APROXIMACIÓN ANALÍTICA DE FRECUNCIAS DE FLEXIÓN LIBRES DE LOSAS ALIGERADAS SIMPLEMENTE APOYADAS MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS

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1 APROXIMACIÓN ANALÍTICA DE FRECUNCIAS DE FLEXIÓN LIBRES DE LOSAS ALIGERADAS SIMPLEMENTE APOYADAS MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS TRABAJO DE INVESTIGACIÓN TUTELADA Por: Lourdes Matas Montejo I.C.C.P Tutor: Tutor inicial: Pedro Museros Romero Tutor: Guillermo Rus Carlborg Departamento de Mecánica de Estructuras Universidad de Granada Edificio Politécnico, Campus Universitario Fuentenueva, CP Granada (España) Julio 2011

2 APROXIMACIÓN ANALÍTICA DE FRECUENCIAS DE FLEXIÓN LIBRES DE LOSAS ALIGERADAS SIMPLEMENTE APOYADAS MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS Lourdes Matas Montejo. I.C.C.P. Julio 2011

3 AGRADECIMIENTOS Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo (Benjamin Franklin). El primer día que leí por primera vez esta frase, me sentí involucrada con ella, como me he sentido con este trabajo de investigación, que me ha enseñado a valorar, respetar y agradecer la capacidad del esfuerzo aplicado en una idea planteada, para obtener de ella el máximo partido posible. Concluido este trabajo, valoro aún más si cabe el esfuerzo de las personas dedicadas por entero a la investigación. Agradezco a mi tutor inicial Pedro Museros, el tiempo dedicado, a pesar de que la distancia no permitió terminar con él el presente trabajo. De manera muy especial quiero agradecer a Guillermo Rus, sus horas de dedicación a la lectura de este documento, su implicación directa en algunas partes del mismo, y sobre todo y ante todo, la atención y amabilidad con la que ha realizado todo ello. Gracias Guillermo, sabes que no sólo te considero mi tutor, sino un amigo. También quiero agradecer al Departamento de Estructuras de la E.T.S.de Ingenieros de Caminos de la Universidad de Granada, la dedicación prestada, especialmente a los amigos que allí tengo. Y como no, a todos mis amigos que han estado pendientes de mi esfuerzo dándome ánimos y preocupándose por el desarrollo de este trabajo. Por último agradecer a los que fueron mis alumnos de Arquitectura Técnica y Arquitectura Superior de EADE, el dejarme trasmitirles mi amor por las estructuras en particular y la ingeniería en general. Gracias por ese tiempo vivido frente a una pizarra. Como todo trabajo académico que he realizado desde que un día el Ingeniero Dios se lo llevó, le dedico este trabajo a mi padre, que no me pudo ver mis logros académicos ni profesionales. También esta vez de manera especial a mi madre, por su valentía y esfuerzo en los duros momentos que está viviendo por su enfermedad en los últimos meses, pero que con esa fuerza que le caracteriza está venciendo. A ella le agradezco el trasmitirme la fuerza para lograr algo con sentido positivo. No me olvido de mis hermanos y mi familia a la que le agradezco la confianza depositada en mí, y especialmente a tí,que nos dejaste hace poquito, con quien aprendí a montar en bici, y que desde aquel día me enseñaste a que confiara en mí con esfuerzo y dedicación.

4 RESUMEN El denominado método de Elementos Finitos, es uno de los métodos prácticos más empleados para el análisis de estructuras y modelos tridimensionales, y es especialmente utilizado en el cálculo de determinados parámetros y efectos dinámicos de elementos estructurales. Sin embargo, el análisis en modelos en 3D toma un mayor tiempo de cálculo y se requiere un mayor uso de recursos computacionales, de ahí que resulté muy útil simplificar al máximo el análisis para determinados elementos estructurales, como es el caso de las losas ortótropas de gran empleo y profusión. El presente trabajo de investigación, plantea un modelo aproximado de losa ortótropa (modelo placa o modelo 2D), que conteniendo las constantes de ortotropía de un modelo tridimensional (modelo losa o modelo 3D), consiga los mismos resultados en sus primeros modos de flexión y formas propias de vibración. Se parte del comportamiento dinámico de una viga isostática simplemente apoyada en sus extremos, para exponer la ecuación diferencial que gobierna dicho comportamiento y su aplicación a los modelos placa y losa que constituirán las secciones analizadas del presente trabajo.

5 Índice general Índice de tablas II Índice de figuras VIII 1. INTRODUCCIÓN Motivación Estado del Arte Metodología Empleada Hipótesis Objetivos Contenido y Estructura METODOLOGÍA FORMULACIÓN ANALÍTICA DEL COMPORTAMIENTO DINÁMI- CO DE UNA VIGA ISOSTÁTICA SIMPLEMENTE APOYA- DA: ECUACIÓN DE BERNOUILLI. APLICACIÓN A TABLE- ROS DE PUENTES DE FERROCARRIL Introducción Formulación Analítica del Comportamiento Dinámico de una Viga Formulación Analítica del Comportamiento Dinámico de un Tablero de Puente de Ferrocarril i

6 ÍNDICE GENERAL ii Variables a considerar en el Comportamiento Dinámico de Puentes de Ferrocarril Constituidos por Losas Ortótropas ESTRATEGIA DE DISEÑO Normativa Tipología de Secciones Adoptadas. Parámetros y Consideraciones MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA VALIDACIÓN Introducción Modelo de Elementos Finitos. Estudio de Convergencia Modelo Placa o Modelo 2D. Parámetros de Cálculo empleados RESULTADOS Comparación Formas Modales. Frecuencias Asociadas a los Tres Primeros Modos de Flexión Comparación de Desplazamientos o Formas Propias de Vibración DISCUSIÓN Resumen del Trabajo de Investigación Conclusiones Propuestas para Investigaciones Futuras APÉNDICES 115 A. Bibliografía 116 B. Composición General de las Macros Empleadas en Ansys 120 C. Datos de entrada y salida de resultados modelos 133

7 Índice de tablas 1.1. Geometría componentes sección simétrica Relación áreas y cantos sección simétrica Número de aligeramientos y diámetro sección simétrica Geometría componentes sección asimétrica Relación áreas y cantos sección asimétrica Número de aligeramientos y lado aligeramiento sección asimétrica Relación de luces y cantos secciones en estudio Constantes geométricas losa canto 1 m. Sección simétrica Constantes geométricas losa canto 1.25 m. Sección simétrica Constantes geométricas losa canto 1.5 m. Sección simétrica Constantes geométricas losa canto 1.75 m. Sección simétrica Constantes geométricas losa canto 2.0 m. Sección simétrica Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Simétrica Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Simétrica Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Simétrica Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Simétrica iii

8 ÍNDICE DE TABLAS iv Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Simétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Simétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Simétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Simétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Simétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Simétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Simétrica Comparación en porcentaje Dx, canto 1 m. Sección Simétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Simétrica Comparación en porcentaje Dx, canto 1.25 m. Sección Simétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Simétrica Comparación en porcentaje Dx, canto 1.5 m. Sección Simétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Simétrica Comparación en porcentaje Dx, canto 1.75 m. Sección Simétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Simétrica Comparación en porcentaje Dx, canto 2 m. Sección Simétrica Constantes geométricas losa canto 1 m. Sección asimétrica Constantes geométricas losa canto 1.25 m. Sección asimétrica Constantes geométricas losa canto 1.5 m. Sección asimétrica Constantes geométricas losa canto 1.75 m. Sección asimétrica.. 25

9 ÍNDICE DE TABLAS v Constantes geométricas losa canto 2 m. Sección asimétrica Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Asimétrica Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Asimétrica Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Asimétrica Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Asimétrica Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Asimétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Asimétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Asimétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Asimétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Asimétrica Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Asimétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Asimétrica Comparación en porcentaje Dx, canto 1 m. Sección Asimétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Asimétrica Comparación en porcentaje Dx, canto 1.25 m. Sección Asimétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Asimétrica Comparación en porcentaje Dx, canto 1.5 m. Sección Asimétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Asimétrica

10 ÍNDICE DE TABLAS vi Comparación en porcentaje Dx, canto 1.75 m. Sección Asimétrica Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Asimétrica Comparación en porcentaje Dx, canto 2 m. Sección Asimétrica Frecuencias de flexión viga isostática simplemente apoyada Número de aligeramientos y diámetro sección simétrica Número de aligeramientos y lado aligeramiento sección asimétrica Tablas Frecuencias Modos de Flexión estudio de convergencia. Sección Simétrica Variación porcentual de frecuencias para diferentes tamaños de mallas y tipología de elementos finitos. Sección Simétrica Número de Nodos para cada tipología de mallado y tiempo de cálculo.sección Simétrica Frecuencias de flexión asociadas a los tres primeros modos del modelo placa y del modelo losa con diferentes tamaños de malla.sección Simétrica Porcentaje de variación entre frecuencias de flexión de la formulación analítica y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Sección Simétrica Porcentaje de variación entre frecuencias de flexión del modelo placa y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Sección Simétrica Tablas Frecuencias Modos de Flexión estudio de convergencia. Sección Asimétrica Variación porcentual de frecuencias para diferentes tamaños de mallas y tipología de elementos finitos. Sección Asimétrica Número de Nodos para cada tipología de mallado y tiempo de cálculo. Sección Asimétrica Frecuencias de flexión asociadas a los tres primeros modos del modelo placa y del modelo losa con diferentes tamaños de malla.sección Asimétrica

11 ÍNDICE DE TABLAS vii Porcentaje de variación entre frecuencias de flexión de la formulación analítica y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Sección Asimétrica Porcentaje de variación entre frecuencias de flexión del modelo placa y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Sección Asimétrica Comparación frecuencias de flexión. Sección Simétrica. Longitud 15 m Comparación frecuencias de flexión. Sección Simétrica. Longitud 22.5 m Comparación frecuencias de flexión. Sección Simétrica. Longitud 30 m Porcentajes de variación frecuencias de flexión entre modelo losa y modelo placa. Sección Simétrica Porcentajes de variación frecuencias de flexión entre el modelo placa y la formulación analítica de viga. Sección Simétrica Comparación frecuencias de flexión. Sección Asimétrica. Longitud 15 m Comparación frecuencias de flexión. Sección Asimétrica. Longitud 22.5 m Comparación frecuencias de flexión. Sección Asimétrica. Longitud 30 m Porcentajes de variación frecuencias de flexión entre modelo losa y modelo placa. Sección Asimétrica Porcentajes de variación frecuencias de flexión entre el modelo placa y la formulación analítica de viga. Sección Asimétrica Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 15 m. Sección Simétrica. Comparación porcentual Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 22.5 m. Sección Simétrica. Comparación porcentual Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 30 m. Sección Simétrica. Comparación porcentual

12 ÍNDICE DE TABLAS viii Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 15 m. Sección Asimétrica. Comparación porcentual Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica. Comparación porcentual Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 30 m. Sección Asimétrica. Comparación porcentual

13 Índice de figuras 1.1. Tipología de losas de inercia concentrada Tipología de losas de inercia distribuida Sección Simétrica con disposición de aligeramientos circulares Sección Asimétrica con disposición de aligeramientos cuadrados Elemento Finito SOLIDO Elemento Finito SOLIDO Elemento Finito SHELL Localización áreas Axy, Axo para el cálculo de la constante de rigidez Dx Sección transversal de losa con aligeramientos circulares Sección transversal de losa con aligeramientos cuadrados Esquema Desarrollo Investigación Ecuación Equilibrio Dinámico Viga Euler Benouilli Expresiones de masa generalizada, rigidez generalizada y fuerza generalizada modo j Modos de vibración,rigideces y formas modales viga isostática simplemente apoyada Modo de flexión 1. Viga isostática simplemente apoyada Modo de flexión 2. Viga isostática simplemente apoyada ix

14 ÍNDICE DE FIGURAS x 2.6. Modo de flexión 3. Viga isostática simplemente apoyada Expresiones de masa, rigidez y fuerza generalizada del modo j Equilibrio fuerzas planteamiento problema dinámico Sección Simétrica Sección Asimétrica Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 0.5. Sección Simétrica Mallado con Solido45. Tamaño nealig =1. Sección Simétrica Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 1.2. Sección Simétrica Mallado con Solido45. Tamaño nealig =2. Sección Simétrica Mallado con Solido95. Tamaño nealig =1.2. Sección Simétrica Mallado con Solido95. Tamaño nealig = 2. Sección Simétrica Convergencia Frecuencias Modo 1. Sección Simétrica Convergencia Frecuencias Modo 2. Sección Simétrica Convergencia Frecuencias Modo 3. Sección Simétrica Número nodos de cada tipología de mallado frente al tiempo de cálculo en (s).sección Simétrica Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 0.5.Sección Asimétrica Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 1.Sección Asimétrica Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 1.2. Sección Asimétrica Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 2. Sección Asimétrica Mallado con Solido95. Tamaño nealig = 1.2. Sección Asimétrica Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 2. Sección Asimétrica Convergencia Frecuencias Modo 1. Sección Asimétrica Convergencia Frecuencias Modo 2. Sección Asimétrica Convergencia Frecuencias Modo 3. Sección Asimétrica

15 ÍNDICE DE FIGURAS xi Número nodos de cada tipología de mallado frente al tiempo de cálculo en (s).sección Asimétrica Sección Simétrica con disposición de aligeramientos circulares Mallado Modelo Placa Longitud 15m. Sección Simétrica Mallado Modelo Losa Longitud 15m. Sección Simétrica Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Simétrica Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Simétrica Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Simétrica Mallado Modelo Placa Longitud 22.5 m. Sección Simétrica Mallado Modelo Losa Longitud 22.5 m. Sección Simétrica Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Simétrica Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Simétrica Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Simétrica Mallado Modelo Placa Longitud 30 m. Sección Simétrica Mallado Modelo Losa Longitud 30 m. Sección Simétrica Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Simétrica Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Simétrica Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Simétrica Sección Asimétrica con disposición de aligeramientos cuadrados Mallado Modelo Placa Longitud 15m. Sección Asimétrica Mallado Modelo Losa Longitud 15m. Sección Asimétrica

16 ÍNDICE DE FIGURAS xii Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Asimétrica Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Asimétrica Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Asimétrica Mallado Modelo Placa Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica Mallado Modelo Losa Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica Mallado Modelo Placa Longitud 30 m. Sección Asimétrica Mallado Modelo Losa Longitud 30 m. Sección Asimétrica Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Asimétrica Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Asimétrica Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Asimétrica Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 15 m Diferencia de contornos deformada modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D). Sección Simétrica. Longitud 15 m Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica. Longitud 15 m Diferencia de contornos deformada modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D). Sección Simétrica. Longitud 15 m Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 15 m

17 ÍNDICE DE FIGURAS xiii Diferencia de contornos deformada modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D). Sección Simétrica. Longitud 15 m Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 22.5 m Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 22.5 m Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 22.5 m Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 30 m Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 30 m Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 30 m Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 15 m Diferencia de contornos deformada modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D). Sección Asimétrica. Longitud 15 m Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 15 m Diferencia de contornos deformada modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D). Sección Asimétrica. Longitud 15 m Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 15 m Diferencia de contornos deformada modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D). Sección Asimétrica. Longitud 15 m Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 22.5 m Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 22.5 m Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 22.5 m Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 30 m

18 ÍNDICE DE FIGURAS xiv Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 30 m Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 30 m

19 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN 1.1. Motivación El planteamiento del trabajo de investigación se centrará ante todo en dar respuesta a la cuestión: se podría plantear un modelo basado en la formulación analítica de viga simple para el estudio del comportamiento dinámico de tableros de puentes de ferrocarril? En base a ello, se establecen como objetivos del trabajo: 1. La respuesta dinámica de una estructura para su dimensionamiento. 2. Evaluar la influencia de cada una de las variables introducidas en el comportamiento dinámico del tablero (masa y rigidez) con la configuración geométrica del mismo (luz (luces cortas entre 10 y 30 m), anchura, tipología de sección (simétrica, asimétrica)) 3. Comparar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de una viga isostática con el modelo de losa ortótropa que se establecerá para cada una de las secciones a estudiar en el presente trabajo. Ante todo, se tratará de establecer un modelo de cálculo, basado en un modelo sencillo tipo viga isostática, que con rigidez y densidad constante a lo largo de su directriz principal nos permita establecer pruebas de diseño y modelización para la obtención de sus frecuencias naturales de vibración, y más concretamente sus modos de flexión, que serán la base para el establecimiento del cálculo completo de acuerdo a las normas e instrucciones vigentes, de tableros de puentes de ferrocarril constituidos por losas ortótropas isostáticas simplemente apoyadas. En definitiva y ante todo, se tratará de la justificación de un modelo matemático simplificado para el estudio dinámico de tableros de puentes de ferrocarril, basándose en cálculos realizados con elementos finitos. 1

20 1. INTRODUCCIÓN Estado del Arte En la actualidad se pueden encontrar tres tipologías de secciones de puentes de ferrocarril que se usan con gran profusión:[6][10] Vigas Losas Sección Cajón El presente trabajo de investigación se centra en el estudio de secciones de puente tipo losa, la cual constituye una solución eficaz para puentes de luces pequeñas y medias, pudiéndose establecer un campo de aplicación entre 10 y 45 m de luz. Entre las tipologías de tableros de puentes losa, se pueden distinguir además: Losas de inercia concentrada: llamadas así cuando la rigidez a flexión del tablero se concentra en una zona reducida del mismo. Figura 1.1: Tipología de losas de inercia concentrada Losas de inercia distribuida: cuando la rigidez a flexión longitudinal se reparte uniformemente en la sección transversal Figura 1.2: Tipología de losas de inercia distribuida

21 1. INTRODUCCIÓN 3 Como se aprecia en algunos de los croquis adjuntos, en la tipología tipo losa, se plantea además la necesidad de un aligeramiento de la sección por razones, obviamente económicas, pero también constructivas, reduciéndose de esta forma, peso de la sección losa y por tanto material de zonas con menor contribución a la resistencia del tablero. Los aligeramientos suelen tener diferentes formas: cuadradas, rectangulares, o circulares. Las formas de los aligeramientos circulares y rectangulares han sido las elegidas como aligeramientos de las tipologías de losas objeto de este trabajo. Las premisas que se han seguido para la elección de las secciones a estudiar están basadas en las siguientes hipótesis: Canto obtenido de la relación h = L/15, esbeltez habitual en puentes losa, siendo el canto mínimo 1 m, ya que para cantos inferiores el recubrimiento no es factible. Anchura de losa 7 metros considerando ancho de vía única (7m). En cuanto al espaciamiento entre aligeramientos (carne), es habitual disponerlos entre 30 y 40 cm. Otro aspecto de especial interés es el hecho de que los aligeramientos se disponen con un cierto recubrimiento entre la parte superior e inferior del tablero. Los recubrimientos habituales, tanto inferiores como superiores, se mueven dentro de un rango de validez comprendido entre cm para los recubrimientos superiores, y cm para los recubrimientos inferiores. Son habituales el establecimiento de relación de recubrimientos inferior y superior (ri/rs) entre 1-2, tanto para las secciones simétricas (con valores iguales de recubrimiento superior e inferior), como para secciones asimétricas (con diferentes valores para los recubrimientos superior e inferior). Ambos casos, han sido estudiados en el presente trabajo. Otro aspecto a tener en cuenta es el diámetro de los aligeramientos (para aligeramientos circulares), o lado (para aligeramientos cuadrados). El valor de este diámetro no es aleatorio, sino que está condicionado por el cumplimiento de la siguiente relación de áreas: Área Aligeramiento <60 % Área total de la sección transversal (bx) sin aligeramientos Y a su vez el diámetro del aligeramiento, para aligeramientos circulares, o el lado para aligeramientos cuadrados, debe cumplir: Diámetro aligeramiento <0.7 h Lado aligeramiento <0.7 h

22 1. INTRODUCCIÓN 4 siendo h el canto de la sección considerada. El cumplimiento de estas relaciones nos permite, en un principio despreciar el efecto de la deformación por esfuerzo cortante trasversal en el modelo, teniendo en cuenta que este tipo de esfuerzo puede resultar de gran importancia y consideración en los modelos de tableros de losas aligeradas.[10] Con todo lo anteriormente expuesto se llega a los resultados de las siguientes tablas que recogen de forma esquemática el desarrollo planteado anteriormente, y que han sido la base de las secciones simétricas (recubrimiento superior e inferior iguales) planteadas en el estudio del presente trabajo. Longitud Canto Carne Rec. Superior Rec. Inferior (m) (m) (m) (m) (m) Tabla 1.1: Geometría componentes sección simétrica Longitud Canto Relación áreas Relación canto (m) (m) (m) (m) Tabla 1.2: Relación áreas y cantos sección simétrica Longitud Número Anchura bx Diámetro (m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento(m) Tabla 1.3: Número de aligeramientos y diámetro sección simétrica

23 1. INTRODUCCIÓN 5 El esquema de la sección entre aligeramientos respondería a la siguiente figura, para secciones con aligeramientos circulares y simetría de recubrimientos: Figura 1.3: Sección Simétrica con disposición de aligeramientos circulares

24 1. INTRODUCCIÓN 6 Al mismo tiempo, se han estimado también secciones con aligeramientos cuadrados y recubrimientos con dimensiones diferentes, resultando de este modo secciones asimétricas, con el objetivo de corroborar las hipótesis planteadas en diferentes tipologías de secciones que pueden ser empleadas en tableros de puentes tipo losa. El esquema de la sección entre aligeramientos respondería a la siguiente figura, para secciones con aligeramientos cuadrados y valores de recubrimientos, superior e inferior, diferentes: Figura 1.4: Sección Asimétrica con disposición de aligeramientos cuadrados Las condiciones de áreas, recubrimientos, cantos, esbelteces, etc,... son las mismas que las recogidas para la sección estudiada con aligeramientos circulares y valores de recubrimientos similares. Por ello, del mismo modo tenemos:

25 1. INTRODUCCIÓN 7 Longitud Canto Carne Rec. Superior Rec. Inferior (m) (m) (m) (m) (m) Tabla 1.4: Geometría componentes sección asimétrica Longitud Canto Relación áreas Relación canto (m) (m) (m) (m) Tabla 1.5: Relación áreas y cantos sección asimétrica Longitud Número Anchura bx Lado (m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento(m) Tabla 1.6: Número de aligeramientos y lado aligeramiento sección asimétrica

26 1. INTRODUCCIÓN Metodología Empleada Los modelos estructurales analizados se han estudiado mediante el empleo del método de elementos finitos. Simplemente se ha tratado de modelizar el tablero de forma analítica mediante el modelo de viga de Euler Benouilli. La Teoría de vigas clásicas o de Euler- Bernouilli se basa en las tres hipótesis siguientes: 1. Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga x. 2. El desplazamiento lateral (según el eje y del sistema de referencia adoptado) es nulo. 3. Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas y ortogonales a dicho eje después de la deformación. La elección del método de elementos finitos se ha basado en el hecho de que las estructuras de tableros de puentes se pueden catalogar como estructuras de naturaleza continua, siendo necesario expresar su comportamiento de forma precisa mediante un gran número de variables. El análisis de estas estructuras, efectuado con un cierto rigor, lleva a la integración de ecuaciones diferenciales que expresan el equilibrio de elementos diferenciales en los que ha quedado discretizada la estructura. Para poder abordar el problema planteado de obtención de los diferentes modos de vibración que definen el comportamiento dinámico de cualquier estructura, resulta da gran utilidad el Método de los Elementos Finitos. El cálculo dinámico de puentes de ferrocarril se puede abordar mediante este método. El análisis su puede llevar a cabo mediante: integración directa en el tiempo del modelo completo análisis modal En el presente trabajo de investigación se ha optado por un análisis modal.en uno u otro caso de los mencionados (integración directa en el tiempo del modelo completo o análisis modal), el problema básico se centra en resolver el sistema de ecuaciones diferenciales planteado con la ecuación:[5][7][8]

27 1. INTRODUCCIÓN 9 Donde: M: representa la matriz de masa C: representa la matriz de amortiguamiento K: representa la matriz de rigidez f:representa el vector de fuerzas externas aplicadas d: vector incógnita de desplazamientos nodales Considerando un comportamiento lineal de la estructura se puede realizar un análisis modal con una reducción notable de grados de libertad.en una primera fase se resuelve el problema de autovalores obteniendo numéricamente los n autovalores (frecuencias propias) y modos normales de vibración más significativos (generalmente n N ) siendo N el número de grados de libertad asociados a la estructura. A continuación estos modos de vibración se integran en el tiempo. Las ecuaciones obtenidas quedan desacopladas reduciéndose la respuesta de cada modo a la ecuación dinámica de un sistema con un grado de libertad. El programa empleado para los estudios llevados a cabo sobre las modelos planteados en este trabajo de investigación, ha sido el programa Ansys versión Para la discretización de los modelos estudiados se han empleado elementos tridimensionales, del tipo Elementos Estructurales Sólidos: SOLID45 y SOLID95, que resultan de gran utilidad en Ansys para efectuar tales discretizaciones.

28 1. INTRODUCCIÓN 10 El elemento SOLID45, se define a partir de 8 nodos, uno en cada vértice. Cada nodo tiene tres grados de libertad, que corresponden a las tres direcciones de desplazamiento. El elemento básico tiene forma de hexaedro, aunque también puede emplearse como prisma o tetraedro. Figura 1.5: Elemento Finito SOLIDO45 Por su parte el elemento SOLID95, es un elemento como el SOLID45, pero con un mayor orden. En este caso se definen en total 20 nodos correspondientes no sólo a los vértices, sino también a las aristas, ya que en el punto medio de cada una de ellas se dispone un nodo. Este elemento puede emplearse también como prisma o como tetraedro, siendo muy apropiados para modelar formas irregulares, aunque requieren mayor tiempo de cálculo y mayores rendimientos equipo computacional empleado. Figura 1.6: Elemento Finito SOLIDO95 Tal y como se muestra en la figura (1.6) el elemento se define por cuatro nodos, y cada nodo tiene seis grados de libertad: tres de traslación y tres de rotación. Los ejes coordenados del elemento, X, Y, se definen en el mismo plano del elemento. El elemento tiene un espesor que se define en sus constantes reales.

29 1. INTRODUCCIÓN 11 Para la obtención de las frecuencias y formas propias de vibración del modelo placa, se ha empleado el elemento finito SHELL63. Este elemento encuentra gran aplicación en el modelización de estructuras hechas o concebidas como láminas o elementos de pared delgada. Por lo que resulta adecuado para la modelización del modelo placa ya que como se ha expuesto, el objetivo del trabajo es la obtención de un modelo de losa ortótropa que presente facilidades de cálculo modal, en cuanto a concepción de mallado por elementos finitos y tiempo de obtención de resultado. Figura 1.7: Elemento Finito SHELL63

30 1. INTRODUCCIÓN Hipótesis Una de las primeras cuestiones que surgió al inicio del planteamiento del trabajo, ha sido la consideración del denominado Efecto Poisson entre las zonas de aligeramientos de las secciones planteadas, tanto simétricas como asimétricas, y su afección a las constantes de ortotropía de cada modelo que rigen la validez del método planteado. En este sentido se han llevado a cabo obtenciones de la constante Dx y su comparación, en valores para una misma tipología de sección, considerando o no el Efecto Poisson. Autores como Salvador Monleón plantean a su vez una formulación basada en el desarrollo de momentos de inercia que ha sido objeto de estudio en secciones de tipo simétrico.[26] La consideración o no de Efecto Poisson, se ha basado en la obtención de los momentos de inercia de las secciones consideradas. De este modo: Si en el desarrollo de tales momentos de inercia, se ha tenido en cuenta el área de la sección entre aligeramientos, tendremos un planteamiento del modelo considerando el Efecto Poissón. Por el contrario, si al desarrollar por momentos de inercia el cálculo de la constante de rigidez Dx, no se tiene en cuenta el valor del área entre aligeramientos, tendremos un planteamiento del modelo sin la consideración del Efecto Poissón para la obtención de dicho valor Dx. Figura 1.8: Localización áreas Axy, Axo para el cálculo de la constante de rigidez Dx

31 1. INTRODUCCIÓN 13 Donde: Axy: será el área superior e inferior de los recubrimientos de la sección de losa Axo: área entre aligeramientos. Si en la obtención de la constante de rigidez Dx se considera dicha área, se estará teniendo en cuenta el Efecto Poissón entre aligeramientos Se han analizado secciones con cantos de losa dados por la siguiente relación de esbeltez: Longitud (m) Canto h [L/15 (m)] Tabla 1.7: Relación de luces y cantos secciones en estudio La elección de las luces y cantos se ha establecido sobre todo, para obtener cantos con valores próximos a las construcciones habituales hoy en día en tableros de puentes de ferrocarril. La anchura considerada de cada canto estudiado ha dependido de la aplicación de las hipótesis consideradas en el apartado 1.2. del presente trabajo. Figura 1.9: Sección transversal de losa con aligeramientos circulares

32 1. INTRODUCCIÓN 14 Donde: rs: recubrimiento superior ri: recubrimiento inferior bx: suma de la carne y el diámetros del aligeramiento d: diámetro del aligeramiento h: canto del tablero Con todo lo anterior obtenemos para secciones con aligeramientos circulares: Canto 1 m Carne(m) Relación áreas Diámetro (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.8: Constantes geométricas losa canto 1 m. Sección simétrica Canto 1.25 m Carne(m) Relación áreas Diámetro (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.9: Constantes geométricas losa canto 1.25 m. Sección simétrica Canto 1.5 m Carne(m) Relación áreas Diámetro (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.10: Constantes geométricas losa canto 1.5 m. Sección simétrica

33 1. INTRODUCCIÓN 15 Canto 1.75 m Carne(m) Relación áreas Diámetro (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.11: Constantes geométricas losa canto 1.75 m. Sección simétrica Canto 2 m Carne(m) Relación áreas Diámetro (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.12: Constantes geométricas losa canto 2.0 m. Sección simétrica Con los datos planteados en las tablas anteriores y, considerando anchura de sección el valor bx (suma del valor de la carne y del diámetro del aligeramiento) se han obtenido los valores de la rigidez Dx, tanto de las secciones en las que se ha considerado el Efecto Poissón como de aquellas otras sobre las que se ha despreciado dicho efecto. Finalmente, se ha realizado una comparación de ambos valores. Las constantes del material empleado en el estudio, han sido: E: Módulo de Elasticidad =3, MPa υ : 0, 2 Para las secciones con las constantes planteadas en las tablas anteriores, se obtienen los siguientes valores considerando el Efecto Poissón entre aligeramientos:

34 1. INTRODUCCIÓN 16 Canto 1 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.13: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Simétrica Canto 1.25 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.14: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Simétrica Canto 1.5 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.15: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Simétrica Canto 1.75 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.16: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Simétrica

35 1. INTRODUCCIÓN 17 Canto 2 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.17: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Simétrica Del mismo modo, para las mismas secciones obtenemos los siguientes valores sin considerar el Efecto Poissón entre aligeramientos: Canto 1 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.18: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Simétrica Canto 1.25 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.19: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Simétrica Canto 1.5 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.20: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Simétrica

36 1. INTRODUCCIÓN 18 Canto 1.75 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.21: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Simétrica Canto 2 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.22: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Simétrica Las conclusiones a las que se ha llegado con los resultados anteriores, han permitido llevar a cabo una comparación porcentual entre valores de rigideces Dx, para cada hipótesis, considerando o no el Efecto Poissón en la zona entre aligeramientos. De este modo tenemos:

37 1. INTRODUCCIÓN 19 Canto 1 m Con Efecto Poissón ri/rs bx-d (m) rs(m) ri(m) d(m) bx(m) Dx (N.m 2 ) Sin Efecto Poissón Tabla 1.23: Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Simétrica La comparación en porcentaje entre los valores Dx obtenidos para distintos valores del espacio entre aligeramientos se refleja en la siguiente tabla: Espacio entre Diferencia en porcentaje aligeramientos (m) valores Dx Tabla 1.24: Comparación en porcentaje Dx, canto 1 m. Sección Simétrica

38 1. INTRODUCCIÓN 20 Canto 1.25 m Con Efecto Poissón ri/rs bx-d (m) rs(m) ri(m) d(m) bx(m) Dx (N.m 2 ) Sin Efecto Poissón Tabla 1.25: Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Simétrica Espacio entre Diferencia en porcentaje aligeramientos (m) valores Dx Tabla 1.26: Comparación en porcentaje Dx, canto 1.25 m. Sección Simétrica

41 1. INTRODUCCIÓN 23 Canto 2 m Con Efecto Poissón ri/rs bx-d (m) rs(m) ri(m) d(m) bx(m) Dx (N.m 2 ) Sin Efecto Poissón Tabla 1.31: Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Simétrica Espacio entre Diferencia en porcentaje aligeramientos (m) valores Dx Tabla 1.32: Comparación en porcentaje Dx, canto 2 m. Sección Simétrica

42 1. INTRODUCCIÓN 24 Del mismo modo para secciones con valores de recubrimientos diferentes superior e inferior (asimétricas) y aligeramientos cuadrados, se han obtenido los siguientes resultados: Figura 1.10: Sección transversal de losa con aligeramientos cuadrados Donde: rs: recubrimiento superior ri: recubrimiento inferior bx: suma de la carne y el lado del aligeramiento a: lado del aligeramiento h: canto del tablero Canto 1 m Carne(m) Relación áreas Lado a (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.33: Constantes geométricas losa canto 1 m. Sección asimétrica

43 1. INTRODUCCIÓN 25 Canto 1.25 m Carne(m) Relación áreas Lado a (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.34: Constantes geométricas losa canto 1.25 m. Sección asimétrica Canto 1.5 m Carne(m) Relación áreas Lado a (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.35: Constantes geométricas losa canto 1.5 m. Sección asimétrica Canto 1.75 m Carne(m) Relación áreas Lado a (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.36: Constantes geométricas losa canto 1.75 m. Sección asimétrica Canto 2 m Carne(m) Relación áreas Lado a (m) bx (m) rs (m) ri (m) Tabla 1.37: Constantes geométricas losa canto 2 m. Sección asimétrica

44 1. INTRODUCCIÓN 26 Como en el caso de secciones simétricas,planteadas con anterioridad, con los datos expuestos en las tablas anteriores y, considerando anchura de sección el valor bx (suma del valor de la carne y la anchura del aligeramiento) se han obtenido los valores de la rigidez Dx considerando el Efecto Poissón y sin considerar el Efecto Poissón, para secciones asimétricas, comparando de nuevo los resultados entre sí. Las constantes del material empleado de nuevo han sido: E: Módulo de Elasticidad =3, MPa υ : 0, 2 Para las secciones asimétricas con aligeramientos cuadrados, se obtienen los siguientes valores considerando el Efecto Poissón entre aligeramientos: Canto 1 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.38: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Asimétrica Canto 1.25 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.39: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Asimétrica Canto 1.5 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.40: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Asimétrica

45 1. INTRODUCCIÓN 27 Canto 1.75 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.41: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Asimétrica Canto 2 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.42: Constante rigidez Dx con Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Asimétrica Los valores de Dx obtenidos sin considerar el Efecto Poissón han sido: Canto 1 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.43: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Asimétrica Canto 1.25 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.44: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Asimétrica

46 1. INTRODUCCIÓN 28 Canto 1.5 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.45: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.5 m. Sección Asimétrica Canto 1.75 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.46: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 1.75 m. Sección Asimétrica Canto 2 m Iz Constante Rigidez Dx (m 4 ) (N.m 2 ) Tabla 1.47: Constante rigidez Dx sin Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Asimétrica

47 1. INTRODUCCIÓN 29 Los valores obtenidos de Dx, han sido comparados entre sí, mediante el estudio de porcentajes de diferencia entre ambos valores de rigideces Dx para un mismo valor de espaciamiento entre aligeramientos, tal y como se muestra a continuación: Canto 1 m Con Efecto Poissón ri/rs bx-d (m) rs(m) ri(m) d(m) bx(m) Dx (N.m 2 ) 0.25/ / / Sin Efecto Poissón 0.25/ / / Tabla 1.48: Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1 m. Sección Asimétrica La comparación en porcentaje entre los valores Dx obtenidos para distintos valores del espacio entre aligeramientos se refleja en la siguiente tabla: Espacio entre Diferencia en porcentaje aligeramientos (m) valores Dx Tabla 1.49: Comparación en porcentaje Dx, canto 1 m. Sección Asimétrica

48 1. INTRODUCCIÓN 30 Canto 1.25 m Con Efecto Poissón ri/rs bx-d (m) rs(m) ri(m) d(m) bx(m) Dx (N.m 2 ) 0.25/ / / Sin Efecto Poissón 0.25/ / / Tabla 1.50: Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 1.25 m. Sección Asimétrica La comparación en porcentaje entre los valores Dx obtenidos para distintos valores del espacio entre aligeramientos es: Espacio entre Diferencia en porcentaje aligeramientos (m) valores Dx Tabla 1.51: Comparación en porcentaje Dx, canto 1.25 m. Sección Asimétrica

51 1. INTRODUCCIÓN 33 Canto 2 m Con Efecto Poissón ri/rs bx-d (m) rs(m) ri(m) d(m) bx(m) Dx (N.m 2 ) 0.30/ / / Sin Efecto Poissón 0.30/ / / Tabla 1.56: Comparación Dx con efecto Poissón y sin Efecto Poissón, canto 2 m. Sección Asimétrica La comparación en porcentaje entre los valores Dx obtenidos para distintos valores del espacio entre aligeramientos es: Espacio entre Diferencia en porcentaje aligeramientos (m) valores Dx Tabla 1.57: Comparación en porcentaje Dx, canto 2 m. Sección Asimétrica

52 1. INTRODUCCIÓN 34 Tras el análisis de los datos contenidos en las tablas, mostradas con anterioridad, tanto para secciones con aligeramientos circulares y disposición simétrica de recubrimientos (secciones simétricas), como para secciones con aligeramientos cuadrados y disposición asimétrica de los recubrimientos (secciones asimétricas), se ha llegado a las siguientes conclusiones: Tanto para secciones simétricas como asimétricas, la diferencia de valores de la rigidez Dx considerando Efecto Poissón o no entre espacios de aligeramientos, resulta significativa, con diferencias en valores porcentuales mayores al 10 porciento ó en el entorno al 10 porciento, para cualquier canto (h) del rango de valores estudiado, y para cualquier valor de la carne o espacio entre aligeramientos considerado. En ambas tipologías de secciones, el aumento del canto, lleva consigo un aumento del diámetro o anchura del aligeramiento, pero en consecuencia aumenta también la altura de la carne y por tanto el área de la zona entre aligeramientos. Esto ha tenido como consecuencia que las diferencias porcentuales en los valores de Dx sean mayores a medida que aumenta el canto. Cabe mencionar que para la sección de canto 2,0 m se han propuesto valores de recubrimientos mayores que los de las secciones de cantos inferiores, y en consecuencia, la diferencia porcentual esperada ha sido menor, debido a que la circunstancia de aumentar el valor de los recubrimientos hace que disminuya la altura de la carne o lo que es lo mismo, disminuye el área entre aligeramientos a igualdad de canto. En cualquier caso la diferencia porcentual se mantiene elevada, entre los valores de Dx obtenidos considerando o no el Efecto Poissón. Con las conclusiones obtenidas, se optará por llevar a cabo el estudio de las secciones planteadas en el presente trabajo, tanto con disposición de aligeramientos simétricos como asimétricos, considerando el Efecto Poisson en la zona entre dichos aligeramientos.

53 1. INTRODUCCIÓN Objetivos El denominado método de Elementos Finitos, es uno de los métodos prácticos más empleados para el análisis de estructuras y modelos tridimensionales, y es especialmente utilizado en el cálculo de determinados parámetros y efectos dinámicos de elementos estructurales. Sin embargo, el análisis en modelos en 3D toma un mayor tiempo de cálculo y se requiere un mayor uso de recursos computacionales, de ahí que resulté muy útil simplificar al máximo el análisis que se realiza por Elementos Finitos de determinados elementos estructurales como es el caso de las losas ortótropas de gran empleo y profusión. Como casos especiales de la simplificación de estructuras tridimensionales se encuentran por ejemplo, el modelamiento de estructuras de pared delgada o cascarones, así como el modelamiento de elementos axisimétricos. Ésta última tipología de modelamiento sigue presentando el inconveniente de la creación de varios modelos que en conjunto produzcan el mismo efecto que la estructura completa y por tanto la reducción del tiempo de cálculo no resulta tan importante. Además, en modelos complejos como los presentados en este trabajo, aún los modelos axisimétricos correspondientes seguirían siendo de cierta envergadura para su análisis en 3D. Por ello, lo objetivos del presente trabajo son varios y se corresponden con las distintas etapas de desarrollo del mismo. Inicialmente se ha llevado a cabo una labor de revisión bibliográfica con el objetivo de profundizar en el conocimiento del Cálculo Dinámico de Estructuras de Puentes de Ferrocarril, sobre todo en losas ortótropas simplemente apoyadas y su modelización mediante elementos finitos. Todo ello ha llevado al establecimiento de una serie de hipótesis que han permitido determinar la influencia de determinados efectos, al ser considerados o no, (Efecto Poisson en la zona entre aligeramientos), en la obtención de las constantes de ortotropía de los modelos losas aligeradas. Dichas constantes serán aplicadas al modelo placa de cálculo, desarrollado a lo largo del presente trabajo, para la obtención de la respuesta modal de la losa. Se han planteado una serie de parámetros geométricos que han permitido obtener diferentes secciones de losas aligeradas para distintas luces comprendidas entre 10 y 30 m de longitud. Se han establecido, para cada tipología de sección y luz de cálculo, dos modelos: modelo losa o también denominado 3D, y modelo placa o modelo 2D. El modelo losa se corresponde con la sección aligerada, modelizada por elementos finitos 3D, a la que se le han determinado sus frecuencias propias de vibración, de las cuales se han extraído los tres primeros modos de flexión. El objetivo de todo ello ha sido la comparación de dichos modos de flexión con los correspondientes modos del modelo placa al que se le han aplicado las constantes de ortotropía del modelo losa. En definitiva se ha tratado de obtener un modelo sencillo (modelo placa o modelo 2D) que simplifique el desarrollo de cálculo del modelo complejo (modelo 3D ó modelo losa), para un predimensionamiento inicial, en cuanto a cálculos dinámicos se refiere, que permita observar la variación de determinados valores en cada sección a estudiar, de forma rápida y sencilla, como: luces, cantos, simetría o asimetría de aligeramientos, tipología

54 1. INTRODUCCIÓN 36 de aligeramientos, etc... Con ello se pretende acortar el tiempo de cálculo y la complejidad del mallado y modelización empleada, disponiendo así de una herramienta de cálculo que permita, como se reitera, un predimensionamiento inicial de losas ortótropas empleadas como tableros de puentes de ferrocarril. Como objetivo último, y para afianzar la validez del método de predimensionamiento desarrollado en el presente trabajo, se han comparado a su vez los desplazamientos uz de ambos modelos (modelo losa y modelo placa) asociados a cada modo de flexión.

55 1. INTRODUCCIÓN Contenido y Estructura El presente trabajo de investigación se ha dividido en cuatro capítulos que esquematizan y muestran a su vez de forma organizada los objetivos planteados. En el primer capítulo, a modo de introducción, se plantean los objetivos del trabajo y se presentan las secciones escogidas para llevar a cabo el estudio realizado. Se ponen de manifiesto, a su vez, las hipótesis que se considerarán sobre las tipologías de secciones analizadas. En el segundo capítulo se muestra la metodología analítica de vigas isostáticas, losas isótropas y losas ortótropas en las que se ha basado el estudio del comportamiento dinámico de las secciones tipo de tableros de puentes planteadas. Al mismo tiempo, se presenta la estrategia de diseño y las secciones definitivas que formarán parte de este estudio. Se modelizan las secciones analizadas mediante el método de los elementos finitos de acuerdo al mallado obtenido en el capítulo anterior. Para una mejor exposición de todo el capítulo, se ha dividió el mismo, a su vez, en tres secciones: La primera de ellas muestra la formulación analítica del comportamiento dinámico de vigas isostáticas, así como de tableros de puentes de ferrocarril diferenciando a su vez dos modelos: losas isótropas y losas ortótropas. La segunda muestra la normativa actual en materia de puentes de ferrocarril y los parámetros y consideraciones tenidas en cuenta a la hora de la determinación de dichos parámetros, para definir las tipologías de secciones que serán objeto de estudio a lo largo del presente trabajo. Por último, la tercera sección describe y valida mediante un estudio de convergencia, el tipo de elemento finito que se empleará en el mallado de los modelos losa, para la obtención de las frecuencias propias de vibración, al que se someterá cada una de las secciones planteadas. El capítulo tercero muestra los resultados obtenidos de cada sección, y su comparación entre si para los tres primeros modos de flexión y para las formas propias asociadas a cada modo, tanto del modelo de losa 3D como del modelo de placa. Este último obtenido por aplicación de las constantes de ortotropía del modelo losa 3D. Por último, el capítulo cuarto plantea las conclusiones obtenidas y las propuestas para futuras investigaciones que se puedan realizar sobre las secciones empleadas o sobre nuevas secciones no analizadas en el presente trabajo.

56 1. INTRODUCCIÓN 38 En los apéndices finales se incluye el resultado del estudio de revisión bibliográfica sobre el comportamiento dinámico de estructuras, habiendo hincapié sobre todo, a las tipologías de puentes de losas ortótropas. Así como en las últimas publicaciones aparecidas sobre el Método de Elementos Finitos para la resolución de cálculos dinámicos de losas de diferentes tipologías. Las macros empleadas y resultados obtenidos de los cálculos realizados sobre cada modelo en estudio, se han incluido del mismo modo en los apéndices finales del presente trabajo, aunque los valores de dichos resultados han quedado expuestos a lo largo del desarrollo de la presente trabajo de investigación.

57 1. INTRODUCCIÓN 39 Figura 1.11: Esquema Desarrollo Investigación

58 Capítulo 2 METODOLOGÍA 2.1. FORMULACIÓN ANALÍTICA DEL COM- PORTAMIENTO DINÁMICO DE UNA VI- GA ISOSTÁTICA SIMPLEMENTE APO- YADA: ECUACIÓN DE BERNOUILLI. APLI- CACIÓN A TABLEROS DE PUENTES DE FERROCARRIL Introducción El comportamiento dinámico de un tablero de puente de ferrocarril plantea una gran complejidad matemática que lleva al empleo de métodos matemáticos que requieren el uso de ordenadores, debido a que no se puede llegar a la solución del problema por métodos analíticos simples. El presente trabajo de investigación plantea, tal y como ha quedado expuesto en el apartado de objetivos, un modelo sencillo de losa ortótropa, modelo placa o modelo 2D, que conteniendo las constantes de ortotropía de un modelo tridimensional losa o modelo 3D, consiga los mismos resultados en sus primeros modos de flexión y formas propias de vibración. Partiremos del comportamiento dinámico de una viga isostática simplemente apoyada en sus extremos, para exponer la ecuación diferencial que gobierna dicho comportamiento y su aplicación a los modelos placa y losa que constituirán las secciones analizadas de tableros de puentes de ferrocarril del presente trabajo. 40

59 2. METODOLOGÍA Formulación Analítica del Comportamiento Dinámico de una Viga a) Consideraciones Generales Existen un gran número de modelos que podrían proporcionar los resultados necesarios y deseados para cada una de las necesidades a cubrir en este estudio. Sin embargo, se ha optado por un modelo analítico ya que lo que se pretende es ante todo, obtener una semejanza con el comportamiento de una viga isostática, es decir, con un caso sencillo en el que es posible la modelización del viaducto de forma analítica mediante vigas de Euler-Bernouilli [2]. Su ecuación viene dada por la expresión: [ ] m b (x) 2 w(x, t) w(x, t) t 2 + c(x) + 2 t x 2 EI(x) 2 w(x, t) x 2 = f(x, t) (2.1) Donde: E: módulo de elasticidad de la viga I: inercia a flexión. c: coeficiente de amortiguamiento viscoso, el cual modeliza la disipación de energía. Este coeficiente está asociado a cada modo de vibración de la estructura. ω(x, t): deflexión. f(x,t): fuerza por unidad de longitud. m b : masa por unidad de longitud

60 2. METODOLOGÍA 42 Estableciendo el equilibrio dinámico de una rebanada diferencial de viga se puede obtener la solución de la ecuación anterior [1]. En la ecuación (2.1) distinguimos: Figura 2.1: Ecuación Equilibrio Dinámico Viga Euler Benouilli La Fuerza de Inercia depende de la distribución de masas a lo largo de la viga; La Fuerza de Amortiguamiento es proporcional a la velocidad, es lo que se denomina, amortiguamiento viscoso; La Fuerzas Elástica de la Estructura depende de la rigidez (EI) de la viga. Uno de los métodos empleados para resolver la ecuación anterior es el método de superposición modal. Este método está basado en la descomposición de la respuesta total de la estructura en la suma de una serie de funciones geométricas. Estas funciones son las denominadas formas modales (modos de vibración). Estas formas modales dependen de forma exclusiva de la coordenada x. Estas formas modales multiplicadas por una función temporal o coordenada generalizada nos permiten obtener la respuesta de la estructura. n ω(x, t) = φ i (x)z i (t) (2.2) i=1

61 2. METODOLOGÍA 43 Si en la ecuación 2.1 introducimos la ecuación 2.2. (respuesta de la estructura), obtenemos la siguiente expresión: n j=1 m(x)φ j (x) 2 z j (t) t 2 + n j=1 c(x)φ j (x) z j(t) t + n j=1 2 [ ] x 2 EI(x) 2 φ j (x, t) x 2 z j (t) = f(x, t) Las formas modales poseen dos condiciones principales de ortogonalidad: (2.3) 1. Por la condición de ortogonalidad se puede afirmar que a lo largo de toda la longitud de una viga el producto de una forma modal por si misma es distinto de cero, mientras que el producto de dos formas modales distintas es nulo. De esta forma tenemos: [3][13] L 0 φ i (x)φ j (x) = 0 (2.4) para i j 2. De la primera condición de ortogonalidad se deriva la segunda condición de ortogonalidad según la cual: n L i=1 0 [ ] φ j (x) 2 x 2 EI(x) 2 φ j (x, t) x 2 dx = 0 (2.5) Valiéndonos de estas condiciones se podrá obtener una ecuación del comportamiento de la viga para cada una de los modos de vibración, de manera independiente del resto. Multiplicaremos la ecuación (2.3) por φ j (x) y posteriormente integramos a lo largo de toda la longitud L de la viga: n L i=1 0 m(x)φ j(x)φ i(x)dx 2 z j (t) t 2 + n i=1 L c(x)φ j(x)φ i(x)dx z j (t) t + n L 0 i=1 0 [ ] φ j(x) 2 x 2 EI(x) 2 φ j (x,t) x 2 (2.6) L dxz j(t)= 0 φ j(x)f(x,t)dx

62 2. METODOLOGÍA 44 En la ecuación (2.6) siempre que i j se anularán las integrales constituidas por el producto de formas modales distintas. No ocurre así siempre que i = j, en este caso obtenemos: n L i=1 0 m(x)φ 2 j(x)dx 2 z j (t) t 2 + n L i=1 0 c(x)φ 2 j(x)dx z j (t) t + n L i=1 0 [ ] φ j(x) 2 EI(x) 2 φ j (x,t) L dxz x 2 x j(t) = φ j(x)f(x, t)dx 2 0 (2.7) En la ecuación (2.7) podemos distinguir los siguientes conceptos: Figura 2.2: Expresiones de masa generalizada, rigidez generalizada y fuerza generalizada modo j De modo resumido podemos escribir: M j 2 z j (t) t 2 + 2ξ j ω j M j z j (t) t + K j z j (t) = F j (t) (2.8) Esta ecuación se corresponde con la ecuación de un oscilador de un grado de libertad sometido a una carga cualquiera F j, con masa M j y rigidez K j, con frecuencia angular ω j y con coeficiente de amortiguamiento definido por su tasa de amortiguamiento ξ j

63 2. METODOLOGÍA 45 b) Aplicación a la Viga Isostática Biapoyada Todo lo anteriormente expuesto deberá ser particularizado para la viga isostática biapoyada (Viga de Bernouilli) ya que nuestro objetivo es poder establecer una analogía entre el modelo de viga isostático y secciones de losas de tableros de puentes también isostáticos, estudiando su comportamiento dinámico. Una viga isostática biapoyada tiene las siguientes características: Momentos nulos en los apoyos Flecha en el centro determinada por su longitud y los parámetros asociados de rigidez y características del material (EI). La obtención de las formas modales de una viga isostática la podremos obtener de la ecuación (2.8). Dicha ecuación lleva implícitos los parámetros de masa, rigidez y fuerza generalizada de la viga. Para poder resolver esa ecuación sólo tendríamos que conocer las formas modales asociadas. En principio, y de acuerdo a la ecuación (2.3), en la que consideraremos el caso de vibraciones libres y por tanto f(x, t) = 0 ; para cualquier modo n tendremos la siguiente expresión: m(x)φ n (x) 2 z n (t) t 2 + c(x)φ n (x) z n(t) t [ ] + 2 x 2 EI(x) 2 φ n (x) x 2 z n (t) = 0 (2.9) La solución de la ecuación anterior depende de la consideración del tipo de amortiguamiento que se tenga en cuenta. Pueden considerarse: Sistema Sobreamortiguado; Sistema Críticamente Amortiguado; Sistema Subamortiguado; El caso que habitualmente se encuentra en Dinámica de Estructuras es el de Sistema Subamortiguado. La característica principal de este tipo de sistemas es que el amortiguamiento es inferior al crítico y el parámetro ξ que aparece en la ecuación (2.8) es inferior a la unidad. Debemos definir los parámetros: Frecuencia de oscilación Tasa de amortiguamiento ζ = ω = k m c 2mω = c 2 km (2.10) (2.11)

64 2. METODOLOGÍA 46 Definidas las expresiones que relacionan la rigidez, la masa, la frecuencia de oscilación y la tasa de amortiguamiento crítico, podemos particularizar además considerando que para el caso concreto de una viga de masa y rigidez constantes a lo largo de su longitud, la solución de la ecuación (2.9)se presenta como: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ω 2 φ n (x) = A cos n m EI x 4 ω 2 +Bsen n m EI x 4 ω 2 +C cosh n m EI x 4 ω 2 +Dsenh n m EI x (2.12) Los coeficientes A, B, C y D deben satisfacer las condiciones de contorno del problema. Para obtener la familia de formas modales para la viga isostática biapoyada partiremos de las condiciones de contorno. [9] φ n (0) = 0 (2.13) φ n (L) = 0 (2.14) M f (0) = EI d2 φ n (0) dx 2 = 0 (2.15) las cuales responden a las condiciones de: M f (L) = EI d2 φ n (L) dx 2 = 0 (2.16) desplazamiento en los extremos nulo. momento flector nulo. Aplicando las condiciones definidas en (2.13), (2.14),(2.15), (2.16) en la ecuación (2.12),obtenemos un sistema de ecuaciones que nos permite determinar los coeficientes A, B, C y D para que se cumplan dichas condiciones. Con ello obtenemos A = 0; C = 0; D = 0. Para obtener el valor de la constante B se plantea desde la condición φ n (L) = 0 que hace que se cumpla la ecuación: En esta ecuación, puede ocurrir: ω 2 Bsen( 4 n ml ) = 0 (2.17) EI B = 0 en cuyo caso tendríamos la ecuación trivial;

65 2. METODOLOGÍA 47 B 0 en cuyo caso tendríamos la ecuación distinta de la trivial, y por tanto, se debe cumplir: ω 2 sen( 4 n ml ) = 0 (2.18) EI ω 2 ( 4 n ml ) = nπ (2.19) EI ω n = n 2 π 2 ( 4 EI ml 4 ) (2.20) Sustituyendo el valor de ω n en la ecuación (2.12) y, de acuerdo a los valores de los coeficientes A, C y D obtenidos para el caso particular que nos ocupa, podremos determinar la familia de formas modales de una viga isostática simplemente apoyada. φ n (x) = Bsen( nπ x) (2.21) L El coeficiente B es el denominado amplitud de la forma modal. La amplitud de la forma modal depende del criterio de normalización de las formas modales. Uno de los criterios usuales consiste en normalizar respecto a la matriz de masas del sistema, con lo que tendremos el sistema dado por: φ T n Mφ T n = 1 (2.22)

66 2. METODOLOGÍA 48 De acuerdo a la ecuación (2.7) y su expresión resumida (2.8) tendremos los siguientes valores para los tres primeros modos de vibración: (*) Figura 2.3: Modos de vibración,rigideces y formas modales viga isostática simplemente apoyada Donde: m: masa por unidad de longitud de la viga L: longitud total de la viga (*): considerando que la amplitud de la forma modal B sea igual a la unidad Las conclusiones que se obtienen de todo lo anteriormente expuesto son: Lo primero que observamos de los valores incluidos en la figura 2.3, es que la masa generalizada del elemento viga analizado, no depende del modo de vibración que se esté estudiando. La rigidez generalizada aumenta con valores de n 4 presentando un rápido crecimiento de la misma, lo cual está directamente relacionado con la elección del número de modos de vibración que se podrían considerar como los que definen la respuesta de la viga, siendo los primeros modos los que, se podría afirmar, son los que se deben de considerar para el análisis modal de la viga.

67 2. METODOLOGÍA 49 A continuación se muestra el Análisis modal de una viga de L= 3m, modelizada por medio de elementos finitos (sección viga 0.40 m; área 0.16 m 2 por ml; inercia m 4 ): Figura 2.4: Modo de flexión 1. Viga isostática simplemente apoyada Figura 2.5: Modo de flexión 2. Viga isostática simplemente apoyada Figura 2.6: Modo de flexión 3. Viga isostática simplemente apoyada Las frecuencias propias asociadas a dichos modos de vibración han sido: Modo Número Frecuencia Asociada Modo Modo Modo Tabla 2.1: Frecuencias de flexión viga isostática simplemente apoyada

68 2. METODOLOGÍA Formulación Analítica del Comportamiento Dinámico de un Tablero de Puente de Ferrocarril a)materiales y Ortotropía En primer lugar se debe tener presente el concepto de ortotropía. Una losa ortótropa es aquella que presenta diferentes propiedades elásticas en dos direcciones perpendiculares entre si. En este sentido, se pueden plantear dos tipos de ortotropía:[4] ortotropía del material. ortotropía geométrica. La ortotropía del material es aquella que se presenta en losas en las que su geometría es uniforme pero el material presenta un comportamiento anisótropo. La ortotropía geométrica, por el contrario, se presenta en losas en las que el material que la compone tiene un comportamiento isótropo, pero las secciones transversales a las direcciones principales de ortotropía son geométricamente diferentes. Se podría afirmar que este caso de ortotropía geométrica es el que presentan la mayoría de las secciones de los tableros de puentes de ferrocarril que se construyen actualmente. En el presente estudio, se planteará el comportamiento de una losa con ortotropía geométrica. b)comportamiento Dinámico de un Tablero continúo. Losa Ortótropa En primer lugar la tipología de tablero de puente elegida en el presente trabajo es la que se denomina tableros formados por un continuo, es decir, aquellos tableros que se pueden modelizar mediante la llamada losa ortótropa. En apartados anteriores se ha podido apreciar, como las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de cada uno de los modos de vibración del comportamiento dinámico de una estructura, se pueden modelizar mediante su similitud con el modelo de oscilador de un grado de libertad. En dicho modelo se ha podido llevar a cabo, mediante integración, la obtención de los parámetros: masa, rigidez y carga generalizada. Para el modelo de viga estudiado, dicha integración se llevaba a cabo a lo largo de la longitud de la misma. [3][12]

69 2. METODOLOGÍA 51 La integración se realizaba en las ecuaciones: Figura 2.7: Expresiones de masa, rigidez y fuerza generalizada del modo j La ecuación diferencial que gobierna el comportamiento dinámico de una estructura modelizada mediante losa ortótropa va a resultar similar a la ecuación planteada para el comportamiento de una viga. Se partirá del planteamiento del equilibrio de un elemento diferencial de losa bajo las siguientes hipótesis: Se considerará que el material será perfectamente elástico y con comportamiento lineal. El espesor de la losa será constante y su dimensión será mucho menor que las otras dos dimensiones. De acuerdo al planteamiento que hasta ahora habíamos expuesto sobre la obtención de la ecuación del comportamiento dinámico de una viga isostática simplemente apoyada tipo Euler Bernouilli, se despreciará el efecto de la deformación por cortante. Las fibras del material que antes de la deformación son rectas y perpendiculares al plano neutro giran rígidamente, conservando su rectitud y perpendicularidad con respecto a dicho plano tras la deformación. Es decir, aquellos puntos situados en una normal al plano medio de la losa antes de la deformación, permanecen normales después de la deformación.

70 2. METODOLOGÍA 52 γ xz = w x + u z = 0 (2.23) γ yz = w y + v z = 0 (2.24) Las tensiones normales distribuidas perpendicularmente al plano de la losa, se pueden despreciar ya que su valor se considera muy pequeño con respecto al valor de las tensiones en las otras dos direcciones perpendiculares. De esta forma, se cumple el hecho de que cualquier fibra perpendicular al plano neutro conserva su longitud antes y después de su deformación. σ z = 0 (2.25) La ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la losa, será en definitiva, igual a la ecuación que se obtiene en caso estático, pero deberá añadirse los componentes de fuerza de inercia y amortiguamiento. m(x) 2 w(x, y, t) w(x, y, t) 4 w(x, y, t) t 2 +c(x) +D x t x 4 +2H 4 w(x, y, t) 4 w(x, y, t) x 2 y 2 +D y y 4 = f(x, y, t) (2.26) Esta ecuación es el resultado del establecimiento del equilibrio de las fuerzas que intervienen en el planteamiento del problema dinámico: Figura 2.8: Equilibrio fuerzas planteamiento problema dinámico

71 2. METODOLOGÍA 53 Para llegar a ello se partirá en primer lugar, de las expresiones que se deducen como consecuencia de las hipótesis planteadas sobre la losa, vistas anteriormente: u(x(0), y(0), z(0)) = 0 (2.27) v(x(0), y(0), z(0)) = 0 (2.28) γ xz = w x + u z = 0 (2.29) γ yz = w y + v z = 0 (2.30) de la ecuación (2.31) se deriva w = w(x, y) ε z = w z = 0 (2.31) Así pues, las componentes del desplazamiento u y v de un punto cualquiera de la losa, se pueden expresar en función de la deformada del plano neutro de acuerdo a las siguientes expresiones: w(x, y) u(x, y, z) = z = zθ y (x, y) (2.32) x w(x, y) v(x, y, z) = z = zθ x (x, y) (2.33) y

72 2. METODOLOGÍA 54 Como bien es sabido a través del vector de desplazamientos se puede obtener, por derivación las componentes, longitudinales y angulares, del vector de deformación. De este modo tenemos, (con κ x,κ y, κ xy, las curvaturas en pequeña deformación del plano neutro de la losa) ε x (x, y, z) = z 2 w(x, y) x 2 = zκ x (x, y) (2.34) ε y (x, y, z) = z 2 w(x, y) y 2 = zκ y (x, y) (2.35) γ xy (x, y, z) = 2z 2 w(x, y) x y = zκ xy (x, y) (2.36) La solución al problema de deformación de una losa ortótropa requiere de la formulación de la Ley de Hooke, cuyas ecuaciones pueden expresarse, de acuerdo a un sistema de referencia XYZ del modo: σ x (x, y, z) = E x 1 ν x ν y ε x + ν ye x 1 ν x ν y ε y (2.37) σ y (x, y, z) = E y 1 ν x ν y ε y + ν xe y 1 ν x ν y ε x (2.38) τ xy (x, y, z) = G xy γ xy (2.39) Donde: σ x, σ y representan a las tensiones normales en las direcciones X e Y ε x, ε y representan las deformaciones longitudinales asociadas a las direcciones X e Y τ xy es la tensión tangencial en sentido del eje Y en sección perpendicular al X γ xy la correspondiente deformación angular E x, Ey son los módulos de elasticidad en las direcciones principales de ortotropía ν x, ν y son los coeficientes de Poisson G xy es el Módulo de Elasticidad Transversal

73 2. METODOLOGÍA 55 Si se sustituyen las ecuaciones (2.34; 2.35; 2.36), y se expresan en función del campo de desplazamientos, en las ecuaciones (2.37; 2.38; 2.39), se obtienen: σ x (x, y, z) = ze x 1 ν x ν y σ y (x, y, z) = ze y 1 ν x ν y ( 2 ) w ν y y w x 2 ( 2 ) w ν x x w y 2 (2.40) (2.41) τ xy (x, y, z) = 2zG xy 2 w x y (2.42) Los esfuerzos por unidad de longitud se encuentran relacionados con la distribución de tensiones y con las derivadas del campo de desplazamientos. De este modo tenemos, las siguientes ecuaciones relación momento-curvatura:[11] M x = A x M y = A y 2 w σ x zdz = D x x 2 + D 2 w 1 y 2 (2.43) 2 w σ y zdz = D y y 2 + D 2 w 2 x 2 (2.44) M xy = A x 2 w τ xy zdz = 2D xy x y (2.45) M yx = A y τ yx zdz = A y 2 w τ xy zdz = 2D yx x y (2.46) Q x = τ xy zdz (2.47) A x Q y = τ yz zdz (2.48) A y

74 2. METODOLOGÍA 56 Donde: A x : área de la sección perpendicular al eje X A y : área de la sección perpendicular al eje y D x, D y : Dx Dy: las rigideces a flexión del tablero en los planos XZ e YZ, respectivamente, entendidas como constantes de proporcionalidad entre momento y curvatura en dichos planos. D 1, D 2 : las rigideces de acoplamiento entre los esfuerzos anteriores. D xy, D yx : la rigidez torsional en ambos planos. Si se aplican las ecuaciones de equilibrio dinámico a cada elemento diferencial de losa, y se incluye la fuerza de inercia en la dirección perpendicular a la placa en virtud del Principio de d Alembert, suponiendo una densidad del material ρ uniforme, se llega a: Mx = 0 M xy x + M y y + Q y = 0 (2.49) My = 0 M yx y M x x Q x = 0 (2.50) Fz = 0 q z + Q y y + Q x x ρh 2 w t 2 = 0 (2.51) Despejando de las ecuaciones (2.49) y (2.50) y sustituyendo en las ecuaciones momento-curvatura, se pueden determinar los esfuerzos cortantes por unidad de longitud Q x y Q y en función de las derivadas del campo de desplazamientos: Q x = M yx y M x x = D 3 w x x 3 (D 1 + 2D yx ) 3 w x y 2 (2.52) Q y = M xx x M y y = D y 3 w y 3 (D 2 + 2D xy ) 3 w y x 2 (2.53)

75 2. METODOLOGÍA 57 Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación (2.51)obtenemos la ecuación diferencial en derivadas parciales que gobierna el comportamiento dinámica de una placa ortótropa rectangular, sometida a una distribución de carga genérica q z (x, y, t) actuando en la dirección perpendicular a su plano neutro, despreciando los efectos de la inercia de rotación y deformación por cortante: D x 4 w(x, y, t) x 4 + 2H 4 w(x, y, t) x 2 y 2 + D y 4 (x, y, t) y 4 + ρh 2 w(x, y, t) t 2 = q z (x, y, t) Siendo el término 2H la expresión dada por: (2.54) 2H = D 1 + D 2 + 2(D xy + D yx ) (2.55) En los casos estudiados en el presente trabajo se considerarán vibraciones libres y por tanto q z (x, y, t) = 0, sin el efecto del amortiguamiento. Por tanto la ecuación que gobierna el comportamiento dinámico de la placa ortótropa de los modelos en estudio, vendrá dada por: D x 4 w(x, y, t) x 4 + 2H 4 w(x, y, t) x 2 y 2 + D y 4 (x, y, t) y 4 + ρh 2 w(x, y, t) t 2 = 0 (2.56) Los valores de las rigideces resultan en la losa: D x = E x h 3 1 ν x ν y 12 (2.57) D y = E y h 3 1 ν x ν y 12 (2.58) D 1 = ν y D x (2.59) D 2 = ν x D y (2.60) D xy = D yx = G h3 6 = E x E y h 3 E x (1 + ν yx ) + E y (1 + ν yx ) 6 (2.61) Donde h representa el espesor de la losa

76 2. METODOLOGÍA 58 Para el caso de losa isótropa, se llega a las siguientes expresiones: E x = E y = E (2.62) ν x = ν y = ν (2.63) y en consecuencia: D = E h 3 1 ν 2 12 (2.64)

77 2. METODOLOGÍA Variables a considerar en el Comportamiento Dinámico de Puentes de Ferrocarril Constituidos por Losas Ortótropas a) Masa Generalizada El concepto de masa generalizada, como el de rigidez generalizada que se mostrará en el siguiente apartado, resultarán conceptos básicos para poder realizar una similitud entre estructuras de cierta complejidad y osciladores simples.[2] Tal y como se ha visto en el apartado (2.1.2) la masa generalizada en el modelo viga isostática, viene definida por: M = m L 2 (2.65) Donde: M : masa generalizada del modelo viga m: masa por unidad de longitud L: longitud de la viga Como se aprecia, la masa generalizada no depende del modo. Es idéntica, tal y como se vio en el apartado (2.1.2.b), en todas las formas modales independientemente del número de semiondas longitudinales que compongan la forma modal. b)componentes de la Rigidez Generalizada del Tablero Estos componentes para losas ortótropas son los que se han indicado en el c)modos de Flexión Tras el análisis de numerosos estudios sobre el tema, se ha podido concluir que en puentes de ferrocarril de vía única sin esviaje, como los modelos losa planteados en el presente trabajo, las vibraciones que sufre la estructura ante el paso de cargas móviles son debidas a los modos de flexión fundamentalmente. Ello es debido a que, teniendo en cuenta el paso de las cargas del tren sobre la estructura, este hecho no introduce energía en los modos torsionales del tablero a causa de la disposición equidistante de las ruedas de los vehículos ferroviarios respecto al eje vertical de simetría de la sección transversal. [3]

78 2. METODOLOGÍA 60 Es indudable que la contribución del primer modo de flexión es predominante en el comportamiento dinámico de puentes isostáticos. Sin embargo, si se tienen en cuenta las aceleraciones, se debe además referenciar que los modos superiores tienen frecuencias elevadas y por tanto pueden ser susceptibles de producir aceleraciones significativas. Por ello, en el presente trabajo de investigación, se han considerado además los efectos producidos por los modos 2 y 3, además claro está, del modo 1, todos ellos de flexión, para la comparación entre modelos y validez del estudio realizado.

79 2. METODOLOGÍA ESTRATEGIA DE DISEÑO Normativa Para el desarrollo del presente trabajo de investigación se ha llevado a cabo consulta a las diferentes normativas de aplicación a estructuras de puentes de ferrocarril, vigentes en el momento de la redacción del mismo. Dichas normativas ha sido: IAPF-2007 (Orden FOM/3671/2007 de 24 de septiembre). En su Apéndice B: Cálculo Dinámico de Puentes sometidos a cargas móviles se recogen los distintos métodos, para cálculo dinámico, que se deben emplear en la obtención de modos de vibración de estructuras sometidas a la acción del paso de ferrocarriles. En su apartado B se plantea la obtención de la ecuación cuya solución permite obtener el primer modo de vibración de un puente isostático, mediante su modelización a través del modelo de viga isostática.[27] ERRI D214: en su Rapport Final (capítulo 16). Se plantea el hecho de que las tasas de amortiguamiento asociadas a cada modo crecen con la frecuencia del mismo, y por ello se pone de manifiesto la necesidad de llevar a cabo los cálculos dinámicos de estructuras sometidas a paso de ferrocarriles teniendo en cuenta varios modos de vibración. Recomienda que para puentes isostáticos asimilables a una viga en flexión (como los analizados en el presente trabajo de investigación) se tomen incluso los dos primeros modos de vibración hasta frecuencias de vibración de 30 HZ.[28] Tipología de Secciones Adoptadas. Parámetros y Consideraciones Tal y como se ha planteado en apartados anteriores, las secciones adoptadas que han sido estudiadas en el presente trabajo, han sido: Secciones con aligeramientos circulares y recubrimientos superior e inferior de iguales dimensiones. Secciones denominadas en el presente trabajo, secciones simétricas. Secciones con aligeramientos cuadrados y recubrimientos superior e inferior de dimensiones diferentes. Secciones denominadas en el presente trabajo, secciones asimétricas.

80 2. METODOLOGÍA 62 Figura 2.9: Sección Simétrica Figura 2.10: Sección Asimétrica Cada tipología de sección, simétrica y asimétrica, será estudiada para diferentes longitudes o luces de losa y para ancho de vía único, 7m: Longitud Número Anchura bx Diámetro (m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento(m) Tabla 2.2: Número de aligeramientos y diámetro sección simétrica Longitud Número Anchura bx Lado (m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento(m) Tabla 2.3: Número de aligeramientos y lado aligeramiento sección asimétrica

81 2. METODOLOGÍA MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PA- RA VALIDACIÓN Introducción Para todos los casos estudiados se ha planteado la necesidad de establecer ante todo un mallado que permita obtener resultados satisfactorios pero al mismo tiempo limitados a los recursos informáticos disponibles y a la validación del modelo. Se ha llevado a cabo un estudio de convergencias que ha permitido determinar dos parámetros fundamentales a la hora de la implantación del modelo en las secciones en estudio. Estos parámetros han sido: el tipo de elemento finito, y el tamaño de la malla. Tal y como se ha expuesto en anteriores apartados, el tipo de elemento finito a considerar para el mallado puede establecerse con el elemento Sólido 45 (SO- LID45) ó Sólido 95 (SOLID95), dentro de los implantados en el programa de elementos finitos que se ha empleado para los cálculos realizados en el presente trabajo (Ansys). A su vez, para cada tipo de elemento se ha llevado a cabo un estudio con diferentes tamaños de malla. La conclusión de dicho estudio ha sido la elaboración de una serie de gráficos que han permitido valorar la convergencia de las soluciones obtenidas, en comparación con la solución analítica del problema que se plantea en el presente trabajo, todo ello para cada tipología de sección Modelo de Elementos Finitos. Estudio de Convergencia Las modelizaciones realizadas, para cada tipología en estudio, se han implementado en el programa de cálculo por elementos finitos Ansys (versión 11.0 bajo Linux) mediante la creación de una macro que permite definir: la geometría del modelo: (DATOS DE ENTRADA) el mallado del volumen generado en cada modelo (MALLADO DEL VO- LUMEN DE LA LOSA ALIGERADA) las condiciones de contorno (CONDICIONES DE CONTORNO) tipo de análisis (ANÁLISIS MODAL) La tipología de elemento finito y el tamaño del mismo se han definido en la macro creada, para el estudio del modelo losa, mediante los comandos: nealig: número de elementos de la malla que caben en el espesor del recubrimiento superior.

82 2. METODOLOGÍA 64 et,1,45 ó 95: tipo de elemento finito a emplear (SOLIDO45 ó SOLIDO95) Por otro lado, para el estudio del modelo placa se ha empleado el elemento Shell 63. La composición de las macros empleadas en el programa Ansys, en la obtención de frecuencias propias de cada modelo (modelo 3D simétrico, modelo 3D asimétrico y modelo placa), se han incluido como Apéndices del presente trabajo. Para la definición de la macro del modelo losa, se ha realizado previamente un estudio de convergencia para determinar la tipología de elemento finito y el tamaño del mallado, que nos permita aproximar la solución del modelo tridimensional o modelo losa, con la solución esperada en términos de modos de flexión. El estudio de convergencia realizado se ha llevado a cabo con el modelo de losa de sección simétrica de 15 m de longitud, y modelo losa de sección asimétrica de 15 m de longitud. Para el modelo estudiado, tanto en una sección como en otra, se han considerado 2 aligeramientos por sección, reduciendo el tiempo de cálculo y la complejidad del modelo, siendo el objetivo fundamental del estudio la determinación de la tipología de elemento finito a emplear en las secciones complejas que son objeto del presente trabajo de investigación. Las hipótesis establecidas y los resultados de cálculo obtenidos, han sido los siguientes: SECCIÓN SIMÉTRICA

83 2. METODOLOGÍA 65 Se han empleado los siguientes mallados: nealig = 0.5; SOLIDO 45 nealig = 1; SOLIDO 45 nealig = 1.2; SOLIDO 45 nealig = 2; SOLIDO 45 nealig = 1.2; SOLIDO 95 nealir = 2; SOLIDO 95 Las frecuencias de los modos de flexión obtenidas en cada mallado han sido: nealig=0.5; SOLIDO45 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo nealig=1; SOLIDO45 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo nealig=1.2; SOLIDO45 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo nealig=2; SOLIDO45 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo

84 2. METODOLOGÍA 66 nealig=1.2; SOLIDO95 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo nealig=2; SOLIDO95 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo Tabla 2.4: Tablas Frecuencias Modos de Flexión estudio de convergencia. Sección Simétrica Gráficamente se han obtenido los siguientes mallados: Figura 2.11: Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 0.5. Sección Simétrica Figura 2.12: Mallado con Solido45. Tamaño nealig =1. Sección Simétrica.

85 2. METODOLOGÍA 67 Figura 2.13: Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 1.2. Sección Simétrica. Figura 2.14: Mallado con Solido45. Tamaño nealig =2. Sección Simétrica. Figura 2.15: Mallado con Solido95. Tamaño nealig =1.2. Sección Simétrica.

86 2. METODOLOGÍA 68 Figura 2.16: Mallado con Solido95. Tamaño nealig = 2. Sección Simétrica. Una importante propiedad del método de elementos finitos empleado en la obtención de resultados, es la convergencia, es decir, si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente más finas, la solución numérica calculada converge rápidamente hacia la solución exacta del sistema de ecuaciones. En definitiva, si la discretización es suficientemente fina, y el espacio funcional finito sobre cada elemento está bien escogido, la solución numérica obtenida aproximará razonablemente la solución original. Se ha efectuado una comparación entre los diferentes tamaños de malla, y el mallado de más alta densidad (nealig=2; SOLIDO95), para cada uno de los modos de flexión obtenidos. El resultado de dicha variación en porcentaje, se recoge en la siguiente tabla, en la que también se ha incluido el valor de variación en porcentaje, con respecto al modelo 2D o modelo placa asociado a la sección en estudio: Modo Modelo neali 0.5 nealig 1 nealig 1.2 nealig 2 nealig 1.2 nealig 2 Placa SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD95 SOLD95 Modo Valor Ref. Modo Valor Ref. Modo Valor Ref. Tabla 2.5: Variación porcentual de frecuencias para diferentes tamaños de mallas y tipología de elementos finitos. Sección Simétrica Se han representado en escala bilogarítmica los valores anteriores, donde en eje horizontal x se han grafiado los diferentes tamaños de malla y, en eje vertical y los porcentajes con respecto al modelo de elementos finitos más complejo (nealig =2; SOLIDO95). Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

87 2. METODOLOGÍA 69 Figura 2.17: Convergencia Frecuencias Modo 1. Sección Simétrica Figura 2.18: Convergencia Frecuencias Modo 2. Sección Simétrica Figura 2.19: Convergencia Frecuencias Modo 3. Sección Simétrica

88 2. METODOLOGÍA 70 Se representa asimismo el número de nodos que se genera en cada modelo de mallado para cada tipo de elemento finito empleado y tamaño del mismo empleado, frente al tiempo de cálculo, de acuerdo a los resultados de la siguiente tabla: nealig 0.5 nealig 1 nealig 1.2 nealig 2 nealig 1.2 nealig 2 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD95 SOLD95 Número Nodos Tiempo Cálculo (s) Tabla 2.6: Número de Nodos para cada tipología de mallado y tiempo de cálculo.sección Simétrica Figura 2.20: Número nodos de cada tipología de mallado frente al tiempo de cálculo en (s).sección Simétrica Con los resultados obtenidos de las tablas anteriores y de las representaciones gráficas planteadas se llega a la conclusión de que para los tres modos de flexión estudiados, la solución que más se acerca a lo esperado en la solución real, es aquella que presenta una mayor densidad de malla y un elemento finito con mayor número de nodos, es decir la solución obtenida con el mallado cuyo tamaño es nealig=2 realizado con el elemento SOLIDO95, como era de esperar. No obstante, una vez que se inician los cálculos de los modelos planteados en el presente estudio el principal inconveniente que se ha encontrado al llevar a cabo la modelización de las diferentes secciones y tipologías con el elemento SOLIDO95 y el mallado planteado en tamaño nealig=2, ha sido ante todo el mayor tiempo de cálculo requerido y el mayor consumo de requerimientos

89 2. METODOLOGÍA 71 computacionales del sistema empleado, que ha dificultado en muchos casos contar con la solución final del modelo. Ello ha llevado, a asumir una solución de compromiso entre error de mallado y coste computacional. El resultado de ello obliga a emplear el modelo de mallado con SOLIDO 45 y tamaño de malla nealig=1, compensando con dicha modelización, el tiempo de cálculo y coste computacional, con la aproximación de los resultados obtenidos en el modelo tridimensional, para dicho mallado, a las soluciones de la formulación analítica del modelo viga y las del modelo placa o modelo 2D asociado. Se comprueba que las frecuencias asociadas a cada modo de flexión aumentan cuando el modelo se hace más rígido. El utilizar tamaño de malla 1 genera una rigidización del problema planteado, muy parecida a la hipótesis analítica en términos de frecuencia. Ello es debido a que la propia formulación analítica hace que no haya desplazamientos transversales en el modelo planteado, lo que conlleva a una rigidización de dicha solución analítica similar a la que presenta el modelo de mallado con SOLIDO 45 y tamaño de malla nealig=1. Todo ello se puede observar en las siguientes tablas donde se han planteado los valores de las frecuencias asociados a los tres primeros modos de flexión de la solución analítica, la solución planteada con el modelo placa o modelo 2D y los mallados de elementos finitos: nealig=1; SOLIDO45, y nealig=2; SOLIDO95. A su vez se han comparado las frecuencias del modelo de elementos finitos para los mallados planteados, con las soluciones de la formulación analítica y con el modelo placa, en porcentaje, llegando a la conclusión que los porcentajes de variación resultan menores en el modelo de elementos finitos nealig=1;solido45, por la mayor rigidez de su mallado. Formulación Modelo Placa nealig 1 nealig 2 analítica (modelo 2D) SOLD45 SOLD95 Modo Modo Modo Tabla 2.7: Frecuencias de flexión asociadas a los tres primeros modos del modelo placa y del modelo losa con diferentes tamaños de malla.sección Simétrica Formulación nealig 1 nealig 2 analítica SOLD45) SOLD95 Modo 1 Valor Referencia Modo 2 Valor Referencia Modo 3 Valor Referencia Tabla 2.8: Porcentaje de variación entre frecuencias de flexión de la formulación analítica y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Sección Simétrica

90 2. METODOLOGÍA 72 Modelo Placa nealig 1 nealig 2 (Modelo 2D) SOLD45) SOLD95 Modo 1 Valor Referencia Modo 2 Valor Referencia Modo 3 Valor Referencia Tabla 2.9: Porcentaje de variación entre frecuencias de flexión del modelo placa y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Sección Simétrica Los resultados concluyentes a los que se ha llegado con este estudio de convergencias para la sección simétrica con aligeramientos circulares estudiada, se han visto a su vez reforzados con el estudio de convergencia para la sección asimétrica con aligeramientos cuadrados, tal y como se muestra a continuación. De este modo tenemos: SECCIÓN ASIMÉTRICA

91 2. METODOLOGÍA 73 Se han empleado los siguientes mallados: nealig = 0.5; SOLIDO 45 nealig = 1; SOLIDO 45 nealig = 1.2; SOLIDO 45 nealig = 2; SOLIDO 45 nealig = 1.2; SOLIDO 95 nealir = 2; SOLIDO 95 Las frecuencias de los modos de flexión obtenidas en cada mallado han sido: nealig=0.5; SOLIDO45 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo nealig=1; SOLIDO45 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo nealig=1.2; SOLIDO45 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo nealig=2; SOLIDO45 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo

92 2. METODOLOGÍA 74 nealig=1.2; SOLIDO95 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo nealig=2; SOLIDO95 Modo Magnitud Frecuencia Modo Modo Modo Tabla 2.10: Tablas Frecuencias Modos de Flexión estudio de convergencia. Sección Asimétrica Figura 2.21: Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 0.5.Sección Asimétrica Figura 2.22: Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 1.Sección Asimétrica Figura 2.23: Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 1.2. Sección Asimétrica

93 2. METODOLOGÍA 75 Figura 2.24: Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 2. Sección Asimétrica Figura 2.25: Mallado con Solido95. Tamaño nealig = 1.2. Sección Asimétrica Figura 2.26: Mallado con Solido45. Tamaño nealig = 2. Sección Asimétrica La comparación entre los diferentes tamaños de malla, y el mallado de más alta densidad (nealig=2; SOLIDO95), para cada uno de los modos de flexión obtenidos se plantea en la siguiente tabla, en la que también se ha incluido el valor de variación con respecto al modelo 2D o modelo placa asociado a la sección en estudio: Modo Modelo neali 0.5 nealig 1 nealig 1.2 nealig 2 nealig 1.2 nealig 2 Placa SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD95 SOLD95 Modo Valor Ref. Modo Valor Ref. Modo Valor Ref. Tabla 2.11: Variación porcentual de frecuencias para diferentes tamaños de mallas y tipología de elementos finitos. Sección Asimétrica

94 2. METODOLOGÍA 76 Al igual que para la sección simétrica, se han representado en escala bilogarítmica los valores anteriores, donde en eje horizontal x se han grafiado los diferentes tamaños de malla y, en eje vertical y los porcentajes con respecto al modelo de elementos finitos más complejo (nealig =2; SOLIDO95). Los resultados obtenidos han sido los siguientes: Figura 2.27: Convergencia Frecuencias Modo 1. Sección Asimétrica Figura 2.28: Convergencia Frecuencias Modo 2. Sección Asimétrica Figura 2.29: Convergencia Frecuencias Modo 3. Sección Asimétrica

95 2. METODOLOGÍA 77 Se representa asimismo, el número de nodos que se genera en cada modelo de elemento finito empleado, frente al tiempo de cálculo, de acuerdo a los resultados de la siguiente tabla: nealig 0.5 nealig 1 nealig 1.2 nealig 2 nealig 1.2 nealig 2 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD45 SOLD95 SOLD95 Número Nodos Tiempo Cálculo (s) Tabla 2.12: Número de Nodos para cada tipología de mallado y tiempo de cálculo. Sección Asimétrica. Figura 2.30: Número nodos de cada tipología de mallado frente al tiempo de cálculo en (s).sección Asimétrica

96 2. METODOLOGÍA 78 A su vez se han comparado las frecuencias del modelo de elementos finitos para los mallados planteados, con las soluciones de la formulación analítica y con el modelo placa, en porcentaje, llegando a la conclusión que los porcentajes de variación resultan menores en el modelo de elementos finitos nealig=1;solido45, por la mayor rigidez de su mallado. Formulación Modelo Placa nealig 1 nealig 2 analítica (modelo 2D) SOLD45 SOLD95 Modo Modo Modo Tabla 2.13: Frecuencias de flexión asociadas a los tres primeros modos del modelo placa y del modelo losa con diferentes tamaños de malla.sección Asimétrica Formulación nealig 1 nealig 2 analítica SOLD45) SOLD95 Modo 1 Valor Referencia Modo 2 Valor Referencia Modo 3 Valor Referencia Tabla 2.14: Porcentaje de variación entre frecuencias de flexión de la formulación analítica y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Sección Asimétrica Modelo Placa nealig 1 nealig 2 (Modelo 2D) SOLD45) SOLD95 Modo 1 Valor Referencia Modo 2 Valor Referencia Modo 3 Valor Referencia Tabla 2.15: Porcentaje de variación entre frecuencias de flexión del modelo placa y las obtenidas para el modelo losa con diferentes tipos de mallado de EF.Sección Asimétrica Se concluye el estudio de convergencia con la determinación de emplear el mallado de las secciones en estudio mediante el EF. SOLIDO45, con tamaño de malla: nealig =1. Debido a que la variación en porcentaje de frecuencias de los primeros modos de flexión entre el modelo losa mallado con el citado elemento y tamaño, y el modelo placa o modelo 2D del que se pretende demostrar su validez, son inferiores al 10

97 2. METODOLOGÍA Modelo Placa o Modelo 2D. Parámetros de Cálculo empleados El Modelo Placa o Modelo 2D, es un modelo de cálculo por elementos finitos obtenido mediante mallado con elementos Shell ó elementos placa, al que se aplicarán las constantes de ortotropía obtenidas de las características del Modelo 3D o Modelo Losa, para cada uno de los casos estudiados. De este modo, se consigue, que partiendo de un modelo sencillo de cálculo, como es el Modelo 2D, con un mallado por elementos finitos, más rápido de efectuar, se puedan obtener las frecuencias propias de flexión de una losa con ortotropía de forma. Los parámetros numéricos de cálculo que se han empleado en el modelo placa para la obtención de los modos de flexión del citado modelo, han sido: constantes geométricas: longitud canto anchura del tablero constantes de ortotropía: ν xy ν yx E x E y G xy Estas constantes de ortotropía serán las que serán tenidas en cuenta en la macro de elementos finitos empleada para el Modelo 2D o Modelo Placa. En el apartado de Anexos del presente trabajo, se incluyen las macros empleadas en el programa Ansys v11.0, para la obtención de las frecuencias propias de flexión asociadas cada uno de los tres primeros modos de flexion, estudiados en el presente trabajo, para cada uno de los modelos de tableros de losa planteados, tanto para secciones simétricas como asimétricas.

98 Capítulo 3 RESULTADOS Analizados los modelos de las distintas secciones planteadas se han obtenido una serie de resultados de los que se han seleccionado: Frecuencias de flexión, asociadas a los 3 primeros modos de flexión. Desplazamientos u z de los modelos losa y placa estudiados, para cada uno de los modos de flexión. Finalmente se han comparado las frecuencias de vibración correspondientes a los 3 primeros modos de flexión entre la formulación analítica y modelo losa complejo. A lo que ha seguido la comparación de los mismos modos de flexión, es decir, los tres primeros, entre la formulación analítica y el modelo placa al que se le han aplicado las constantes de ortotropía de sección del modelo losa, con lo que se ha concluido en la validez de la modelización simplificada realizada. Para determinar aún más la validez del modelo placa planteado, se han comparado los desplazamientos obtenidos en cada modelo placa, de cada una de las secciones, para cada uno de los modos de flexión, con los obtenidos en el modelo losa. 80

99 3. RESULTADOS Comparación Formas Modales. Frecuencias Asociadas a los Tres Primeros Modos de Flexión. Recordemos que las tipologías estudiadas han sido: Sección Simétrica. Aligeramientos Circulares Longitud Número Anchura bx Diámetro (m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento (m) Figura 3.1: Sección Simétrica con disposición de aligeramientos circulares

100 3. RESULTADOS 82 LONGITUD 15 m Frecuencia Frecuencia Frecuencia %, error %, error Modo Form. Modelo Modelo Mod. Losa Mod. Placa Analítica Losa Placa Mod. Placa Form. Analítica Modo %, 1.62 %, Modo %, 1.31 %, Modo %, 1.04 %, Tabla 3.1: Comparación frecuencias de flexión. Sección Simétrica. Longitud 15 m Figura 3.2: Mallado Modelo Placa Longitud 15m. Sección Simétrica Figura 3.3: Mallado Modelo Losa Longitud 15m. Sección Simétrica

101 3. RESULTADOS 83 Para cada modo del modelo placa y modelo losa, se ha obtenido su deformada, de la que gráficamente se tiene: Figura 3.4: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Simétrica Figura 3.5: Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Simétrica Figura 3.6: Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Simétrica

102 3. RESULTADOS 84 LONGITUD 22.5 m Frecuencia Frecuencia Frecuencia %, error %, error Modo Form. Modelo Modelo Mod. Losa Mod. Placa Analítica Losa Placa Mod. Placa Form. Analítica Modo %, 1.72 %, Modo %, 1.48 %, Modo %, 1.21 %, Tabla 3.2: Comparación frecuencias de flexión. Sección Simétrica. Longitud 22.5 m Figura 3.7: Mallado Modelo Placa Longitud 22.5 m. Sección Simétrica Figura 3.8: Mallado Modelo Losa Longitud 22.5 m. Sección Simétrica

103 3. RESULTADOS 85 De igual manera que para el modelo de longitud 15 m, para cada modo del modelo placa y modelo losa, se ha obtenido su deformada, de la que gráficamente se tiene: Figura 3.9: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Simétrica Figura 3.10: Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Simétrica Figura 3.11: Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Simétrica

104 3. RESULTADOS 86 LONGITUD 30 m Frecuencia Frecuencia Frecuencia %, error %, error Modo Form. Modelo Modelo Mod. Losa Mod. Placa Analítica Losa Placa Mod. Placa Form. Analítica Modo %, 1.85 %, Modo %, 1.64 %, Modo %, 1.41 %, Tabla 3.3: Comparación frecuencias de flexión. Sección Simétrica. Longitud 30 m Figura 3.12: Mallado Modelo Placa Longitud 30 m. Sección Simétrica Figura 3.13: Mallado Modelo Losa Longitud 30 m. Sección Simétrica

105 3. RESULTADOS 87 De igual manera que para los modelos de 15 y 22.5 m, para cada modo del modelo placa y modelo losa, se ha obtenido su deformada, de la que gráficamente se tiene: Figura 3.14: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Simétrica Figura 3.15: Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Simétrica Figura 3.16: Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Simétrica

106 3. RESULTADOS 88 Se representan de forma tabulada los porcentajes de error de las frecuencias obtenidas para los tres primeros modos de flexión, comparando las del modelo losa y las del modelo placa entre sí. Modelo Losa Modelo Losa Modelo Losa L Modelo Placa. Modelo Placa. Modelo Placa. (m) (Modo 1) (Modo 2) (Modo 3) %, 1.2 %, 7.1 %, %, 5.77 %, %, %, 4.49 %, %, Tabla 3.4: Porcentajes de variación frecuencias de flexión entre modelo losa y modelo placa. Sección Simétrica Del mismo modo se plantea la variación en porcentaje, entre las frecuencias de flexión de los tres primeros modos del modelo placa planteado, y los resultados esperados de aplicación de la formulación analítica del modelo de viga. Se ha llegado a los siguientes valores: Modelo Placa Modelo Placa Modelo Placa L Form.Analítica Form.Analítica Form. Analítica (m) (Modo 1) (Modo 2) (Modo 3) %, 1.2 %, 7.1 %, %, 5.77 %, %, %, 4.49 %, %, Tabla 3.5: Porcentajes de variación frecuencias de flexión entre el modelo placa y la formulación analítica de viga. Sección Simétrica

107 3. RESULTADOS 89 Para las secciones con recubrimientos superior e inferior de magnitud diferentes y aligeramientos de forma cuadrada (Sección Asimétrica), se han obtenido los siguientes resultados. Sección Asimétrica. Aligeramientos Cuadrados Longitud Número Anchura bx Lado (m) Aligeramientos Tablero(m) (m) Aligeramiento (m) Figura 3.17: Sección Asimétrica con disposición de aligeramientos cuadrados

108 3. RESULTADOS 90 LONGITUD 15 m Frecuencia Frecuencia Frecuencia %, error %, error Modo Form. Modelo Modelo Mod. Losa Mod. Placa Analítica Losa Placa Mod. Placa Form. Analítica Modo %, 1.60 %, Modo %, 1.26 %, Modo %, 1.07 %, Tabla 3.6: Comparación frecuencias de flexión. Sección Asimétrica. Longitud 15 m Figura 3.18: Mallado Modelo Placa Longitud 15m. Sección Asimétrica Figura 3.19: Mallado Modelo Losa Longitud 15m. Sección Asimétrica

109 3. RESULTADOS 91 Como en las secciones simétricas, en las secciones asimétricas estudiadas, para cada modo del modelo placa y modelo losa, se ha obtenido su deformada, de la que gráficamente se tiene: Figura 3.20: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Asimétrica Figura 3.21: Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Asimétrica Figura 3.22: Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 15m. Sección Asimétrica

110 3. RESULTADOS 92 LONGITUD 22.5 m Frecuencia Frecuencia Frecuencia %, error %, error Modo Form. Modelo Modelo Mod. Losa Mod. Placa Analítica Losa Placa Mod. Placa Form. Analítica Modo %, 1.87 %, Modo %, 1.56 %, Modo %, 1.33 %, Tabla 3.7: Comparación frecuencias de flexión. Sección Asimétrica. Longitud 22.5 m Figura 3.23: Mallado Modelo Placa Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica Figura 3.24: Mallado Modelo Losa Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica

111 3. RESULTADOS 93 De igual manera que para el modelo de longitud 15 m, para cada modo del modelo placa y modelo losa de la sección asimétrica, se ha obtenido su deformada, de la que gráficamente se tiene: Figura 3.25: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica Figura 3.26: Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica Figura 3.27: Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica

112 3. RESULTADOS 94 LONGITUD 30 m Frecuencia Frecuencia Frecuencia %, error %, error Modo Form. Modelo Modelo Mod. Losa Mod. Placa Analítica Losa Placa Mod. Placa Form. Analítica Modo %, 1.90 %, Modo %, 1.7 %, Modo %, 1.4 %, Tabla 3.8: Comparación frecuencias de flexión. Sección Asimétrica. Longitud 30 m Figura 3.28: Mallado Modelo Placa Longitud 30 m. Sección Asimétrica Figura 3.29: Mallado Modelo Losa Longitud 30 m. Sección Asimétrica

113 3. RESULTADOS 95 En secciones asimétricas también, de igual manera, que para los modelos de 15 y 22.5 m, para cada modo del modelo placa y modelo losa, se ha obtenido su deformada, de la que gráficamente se tiene: Figura 3.30: Modo 1 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Asimétrica Figura 3.31: Modo 2 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Asimétrica Figura 3.32: Modo 3 Modelo Placa frente al Modelo Losa.Longitud 30 m. Sección Asimétrica

114 3. RESULTADOS 96 Como en las secciones simétricas, también para las secciones asimétricas con aligeramientos cuadrados, se representan de forma tabulada los porcentajes de error de las frecuencias obtenidas para los tres primeros modos de flexión, comparando las del modelo losa y las del modelo placa entre sí. Modelo Losa Modelo Losa Modelo Losa L Modelo Placa. Modelo Placa. Modelo Placa. (m) (Modo 1) (Modo 2) (Modo 3) %, 4.30 %, %, %, 7.5 %, %, %, 8.9 %, %, Tabla 3.9: Porcentajes de variación frecuencias de flexión entre modelo losa y modelo placa. Sección Asimétrica Del mismo modo se plantea la variación en porcentaje, entre las frecuencias de flexión de los tres primeros modos del modelo placa planteado, y los resultados esperados de aplicación de la formulación analítica del modelo de viga. Se ha llegado a los siguientes valores: Modelo Placa Modelo Placa Modelo Placa L Form.Analítica Form.Analítica Form. Analítica (m) (Modo 1) (Modo 2) (Modo 3) %, 1.26 %, 1.07 %, %, 1.56 %, 1.33 %, %, 1.70 %, 1.40 %, Tabla 3.10: Porcentajes de variación frecuencias de flexión entre el modelo placa y la formulación analítica de viga. Sección Asimétrica

115 3. RESULTADOS Comparación de Desplazamientos o Formas Propias de Vibración Para cada una de las secciones analizadas se han obtenido además, los desplazamientos u z asociados a cada uno de los modos de flexión que se han determinado con los cálculos realizados, tanto para el modelo losa como para el modelo placa. Seguidamente se ha llevado a cabo una comparación de ambos valores y se ha determinado la diferencia en porcentaje entre los resultados de ambos modelos. Gráficamente se observan mínimas diferencias entre la deformada de ambos modelos (3D y 2D), tal y como se puede observar en las figuras donde se han grafiado de forma conjunta ambas deformadas, resultando prácticamente inapreciable, la variación entre ambas deformadas. Se han representado la diferencia de contornos de los valores de dichas deformadas. De este modo tenemos: SECCIÓN SIMÉTRICA Longitud 15 m Valor Máximo Valor Máximo %,variación Modo desplazamiento desplazamiento entre Mod. Losa (m) Mod. Placa (m) Modelos Modo %, Modo %, Modo %, Tabla 3.11: Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 15 m. Sección Simétrica. Comparación porcentual.

116 3. RESULTADOS 98 Figura 3.33: Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 15 m. Figura 3.34: Diferencia de contornos deformada modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D). Sección Simétrica. Longitud 15 m. Se aprecia la similitud de ambas deformaciones reflejadas en los valores de cuantía mínima de las figuras anteriores.

117 3. RESULTADOS 99 Para el Modo 2 se obtienen los siguientes valores: Figura 3.35: Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica. Longitud 15 m. Figura 3.36: Diferencia de contornos deformada modo 2. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D). Sección Simétrica. Longitud 15 m.

118 3. RESULTADOS 100 Para el Modo 3 se obtienen las siguientes representaciones: Figura 3.37: Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 15 m Figura 3.38: Diferencia de contornos deformada modo 3. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D). Sección Simétrica. Longitud 15 m.

119 3. RESULTADOS 101 Longitud 22.5 m Valor Máximo Valor Máximo %,variación Modo desplazamiento desplazamiento entre Mod. Losa (m) Mod. Placa (m) Modelos Modo %, Modo %, Modo %, Tabla 3.12: Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 22.5 m. Sección Simétrica. Comparación porcentual. Figura 3.39: Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 22.5 m Figura 3.40: Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 22.5 m

120 3. RESULTADOS 102 Figura 3.41: Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 22.5 m Longitud 30 m Valor Máximo Valor Máximo %,variación Modo desplazamiento desplazamiento entre Mod. Losa (m) Mod. Placa (m) Modelos Modo %, Modo %, Modo %, Tabla 3.13: Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 30 m. Sección Simétrica. Comparación porcentual. Figura 3.42: Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 30 m

121 3. RESULTADOS 103 Figura 3.43: Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 30 m Figura 3.44: Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Simétrica.Longitud 30 m Procediendo de igual forma, se ha obtenido la máxima deformación de cada modo de flexión para las secciones asimétricas. Los resultados se recogen en las siguientes tablas:

122 3. RESULTADOS 104 SECCIÓN ASIMÉTRICA Longitud 15 m Valor Máximo Valor Máximo %,variación Modo desplazamiento desplazamiento entre Mod. Losa (m) Mod. Placa (m) Modelos Modo %, Modo %, Modo %, Tabla 3.14: Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 15 m. Sección Asimétrica. Comparación porcentual. Figura 3.45: Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 15 m Figura 3.46: Diferencia de contornos deformada modo 1. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D). Sección Asimétrica. Longitud 15 m.

123 3. RESULTADOS 105 Figura 3.47: Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 15 m Figura 3.48: Diferencia de contornos deformada modo 2. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D). Sección Asimétrica. Longitud 15 m.

124 3. RESULTADOS 106 Para el Modo 3 se llega a las siguientes representaciones gráficas: Figura 3.49: Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 15 m Figura 3.50: Diferencia de contornos deformada modo 3. Modelo Losa(3D)-Modelo Placa(2D). Sección Asimétrica. Longitud 15 m.

125 3. RESULTADOS 107 Longitud 22.5 m Valor Máximo Valor Máximo %,variación Modo desplazamiento desplazamiento entre Mod. Losa (m) Mod. Placa (m) Modelos Modo %, Modo %, Modo %, Tabla 3.15: Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 22.5 m. Sección Asimétrica. Comparación porcentual. Figura 3.51: Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 22.5 m Figura 3.52: Representación conjunta deformadas del modo 2. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 22.5 m

126 3. RESULTADOS 108 Figura 3.53: Representación conjunta deformadas del modo 3. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 22.5 m Longitud 30 m Valor Máximo Valor Máximo %,variación Modo desplazamiento desplazamiento entre Mod. Losa (m) Mod. Placa (m) Modelos Modo %, Modo %, Modo %, Tabla 3.16: Desplazamientos máximos de la deformada de los modos modelo losa y modelo placa. Longitud 30 m. Sección Asimétrica. Comparación porcentual. Figura 3.54: Representación conjunta deformadas del modo 1. Modelo Losa(3D)- Modelo Placa(2D).Sección Asimétrica.Longitud 30 m