Tema 3: Magnitudes y medidas

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1 Tema 3: Magnitudes y medidas 1.- Potencias de un número Una potencia es un número elevado a otro número, y se expresa de la siguiente forma: b a a es la base. b es el exponente. Pero, cómo se calcula una potencia? Ejemplo: a) b) c) En resumen, la base se multiplica por sí misma tantas veces como le indica el exponente. Ejercicio: Ahora te toca a ti calcular el valor de las siguientes potencias: a) b) c) d) e) Potencias sucesivas de 10 Las potencias más utilizadas son las de base 10, porque nuestro sistema de numeración es el decimal. Así, las sucesivas potencias de 10 serán: ceros ceros ceros ceros ceros Y así podemos continuar de forma indefinida. Una potencia de 10 es un 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente. Bloque I. Tema 3, Página 1 de 19

2 Ejercicio: Calcula las siguientes potencias de 10: a) b) c) Expresión de un número en notación científica Producto de un número por las potencias de 10 Veamos este apartado con unos ejemplos. Ejemplo: a) b) c) Haz tú lo mismo con los siguientes números. Ejercicio: a) b) c) Notación científica En el primer tema de este bloque hablamos de las distancias en el Universo. Estas distancias se expresan con números muy grandes. Para estas cantidades se utiliza la notación científica, que nos ahorrará la escritura de cifras y cifras y más cifras. Ejemplo: Escribiremos en notación científica el número Antes vamos a leerlo: veinticinco mil cuatrocientos treinta y seis millones setecientos veintiséis mil quinientos treinta y siete Para escribirlo en notación científica seguiremos los siguientes pasos: 1. Se aproxima el número a otro que esté compuesto por ceros, lo más cercano posible: En este caso nos vale el número Expresamos este número como hemos aprendido en el apartado anterior: Bloque I. Tema 3, Página 2 de 19

3 3. Si el número que multiplica a la potencia de que resulta ser mayor que 10, como ocurre en este caso, se hace la siguiente reducción: Ya tenemos nuestro número escrito en notación científica. Lo que hemos hecho es dividir 25 entre 10 y, para que el producto siga teniendo el mismo valor, la potencia la hemos multiplicado por 10. Ejercicios: Recuerda que la distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente km Expresa esta cantidad en notación científica Expresa en notación el número: Y el número: Bloque I. Tema 3, Página 3 de 19

4 4.- Medidas de longitud La unidad de medida de longitud es el metro, y se representa por la letra m. Múltiplos y submúltiplos Para medir ciertas longitudes, como la distancia entre dos ciudades, el metro resulta muy pequeño, por ello se usan como múltiplos del metro los siguientes: Kilómetro (km) = m Hectómetro (hm) = 100 m Decámetro (dam) = 10 m Para medir longitudes pequeñas, como el grosor de una mesa o el tamaño de una mosca, el metro resulta grande, por lo que se eligen los submúltiplos: Decímetro (dm) = 0,1 m Centímetro (cm) = 0,01 m Milímetro (mm) = 0,001 m Los múltiplos y submúltiplos se colocan de izquierda a derecha, de mayor a menor: km hm dam m dm cm mm Cada medida es 10 veces mayor que la que está a su derecha y 10 veces menor que la que está a su izquierda. Para pasar de una medida a otra, si en la tabla te desplazas hacia la derecha se multiplica, y si lo haces hacia la izquierda se divide. En ambos casos, por la unidad seguida de tantos ceros como casillas saltes. Ejemplos: Cuántos metros tienen 4 km? Para pasar de la casilla de km a la de m hay que saltar tres casillas hacia la derecha, por tanto multiplicamos por la unidad seguida de tres ceros: Cuántos cm tienen 6 hm? 4 km m Hay que saltar cuatro casillas, por tanto hay que multiplicar por la unidad seguida de cuatro ceros: Cuántos metros tienen 25 cm? 6 hm cm Hay que saltar dos casillas hacia la izquierda, por lo que habrá que dividir por la unidad seguida de dos ceros: Bloque I. Tema 3, Página 4 de 19

5 25 cm , 25 m Cuántos dam son 5 mm? Hay que saltar cuatro casillas hacia la izquierda, luego tendremos que dividir por : 5 mm ,0005 dam Ejercicios: La distancia entre dos ciudades es de 3 km, 4 hm y 52 dam. Cuántos metros hay que recorrer para ir de una ciudad a otra? Un electricista ha comprado tres rollos de cable. Cada uno mide 2 hm, 1 dam y 5 m. si pagó el metro a 50 pesetas, cuánto dinero ha gastado? Da el resultado en euros Bloque I. Tema 3, Página 5 de 19

6 5.- Medidas de superficie Cuando medimos una superficie estamos calculando su área. Por ejemplo: el área de un campo de fútbol, el área de un solar donde queremos construir nuestra casa, el área de una provincia, etc. La unidad de medida del área es el metro cuadrado, y se representa por m 2. Múltiplos y submúltiplos Como en el caso de las longitudes, existen medidas de superficie mayores que el m 2. Son las siguientes: Kilómetro cuadrado (km 2 ) = m 2 Hectómetro cuadrado (hm 2 ) = m 2 Decámetro cuadrado (dam 2 ) = 100 m 2 También existen medidas de superficie menores que el m 2. Son las siguientes: Decímetro cuadrado (dm 2 ) = 0,01 m 2 Centímetro cuadrado (cm 2 ) = 0,0001 m 2 Milímetro cuadrado (mm 2 ) = 0, m 2 Las medidas de superficie se colocan en una tabla parecida a la de las medidas de longitud: km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Cada medida es 100 veces mayor que la que tiene a su derecha y 100 veces menor que la que está a su izquierda. Teniendo en cuenta esto, es fácil pasar de unas medidas a otras (si nos desplazamos a la derecha, multiplicamos, y si nos desplazamos a la izquierda, dividimos). Ejemplos: Cuántos m 2 tiene una superficie de área igual a 3 km 2? Como estamos en la casilla de los km 2, para pasar a m 2 nos desplazamos hacia la derecha tres lugares, entonces, multiplicaremos por 100, tres veces, es decir por km m Cuántos cm 2 tiene una mesa cuya área es de 0,5 m 2? Tenemos que desplazarnos dos lugares hacia la derecha, por tanto tendremos que multiplicas dos veces por 100, es decir, por ,5 m 0,5100 0, cm Bloque I. Tema 3, Página 6 de 19

7 Cuántos hm 2 hay en una superficie cuya área es de dam 2? Nos desplazamos una casilla hacia la izquierda, así es que tenemos que dividir por 100, una sola vez: Ejercicios: dam hm 2 2 Cuántos dm 2 son 520 mm 2? Un pueblo tiene una extensión de 2 km 2, 75 hm 2 y 250 dam 2. Qué extensión tiene en m 2? Hemos comprado un piso cuya superficie útil es de 1 dam 2, 10 m 2 y 200 dm 2. Cuál es su medida en m 2? Expresa en km 2 una extensión cuya medida es de m 2 Bloque I. Tema 3, Página 7 de 19

8 6.- Medida del tiempo Las horas, minutos y segundos que se utilizan para medir el tiempo están expresados en un sistema que se denomina sexagesimal, ya que su base es 60: Una hora = 60 minutos Un minuto = 60 segundos La conversión de una medida a otra se lleva a cabo de la misma forma que en los casos anteriores. La unidad de medida del tiempo es el día, se representa por la letra d. Un día tiene 24 horas. Existen medidas de tiempo mayores que el día: Semana = 7 días Mes = 28, 30 o 31 días Año = 365 días También existen múltiplos del año que nos permiten medir largos periodos de tiempo: Lustro = 5 años Década = 10 años Siglo = 100 años Milenio = años Ejercicios: Cuántos días hay en 345 horas? Cuántos segundos tiene un mes de 30 días? Realiza las siguientes transformaciones: 48 días son minutos segundos son horas 2 días 13 horas 40 minutos son segundos 6 horas son días segundos son hora Bloque I. Tema 3, Página 8 de 19

9 Ejercicios y problemas: Ej 1. Ej 2. Ej 3. Halla la equivalencia en metros de las siguientes operaciones: a) 42 hm km + 78 m = m b) 7,4 hm + 98 dam dm = m c) mm cm + 34 m = m Halla la equivalencia en hm 2 de: a) km m 2 = hm 2 b) m dm 2 = hm 2 c) 676 dm m cm 2 = hm 2 La torre del ayuntamiento mide 20 m y 35 dm. A cuántos centímetros se encuentra el punto más alto? Ej 4. Un trozo de tela mide 3 dam, 5 m y 6 dm. Si el metro cuesta 9, cuánto cuesta el citado trozo de tela? Ej 5. El tramo de carretera que tengo que recorrer a diario es de 4 km, 5 hm y 3 m. Cuántos metros recorro durante una semana, si voy dos veces al día a dicho lugar? Bloque I. Tema 3, Página 9 de 19

10 Ej 6. Corto una cuerda cuya longitud es de 15 m, 3 dm y 5 cm, en cinco trozos iguales. Cuál es la longitud de cada trozo en cm? Ej 7. Una finca mide 413,4 dam 2. Cuántos m 2 mide la finca?. Si hemos pagado un total de , a cuánto nos han cobrado el m 2? Ej 8. Tenemos dos parcelas, una mide m 2 y la otra 4 hm 2. Cuál de las dos es mayor? Ej 9. La mitad de una piscina tarda en llenarse 2 horas, 32 minutos y 45 segundos. Cuánto tiempo tardará en llenarse por completo? Expresa el resultado en horas, minutos y segundos Bloque I. Tema 3, Página 10 de 19

11 Ej 10. Realizamos un viaje en dos tramos. En el primero tardamos 5 horas, 54 minutos y 34 segundos; en el segundo, 4 horas, 12 minutos y 23 segundos. Cuánto tiempo total emplearé en el viaje? 7.- Aproximación y error Cuando tratamos de recordar un número formado por muchas y variadas cifras, tendemos a redondear. Por ejemplo, si el precio de un artículo es de 1.234,56, nos será más cómodo recordar la cantidad de En este caso hemos hecho una aproximación por exceso, ya que nos hemos pasado un poco. Si un solar mide m 2, nos resulta más fácil decir que mide 98 m 2. En este ejemplo hemos aproximado por defecto, ya que nos hemos quedado cortos. En resumen, la operación que hemos realizado en ambos casos se llama redondeo. El redondeo Uno de los números más famosos en matemáticas es el número pi, que tiene un valor de Los puntos suspensivos indican que las cifras decimales no acaban, de hecho, tiene infinitas cifras decimales. Este número es difícil de recordar, así es que vamos a redondearlo. Para redondear un número hay que tener claro el número de cifras decimales que vamos a tomar. Vamos a hacer la operación de varias formas. Redondeo con cuatro cifras decimales. Nos fijamos en la quinta cifra decimal (9); como esta cifra es mayor que 5, la cuarta cifra la aumentamos en uno, por tanto, el número aproximado es: Bloque I. Tema 3, Página 11 de 19

12 Redondeo con cinco cifras decimales. Ahora nos fijamos en la sexta cifra decimal (2); como es menor que 5, la quinta cifra decimal la dejamos como está. El número aproximado queda: De esta forma podemos aproximar cualquier número con el número de cifras decimales que deseemos. Ejercicios: 1) Dado el número decimal : a) Aproxímalo con tres cifras decimales. b) Aproxímalo con dos cifras decimales. c) Aproxímalo con cuatro cifras decimales. 2) Dado el número : a) Aproxímalo con cinco cifras decimales b) Aproxímalo con cuatro cifras decimales c) Aproxímalo con tres cifras decimales 3) Un euro equivale a pesetas. Sabiendo esto, transforma en euros una cantidad de pta. A continuación, redondea el resultado con dos cifras decimales. Bloque I. Tema 3, Página 12 de 19

13 4) Aproxima hasta la milésima (tres cifras decimales) los siguientes números: ) Una camiseta cuesta pta. Cuántos euros hay que pagar por ellos? (No se te olvide redondear los euros a la centésima (dos cifras decimales). 6) Unas botas cuestan pta. Cuántos euros son? El error En todo redondeo se comete un error, ya que el número con el que nos quedamos no es exactamente el original. Hay dos clases de error: Ejemplos: El error absoluto El error absoluto se calcula restando al valor real el valor aproximado. El error relativo Error absoluto = Valor real - Valor aproximado El error relativo se calcula dividiendo el error absoluto entre el valor real Error relativo = Error absoluto Valor real 1) El valor, en pesetas, de un frigorífico es de pta. Esta cantidad la hemos redondeado a pta. Los dos errores se calculan así: Error absoluto: Error relativo: 0, Bloque I. Tema 3, Página 13 de 19

14 2) Imagínate que el valor real de una medida es de 150 metros y que hacemos dos medidas, una de metros y otra de metros. Evidentemente, hemos cometido errores en las dos medidas: El error absoluto en la primera medida es: Ejercicios: El error absoluto en la segunda medida es: Si prescindimos del signo, el error es el mismo (en el primer caso por defecto y en el segundo, por exceso) En ambos casos, el error relativo es: 0,5 0, ) El peso real de un bolso de viaje es de 30 1 kilogramos. Lo hemos pesado y nos ha dado como resultado, 30 4 kilogramos. Calcula el error absoluto y el error relativo de la medida que acabamos de tomar. 2) El valor real de un artículo es de euros, pero hemos pagado 34 euros. Calcula el error absoluto y el error relativo en esta operación. 3) Si en el caso anterior, pagamos 35 euros, calcula los errores cometidos. Bloque I. Tema 3, Página 14 de 19

15 8.- Planos, mapas y maquetas En la vida cotidiana nos encontramos con situaciones como: Consultar un mapa de carreteras e intentar calcular la distancia entre dos puntos del mismo. Hacer cálculos sobre el plano de nuestra vivienda para saber si nos viene bien un mueble o un electrodoméstico. O simplemente mirar una fotografía de un paisaje y compararla con la realidad. En todos estos ejemplos hemos hecho uso de un concepto geométrico: el de figuras semejantes. Pero, qué son dos figuras semejantes? Dos figuras son semejantes cuando son iguales o solo se diferencian en su tamaño. Estas dos imágenes del Partenón son semejantes, ya que únicamente difieren en su tamaño. Vamos ahora a fijarnos en el siguiente ejemplo: 8 cm cm 4 cm 5 cm 3 cm 6 cm Bloque I. Tema 3, Página 15 de 19

16 Se trata de dos triángulos semejantes. Si nos fijamos en la medida de sus lados, veremos que: El cociente siempre vale 2 (en este ejemplo) En este caso, diremos que los triángulos son semejantes y su razón de semejanza es 2. Ejercicio: Cuánto mide el lado que falta? Los siguientes polígonos son semejantes y su razón de semejanza es 5. Calcula la medida de los lados que faltan. 10 cm 3 cm La escala Al consultar un plano o un mapa, además de la forma importan los tamaños, las distancias en la realidad, por eso, un plano o un mapa siempre va acompañado de la escala con la que está dibujado. La escala es el cociente entre cada longitud en el dibujo y la correspondiente longitud en la realidad, es decir, es la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Si por ejemplo consultamos el plano de una casa que está dibujado a ESCALA 1:200, significa que 1 cm del plano representa 200 cm de la realidad, o dicho de otra forma: Cada centímetro del plano representa 2 metros de la realidad. Bloque I. Tema 3, Página 16 de 19

17 Ejercicios: Cuál es la medida real del tablero del dibujo? Cuál de las siguientes equivalencias se corresponde con una escala 1: ? o Cada cm del plano representan 25 km de la realidad. o Cada centímetro del plano se corresponde con dos kilómetros y medio de la realidad. o Cada cm del plano se corresponde con 25 cm de la realidad. El mapa de la derecha tiene una escala de 1: Cuál es la distancia real entre las poblaciones de Lhasa y Wuhan? Expresa el resultado en kilómetros. Bloque I. Tema 3, Página 17 de 19

18 Vamos con el plano de una vivienda: Teniendo en cuenta la escala y las medidas de las diferentes habitaciones, debes realizar los siguientes cálculos: a) Medidas reales de la habitación nº 7 b) Medidas reales del cuarto de aseo (nº 4) c) Anchura real de la fachada principal (izquierda) Bloque I. Tema 3, Página 18 de 19

19 El siguiente plano está dibujado a escala 1:150 Las medidas en el plano de algunas de sus estancias son las siguientes: Dormitorio de matrimonio: 3,2 cm x 2,4 cm Cocina: 2,5 cm x 2,8 cm Baño: 2,5 cm x 1,8 cm Salón: 5 cm x 7 cm Cuáles son las medidas reales, en metros, de cada una de las habitaciones anteriores? Bloque I. Tema 3, Página 19 de 19