RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

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1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES INTRODUCCIÓN Uno de los problemas más frecuentes en el trabajo científico y técnico es hallar raíces de ecuaciones de la forma donde está dada explícitamente (por ejemplo, un polinomio en x). En algunos casos es posible obtener las raíces exactas de la ecuación (una ecuación de º grado, una bicuadrada,...), pero en la mayoría esto resulta imposible. Además, incluso en casos resolubles no nos va a interesar tanto la respuesta "exacta" como la PRECISIÓN con la que podamos calcular las raíces. Por ejemplo: supongamos que tenemos que construir una barra cuya longitud l verifique la ecuación. Luego, la barra habrá de medir. Es claro que esta respuesta no puede usarse para fines prácticos por ser un número irracional (y por lo tanto con infinitos decimales). A la hora de trabajar con representamos este número en el sistema decimal de cálculo tomando el número de decimales que nuestra precisión exija. Además, la mayoría de las veces también los coeficientes han sido obtenidos a partir de medidas experimentales, luego sujetos a error. Luego, nos interesa encontrar métodos para calcular las raíces de una ecuación con el grado necesario de precisión. Recordemos algunas definiciones.

2 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica Definición: Sea una función. Llamamos ECUACIÓN a cualquier expresión del tipo. Si es una función polinómica, a le denominamos ECUACIÓN ALGEBRAICA O POLINÓMICA. En cualquier otro caso, se denomina ECUACIÓN TRASCENDENTE. Llamamos RAÍZ de la ecuación o CERO de la función a cualquier número r que la verifique, es decir, que cumpla que. y y f ( x ) Las raíces de una función son los puntos donde la gráfica de ésta corta al eje de abscisas. r 1 r r 3 La función de la gráfica tiene tres raíces: r 1, r y r 3 En principio una raíz también puede ser un número complejo; nosotros sólo estamos interesados en la búsqueda de las raíces reales de una ecuación. Pasos para la resolución de una ecuación En general, la búsqueda de las raíces reales de un polinomio va a constar de tres pasos: ACOTACIÓN SEPARACIÓN APROXIMACIÓN Acotar consiste en encontrar dos números reales, a y b, de manera que tengamos garantizado que fuera del intervalo [a, b] no se encuentra ninguna raíz real de la ecuación.

3 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica 3 Separar consiste en dividir el intervalo [a, b] en otros más estrechos de forma que en cada uno de ellos o haya una única raíz o no haya ninguna. Y, finalmente podemos pasar a aproximar cada una de las raíces con tanta precisión como deseemos. Vamos a dividir nuestro estudio en ecuaciones algebraicas y trascendentes ya que la forma de trabajar con ellas es, a veces, bastante diferente, aunque encontraremos métodos comunes para ambos tipos de ecuaciones. ECUACIONES ALGEBRAICAS Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica. Algunos de los resultados que veremos en este apartado son válidos para cualquier tipo de ecuaciones algebraicas, ya tengan los coeficientes reales o complejos. Como nuestro estudio de resolución de ecuaciones se va a limitar a polinomios con coeficientes reales, siempre supondremos que los polinomios con los que trabajamos son polinomios con este tipo de coeficientes; es decir, salvo que se especifique otra cosa, en adelante será un polinomio general de grado n con coeficientes reales: en donde los coeficientes son todos números reales. Lema: Sea r un número complejo. Entonces: r es una raíz del polinomio P(x)

4 4 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica P(x) es divisible por el factor ( x r ), es decir el polinomio P se puede escribir como en donde es un polinomio un grado menor que P(x). Demostración: Dividiendo el polinomio P(x) entre (x r ) obtenemos: P(x)= (x r ) Q(x) + R(x) Como el grado del divisor siempre es estrictamente mayor que el del resto se tiene que 1 = grado (x r) grado R(x) y, por lo tanto, ha de ser grado R(x) = 0, es decir, R(x) = R es una constante. La descomposición del polinomio P queda como: P(x)= (x r ) Q(x) + R Entonces: r es raíz de P(x) P(r) = 0 (r r ) Q(r) + R = 0 R = 0 P(x) = (x r ) Q(x) P(x) es divisible por ( x r ). Teorema Fundamental del Álgebra (T.F.A.) Toda ecuación algebraica tiene al menos una raíz (1). Consecuencia inmediata de los dos resultados anteriores es la factorización de un polinomio en función de sus raíces, descomposición que nos es de gran utilidad y que, desgraciadamente, no es posible encontrar en otro tipo de ecuaciones. Así pues, sea P(x) un polinomio de grado n. Por el T.F.A., existe raíz de P(x) tal que: Si, aplicando el T.F.A. a tenemos que existe raíz de tal que: con 1 Dicha raíz puede ser real o compleja.

5 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica 5 con y, en consecuencia, Actuando así sucesivamente llegaremos a que donde, es decir,, una constante, y por lo tanto: En definitiva, tenemos que si P(x) es un polinomio de grado n con coeficientes reales entonces P(x) tiene exactamente n raíces. Las n raíces pueden ser tanto imaginarias como reales. Esta conclusión también es válida cuando los coeficientes del polinomio son números complejos. Ejercicio 1: Encontrar la factorización del polinomio: Qué tipo de coeficientes tienen los factores de la descomposición? Ejercicio : Encontrar la factorización del polinomio: Qué tipo de coeficientes tienen los factores de la descomposición? Otro hecho importante a tener en cuenta es el siguiente: Sea P (x) un polinomio con coeficientes reales. Si el número complejo también es raíz de P (x). es raíz de P (x), entonces su conjugado

6 6 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica En consecuencia, el número de raíces complejas de un polinomio con coeficientes reales es siempre par. Ejercicio 3: Sea P(x) un polinomio de grado 5 con coeficientes reales. Cuántas raíces reales y cuántas complejas puede tener P? Da una lista con todos los casos posibles. Y si el polinomio fuera de grado 6? Volvamos a la factorización: Las n raíces encontradas no tienen por qué ser todas distintas. Agrupando los factores que corresponden a la misma raíz, la factorización queda como: m1 1 m P ( x) k ( x r ) ( x r )... ( x r ) p m p en donde,,, son todos distintos y. Definición: Al número m i se le denomina MULTIPLICIDAD de la raíz r i. Si m i = 1 se dice que r i es una raíz SIMPLE. Si m i, a r i se le denomina raíz MÚLTIPLE. Ejercicio 4: (a) Sea r una raíz de multiplicidad 5 del polinomio. Entonces, el polinomio se puede escribir como en donde. Además, el polinomio Q no se anula en r, es decir,. Demuestra que r también es raíz del polinomio. Cuál es su orden de multiplicad? (b) Si r una raíz simple del polinomio, el polinomio se puede escribir como con. Además, el polinomio Q no se anula en r, es decir,. Es r raíz de?

7 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica 7 Se puede demostrar que: Si r es raíz de multiplicidad m de P (x) r es raíz de multiplicidad m 1 de P (x) r es raíz de multiplicidad m de... r es raíz de multiplicidad 1 de r no es raíz de Las condiciones anteriores nos ayudarán a esbozar la gráfica de un polinomio en torno a sus raíces según cuál sea la multiplicidad de éstas. Ejercicio 5: (a) Si r es una raíz de multiplicidad del polinomio, qué puedes decir de la gráfica del polinomio P alrededor de? (b) Si r es una raíz de multiplicidad 3 del polinomio decir de la gráfica del polinomio P alrededor de?, qué puedes (c) Demuestra que el polinomio tiene una raíz simple en. Tiene un punto de inflexión en dicho valor? (d) Demuestra que el polinomio tiene una raíz simple en. Tiene un punto de inflexión en dicho valor? (e) Sea r una raíz simple del polinomio relativo en?. Puede tener P un extremo En general, las raíces de multiplicidad par se comportan de la misma forma que las raíces de multiplicidad y las raíces de multiplicidad impar ( ) lo hacen igual que las de multiplicidad 3.

8 8 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica Significado geométrico de la multiplicidad de una raíz Raíces de multiplicidad par Raíces de multiplicidad impar x x x x El polinomio tiene tangente horizontal en r El polinomio tiene tangente horizontal en r El polinomio presenta un extremo relativo en r El polinomio presenta un punto de inflexión en r El polinomio no cambia de signo al pasar por r El polinomio cambia de signo al pasar por r Raíces simples x x El polinomio no tiene tangente horizontal en r El polinomio cambia de signo al pasar por r El polinomio puede presentar o no un punto de inflexión en r Algoritmo de Euclides Algunos de los métodos de resolución de ecuaciones que veremos más adelante necesitan trabajar obligatoriamente con polinomios que tengan únicamente raíces simples. Por otra parte, raíces múltiples de un polinomio elevan el grado del polinomio, lo cual puede dificultar la búsqueda de las raíces. Podríamos preguntarnos: Dado un polinomio, cómo podemos encontrar otro que tenga las mismas raíces pero todas simples? El algoritmo de Euclides, que vamos a desarrollar en este apartado, contesta a la anterior pregunta.

9 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica 9 Una consecuencia de la caracterización de las raíces múltiples es la siguiente: Puesto que las raíces múltiples de P(x) son raíces de un grado menos de multiplicidad de P '(x), se tiene que: Las raíces comunes de un polinomio P(x) y de su derivada P '(x) son las raíces múltiples de P(x). Así, podemos descomponer P(x) como: m p P( x) ( x r1 ) 1 ( x r )... ( x rp ) Q1( x) m m en donde m i. En el polinomio se han agrupado todas las raíces simples de P( x). Entonces, el polinomio P '(x) admitirá una factorización: m 1 m 1 m 1 1 p P' ( x) ( x r1 ) ( x r )... ( x rp ) Q( x) Los polinomios y no pueden tener raíces en común, pues de tenerlas serían raíces simples de P( x) y éstas, según hemos visto, no pueden ser raíces de la derivada. Llegamos así a que el máximo común divisor de los polinomios () P(x) y P '(x) es m m mp m.c.d. P ( x), P' ( x) ( x r1 ) ( x r )... ( x rp ) Luego si definimos el polinomio Q(x) como P( x) ( x) ( x r1 ) ( x r )... ( x r ) Q ( x) m.c.d. P( x), P' ( x) Q p 1 se tiene que Q(x) es un polinomio con las mismas raíces que P(x) pero todas simples. Ejercicio 6: (a) Dado el polinomio Se define el máximo común divisor de dos polinomios como el polinomio de mayor grado que divide a ambos polinomios a la vez. Es, por lo tanto, el polinomio formado por las raíces comunes a ambos con el menor grado de multiplicidad. El papel que juegan los números primos en la factorización de números enteros, lo desempeñan ahora los factores lineales del tipo ( xr).

10 10 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica encontrar el polinomio Q(x) que tiene las mismas raíces que P pero todas simples. (b) Dados los polinomios hallar el.c.d. ( x) P ( x) m. P1, Conociendo las raíces de los polinomios, encontrar el m.c.d. es muy simple. Veamos ahora cómo hacerlo cuando no conocemos estas raíces. Algoritmo de Euclides (3) : m.c.d. de dos polinomios Sean y dos polinomios con. Formemos la siguiente sucesión de polinomios: Dividiendo entre : en donde Dividiendo entre : en donde Y, en general, dividiendo entre : en donde Como la sucesión de los grados de los restos es decreciente se tiene que llegar a una división en la que, es decir, es una constante. Entonces, se verifica que: 3 El mismo método se puede utilizar para calcular el m.c.d. de dos números enteros.

11 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica 11 Si y no tienen raíces en común Si Ejemplo 1: Calcula el m.c.d. de los polinomios: P( x) x x 9x x 14x 8 4 Q( x) x 10x 15x 6 Dividiendo ambos polinomios: 5 4 x x 3 9x x 14x 8 4 x 10x 15x 6 5 x 3 10x 15x 6x x 1 4 x 3 x 14x 0x 8 4 x 10x 15x 6 3 x 4x 5x Ahora dividimos el divisor entre el resto obtenido: 4 3 x 10x 15x 6 x 4x 5x 4 3 x 4x 5x x x 4 3 4x 15x 17x 6 3 4x 16x 0x 8 x 3x Tomamos el nuevo el divisor y le dividimos entre el último resto obtenido: 3 x 4x 5x x 3x 3 x 3x x x 1 x 3x x 3x 0 Como el resto es una constante hemos terminado. Además, como es igual a 0 los dos polinomios tienen raíces comunes, siendo el máximo común divisor de ambos polinomios el polinomio que hace de divisor en la última división, es decir,

12 1 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica m.c.d. P ( x), Q( x) x 3x Nota: Al final de estos apuntes se puede encontrar un apéndice con comandos útiles para la división de polinomios con wxmaxima Ejercicio 7: (a) Calcula el máximo común divisor de los polinomios del ejercicio anterior empleando wxmaxima. (b) Dado el polinomio encuentra, utilizando wxmaxima, el polinomio Q(x) que tiene las mismas raíces que pero todas simples. Según hemos dicho, el algoritmo de Euclides se puede emplear también para calcular el máximo común divisor de dos números enteros. Se procedería a realizar divisiones sucesivas hasta alcanzar una en la que el resto sea igual a 0. El máximo común divisor de ambos números es el último resto no nulo. Ejemplo : Calcula el m.c.d. de y Dividimos entre 4 930: = Continuamos realizando divisiones sucesivas (en las que el dividendo es el divisor de la división anterior y el divisor el resto de la anterior división) hasta llegar a una división en la que el resto sea igual a 0: = = = = = Llegamos a que el anteúltimo resto no nulo es 18. Por lo tanto:

13 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica 13 m.c.d.(130 66, 4 930) = 18 (Comprobación: = , = ) Ejercicio 8: (a) Calcula el máximo común divisor de los números del ejercicio anterior empleando wxmaxima. (b) Calcula el máximo común divisor de y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS En este apartado vamos a tratar de encontrar las raíces reales de polinomios con coeficientes reales. Antes de comenzar con la búsqueda efectiva de los ceros de un polinomio, hagamos algunas consideraciones que pueden ser útiles a la hora de buscar las raíces de una ecuación algebraica. Definición: Se dice que dos ecuaciones algebraicas son EQUIVALENTES cuando tienen las mismas raíces y con los mismos grados de multiplicidad. Se verifica que dos ecuaciones algebraicas son equivalentes si y sólo si sus respectivos coeficientes son proporcionales Por ejemplo, las ecuaciones son equivalentes, es decir, tienen exactamente las mismas raíces y con los mismos grados de multiplicidad.

14 14 Resolución de ecuaciones algebraicas Sin embargo, a pesar de que las ecuaciones sean equivalentes, los polinomios que las producen no tienen por qué ser iguales. En nuestro caso estos polinomios serían Ejercicio 9: Dibuja y compara las gráficas de los polinomios, y Qué significa gráficamente que las ecuaciones sean equivalentes? Dado el polinomio P(x), definimos el nuevo polinomio Q(x) como: Q(x) = P( x) Qué relación hay entre las raíces de ambos polinomios? Es muy fácil demostrar que: Si r es una raíz de Q(x) r es raíz de P(x) Si s es una raíz de P(x) s es raíz de Q(x) Por lo tanto, dada una raíz positiva r de Q(x), hecho lo utilizaremos en algunas ocasiones. r es raíz negativa de P(x) y viceversa. Este Veamos otra regla que nos puede ayudar a encontrar la repartición de las raíces. Definición: Dada una sucesión de números reales,,, diremos que dos términos consecutivos y presentan una VARIACIÓN si tienen signos opuestos. Dada una sucesión de números reales, es fácil calcular el número de variaciones que presenta. Por ejemplo, la sucesión { 5, 7,, 0, 1, 3, 4} tiene 3 variaciones.

15 Resolución de ecuaciones algebraicas 15 Regla de Descartes. Sea un polinomio con coeficientes reales. Supongamos que la sucesión de los coeficientes de dicho polinomio presenta V variaciones. Entonces, el número de raíces reales positivas de P(x) (contando sus multiplicidades) es menor o igual que V y además de la misma paridad (4). Para dar una cota para el número de raíces reales negativas de el criterio a P( x). hay que aplicar Por ejemplo: Sea P ( x) x 4x 3x x La sucesión de los coeficientes {, 4, 3, 1, 4} tiene tres variaciones, luego P(x) tendrá 3 ó 1 raíces reales positivas. Si consideramos el polinomio P ( x) x 4x 3x x 4, su sucesión de coeficientes {, 4, 3, 1, 4} presenta dos variaciones. Por lo tanto, P( x) tiene o bien o bien 0 raíces reales positivas, o lo que es lo mismo, P(x) tiene ó 0 raíces negativas. 5 3 Ejemplo: Consideremos el polinomio P ( x) x 5x 4. La sucesión de coeficientes de P(x), {1, 5, 4}, tiene una variación, luego, el polinomio tiene exactamente una raíz real positiva. La sucesión de coeficientes del polinomio P ( x) x 5x 4, es { 1, 5, 4} y no presenta ninguna variación de signo. Por consiguiente el polinomio P(x) no tiene ninguna raíz real negativa. En definitiva, el polinomio P(x) tiene una única raíz real r que es positiva; las otras seis son complejas conjugadas dos a dos. Lo único que falta por hacer para conocer perfectamente las raíces reales de la ecuación x 5x 4 0 es dar una aproximación al valor de su única raíz real r Es decir, si V es par el número de raíces positivas es par y menor o igual que V, y si V es impar el número de raíces positivas es impar y menor o igual que V.

16 16 Resolución de ecuaciones algebraicas Dada la sencillez de la regla de Descartes, aunque a veces no sea muy informativa, puede ser útil aplicarla. Pasemos a desarrollar cada uno de los pasos. Acotación de las raíces reales de una ecuación algebraica Lema: Sea con (5). Sea K s 0 es un número tal que al aplicar Ruffini todos los coeficientes obtenidos en la división son mayores o iguales a cero. Entonces, K s es una cota superior para las raíces reales de la ecuación P(x) = 0, es decir, si r es una raíz real de se puede asegurar que. Se pueden encontrar infinitos valores de K s que verifiquen las hipótesis del lema, aunque intentaremos que sea lo menor posible. Para calcular una cota inferior de las raíces basta con aplicar el criterio a P( x), pues si k es una cota superior para las raíces de P( x), k será cota inferior para las raíces de P(x). Ejemplo 3: Calcular unas cotas para las raíces reales del polinomio P ( x) x 4 6x 3 18x 7 Tomando K s = 6 (K s = 5 no sirve) Todos son 0 5 En el caso de que sea a 0 0 se multiplica al polinomio por ( 1) obteniéndose un polinomio equivalente al que se puede aplicar el lema.

17 Resolución de ecuaciones algebraicas 17 Entonces, si r es una raíz real de P(x) se tiene que r 6 (6) Una cota superior para las raíces de P ( x) x x 18x 7es: Todos son 0 Por lo tanto, k = es cota superior para las raíces de P( x), luego las raíces del polinomio P(x). es cota inferior para Hemos demostrado que si r es una raíz real de la ecuación P(x) = 0, entonces r (, 6). Ejemplo 4: Calcular unas cotas para las raíces reales del polinomio P ( x) 5x 3 6x 8x 5 Tomando K s = (K s = 1 no sirve) Todos son 0 Entonces, si r es raíz de P(x) r. Pasemos ahora a calcular una cota superior para las raíces reales positivas del polinomio 3 P ( x) 5x 6x 8x 5 Como el coeficiente de mayor grado es negativo, sea cual sea el número con el que probemos al aplicar Ruffini, el primer coeficiente de la división siempre va a ser negativo, lo que en principio nos imposibilita el cálculo de la cota inferior. Esto tiene fácil solución sin más que cambiar de signo a todos los coeficientes de P( x) ya que el polinomio obtenido es equivalente a P( x) y por lo tanto tiene exactamente el mismo conjunto de raíces. Así pues, Ahora, 3 P ( x) 5x 6x 8x 5 ( 1)( 5x 6x 8x 5) 3 6 En principio sería r 6, pero, puesto que 6 no es raíz de P ( x ), se cumple que la desigualdad es estricta, es decir, r < 6.

18 18 Resolución de ecuaciones algebraicas Todos son 0 En consecuencia, k = es cota superior para las raíces reales de P( x), luego inferior para las raíces reales del polinomio P(x). es cota Por lo tanto, si r es una raíz real de la ecuación P(x) = 0 entonces r (, ). Propiedades particulares de raíces racionales de las ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros En este apartado sólo consideraremos polinomios con coeficientes enteros. En particular, vamos a ver cómo se pueden encontrar todas las raíces racionales de un polinomio con este tipo de coeficientes. Sea en donde para todo i. Teorema: Sea un polinomio con coeficientes enteros (es decir, para todo i). Sea aaaaaa una raíz racional de la ecuación entera P(x) = 0 (suponemos que m.c.d.(p, q)=1). Entonces: a 0 es múltiplo de q a n es múltiplo de p. p p Demostración: Por ser r raíz de P(x) = 0 P 0 y, por lo tanto: q q n n1 p p p 0 a a1... an1 a q q q 0 n Reduciendo a común denominador el lado derecho de esta expresión obtenemos que:

19 Resolución de ecuaciones algebraicas 19 n n1 n1 n 0 a0 p a1 qp... an1 q p an q [1] Despejando n a 0 p en la última ecuación: n a0 p a1 qp... n1 n1 an1 q y sacando factor común a q en el miembro de la derecha: a n n1 0 p q a1 p... a n1 q n pa p a Como el polinomio tiene coeficientes enteros y tanto p como q son números enteros, los cuatro factores de la expresión anterior son números enteros. Además, como q divide al miembro de la izquierda ha de dividir también al término de la izquierda, es decir, a n n q q n n1 n a 0 p. Al ser p y q números primos entre sí, q tiene que dividir a a 0, o lo que es lo mismo, a 0 es múltiplo de q. Despejando ahora a n q n en la ecuación [1], obtenemos que: n n n1 n1 a0 q a0 p a1 qp... an1 q p a n n1 n 0 q p a0 p a1 qp... Razonando de la misma forma que en el caso anterior, se obtiene que a n es múltiplo de p. a n1 q n Consecuencia 1: Consecuencia : Sea r una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros. Entonces, el término independiente del polinomio tiene que ser múltiplo de r. Si el término de mayor grado a 0 de un polinomio P(x) con coeficientes enteros es igual a 1 ó a ( 1), todas las raíces racionales de P han de ser enteras. Definición: A los polinomios que tienen el coeficiente del término de mayor grado a 0 = (±1 ) se les denomina MÓNICOS.

20 0 Resolución de ecuaciones algebraicas Por lo tanto, si P(x) es un polinomio mónico y con coeficientes enteros, todas sus raíces racionales han de ser enteras. Además estas raíces se han de encontrar entre los divisores del término independiente del polinomio. Ejemplo 5: Encontrar las raíces racionales del polinomio Acotación de las raíces: En primer lugar, acotemos las raíces del polinomio Todos son 0 El polinomio viene dado por. Así: Todos son 0 En este caso, nos encontramos con que 3 es raíz del polinomio y cota superior de las raíces de éste. Puesto que las raíces de y de son opuestas, tenemos que 3 será cota inferior de las raíces del polinomio y, también, raíz de éste. Luego: De existir, todas las raíces reales de 3 es raíz de se encuentran en el intervalo Aunque podríamos continuar trabajando con para buscar sus raíces racionales, puesto que hemos encontrado una raíz de éste, lo primeros que haremos será factorizar el polinomio en función de : Por lo tanto,. Llamamos al polinomio

21 Resolución de ecuaciones algebraicas 1 Podemos continuar con la búsqueda de las raíces racionales trabajando con, pero es más cómodo proseguir con el polinomio. Evidentemente, toda raíz de también lo es raíz de ; el intervalo de acotación es válido para ambos polinomios (7) pero es mejor trabajar con puesto que es un polinomio de grado menor. Búsqueda de las raíces racionales: Según hemos visto, al ser un polinomio mónico y con coeficientes enteros, si admite alguna raíz racional r, obligatoriamente r ha de ser un número entero que pertenezca al intervalo de acotación. Además tiene que ser divisor del término independiente del polinomio o, lo que es lo mismo: es múltiplo de r. Los divisores de 35 son intervalo, nos queda:. Eliminando aquéllos que no pertenecen al Veamos cuáles de estos números sí son raíces de punto en obtenemos: y cuáles no. Sustituyendo cada x El polinomio Q tiene una única raíz racional que es 5. Luego, el polinomio raíces racionales: tiene dos Ejercicio 10: Termina de buscar las raíces del polinomio del ejemplo anterior. Factorízalo en factores irreducibles con coeficientes reales. 7 Se podrían buscar unas nuevas cotas para las raíces del polinomio, pero no merece la pena

22 Resolución de ecuaciones algebraicas Ejemplo 6: Encontrar las raíces racionales del polinomio Acotación de las raíces: En primer lugar, acotemos las raíces del polinomio Todos son 0 El polinomio viene dado por. Así: Todos son 0 Por lo tanto, de existir, todas las raíces reales de. se encuentran en el intervalo Búsqueda de las raíces racionales: Según hemos visto, al ser un polinomio con coeficientes enteros, si aaaaaa (en donde m.c.d.(p, q)=1)es una raíz racional de P(x), entonces: Por lo tanto: es múltiplo de p es múltiplo de q Posibles valores de p: Posibles valores de q: Cruzando todos los posibles valores de p con los de q obtenemos todos los números racionales que admitir el polinomio como raíces, esto es: De estos doce candidatos podemos eliminar aquéllos que no pertenezcan al intervalo de

23 Resolución de ecuaciones algebraicas 3 acotación. Así, como quedan: Del conjunto de candidatos hemos eliminado tres elementos. Lo único que falta por hacer es comprobar cuáles de los números que han quedado sí son raíces de y cuáles no. Sustituyendo cada punto en obtenemos: x Por lo tanto, el polinomio tiene exactamente dos raíces racionales: Ejercicio 11: Termina de buscar las raíces del polinomio del ejemplo anterior. Factorízalo en factores irreducibles con coeficientes reales. Ejercicio 1: Encuentra las raíces racionales de los polinomios: Separación de las raíces reales de una ecuación algebraica La separación consiste en encontrar intervalos de manera que tengamos garantía de que en cada uno de ellos haya una única raíz o ninguna.

24 4 Resolución de ecuaciones algebraicas Vamos a estudiar tres métodos de separación: el método de Rolle, el método de Sturm y el método de Budan-Fourier. El primero es válido para cualquier tipo de ecuación, tanto algebraica como trascendente; lo único que se necesita para poder aplicarlo es conocer las raíces de la función derivada. Los dos últimos métodos sólo son aplicables a ecuaciones polinómicas. Método de Rolle Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y derivable con derivada continua en el intervalo (a, b). Sean las raíces que tenga la derivada en el intervalo (a, b). Llamemos y. A la sucesión f(x) en el intervalo [a, b]. se le denomina sucesión de Rolle de la función Sean y dos elementos sucesivos de la sucesión de Rolle. Entonces, Si en la función f(x) tiene una única raíz Si en la función f(x) no tiene ninguna raíz (8) Demostración: Sean y dos elementos sucesivos de la sucesión de Rolle. La función f no puede tener ningún extremo relativo entre y ( por qué?). Al ser f una función continua en y sin extremos relativos en dicho intervalos, f ha der ser estrictamente creciente o decreciente en el intervalo. 8 En el caso de que f ( ) f ( ) i 1 0, al menos uno de los extremos del intervalo i i i, 1 será raíz de la ecuación f ( x )=0, no habiendo más raíces en el interior de dicho intervalo. Por otra parte, sabemos que si f ( x ) es un polinomio, sus raíces múltiples también son raíces de la derivada; luego, de haber raíces de este tipo lo serán los puntos i.

25 Resolución de ecuaciones algebraicas 5 Luego, de cortar al eje de abscisas en el intervalo, la gráfica de f puede hacerlo como mucho una vez. Es decir, la función f puede tener una o ninguna raíz en el intervalo. Entonces: Si, las imágenes de los extremos del intervalo tienen distinto signo, luego la gráfica de f ha de cortar al eje de abscisas entre y. Según acabamos de ver, a lo sumo lo puede cortarlo una vez. Hemos demostrado, por lo tanto, que f tiene una única raíz en. Si, es claro que uno de los extremos del intervalo, o es raíz de f. Además, como la función es estrictamente o decreciente, ha de ser única. Si, las imágenes de los extremos del intervalo tienen el mismo signo. Supongamos que la función f fuera estrictamente creciente entre y : Si y al ser f estrictamente creciente, se cumple que para cualquier. Luego f es estrictamente positiva en y no tiene ninguna raíz entre y. Si y al ser f estrictamente creciente, se cumple que para cualquier. Luego f es estrictamente negativa en y no tiene ninguna raíz entre y. De igual modo se demostraría si la función f fuera estrictamente decreciente entre y. y f ( ) i 1 y f ( i 1 ) f ( ) y i 1 i r i 1 x f ( ) i i i 1 x f ( ) i i i 1 x f ( ) i f tiene una única raíz entre y f tiene una única raíz entre y f no tiene ninguna raíz entre y

26 6 Resolución de ecuaciones algebraicas Nota 1: Nota : Nota 3: El criterio también es válido para intervalos abiertos (a, b). Lo único que hay que modificar es calcular y en vez de f(a) y f(b). Alguno o los dos extremos del intervalo pueden ser infinitos. Para aplicar Rolle es muy importante trabajar siempre dentro de intervalos en los que la función sea continua y derivable (salvo quizás en los extremos del intervalo). Ejemplo 7: Separar las raíces reales del polinomio Puesto que es un polinomio, es continuo y derivable en cualquier intervalo, luego no hay ningún problema para aplicar Rolle. Además, se comprueba que las raíces reales de P(x) están en el intervalo ( 4, 3). Busquemos las raíces de la derivada : Así, la sucesión de Rolle de en el intervalo ( 4, 3).está formada por { 4,,, 3}. Calculando el valor del polinomio P en dichos puntos: x 4 3 P(x) Observamos que sólo hay cambio de signo al pasar de 4 a. Por lo tanto: P tiene una única raíz en el intervalo ( 4, ) P no tiene ninguna raíz entre y 3. Podemos concluir diciendo que las raíces de P(x) son: r 1 ( 4, ) única raíz real. r, r 3, r 4 y r 5 complejas (conjugadas dos a dos).

27 Resolución de ecuaciones algebraicas 7 Ejemplo 8: Separar las raíces reales del polinomio Al ser un polinomio, es continuo y derivable en cualquier intervalo y se puede aplicar Rolle sin problemas. Se puede comprobar que, de existir, las raíces reales se hallan dentro del intervalo (, 0). La derivada del polinomio es. Luego: Es decir, no tiene raíces reales. Luego, la sucesión de Rolle de en el intervalo (, 0) está formada únicamente por los extremos del intervalo, es decir, la sucesión de Rolle es {, 0}. Valorando el polinomio en dichos puntos: x 0 P(x) 9 5 Puesto que hay un único cambio de signo, P(x) tiene una única raíz real que se encuentra en el intervalo (, 0). Concluimos que las raíces de P(x) son: r 1 (, 0) única raíz real. r, y r 3, complejas (conjugadas). Método de Sturm El método de Sturm es un método de separación exclusivo de ecuaciones polinómicas. Se puede aplicar únicamente en polinomios que tengan todas las raíces simples.

28 8 Resolución de ecuaciones algebraicas Queremos conocer el número de raíces reales que tiene la ecuación P(x) = 0 en el intervalo (a, b). Llamamos f 1 (x)= y f (x)=. Dividimos los polinomios sucesivamente hasta obtener un resto de grado 0: f 1 (x)=f (x) C 1 (x) + R 1 (x) f (x)=f 3 (x) C (x) + R (x) y llamamos f 3 (x R 1 (x) y llamamos f 4 (x R (x). f k (x)=f k + 1 (x) C k (x) + R k (x) y llamamos f k + (x R k (x) de manera que el grado de R k (x) sea 0, es decir, continuamos dividiendo hasta que el resto es una constante (9) A la sucesión de polinomios { f 1 (x), f (x),, f k + (x)}, se le denomina sucesión de Sturm. Entonces, si queremos saber el número de raíces que tiene el polinomio P(x) en el intervalo (a, b), siendo P(a) P(b) 0, procederemos de la siguiente forma: Evaluamos la sucesión se Sturm en cada uno de los extremos del intervalo x f 1 (x) f (x) f k + (x) nº de variaciones a f 1 (a) f (a) f k + (a) v(a) b f 1 (b) f (b) f k + (b) v(b) y, se verifica que: El número de raíces reales de P(x) en el intervalo (a, b) es igual a v(a) v(b). Si lo que queremos es separar las raíces de la ecuación, tenemos que ir buscando pares de puntos intermedios del intervalo de acotación de manera que la diferencia de variaciones entre ellos sea de 1. Ejemplo 9: Separar las raíces reales del polinomio 9 De hecho ha de ser una constante distinta de 0, pues R k ( x )=0 sólo si P( x ) tiene raíces múltiples.

29 Resolución de ecuaciones algebraicas 9 Unas cotas para las raíces reales del polinomio son 5 y 1. Además, las únicas posibles raíces racionales de P(x) (10) (enteros entre 5 y 1 que dividan a a n = 3) son { 1, 3}. Se comprueba que ninguno de los dos valores anula al polinomio; luego todas sus raíces o son irracionales o complejas. Formemos la sucesión de polinomios de Sturm: 4 3 f ( x) P( x) x 4x x 4x f ( x) P'( x) 4x 1x 4x 4 4( x 3x x 1) (11) Dividiendo ambos polinomios: x 4x x 4x 3 x 3x x x 3x x x x 1 3 x x 3x 3 3 x 3x x 1 4x 4x 4 f ( x) R ( x) ( 4x 4x 4) 4( x x 1) (11) x 3x x 1 x x 1 3 x x x x 4 4x x 1 4x 4x 4 x 3 10 Aunque no es necesario, conviene buscar las raíces racionales en primer lugar, puesto que de haberlas podemos factorizar el polinomio y trabajar con otro de menor grado, lo cual nos puede ahorrar bastantes cálculos a la hora de aplicar el método de Sturm. 11 Lo que nos interesa del polinomio f 1 (x) es el signo que toma para los distintos valores, no el módulo. Por lo tanto, le podemos multiplicar en cualquier momento por constantes positivas sin que el resultado se altere. Así, trabajamos con el polinomio x 3 3x x 1 en vez de con 4x 3 1x 4x 4. Es cómodo, sobre todo cuando se trabaja a mano, hacer lo mismo para los restos parciales de las divisiones, con el fin de no trabajar con números fraccionarios. Si multiplicamos por una constante positiva a un resto parcial, el resto final queda multiplicado por esa misma constante, pero el signo del resto, que es lo que nos interesa, no se modifica (lo que sí se altera es el cociente).

30 30 Resolución de ecuaciones algebraicas f4( x) R ( x) ( x 3) ( x 3) f ( x) R ( x) (1) x x 1 x 3 ( ) x x x 1 x 3x x ( ) x 4 x 3 7 Ese resto ya es constante (y distinto de 0), luego ya hemos terminado de formar la sucesión de Sturm que está formada por los polinomios: 4 3 f ( x) x 4x x 4x 3 3 f ( x) x 3x x 1 f ( x) x x 1 f ( x) x 3 f ( x) 7 Para conocer el número total de raíces de P(x) valoramos la sucesión en x = 5 y en x = 1. x f 1 (x) f (x) f 3 (x) f 4 (x) f 5 (x) nº de variaciones Luego, número de raíces reales del polinomio P(x) en el intervalo ( 5, 1) = =[número de variaciones en 5] [número de variaciones en 1]= =3 1= raíces reales Todavía hay que separar las raíces que hay en el intervalo ( 5, 1) ; para ello evaluemos la sucesión, por ejemplo, en x = 0. En este punto tenemos que: x f 1 (x) f (x) f 3 (x) f 4 (x) f 5 (x) nº de variaciones número de raíces reales del polinomio P(x) en el intervalo ( 5, 0) =

31 Resolución de ecuaciones algebraicas 31 = [ número de variaciones en 5] [ número de variaciones en 0] = = 3 = 1 raíz real. número de raíces reales del polinomio P(x) en el intervalo (0, 1) = =[número de variaciones en 0] [número de variaciones en 1]= = 1=1 raíz real. Ya tenemos separadas las raíces de P(x) que son: r 1 ( 5, 0) (irracional) r (0, 1) (irracional) r 3 y r 4 complejas conjugadas entre sí. Método de Budan-Fourier El método de Budan-Fourier también es un método de separación exclusivo de ecuaciones polinómicas. Es más cómodo de aplicar que el método de Sturm, pero no siempre consigue separar las raíces del polinomio. Sea P(x) un polinomio de grado n y consideremos la sucesión de polinomios formada por P y sus n primeras derivadas: { P(x), P '(x), P ''(x),, P n 1) (x), P n) (x)}. Sean a < b dos números reales tales que P(a) P(b) 0. Calculemos el número de variaciones de signo de cada sucesión: x P(x) P '(x) P n 1) (x) P n) (x) nº de variaciones a P(a) P '(a) P n 1) (a) P n) (a) v(a) b P(b) P '(b) P n 1) (b) P n) (b) v(b) Se verifica que: El número de raíces reales de P(x) en el intervalo (a, b) es menor o igual que

32 3 Resolución de ecuaciones algebraicas v(a) v(b) y de la misma paridad. El método de Budan-Fourier tiene la ventaja sobre el método de Sturm de necesitar una mucho menor complejidad aritmética ya que es mucho más cómodo formar la sucesión de las derivadas que la sucesión de polinomios de Sturm. Sin embargo es muy importante notar el hecho de que el método de Budan-Fourier no nos proporciona normalmente el número exacto de raíces reales que tiene un polinomio en el intervalo (a, b) sino exclusivamente una cota del número de raíces que tiene el polinomio en dicho intervalo. Por lo tanto, muchas veces el método e Budan-Fourier no resuelve completamente el problema de separación de las raíces de un polinomio. Únicamente si v(a) v(b) = 1 podremos decir que en el intervalo (a, b) el polinomio tiene una única raíz, o bien si v(a) v(b) = 0 concluiremos que en el intervalo (a, b) el polinomio no tiene ninguna raíz. Ejemplo 10: Separar las raíces reales del polinomio utilizando el método de Budan-Fourier. Se comprueba que las raíces reales del polinomio se encuentran entre 3 y 5 y que el polinomio no tiene ninguna raíz racional. La sucesión de polinomios de Budan-Fourier es: P(x) = x 4 x 3 9 x + 10 x P '(x) = 4 x 3 6 x 18 x + 10 P ''(x) = 1 x 1 x 18 P 3) (x) = 4 x 1 P 4) (x) = 4 Valoremos la sucesión en los extremos de intervalo de acotación: x P(x) P '(x) P ''(x) P 3) (x) P 4) (x) nº de variaciones

33 Resolución de ecuaciones algebraicas 33 v( 3) v(5) = 4 en el intervalo ( 3, 5) el polinomio P(x) tiene 4, ó 0 raíces reales. Valoremos la sucesión en un punto intermedio, por ejemplo, en x = 0: x P(x) P '(x) P ''(x) P 3) (x) P 4) (x) nº de variaciones Ahora podemos decir que: v( 3) v(0) = 1 en el intervalo ( 3, 0) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz. v(0) v(5) = 3 en el intervalo (0, 5) el polinomio P(x) tiene 3ó 1 raíces. Volviendo a valorar la sucesión en un punto intermedio del intervalo (0, 5), por ejemplo, en x = : x P(x) P '(x) P ''(x) P 3) (x) P 4) (x) nº de variaciones Nos encontramos con que: v(0) v() = en el intervalo (0, ) el polinomio P(x) tiene ó 0 raíces. v() v(5) = 1 en el intervalo (, 5) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz. Tomando un punto intermedio del intervalo (0, ), por ejemplo x = 1: x P(x) P '(x) P ''(x) P 3) (x) P 4) (x) nº de variaciones podemos decir que: v(0) v(1) = en el intervalo (0, 1) el polinomio P(x) tiene ó 0 raíces. v(1) v() = 0 en el intervalo (1, ) el polinomio P(x) no tiene ninguna raíz. Tomando de nuevo un punto intermedio del intervalo (0, 1), por ejemplo x = 0,5: x P(x) P '(x) P ''(x) P 3) (x) P 4) (x) nº de variaciones 0,5 0,

34 34 Resolución de ecuaciones algebraicas tenemos que: v(0) v(0,5) = 1 en el intervalo (0, 0,5) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz. v(0,5) v(1) = 0 en el intervalo (0,5, 1) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz. Por lo tanto, según el método de Budan-Fourier podemos concluir que el polinomio P(x) tiene exactamente cuatro raíces reales en el intervalo ( 3, 5): r 1 ( 3, 0) r (0, 0,5) r 3 (0,5, 1) r 4 (, 5) Ejemplo 11: Separar las raíces reales del polinomio utilizando el método de Budan-Fourier. Las raíces de este polinomio las hemos separado, en el ejemplo 9, utilizando el método de Sturm. Hagámoslo ahora empleando el método de Budan Fourier. Sabemos que las raíces reales del polinomio se encuentran entre 5 y 1. La sucesión de polinomios de Budan- Fourier es: P(x) = x x 3 x + 4 x 3 P '(x) = 4 x x 4 x + 4 P ''(x) = 1 x + 4 x 4 P 3) (x) = 4 x + 4 P 4) (x) = 4 Valoramos dicha sucesión en los extremos de intervalo de acotación: x P(x) P '(x) P ''(x) P 3) (x) P 4) (x) nº de variaciones

35 Resolución de ecuaciones algebraicas 35 v( 5) v(1) = 4 en el intervalo ( 5, 1) el polinomio P(x) tiene 4, ó 0 raíces reales. Valoremos la sucesión en un punto intermedio, por ejemplo, en x = 0: x P(x) P '(x) P ''(x) P 3) (x) P 4) (x) nº de variaciones Ahora podemos decir que: v( 5) v(0) = 1 en el intervalo ( 5, 0) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz. v(0) v(1) = 3 en el intervalo (0, 1) el polinomio P(x) tiene 3ó 1 raíces. Volviendo a valorar la sucesión en un punto intermedio del intervalo (0, 1), por ejemplo en x = 0,5: x P(x) P '(x) P ''(x) P 3) (x) P 4) (x) nº de variaciones 0,5 0,94 5, Nos encontramos con que: v(0) v(0.5) = en el intervalo (0, 0,5) el polinomio P(x) tiene ó 0 raíces. v(0,5) v(1) = 1 en el intervalo (0,5, 1) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz. Por lo tanto, según el método de Budan-Fourier podemos concluir que el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz en el intervalo ( 5, 0) y otra raíz en el intervalo (0,5, 1). Sin embargo, aunque sigamos tomando puntos intermedios, es incapaz de discriminar si en el intervalo (0, 0,5) el polinomio tiene dos raíces o ninguna. Aproximación de las raíces reales Una vez separadas las raíces lo que falta es dar una aproximación a cada una de ellas con el grado de precisión deseado.

36 36 Resolución de ecuaciones algebraicas Los dos métodos que vamos a estudiar, el Método de Newton y el Método del Punto Fijo. Ambos son válidos para todo tipo de ecuaciones, ya sean algebraicas o trascendentes. Método de Newton-Fourier o de las tangentes Sea f(x) una función continua y dos veces derivable en el intervalo [a, b]. Supongamos que: f(x) tiene una única raíz r (a, b) f(a) f(b) 0 f ' (x) no cambia de signo en el intervalo [a, b] f '' (x) no cambia de signo en el intervalo [a, b] Consideremos la función g(x) definida por: Sea 0 el extremo del intervalo [a, b] en el que se verifica que: Formemos la sucesión 0, 1,,, k, k + 1, donde k + 1 = g( k ). Entonces, (1) 1 El hecho de que el límite de la sucesión sea r, nos permite calcular el valor de r con tanta precisión como deseemos.

37 Resolución de ecuaciones algebraicas 37 y 0, f( 0 )) 1, f( 1 )) desde, f( )) x y f ( x ) desde, f( )) 1 1 Geométricamente, el método de Newton consiste en, dado k, sustituir la curva y = f(x) por la recta tangente a la función en el punto ( k, f( k ) ). Entonces, de dicha recta con el eje de abscisas. k + 1 es el punto de corte En la práctica no demostraremos que se verifican todas las hipótesis del método, sino que directamente, con cualquier punto del intervalo, empezaremos la iteración. Si la sucesión no converge con dicho punto probaremos con otro hasta encontrar alguno para el cual la sucesión formada sea convergente (el método de Newton converge en la gran mayoría de los casos). Ejemplo 1: Aproximar con tres cifras decimales exactas las raíces reales del polinomio Sabemos que dicho polinomio tiene una única raíz r ( 4, ) (ejemplo 7). La función de iteración g(x) es:

38 38 Resolución de ecuaciones algebraicas Si tomamos 0 = 4 (no podemos comenzar con (?)) la sucesión queda: 0 = 4 1 = g( 0 ) = g( 4) = 3,517 = g( 1 ) = g( 3,517) = 3, = g( ) = g( 3,3331) = 3, = g( 3 ) = g( 3,3057) = 3,3051 Como buscábamos una aproximación con tres decimales exactos y éstos ya se han estabilizado paramos la iteración. De todas las maneras hay que cerciorarse de que una aproximación a la raíz con tres cifras decimales correctas es P( 3,305)= 0,07 P( 3,306)= 0,445 3,305. Para ello calculemos Luego, como en los extremos del intervalo ( 3,306, 3,305) hay cambio de signo, la raíz del polinomio se encontrará dentro de éste intervalo ( 13 ). Así, podemos asegurar que r 3,305 con tres cifras decimales correctas. Método del Punto Fijo o de aproximaciones sucesivas Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y con una única raíz r en dicho intervalo. Supongamos que la ecuación f(x) = 0 se puede escribir equivalentemente de la forma x = (x) (14). Sea 0 cualquier punto de intervalo [a, b]. Formemos la sucesión 0, 1,,, k, k + 1, donde 13 Este criterio solamente es válido si la raíz que estamos aproximando no es de multiplicidad par. 14 Resolver la ecuación x ( x) significa buscar los puntos de corte entre la curva y ( x) y la recta y = x, o equivalentemente, aquellos puntos sobre la curva ( x, ( x)) cuya abscisa es igual a su ordenada, es decir, aquellos puntos que cumplen que ( x, ( x)) ( x, x). A este tipo de puntos, se los denomina puntos fijos de una función.

39 Resolución de ecuaciones algebraicas 39 Entonces, si la función (x) es derivable en [a, b] y se cumple que ' (x) 1, para cualquier x [a, b], se tiene que: Dado 0 calculamos. Geométricamente: La recta horizontal que pasa por el punto ecuación o, equivalentemente,. es la recta de El punto de corte de esta recta con la recta es el punto de coordenadas. Una vez obtenido, siguiendo los mismos pasos, encontramos Ejemplo 13: Aproximar con tres cifras decimales exactas las raíces reales del polinomio Este polinomio es el mismo que el del ejemplo anterior. Sabemos que la única raíz de P(x) se encuentra en el intervalo ( 4, ). Para poder aplicar el método del punto fijo necesitamos escribir la ecuación en la forma x = (x) y la función (x) actuará como función de iteración. En nuestro caso: P ( x) 0 x 5 5 x 80x x

40 40 Resolución de ecuaciones algebraicas Luego podemos tomar como función de iteración a (x) x Empezando la iteración con, por ejemplo, = 4 obtenemos como primer valor de la sucesión a 1 = ( 4) = 11,1750 valor que, obviamente, se sale fuera del intervalo (15). Lo mismo ocurre si empezamos la iteración con cualquier otro punto del intervalo ( 4, ). Podemos intentar buscar otra función de iteración probando a despejar otra " x " de la ecuación. Así: P ( x) x 80x x 80x 130 x 5 80x 130 Si consideramos la nueva función de iteración 5 1(x) 80x 130 y comenzamos con 0 = 4 obtenemos la sucesión: 0 = 4 1 = 1 ( 0 ) = 1 ( 4) = 3,393 5 = 1 ( 1 ) = 1 ( 3,393 5) = 3, = 1 ( ) = 1 ( 3,316 9) = 3, = 1 ( 3 ) = 1 ( 3,306 7) = 3, = 1 ( 4 ) = 1 ( 3,305 4) = 3,305 1 Una vez estabilizadas las tres primeras cifras decimales procederíamos del mismo modo que lo hicimos en el método de Newton para comprobar que estas son correctas. La ventaja del Método del Punto Fijo sobre el de Newton es que la función de iteración del primero suele ser más sencilla a la hora de efectuar cálculos. Pero hay que tener en cuenta que el método de Newton converge en muchos más casos que el método del Punto Fijo y además suele necesitar un menor número de iteraciones. 15 La derivada de la función ( x ) es '( x) punto fijo probablemente no converja. 4 x 16. Entonces, si x (4, ) es evidente que '( x ) 1. Luego, el método del

41 Resolución de ecuaciones algebraicas 41 Antes de finalizar con las ecuaciones algebraicas veamos algún ejemplo completo de cómo resolver una ecuación de este tipo. Ejemplo 14: Encontrar todas las raíces reales del polinomio dando una aproximación a sus raíces de al menos cuatro cifras decimales correctas. 1. Acotación y regla de Descartes Busquemos una cota superior para las raíces de P(x). Claramente se puede tomar K = 0: Todos son 0 Luego, todas las raíces de P son menores que 0, es decir, P no tiene ninguna raíz real positiva. Si hubiéramos aplicado la regla de Descartes, el resultado habría sido el mismo, ya que la sucesión de coeficientes de P,, no tiene ninguna variación de signo y, por lo tanto, Descartes asegura que P no tiene ninguna raíz real positiva. El polinomio P( x) viene dado por. Como el coeficiente de mayor grado es negativo tenemos que cambiar de signo a todos los coeficientes, puesto que el polinomio resultante es equivalente. Tenemos que: Acotando las raíces de este último polinomio Todos son 0 Entonces, si r es raíz de P(x) r 3. Además, como el número de variaciones de signo de la sucesión de los coeficientes de P( x), es igual a 1, el número de raíces

42 4 Resolución de ecuaciones algebraicas reales negativas de P(x) es exactamente 1. Por lo tanto: El polinomio P tiene una única raíz real que pertenece al intervalo (Las otras dos raíces son complejas conjugadas entre sí). Como las raíces de P ya están separadas, lo único que falta es dar una aproximación.. Aproximación: Método de Newton La función de iteración del método de aproximación de Newton viene dada por: 3 P( x) 5x 13x 9 10x 13x 9 g( x) x x P' ( x) 15 x 6x 15 x 6x Queremos aproximar la única raíz de P. Ésta se encuentra en el intervalo comenzamos la iteración con, por ejemplo, 0 = 3 (con 0 = 0 no se puede empezar) la 3. Si sucesión obtenida es: 0 = 3 1 = g( 0 ) =, = g( 1 ) =, = g( ) =, = g( 3 ) =, Buscamos una aproximación con al menos cuatro decimales exactos; éstos ya se han estabilizado en la cuarta iteración. De todas las maneras hay que asegurase de que una aproximación a la raíz con seis cifras decimales correctas es, Para ello calculemos P(, ) =, P(, 85 47) = 4, Luego, como en los extremos del intervalo (, 85 47,, ) hay cambio de signo la única raíz del polinomio se encontrará dentro de éste. Así, podemos asegurar que la única raíz real de P es aproximadamente igual a, con seis cifras decimales correctas. En definitiva,

43 Resolución de ecuaciones algebraicas 43 Las raíces del polinomio (única raíz real) son: r y r 3 complejas conjugadas entre sí. Ejemplo 15: Encontrar todas las raíces reales del polinomio dando una aproximación a sus raíces con cuatro cifras decimales correctas. 1. Acotación y regla de Descartes Busquemos una cota superior para las raíces de P(x) Todos son 0 Luego, de existir, todas las raíces reales de P son menores que 1. La sucesión de los coeficientes de P es que tiene variaciones. Por lo tanto, la regla de Descartes asegura que P puede tener ó 0 raíces reales positivas. El polinomio P( x) viene dado por para las raíces de este polinomio es: Una cota superior Todos son 0 Entonces, si r es raíz de P(x) r 14. El número de variaciones de signo de la sucesión de los coeficientes de P( x),, también es igual a, luego el número de raíces reales negativas de P(x) es o bien 0 o bien. Por lo tanto: De tener P raíces reales, éstas pertenecerán al intervalo. El polinomio P puede tener ó 0 raíces reales positivas.

44 44 Resolución de ecuaciones algebraicas El polinomio P puede tener ó 0 raíces reales negativas.. Separación: Método de Rolle Por ser P un polinomio, es continuo y derivable en cualquier intervalo; luego se puede aplicar Rolle (si conocemos las raíces de su derivada). Busquemos las raíces de la derivada. La derivada de P es: Luego: Las raíces de la derivada de P son de P en el intervalo viene dada por:. Luego, la sucesión de Rolle Evaluemos P(x) en cada uno de los puntos de la sucesión: x P(x) , , Por lo tanto, podemos concluir que: P tiene una única raíz P tiene una única raíz P no tiene ninguna raíz en (Evidentemente, estas conclusiones concuerdan con lo que nos decía la regla de Descartes) 3. Aproximación: Método de Newton La función de iteración del método de aproximación de Newton viene dada por:

45 Resolución de ecuaciones algebraicas 45 Aproximación de. Comenzamos la iteración con 0 = 14: 0 = 14 1 = g( 0 ) = 13, = g( 1 ) = 13, = g( ) = 13, Buscamos una aproximación con cuatro decimales exactos; éstos ya se han estabilizado en la tercera iteración. Hay que asegurarse de que una aproximación a la raíz decimales correctos es. Calculamos: P( 13, ) = 0,1 P( 13, 7667) = 0,69 con cuatro Luego, como en los extremos del intervalo ( 13, 7667, 13, ) hay cambio de signo, la raíz se encontrará dentro de éste. Luego, con cuatro decimales exactos. Aproximación de. Puesto que no se puede comenzar con ninguno de los extremos del intervalo, probaremos a iniciar la iteración con un punto intermedio, por ejemplo con 0 = 5: 0 = 5 1 = g( 0 ) =, = g( 1 ) = 1, = g( ) = 1, = g( 3 ) = 0, = g( 4 ) = 0, = g( 5 ) = 0, = g( 6 ) = 0, = g( 7 ) = 0, Buscamos una aproximación con cuatro decimales exactos; éstos se han estabilizado en la octava iteración. Hay que asegurarse de que una aproximación a la raíz decimales correctos es. Calculamos: P( 0, ) = 0, 01 P( 0, ) = 0,001 con cuatro

46 46 Resolución de ecuaciones algebraicas Luego, como en los extremos del intervalo ( 0, 676 6, 0, 6765) hay cambio de signo, la raíz se encontrará dentro de éste. Luego, con cuatro decimales correctos. En definitiva: Las raíces del polinomio son: Raíces reales ( y complejas conjugadas entre sí) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRASCENDENTES En general, para la resolución una ecuación trascendente seguiremos los mismos tres pasos que con las ecuaciones algebraicas., es decir: Acotación Separación Aproximación Sin embargo, algunas veces nos encontraremos con ecuaciones en las que, por sus características particulares, nos podamos separar de este esquema y seguir otros métodos. 1. Acotación Normalmente, para resolver la ecuación f(x) = 0 utilizaremos como intervalo(s) de acotación al dominio de f.. Separación A la hora de separar las raíces de una ecuación trascendente f(x) = 0, pueden ocurrir dos casos: (a) Conocemos las raíces de la ecuación f '(x) = 0. (b) No conocemos las raíces de la ecuación f '(x) = 0.

47 Resolución de ecuaciones trascendentes 47 Caso A: Conocidas las raíces de f '(x)=0 Si conocemos las raíces de f ' (x)=0, para separar las raíces de la ecuación f(x)=0 podemos utilizar el método de Rolle Hemos de recordar que tenemos que trabajar en intervalos donde la función sea continua y derivable (salvo quizás en los extremos de los intervalos). Caso B: No conocidas las raíces de f '(x)=0 Consideremos la ecuación f(x)=0. Supongamos que podemos descomponer la función f(x) como una diferencia de dos funciones, es decir, f(x)=g(x h(x). Entonces: Luego, buscar las raíces de la ecuación f(x)=0 es equivalente a buscar las raíces de la ecuación g(x)=h(x). Y buscar los valores para los cuales se verifica esta última es buscar los puntos de corte de las curvas y = g(x) e y = h(x). r 1 r r 3 y y g( x) x y h( x) Resolver la ecuación g(x) =h (x) consiste en buscar los puntos de corte de las gráficas de las funciones y = g(x) e y = h (x). En este caso, la ecuación g(x) =h (x) tiene 3 soluciones:. Por lo tanto, el método gráfico de separación consiste en dibujar las gráficas de las curvas y = g(x) e y = h(x) para conocer el número de veces que se cortan (que coincide con el número de raíces de la ecuación f(x)=0). Las gráficas nos proporcionan una estimación inicial del valor de las raíces que nos permitirá empezar las iteraciones de los métodos de aproximación.

48 48 Resolución de ecuaciones trascendentes 3. Aproximación Para aproximar las raíces de una ecuación trascendente se pueden emplear tanto el método de Newton como el método del Punto Fijo. Ejemplo 16: Resolver la ecuación dando una aproximación a sus raíces con dos cifras decimales exactas. 5 ln x Sea f ( x) 3. Tratamos de resolver la ecuación. Tenemos que: x dom f = cont f = der f = (0,+). 1. Acotación A falta de mayor información, trabajamos con (0,+) como intervalo de acotación.. Separación Tratemos de aplicar el método de Rolle. Como f es continua y derivable en (0,+), este método se podrá aplicar siempre y cuando conozcamos las raíces de la derivada. La derivada de f es: Por lo tanto: La sucesión de Rolle de f en (0,+) está formada por {0, e 6, +}. Calculando el valor de la función (o el límite) en cada punto de la sucesión: 5 ln x lim f ( x) lim x0 x0 x 0

49 Resolución de ecuaciones trascendentes lne 1 1 f ( e ) e e e 5 ln x 1/ x 1 lim f ( x) lim lim 3 3 x x x x 1 L H En definitiva, tenemos que: x 0 e 6 + f(x) + Por lo tanto, podemos concluir que: f tiene una única raíz f no tiene ninguna raíz en 3. Aproximación Utilicemos, por ejemplo el método del punto fijo. Así, f ( x) 0 5 ln x 3 x 5 ln x x 3 Podemos tomar como función de iteración a: 5 ln x ( x) 3 No podemos empezar la iteración con 0 = 0 ( (x) no está definida en x = 0), ni con 0 = e6 ((e 6 ) = ( 1 /3), que está fuera del intervalo). Tomemos cualquier punto intermedio del intervalo, como por ejemplo 0 = 1 Entonces: 0 = 1 1 = 1 ( 0 ) = 1 (1) = 1, = 1 ( 1 ) = 1 (1, ) = 1, = 1 ( ) = 1 (1, ) = 1, = 1 ( 3 ) = 1 (1, 53 31) = 1, = 1 ( 4 ) = 1 (1, 54 41) = 1, Finalmente, comprobemos que r 1, 5 es una aproximación de la raíz de la ecuación con

50 50 Resolución de ecuaciones trascendentes dos cifras decimales correctas. Así: f(1, 5)= 0, 014 f(1, 53)= 0, Luego, hemos demostrado que y, por lo tanto, r 1, 5 es una aproximación con dos cifras decimales exactas a la única raíz de la ecuación. Por lo tanto, concluimos que: La ecuación tiene una única raíz real r 1, 5. Ejemplo 17: Resolver la ecuación x 3e x 9 dando una aproximación a sus raíces con dos cifras decimales exactas. Definimos ; dom f = cont f = der f = R. Le ecuación original es equivalente a la ecuación. 1. Acotación Trabajamos con (, ) como intervalo de acotación.. Separación Emplearemos el método gráfico (16). Para ello, reescribimos la ecuación manera que las dos funciones obtenidas sean lo más fáciles posible de dibujar, de f x x 9 x x ( x) 0 x 3e 9 9 x 3e e No podemos aplicar directamente el método de Rolle. La derivada de f es y no conocemos directamente las raíces de la ecuación.

51 Resolución de ecuaciones trascendentes 51 Podemos tomar 9 x g( x) (parábola simétrica respecto del eje de ordenadas) 3 y. Tenemos que: f ( x) 0 g( x) h( x) Representemos las funciones g y h: En el dibujo observamos que las funciones g y h se cortan en dos únicos puntos. Por lo tanto, la ecuación tiene exactamente dos raíces: r 1 ( 3, ) r (0, ) De todas las maneras, como el dibujo puede ser no muy preciso, antes de ponerse a aproximar conviene cerciorarse de que efectivamente las raíces se encuentran en los intervalos anteriores, calculando la imagen en los extremos de éstos y verificando que efectivamente hay cambio de signo. Tenemos que: f ( 3) 0,15 f ( ) 4,59 f ( 0) 6 f ( ) 17,17 efectivamente r efectivamente r 1 ( 3, ) ( 0,) Por lo tanto, podemos concluir que f tiene exactamente dos raíces: f tiene una única raíz r 1 ( 3, ) f tiene una única raíz r (0, ) 3. Aproximación Y ya podemos pasar a aproximar dichas raíces. La función de iteración de Newton es:

52 5 Resolución de ecuaciones trascendentes Aproximación de. Comenzando la iteración con 0 = 3: 0 = 3 1 = g * ( 0 )=g * ( 3)=, = g * ( 1 )=g * (.97447)=, Según parece, con tres decimales exactos. De todos modos, comprobémoslo: f(, 974) = 0, 00 f(, 975) = 0, 038 con lo que efectivamente tenemos demostrado que decimales exactas. con tres cifras Aproximación de. Comenzando la iteración con β 0 = : β 0 = β 1 = g * (β 0 ) = g * () = 1, β = g * (β 1 ) = g * (1, ) = 1, β 3 = g * (β ) = g * (1, ) = 0, β 4 = g * (β 3 ) = g * (0, ) = 0, β 5 = g * (β 4 ) = g * (0, ) = 0, En cinco iteraciones se han estabilizado las tres primeras cifras decimales. Comprobemos que con tres decimales exactos: f(0, 984) = 0, f(0, 985) = 0, Luego, y, por consiguiente, se tiene que r 0, 984 con tres cifras decimales exactas. Luego, según hemos demostrado:

53 Resolución de ecuaciones trascendentes 53 La ecuación tiene exactamente dos raíces reales: Para finalizar el tema, veamos cómo, en algunas ocasiones, podemos transformar una ecuación en otra más sencilla de resolver Ejemplo 18: Resolver las ecuaciones. La ecuación [1] siempre depende de x a través de 3 x. La ecuación [] depende de x a través de 4 1 x. La ecuación [3] depende de x a través de x. En situaciones como éstas podemos intentar hacer un cambio de variable que nos haga más sencilla la resolución de la ecuación. Algunas veces, conseguiremos transformar las ecuaciones en ecuaciones algebraicas. En las ecuaciones del ejemplo nos encontramos con que: [1] Haciendo el cambio de variable y 3 x 3, la ecuación [1] se convierte en: x 5 3 x 4 0 y 5 y 4 0 [] Haciendo el cambio de variable y 4 1 x, la ecuación [] se convierte en: 1 x x 4 0 y 5 y 4 0 [3] Haciendo el cambio de variable x y, la ecuación [3] se convierte en:

54 54 Resolución de ecuaciones trascendentes x 3 3x x x y 3 5 y y 4 5 y y y y y 5 y 4 0 En esta ocasión, en los tres casos la ecuación correspondiente se ha convertido en una ecuación algebraica inmediata de resolver: y 5 y 4 0. Las soluciones de esta última son: y 5 y y y 3 ó y 8 Deshaciendo los cambios de variable encontramos las soluciones de las ecuaciones originales: [1] Ecuación [1]: Deshaciendo el cambio y 3 x : y = x x = 3 3 = 7 y = x x = ( 8) 3 = 51 Luego, las soluciones de la ecuación [1] son r 1 = 7 y r = 51. [] Ecuación []: Deshaciendo el cambio y 4 1 x : y = x x = = 80 y = x (esta ecuación no tiene solución) Luego, la única solución de la ecuación [] es r 1 = 80. [3] Ecuación [3]: Deshaciendo el cambio x y : y = 3 y = 8 x 3 ln3 x ln ln3 x ln x 8 (esta ecuación no tiene solución) ln 3 Luego, la única solución de la ecuación [3] es r 1 =. ln

55 Polinomios y ecuaciones con wxmaxima 55 Apéndice 1 Algunas órdenes útiles de wxmaxima útiles para trabajar con polinomios y ecuaciones Polinomios coeff (expr, n) o coeff (expr, x^n) Devuelve el coeficiente de en expr, donde expr es un polinomio o monomio en x. hipow (expr, x) Devuelve el mayor exponente explícito de x en expr. El argumento x puede ser una variable o una expresión general. Si x no aparece en expr, hipow devuelve 0. La función hipow no tiene en cuenta expresiones equivalentes a expr. En particular, hipow no expande expr, de manera que hipow (expr, x) y hipow (expand (expr, x)) pueden dar resultados diferentes. División de polinomios quotient (P1, P) Devuelve el cociente de la división del polinomio P1 dividido por el polinomio P.

56 56 Polinomios y ecuaciones con wxmaxima remainder (P1, P) Devuelve el resto de la división del polinomio P1 dividido por el polinomio P. divide (P1, P) Calcula el cociente y el resto de la división del polinomio P1 dividido por el polinomio P. El resultado de divide(p1, P) es una lista cuyo primer miembro es el cociente y el segundo miembro el resto de la división. Las anteriores órdenes quotient, remaider y divide se pueden emplear también en la división de números enteros. factor (expr) Factoriza la expresión expr, que puede contener cualquier número de variables o funciones, en factores irreducibles respecto de los enteros. La factorización que proporciona factor es la factorización irreducible dentro de, no dentro de R Puesto que el polinomio del ejemplo anterior tiene dos raíces reales, a saber,

57 Polinomios y ecuaciones con wxmaxima 57 y, su factorización irreducible dentro de R sería, que no es la que proporciona Maxima. Se puede acceder a factor con wxmaxima en el menú Simplificar con: Simplificar Factorizar expresión expand (expr) Expande la expresión expr. Se multiplican los productos de sumas y de sumas con exponentes. Se puede acceder a factor con wxmaxima en el menú Simplificar con: Simplificar Expandir expresión Ecuaciones En wxmaxima, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones escrita con el símbolo = A una ecuación se le puede asignar un nombre: Se puede operar con ella:

58 58 Polinomios y ecuaciones con wxmaxima Las operaciones realizadas sobre una ecuación se realizan sobre ambos miembros de la ecuación. Nos podemos referir a cada miembro de la ecuación con rhs (nombr_ecu), miembro del lado derecho de la ecuación, o lhs (nombr_ecuk) Resolución de ecuaciones solve (ecuac, var) o solve (ecuac) o solve (expr, var) o solve (expr) Intenta resolver una ecuación de forma exacta, dando sus raíces reales. Consigue resolver exactamente ecuaciones algebraicas de hasta grado 4. Las cuatro órdenes del ejemplo siguiente son equivalentes. Si está claro de qué variable depende la ecuación, se puede omitir var. Si en la expresión que ordenamos resolver no aparece el término derecho, Maxima sobrentiende que éste es igual a 0.

59 Polinomios y ecuaciones con wxmaxima 59 Puede resolver ecuaciones que dependen de algún coeficiente desconocido. En estos casos es obligatorio indicar cuál es la variable respecto de la que queremos resolver la ecuación: La salida de la orden solve es una lista en la que cada uno de los elementos es una ecuación. Se puede acceder a solve con wxmaxima en el menú Ecuaciones con: Menú ecuaciones Resolver La función solve guarda las multiplicidades de las raíces encontradas en la variable multiplicities. es decir, la ecuación tiene tres raíces con multiplicidades, 1 y 4, respectivamente.

60 60 Polinomios y ecuaciones con wxmaxima La orden solve es incapaz de encontrar las raíces de la mayor parte de polinomios de grado mayor que 4: También es incapaz de resolver la mayor parte de ecuaciones trascedentes. Si solve no logra resolver una ecuación de forma exacta, intenta dar una versión simplificada de ésta: La orden solve también puede resolver algunos sistemas de ecuaciones. En este caso, en primer lugar se dará una lista con las ecuaciones que componen el sistema y, en segundo lugar, una lista con las variables respecto de las que queremos resolverlo, es decir, solve ( [ecuac1, ecuac,,ecuacj], [var1, var,, vark] ). En el siguiente ejemplo se intentan buscar los puntos de corte de la circunferencia de centro el origen y radio 1 con la bisectriz del primer/tercer cuadrante: allroots (polinom=0) o allroots (polinom) Calcula aproximaciones numéricas de las raíces reales y complejas del polinomio polinom: La orden allroots no funciona con ecuaciones trascendentes. Se puede acceder a allroots con wxmaxima en el menú Ecuaciones con:

61 Polinomios y ecuaciones con wxmaxima 61 Menú ecuaciones Raíces de un polinomio bfallroots (polinom=0) o bfallroots (polinom) Calcula aproximaciones numéricas de las raíces reales y complejas del polinomio polinom. En todos los aspectos, bfallroots es idéntica a allroots, excepto que bfallroots calcula las raíces en formato bigfloat. Se puede acceder a bfallroots con wxmaxima en el menú Ecuaciones con: Menú ecuaciones Raíces reales grandes de un polinomio (Como puede observarse, la traducción de la orden en el menú es poco afortunada: debería ser algo así como raíces de un polinomio en formato bigfloat ). realroots (polinom=0) o realroots (polinom) Calcula aproximaciones racionales de las raíces reales del polinomio polinom. Los coeficientes del polinomio deben ser números literales, por lo que las constantes simbólicas, como %pi, no son aceptadas. La función realroots guarda las multiplicidades de las raíces encontradas en la variable global multiplicities. Se puede acceder a realroots con wxmaxima en el menú Ecuaciones con: Menú ecuaciones Raíces reales de un polinomio find_root (expr, a, b) o find_root (f, a, b) Calcula una raíz de la expresión expr o de la función f en el intervalo cerrado [a, b]. Si la expresión expr es una ecuación, find_root busca una raíz de lhs(expr) rhs(expr).

62 6 Polinomios y ecuaciones con wxmaxima A pesar de que el manual de wxmaxima afirma que find_root encontrará la raíz buscada o raíces en caso de existir varias, si las raíces de la función no están bien separadas Maxima puede fallar. Las raíces de la función f del siguiente ejemplo son claramente 1, y 3. Si le pedimos a Maxima que encuentre las raíces de f en el intervalo, únicamente encuentra la raíz. find_root espera que la función en cuestión tenga signos diferentes en los extremos del intervalo [a, b] en el que se esté buscando la raíz. Se puede acceder a find_root con wxmaxima en el menú Ecuaciones con: Menú ecuaciones Calcular raíz nroots (polinom, inf, sup) Devuelve el número de raíces reales del polinomio real univariante polinom en el intervalo semiabierto (inf, sup]. Los extremos del intervalo pueden ser menos y más infinito. La función nroots utiliza el método de separación de Sturm.