4. Aritmética y operadores

Transcripción

1 Fundamentos de Computadores Ingeniería de Telecomunicación Departamento de Automática Escuela Politécnica Superior Curso académico

2 Contenidos 1 Aritmética y lógica 2 3 4

3 Introducción Aritmética y lógica Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial Aritmética básica con bits. Lógica combinacional y secuencial. Operadores hardware para realizar las operaciones: sumas, multiplicaciones y sus opuestas. Unidad aritmético-lógica.

4 En dónde estamos Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial Unidad de control Memoria Periféricos Unidades funcionales Figura: Bloques básicos de la máquina von Neumann

5 Lógica combinacional Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial Implementan ecuaciones booleanas. Los operadores booleanos son: operador y,. Usamos el producto,. operador o,. Usamos la suma, +. operador no,. Usamos una barra sobre la variable. Las salidas dependen de las entradas. Ejemplo y = x 1 + x 2 (x 3 + x 4 ) + x 5

6 Tablas de verdad Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial Expresan la(s) salida(s) en función de la(s) entrada(s). Ejemplo La ecuación anterior para algunas entradas (hay 2 5 posibles): x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y

7 Leyes de de Morgan Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial Primera ley: Segunda ley: (x y) = x + y (x + y) = x y Break the line, change the sign.

8 Lógica combinacional Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial a b & c c = a b Figura: Puerta lógica AND

9 Lógica combinacional Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial a b c c = a + b Figura: Puerta lógica OR

10 Lógica combinacional Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial a b XOR c c = a + b Figura: Puerta lógica XOR

11 Lógica combinacional Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial a c c = a Figura: Puerta lógica NOT

12 Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial Implementación física con un transistor bipolar Figura: Inversor con transistor bipolar

13 Lógica combinacional Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial d a b 0 1 c c = (d == 0)?a:b; Figura: Multiplexor

14 Otras puertas lógicas Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial Existen también: puerta NAND; puerta NOR; puerta XOR; puerta XNOR. Todas se pueden construir con las tres básicas: AND, OR, NOT. Las puertas se caracterizan por su retardo en la respuesta, asociado a la tecnología con que están implementadas.

15 Ejemplo de lógica combinacional Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial 0 1 & Figura: Unidad lógica para AND y OR

16 Lógica secuencial Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial Las salidas dependen de las entradas y de entradas anteriores. Se trata de elementos con memoria. Introduciremos para ello el concepto de registro.

17 Elemento secuencial Introducción Lógica combinacional Lógica secuencial B V S C V = B cuando C Figura: Elemento secuencial: registro de 1 bit

18 Suma básica binaria Vamos a sumar (000111) 2 + (000110) 2. (0) (0) (1) (1) (0) (lo que me llevo )

19 Sumador de 1 bit A B C In C Out S

20 Ecuaciones booleanas correspondientes Para la suma S: S = a b C In + a b C In + a b C In + a b C In. Para el acarreo de salida C Out : C Out = b C In + a C In + a b.

21 Diseño hardware del sumador de 1 bit Ai Bi Si Ci 1 Ci Figura: Circuito para sumador de 1 bit

22 Sumador con propagación de acarreo bn an b3 a3 b2 a2 b1 a1 b0 a0... sn s3 s2 s1 s0 Figura: Sumador con propagación de acarreo (de derecha a izquierda) Nota: Las señales verdes son la interfaz del operador con el exterior.

23 Sumador/restador de 1 bit bn an S/R sn Figura: Sumador y restador elemental para 1 bit

24 Sumador con anticipación de acarreo Recordemos que C Out = b C In + a C In + a b. Para nuestro sumador elemental, C In 2 = b1 C In 1 + a1 C In 1 + a1 b1.

25 Sumador con anticipación de acarreo En general, escribiéndolo en forma más compacta: c i+1 = a i b i + c i (a i + b i ). Si itero la anterior fórmula, c i+2 = a i+1 b i+1 + c i+1 (a i+1 + b i+1 ) que, en función de c i, será: c i+2 = a i+1 b i+1 + (a i b i + c i (a i + b i )) (a i+1 + b i+1 ).

26 Sumador con anticipación de acarreo Si definimos el propagador p i = a i + b i y el generador g i = a i b i, podemos escribir lo anterior c i+1 = g i + p i c i. y c i+2 = g i+1 + p i+1 (g i + c i p i ). con lo que se ve la relación de recurrencia.

27 Sumador con anticipación de acarreo Supongamos que el sumador es de cuatro bits: c 1 = g 0 + p 0 c 0 c 2 = g 1 + p 1 g 0 + p 1 p 0 c 0 c 3 = g 2 + p 2 g 1 + p 2 p 1 g 0 + p 2 p 1 p 0 c 0 c 4 = g 3 + p 3 g 2 + p 3 p 2 g 1 + p 3 p 2 p 1 g 0 + p 3 p 2 p 1 p 0 c 0

28 Comparación de velocidades entre ambas versiones El sumador de propagación introduce un retardo de dos puertas por bit. Para n bits, tendremos un retardo máximo de n 2 retardos de puerta. Para el de anticipación, el retardo es independiente del número de bits, y vale 3 retardos de puerta. En la práctica, hay que introducir más niveles en este segundo, por problemas de fan-in en las puertas.

29 Obtención del inverso para la suma Para obtener el inverso en complemento a 2, observemos que se cumple x + x + 1 = 0 (mód 2 w ), por lo que x = x + 1. Para obtener el inverso en complemento a 1, observemos que por lo que x = x. x + x = 0 (mód 2 w 1),

30 Sumador en complemento a 2 a3 a2 a1 a0 b3 b2 b1 b0 S/R Co Ci s3 s2 s1 s0 Figura: Sumador y restador en complemento a 2

31 Repaso: conceptos de acarreo y desbordamiento Si en la suma binaria básico, el bit más significativo produce acarreo, decimos que ha habido acarreo. Si el resultado de una operación no cabe en la representación usada, hablamos de desbordamiento. Son conceptos relacionados, pero no idénticos.

32 Desbordamiento en suma y resta Operación A B Desborda si... A + B 0 0 < 0 A + B < 0 < 0 0 A B 0 < 0 < 0 A B < 0 0 0

33 Condición de desbordamiento en complemento a 2 El sumador actúa módulo 2 w, por lo que su resultado es correcto. El desbordamiento ocurre cuando el resultado no cabe en el rango de la representación. Cuando se suman (se restan) dos números de distinto (igual) signo, no puede ocurrir el desbordamiento. En caso contrario, sí puede ocurrir. La condición de desbordamiento D se expresa, entonces, así: D = a w 1 b w 1 s w 1 + a w 1 b w 1 s w 1.

34 Sumador en complemento a 1 a3 a2 a1 a0 b3 b2 b1 b0 S/R Co Ci s3 s2 s1 s0 Figura: Sumador y restador en complemento a 1

35 Sumador en complemento a 1 La condición de desbordamiento D es igual que en el caso del complemento a 2, es decir, D = a w 1 b w 1 s w 1 + a w 1 b w 1 s w 1.

36 Sumador para representación en exceso Recordemos que la transformación consiste en sumar un valor fijo (el exceso ), que suele ser Z = 2 w 1, de modo que n n + 2 w 1. La suma y la resta requieren correcciones: A A + Z B B + Z A + B A + B + 2Z, A B A B. Para la suma hay que restar Z y para la resta hay que sumar Z.

37 Sumador para representación en exceso Recordemos que si el exceso es Z = 2 w 1, entonces podemos pasar de la representación en exceso a la de complemento a 2 y viceversa sin más que complementar el bit más significativo. Entonces podemos aprovechar el sumador ya existente para el complemento a 2 y utilizarlo para sumar la representación en exceso. Complementamos el bit más significativo para pasar a complemento a 2, sumamos, y complementamos el bit más significativo del resultado para volver a la representación en exceso.

38 Multiplicación entera sin signo Seguimos, básicamente, el método manual. Obsérvese que el resultado ocupa el doble de bits que los operandos.

39 Pasos de la multiplicación 1 Observar bit 0 en P 0. 2 Si es 1, sumar el multiplicando A con P 1 y almacenar en P 1. 3 Desplazar el registro un lugar a la derecha. 4 Si no hemos agotado los bits, volver al paso primero.

40 Multiplicador sin signo A Bateria ANDs + B Pc P1 P0 L1 CLK L1 CLK L2 Producto parte alta Producto parte baja Figura: Multiplicador binario sin signo

41 Cuadro ejemplo de multiplicación Multiplicar (1100) 2, en A, por (1010) 2, en P 0. reg. desp. P 1 P 0 op estado inicial suma desplazamiento suma desplazamiento suma desplazamiento suma desplazamiento

42 Multiplicación con signo Lo más fácil puede ser Convertir los números a positivo. Realizar la multiplicación sin signo. Transformarlos según el signo que toque. Evidentemente, es lento.

43 Multiplicación con signo: multiplicando negativo Se puede utilizar el método sin signo si sólo el multiplicando es negativo. El factor negativo se coloca en el multiplicando A, se realiza la operación de desplazamiento extendiendo el signo, y se obtiene el resultado correcto.

44 Multiplicación con signo: multiplicador negativo Si el multiplicador B es negativo, colocamos A en el multiplicando y B en el multiplicador, realizamos la operación normalmente, corregimos el resultado, restándole 2 w A, que es tanto como sumarle 2 2w 2 w A. En efecto, observemos que para obtener A B, se tiene A A B 2 w B A (2 w B) + A B + 2 2w 2 w A 2 2w 2 w A = 2 2w AB. Observemos que se obtiene el resultado esperado.

45 Multiplicación con signo: ambos negativos Si el multiplicando A y el multiplicador B son negativos, colocamos A en el multiplicando y B en el multiplicador, realizamos la operación normalmente, corregimos el resultado, sumándole 2 w (A + B). En efecto, observemos que para obtener A B, se tiene A 2 w A B 2 w B (2 w A) (2 w B) + A B + 2 w (A + B) 2 w (A + B) = 2 2w + AB. El término 2 2w es un acarreo (que despreciamos) y obtenemos el valor correcto AB.

46 Algoritmo de Booth Permite multiplicar números con signo tanto en el multiplicando como en el multiplicador y siempre da resultados correctos. Se basa en sumas y restas (necesita un sumador/restador) y en desplazamiento aritméticos. Es un poco más complicado desde el punto de vista hardware.

47 Pasos del algoritmo de Booth 1 Inicializar el producto parcial a 0. Hacer b a igual al bit menos significativo y b t = 0. 2 Examinar bit actual b a y bit anterior b t y en función de los valores de b a b t : 1 si b a b t = 10 : se resta el multiplicando de la parte alta del producto parcial. 2 si b a b t = 01 : se suma el multiplicando a la parte alta del producto parcial. 3 si b a b t = 11 o b a b t = 00 : no se hace nada. 3 Desplazar aritméticamente el producto parcial un bit hacia la derecha. 4 Si queda un bit a la izquierda de b a, actualizar b a con ese bit, actualizar b t con el antiguo b a y volver al paso anterior; en caso contrario, terminar.

48 División entera Aritmética y lógica Se realiza también, como la multiplicación, mediante sumas, restas y desplazamientos, imitando las operaciones manuales. Veremos dos algoritmos: con restauración, más sencillo, pero más lento; sin restauración, más rápido y complicado.

49 División con restauración Se prueba un cociente a ver si cabe o no cabe. Si no cabe se baja la siguiente cifra. La operación de bajar una nueva cifra y probar de nuevo se llama restauración. El dividendo se coloca inicialmente en el registro Dividendo alto-dividendo bajo y el divisor en el registro Divisor. El registro Cociente se inicializa a 0.

50 Cuadro ejemplo de división con restauración

51 Diseño hardware para división con restauración Dividendo alto Resto (al final) Dividendo bajo Cociente 0 1 Signo Resta + Divisor Figura: Divisor con restauración

52 División sin restauración Se prueba un cociente a ver si cabe o no cabe. Si no cabe se baja la siguiente cifra. En vez de restaurar, se suma de nuevo el divisor, lo cual equivale a una restauración. El dividendo se coloca inicialmente en el registro Dividendo alto-dividendo bajo y el divisor en el registro Divisor. El registro Cociente se inicializa a 0.

53 Cuadro ejemplo de división sin restauración

54 Diseño hardware para división sin restauración Dividendo alto Resto (al final) Dividendo bajo Cociente Signo Suma/Resta + Divisor Figura: Divisor sin restauración

55 División con signo Para dividir con signo, recordamos los signos de dividendo y divisor y cambiamos el signo del cociente si aquellos difieren. El signo del resto debe ser el mismo que el del dividendo.

56 Suma en coma flotante Operador de suma Operador de multiplicación Los pasos para sumar o restar dos operandos en coma flotante son: 1 Seleccionar el operando con exponente más bajo y correr la coma de la mantisa tantas posiciones como sea necesario para alinearla con la de de exponente más alto. 2 Suma o resta de mantisas alineadas. 3 Si el resultado no está normalizado, llevar la coma a su lugar y ajustar el exponente adecuadamente. Comprobar si hay desbordamiento por arriba o por abajo. 4 Aplicar el redondeo si el número de bits significativos de la mantisa es excesivo. 5 Normalizar de nuevo, si es necesario. NB: Generalmente dentro de la ALU se emplean más bits que los almacenados en memoria, para tratar de compensar las pérdidas de precisión.

57 Multiplicación en coma flotante Operador de suma Operador de multiplicación Los pasos para multiplicar dos operandos en coma flotante son: 1 Sumar los exponentes de los operandos, ajustando el exceso. 2 Multiplicar las mantisas. 3 Normalizar el resultado si es necesario. Comprobar desbordamiento, por arriba o por abajo. 4 Aplicar redondeo si el número de bits significativos de la mantisa es excesivo. 5 Normalizar de nuevo, si se requiere. 6 Ajustar los signos: positivo si los signos de los operandos eran iguales; negativo, en caso contrario.

58 Unidad de aritmética y lógica integrada A B Estado Operacion Estado Resultados Figura: Estructura de la ALU integrada