LA ACCIÓN COMO PODER DEL PESO[1]

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1 EL EQUILIBRIO SEGÚN STEVIN LA ACCIÓN COMO PODER DEL PESO[1] M. M. AYALA 1, F. MALAGÓN, I.GARZÓN Y J. C. CASTILLO Depto de Física, Universidad Pedagógica Nacional A. ROMERO, L.D.RODRÌGUEZ Facultad de Educación, Universidad de Antioquia RESUMEN Se muestra, a través de un análisis de la propuesta de Stevin, que al dar cuenta de los efectos de desequilibrio observados -al definir su causa- se comienza a configurar una magnitud que es extensiva y, en general, escalar y que hemos denominado genéricamente con el término acción; magnitud a partir de la cual se da cuenta de las condiciones de equilibrio, al considerar que éste es debido a la cancelación de acciones. En el caso particular de Stevin, el peso -asumido como propiedad de los cuerpos- es la fuente de todas las acciones y la acción es el poder del peso en una condición específica. La comparación entre los poderes del peso en circunstancias diversas es, pues, un centro del trabajo realizado por Stevin. INTRODUCCION Tradicionalmente la mecánica newtoniana ha sido considerada como la puerta de entrada a la física, constituyéndose en el corazón de su enseñanza. Sin embargo no deja de causar extrañeza el privilegio que se le da a dicha teoría, máxime si se tienen en cuenta las reconocidas rupturas entre ésta y las teorías de la física moderna y aún entre ésta y el electromagnetismo visto desde una perspectiva de campos. Se suele argumentar que esta teoría está a la base de todos los planteamientos teóricos en mecánica, además de tener una fácil comprensión. Dado el privilegio que se le otorga a la mecánica newtoniana generalmente se asume que la fuerza entendida como una magnitud direccionada, se constituye en un concepto básico organizador de los fenómenos mecánicos y en particular de la estática. Pero un análisis de las primeras organizaciones planteadas históricamente en torno a los fenómenos estáticos permiten ver, de una parte, que es posible dar cuenta de estos fenómenos desde una perspectiva puramente espacial, como la planteada por Arquímedes; pero, que aún en los casos en que el equilibrio es visto como una cancelación de acciones, el concepto de fuerza -como lo hemos caracterizado arriba- no se encuentra a la base de estas organizaciones conceptuales. Mostraremos, a través de la propuesta de Stevin, que al tratar de dar cuenta de los efectos observados, de definir su causa, se comienza a configurar una magnitud extensiva y en general, escalar; magnitud que hemos denominado genéricamente con el término acción. En el caso particular de Stevin, el peso -asumido como propiedad de los cuerpos- es la fuente de todas las acciones y la acción es el poder del peso en una condición específica. Cuando el equilibrio es visto como cancelación de acciones, el esquema equilibriodesequilibrio se encuentra a la base de esta perspectiva de análisis, siendo la acción la 1 ayalam@uni.pedagogica.edu.co 491

2 REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No causa y medida del desequilibrio. La elaboración de criterios que permitan y orienten la comparación de acciones es un centro crucial del trabajo en torno a la estática, y en particular de Stevin. Figura 1. Equilibrio en el plano inclinado según Stevin razón entre los pesos que descansan sobre los lados del triángulo estén siempre en la misma razón que las longitudes de éstos (en nuestro caso 4 a 2 o lo que es lo mismo 2 a 1). Así, teniendo en cuenta la simetría de la distribución de pesos, la aditividad de los poderes o fuerzas del peso y la imposibilidad de un móvil Figura 3. Es posible deformar el triángulo y mantener la igualdad de poderes entre P y Q Así, en su estudio del equilibrio en planos inclinados en el Teorema XI Proposición XIX plantea [2]: Si un triángulo tiene su plano perpendicular a la horizontal y su base paralela a ésta; y si sobre cada uno de los otros lados es colocado un cuerpo esférico de igual peso; entonces así como el lado derecho del triángulo es al izquierdo, lo es la fuerza del cuerpo del lado izquierdo a la del cuerpo del lado derecho. Lo anterior se hace evidente -nos dice Stevin- mediante un arreglo homogéneo de cuerpos iguales dispuestos como lo indica la figura 1 sobre un triángulo -ubicado en un plano vertical y cuya base coincide con la horizontal- y de modo que la perpetuo, se demuestra que en equilibrio los pesos deben estar en la misma proporción que las longitudes Figura 2.. Condición de de equilibrio: P/Q=l P /l los lados del triángulo sobre los cuales reposan (véase Q figura 2) y que los poderes de pesos iguales ubicados en los dos lados del triángulo, que se dispone en la forma señalada anteriormente, están en proporción inversa a los lados que los sostienen. Por lo tanto, es posible deformar el triángulo, como se muestra en la figura 3, y mantener dicha igualdad entre los poderes, es decir, mantener la condición de equilibrio; si bien los poderes como tales pueden variar. Es importante notar que estos resultados son compatibles con los determinados desde la perspectiva newtoniana de descomposición de fuerzas, pero mientras que desde ésta se requiere una demostración, desde el enfoque de Stevin es un resultado inmediato. En los corolarios 2, 5 y 6 del teorema XI, Stevin considera dos cuerpos unidos por medio de una cuerda, uno de los cuales descansa sobre un plano y el otro pende mediante una cuerda, que puede tomar diferentes orientaciones respecto al plano inclinado (véase figura 4), y analiza tres casos: 1) Φ -ángulo formado entre el plano y la cuerda de donde pende Q- es cero (la 492

3 cuerda es paralela al plano); 2) Φ es mayor que cero y menor que el ángulo formado entre el plano inclinado y la vertical y 3) La dirección de la cuerda es horizontal y el ángulo se toma en sentido opuesto respecto al plano, como se indica en la figura 3c. El problema se podría plantear de la siguiente forma: cuál es el peso Q que es necesario colgar para que el poder o fuerza de Q sea igual a la fuerza de P cuando el ángulo Φ que forma la cuerda de donde pende Q (y lo une con Q) y el plano inclinado es arbitrario. [3] Figura 4. Problema planteado por Stevin Haciendo uso del método desarrollado hasta el momento, Stevin muestra que la solución del problema es equivalente a la determinación de las condiciones de equilibrio de dos pesos P y Q unidos mediante una cuerda y ubicados respectivamente sobre los planos inclinados que conforman los triángulos abc de la figura 5 (o 6). El triángulo abc es semejante al triángulo a b c, que construye de la siguiente manera: el segmento a b tiene la dirección vertical, el segmento b c es paralelo a la cuerda y el segmento a c es perpendicular al plano. Construye, luego, un triángulo semejante a a b c, que se orienta de tal modo que el lado correspondiente a a b coincide con la horizontal; de esta manera, la configuración que equivale a la inicial es tal que P actúa a lo largo de ac y Q a lo largo de bc. Basado en dicha equivalencia Stevin afirma que el peso Q que equilibra a P debe satisfacer la siguiente proporción: P/Q = l P /l Q. Figura 5. Construcción de configuraciones equivalentes para el caso 2, Φ>0: La configuración a) es equivalente a la configuración b), siendo el poder de Q igual en ambas circunstancias 493

4 REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No En términos newtonianos el problema planteado por Stevin se reduce a la determinación de la magnitud de una fuerza (en nuestro caso la tensión de la cuerda) que se aplica sobre un cuerpo de peso P que descansa sobre un plano inclinado, en una dirección que forma un ángulo Φ con dicho plano y mediante la cual el cuerpo se mantiene en reposo; la solución del mismo se efectúa desde esta perspectiva mediante el método de descomposición de fuerzas. Pero lo que llama la atención no es sólo que un problema pueda ser planteado de maneras diversas y que su solución se lleve a cabo teniendo como base criterios totalmente diferentes; el resultado anterior se torna aún más interesante si se aborda la problemática de comparar y cuantificar el poder del peso. Figura 6. Construcción de configuraciones equivalentes para el caso 3, Φ<0: La configuración a) es equivalente a la configuración b), siendo el poder de Q igual en ambas circunstancias Figura 7. Es el poder de P igual en ambas circunstancias? Lo que se pone de manifiesto con el problema planteado en los corolarios mencionados, es que no se puede afirmar en una primera instancia que el poder de un peso dado sea definible de manera independiente de las condiciones en que este se encuentra y actúa, de la manera como se vincula al resto del sistema. Para aclarar esta idea analicemos las siguientes situaciones: consideremos a P y Q conectados mediante una cuerda que forma un ángulo Φ=0 con el plano y en equilibrio, podemos afirmar, por esto, que el poder de P es igual al de Q; pero si Φ=Φ 0, como en la figura 7b, es claro que el poder de P es mayor que el de Q y que es necesario adicionar un peso Q a Q para que se equilibre con P, en esta circunstancia. Quiere decir esto, que el poder de Q va disminuyendo a medida que el ángulo Φ se va haciendo cada vez más diferente de cero (en uno u otro sentido), o quiere decir más bien que el poder del peso P 494

5 se va haciendo cada vez mayor, o que el poder de P aumenta y el de Q disminuye simultáneamente? Si bien en los casos (a) y (b) de la figura 7, se puede afirmar que el poder de P es igual al del cuerpo que pende de la cuerda (Q y Q ) es posible asegurar que el poder de P es el mismo en las diferentes circunstancias contempladas? Preguntas de este tipo son completamente legítimas y válidas, y en términos generales se encuentran a la base de la construcción de cualquier magnitud. A partir de los criterios planteados por Stevin en el teorema XI-proposición XIX, es posible comparar los poderes de un peso arbitrario P ubicado sobre planos de diferentes inclinaciones con el poder de un peso Q en un plano de inclinación fija y por lo tanto comparar estos poderes entre sí (figura 8) siempre y cuando se consideren la aditividad del poder del peso, y una serie de supuestos que llevan a la idea de Figura 9. Suposiciones que están a la base de la cuantificación del poder del peso Figura 8. Cuantificación de los poderes del peso que el poder del peso sólo depende de la inclinación (figura 9). Lo anterior pone de manifiesto que esta idea presentada como obvia desde la perspectiva newtoniana, está lejos de serlo, al representarse dicho poder por la componente de la fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre el cuerpo. Vistas así las cosas, se requiere suponer que las situaciones contempladas en la fig. 7 son equivalentes. Sin embargo, si se tiene en cuenta que toda acción se origina en el peso, desde el enfoque de Stevin,, no se entendería por qué la cuerda está más tensa en un caso que en el otro, si el poder de P es igual en ambos casos; esto implicaría introducir nuevas fuentes de acción. Así, esta exploración del trabajo de Stevin nos ha permitido ver una nueva posibilidad, que supera el enfoque analítico, donde el poder del peso se define según la conformación del sistema; en tal situación el poder del peso estaría dado por la tensión de la cuerda, en los casos considerados. REFERENCIAS [1]. El presente artículo es uno de los productos del trabajo de investigación De la mecánica a la actividad de organizar los fenómenos mecánicos emprendido con el propósito de elaborar formas alternas que sean más eficientes desde el punto de vista cognitivo y disciplinar para ser presentadas al enseñar la mecánica. [2]. Véase: MAGIE, W. P., A Source Book in Physics, Harvard University Press, Cambridge, Massachusets, 1969, págs [3]. Esta interpretación contrasta con la que hace Mach en su Historia de la Mecánica al respecto. Véase: MACH, E., The Science of Mechanics,The Open Court Publishing Company, Illinois,