derivada de x con respecto a t Para hallar las velocidades instantáneas a tiempos diferentes, se trazan las tangentes a la gráfica en estos tiempos y se miden sus pendientes. GRM. Física I. Semestre

8 Aceleración: es un cambio en la velocidad La aceleración promedio para el intervalo de t 1 = 0 a t 2 = 10.0 s es la pendiente de la línea recta Q 1 Q 2 Aceleración promedio GRM. Física I. Semestre

9 Aceleracion instantánea La aceleración instantánea es el límite de la aceleración promedio conforme t se aproxima a 0 2 v dv d x a lim x x x t 0 2 t dt dt La pendiente del gráfico de velocidad vs. tiempo es la aceleración La línea verde representa la aceleración instantánea La línea azul es la aceleración promedio GRM. Física I. Semestre

10 Aceleración La aceleración instantánea en t = 4 s es la pendiente de la tangente en ese punto. GRM. Física I. Semestre

11 Aceleración instantánea como función del tiempo Aceleración instantánea como derivada de v con respecto a t GRM. Física I. Semestre

12 EJEMPLO: Cuando se está viajando en automóvil en un camino recto, se puede estar viajando en sentido positivo o negativo, y se puede tener una aceleración positiva o negativa. Asocie las siguientes combinaciones de velocidad y aceleración a) Vel (+), acel (+) b) Vel (+), acel (-) c) Vel (-), acel (+) d) Vel (-), acel (-) 1. Desacelerando en el sentido positivo. 2. Acelerando en el sentido negativo. 3. Acelerando en el sentido positivo. 4. Desacelerando en el sentido negativo. GRM. Física I. Semestre

13 Aceleración y Velocidad Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están en la misma dirección, el objeto incrementa su rapidez. Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están en dirección opuesta, el objeto desacelera. Observe el Bat-móvil: El carro se mueve con velocidad constante positiva (mostrada por las flechas rojas que se mantienen del mismo tamaño). La aceleración es igual a cero. GRM. Física I. Semestre

14 Observe : La velocidad y la aceleración están en la misma dirección. La aceleración es uniforme (las flechas azules se mantienen en la misma longitud) La velocidad se incrementa (flechas rojas más largas) Esto muestra una aceleración positiva y una velocidad positiva. La aceleración y la velocidad están en direcciones opuestas. La aceleración es uniforme (las líneas azules se mantienen en la misma longitud) La velocidad decrece (las flechas rojas se hacen más cortas) La velocidad es positiva y la aceleración negativa. GRM. Física I. Semestre

15 Ejercicio para practicar: En los campeonatos mundiales de pista y campo de 1991 de Tokio, Japón, Carl Lewis estableció un nuevo record mundial de los 100 m planos. A continuación se muestra una lista de los tiempos en los que llegó a las marcas de 10 m, 20 m, etc. Determine la velocidad promedio para cada intervalo de 10 s. Determine también la aceleración promedio considerando dos valores de velocidad promedio y vea el desempeño del atleta durante la carrera. es constante su velocidad? Trace los gráficos de posición vs. tiempo y velocidad promedio vs tiempo. t (s) X (m)

16 Movimiento con aceleración constante a) Aceleración contra tiempo para movimiento con aceleración constante; esta gráfica muestra un valor constante de 2.0 m/s 2 b) Velocidad contra tiempo; esta gráfica es una línea recta de pendiente de 2.0 m/s 2 c) Gráfica de posición contra tiempo; la gráfica es una parábola. GRM. Física I. Semestre

17 Gráfico de la curva de movimiento: desplazamiento vs. tiempo La pendiente de la curva es la velocidad. La línea curva indica que la velocidad es cambiante Y por lo tanto, hay aceleración! GRM. Física I. Semestre

18 Gráfico de la curva de movimiento: curva velocidad vs. tiempo La pendiente da la aceleración. La línea recta indica aceleración constante. GRM. Física I. Semestre

19 Gráfico de movimiento: curva aceleración vs. tiempo La pendiente cero indica aceleración constante. GRM. Física I. Semestre

20 Ecuaciones cinemáticas para el caso especial de movimiento con aceleración constante, donde t 0 = 0 (tiempo inicial) Además v x prom = ½ (v xf + v xi ) GRM. Física I. Semestre

21 Ejemplo: Movimiento con aceleración constante Mientras un avión se desplaza por la pista para alcanzar la rapidez de despegue, se acelera por sus motores de propulsión a chorro. En un vuelo específico se ha determinado que la aceleración promedio es de a x = 4.3 m/s 2. Bajo la suposición de aceleración constante y partiendo del reposo, a) cuál es la velocidad de despegue del avión después de 18.4 s? b) qué distancia ha recorrido el avión en la pista hasta el momento del despegue? GRM. Física I. Semestre Respuesta: Vx = 79 m/s x = 7.3 x10 2 m

22 Ejemplo 2: Movimiento con aceleración constante Ahora, como reto sencillo para Ud., considere el siguiente problema, también de portaaviones: Un jet aterriza en un portaaviones a 63 m/s. a) Cuál es su aceleración (constante) si se detiene en 2.0 s debido a un cable de arresto que traba el jet y lo deja en reposo? b) Si el jet toca al portaaviones en x 0 = 0, cuál es su posición final? Respuesta para Ud.: a x = - 32 m/s 2 x f = 63 m 22

23 Ejemplo 3: Movimiento con aceleración constante Un automóvil que viaja con rapidez constante de 45.0 m/s pasa por donde un patrullero en motocicleta está oculto detrás de un anuncio espectacular. Un segundo después de que el automóvil pasa el anuncio, el patrullero sale de su escondite para detener al automóvil, que acelera constantemente a 3.00 m/s 2. Respuesta para Ud.: t = 31 s Cuánto tiempo tarda en darle alcance al automóvil? 23

24 MÁS EJEMPLOS: Movimiento con aceleración constante Deformación de la parte frontal de un automóvil que choca con una barrera. El origen de las coordenadas está en la barrera. GRM. Física I. Semestre

25 MÁS EJEMPLOS: Movimiento con aceleración constante Un automóvil frenando. El origen de las coordenadas está en el punto en el que el conductor detecta un accidente GRM. Física I. Semestre

26 MÁS EJEMPLOS: Movimiento con aceleración constante Una minivan que frena y un camión que va a velocidad constante permanece sin cambio. El origen de las coordenadas está en el punto donde se inicia el frenado. La posición inicial de la minivan es x 0 = 0 y la del camión es x 0 = 12 m. GRM. Física I. Semestre

27 EJEMPLOS DE MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: CAÍDA LIBRE La aceleración de la caída libre Fotografía estroboscópica de una manzana y de una pluma en caída libre en una cámara en vacío parcial. La manzana y la pluma se soltaron simultáneamente desde la escotilla en la parte superior. La fotografía se hizo dejando abierto el obturador de la cámara y disparando un flash de luz a intervalos regulares GRM. Física I. Semestre

28 Objetos en caída libre Un objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueva libremente, solamente bajo la influencia de la gravedad. No depende del movimiento inicial del objeto. Ejemplos: Objetos liberados desde el reposo Lanzados hacia abajo Lanzados hacia arriba GRM. Física I. Semestre

29 Aceleración de objetos en caída libre La aceleración de un objeto en caída libre se dirige hacia abajo, sin importar su movimiento inicial. La magnitud de la aceleración de la caída libre es g = 9.80 m/s 2 g varia con la latitud g se reduce al incrementarse la altitud 9.80 m/s 2 es el promedio en la superficie terrestre Se desprecia la resistencia del aire El movimiento de caída libre es un movimiento con aceleración constante en una dimensión Por conveniencia se fija como positivo el eje ascendente (hacia arriba) Se emplean las ecuaciones de movimiento con a y = g = m/s 2 GRM. Física I. Semestre

30 Ejemplo 1. (Serway) A una piedra que se lanza desde lo alto de un edificio se le da una velocidad inicial de 20.0 m/s directo hacia arriba. El edificio tiene 50.0 m de alto y la piedra apenas libra el borde del techo en su camino hacia abajo, como se muestra en la siguiente figura. i) Use t A = 0 como el tiempo cuando la piedra deja la mano del lanzador en la posición (A) y determine el tiempo en el que la piedra llega a su altura máxima. ii) Encuentre la altura máxima de la piedra iii) Determine la velocidad de la piedra cuando regresa a la altura desde la que se le lanzó. iv) Encuentre la velocidad piedra en t = 5.0 s y posición de la GRM. Física I. Semestre

31 Análisis del Ejemplo 1. La velocidad inicial en A es hacia arriba (+) y la aceleración es g (-9.8 m/s 2 ). En B, la velocidad es 0 y la aceleración es g (-9.8 m/s 2 ). En C, la velocidad tiene la misma magnitud que en A, pero es en dirección opuesta. El desplazamiento es 50.0 m (termina 50.0 m por debajo de su punto inicial) Respuestas para Ud. t B = 2.04 s y B = 20.4 m v yc = m/s v yd = m/s y D = m 31

32 Ejemplo 2. (Ohanian/Markert) En Acapulco, clavadistas profesionales divierten a los turistas saltando al mar desde un risco de 36 m de altura (ver figura). a) Durante cuánto tiempo caen? b) Cuál es la velocidad de impacto en el agua? Salto de un clavadista. El cambio de posición es negativo (x-x 0 < 0) Respuestas para Ud. t = 2.7 s v x = -26 m/s 32

33 Como reto para Ud. Intente resolver los siguientes problemas: Ejemplo 3. (Tipler/Mosca) Juan trepa a un árbol para escuchar mejor al conferenciante de su ceremonia de graduación que se celebra al aire libre. Desgraciadamente olvidó sus prismáticos abajo. María lanza los prismáticos hacia Juan, pero su fuerza es mayor que su precisión. Los prismáticos pasan a la altura de la mano extendida de Juan 0.69 s después del lanzamiento y vuelven a pasar por el mismo punto 1.68 s más tarde. a) A qué altura se encuentra Juan? b) Determinar la velocidad inicial de los prismáticos y la velocidad que llevan cuando pasan a la altura de Juan en su trayectoria descendente. GRM. Física I. Semestre

34 Ejemplo 4. (Ohanian/Markert) Un arco potente, como los que se usan para establecer récords mundiales de arquería, puede lanzar una flecha a una velocidad de 90 m/s. A qué altura subirá una flecha si se dispara verticalmente hacia arriba? Cuánto tardará en regresar al suelo? Cuál será la velocidad al tocar tierra? Por simplicidad ignore la fricción del aire y trate la flecha como una partícula ideal. GRM. Física I. Semestre

35 Ejemplo 5. (Tipler/Mosca) y y 0 y máx v v 0 Año 2018: Un estudiante de física del grupo 3, contento por su graduación, lanza su birrete hacia arriba con una velocidad inicial de 14.7 m/s. Considerando que su aceleración es 9.81 m/s 2 hacia abajo (desprecie la resistencia del aire). a) Cuánto tiempo tarda el birrete en alcanzar su punto más alto? b) Cuál es la altura máxima alcanzada? c) Suponiendo que el birrete se retoma a la misma altura de la que ha salido Cuánto tiempo permanece en el aire? 0 GRM. Física I. Semestre

36 Tarea (no se entrega). Otros Problemas de Repaso 1) Un conductor de temperamento agresivo acelera a fondo su motor al ponerse en verde el semáforo y luego frena rápidamente para el siguiente semáforo en luz roja. La aceleración como función del tiempo se muestra en la siguiente figura para 0 t 10 s. Si el conductor comenzó desde el reposo en el origen en t = 0, dibuje con precisión la velocidad y la posición como función del tiempo. 2) Suponga que se arroja una piedra directamente hacia arriba de modo que alcanza una altura máxima y luego cae de regreso. En el instante en que la piedra alcanza la altura máxima su velocidad es positiva, negativa o cero? su aceleración es positivo, negativa o cero? Suponga que el eje x se dirige hacia abajo 3) Se deja caer un vaso lleno de agua desde lo alto de un edificio Se derramará el líquido fuera del vaso mientra este cae? Por qué? GRM. Física I. Semestre

37 La relatividad del movimiento y la suma de velocidades El sistema de coordenadas x y y (azul) del barco se mueve en relación con el sistema de coordenadas x y (verde) de la costa GRM. Física I. Semestre

38 La relatividad del movimiento y la suma de velocidades Regla de la suma para las velocidades, también conocida como transformación galileana de velocidades La velocidad en los dos marcos de referencia difiere sólo por una constante Vo. Por lo que las aceleraciones en los dos marcos de referencia son iguales: PARA MARCOS DE REFERNCIA EN MOVIMIENTO UNIFORME EN RELACION MUTUA, LA ACELERACIÓN ES UNA CANTIDAD ABSOLUTA. GRM. Física I. Semestre

39 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Componentes de la velocidad y la aceleración Trayectoria de un automóvil por las calles de la ciudad de Nueva York GRM. Física I. Semestre

40 Componentes de la velocidad y la aceleración a) En un pequeño intervalo de tiempo dt, el desplazamiento es P 1 P 2 y los cambios en las coordenadas x y y son dx y dy b) Los desplazamientos dx y dy son los catetos de un triángulo rectángulo GRM. Física I. Semestre

41 Componentes de la velocidad y la aceleración, 2D Componentes de la velocidad instantánea Componentes de la aceleración instantánea Magnitud de la velocidad en términos de los componentes GRM. Física I. Semestre

42 Componentes de la velocidad y la aceleración Automóvil tomando una curva. Las flechas indican las direcciones del movimiento GRM. Física I. Semestre

43 Los vectores velocidad y aceleración En un pequeño intervalo de tiempo dt, los cambios en las coordenadas x y y son dx y dy. El vector de desplazamiento es dxi + dxj. Este vector es tangente a la trayectoria de la partícula, como lo es también el vector de la velocidad v = (dxi + dyj)/dt GRM. Física I. Semestre

44 Representaciones vectoriales y de componentes de (a) la velocidad (b) la posición de una partícula que se mueve con una aceleración constante a. GRM. Física I. Semestre

45 Extensión de las ecuaciones cinemáticas para dos dimensiones GRM. Física I. Semestre

46 Los vectores velocidad y aceleración Vectores velocidad de un proyectil en diferentes instantes GRM. Física I. Semestre

47 GRM. Física I. Semestre

48 Los vectores velocidad y aceleración a) Una bomba volcánica después del impacto en el suelo b) El vector de velocidad inicial de la bomba volcánica y sus componentes GRM. Física I. Semestre

49 Movimiento de proyectiles Trayectoria de una bomba volcánica con una velocidad inicial v 0+ GRM. Física I. Semestre

50 Movimiento de proyectiles Trayectoria de una bomba soltada por un bombardero. La componente vertical inicial de la velocidad es cero y la componente horizontal inicial es la misma que la del bombardero GRM. Física I. Semestre

51 Ejemplo para resolver: El final del salto con esquíes (Serway, 2005) Una esquiadora deja la rampa y se desliza en la dirección horizontal con una rapidez de 25.0 m/s. El plano de aterrizaje bajo ella cae con una pendiente de 35. Dónde aterrizará en el plano? GRM. Física I. Semestre

52 Tarea 5 (se entrega): EL COYOTE Y EL CORRECAMINOS GRM. Física I. Semestre

53 Tarea 5 (se entrega): Un decidido coyote está nuevamente en persecución del elusivo correcaminos. El coyote usa un par de patines (marca ACME), con ruedas de propulsión, que proporcionan una aceleración horizontal constante de 15.0m/s 2. El coyote parte del reposo a 70.0 m de la orilla de un risco en el instante en que el correcaminos lo pasa en la dirección del risco. a) Si se supone que el correcaminos se mueve con rapidez constante, determine la rapidez mínima que debe tener para alcanzar el risco antes que el coyote. En el borde del risco, el correcaminos escapa al hacer un giro repentino mientras el coyote continúa de frente. Los patines del coyote permanecen horizontales y continúan funcionando mientras el coyote está en vuelo, de modo que su aceleración, mientras está en el aire es (15.0 i 9.80 j) m/s 2. b) El risco está a 100 m sobre el suelo plano de un cañón. Determine dónde aterriza el coyote en el cañón. c) Determine las componentes de la velocidad de impacto del coyote. GRM. Física I. Semestre

54 Una piedra es lanzada hacia arriba desde lo alto de un edificio, a un ángulo de 30.0 con la horizontal y con una rapidez inicial de 20.0 m/s. La altura del edificio es de 45.0 m Ejemplo para resolver: Vaya brazo! (Serway, 2005) a) Cuánto tarda la piedra en llegar al suelo? b) Cuál es la rapidez de la piedra justo antes de golpear el suelo? GRM. Física I. Semestre

55 ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MÁXIMA EN UN PROYECTIL Revise en un texto de Física I Universitaria la deducción de estos casos particulares de movimiento en dos dimensiones. GRM. Física I. Semestre

56 Ejemplo para resolver: Salto de longitud (Serway, 2005) Un atleta que participa en salto de longitud deja el suelo a un ángulo de 20.0 sobre la horizontal y con una rapidez de 11.0 m/s. a) Qué distancia salta en la dirección horizontal? b) Cuál es la altura máxima que alcanza? El atleta mexicano Luis Rivera ganó una histórica medalla de bronce en la prueba de salto de longitud, en el Mundial de Atletismo Moscú 2013, con un registro de 8.27 metros. En la Universiada Mundial de Kazán 2013, obtuvo la medalla de oro con un salto de 8.46 metros 56

57 Movimiento circular uniforme Vectores velocidad instantánea para una partícula en movimiento circular uniforme GRM. Física I. Semestre

58 Movimiento circular uniforme ACELERACIÓN CENTRÍPETA (dirección es hacia el centro del círculo) Una partícula en movimiento circular uniforme, experimenta una aceleración radial a puesto que la dirección de v cambia con el tiempo. PERÍODO EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR Intervalo de tiempo requerido para una revolución completa de la partícula 58

59 Ejemplo para resolver: Aceleración centrípeta de la Tierra (Serway, 2005) Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra a medida que se mueve en su órbita alrededor del Sol? Dato: radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol = 1.496x10 11 m. GRM. Física I. Semestre

60 Aceleraciones tangencial y radial Aceleración total Si el vector velocidad v (siempre tangente a la trayectoria) cambia en dirección y magnitud, las componentes de la aceleración a son una componente tangencial a t y otra componente radial a r La componente de aceleración radial surge de una cambio en dirección del vector velocidad. La componente de aceleración tangencial causa un cambio en la rapidez v de la partícula. GRM. Física I. Semestre

61 Ejemplo para resolver: En la cumbre (Serway, 2005) Un automóvil muestra una aceleración constante de m/s 2 paralela a la autopista. El automóvil pasa sobre una elevación en el camino tal que, lo alto de la elevación tiene forma de círculo con 500 m de radio. En el momento en que el automóvil está en lo alto de la elevación, su vector velocidad es horizontal y tiene una magnitud de 6.00 m/s. Cuáles son la magnitud y dirección del vector aceleración total para el automóvil en ese instante? GRM. Física I. Semestre