CURVAS CÍCLICAS O DE RODADURA

Transcripción

1 CURVAS CÍCLICAS O DE RODADURA OBJETIVOS Dibujar curvas cíclicas, distinguiendo la forma de generarse Conocer y comprender los fundamentos geométricos de las Valorar las posibilidades de las cíclicas y evolvente de círculo y las características de cada una. curvas de rodadura para aplicarlos en el diseño. como conceptos básicos para la investigación tecnológica. Las curvas cíclicas o de rodadura, también llamadas curvas mecánicas por su aplicación en el diseño de piezas mecánicas, representan trayectorias que se repiten cíclicamente. Se trata del lugar geométrico de las posiciones que toma un determinado punto de un círculo, que rueda sin resbalar, sobre una recta o sobre una circunferencia. Se trata, pues, de la expresión gráfica de las in finitas posiciones de un punto móvil que rueda. La circunferencia que rueda se denomina ruleta o circunferencia generatriz, y la recta o circunferencia sobre la que rueda, base o directriz. La aplicación más importante de estas curvas se encuentra en el dibujo o forma de los perfiles de los dientes de ruedas dentadas (engranajes). En esta U.D.,veremos: la Cicloide, la Epicicloide, la Hi po cicloide y la Evolvente de la circunferencia. 1 CICLOIDE «La cicloide, o trocoide por su etimología griega (rueda), es una curva plana que, como toda cíclica, es el lugar geométrico de las posiciones de un punto móvil contenido en una circunferencia (ruleta) que rueda sin resbalar sobre una recta». Cuando el punto móvil es interior a la circunferencia-ruleta la curva merma, describiendo una curva denominada acortada ; cuando el punto móvil es exterior la curva se prolonga, tomando el nombre de alargada. 1.1 Cicloide normal. Para construir una cicloide normal se considera conocida la circunferencia-ruleta de centro O y el punto P de ella, generador de la curva. Su trazado es como sigue: - Por el punto P se traza la recta base o directriz, tangente a la circunferencia, de longitud (PP 8 ) igual a la longitud de la circunferencia-ruleta, es decir, se rectifica la ruleta sobre la recta base (recordar rectificación de una circunferencia). - Se divide la circunferencia-ruleta y el segmento base en el mismo número de partes iguales; por ejemplo en ocho, como muestra la fig Se trazan, por cada punto (1, 2, 3,, 8) de división de la ruleta, rectas paralelas a la recta base. - Se dibujan, por cada punto (1, 2, 3,, 8 ) de división de la recta base, rectas perpendicu - lares a ella. Cada una de estas rectas cortará a la recta paralela a la base trazada por el centro O de la ruleta en los puntos O 1,O 2,O 3,,O 8, centros sucesivos de las distintas posiciones, intermedias y equidistantes, que toma la ruleta al moverse y describir un ciclo completo. - Seguidamente se trazan los arcos circunferencia de centros O 1, O 2, O 3,,O 8 y, donde se cortan con las correspondientes rectas paralelas a la recta base, se van obteniendo los puntos P 1, P 2, P 3,, P 8 de la cicloide. NOTA.- Para un trazado más preciso de la curva es de interés considerar que la tangente a la curva en un punto cualquiera de la misma (en la fig.1.1 la tangente t 5 trazada por el punto P 5 ) es perpendicular al segmento definido por el punto exacto de la curva (P 5 ) y el punto de tangencia (5 ) de la ruleta con la base en esa posición. 1.2 Cicloide alargada o acortada. La cicloide obtenida anteriormente se denomina normal, por estar el punto P, generador de la curva, en la circunferencia-ruleta. Cuando el punto generador sea P (fig.1.2.1) o P (fig.1.2.2), tomados sobre el radio de la ruleta sumándole o restándole un determinado segmento d, se obtendrá la llamada cicloide alargada o acortada Trazado de la cicloide alargada. - Se comienza por construir la cicloide normal, sin necesidad de trazarla, al objeto de obtener, como se ha descrito anteriormente, la ubicación exacta de los puntos P 1, P 2, P 3,, P 8, que la definen. Asimismo hemos de indicar que cuanto mayor sea el número de particiones en que se divida el segmento base y, por tanto, la ruleta, mayor facilidad de trazado y precisión se conseguirá en la representación de la curva. - A continuación se sitúa el punto generador P y con ello la magnitud d en que se alarga el radio de la ruleta generadora de la trayectoria. - Sobre cada una de las rectas O i P i (O 1 P 1, O 2 P 2, O 3 P 3,, O 8 P 8 ) y a partir de cada uno de los puntos P i (P 1, P 2, P 3,..., P 8 ) se lleva hacia fuera (alargando el radio vector) la magnitud d, obteniendo así las distintas posiciones P i que va tomando el punto generador considerado. - La unión ordenada de estas posiciones anteriores (P 1, P 2, P 3,, P 8 ) dibuja la trayectoria de la curva cicloide alargada Trazado de la cicloide acortada. - Como antes, se comienza por construir, sin trazarla, la cicloide normal en el interés de precisar la posición de los puntos (P 1,P 2,,P 8 ). - Se define la posición del punto generador P y con ello la magnitud d en que se acorta el radio de la ruleta generadora de la trayectoria. - Sobre cada recta O i P i y a partir de cada punto P i se lleva hacia dentro (acortando el radio vector) la magnitud d, obteniendo las posiciones P i que va tomando el punto generador considerado. NOTA.- El trazado de las rectas tangentes, en los puntos de la curva, no ofrece dificultad: las rectas tangentes a las cicloides por el punto 5 ( figs y 1.2.2) siempre son perpendiculares al radio vector que une el punto P 5 (en la alargada) o P 5 (en la acortada) con la división 5 de la recta directriz. 93

2 2 EPICICLOIDE «La epicicloide es una curva plana lugar geométrico de un punto contenido en una circunferencia-ruleta cuando ésta rueda sin deslizar sobre el exterior de otra, llamada directriz, de igual o mayor radio». Debido al hecho de que la ruleta rueda sobre el exterior de una circunferencia es por lo que toma el prefijo «epi», cu yo significado en griego es sobre o superior. El primero en describir esta curva cíclica fue el grabador y pintor alemán Alberto Durero, en Posteriormente, en 1674, el astrónomo Olans Roener utilizó este trazado para diseñar el perfil del diente de los engranajes, basándose en que al estar en contacto dos de estas curvas, siempre se mantienen unidos, evitando que las ruedas en su giro vibren y se golpeen, lo que podría producir desgaste y roturas. Con posterioridad se ha comprobado que el perfil de la evolvente de la circunferencia es mejor, dado que el punto de contacto de las curvas se encuentra en la tangente común a las circunferencias base, logrando que los esfuerzos sean constantes. 2.1 Epicicloide normal. Para construir una epicicloide normal se considera conocida la circunferencia-ruleta de centro O y radio r, el punto P de ella que genera la curva, y el radio r de la circunferencia base o directriz. Su trazado es similar a la cicloide, aunque con cierta complicación añadida, como es el hecho de tener que rectificar una de las porciones en que se divide la ruleta para curvarla sobre la directriz, permitiéndonos así conocer el recorrido progresivo y curvo de la ruleta al rodar sobre la directriz curva. En general los radios de ambas circunferencias serán distintos, lo que trae consigo establecer la correspondencia angular entre iguales recorridos lineales de ambas. Para ello, se emplea una expresión consistente en multiplicar el valor angular descrito por la ruleta por el cociente de los radios de la ruleta y la base. Re - cordemos que en una circunferencia se verifica que un arco de la misma es igual al ángulo central que abarca por el radio. Así, en el ejemplo de la figura que se acompaña se ha dividido la ruleta en ocho partes iguales, lo que equivale a decir que cada una abarca 45. Si los radios de ruleta y base se designan por r y r respectivamente, se puede escribir: 45 r = α r ; α = 45 r/ r en la fig. 2.1: r = 2r ; por tanto: α = 45 r/2r = 45 /2 = lo que determina el valor del ángulo correspondiente en la circunferencia base. El proceso de trazado, aplicado al caso que nos ocupa, es el siguiente: - Se divide la ruleta en un número de partes iguales, por ejemplo ocho, lo que se traduce en que cada parte abarcará: 360 /8 = 45 - Se hace la transformación angular para la circunferencia base siguiendo el proceso antes descrito. En el caso de la representada en la fig. 2.1 se ha obtenido un valor de α = Se traza un arco de circunferencia concéntrico con la base, de modo que contenga al centro de la ruleta, llevando en dicho arco una abertura angular igual a ocho veces los antes obtenidos; esto es: 8α = = 180. Se tienen, por tanto, los puntos O y O 8 como extremos, situándose igualmente los puntos intermedios O 1, O 2, O 3,, O 7, que limitan tramos angulares iguales de Se trazan arcos concéntricos con la base que pasen por las divisiones 1, 2, 3,, 8 establecidas en la ruleta. - Cada punto de la curva, por ejemplo el P 2, se obtiene como corte del arco de centro O 2 y radio igual al de la ruleta con el arco concéntrico con la base, que pasa por el punto 2 de la misma. Un proceso repetitivo aplicado a los demás puntos determina la epicicloide completa. NOTA.- Las tangentes en los puntos de la curva se obtienen de un modo análogo al indicado en el caso de la cicloide. En la fig. 2.1 se ha trazado la tangente (t 5 ) por el punto P 5, mediante la perpendicular al segmento 5 P 5, donde 5 es el punto de contacto entre la ruleta y la base en la posición que determina el mencionado punto P 5 de la epicicloide. 2.2 Epicicloides alargada y acortada. La epicicloide obtenida anteriormente se denomina normal por estar el punto P, generador de la curva, en la circunferencia-ruleta. Si el punto generador fuese P o P, tomados sobre el radio de la ruleta, sumándole o restándole una determinada longitud d se obtendrá la denominada epicicloide alargada o acortada respectivamente. Su trazado por puntos, análogo al visto para la cicloide, es como sigue: - Se comienza por situar los puntos P 1, P 2, P 3,, P 8, que definen la epicicloide, sin necesidad de trazarla. - Se define la posición del punto generador P (para la epicicloide alargada) y P (para la acortada) y con ello la magnitud d en que se alarga o acorta el radio de la ruleta. - Sobre cada uno de los segmentos O i P i (O 1 P 1, O 2 P 2, O 3 P 3,..., O 8 P 8 ), y a partir de cada punto P i (P 1, P 2, P 3,, P 8 ) se lleva a cada lado la distancia d, obteniendo las distintas posiciones que van tomando los puntos P i y P i que conforman las trayectorias que definen las epicicloides alargada y acortada respectivamente. NOTA.- Obsérvese cómo el trazado de las rectas tangentes ayuda a trazar con mayor precisión el lugar geométrico definido por P o por P. Como en las cíclicas anteriores, las tangentes son perpendiculares a los radios vectores que unen el punto correspondiente de la curva con la división homónima de la base o directriz. Así, en la fig. 2.2,las tangentes en el punto P 5 de la epicicloide alargada o P 5 en la acortada son perpendiculares a los radios vectores P 5 5 y P 5 5 respectivamente. 94

3 2.3 Epicicloides singulares Nefroide. Denominación que toma la epicicloide cuya base directriz es una circunferencia de radio el doble de la ruleta (r = 2r). Su nombre le toma por asemejarse a la forma de los riñones Cardioide. Nombre que toma la epicicloide en el caso en que los radios de la ruleta y la base sean iguales; esto es: r = r. Su denominación viene del griego «Kardia», que significa corazón, y «Eidos», forma. Su trazado puede llevarse a cabo como el de una epicicloide normal ( fig a), aunque resulta más sencillo y práctico el método de construcción que se muestra en la fig b, donde se obtienen catorce puntos de la curva, lo que facilita el trazado por puntos de la misma. El trazado es como sigue (fig b) : - Se divide la circunferencia base en un número de partes iguales, por ejemplo ocho. El punto inicial y generador del movimiento es P. - Se une el punto P con las divisiones de la base antes señaladas: P1, P2, P3,, P8. - A partir de dichas divisiones (1, 2, 3,, 8) se lleva a ambos lados de éstas, y sobre las rectas trazadas, el diámetro de la circunferencia base (igual al de la circunferencia-ruleta), obteniendo así los puntos P1, P2,, P13, de la cardioide. 3 HIPOCICLOIDE «La hipocicloide es una curva plana lugar geométrico de un punto contenido en una circunferencia-ruleta cuando ésta rueda sin resbalar en el interior de otra circunferencia-directriz de radio siempre mayor». El hecho de que la ruleta ruede dentro de una circunferencia mayor es por lo que toma el prefijo «hipo», cuyo significado, en griego, es debajo o inferior. 3.1 Hipocicloide normal. Sea la ruleta la circunferencia de centro O y radio r = OP, y sea la base o directriz la circunferencia de centro O y radio r = O P. El punto generador es el punto P de la ruleta. - Su trazado es análogo al expuesto en la epicicloide. Se comienza por dividir la circunferencia-ruleta de centro O en un número de partes iguales, por ejemplo ocho, numerando los puntos 1, 2, 3,, 8. - Se obtiene la rectificación de la circunferencia del círculo generador (ruleta) sobre la circunferencia directriz, procediendo de idéntico modo al consignado en la epicicloide. En el ejemplo de la figura que se acompaña el radio r de la circunferencia base o directriz es cuádruple del radio de la ruleta; por tanto: α = 45 r / r = 45 r / 4r = 45 / 4 = Con ello se obtienen los puntos O1, O2, O3,, O8, que limitan tramos angulares de Se trazan arcos concéntricos con la base que pasen por las divisiones 1, 2, 3,, 8, marcadas, anteriormente, en la ruleta. - Cada punto de la curva, por ejemplo el P3, se obtiene como intersección del arco de centro O3 y radio igual al de la ruleta con el arco, concéntrico con la base, que pasa por el punto 3 de la misma. Un proceso repetitivo aplicado a los demás puntos determina la hipocicloide. NOTA IMPORTANTE: Las tangentes en los puntos de la curva se obtienen de un modo totalmente análogo al indicado en las curvas anteriores. En la figura se ha trazado la tangente (t 5 ) por el punto P5. Dicha recta tangente será perpendicular al radio vector 5 P Hipocicloides alargada y acortada. La hipocicloide obtenida anteriormente se denomina normal por estar el punto P, generador de la curva, en la circunferencia-ruleta. Si el punto generador fuese P o P, tomados sobre el radio de la ruleta sumándole o restándole una determinada magnitud d, se obtendrá la denominada hipocicloide alargada o acortada, respectivamente. - Se construye, sin trazarla, la hipocicloide normal, tal como se ha explicado antes. - Sobre los segmentos O 1P1, O 2 P2, O 3 P3,, O8P8, y a partir de los puntos P1, P2, P3,, P8, de la hipocicloide normal, se llevan las distancias PP y PP (en la figura ambas igual a d ), obteniendo así los puntos P 1, P 2, P 3,, P 8, de la hipocicloide alargada, y P 1, P 2, P 3,, P 8, de la hipocicloide acortada. NOTA.- El estudio y trazado de las tangentes, que siempre ayuda a la construcción de una curva, es totalmente análogo al expuesto en las otras curvas cíclicas. Se deja, pues, al lector el análisis de sus trazados en la observancia de la fig

4 3.3 Hipocicloides singulares Hipocicloide rectilínea. Se produce un caso singular cuando el diámetro de la circunferencia-ruleta es igual al radio de la circunferencia base o directriz; esto es: r = 2 r. En este caso la línea hipocicloide se adapta al diámetro de la directriz Hipocicloide triangular o Tricuspidal. Es la curva que se produce cuando el radio de la ruleta es la tercera parte del diámetro de la circunferencia directriz; esto es: r = 3 r Hipocicloide cuadrangular o Astroide. Se produce esta curva cuando el radio de la circunferencia-ruleta es la cuarta parte del diámetro de la circunferencia directriz; esto es: r = 4 r. 4 EVOLVENTE DE LA CIRCUNFERENCIA «La evolvente de la circunferencia es la curva que genera un punto fijo de una recta tangente a una circunferencia que se desplaza alrededor de la misma sin resbalar». El perfil de evolvente de la circunferencia resulta de interés: los dientes de los engranajes rectos tienen actualmente esta forma. Su trazado puede seguir el siguiente proceso: - Se dibuja una circunferencia de radio dado y se divide en un número de partes iguales, por ejemplo en dieciséis, numerando cada uno de estos puntos. - Por los puntos 1, 2, 3, anteriores se trazan rectas tangentes a la circunferencia. - Sobre la tangente trazada por el punto 1 se lleva una distancia 1P1 igual a la longitud del arco 1P. Dicha longitud se obtiene al rectificar el arco de circunferencia: para ello es conveniente trazar previamente por P (punto de arranque de la curva) una recta tangente a la circunferencia y llevar la rectificación de toda la circunferencia (segmento PP16 ), para posteriormente dividir dicho segmento en igual número de partes que el convenido en la circunferencia base (en la fig. 4, en dieciséis partes), de tal manera que cada partición sea la rectificación de cada partición de circunferencia base. - Se repite la operación, llevando la magnitud correspondiente sobre las dieciséis tangentes obtenidas, lo que completa el trazado de la curva evolvente. Así, por ejemplo, por el punto 6 se lleva la distancia P 6 para conseguir la posición del punto P6 ; por el punto 7 se lleva P7 para obtener P7, etc. - La unión de los dieciséis puntos se puede realizar a mano alzada o bien con la ayuda de una plantilla de curvas. 96

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