Mundialmente popularizado en los

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1 Una Solución Simple del Cubo de Rubik Una publicación del blog Just Categories POR J. SÁNCHEZ Mundialmente popularizado en los ochentas, el cubo de Rubik es uno de los más interesantes juegos matemáticos que se pueden encontrar. Tal vez este éxito se deba a sus reglas intuitivas, aunque la solución no es fácil de encontrar. Y es por esto que el cubo de Rubik es un hermoso problema matemático: es un problema difícil donde su comprensión no forma parte de la complejidad. Tan pronto como se tiene el cubo en las manos, se inicia la parte reflexiva, donde se busca la manera de ordenar los colores. El primer reflejo cuando se trata de resolver el cubo, es ordenar una cara, mismo si los bordes no tienen la buena disposición. Aquí, se experimenta un poco de satisfacción con esta pequeña muestra de orden entre tanto caos. Luego, comenzamos a completar una cara, pero ahora con el buen orden de los colores en la corona, llegando así a nuestra primera pequeña victoria. Le tomó un poco más de un mes al inventor del cubo de Rubik resolverlo. Originalmente él creó el cubo de sólo un color. Como arquitecto, él estaba interesado en el estudio de estructuras en tres dimensiones, y el mecanismo del cubo resultó ser una buena herramienta para sus cursos como profesor. Él le preguntaba a sus estudiantes que describieran el mecanismo interno del cubo, y cómo este permitía que las partes se movieran casi libremente sin caerse. Un tiempo después, un amigo de Ernő Rubik, le sugirió colorear las caras con el fin de hacer un juego comercializable. Y fue de este modo que la fiebre por el cubo de Rubik empezó, primero en Budapest, luego en Londres, París, Nueva York y finalmente, el resto del mundo. En estas notas voy a detallar una solución que yo mismo encontré. Aunque existen muchas técnicas para resolver el cubo, 1

2 la particularidad de esta solución su forma intuitiva y simple. No hay necesidad de memorizar una gran lista de patrones para encontrar la solución, solamente se necesitan tres tipos de movimientos, y la última parte del método es similar a resolver un Sudoku. Sin embargo, no creo que esta solución sea la adecuada si lo que se quiere es resolver el cubo en menos de un minuto. Antes de empezar con la descripción, vamos a hacer un boceto de la técnica. Como se mencionó antes, completar una cara es el primer paso de la solución, por lo que tomamos como punto de partida una cara completa y correctamente ordenada en sus bordes. Si usted no sabe cómo hacer una cara, tómese un poco de tiempo e inténtelo, seguramente va a lograrlo. De esta manera usted puede familiarizarse con los movimientos del cubo. La segunda parte es alinear las ocho esquinas. Con una cara ya completa, solamente se necesita alinear las otras cuatro esquinas. Para eso se van a utilizar dos tipos de movimientos. El primero es usado para colocar las cuatro esquinas en el lugar correcto, aunque puede pasar que tengan alguna rotación en los colores. El segundo se usa para orientar estas cuatro esquinas. Así, en la última parte tenemos, una cara completa y todas las ocho esquinas correctamente ordenas. Solamente falta completar las otras caras. Para eso usamos el último tipo de movimiento, el cual va a intercambiar cubos internos dejando sin cambios todo el resto. Probablemente se necesitará aplicar varias veces este movimiento, pero luego de un tiempo se llega a la solución. Ahora vamos a empezar con las notaciones necesarias. Primero definimos un punto de vista del cubo y luego identificamos los movimientos. Los ejes del cubo nos dan 6 posibles movimientos, los cuales son las rotaciones de las caras externas. Con cada rotación tenemos 3 posibilidades: una rotación de 90, denotada 1, una rotación de 270, denotada 2, y una rotación de 270 grados, denotada 3. También se tienen 3 tipos de rotaciones internas. 2

3 inferiores esta descrita en la siguiente imagen. Todo esto lo vamos a usar para poder describir los tres tipos de movimiento necesarios para la solucio n del cubo. l primer movimiento se escribe Σ y se E usa con la ya hecha cara superior. Esta cara sera llamada, cara de referencia. La idea con Sigma es que mantenga sin cambios la cara de referencia e intercambie dos esquinas de la cara opuesta, que es la cara inferior. En esta parte, no nos interesa lo que sucede con los cubos que no esta n en la cara de referencia o en las esquinas. Se puede ver que dos esquinas fueron intercambiadas y que las otras dos se quedaron en el mismo lugar, una con una rotacio n y la otra sin cambios. uy similar al primer movimiento, el sim guiente movimiento, Ω no afecta a la cara de referencia y rota los colores de las La accio n de Σ sobre las cuatro esquinas cuatro esquinas de la cara inferior. 3

4 l u ltimo tipo de movimiento, Φ, so lo ine tercambia dos pares de cubos internos sin afectar al resto. Ahora los detalles de co mo los colores rotan. Se pueden usar las letras R, G, W, B, O y Y, para referirse a los colores de las caras. Esta notacio n es u til cuando se este decidiendo co mo y cua les cubos internos se quieran intercambiar. Al final del movimiento, una de las esquinas inferiores se queda sin cambios mientras que las otras sufrieron una rotacio n. Con estos tres movimientos ahora podemos iniciar con la solucio n del cubo. 4

5 donde solamente uno de los cubos de la cara inferior este bien orientado. Luego, se coloca el cubo de Rubik de tal manera que el cubo orientado este en la posicio n que Ω deja sin cambios. Luego, se aplica Ω una o dos veces. Ahora se puede ver que las todas las esquinas esta n orientadas. 4. En esta parte se usa Φ para intercambiar los cubos internos. Tal vez la pregunta sea, Co mo exactamente se usa Φ?. Veamos dos ejemplos. Con la siguiente configuracio n, se necesita aplicar una sola vez Φ antes de que el cubo de Rubik este resuelto. al vez se necesita un poco de pra ctica para manejar sin problemas los movimientos Σ, Ω y Φ, pero eso toma so lo unos minutos. Ahora, los pasos para la solucio n. 1. Complete una de cara del color que ma s le guste, por ejemplo, rojo. T 2. Vea las esquinas de la cara inferior, y trate de alinearlas con las esquinas de la cara de referencia usando Σ. No importa que al final, las esquinas de la cara inferior tengan alguna rotacio n en sus colores, solamente se necesita, que por ejemplo, debajo del cubo Y R B, se pueda encontrar el cubo Y O B. Tambie n el uso de Φ se puede ver en una situacio n como la suguiente. 3. Ahora es tiempo de orientar las esquinas. Para eso usamos Ω. Recuerde que Ω deja sin cambios la esquina izquierda de la cara inferior. La idea es llegar a la posicio n 5

6 En este caso, para resolver el cubo de Rubik, necesitamos hacer el intercambio de los cubos R B R G y R W R Y. Pero antes de poder aplicar Φ, se necesita alinear los cubos. Esto se logra, en este caso, con la secuencia de movimientos, Luego de que se aplica Φ, necesitamos volver a la posición original. Por lo que se aplican en el orden inverso, todos los movimientos usados para alinear los cubos. Lo más importante cuando usamos Φ para intercambiar cubos internos, es recordar los movimiento intermediarios utilizados para alinear los cubos que se quieren intercambiar, y no confundirse cuando se regresa a la posición original. Por eso, tal vez es mejor escribir los movimientos usados para alinear los cubos. Pero hay que tener cuidado, un error puede hacer que se tenga que volver a comenzar. Este método necesita un poco de reflexión a la hora de elegir los cubos que se quieren intercambiar en la última parte de la solución, y también cuando se trata de encontrar la manera de alinear los cubos para poder aplicar Φ, pero es por eso que esta última parte se parece a un Sudoku. No es complicada, pero puede tomar un poco de tiempo y concentración. Uno de los aspectos interesantes en este método es que no da esa impresión artificial de las soluciones usadas en campeonatos de velocidad, donde es necesario memorizar una gran cantidad de movimientos y patrones. Pero también, esta solución puede ser usada para resolver otras variantes del cubo de Rubik. Por ejemplo, el cubo se resuelve usando sólo Σ y Ω. Otro ejemplo es el Rubik s Cube Mirror, que se resuelve usando la técnica que acabamos de describir. En este caso, el cubo tiene un solo color, pero los cubos que lo componen, tienen formas diferentes. Para cubos de Rubik de mayor tamaño, como el 7 7 7, necesitaríamos encontrar una nueva versión de Φ. Pero tal vez vamos a ocupar nuevas versiones de Σ, Ω y Φ para resolver cubos de Rubik más extraños y exóticos, como el cubo de Rubik de cuatro dimensiones. En un aspectos más técnicos del cubo de Rubik, este juego es un ejemplo de lo que se llama en matemáticas, un grupo. Recuerde que un grupo es un conjunto de objetos junto con una operación binaria. Esta operación, usualmente denotada, cuenta con una unidad y cada elemento del grupo tiene un inverso. Un grupo puede describirse a partir de sus generadores. Por ejemplo, considere un reloj mecánico que marca las horas. Este reloj puede describirse con un grupo de doce elementos {0,..., 11}, uno por cada hora. La operación es la suma de horas. Pero se pueden usar 1 y la operación para describir 6

7 los otros elementos del grupo. Por ejemplo 4 = , o también podemos usar la notación 4 = 1 4. El elemento neutro 0 puede verse como para empezar a crear todo tipo de nuevos resultados. Tal vez algunas variantes del cubo de Rubik son increíblemente complejas, pero todas ellas fueron posibles gracias al primer cubo. Para más información sobre el tema: Pida prestado o compre un Cubo de Rubik. Para describir el grupo del cubo de Rubik vamos a utilizar sus generadores. Primero, fije una posición para el cubo. Los elementos del grupo serán todas los posibles movimientos finitos. Estos son completamente descrito por los movimientos básicos denotados x 1, x 2, y 1, y 2, z 1, z 2, α, β, γ. El elemento neutro del grupo se escribe 1 y representa el movimiento que no cambia nada. Para la operación se usa la notación αx 1, que significa que primero se aplica x 1 y luego α. Y entonces se pueden empezar a ver algunas relaciones como x 4 1 = 1. Así, el cubo de Rubik es visto como el grupo libre sobre el conjunto de generadores x 1, x 2, y 1, y 2, z 1, z 2, α, β, γ cocientado por cierta lista de relaciones. Cuáles son estas relaciones? x 4 1 = 1, x 4 2 = 1, y 4 1 = 1, z 4 2 = 1 y α 4 = 1, son algunos ejemplos. Este simple vistazo al mundo del cubo de Rubik nos muestra cómo una buena idea nace y cómo la gente toma esta idea 7