Empresa bajo incertidumbre en el precio: Modelo con dos productos

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1 Empresa bajo incertidumbre en el precio: Modelo con dos productos Rodríguez Puerta, Inmaculada Dpto. de Métodos Cuantitativos CEADE Álvarez López, Alberto A. Dpto. de Ec. Aplicada Cuantitativa II UNED RESUMEN En este trabajo, se desarrolla un modelo para una empresa competitiva que produce una cantidad determinada de un bien, la cual debe repartir entre dos fines distintos, para los que se tienen diferentes precios. La empresa debe decidir la cantidad que destinará a cada fin antes de conocer el precio para uno de ellos. Tras presentar el modelo, se determina una condición para que la empresa decida destinar al fin incierto una cantidad positiva. A continuación, se analiza el efecto que produce un aumento del riesgo del precio incierto en las decisiones de la empresa. Palabras clave: empresa competitiva; incertidumbre en el precio; dominancia estocástica de segundo orden; función de utilidad de Bernoulli; aversión al riesgo. Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C00, D81. Área temática: Programación Matemática. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 1

2 Rodríguez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A. 1. INTRODUCCIÓN En Sandmo (1971), el autor presenta un modelo para una empresa competitiva que debe decidir su nivel de producción antes de conocer el precio al que se venderá su producto en el mercado. Se trata de una empresa que produce un único bien, el cual lleva asociado un único precio. En este trabajo vamos a considerar una empresa que produce un único bien pero, a diferencia del modelo de Sandmo, la cantidad que produce está determinada. Además, la empresa puede optar por destinar su producto a dos fines distintos, cuyos precios son, en general, diferentes. En nuestro modelo, consideraremos que la incertidumbre proviene del precio para uno de los destinos. En primer lugar, construiremos el modelo y daremos una condición necesaria y suficiente para que la empresa decida destinar al fin incierto una cantidad positiva. A continuación, determinaremos el efecto que produce un incremento del riesgo del precio incierto sobre las decisiones de la empresa. Formalizaremos este incremento del riesgo en el sentido de la dominancia estocástica de segundo orden. 2. EL MODELO Consideraremos una empresa que va a producir una cantidad q t, fijada previamente, de un cierto bien, el cual puede ser destinado, posteriormente, a dos fines distintos. La empresa debe decidir el número de unidades que destinará a cada fin. Supondremos que se destina el total de la producción entre ambos fines. Así, la empresa sólo deberá elegir el nivel de producción q (0 q q t ) que destinará al primero de ellos; la cantidad q que destinará al segundo quedará determinada por: q = q t q. El precio del primer destino es desconocido en el momento en que se toma la decisión. Este precio vendrá dado por una variable aleatoria no degenerada P 0 (de 2 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional

3 media µ), sobre la que la empresa no tiene control de ningún tipo. Por el contrario, el precio p 0 del segundo destino es conocido de antemano. Bajo estas suposiciones, el beneficio que obtiene la empresa viene dado por: π(q) = P q + p q C = (P p ) q + p q t C, donde C es el coste de producir las q t unidades. Supondremos que π(0) 0, o lo que es equivalente: el precio conocido del segundo destino es mayor o igual que el coste medio de toda la producción, es decir: p C/q t. También, supondremos que la empresa es competitiva y posee aversión al riesgo. Es más, consideraremos que posee una función de utilidad de Bernoulli u que verifica: u > 0 y u < 0. El objetivo de la empresa será maximizar la utilidad esperada del beneficio. Es decir, la empresa busca el nivel óptimo de unidades q que debe destinar al primer fin, donde q satisface: U(q ) = máx U(q), q [0,q t] siendo U la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern correspondiente, que viene dada por: U(q) = E [ u ( π(q) )] = E [ u ( (P p ) q + p q t C )]. Se trata pues, de un problema de maximización, en la variable q, sobre el intervalo cerrado [0,q t ]. Las derivadas primera y segunda de U viene dadas por: U (q) = E[u (π) (P p )] y U (q) = E[u (π) (P p ) 2 ]. Obsérvese que U (q) < 0 (pues u < 0); por lo tanto, U posee un único máximo q sobre el intervalo [0,q t ]. Además se cumplirá que U (q ) = 0 si q es interior al intervalo, U (q ) 0 si q = 0, y U (q ) 0 si q = q t. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 3

4 Rodríguez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A. A continuación, veremos una condición necesaria y suficiente para que la empresa decida destinar al primer fin una cantidad no nula. Antes, necesitamos el siguiente lema auxiliar: 1 Lema 1. Si φ es una función numérica estrictamente decreciente sobre R, y X es una variable aleatoria no degenerada de esperanza finita, entonces: E [ X φ(x) ] < φ(0) E[X]. Se tiene la siguiente caracterización: Proposición 1. Una condición necesaria y suficiente para: 0 < q q t es: µ > p. Demostración. Si suponemos que 0 < q q t, se tiene: 0 U (q ) = E[u (π) (P p )] < u (p q t C) (µ p ), donde la última desigualdad se obtiene aplicando el lema 1 a la variable aleatoria X = P p y a la función φ(s) = u (s q + p q t C), que es estrictamente decreciente, pues φ (s) = q u (s q + p q t C) < 0. Como u > 0, se concluye que µ > p. Para la otra implicación, procedemos por contraposición: si suponemos: q = 0, entonces π(q ) = p q t C, que no es aleatorio, de donde: 0 U (q ) = E[u (π) (P p )] = u (p q t C) (µ p ), y µ p. En consecuencia, la empresa sólo invierte en el primer destino posible de su bien, que es incierto, si su precio esperado es mayor que el precio, conocido, del segundo destino. 1 Para una demostración de este lema, cf. Lippman McCall (1981). 4 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional

5 De aquí en adelante, se considerará que la empresa destina al primer fin una cantidad no nula y distinta del total: 0 < q < q t ; en particular, estaremos suponiendo entonces que µ > p. Nótese que, en este caso, el beneficio esperado es positivo; sin pérdida de generalidad, podemos suponer que π(q) > 0 para cada elección posible q. 3. EFECTO DEL INCREMENTO DEL RIESGO En este apartado vamos a analizar cuál es el efecto de un incremento del riesgo en el precio del primer destino. Para ello, emplearemos un razonamiento basado en el modo de proceder de Lippman-McCall (1981), que analiza las consecuencias del aumento del riesgo en el sentido de la dominancia estocástica de segundo orden. Previamente, será necesario hacer un estudio de la función: f(s) = su (s), s 0. Proposición 2. Sobre R + se verifica: 2 si f es convexa, entonces u es estrictamente convexa, y si u es cóncava, entonces f es estrictamente cóncava. Demostración. Se tiene: f (s) = 2u (s) + su (s), donde el sumando 2u (s) es negativo. Si f 0, entonces u > 0; y si u 0, entonces f < 0. Antes de enunciar el teorema mediante el cual se determina el efecto de la incertidumbre en el precio del primer destino, vamos a ver un lema previo, cuya demostración omitiremos 3. En este lema se considera que F y G son las funciones de distribución de las variables aleatorias X e Y, respectivamente, que verifican: F(0) = 0, G(0) = 0, F(x 0 ) = 1 para algún x 0 y G(y 0 ) = 1 para algún y 0. La notación X 2 Y significa que Y es estrictamente más arriesgada que X en el sentido de la dominancia estocástica de segundo orden. 2 Denotamos por R + el conjunto de los números reales no negativos. 3 El lector interesado puede pedir los detalles de esta prueba a los autores. En un contexto diferente, hay una prueba en Hadar Russell (1969). XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 5

6 Rodríguez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A. Lema 2. Supongamos que X 2 Y (en sentido estricto), con E(X) = E(Y ), y sea h una función numérica. Se tiene: a) si h es estrictamente cóncava, entonces E[h(X)] > E[h(Y )]; b) si h es estrictamente convexa, entonces E[h(X)] < E[h(Y )]. Teorema 1. Sea q i, con 0 < q i < q t, la cantidad óptima que se debe destinar al primer bien cuando el precio P tiene la misma distribución que la variable aleatoria P i (i {1, 2}), y supongamos que P 1 es estrictamente más arriesgada que P 2 en el sentido de la dominancia estocástica de segundo orden (esto es: P 2 2 P 1 en sentido estricto), con E(P 1 ) = E(P 2 ). Se tiene: a) si f es estrictamente cóncava y u es estrictamente convexa, entonces q 1 < q 2; b) si f es estrictamente convexa y p = C/q t, entonces q 1 > q 2. Demostración. Denotaremos por π i y U i el beneficio y la utilidad esperada del beneficio, respectivamente, cuando P = P i, es decir: π i (q) = (P i p ) q + p q t C y U i (q) = E [ u ( π i (q) )], para i {1, 2}. Entonces: U 1(q) U 2(q) = E[(P 1 p ) u (π 1 )] E[(P 2 p ) u (π 2 )]. Si en el segundo miembro de la igualdad anterior multiplicamos y dividimos por q ambos sumandos, se obtiene: 1 q E[(P 1 p ) q u (π 1 )] 1 q E[(P 2 p ) q u (π 2 )]. Sumando y restando (1/q)E[(p q t C) u (π i )] para cada i, y agrupando convenientemente, llegamos a: 1 q E[( (P 1 p ) q + p q t C ) u (π 1 ) ] 1 q E[(p q t C) u (π 1 )] 1 q E[( (P 2 p ) q + p q t C ) u (π 2 ) ] + 1 q E[(p q t C) u (π 2 )], 6 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional

7 de donde, teniendo en cuenta la definición de π i y que π(0) = p q t C para cualquier variable aleatoria P, resulta: 1 q E[π 1 u (π 1 )] 1 q E[π(0) u (π 1 )] 1 q E[π 2 u (π 2 )] + 1 q E[π(0) u (π 2 )]. Como f(π i ) = π i u (π i ) para cada i, se obtiene finalmente: 1 ( ) q E[f(π 1 )] E[f(π 2 )] π(0) ( ) E[u (π 1 )] E[u (π 2 )]. (1) q Si f es estrictamente cóncava y u es estrictamente convexa, lo mismo son, respectivamente, las funciones: s f ( (s p ) q + p q t C ) y s u ( (r p ) q + p q t C ) ; como P 2 2 P 1 y E(P 1 ) = E(P 2 ) por hipótesis, de acuerdo con el lema 2, se obtiene que Ef(π 1 ) < E 2 f(π 2 ) y E[u (π 1 )] > E[u (π 2 )]; al ser π(0) 0, de (1) se deduce: U 1(q) < U 2(q). Dado que U 1 y U 2 son funciones decrecientes (pues U i < 0), se concluye: q 1 < q 2. Si suponemos que f es estrictamente convexa y p = C/q t, se anula el segundo sumando de (1), y se deduce que el primero es positivo aplicando el lema 2. En este caso, razonando de igual modo se obtiene: q1 > q2. El caso f estrictamente convexa y u estrictamente cóncava, para el cual ambos sumandos son positivos, no es posible por la proposición 2. Por lo tanto, si f es estrictamente cóncava y u es estrictamente convexa, un aumento del riesgo en el precio del primer fin lleva a la empresa a una reducción de la cantidad que destina a este fin y, en consecuencia, a un aumento de la cantidad que destina al segundo. Por otro lado, si f es estrictamente convexa y el precio XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 7

8 Rodríguez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A. del segundo destino es igual al coste medio, un aumento del riesgo en el precio del primer fin lleva a la empresa a un incremento de la cantidad que destina a este fin, y en consecuencia a una reducción de la cantidad que destina al segundo. Cuando p es suficientemente próximo a C/q t, la cantidad que se destina al primer fin crece o decrece dependiendo únicamente de si f es estrictamente convexa o estrictamente cóncava, respectivamente. 4. CONCLUSIONES Una empresa, con un determinado nivel de producción y dos destinos posibles, solamente invertirá en el primero de ellos, cuyo precio es incierto, si el precio esperado de este primer destino es mayor que el precio conocido y seguro del segundo. Si suponemos que la cantidad óptima que la empresa debe destinar al primer fin bajo incertidumbre es no nula y distinta de la producción total, entonces, cuando el precio conocido del segundo destino es igual o suficientemente próximo al coste medio, el incremento del riesgo del precio del primer destino puede llevar tanto a un aumento como a una reducción de la cantidad que se destina al primer fin, dependiendo ello únicamente de si la función f que hemos definido en la sección anterior es estrictamente convexa o estrictamente cóncava, respectivamente. Actualmente, estamos en una línea de trabajo con la que tratamos de cuantificar, mediante la medida de Aumann-Serrano (2006), la variación de riesgo necesaria para que la solución óptima varíe. Otra futura línea de trabajo consiste en la generalización del modelo considerando más de dos fines para el bien producido. 4 4 Esta línea de trabajo ha sido sugerida por el revisor del artículo. Queremos agradecerle particularmente esta sugerencia. 8 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional

9 5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AUMANN, ROBERT J. y SERRANO, R. (2006). An Economic Index of Riskiness. Working Paper , Department of Economics, Brown University. HADAR, J. y RUSSELL, W.R. (1969). Rules for Ordering Uncertain Prospects. The American Economic Review, Vol. 59, No. 1,pp LIPPMAN, STEVEN. A. y McCALL, JOHN. J. (1981). The Economics of Uncertainty: Selected Topics and Probabilistic Methods. Handbook of Mathematical Economics. Arrow and Intriligator, North-Holland, Cap. 6, pp MAS-COLELL, A., WHISTON, M.D. y GREEN, J.R. (1995). Microeconomic Theory. Oxford University Press, New York, Cap. 6, pp SANDMO, A. (1971). On the Theory of the Firm Competitive Under Price Uncertainty. The American Economic Review, Vol. 61, No. 1, pp XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 9